Оптимизация распределенного воздействия на стационарный поток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Петренко Ирина Анатольевна

Оптимизация распределенного воздействия на стационарный поток

Специальность: 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

4 /Л 2014

Владимир — 2014

005556207

005556207

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Давыдов Алексей Александрович

Официальные оппоненты: Бортаковский Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математическая кибернетика» МАИ

Канатников Анатолий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана

Ведущая организация: ИПС им. А.К. Айламазяна РАН

Защита состоится 29 декабря 2014 г. в 17 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.025.08 при Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600024, г. Владимир, проспект Строителей, д. 11, корп. 7 ВлГУ, ауд. 237. Факс (4922) 53-25-75, 33-13-91; е-таП: oid@vlsu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке и на официальном сайте www.vlsu.ru Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, с авторефератом - на сайтах http://vak2.ed.gov.ru/catalogue/ и http://diss.vlsu.ru

Автореферат разослан ноября 2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.025.08

Наумова С. Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена задачам моделирования и оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с диффузией, течением и реакцией, возникающими в различных областях науки и техники. Круг таких систем достаточно обширен. Так, в работе Доменико и Шварца1 исследуется модель переноса загрязняющего вещества в потоке, приведены аналитические и численные подходы к решению поставленных модельных уравнений, а также примеры приложений построенных численных решений. В работе Холмса и др.2 модель Фишера, которая представляет собой уравнение диффузии-реакции с нелинейной (логистической) функцией роста, изучается для моделирования популяционной экологии, в которой организмы предполагаются движущимися согласно броуновскому закону. В этой же работе рассмотрено уравнение с диффузией и линейной функцией роста, представляющее собой модель KISS изменения размера ареала питания фитопланктона, необходимого для под держания его цветения. Дня обеих моделей построены фазовые траектории и выявлено их асимптотическое поведение при больших временах. Ранее изучались также и подобные модели систем с управлением. Попытки численной оптимизации таких управляемых систем были сделаны достаточно давно3 и вполне успешно. Также активное развитие получили методы симуляции поведения системы при тех или иных параметрах для выработки системы ограничений и методов управления для достижения поставленных целей4.

В настоящей работе проводится качественный анализ таких моделей и в ряде случаев строится аналитическое решение задач оптимального управления. В конкретных прикладных задачах практическое применение методов теории оптимального управления5 наталкивается на ряд трудностей. Например, в случае минимаксного функционала встает вопрос о существовании оптимального управления и только после этого - о его структуре.

'Domenico P.A., Schwartz F.W. Physical and Chemical Hydrogeology- Wiley, 1997

2Partial differential equations in ecology: Spatial interactions and population dynamics / E.E Holmes, M.A Lewis, J.E Banks, R.R Veit // Ecology.- 1994,- Vol. 75(1).- P. 17-29.

''Beck M.B. Real-time Control of Water Quality and Quantity.- HASA, 1978; Bogobowicz A., Soko lowski J. Modelling and control of water quality in a river section // System Modelling and Optimization.- 1984,- Vol. 59.- P. 403-414.

4Beck M.B., Latten A., Tong R.M. Modelling and Operational Control of the Activated Sludge Process in Wastewater Treatment.- IIASA, 1978; Loucks D.P., van Beek E. Water Resources Systems Planning and Management. An Introduction to Methods. Models and Applications.- UNESCO Publishing, 2005.

5Иоффе А.Д., Тихомиров B.M. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974; Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения.- Новосибирск: Научная книга, 1999; Hartl R.F., Sethi S.P., Vickson R.G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints //Society for Industrial and Applied Mathematics.- 1995.- Vol. 37.- P. 181-218.

Более сложными оказываются системы, описываемые уравнениями в многомерном пространстве с диффузией, течением и реакцией. В этом случае нами рассмотрена модель, имеющая распределенное на некотором конечном участке управление, доя которой доказано существование оптимального решения в случаях интегрального и минимаксного функционалов при наличии ограничений (технологических и/или ёмкостных) как на управляющее воздействие, так и на параметры среды.

Цель работы. Целью данной работы является анализ и решение задач оптимизации для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с диффузией, течением и реакцией, включающей распределенное управление.

Методы исследований. Исследования проводились с использованием методов теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• получена структура оптимального управления для задач в одномерном фазовом пространстве, описываемых дифференциальным уравнением с течением, линейным членом реакции и минимаксным либо интегральным функционалом в случаях наличия либо отсутствия диффузии;

• получена структура оптимального управления для задачи, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением с диффузией, течением и билинейным членом реакции с минимаксным либо интегральным функционалом;

• для рассматриваемого типа задач с многомерным фазовым пространством доказана теорема существования оптимального решения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Все основные результаты в ней формулируются в виде математических теорем и сопровождаются строгими доказательствами. Практическая ценность работы состоит в возможности приложения полученных результатов к решению оптимизационных задач, возникающих при моделировании широкого класса экологических и технологических процессов. Результаты работы будут полезны при чтении специальных курсов для студентов математических, естественно-научных и инженерных специальностей университетов.

Основные результаты, выносимые на защиту, получены в рамках выполнения исследовательских проектов по различным программам и грантам. В том числе:

• проект 7774 программы «УМНИК» Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере;

• проекты 10-01-91004-АНФ_а, 11-01-97517-р_центр_а Российского фонда фундаментальных исследований;

• гранты НШ-709.2008.1, НШ 8462.2010.1, НШ-4850.2012.1 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации;

• проекты №2.1.1/5568, 2.1.1/12115 Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы»;

• стипендия Президента Российской Федерации для обучения за рубежом студентов и аспирантов российских вузов в 2010/2011 учебном году.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на многочисленных научных семинарах и международных конференциях. Среди которых

• Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007, 2009, 2011, 2013);

• Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Льва Семёновича Понт-рягина (Москва, 2008);

• IV межотраслевая научно-техническая конференция аспирантов и молодых ученых с международным участием «Вооружение. Технология. Безопасность. Управление.» (Ковров, 2009);

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2012);

• Международная конференция «Управление и оптимизация неголоном-ных систем»(Псрсславль-Залссский, 2011);

• семинар «Нелинейный анализ и его приложения» (ВлГУ, Владимир, 2009, 2010, 2011);

• семинар «Функциональный анализ и дифференциальные уравнения», посвященном 70-летаю проф. В.В. Жикова (ВГГУ, Владимир, 2010);

• семинар программы Динамические системы Международного института прикладного системного анализа (Австрия, Лаксснбург, 2009);

5

• Workshop «Renewable resources, Sustainability, and Search» (Германия, Гейдсльберг. 2013).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [1-12]. Статьи [1] и [11] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации 74 страницы текста с 21 рисунком. Список литературы содержит 41 наименование.

Краткое изложение содержания работы

Во введении обоснована актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приведен краткий обзор работ предшественников по данной проблеме, даны постановки задач и сформулированы основные полученные результаты.

В первой главе рассмотрена задача оптимизации распределенного воздействия на однородную сплошную среду, движущуюся с постоянной скоростью. Под воздействием мы понимаем или насыщение среды некоторым веществом (например, выброс загрязнения) или отбор какой-либо ее компоненты (например, фильтрация фитопланктона аквакультурой) с помощью размещения имеющегося ресурса в заданной ограниченной области D потока с гладкой или кусочно-гладкой границей.

Обозначив через w концентращио изучаемого вещества в потоке, а через v - постоянную положительную скорость течения, которую считаем направленной вдоль оси Ох х, получим следующее уравнение изменения этой концентрации

dw dw 9 . . ж..

-г—Н V—— = а'/лю — 7(w — Y) — щги + и2-

at дх\

Здесь t - время, с? - коэффициент диффузии, Д - оператор Лапласа по пространственным переменным х, х = {х\.....xj), 7 коэффициент, характеризующий скорость естественного восстановления фонового значения концентрации У, а «1 и «2 - измеримые компоненты вектора управления и, характеризующие распределённые ресурсы отбора и выброса вещества, соответственно.

Предполагается, что среда совпадает со всем пространством Rfi, где и контролируются се показатели.

Начальная концентрация вещества в потоке задана функцией

ги(х, 0) = шо(а;),

у которой отклонение от фонового (постоянного) значения Y, Y ^ 0, предполагается ограниченным в норме Ьо(К'г).

Поставленная задача заменой w = w — Y (и, соответственно, Щ) = wq — Y, для начальной концентрации) сводится к задаче

dw дги 2 л

+ V—— = a Aw - {-у + ui)w + U2 - uiY, (1)

ot ОХ\

w{x,0) =wo(x), (2)

где знак «тильда» у новой переменной опущен.

Компоненты управления мы предполагаем зависящими лишь от пространственной переменной х, измеримыми и ограниченными, то есть такими, что выполнены неравенства

0 < til (ж) ^ «1, 0^U2(x)^U2. (3)

Такие управления будем называть допустимъши.

Теорема (см. теорему 1.1 диссертации). Задача Коши (1), (2) однозначно разрешима для любого допустимого управления и любой начальной функции wo € LoiW1). Более того, при £ —> оо её решение стабилизируется на решении у соответствующего стационарного уравнения

а2&у — v^-— (7 + щ)у = — щ + u{Y. (4)

ох 1

Это решение принадлежит пространству IV2 (R^flL^R'') и удовлетворяет HcpaecHcmeaju ИуЦи^) < CH/Hl^r«) и ||i/||£oc(Rj) ^ max {¿Ц/Н^де^, l| с некоторой константой С, где / = —U2 + UiY.

В силу данной теоремы разумно решать оптимизационные задачи для предельного распределения вещества в среде, удовлетворяющего эллиптическому уравнению (4). Это распределение мы и будем понимать всюду далее под состоянием среды. Для него формулируются две оптимизационные задачи, отличающиеся по своему прикладному содержанию.

Задача Pj: Найти управляющее воздействие с заданной Li-нормой (ёмкостью)

а

7,- = J щйх I = J щдх j , i = 1,2,

D \ /

удовлетворяющей (технологическому) ограничению по размещению управления

С{ ^ щ J ёх, г = 1,2, £>

вытекающему из (3), для которого максимальное значение абсолютной величины соответствующего решения у будет минимальным. Это приводит к следующей задаче оптимизации

ИЩУ) п"11!

где

1{и,у) = тах|у(:г)|.

хек1'

Прикладной смысл данной задачи заключается в минимизации максимума изменения естественного состояния среды (показателя у) за счет распределения заданных ёмкостей выброса Сг и отбора С\.

Задача Р2: Во этой задаче разрешены лишь управляющие воздействия, для которых соответствующее решение у отклоняется от нуля не более, чем на заданное значение у ^ 0, то есть

М < У-

Целью же оптимизации является максимизация функционала

3{х1,у) - Ап||«1 + II«2II(к") = J (кт + къиг) сЬ.

о

При заданных значениях констант и к-2 (каждая из которых, вообще говоря, может быть и положительной - в случае, если соответствующая компонента управления приносит прибыль - и неположительной в противном случае) получаем следующую задачу оптимизации

у) —> тах".

Прикладной смысл этой задачи следующий: необходимо максимизировать доход - результат выброса и отбора, - при наличии ограничения на предельную допустимую концентрацию исследуемого вещества в потоке. При этом доход является линейной функцией от объёма управления, заданного нормой в пространстве а знаки коэффициентов и

¿2 отвечают за то, приносят соответственно отбор и выброс доход или расходы. В частности, известны примеры, когда в прикладных задачах один из этих коэффициентов положителен, а другой нет.

Управления, удовлетворяющие ограничениям той или иной задачи, будем называть допустимыми для этой задачи.

Основным результатом первой главы является следующая

Теорема (см. теоремы 1.2 и 1.3 диссертации). Для каждой из задач Pi и Рз существует допустимое управление, доставляющее ее решение.

Во второй главе для задач Pi и Р2 дано аналитическое решение в одномерном случае при отсутствии отбора, то есть при й\ = С\ = k\ — 0. При этом в качестве области D выбран отрезок [£1,2:2], а уравнение имеет вид

а2у" - vy' -7у = —и.

Вне интервала [0:1,2:2] это уравнение является однородным и его решение имеет вид

у(х) = Ахе^х + А2е^х,

где А\ и Л2 произвольные постоянные, 931,2 корни характеристического

уравнения: _

v [ri2 7

которые в силу положительности v и 7 имеют разные знаки. Мы упорядочим их следующим образом:

Щ < 0 < <Р2-

При таком порядке, в силу ограниченности решения на бесконечности и знаков собственных чисел, получим

Г х < XI,

VKX> X Ах ^ Х2, и, следовательно, выполнены равенства

у'{х i) = ip2y{xi), у'{:г2) = <fiiy(X2).

Для задач Pi и Рг найдена структура оптимального решения в классах постоянных, измеримых и обобщенных управлений при наличии либо отсутствии диффузии.

Для задачи Pi постоянное управление определяется однозначно и имеет вид

/ ч /0, х<£ [Ж1,х2],

В частности, решение задачи Pj в классе постоянных управлений существует лишь при С < 2йЬ и совпадает с единственным допустимым управлением из этого класса.

Теорема (см. теорему 2.1 диссертации). В классе постоянных управлений оптимальным в задаче Р2 является управление, задаваемое формулой

^ U, О/ TZ [O-lj ¿>¿1)

с u равным -у,!? если у < M ( 1 — e'i-»»^1-12^], и й в противном

случае.

Если постоянное управление с максимальной плотностью й недопустимо, то значение функционала можно увеличить, отказавшись от постоянства управления.

Теорема (см. теорему 2.4 диссертации). Оптимальньш в задаче I'i является управление

(О, X £ [Х1,Х2],

й, х 6 [ii,a) U (ß,X2\, (6)

72/, xe [a,ß],

где

a = xl + -L 1пЛ -Щ р = Х2 + ±.\п(1-Щ (7)

ipi \ U / ip2 V U '

а величина у, задающая оптимальное значение функционала этой задачи, вычисляется как

и

У = ~ 7

1 -

à2(<pi-<p t)

I -!—]

\ ^ а'(<р.г-<р1) \ !

где IV - И^-функция Ламберта.

Теорема (см. теорему 2.2 диссертации). Оптимальное управление в задаче Р'2 кусочно-постоянно и имеет, вид (6), (7).

Заметим, что при ослаблении ограничения (3), то есть при увеличении й, отрезки [а: I, а) и {¡3,х2] уменьшаются, превращаясь в точки при й —>■ +оо, а объём управления, распределенного на этих отрезках, равен

W

y\/v2 + 4а27 In

что при й —> +оо стремится к уу V1 + 4а'2-/. При этом внутри интервала (а, 0) управление и по-прежнему принимает значение 7у. Таким образом, при снятии ограничения (3), получаем оптимальные управления из класса обобщенных функций, которые определяются следующим утверждением (здесь обозначает дельта-функцию, сосредоточенную в точке а Х[х,..|;2] характеристическую функцию отрезка [11,3:2]):

10

Теорема (см. теорему 2.5 диссертации). Управление и — — + + 7УХ[х1,ж2] является оптимальным в классе обобщенных управлений в задаче Ро-

Теорема (см. теорему 2.6 диссертации). Управление

С

и =

(бх, \

является оптимальным в классе обобщенных управлений в задаче Р ¡.

Аналогичные теоремы доказаны для случая отсутствия диффузии.

Наконец, в последней, третьей главе для задач Рх и Ра дано аналитическое решение в одномерном случае при отсутствии выброса и течения, то есть при «г = Сг = = 0 и V — 0. При этом в качестве области И выбран отрезок [—6,6], а уравнение и граничные условия имеют вид

а2у" - (7 + и)у = иУ, у'(-Ь) = ^у(-Ь), </(6) = ^-у{Ь).

а а

Для этих задач найдена структура оптимального решения в классах постоянных и измеримых управлений.

Для задачи Рх постоянное управление определяется однозначно и имеет вид

х$[-Ь,Ь],

X € [-6,6].

Значит, решение задачи Рх в классе постоянных управлений существует лишь при С < 2йЬ и совпадает с единственным допустимым управлением из этого класса.

"(*)= •( с I 25'

Теорема (см. теорему 3.1 диссертащш). Оптимальным в классе постоянных управлений в задаче Р% является управление, задаваемое формулой

и{х)

где и корень уравнения

и У ( л/7

= Г 0, х£ [-6,6], \ и, х е [—6,6].

йУ I __л/7_

7 + и

ий в противном случае.

=

-1 < -У,

Теорема (см. теорему 3.4 диссертации). Оптимальным в классе измеримых управлений в задаче Р/ является управление

О, х£[-Ь,Ь],

и(х) = { й, х€ [-6, а) U (ß, 6], xe[a,ß)t

где

а = —b + ■

aresh-

V7uY

—г — aresh*/ — 1У V«

(8)

ß = ~a, (9)

у/1 + и У" ' и(У - у)

а величина у, задающая оптимальное значение функционала этой задачи, вычисляется согласно равенству

2 а

у/у + и

aresh

yfyüY

u{Y -У)~1У

aresh 4

Y -у

Теорема (см. теорему 3.2 диссертации). В случае у < \ оптимальное в классе измерилшх управление в задаче кусочно-постоянно и имеет вид (8), (9).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Алексею Александровичу Давыдову за постановку задач, руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Давыдов A.A., Пастрес Р., Петренко И.А. Одномерное распределение выброса загрязнения в одномерный поток // Труды Института математики и механики,- 2010.- Т. 16, №5.- С. 30-35.

2. Кукшина Е.О., Целоусова И.А. Алгоритм и программный продукт для усредненной оптимизации распределенных систем // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль.- 2007.- С. 36.

3. Петренко И.А. Оптимизация емкости завода аквакультуры при наличии экологических ограничений // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина. Тезисы докладов. - 2008,- С. 384-385.

4. Петренко И. А. Минимизация воздействия загрязняющих выбросов путём перераспределения их источников // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль,- 2009.- С. 187.

5. Петренко И.А. Оптимизация распределенного выброса загрязняющего вещества в поток воды // Вооружение. Технология. Безопасность. Управление. Материалы IV межотраслевой конференции с международным участием. Часть 1.- 2009.- Р. 229-239.

6. Петренко И.А. Теорема существования и система оптимальности для задачи, описываемой уравнением эллиптического типа с интегральным функционалом /7 Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль,- 2011.- "С. 166167.

7. Петренко И. А. Разрешимость задачи оптимального управления для транспортного уравнения с минимаксным функционалом // Международная конференция «АНАЛИЗ и ОСОБЕННОСТИ», посвященная 75-летию Владимира Игоревича Арнольда: Тезисы докладов, Москва.-2012.- С. 8789.

8. Петренко И.А. Теорема существования решения задачи оптимального управления для транспортного уравнения с интегральным функционалом // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов, Суздаль. - 2012,- С. 138.

9. Петренко И. А. Модель изменения концентрации вещества в потоке жидкости / / Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов, Суздаль.- 2013,- С. 188-189.

10. Петренко Pl.А., Тимофеева В.А. Решение задачи оптимизации, описываемой уравнением эллиптического типа с интегральным функционалом // Международная конференция «Управление и оптимизация неголоном-ных систем»: Тезисы докладов, Переславль-Залесский,- 2011,- С. 29-30.

11. Optimization of shcllfish production carrying capacity at a farm scale. / D. Brigolin, A. Davydov, R. Pastres, I. Petrenko // Applied Mathematics and Computation.- 2008.- Vol. 204,- P. 532-540.

12. Petrenko I.A. Aquaculture and water quality: modeling and control // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов, Суздаль - 2010,- С. 231-232.

Подписано в печать 29.10.14 Формат 60x84/16. Усл. иеч. л. 0,76. Тираж 100 экз. Заказ № 1115 Отпечатано п типографии издательства «Атлас» 600001. г. Владимир, ул. Дворянская, д. 27-а Тел. (4922) 42-08-78