Особенности энергообмена ЭМ излучения с плазмой в статических полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Введение

1 Теория возмущений для усредненных характеристик гамильтоно-вых систем

1.1 Приближенное выражение для среднего изменения переменных действия

1.2 Поправки высшего порядка

1.3 Интегральные инварианты Пуанкаре и некоторые точные соотношения

Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным (ЭМ) излучением играет важную роль в разнообразных физических процессах. С исследованиями в этой области тесно связано развитие работ по управляемому термоядерному синтезу, электронике СВЧ, физике плазмы и астрофизике [1-4]. Помимо этих достаточно традиционных приложений, в последнее время интерес к взаимодействию излучения с заряженными частицами стимулируется перспективами использования соответствующих процессов при разработке новых схем инерциального термоядерного синтеза [5], рентгеновских лазеров [6,7], и в ряде современных плазменных технологий [8-10].

В реальных условиях взаимодействие заряженных частиц с излучением часто происходит в присутствии внешних пространственно неоднородных статических полей. Такие неоднородности существенно затрудняют исследование физических процессов. Точные аналитические решения, описывающие взаимодействие частиц с излучением в статических полях произвольной конфигурации, невозможно найти в общем случае. Этим обуславливается применение различных приближенных методов.

С формальной точки зрения процесс взаимодействия может быть описан в рамках гамильтоновой механики. Как отмечалось выше, количество задач, которые могут быть решены точно очень мало, и поэтому вопрос о влиянии возмущения на движение системы, соответствующее решению интегрируемой задачи, уже давно является одним из важнейших вопросов механики. Для учета возмущения был разработан целый ряд методов в приложении к небесной механики [11]. Однако, они обладали существенным недостатком, связанным с существованием в решении неограниченно растущих во времени, секулярных членов (так называемая проблема малых знаменателей). Чтобы преодолеть эту расходимость, новый метод возмущения был предложен Пуанкаре [12]. Несмотря на то, что его использование приводит к решению в виде формально расходящихся рядов, при некоторых условиях (которые определяются величиной возмущения и требуемой точностью), полученные решения могут достаточно хорошо описывать реальную динамику системы. Данный метод относится к так называемым "асимптотическим" методам [13].

К асимптотическим методам также относятся методы "усреднения". Процедура усреднения предусматривает усреднение по быстро меняющейся угловой переменной. Например, с помощью этой процедуры выводятся уравнения "дрейфового приближения" , описывающие движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле. В дрейфовом приближении усреднение выполняется по угловой переменной, соответствующей ларморовскому вращению частицы поперек магнитной силовой линии (см. например [14,15]). Такое описание справедливо, если характерная длина неоднородности магнитного поля много больше ларморовского радиуса частицы. Важно отметить, что метод усреднения является основным аналитическим методом исследования взаимодействия заряженной частицы с ЭМ излучением в магнитном поле. Так, с помощью этого метода рассматривалась задача о движении частицы в поле волнового пакета, распространяющегося под произвольным углом к магнитному полю [16], описывался нагрев плазмы в магнитной ловушке [17] и т.д.

В рамках асимптотического метода изменение переменной действия равно нулю во всех порядках теории возмущений, если при движении системы ее параметры плавно меняются от одного постоянного значения до другого (т.е. производные параметров всех порядков по времени непрерывны) [18]. В этом случае, действие является адиабатическим инвариантом. Например, для гармонического осциллятора с медленно меняющейся частотой адиабатический инвариант есть отношение энергии осциллятора к частоте, а малым параметром теории возмущений - отношение периода колебаний к характерному времени изменения частоты. Тот факт, что изменение адиабатического инварианта стремится к нулю быстрее, чем любая степень параметра разложения, еще не означает постоянства адиабатического инварианта. (Например, функция ехр(—1/х) стремится к нулю быстрей любой степени 1/х при х —> 0). Следовательно, асимптотический метод не дает фактического изменения действия при плавном изменении гамильтониана с конечной скоростью между постоянными значениями [13].

Изменение переменных действия может быть найдено прямым методом разложения по амплитуде возмущения ("итерационным" методом [13,19]). Однако, и этот метод имеет ряд существенных недостатков, один из которых связан с громоздкостью выражений, затрудняющей их анализ. Это особенно важно, когда решение в первом приближение равно нулю, и необходим следующий порядок теории возмущения. Необходимость проводить вычисление до второго порядка возникает, например, в задачах физики коллективных явлений (в частности при анализе взаимодействие заряженных частиц с излучением), когда решение, полученное для одной частицы, необходимо усреднять по ансамблю частиц. Так в задаче о взаимодействии потока заряженных частиц с ЭМ полем, изменение энергии для произвольной частицы, полученное в первом приближении по амплитуде ЭМ поля, в результате усреднения по всем частицам пучка обращается в нуль. Обычный метод описания взаимодействия ЭМ волн с потоком электронов с помощью кинетического уравнения приводит к очень сложным выражениям [20]. С другой стороны, усреднение по частицам требует нахождения решения для каждой частицы, что существенно ограничивает возможности численного моделирования коллективных явлений. Таким образом, весьма актуальной представляется разработка таких методов, с помощью которых можно получить выражения для второго приближения в удобном для анализа виде.

То, что усреднение по частицам может существенно упрощать выражения для энергообмена между ЭМ излучением и заряженными частицами, было известно из исследования некоторых задач: подсчет работы зависящей от времени силы над нелинейным осциллятором [21]; описание стохастического нагрева электронов в ЭМ поле

22]; вычисление коэффициента усиления лазера на свободных электронах (ЛСЭ) [23]. В последней работе было показано, что в приближении слабого сигнала, изменение энергии поля в среднем на один электрон при взаимодействии с излучением в периодическом магнитном поле пропорционально среднему квадрату изменения энергии пучка. Значение этого соотношения состоит в том, что неисчезающий при усреднении второй порядок изменения энергии может быть выражен через квадрат величин первого порядка, что существенно упрощает вычисление коэффициента усиления

ЛСЭ.

В дальнейшем, в работах [25,26] это соотношение, получившее название теоремы Мэди, было выведено в наиболее общей форме, без обращения к физической природе динамической системы, для близких к интегрируемым гамильтоновых систем с N степенями свободы. В частности, в нашей работе [26] было показано, что для га-мильтоновой системы близкой к интегрируемой изменение переменных действия, усредненное по начальным значениям угловых переменных, во втором порядке теории возмущения может быть представлено в простом виде через величины первого порядка. Такая "простота" обусловлена двумя факторами: процедурой усреднения по начальным условиям и "гамильтоновостью" системы. Последнее означает, что дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы, "порождаются" одной скалярный функцией - гамильтонианом. В другой работе нами были вычислены поправки высшего порядка, приводящие в приложение к взаимодействию частиц с высокочастотной (ВЧ) силой к учету пондеромоторных эффектов [27]. Теорема была также обобщена на некоторый класс негамильтоновых динамических систем [28].

Одновременно были установлены связи теоремы с некоторыми известными физическими фактами. Была показана связь между теоремой и обнаруженным еще в начале веке Эйнштейном [29] соотношением между коэффициентами подвижности и диффузии в уравнении Фоккера-Планка- Колмогорова для случайных процессов [24]. Обсуждалось связь теоремы Мэди с флюктационно-диссипативной теоремой [30]. Другое соотношение Эйнштейна между коэффициентами спонтанного и индуцированного излучения [31] в приложении к ЛСЭ в классическом пределе также приводит к данной теореме [23,32]. В настоящее время различные версии теоремы Мэди являются мощным средством исследования в сверхвысокочастотной (СВЧ) электронике [33,34].

В основе данной диссертации лежит теория возмущений для усредненных характеристик гамильтоновых систем, основанная на обобщении теоремы Мэди [26]. Достаточно общий характер полученных в рамках теории возмущений соотношений, не зависящий от физической природы динамической системы, позволяет их применять помимо традиционного описания процессов в СВЧ приборах для исследования широкого круга явлений физики плазмы. В наших работах [27,36,37] соотношения использовались для исследования влияния статического поля и пондеромоторных эффектов на взаимодействия заряженных частиц с пакетом ЭМ волн. В частности, учет квазистатического поля в каверне ленгмюровского солитона опровергает утверждение, сделанное в работе [35], о невозможности накачки стоячего солитона электронным пучком [36]. Установлено, что неоднородность магнитного поля может привести к накачке пакета ЭМ волн, затухающего в однородном магнитном поле [37]. Гамиль-тонова формулировка позволяет применять теорему в нетрадиционном для нее пределе сверхсильных ЭМ полей [40]. В этом пределе было проанализировано обратное тормозное поглощение, возникающее при взаимодействии релятивистски сильного (когда движение электронов в ЭМ волне становится релятивистским) лазерного излучения с веществом. Следует отметить, что исследование процессов, сопровождающих такое взаимодействие, становится все более актуальным в связи со значительным прогрессом, достигнутым в последнее время, в создании сравнительно компактных лазерных систем, генерирующих лазерные поля рекордной интенсивности [41].

Поскольку в данной диссертации общие соотношения для гамильтоновых систем применяется к слишком различающимся физическим задачам (от релаксации ленг-мюровской турбулентности и безстолкновительного нагрева в разряде низкого давления до столкновительного поглощения сверхсильного лазерного поля в плазме), то введение в физику конкретной задачи и актуальность задачи будут представлены в соответствующих разделах. Таким образом, одной из целей диссертации является демонстрация эффективности использования общих соотношений гамильтоновской механики для решения различных задач физики плазмы.

Краткое содержание работы. В главе 1 строится формальная теория возмущений для параметров гамильтоновой системы, усредненных по ее начальным состояниям. В разд. 1.1 рассматривается гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым, а возмущение предполагается слабым. Во втором порядке теории возмущений найдено изменение переменных действия, усредненных по начальным угловым переменным. Показано, что усреднение по начальным угловым переменным соответствует усреднению по частицам, распределенным равномерно вдоль невозмущенной траектории. В разд. 1.2 найдены некоторые поправки более высокого порядка. Поскольку эти поправки увеличивают фазу в выражении для усредненного изменения действия, то даже при их относительной малости, они могут значительно модифицировать результат. Эти поправки соответствуют учету пондеромоторных эффектов в задаче о движении частицы под действием неоднородной ВЧ силы. В разд. 1.3 гамильтонова механика формулируется альтернативным образом - через инварианты Пуанкаре. Приводится дифференциальная форма инвариантов Пуанкаре, с помощью которой найдены точные соотношения для изменения усредненных действий. В разд. 1.4 обсуждаются полученные результаты и их связь с некоторыми известными физическими явлениями: стохастическими процессами, свойствами равновесного излучения и т.д.

В главе 2 общие результаты, полученные в предыдущей главе, используются для анализа влияния внешнего статического поля и пондеромоторной силы на энергообмен электронов с ЭМ волной. При этом, ЭМ волна предполагается слабой и рассматривается как возмущение, в то время как задача о движении частицы в статическом поле решается точно. В разд. 2.1 обсуждаются одномерные задачи. Показано, что учет статического поля и пондеромоторных эффектов приводит к возможности накачки ленгмюровского солитона и плазменных колебаний в призлектродных областях электронными потоками. В разд. 2.2 рассматривается взаимодействие электронов с ЭМ волной в магнитном поле. Найдены выражения, описывающие энергообмен между пучком и пакетом ЭМ волн в слабо неоднородном аксиально-симметричном магнитостатическом поле. В пределе однородного магнитного поля выведены известные выражения для декрементов затухания циклотронных волн в магнитоактивной плазме. Показано, что при определенных энергиях пучка учет неоднородности магнитного поля может приводить к изменению не только темпа резонансного поглощения пакета ЭМ волн, но и к обращению знака эффекта, т.е. к накачке пакета под действием пучка. В качестве примеров рассмотрены взаимодействия в магнитной пробке с линейным профилем поля и в магнитном поле с параболическим профилем. В разд. 2.3 обсуждается стохастический нагрев в разряде низкого давления с обращенным магнитным полем. Стохастический нагрев является в последнее время объектом интенсивных исследований. Это вызвано растущим интересом электронной промышленности к разряду с как можно более низким давлением, где обычный столкновительный нагрев становится все менее эффективным. В задаче о движении заряженной частицы в обращенном магнитном поле введены переменные действия -угол и классифицированы возможные траектории движения частицы. Предложена кинетическая теория безстолкновительного нагрева в разряде такого типа, и оценен порог перехода к хаотическому движению для напряженности ВЧ электрического поля. Вычислена мощность, поглощаемая плазмой при нагреве, как функция температуры электронной компоненты разряда.

В главе 3 рассматривается рассеяние электронов в статическом поле в присутствии сильной ЭМ волны. В отличие от предыдущей главы, теперь статическое поле предполагается слабым и рассматривается как возмущение, а задача о движении частицы в поле плоской ЭМ волны решается точно. В разд. 3.1 решается невозмущенная (без учета статического поля) задача о движении электрона в поле плоской ЭМ волны. Находятся переменные действия- угол и возмущенная часть гамильтониана, описывающая рассеяние в потенциальном поле. В разд. 3.2 вычисляется энергообмен между волной и электронами во втором порядке теории возмущений по рассеивающему потенциалу. Показано, что процесс обмена энергией между ЭМ волной и электронами носит резонансный характер и может быть представлен как комптоновский резонанс между электроном, волной и Фурье-гармониками рассеивающего потенциала. В разд. 3.3 полученные выражения используются для анализа обратного тормозного поглощения (ОТП), т. е. когда под рассеивающим потенциалом предполагается кулоновское поле. Вычисляется энергообмен между бесконечно узким электронным пучком и ЭМ волной как функция прицельного параметра, скорости пучка и направления поляризации волны. Отдельно рассматриваются линейная и циркулярная поляризации. Обсуждается модификация эффекта Маркуса [42] для релятивистского пучка. В разд. 3.4 вычисляется поглощаемая плазмой мощность релятивистски сильного лазерного излучения. С помощью квантового подхода различные соотношения между электронной температурой и энергией кванта излучения рассматриваются. Поглощаемая мощность вычислена для линейной и циркулярной поляризаций ЭМ волны: Обсуждается порог нарушения дипольного приближения для ОТП.

Основные работы по теме диссертации выполнены в период с 1991 по 1998 год.

Полученные результаты могут быть использованы в различных областях физики плазмы, от плазменной обработки материалов до исследования сверхсильного лазерного излучения с веществом.

Публикации и апробация результатов. По теме диссертации направлены для публикации в научных журналах 7 статей (из которых 5 опубликовано), опубликование 5 статей в сборниках трудов конференций, 5 тезисов докладов. Основные результаты отражены в работах [26,27] (глава 1), [?,36-38] (глава 3), [40,43] (глава

4).

Изложенные в диссертации результаты обсуждались на семинарах в Институте прикладной физики РАН, Высшей Политехнической Школе (Франция). Эти ма

Заключение

Сформулируем основные научные результаты диссертации.

1. Разработана теория возмущений для вычисления усредненных характеристик гамильтоновых систем. В рамках этой теории найдены во втором порядке изменения переменных действия, усредненные по начальным значениям угловых переменных. Показано, что такое усреднение соответствует усреднению по частицам, равномерно распределенным вдоль невозмущенной траектории. Найдены некоторые поправки высших порядков.

2. С помощью построенной теории возмущений выведено выражение для энергообмена между ЭМ излучением и электронами в присутствии статического поля в пределе малой интенсивности излучения. Обнаружено что, учет квазистатического поля в каверне ленгмюровского солитона приводит к возможности накачки солитона электронным пучком.

3. Исследованы особенности энергообмена между электронным пучком и пакетом ЭМ волн в слабонеоднородном магнитном поле. Показано, что в наличие нескольких пространственно- разделенных точек циклотронного резонанса может приводить к изменению не только темпа резонансного поглощения пакета ЭМ волн, но и к обращению знака эффекта, т.е. к накачке пакета пучком.

4. Теоретически исследован стохастический нагрев в разряде низкого давления с обращением магнитного поля. Получена оценка порога перехода к хаотическому движению для напряженности ВЧ электрического поля. Вычислена мощность, поглощаемая плазмой при нагреве, как функция температуры электронной компоненты разряда. Проведенный нами теоретический анализ подтверждает вывод, полученный в лабораторных и численных экспериментах, что при достаточно низком давлении газа в разряде стохастический нагрев играет важную роль наряду с обычным столк-новительным нагревом.

5. В пределе сильного (в том числе и релятивистски сильного) ЭМ излучения получено выражение для энергообмена с электронами при их рассеянии в статическом поле вне рамок дипольного приближения. В малоугловом приближении найдена зависимость энергообмена при рассеянии пучка электронов в кулоновском поле от прицельного параметра, скорости пучка и поляризации излучения.

6. Найдена мощность релятивистски сильного лазерного излучения, поглощаемого плазмой в результате электрон- ионных столкновений. Поглощение вычислено как в классическом (энергия фотона меньше электронной температуры плазмы), так и в квантовом (энергия фотона больше электронной температуры плазмы) пределах, для линейно поляризованного и циркулярно поляризованного излучения. Показано, что дипольное приближение для обратного тормозного поглощения нарушается уже для нерелятивистских интенсивностей лазерного излучения.

1. Голант В. Е., Федоров В. И. Высокочастотные методы нагрева плазмы в тороидальных термоядерных установках. М.: Энергоатомиздат, 1986. 198 с.

2. Гапонов А. В., Петелин М. И., Юлпатов В. К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электроники. // Изв. Высш. Учеб. Зав. Радиофизика. 1967. 10, № 9-10. С. 1414-1453.

3. Александров А.Ф., Богданкевич J1.С., Рухадзе AJA. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978. 407 с.

4. Железняков В. В. Излучение в астрофизической плазме. М.: "Янус-К", 1997. 528 с.

5. Tabak, М., Hammer, J., Glinsky, М. Е., Kruer, W. L., Wilks, S. C., Woodworth, J., Campbell, E. M., Perry, M. D., Mason, R. J. Ignition and high gain with ultrapow-erful lasers. // Phys. Plasmas. 1994. 1, № 5. P. 1626-1634.

6. Rosen, M. D., Plasma physics issues in laboratory x-ray lasers. // Phys. Fluids. B. 1990. 2, № 6. P. 1461-1469.

7. Kieffer, J.C., Chaker, M., Matte, J.P. Ultrafast x-ray sources. // Phys. Fluids. В., 1993. 5, № 7. P. 2676-2683.

8. Райзер Ю. П. Основы современной физики газоразрядных процессов. М.: Наука, 1980. 414 с.

9. Roth, J. R. Industrial Plasma Engineering. Volume 1. London: IOP Publishing Ltd, 1995. 538 p.

10. Lieberman M. A., Lichtenberg, A. J. Principles of plasma discharges and materials processing. New York: Wiley & Sons, 1994. 572 p.

11. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. M.: Наука, 1965. 572 с.

12. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. // Избранные труды, под ред. Н. Н. Боголюбова, В. И. Арнольда, И. Б. Погребысского М.: Наука, 1971. Т. 1. С. 7-771.

13. Lichtenberg A. J. Phase space dynamics of particles. New York: John Willey and Sons, 1972. 302 p.

14. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Движение заряженных частиц в электромагнит-нах полях.// Сб.: Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963, Т. 2. С. 177-261.

15. Нортроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц. М.: Атом-издат, 1967. 127 с.

16. Karney C.F.F. Stochastic ion heating by a lower hybrid wave. // Phys.Fluids. 21, № 9. C. 1584-1599.

17. Либерман M. А., Лихтенберг А. Д. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

18. Крускал М. Адиабатические инварианты. М.: ИЛ, 1962. 89 с.

19. Chandrasechar, S. Plasma Physics. Chicago: University of Chicago Press, 1960. Chap.3.20. // Шафранов В. Д. Электромагнитные волны плазмы. // Сб.: Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963, Т. 3. С. 3-140.

20. Файн В. М. Квантовая радиофизика. Т.1. Фотоны и нелинейные среды. М.: "Советское радио", 1972. 472 с.

21. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

22. Madey, J. М. J. Relationship between mean radiated energy, mean squared radiated energy and spontaneous power spectrum in. a power series expansion of the equations of motion in a free- electron laser. // Nuovo Cimento В 1979. 50, № 1. P. 64-88.

23. Krinsky, S., Wang, J. M., Luchini, P. Madey's gain-spread theorem for the free-electron laser and the theory of stochastic processes. //J. Appl. Phys. 1982. 53, № 8. P. 5453-5458.

24. Luchini, P., Solimeno, S. Gain and mode-coupling in a three-dimensional free-electron laser: a generalization of Madey's theorem. // IEEE J. Quantum Electron. 1985. 21, № 7. P. 952-965.

25. Fraiman, G. М., Kostyukov, I. Yu. Influence of external inhomogeneous static fields on interaction between of charged particles and packet of electromagnetic waves. // Phys. Plasmas 1995. 2, № 3. P. 923-934.

26. Latham, P. E., Miller, S. M., Striffer, C. D. Use of Lie transforms to generalize Madey's theorem for computing the gain in microwave devices. // Phys. Rev. A 1992. 45 , № 2. P. 1197-1206.

27. Эйнштейн А. К теории броуновского движения. // Собрание научных трудов, под ред. И. Е. Тамма, Смородинского Я. А., Кузнецов Б. Г. М.: Наука, 1966. Т. 3. С. 118-127.

28. Krinsky, S. Action-angle variables and fluctuation- dissipation relations for a driven quantum oscillator // Phys. Rev. A 1985. 31, № 3. P. 1267-1272.

29. Эйнштейн А. Испускание и поглощение излучения по квантовой теории // Собрание научных трудов, под ред. И. Е. Тамма, Смородинского Я. А., Кузнецов Б. Г. М.: Наука, 1966. Т. 3. С. 386-392.

30. Litvinenko, V. N., Vinokurov, N. A., On the classical analog of the Einstein relations between spontaneous emission, induced emission and absorption. // Nucl. Instr. & Meth. in Phys. Res. A. 1993. 331, № 3. P. 440-449.

31. Zhang, S. Z. Madey-theorem derivation for the gyrotron, the cyclotron autoresonance maser, and nonwiggler free-electron. // Phys. Rev. A. 1989. 31, № 2. P. 897-901.

32. Nikonov, D. E., Rostovtsev, Yu., V., Sussmann, G. Madey's and Liouville's theorems relating to free-electron lasers without inversion. // Phys. Rev. E. 1998. 57, № 3. P. 3444-3453.

33. Рудаков JI. И. Торможение электронных пучков в плазме с высоким уровнем ленгмюровской турбулентности. // ДАН СССР. 1972. 207, № 4. С. 821-824.

34. Fraiman, G.M., Kostyukov, I.Yu. Influence of static fields and ponderomotive force on the beam-plasma interaction. // Physica Scripta. 1993. 47, № 2. P. 221-223.

35. Костюков И. Ю., Фрайман Г. М. О циклотронном поглощении в неоднородном магнитном поле. // Физ. плазмы. 1995. 21, № 6. С. 515-525.

36. Fraiman, G.M., Kostyukov, I.Yu. On Landau damping in models of Langmuir turbulence. // Physica D. 1995. 87, № 2. P. 295-300.

37. Kostyukov, I. Yu., Rax, J. M. Stochastic heating in low-pressure field-reversed discharge. // направлено для печати в Phys. of Plasmas.

38. Kostyukov, I. Yu., Rax, J. M. Ultrahigh intensity inverse bremsstrahlung. // Phys. Rev. E. 1999. 59, № 1. P. 1122-1135.

39. Perry, M. D., Gerard, M. Terawatt to petawatt subpicosecond lasers. // Science. 1994. 264, № 5. P. 917-923.

40. Marcuse, D. Stimulated emission of bremsstrahlung. // Bell. Syst. Tech. J. 1962. 41, № 9. P. 1557-1571.

41. Kostyukov, I. Yu., Rax, J. M. Ultrahigh intensity inverse bremsstrahlung absorption. // принято к публикации в Phys. Rev. Lett.

42. Ландау JI.Д., Лифшиц Б.М. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.

43. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

44. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

45. Картан Э. Интегральные инварианты. М.; Л.: Гостехиздат, 1940. 216 с.

46. Уиттекер Е. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937. 498 с.

47. Чириков Б. В. Динамика частиц в магнитных ловушках. // Вопросы теории плазмы, вып. 13. М.: Энергоиздат, 1983. С. 3-73.

48. Беляев С. Т. Кинетическое уравнение для разреженных газов в сильных полях. // В сб.: Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР, 1959, т. III, С. 50.

49. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия. // Собрание трудов, под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 199-207.

50. Федоров М. В. Электрон в сильном световом поле. М.: Наука, 1991. с. 224.

51. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М.: ИЛ, 1956. с. 621.

52. Литвак А. Г. Динамические нелинейные электромагнитные явления в плазме. // Вопросы теории плазмы , вып. 10. М.: Энергоиздат, 1983. С. 164-242.

53. Бродский Ю. Я., Нечуев С. И., Слуцкер Я. 3., Фейгин А. М., Фрайман Г. М. Новый механизм генерации интенсивных ленгмюровских колебаний в плазме.// Физика плазмы. 1989. 15 , № 10. С. 1187-1196.

54. Stenzel, R. L. High- frequency noise on antennas in plasmas. // Phys. of Fluids B. 1989. 1, № 7 P. 1369-1377.

55. Arbel, D., Bar-Lev. Z., Felsteiner, J., Rosenberg, A., Slutsker, Ya. Z. Collisionless instability of the cathode sheath in a hallow-cathode discharge. // Phys. Rev. Lett. 1993. 71, № 18. P. 2919-2922.

56. Qun. Y., Boozer, A. H. The exact and drift Hamiltonian. // Physics of Fluids. В 1992. 5, № 8. P. 2429-2431.

57. Тимофеев А. В. Теория циклотронного нагрева в открытой ловушке. Физика плазмы. 1975. 1, № 1. С. 88-110.

58. Тимофеев А. В., Чулков Г. Н. Электронный циклотронный резонанс в неоднородном магнитном поле. // Физика плазмы. 1979. 5, № 6. С. 1271-1280.

59. Shklyar, D. R., Particle interaction with an electrostatic VLF wave in the magnetosphere with an application to proton precipation. // Planet. Space Sci. 1986. 34, № 11. P. 1091-1099.

60. Albert, J. M., Cyclotron resonance in an inhomogeneous magnetic field. // Phys. Fluids. В 1993. 5, № 10. P. 2744-2750.

61. Lacina, D. On the containment of plasma in stationary magnetic and high-frequency fields. // Czeh. Journ. of Physics., 1963. 31 , Sec. B. № 3. P. 401-410.

62. Гинзбург В.JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Госизд. Изд. Физико-Мат., 1960. 552 с.

63. Кацман Ю.А. Приборы СВЧ. М.: Высшая школа, 1983. 368 с.

64. Uchida, Т. Application of radio-frequency discharged plasma produced in closed magnetic neutral line for plasma processing. // Jpn. J. Appl. Phys. 1994. 33, № 1A. P. L43-L44.

65. Sakoda, Т., Miyao, Т., Uchino, K., Muraoka, K. Studies of a magnetic neutral loop discharge based on laser diagnostics of electron behavior and atomic processes. // Jpn. J. Appl. Phys. 1997. 36, № 11. P. 6981-6985.

66. Yoshida, Z., Asakura, H., Kakuno, H., Morikawa, J., Takemura, K., Takizawa, S., Ushida, T. Anomalous resistance induced by chaos of electron motion and its application to plasma production // Phys. Rev. Lett. 1998. 81, № 12. P. 2458-2461.

67. Mynick, H. E., Guiding-center Hamiltonian for figure-8 particles in axisymmetric field-reversed configurations. // Phys. Fluids. 1980. 23, № 9. P. 1897-1902.

68. Вайнштейн Д. Л., Зеленый Л. М., Нейштад А.И. Квазиадиабатическое описание движения заряженных частиц в конфигурациях с обращением магнитного поля. // Физика плазмы. 1995. 21, № 6. С. 484-491.

69. Delcourt, D. С., Martin R. F., Alem, F. A simple model of magnetic moment scattering in a field reversal. // J. Geophys. Res. Lett. 1994. 21, № 14. P. 1543-1546.

70. Greenhill, A. G. Les fonction elliptiques at leurs applications. Paris: Georges Carre, 1895. P. 521.

71. Reichl L. E., Zheng, W. M. Field-induced barrier penetration in the qudratic potential. // Phys. Rev. A. 1984. 29, № 4. P. 2186-2193.

72. Reichl L. E., Zheng, W. M. Perturbed double-well system: The pendulum approximation and low-frequency effects. // Phys. Rev. A. 1984. 30, № 2. P. 1068-1077.

73. Chirikov, В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems. // Phys. Rep. 1979. 52, № 5. P. 263-379.

74. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 512 с.

75. Rax, J. М. Compton harmonic resonances, stochastic instabilities, quasilinear diffusion, and collisionless damping with ultra-high-intensity laser waves. // Phys. Fluids B. 1992. 4, № 12. P. 3962-3972.

76. Avetissian, H. K., Avetissian, A. K., Hatsagortsian, K. Z., Movsissian, S. V. The effect of an intense electromagnetic wave on the dynamics of stimulated bremsstrahlung. // J. Phys. В At. Mol. Opt. Phys. 1992. 25, № 8. P. 3201-3215.

77. Pert, G. J. Inverse bremsstrahlung absorption in strong radiation fields during binary collisions: "straight-line path" approximation. // J. Phys. В Atom. Molec. Phys. 1979. 12, № 16. P. 2755-2769.

78. Shvets, G., Fisch N. J. Electron-ion collisions in intensely illuminated plasmas. // Phys. Plasmas. 1997. 4, № 2. P. 428-436.

79. Силин В. П. Поглощение излучения турбулентной лазерной плазмой. // УФЕ. 1985. 145, № 2. С. 225-253.

80. Ditmire, Т., Tisch, J. W. G., Springate, E., Maso, M. В., Hay, N., Marangos, J. P., Hutchinson, M. H. R. High-energy ions produced in explosions of superheated atomic clasters // Nature. 1997. 386, № 6. P. 54-56.

81. Dawson, J., Oberman, C. High-frequency conductivity and the emission and ab-sorbtion coefficients of a fully ionized plasma. // Phys. Fluids. 1962. 5, № 3. P. 517-524.

82. Силин В. П. Нелинейная высокочастотная проводимость плазмы. // ЖЭТФ. 1964. 47, № 12. С. 2254-2265.

83. Decker, С., Mori, W. В., Dawson, J. M., Katsouleas, T. Nonlinear collisional absorption in laser-driven plasmas. // Phys. Plasmas. 1994. 1, № 12. P. 4043-4049.

84. Pert, G. J. Inverse bremsstrahlung absorption in large radiation fields during binary collisions classical theory. // J. Phys. A Math. Gen. Phys. 1972. 5, № 4. P. 506-515.

85. Бункин Ф. M., Казаков A. E., Федоров M. В. Взаимодействие интенсивного оптического излучения со свободными электронами. // УФН. 1973. 107, № 4. С. 559-593.

86. Mittleman, M. H. Introduction to the Theory of Laser Atom Interaction. New York: Plenum, 1993. 313 p.

87. Бункин Ф. M., Федоров M. В. Тормозное излучение в сильном поле излучения. // ЖЭТФ. 1965. 49, № 10. С. 1215-1221.

88. Krall, N., Watson, К. Charged-particle scattering in the presence of a strong electromagnetic wave.// Phys. Rev. A. 1973. 8, № 2. P. 804-809.

89. Денисов M. M., Федоров M. В. Тормозной эффект на релятивистских электронах в сильном поле излучения. // ЖЭТФ. 1967. 53, № 10. С. 1340-1348.

90. Szymanovsky, С., Veniard, V., Taieb, R., Maquit, A., Keitel, C. Mott scattering in strong laser fields. // Phys. Rev. A. 1997. 56, № 11. P. 3846-3859.

91. Kaminski, J. Z. Relativistic generalization of the Krall-Watson theorem. // Phys. A Math. Gen. Phys. 1985. 18, № 10 P. 3365-3374.

92. Wolfram, S. MATHEMATICA. New York: Addison Wesley, 1991.

93. Jackson, J. D. Classical Electrodynamics. New York: Wiley, 1975. Chap. 15.

94. Pert, G. J. Inverse bremsstrahlung in strong radiation fields at low temperatures. // Phys. Rev. E. 1995. 51, № 5. P. 4778-4789.

95. Федоров M. В. Индуцированный тормозной эффект в релятивистской области. // ЖЭТФ. 1966. 51, № 9. С. 795-803.

96. Kolbenstvedt Н., Olsen, Н. A. Polarization effects in induced emission of bremsstrahlung. // Phys. Rev. 1968. 175, № 11. P. 11-13.

97. Faehl, R. J., Roderick, N. F. Intensity dependence of inverse bremsstrahlung absorption in an inhomogeneous standing wave. // Phys. of Fluids. 1978. 21, № 5. P. 793-797.

98. Langdon, B. A. Nonlinear inverse bremsstrahlung and heated-electron distribution. // Phys. Rev. Lett. 1980. 44, № 9. P. 575-579.

99. Manheimer W. M., Colomban D. G. Light absorption by acoustic turbulence in laser-produced plasmas. // Phys. Fluids. 1978. 21, № 10, P. 1818-1827.

100. Reiss, H. R. Theoretical methods in quantum optics: S-matrix and Keldysh techniques for strong-field process. // Prog, in Quant. Electronics. 1992. 16, P. № 1. 1-75.

101. Никишев А. И., Ритус В. й. Квантовые процессы в поле плоской электромагнитной волны и постоянном поле. I. // ЖЭТФ. 1964. 46, № 8. С. 776-796.

102. Ритус В. И. Квантовые эффекты взаимодействия элементарных частиц с сильным электромагнитным полем. // Труды ФИАН СССР. 1979. Т. 101. С. 5-151.

103. Wolkow, D. М. Über eine Klasse von Lö'sungen der Diracschen Gleichung. // Z. Physik. 1935. 94, № 2 P. 250-260.

104. Schlessinger, L., Wright, J. Inverse-bremssrahlung absorption rate in an intense laser field. // Phys. Rev. A. 1979. 50, № 5 P. 1934-1945.

105. Shima, Y., Yatom, H. Inverse bremsstrahlung energy absorption rate. // Phys. Rev. A. 1975. 12, № 5. P. 2106-2117.

106. Силин В. П., Урюпин С. А. Поглощение мощного электромагнитного излучения при столкновениях заряженных частиц.// ЖЭТФ. 1981. 81, № 9. С. 910-925.

107. Jones, R. D., Lee, К., Kinetic theory, transport, and hydrodynamics of a high-Z plasma in the presence of an intense laser field. // Phys. Fluids. 1982. 25, 12. P. 2307-2323.

108. Polishchuk, A. Ya., Meyer-Ter-Vehn, J. Electron-ion relaxation in a plasma interacting with an intense laser field. // Phy. Rev. E. 1994. 49, № 1. P. 663-666.

109. Pert, G. J. Inverse bremsstrahlung in strong radiation fields the Born approximation re-examined. //J. Phys. В Atom. Molec. Phys. 1996. 29, № 5. P. 1135-1142.

110. Pfalzner, S., Gibbon, P. Direct calculation of inverse-bremsstrahlung absorption in strongly coupled, nonlinearly driven laser plasmas. // Phys. Rev. E. 1998. 57, № 4. P. 4698-4705.

111. Balakin, A. A., Mironov, V. A., Fraiman, G. M. Representative electrons and energy exchange in the strong laser fields. Phys. Rev. Lett. 1999. 82, № 2. P. 319-322.

112. Балакин А. А., Миронов В. А., Фрайман Г. M. Корреляционные эффекты при электрон- ионных столкновениях в сильном лазерном поле. // ЖЭТФ. 1999. 115, № 2. С.