Поликатегории и поликольцоиды многоместных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОНЯТИЕ ПОЛИКОЛЬЦОИДА. ПРИМЕРЫ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ

ИЗ АКСИОМ.II

1.1. Понятие поликольцоида.II

1.2. Примеры поликольцоидов.

1.3. Частные случаи поликольцоидов.

1.4. Простейшие следствия из аксиом поликатегории.

2. ГЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ГРИНА В ПОЛИКАТЕГОРИЯХ

2.1. Главные левые идеалы, оС-классы и л -классы.

2.2. Главные строгие правые идеалы и Ji-классы.

2.3. Главные строгие двусторонние идеалы, J-, Х- и $)-классы.

2.4. Идеалы слабо полных полиграфов.

3. ИДЕАЛЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ГРИНА В СИММЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИКАТЕГОРИЯХ

3.1. £-эквивалентность Грина и левоизотопия

3.2. ЯЖ- и а/ -эквивалентности Грина.

3.3. Левые идеалы.

3.4. Строгие правые идеалы

4. ПЛОТНО ВЛОЖЕННЫЕ ИДЕАЛЫ ПОЛИКАТЕГОРИЙ.

4.1. Конгруэнции и гомоморфизмы поликатегорий.

4.2. Плотно вложенные левые идеалы

4.3. Плотно вложенные идеалы симметрических поликатегорий.

5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛИКОЛЬЦОИДОВ МНОГОМЕСТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

5.1. Определение слов над поликольцоидом

5.2. Определение операций на множествах слов.

- з

5.3. Проверка дистрибутивности.

5.4. Проверка ассоциативности

5.5. Проверка частичной коммутативности

5.6. Существование представления.

В разных разделах математики и ее приложений растет использование многоместных функций и поэтому актуально исследование алгебраических систем, состоящих из таких функций; см. [1,2,5, 11,13,31,32-41,47-52,54]. Предметом данной диссертации служит исследование поликольцоидов и поликатегории, особенно тех, которые составлены из многоместных функций.

Понятие поликольцоида (определение I.I), введенное в настоящей работе, является обобщением понятия.ft-кольцоида [10, с 94], но в другом направлении чем понятие поликольцоида из работы [39]. Понятие поликатегории (т.е. поликольцоида без аддитивных операций) тоже новое. В качестве частного случая поликатегории содержат полукатегории [14], а строго унитарные поликатегории (определение 1.4) - категории [45,с.68]. Отметим также, что рассматриваемое понятие строго унитарной поликатегории является аналогом частного случая поликатегории М.Сабо [53].при одноэлементных конечных носителях. Целесообраность применяемых в данной работе операций над функциями, проявляется особенно явно при исследовании идеалов симметрических поликатегорий (в третьей главе).

Целью работы является исследование идеалов поликатегорий, разработка теории плотной вложенности идеалов в поликатегориях, построение представления поликольцоида в виде подполикольцоида симметрического поликольцоида (многоместных функций над некоторой системой множеств), а также применение полученных результатов в многоосновной логике.

Диссертация состоит из пяти глав. В первой главе определяются понятия полиграфа, поликольцоида, поликатегории, левой, правой и двусторонней единицы, а также (строгой) унитарности поликольцоида и А -поликольцоида. Приводятся примеры поликольцоидов (тривиальный поликольцоид, сингулярный поликольцоид, симметрический поликольцоид). В §1.3 выясняется, что частными случаями поликатегорий являются такие алгебраические системы, как полугруппы, малые полукатегории, полигоны над полугруппами и позиционные алгебры [2]. А -поликольцоиды (т.е. поликольцоиды, все аддитивные Л-алгебры которых удовлетворяют системе тождеств А ) обобщают такие понятия как почти-кольцо, правый почти-модуль над почти-кольцом, Й-Д) -кольцоид. С другой стороны, поликольцоиды являются одним видом многоосновных универсальных алгебр (алгебр со схемой операторов в смысле Хиггинса [461).

Во второй главе получается характеристика всех главных идеалов строго унитарных (с.у.) поликатегорий, т.е. поликатегорий, содержащих полный комплект двусторонних единиц. Оказывается, что это требование не является существенным ограничением. Именно, ко всякой поликатегории можно внешним образом (аналогично теории полугрупп) присоединить все отсутствующие двусторонние единицы, причем все левые (правые, строгие правые, двусторонние, строгие двусторонние) идеалы остаются левыми (правыми, строгими правыми, двусторонними, строгими двусторонними) идеалами.

В параграфе 2.1 исследуется строение главных левых идеалов, а также -эквивалентность Грина в с.у. поликатегориях. Вводится понятие левоизотопии (являющееся аналогом понятия главной изотопии, определенного В.Д.Белоусовым [2] для позиционных алгебр). Устанавливается признак £ -эквивалентности и доказывается, что <£ -эквивалентность является правой конгруэнцией в с.у. поликатегории. Также доказывается, что левоизотопность элементов с.у. поликатегории является достаточным условием, а- б одновременная t -существенность или Ь -фиктивность двух элементов является необходимым условием их ^-эквивалентности.

В пункте 2.1.6 выделяется из поликатегории поднабор всех обратимых (зпнарных) элементов, так называемый фундамент поликатегории, который оказывается группоидом в смысле Эресмана [45, с.83]. Как всякий группоид так и фундамент поликатегории можно представить в виде (теоретико-множественного) объединения непересекающихся максимальных подгруппоидов Брандта ( В -подгруппоидов) [45, с.84] так, что произведения элементов из разных В -подгруппоидов не определены. Отсюда получается (в теореме 2.9) формула для вычисления порядка А -класса (т.е. класса левоизотопии), использующая теорию комплексов [43] в группоиде Брандта и понятие группы ^-инвариантности элемента (определение 2.5) в с.у. поликатегории.

В параграфе 2.2 выясняется строение главного строгого правого идеала с.у. поликатегории, изучаются $ -эквивалентность Грина и Я. -изотопия. Оказывается, что &-изотопия является подотношением -эквивалентности и оба эти отношения являются левыми конгруэнциями с.у. поликатегории. При помощи понятия группы $ -инвариантности элемента (определение 2.10) и теории комплексов группоида Брандта получается (в теореме 2.18) формула для вычисления порядка класса $-изотопии, содержащего рассматриваемый элемент. Аналогично молено выяснить строение главного правого идеала с.у. поликатегории. Соответствующая правым идеалам & -эквивалентность и соответствующая строгим правым идеалам -эквивалентность совпадают в с.у. поликатегории.

В параграфе 2.3 исследуется строение главных строгих двусторонних идеалов, а также 3t - и Ю -эквивалентности Грина с.у. поликатегории. Здесь дается (в теореме 2.27) формула длявычисления порядка класса изотопии и доказывается, что 5) -классы состоят из полных классов изотопии. Оказывается, что для эквивалентностей Грина в с.у. поликатегориях остаются в силе многие свойства, известные из теории полугрупп. Именно, 8) №эквивалентность является произведением (и заодно объединением) -эквивалентности и Я -эквивалентности, причем последние коммутируют; £ -класс и & -класс пересекаются тогда и только тогда, когда они содержатся в одном © -классе. Значит, для с.у. поликатегории можно построить „едд-Ьох- картину £ - и §)-классов.

В параграфе 2.4 описываются все односторонние идеалы (не только главные) слабо полных полиграфов (определение 2.15), т.е. таких полиграфов, которые содержат всевозможные одномерные грани. Эти описания используются в параграфах 3.3 и 3.4.

Третья глава посвящена исследованию идеалов симметрических поликатегорий. Здесь применяются результаты предыдущей главы.

В параграфе 3.2 для поликатегории 5(E) даются формулы вычисления составов Ж- и $-классов по номеру одной из входящих функций. В частности, приведены таблицы полной „еду-Ьох" -картины двухместных (таблица 3.7) и трехместных (таблица3.8) функций в позиционной алгебре логики 5(Е21. Эти распределения на S)-классы вполне соответствуют результатам И.Стразди-ня [30]. Также приводится пример одного cD-класса (таблица3.9) в поликатегории S(Ez,E3),T.e. наиболее простой поликатегории, не являющейся позиционной алгеброй.

В последних двух параграфах этой главы дано полное описание всех левых и строгих правых идеалов (не только главных) симметрической поликатегории S^^M) над слабо полным полиграфом [Г;Р], В параграфе 3.3 вводится понятие -семейства функций над (1Д, РД» (определение 3.4). Затем каждой функции сопоставляется система ее простых ретрактов (определение 3.1). Строится (в теоремах 3.19 и 3.20) взаимнооднозначное соответствие между левыми идеалами симметрической поликатегории S&.pj(MJ и С -семействами над (IfMi9P,I*h). В частном случае для малых симметрических категорий (т.е. при Р={4\ ) £-семействами являются системы наследственных классов подмножеств системы М.

Отметим, что в симметрических поликатегориях S^^M) при Р левые идеалы нельзя охарактеризовать наследственнымиклассами подмножеств множеств основной системы. Об этом говорит тот факт, что уже в позиционной алгебре логики совокупность двухместных функций распределяется на 7 «^-классов, а не на 3-класса. Значит, теория левых идеалов поликатегорий существенно отличается от соответствующей теории для систем Менгера.

В параграфе 3.4 строится (в теоремах 3.26 и 3.27) взаимнооднозначное соответствие между строгими правыми идеалами поли- t! категории Spx.p3(M) и ^-семействами (определение 3.7) попарно несравнимых эквивалентноетей на множествах системы М. Этот результат обобщает соответствующий факт из теории полугрупп и является аналогом соответствующего результата из теории систем Менгера. Отметим, что ^-эквивалентность функций в 5а.РЗ(М1) равносильна совпадению соответствующих им разбиений.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию плотной вложенности идеалов в поликатегориях. В вводном параграфе 4.1 излагаются понятия конгруэнции, строгой конгруэнции, гомоморфизма, строгого гомоморфизма и доказываются их свойства, известные из теории частичных универсальных алгебр. Так, приводятся первая и вторая теоремы (4.4 и 4.5) об изоморфизмах (по Греце-РУ 144] ).

В параграфе 4.2 (в теореме 4.13) доказывается, что существование всех левых единиц (т.е. строгая левоунитарность) является необходимым условием для существования в поликатегории плотно вложенного в классе всех поликатегорий (над рефлексивным замыканием основного полиграфа заданной поликатегории) левого идеала.

В параграфе 4.3 (в теореме 4.18) выясняется, что при рефлексивном полиграфе (1,3) в симметрической поликатегории S/MJ все правые идеалы, имеющие тот же носитель (I,J) являются плотно вложенными в классе всех поликатегорий над полиграфом. (I; J). Наименьшим таким идеалом является поликатегория всех постоянных функций.

При этом применяется теорема 4.17 о плотной вложенности в поликатегории А3 всех правых идеалов С содержащих унарно разложимую справа подполикатегорию В-,, являющуюся плотно вложенным правым идеалом в А э.

По теме диссертации опубликованы работы [16-29] автора. Результаты диссертации докладывались на III Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Кяэрику, 1976), на 1У Всесоюзной конференции по математической логике (Кишинев, 1976), на республиканской конференции "Теоретические и прикладные вопросы математики" (Тарту, 1980), на Коллоквиуме по универсальной алгебре в Сегеде (Венгрия, 1983), на Рижском алгебраическом семинаре (1983), на научно-исследовательском семинаре по общей алгебре в МГУ (1983), на Герценовских чтениях в ЛГПИ (1979, 1983), на алгебраическом семинаре Института Математики с ВЦ АН МССР (1984) и на алгебраическом семинаре Тартуского ГУ.

Автор глубоко признателен и благодарен всем алгебраистам, с которыми он имел контакты в ходе выполнения диссертации, за полезные обсуждения и советы.

1. Артамонов В.А. Клоны полилинейных операций и мультиоператор-ные алгебры.-Успехи матем.н., 1969, т.24,№1, с.47-59.

2. Белоусов В.Д. n-арные квазигруппы,-Кишинев: Штиинца, 1972,227с.

3. Вагнер В.В. Диаграммируемые полугруппы и обобщенные группоиды. -Изв. вузов. Математика, 1967, №10, с.11-23.

4. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебры частичных отображений.-В кн„: Теория полугрупп и ее приложения. Вып. I. Саратов: Саратовск. ун-т, с. 3-178.

5. Глускин Л.М. Суперпозиция многоместных функций.- Publ. Math.Debrecen, 1970, vol.17, N1-4, p.349-378.

6. Глускин Л.М. О плотных вложениях. -Матем. сб., 1963, т. 61,2, с.175-206.

7. Гретцер Г. Общая теория решеток. -М.:Мир, 1981.- 456с.

8. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп.М.: Мир, 1972, т.1, -285с.

9. Кон П.М. Универсальная алгебра. -М.:Мир, 1968, -352с.

10. Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года.М.: Наука, 1974, -160с.

11. Мальцев А.И. Итеративные алгебры и многообразия Поста.Алгебра и логика, 1966, т.5, №2, с.5-24.

12. Оре 0. Теория графов. 2-е изд. -М.: Наука, 1980,-336с.

13. Пёшель Р. Число максимальных замкнутых относительно суперпозиции классов функций над конечным семейством конечных множеств.-Кибернетика, 1975, №5, с.43-48.

14. Рабен А. О плотно вложенных идеалах категорий, -В кн.: Исследования по алгебре. Сб. статей Саратовск. ун-та. Саратов, 1969, с.41-51.

15. Рабен А.И. О категории всех множеств. -В кн. Труды молодыхученых. Мат. и мех. Саратовск. ун-та. Саратов, 1969, с. I04-110.

16. Реди Э. Одностронние идеалы симметрических поликатегорий.Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1974, т. 336, с. 31-61.

17. Реди Э. О симметрических поликольцоидах.- Уч. зап. Тартуск.ун-та, 1974, т. 336, с. 62-99.

18. Реди Э.Р. Свободные поликольцоиды типа и представлениеполикольцоидов типа £ .- В кн.: Второй всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Резюме сообщений. Кишинев, 1974, с. 179.

19. Реди Э. О поликатегории многоместных отношении и поликольцоиде частичных многоместных функций.- Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1975, т. 366, с. 3-25.

20. Реди Э. О представлении поликольцоидов.- Уч. зап. Тартуск.ун-та, 1976, т. 390, с. 43-55.

21. Реди Э.Р» Абстрактная характеристика поликатегории многоместных отношений. В кн.: Третий всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Резюме сообщений. Тарту, 1976, с. 80-81.

22. Реди Э.Р» 0 многоосновных линейных -ft-алгебрах и линейныхполикольцах.- Там же, с. 82.

23. Реди Э. О плотно вложенных правых идеалах поликатегорий.В кн.: Материалы конференции "Методы алгебры и функционального анализа при исследовании семейств операторов" 24-26. ноября 1978. Тарту, 1978, с. 97-99.

24. Реди Э. Главные правые и главные строгие правые идеалы вполикатегориях.- В кн.: Теоретические и прикладные вопросы математики. Тезисы конференции Тартуск. ун-та. Тарту, 1980, с. 35-37.- ±чс

25. Реди Э. Свободные произведения поликольцоидов. В кн.: Пятый всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. (Новосибирск, 21-23 сент. 1982 г.) Тезисы сообщений. Новосибирск, 1982, с. III.

26. Реди Э. Идеальные классы симметрических поликатегорий.Proc. of the Symposium "n-ARY STRUCTURES", Skopje,1982,p.28.

27. Реди Э. Главные левые идеалы и о£-эквивалентность Грина вполикатегориях. Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1983, т. 640, с. 48-59.

28. Реди Э. Изотопия в поликатегориях. Уч. зап. Тартуск. ун-та,1983, т. 640, с. 60-67.

29. Реди Э. $)- и ft-классы в позиционной алгебре логики. Вкн.: Тезисы докладов конференции "Методы алгебры и анализа". 28-30 сентября 1983, Тарту, 1983, с. 17-19.

30. Страздинь И. Подалгебры в алгебре булевых функций трех переменных. Автоматика и вычисл. техника, Рига, 1962, т. 3, с. 35-53.

31. Трохименко B.C. Позиционные системы многоместных функций.В кн.: Исследования по теории квазигрупп и луп. Кишинев, 1973, с. 165-174.

32. Хенно Я.А. Эквивалентности Грина в системах Менгера. Уч.зап. Тартуск. ун-та, 1971, т. 277, с. 37-46.

33. Хенно Я.А. Плотно вложенные правые идеалы систем Менгера.Изв. АН Эст.ССР. Физ.-мат., 1972, т. 21, А^ 2, с. I3I-I4I.

34. Хенно Я.А. 0 плотных вложениях в системах Менгера. Изв.АН Эст.ССР. Физ.-мат., 1972, т. 21, № 3, с. 231-238.

35. Хенно Я.А. Свободные Л-системы. Тр. Таллинск. Политехи.ин-та, А., 1973, т. 347, с. 29-40.

36. Хион Я.В., 51.-кольцоиды, Л-кольца и их представления.Московск. матем. о-ва, 1965, т. 14, с. 3-47.

37. Хион Я.В. m-арные Л-кольцоиды. -Сиб. матем. ж., 1967,т.8, И, с.174-194.

38. Хион Я.В. Q -системы. -В кн.:Межвуз. научн. симпозиум по общей алгебре. Тарту, 1966, с.123-129.

39. Хион Я.В. Поликольцоиды. -В кн.: 1У Всесоюзный коллоквиум пообщей алгебре. Резюме сообщений. Гомель, 1968, с.198-199.

40. Хион Я.В. Обобщенных системах Менгера. -В кн.: Первый всесоюзный симпозиум по теории полугрупп. Свердловск, 1969, с. 78-79.

41. Чупона Г. За алгебрите на смеетуваньа.- Годиш.зб. Прир. мат.фак. Ун-т Скоп е, 1970, т. 20, А, с. 15-24.

42. Шеврин Л.Н. Плотно вложенные идеалы полугрупп.- Матем. сб.,1969, т.79, №3, с.425-432.

43. Brandt, Н. Uber eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffs.Math. Ann., 1926, Bd.96, Б.З6О-З66,

44. Gratzer, G. Universal algebra.- 22<tedit.-1978, '581 p-.

45. Hasse, K., Michler, L. Theorie der Kategorien.- Berlin: DVW,1966,- 358S.

46. Higgins, P.J, Algebras with a Scheme of Operators.- Math.Nachr., 1963, Bd. 27, N 1-2, S. 115-132.

47. Menger, K. Strpperassociative systems and logical functors,Math. Ann., 1964, Bd. 157, S. 278-295.

48. Nobauer, W., Philipp, W., Die Einfachkeit der mehrdimensionalen Punktionenalgebren.- Arch. Math., 1964, Bd.5, N1, S.1-5.

49. IJobauer, V/. Uber die Automorphismen von Kompositionalgebren.-Acta math. Acad. sci. Hungar., 1975, Bd. 26, N3-4, S. 257-278.

50. Poschel, R. Postsche Algebren von Punktionen uber einerParailie endlichen Mengen. Z. Math. Log. u. grundl.Math., 1973, Bd. 19, N1, S. 37-74.

51. Poschel, R., Kaluznin L.A. Funktionen- und Relationenalgebren.- Berlin: DW, 1979. 262 S.

52. Schweizer, В., Sklar, A. The algebra of multiplace vectorvalued functions.- Bull. Amer. Math. Soc., 1967, vol. 73, N4, p. 510-514.

53. Szabo, M.E. Polycategories. Communs Algebra, 1975, vol.3,Ш8, p„ 663-689.

54. Whitlock, H.I. A composition algebra for multiplace functions,, Math. Ann., 1964, Bd. 157, Iff2, S. 167-178.

55. Henno, J. The depth of functions in many-sorted logic.Colloq. Math. Soc. J.Bolyai 28. Finite algebra and multiple-valued logic. Szeged (Hungary), 1979, p. 333-343.