Положительные элементы и рациональные множества в группах

Воронина, Ольга Александровна

Положительные элементы и рациональные множества в группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Воронина, Ольга Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Омск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Положительные элементы и рациональные множества в группах»

Автореферат диссертации на тему "Положительные элементы и рациональные множества в группах"

005009746

На правах рукописи

Воронина Ольга Александровна

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА В ГРУППАХ

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 6 Я И В Ш2

Омск-2012

005009746

Работа выполнена на кафедре информационных систем института математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО "Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Романьков Виталий Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Мартынов Леонид Матвеевич кандидат физико-математических наук Трейер Александр Викторович

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО "Новосибирский государственный технический университет".

Защита состоится 1 марта 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644099 Омск, ул. Певцова, 13, к. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета имени Ф. М. Достоевского.

Автореферат разослан «48 » января 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

А.М. Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время теория групп является одним из самых развитых разделов алгебры, имеющим многочисленные приложения как в различных областях математики, так и за ее пределами.

Одно из наиболее актуальных направлений исследований в теории групп определяется различными вопросами о каноническом представлении элементов группы и ее подмножеств тем или иным эффективным способом. Это определяет связь теоретико-групповых проблем с проблемами теории формальных языков.

Комбинаторная теория групп, основы которой изложены в монографиях Магнуса, Карраса, Солитера1, Линдона, Шуипа", связана с представлениями групп через порождающие элементы и определяющие соотношения. Особое значение в ней придается конечным представлениям и соответственно конечно определенным группам. Многочисленные примеры таких групп представлены в книге Коксетера, Мозера3. Исторический обзор содержится в очерке Чандлера4. При данном подходе выделяются группы, допускающие нормальные формы элементов, эффективные переписывающие процессы II т.п.

Группы также могут задаваться порождающими элементами в некоторых известных группах - матричных, фундаментальных группах топологических пространств, группах, действующих на деревьях, группах автоморфизмов групп или других алгебраических структур и т.п. Подмножества свободного моноида называется языками. Среди них выделяются, например, регулярные (рациональные) языки и их различные обобщения. Классическая теория полугрупп исследует регулярные множества и конечные автоматы. Теорема Клини устанавливает связь между этими понятиями. См. по этому поводу монографии Айленберга5, Харрисона6, Ревеса7, Карпова8.

Данное направление получило также свое теоретико-групповое развитие. Во многом этому способствовали известные лекции Гилмана9.

1 Магнус В., KappacJI., Солитер Д. Комбинаторная теория групп// М.: Наука, 1974.

: Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп// М.: Мир, 1980.

3 Coxeler H.S.M., Moscr W.O.J. Generators and relations for discrete groups// Springer-Verlag, New York - Heidelberg, 1972.

4 Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп// Очерк истории развития идей. М. Мир, 1985.

5 Eilenberg S. Automata, Languages, and Machines, A and B// New York: Academic Press, 1974.

6 Harrison II. Introduction to Formal Language Theory// Addison-Wesley Reading, MA., 1979.

7 Revesz G. Introduction to Formal Languages // McGraw Hill, New York, 1983.

8 Карпов Ю. Г. Теория автоматов// СПб.: Питер, 2002.

9 Oilman R.H. Formal Languages and Infinite Groups// DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical computer science, AMS. - 1996, v. 25,27 - 51.

В теоретико-фупповом контексте одним из подходов является рассмотрение формальных языков вместе с гомоморфизмами в группы. В частности, одна из известных задач - нахождение формальных языков из некоторого класса (например, рациональных), которые отображаются на фуппу биективно. С другой стороны, рациональные множества можно рассматривать непосредственно в группах, являющихся частным случаем моноидов. Подобные исследования представляют самостоятельный интерес. Укажем, например работы10.

В настоящей работе изучаются положительные элементы свободных абелевых групп и группы Гейзенберга, а также рациональные подмножества разрешимых групп. Понятия положительного и потенциально положительного элемента свободной группы дано А. Мясниковым, В. Шпильрайном в известном сборнике нерешенных проблем теории групп - «Open problems in combinatorial and geometric group theory»11. Нами рассматривается естественное обобщение этих понятий на произвольные группы. Мы также несколько изменили терминологию, говоря об элементах положительных относительно данной системы порождающих элементов и положительных элементах.

Основными результатами в этой части работы является критерий одновременного приведения к положительному виду конечного набора элементов свободной абелевой группы и описание положительных элементов группы Гейзенберга. Заметим, что группа Гейзенберга (свободная нильпотентная группа ранга 2 ступени нильпотентности 2) достаточно известна не только в математике, но и в физике. Группа Гейзенберга и ее обобщения используются в алгебраической геометрии, квантовой механике, ей посвящены специальные статьи и монографии.

Вторая часть работы связана со следующей гипотезой В.А. Романькова.

Гипотеза. Если в конечно порожденной разрешимой группе G все

10 Bazhenom G. A. Rational sets in polycyclic groups// Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999.76 - 81. Herbst Т., Thomas R.M. Group presentations, formal languages and characterizations of one-couter group//Theoret. Comput. Sci. v. 112. 1993, 187-213.

Kambites M„ Silva P. V., and Steinberg B. On the rational subset problem for groups // Journal of Algebra. 309, 2007. 622-639.

Roman'kor V. A. On the occurrence problem for rational subsets of group// Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 235 - 242. Недбай М.Ю. Некоторые свойства рациональных множеств в группах// Международный семинар по теории групп. - Екатеринбург, 2001, 158-160.

Иеддап М.Ю. О высоте рациональных подмножеств в группах// Вестник Омского университета. Вып. 4. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2000,11-13.

" Bawnslag G.. Myasnikm А. С.. Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory, second edition, from: "Combinatorial and geometric group theory (New York. 2000/Hoboken. NJ, 2001)". // Contemp. Math. 296. Amer. Math. Soc.. 2002. Problem F34. 1-38.

рациональные подмножества образуют булеву алгебру, т.е. замкнуты относительно теоретико-множественных операций объединения (это всегда выполняется по определению), пересечения и дополнения, то группа (7 почти абелева, т.е. содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Заметим в этой связи, что в любой конечно порожденной почти абелевой группе все рациональные подмножества булеву алгебру образуют. То же самое можно сказать о свободных моноидах и свободных группах. Г.А. Баженова12 доказала, что класс групп с отмеченным свойством замкнут относительно свободных произведений и конечных расширений. Однако в классе конечно порожденных разрешимых групп все известные примеры групп с этим свойством почти абелевы. Г.А. Баженова установила в своих работах13, что любая нильпотентная, полициклическая, метабелева группа с этим свойством почти абелева. Она также доказала, что конечно порожденные разрешимые группы конечного ранга с этим свойством почти абелевы. В целом, однако, гипотеза В.А. Романькова остается открытой.

В работе рассмотрены конечно порожденные матричные группы и нильпотентные расширения абелевых групп. Для них доказаны теоремы, аналогичные теоремам Г.А. Баженовой. Также рассмотрены рациональные подмножества 4-порожденной прямоугольной группы Коксетера.

Основной целью работы является изучение положительных элементов и рациональных подмножеств в группах.

Методика исследования ориентирована на использование методов теории групп и теории определяющих соотношений, а также теорию конечных автоматов.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Найдены необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап

13 Баженова Г. А. О рациональных множествах в разрешимых группах. Кандидатская диссертация// Омск: ОмГУ, 1999.

13 Badienova G. A. Rational sets in polycyclic groups// Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999,76-81. Баженова Г. А. Замкнутость одного класса групп относительно свободного произведения// Сиб. матем. жури., 2000,4, №41,740-743.

Баженова Г. А. О регулярных множествах в группах// Kurosh Algebraic Conference '98, МГУ, Москва, 1998, 137-138.

Баженова Г. А. О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах// Алгебра и логика. №.4, №39, 2000, 379 -394.

(векторного пространства <2" или Я") к положительному виду.

2. Описаны положительные элементы группы Гейзенберга.

3. Доказано, что если в прямом произведении конечно порожденной разрешимой группы С с бесконечной циклической фуппой X все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа С почти абелева.

4.Доказано, что если в конечно порожденной группе С, являющейся матричной группой или нильпотентным расширением абелевой группы, все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа С почти абелева.

5. Доказано, что рациональные подмножества 4-порожденных прямоугольных групп Коксетера образуют булеву алгебру.

Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях рациональных подмножеств в группах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (г. Казань, 2011 г.), а также на Омском алгебраического семинаре.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах ([1] - [5]).

Структура работы. Диссертация изложена на 66 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, структурированные по пунктам. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. Все определения и замечания имеют сквозную нумерацию. Также сквозную нумерацию имеют все теоремы, леммы. Каждая глава диссертации начинается с предварительного параграфа, где вводятся основные определения. Список литературы содержит 36 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе приведены определения положительных элементов в группах и векторных пространствах. Даны необходимые понятия и факты об одновременном приведении элементов к положительному виду и о порождающих множествах произвольной нильпотентной группы. Основным результатом этой главы являются необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап (векторного пространства д" или я") к положительному виду и описание положительных элементов группы Гейзенберга.

Сформулируем основные определения первой главы.

Пусть <7 - произвольная группа.

Определение 1. Если М произвольная часть группы G, то пересечение гр(М) всех подгрупп содержащих М называется подгруппой, порожденной множеством М. В этом случае М называется порождающим множеством подгруппы гр(м). Элементы множества М называются порождающими элементами подгруппы гр(м). В частности, если G = гр(м), то М называется порождающим множеством группы G. Группа, обладающая конечным порождающий множеством, называется конечно порожденной.

Если М подмножество группы G, то

гр{м) = |д<'|а, е М,е, =±1,/ = 1,...,ш|.

Определение 2. Множество М элементов группы G называется минимальным порождающим множеством группы G, если любое собственное подмножество M'czM порождает собственную подгруппу гр(М') группы G.

Определение 3. Порождающее множество М конечно порожденной группы G называется минимальным по числу элементов, если его мощность наименьшая среди всех порождающих множеств группы G.

Следующие определения введены А. Мясниковым и В. Шпильрайном в известном сборнике «Open problems in combinatorial and geometric group theory»14 нерешенных проблем в теории групп. Определение 4. Элемент и свободной группы Fn с фиксированным множеством свободных порождающих Хп = {а,, л'„} называется положительным элементом, если в редуг/ированной записи и в этих порождающих нет отрицательных степеней.

Определение 5. Элемент и называется потенциально положительным, если он положителен в некоторой системе свободных порождающих Yn ={уР •■•>}'„} группы Fn. Эквивалентно, если существует автоморфизм <р группы Fn такой, что и положителен относительно множества свободных порождающих <р{Хп) = {<р(х1),ср{хн)}.

Мы будем говорить о положительных относительно множества Xti элементах и, соответственно, о положительных элементах группы Fn, опуская слово "потенциально". Более того, если дана произвольная конечно порожденная группа G с множеством ее порождающих элементов Хп ={xi,...,xll}, то элемент и группы G будем называть

14 Baiunslag G„ Myasnikov A. G„ Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory, second edition, from: "Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001)", // Contemp. Math. 296, Amer. Math. Soc., 2002, Problem F34. 1-38.

положительным относительно Хп, если его можно записать как положительное (т.е. полугрупповое) слово от порождающих Х„. Как правило, мы будем выбирать в качестве Хп минимальное по числу порождающих элементов множество.

Соответственно, элемент и конечно порожденной группы С называется положительным, если существует минимальное по количеству элементов порождающее множество Хп группы С, относительно которого и положителен.

Пусть Ап - свободная абелева группа с множеством свободных порождающих (базисом) Вп Любой элемент а группы Ап

однозначно записывается в виде

а = Ьр •...■(1) где к1,к2,...,кП целые числа. Другими словами при фиксированном базисе Вп - группы Д, любой элемент представляется в виде

набора {кх,к2,...,кп)е.71'. Имеется естественный изоморфизм Лп — 2", при котором элементу а соответствует набор (к,,..., кп)е 2" из (1). Определение 6. Элемент а группы Д будет положителен относительно /?„, если соответствующий набор (к1,к2,...,к11) положителен, т.е. /с, >0 для всех ( = 1,2,...,п. Элемент а группы Д, будет положителен, если существует базис Вп, для которого а положителен.

Это определение можно естественно расширить до случая линейного пространства (У' размерности п над полем б рациональных чисел или Я" над полем /? вещественных чисел. В этом случае элемент а = (к1,к2,...,кп)е()" (или /?") положителен относительно стандартного базиса, если >0 для г' = 1,...,и.

Лемма 1. Любой элемент свободной абелевой группы Д = 2" или векторных пространств £>" и Я" положителен.

Также рассматриваем свободную абелеву группу Д с

фиксированным базисом В„ = Ь2,...,Ь„}, и её рациональное и вещественное пополнения 2" и /?", соответственно. Определение 7. Будем говорить, что набор элементов а],а1,...,ак свободной абелевой группы Ап (одного из векторных пространств £?" или /?") одновременно приводится к положительному виду, если существует такой базис группы Д (пространства О," и Я")> в котором все элементы ага2,...,ак положительны.

Эквивалентно, набор а1,а1,...,ак одновременно приводится к положительному виду, если существует автоморфизм (р группы Ап (векторного пространства ()" или Л") такой, что элементы а,,а2,...,ак положительны относительно базиса <р{Вп) = {(р{Ьх), ...,(р(Ь:1)}.

Основные результаты первого параграфа первой главы. Определение 10. Набор элементов а1,а2,...,ак группы Ап-2" (векторного пространства 0" или Л") называется подозрительно

линейно независимым, если из равенства 1 аг, • а, = 0, где >0 для всех / = 1 ,...,к следует, что а1 = 0 для всех ¡ = 1,...,к . Здесь «г. натуральные числа (соответственно, неотрицательные рациональные или вещественные числа). В противном случае набор элементов а[,а1,...,ак называется положительно линейно зависимым.

Заметим, что положительно линейно зависимый набор, ненулевых векторов, не может быть приведен к положительному виду. Действительно, положительные в некотором базисе ненулевые элементы, не могут быть положительно линейно зависимыми, и это свойство не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим вначале случай векторных пространств. Теорема 2. Набор ненулевых элементов «,,векторного

пространства б" или /Г одновременно приводится к положительному виду тогда и только тогда, когда он положительно линейно независим.

В доказательстве существенно используется теорема Хана-Банаха, относительно которой см., например Берже 5.

Перейдем теперь к случаю свободной абелевой группы Ап. Теорема 3. Набор ненулевых элементов а,, а2,..., ак свободной абелевой группы Аи - Т' приводится к положительному виду тогда и только тогда, когда он положительно линейно независим.

Следующая часть работы посвящена описанию положительных элементов группы Гейзенберга.

Определение II.16 Пусть С группа. Нормальный ряд

!<...< Сп < <.... < С называется центральным, если все его факторы центральны, т.е любой фактор С1+|/С(. лежит в 'А(С/С.) -центре фактор группы СI Сг

Определение 12.16 Группа С называется нильпотентнои, если она обладает центральным рядом конечной длины 1 = С0 < С, <... < = С . Очевидно, что подгруппы, фактор группы и декартовы произведения

15 Берже М. Геометрия Т-1// М.: Мир, 1984.

16 Каргаполов М.И., Мерников Ю.И. Основы теории групп// 3-е изд., М.: Наука. 1982.

нильпотентных групп ступени не выше, чем к, также нильпотентны ступени не выше, чем к. Все такие группы по теореме Биркгофа17 образуют многообразие t]k.

Обозначим через Nrk свободную группу многообразия Т]к ранга г . Она называется свободной нильпотентной группой pama г ступени нильпотентности к.

Примерами нильпотентных групп служат конечные ^-группы, где р-простое число (см., например, [5]), и группы UTn(K) унитреугольных матриц над ассоциативным кольцом К с 1 размера п. Для определенности мы рассматриваем нижние унитреугольные матрицы, в которых по определению на главной диагонали стоят единицы, а выше нее - нули. Аналогично можно рассматривать группы верхних унитреугольных матриц, изоморфные соответствующим группам нижних унитреугольных матриц. Группы UTn(K) нильпотентны ступени п-1. Нижним и одновременно верхним центральным рядом группы UTn(K) служит ряд UTii(K)>UT,1{K)>K>UTii;(K)>K>UT;-[(K) = 1, где UT'(K) состоит из всех матриц, в которых первые i побочные диагонали нулевые.

Среди групп унитреугольных матриц выделяется группа UT}(Z), которая называется группой Гейзенберга. Группа UT}(Z) изоморфна группе N22. В качестве свободных порождающих группы UT3(Z) можно взять стандартные трансвекции í2l и í32. Центр группы Í/T3(Z) -бесконечная циклическая группа, порожденная трансвекцией /3|. Любой элемент g группы í/r,(Z) однозначно представим в виде g = bVÍRií' где k¡,k2, къ е Z.

Рассмотрим группу UTJZ). Определим матрицы вида t¡j(a) = e + ae¡j, для любого «е Z. Мы также называем такие матрицы трансвекциями. В частности, f,y=f,y(l) (i ^ j). Здесь ei;/ означает матричную единицу, т.е. матрицу, у которой на пресечении i -й строки и j -го столбца стоит 1, а на остальных местах 0. Легко видеть, что

/,у(ог)=/" для ае Z. Также tij{a)iii{p) = tij{a + /?) для «,/?е Z.

Групповые операции над трансвекциями определяются только что приведенными соотношениями и известными формулами умножения матричных единиц: = e¡k, ецеск = 0, при .

Говоря о порождающих множествах произвольной нильпотентной группы G, отметим следующий факт.

17 Биркгоф Г. Теория структур// М.: 1952.

Лемма 2. Множество элементов порождает нильпотентную группу С тогда и только тогда, когда образы этих элементов порождают абелеву фактор группу С ) С'.

Отсюда следует, что минимальное порождающее множество нильпотентной группы С соответствует минимальному порождающему множеству фактор-группы С/С'.

Для группы иТп(7?\ минимальное порождающее множество состоит из п-1 элемента. В часности, группа иТ„{2) порождена трансвекциями ( , / = ],...,«-]. Матрицы Д,..., е ит„{2) составляют минимальное порождающее множество группы ИТп ('¿) тогда и только тогда, когда матрица размера (п-1)х(я-1), составленная из элементов их 1-х побочных диагоналей обратима над Ъ.

Если С = Nл - свободная нильпотентная группа ранга г ступени к, то Л^/Л^ есть свободная абелева группа Аг ранга г. Поэтому минимальное порождающее множество группы состоит из г

элементов множества свободных порождающих группы.

Далее мы дадим полное описание элементов группы Гейзенберга С, положительных относительно стандартных множеств порождающих элементов. Мы называем систему gl,g2 порождающих элементов группы С стандартной, если она имеет вид = ?,,(£•,), д2 =/32(^2), где

Лемма 3. Элемент gr{^n,l) =

1 0

группы С, где т, IФ 0,

т 1 0 г I 1

V /

является положительным относительно одной из систем стандартных порождающих, тогда и только тогда, когда г находится в замкнутом интервате с границами 0, т1.

Перейдем к рассмотрению положительных матриц относительно произвольных минимальных порождающих множеств. Теорема 4. Любая матрица §г{т,1)е.О при |т| + |/|*0 является положительной.

Во второй главе рассмотрены конечно порожденные матричные группы и нильпотентные расширения абелевых групп, а также прямоугольные группы Коксетера.

Определение 13.9 Пусть М - произвольный моноид (полугруппа с единицей). Тогда рациональные подмножества моноида М определяются по следующим правилам:

18 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп// 3-е изд.. М.: Наука, 1982.

19 Баженова Г. А. О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах// Алгебра и логика. Т.4. №39.2000.379 - 394.

/)Конечные подмножества M являются рациональными.

2)Если множества R и S рациональны, то их объединение RYS,

произведение RS, а также «звездное замыкание» R* = {l}YY^/?'

являются рациональными. (Заметим, что R* - это подмоноид, порожденный R.)

3)Всякое рациональное множество получается из конечных множеств с помощью конечного числа операций, описанных в пункте 2).

В частности, если M - это конечно порожденный свободный моноид, то рационачьные подмножества M называются рациональными языками (а произвольные множества M - формачьными языками).

Утверждение I20 Пусть G - группа, и рационачьные подмножество RœG содержится в подгруппе H <G. Тогда R рационально в H.

Будем в дальнейшем говорить, что группа является RSBA-группой (или обладает свойством RSBA), если её рациональные подмножества -булева алгебра. Предложение 1.

I ) Конечные группы обладают свойством RSBA. (очевидно.)

2) Класс RSBA-групп замкнут относительно свободного произведения.'1

3) Почти RSBA -группа является RSBA-группой,21

В частности, свободные группы принадлежат данному классу

Приведем несколько утверждений 2, 3, 4, 5, на которые мы будем в дальнейшем опираться, при получении основных результатов Теорема 5, Лемма 4, Теорема 6.

Утверждение 2.22 Пусть G - группа, и подмножество RçzG рационачьно. Тогда подгруппа порожденная множеством R, также является рациональным подмножеством G.

Следующий факт, показывает, что при поиске групп, классы рациональных подмножеств которых являются булевыми алгебрами, достаточно ограничиться рассмотрением конечно порожденных групп. Утверждение З.22 Пусть G - группа, и H < G ее подгруппа. Тогда H является рационачьным подмножеством G в том и только в том случае, когда H конечно порождена. В частности, если рационачьные подмножества G - булева ачгебра, то G = G\0- рационачьное подмножество G, и потому конечно порождена. Следующее утверждение является следствием утверждений 1 и 3. Утверждение 4.22 Пусть G - группа, и H <G ее подгруппа. Если

20 Баженова Г. А. О регулярных множествах в группах// Kurosh Algebraic Conference '98, МГУ, Москва, 1998,137-138.

21 Roman kov V. Д. On the occurrence problem for rational subsets of group// Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999,235 - 242. ~ Gilrnan R.H. Formal Languages and Infinite Groups// DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical computer science, AMS. - 1996, v. 25,27 - 51.

рациональные подмножества С образуют булеву алгебру, то и рациональные подмножества Н образуют булеву алгебру.

Следующее утверждение содержит в себе сводку результатов о разрешимых группах, классы рациональных подмножеств которых являются булевыми алгебрами. Утверждение 5.

1) Пусть О - полициктческая или конечно порожденная метабелева (в частности конечно порожденная нильпотентная) группа, рациональные подмножества которой образуют булеву алгебру. Тогда С почти абелева21

2) Если группа С - почти абелева, то ее рациональные подмножества - булева алгебра.24

Теорема 5. Пусть С - конечно порожденная разрешимая группа, и рациональные подмножества прямого произведения 0x2 - булева алгебра. Тогда С почти абелева.

Следующая Лемма 4 используется для доказательства Теоремы 5. Лемма 4. Пусть (в контексте доказательства данной теоремы) группа М с условием Н'<М<Н локально почти абелева, и # е И.

Тогда группа М, =< М, # > локачьно почти абелева. Утверждение 6 (следствие теоремы 5) Если конечно порожденная разрешимая группа С разлагается в прямое проезведение С = С, х С2, где обе группы и £7, бесконечны, и рациональные подмножества группы С - булева алгебра, то С почти абелева.

По поводу Теоремы 5 также заметим, что, по Утверждению 4, условие «рациональные подмножества Сх2 - булева алгебра» влечет условие «рациональные подмножества С - булева алгебра». Теорема 6. Пусть в - конечно порожденная разрешимая группа, рациональные подмножества которой являются булевой алгеброй, и пусть существует такая нормальная абелева подгруппа А группы С, что й / А нильпотенпиш. Тогда С почти абелева. Теорема 7. Пусть С - конечно порожденная разрешимая подгруппа матричной группы СЬп{£2), где О, - поле характеристики ноль, и рациональные подмножества группы б - булева алгебра. Тогда С почти абелева.

Сформулируем для дальнейшего использования несколько базовых фактов о группах Коксетера.

23 Баженова Г. А. О рациональных множествах в разрешимых группах. Кандидатская диссертация//Омск: ОмГУ, 1999.

24 Баженова Г. А. О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах// Алгебра и логика. Т.4. №39. 2000.379 - 394.

Определение 15. Группа Коксетера - группа с отмеченной системой образующих < х; | (6 / > допускающая определяющую систему

соотношений (л;, х]= 1, /, у е /, где п„= 1 (так что л,2 = 1 при любом /) и пц =Иу, при ) - целое число >2 или оо (в последнем случае соотношения между х, и ху нет).

При этих условиях щ совпадает с порядком элементах^. Если Пц= 2, ТО X; и X] коммутируют.

Обозначим символом С/г„ п - порожденную прямоугольную группу

Коксетера, заданную диаграммой, которая представляет собой цепочку. Определение 16. Прямоугольной группой Коксетера называется группа, заданная конечным представлением следующего вида:

С=<х1,...,х11 =1, ( = 1,...,п; х1х1 =х]хп {¿,у'}е/>, где I - произвольно

заданное множество пар индексов /, у таких, что 1 < /, у < п и ¿' Ф у.

Предложение 2.

1) Геодезическими в графе Кэли для канонического представления прямоугольной группы Коксетера < X | Я > являются те и только те слова, которые не содержат подслова вида аЬ^.^а, 1> 0, где а,Ь, е Х - порождающие буквы, и для каждого 1 </</ представление группы < X | /? > содержит соотношение аЬ: = 1га. (Геодезическая -это кратчайшее из слов, представляющих некоторый заданный элемент группы.)

2) Две геодезические в < X | /? > представляют один а тот же элемент группы тогда и только тогда, когда одна получается из другой серией перестановок соседних букв, коммутирующих друг с другом согласно соотношениям из Я.

3) Если < X | Л > - каноническое представление прямоугольной группы Коксетера, и КсХ, то подгруппа, порожденная У, изоморфна <У\Я' >, где множество соотношений Я' получается из Я удалением всех соотношений, содержащих буквы, не принадлежащие У.

4) Пусть < А и В | Я > - каноническое представление прямоугольной группы Коксетера, причем АглВ = &), и Аф0фВ. Если каждая буква из А коммутирует с каждой буквой из В согласно соотношениям Я, то данная группа изоморфна прямому произведению подгрупп, порожденных множествами А и В.

5) Пусть < А и В | Я > - каноническое представление прямоугольной группы Коксетера, причем АпВ=0, и АФ0Ф В. Если никакая буква из А не коммутирует ни с какой буквой из В согласно соотношениям Я, то данная группа изоморфна свободному произведению подгрупп, порожденных множествами А и В.

В данной главе рассматриваются рациональные подмножества 4-порожденных прямоугольных групп Коксетера.

Рассмотрим группу С/і4, порождающие которой будем обозначать буквами а,Ь,с,<1:

СІі4 —<а,Ь,с,сі\а2=Ь1=с1=(і1 = 1 ;аЬ = Ьа, Ьс = сЬ, сс/ = сіс >. Существует естественный гомоморфизм <р\{а,Ь,с,сі}* -»СІі4. Вначале мы построим рациональный язык с, такой что

(р-.Ь—>СЛ4 -биекция.

Определение 18. Словом вида (1) назовем произвольное слово, принадлежащее языку {є,с]{ас) а.

Словом вида (2) назовем произвольное слово, принадлежащее языку {е,Ь\(1Ъ)"с!.

Словом вида (3) назовем произвольное слово, принадлежащее множеству {е, Ь, с, Ьс\.

Словом вида (*) назовем произвольное слово, имеющее вид Мі К ыпа), где п> О, 6) - слово вида (3), а каждое слово и>;, і = ],...,/), имеет вид (1) или (2), причем либо все ил с нечетными индексами і имеют вид (1), а все с четными индексами і имеют вид (2), либо наоборот, слова и;, с четными индексами имеют вид (I), а слова и^ с нечетными индексами

имеют вид (2). Язык Ь с {а, /?, с\ (¡} - это язык, состоящий из всех слов вида (*).

Предложение 3.

1) Любое слово вида (*) - геодезическая в СІі4.

2) Отображение (р\Ь-^С1іА является отображением "на".

3) Если два снова н = и',К п'(|<и, и у = и(К щоз, вида (*) равны, то п = к, = її'',К , и»,, = и'', а=а>.

4) Если два слова и и V вида (*)различны, то <р{и)ф (р{у).

5) Язык £ рационален, и <р:Ь—>С1гл - биекция.

Сформулируем и докажем несколько утверждений о приведении слов языка \а,Ь, с, (і] к некоторому стандартному виду так, что задаваемый словом элемент группы при этом не изменяется.

Лемма 5. 1) Если /? с {а, Ь, с} - рационачьный язык, то существует рациональный язык /?' с {я, с} {є, Ь} такой, что <р(м) = <р(К'). 2) Если Л є {¿>, с, ¿/} -рационаїьньпі язык, то существует рациональный язык /?' с {Ь, с} такой, что (р(и) =

Лемма 6. 1) Если R с: {а, с} {е, b] - рагщонадьный язык, то существует рациональный язык R' c,\e,c\acf\ß,a$£,b\ такой, что <p(R)=(p(R'). 2) Если R с {¿>, ¿/}* {с, с} - рациональный язык, то сугцествует такой рациональный язык R' с {е, b\db) {f, d]{e, с}, что (p{R.)~ <p{R'). Лемма 7.1) Если Rc - рациональный язык, то

существуют такие рациональные языки /?,, R2, R}, R4, Rs, что R = RfYR,bYR3cYR4cbYRs, и языки Ri, / = 1,2,3,4, состоят из слов вида (1), a rsq {с, ь, с, cb}.

2) Если R с \е, c-)[acj {¿\ a^f, b} - рациональный язык, то существуют такие рациональные языки /?,, R2, /?3, Rs, что R = R,YR2bYR3cYR4bcYR5, и языки Rn < = 1,2,3,4, состоят из слов вида (2), afi5c {¿г, Ь, с, Ьс].

Теорема 8. Пусть язык R с {а, Ь, с, d} рационален. Тогда существует такой рациональный язык R', состоящий из слов вида (*), что (p{R') = cp{R).

Предложение 4. Класс рациональных подмножеств группы ChA является булевой алгеброй.

Публикации автора по теме диссертации

[1]Юрак O.A. Об одновременном приведении элементов абелевых групп к положительному виду// Вестник Омского университета №3, Омск, 2006, 18-20.

[2] Юрак O.A. Об одновременном приведении элементов абелевых групп к положительному виду II// Вестник Омского университета №4, Омск, 2006,15-16.

[3] Юрак O.A. Положительные элементы группы Гейзенберга. Positive elements of the Heisenberg group are completely described// Вестник Омского университета №2, Омск, 2008, 16-18.

[4] Воронина O.A. О рациональных подмножествах разрешимых групп// Материалы международной конференции «Алгебра и математическая логика», Казань: КФУ, 2011, 69-70.

[5] Воронина O.A. О рациональных подмножествах разрешимых групп// Вестник Омского университета №2, Омск, 2011, 19-23.

Воронина Ольга Александровна

Положительные элементы и рациональные множества в группах

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12.01.2012 г. Формат бумаги 60x84 1/16 Печ.л.1. Уч.-изд.л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ №21.

Отпечатано в Цифровой типографии «ПРИНТА» тел. (7152)46-65-93 150000, Республика Казахстан, г. Петропавловск, ул. Жумабаева. 107.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Воронина, Ольга Александровна, Омск

61 12-1/565

ФГБОУ ВПО "Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского" Министерство образования и науки РФ

На правах рукописи

Воронина Ольга Александровна

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ

МНОЖЕСТВА В ГРУППАХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук

профессор В.А. Романьков

Омск-2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................................................................................3

ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ВИДА В ГРУППАХ.......9

1.1 Основные определения........................................................................9

1.1.1 Порождающие множества...............................................................9

1.1.2 Положительные элементы в группах............................................10

1.1.3 Положительные элементы в свободных абелевых группах и векторных пространствах...........................................................................12

1.2 Одновременное приведение элементов абелевых групп и векторных пространств к положительному виду....................................15

1.2.1 Основные определения..................................................................15

1.2.2 Необходимые факты геометрического характера........................16

1.2.3 Основные результаты.....................................................................17

1.3 Нильпотентные группы.....................................................................24

1.3.1 Основные определения..................................................................24

1.3.2 Порождающие множества нильпотентных групп........................26

1.3.3 Основные результаты.....................................................................28

ГЛАВА 2 РАЦИОНАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА В ГРУППАХ..................32

2.1 Основные определения......................................................................32

2.1.1 Рациональные множества..............................................................32

2.1.2 Группы Коксетера..........................................................................36

2.2 О рациональных множествах разрешимых групп........................38

2.2.1 Известные результаты....................................................................38

2.2.2 Основные результаты.....................................................................40

2.3 О 4-порожденных прямоугольных группах Коксетера.................46

2.3.1 Известные результаты....................................................................46

2.3.2 Основные результаты.....................................................................51

ЛИТЕРАТУРА..................................................................................................64

ВВЕДЕНИЕ

Комбинаторная теория групп, основы которой изложены в монографиях Магнуса, Карраса, Солитера [27], Линдона, Шуппа [26], связана с представлениями групп через порождающие элементы и определяющие соотношения. Особое значение в ней придается конечным представлениям и соответственно конечно определенным группам. Многочисленные примеры таких групп представлены в книге Коксетера, Мозера [4]. Исторический обзор содержится в [31]. При данном подходе выделяются группы, допускающие нормальные формы элементов, эффективные переписывающие процессы и т.п.

Подмножества свободного моноида называется языками. Среди них выделяются, например, регулярные (рациональные) языки и их различные обобщения. Классическая теория полугрупп исследует регулярные множества и конечные автоматы. Теорема Клини устанавливает связь между этими понятиями. См. по этому поводу монографии [6], [9], [15], [24].

Данное направление получило также свое теоретико-групповое развитие. Во многом этому способствовали известные лекции Гилмана [7]. В теоретико-групповом контексте одним из подходов является рассмотрение формальных языков вместе с гомоморфизмами в группы. В частности, одна из известных задач - нахождение формальных языков из некоторого класса (например, рациональных), которые отображаются на группу биективно. С другой стороны, рациональные множества можно рассматривать непосредственно в группах, являющихся частным случаем моноидов. Подобные исследования представляют самостоятельный интерес. Укажем, например [3], [10-11], [16-20], [28-29].

В настоящей работе изучаются положительные элементы свободных абелевых групп и группы Гейзенберга, а также рациональные подмножества разрешимых групп. Понятия положительного и потенциально положительного элемента свободной группы дано А. Мясниковым, В. Шпильрайном в известном сборнике нерешенных проблем теории групп - «Open problems in combinatorial and geometric group theory» [1]. Нами рассматривается естественное обобщение этих понятий на произвольные группы. Мы также несколько изменили терминологию, говоря об элементах положительных относительно данной системы порождающих элементов и положительных элементах.

Вторая часть работы связана со следующей гипотезой В. А. Романькова.

Гипотеза. Если в конечно порожденной разрешимой группе О все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, т.е. замкнуты относительно теоретико-множественных операций объединения (это всегда выполняется по определению), пересечения и дополнения, то группа О почти абелева, т.е. содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Заметим в этой связи, что в любой конечно порожденной почти абелевой группе все рациональные подмножества булеву алгебру образуют. То же самое можно сказать о свободных моноидах и свободных группах. Г. А. Баженова доказала [20], что класс групп с отмеченным свойством замкнут относительно свободных произведений и конечных расширений. Однако в классе конечно порожденных разрешимых групп все известные примеры групп с этим свойством почти абелевы. Г.А. Баженова установила в своих работах [3], [17], [18], [19], что любая нильпотентная, полициклическая, метабелева группа с этим свойством почти абелева. Она также доказала, что конечно порожденные разрешимые группы конечного ранга с этим свойством почти абелевы. В целом, однако, гипотеза В.А. Романькова остается открытой.

Основной целью работы является изучение положительных элементов и рациональных подмножеств в группах.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Найдены необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап (векторного

пространства 0" или Я") к положительному виду.

2. Описаны положительные элементы группы Гейзенберга.

3. Доказано, что если в прямом произведении конечно порожденной разрешимой группы О с бесконечной циклической группой Z все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа О почти абелева.

4. Доказано, что если в конечно порожденной группе С, являющейся матричной группой или нильпотентным расширением абелевой группы, все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа С почти абелева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах ([32]-[36]).

Содержание работы. Первая глава посвящена изучению вопроса об одновременном приведении элементов свободных абелевых групп и векторных пространств к положительному виду, а также о порождающих множествах произвольной нильпотентной группы. В начале первой главы доказывается необходимые в дальнейшем результаты и приводятся все основные определения. Даны определения положительных элементов в группах и векторных пространствах, и необходимые понятия и факты об одновременном приведении элементов к положительному виду. Основным результатом этой главы являются необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап

(векторного пространства О" или Яп) к положительному виду и о положительных элементах группы Гейзенберга О.

Вторая глава содержит некоторые известные определения и результаты см. [17], [19] о рациональных множествах и группе Коксетера, используемые для получения основных результатов. В данной главе доказывается, что если в прямом произведении конечно порожденной разрешимой группы С с бесконечной циклической группой I все рациональные подмножества

образуют булеву алгебру, то группа С почти абелева. Также доказано, что если в конечно порожденной группе О, являющейся матричной группой или нильпотентным расширением абелевой группы, все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа С почти абелева.

Также в данной главе рассматриваются рациональные подмножества 4-порожденных прямоугольных групп Коксетера, и доказательство того, что класс рациональных подмножеств такой группы замкнут относительно теоретико-множественных операций дополнения и пересечения, или является булевой алгеброй.

ГЛАВА 1

ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ВИДА В ГРУППАХ

Основным результатом этой главы являются необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап (векторного пространства О" или Я") к положительному виду и описание положительных элементов группы Гейзенберга.

1.1 Основные определения

1.1.1 Порождающие множества

Рассмотрим группу С.

Определение 1. Если М произвольная часть группы О, то пересечение гр{М) всех подгрупп содержащих М называется подгруппой, порожденной множеством М. В этом случае М называется порождающим множеством подгруппы гр{м). Элементы множества М называются порождающими элементами подгруппы гр(м). В частности, если С = гр{м), то М называется порождающим множеством группы С. Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной.

Если М подмножество группы О, то

гр(м) =

а1 е 81 = - т

(1)

Определение 2. Множество М элементов группы G называется минимальным порождающим множеством группы G, если любое собственное подмножество М' а М порождает собственную подгруппу группы с_г.

Минимальное по числу элементов множество порождающих элементов группы минимально, обратное в общем случае неверно. Например, бесконечная циклическая группа гр(а) имеет минимальное порождающее множество [а2, а3}, но в то же время она также порождается одним элементом.

1.1.2 Положительные элементы в группах

Следующие определения введены А. Мясниковым и В. Шпильрайном в известном сборнике «Open problems in combinatorial and geometric group theory» (http: www.grouptheory.org или www.grouptheory.info) нерешенных проблем в теории групп.

Определение 4. Элемент и свободной группы Fn с фиксированным множеством свободных порождающих Хп = {х,,..., хп) называется положительным элементом, если в редуцированной записи и в этих порождающих нет отрицательных степеней.

Определение 5. Элемент и называется потенциально положительным,

если он положителен в некоторой системе свободных порождающих

К = {У\> •••' Уп\ группы Эквивалентно, если существует автоморфизм (р группы Еп такой, что и положителен относительно множества свободных порождающих (р(Хп) = {ф(х{),..., (р{хп)}.

Мы будем говорить о положительных относительно множества Хп элементах и, соответственно, о положительных элементах группы , опуская слово "потенциально". Более того, если дана произвольная конечно порожденная группа С? с множеством ее порождающих элементов Хп={хх,...,хп\, то элемент и группы О будем называть положительным

относительно Хп, если его можно записать как положительное (т.е. полугрупповое) слово от порождающих Хп. Как правило, мы будем выбирать в качестве Хп минимальное по числу порождающих элементов множество.

Соответственно, элемент и конечно порожденной группы О называется положительным, если существует минимальное по количеству элементов порождающее множество Хп группы <7, относительно которого и положителен.

Заметим, что в общем случае эквивалентное определение на языке автоморфизмов, как в Определении 5, неприменимо. Измененная система порождающих элементов не обязательно будет автоморфным образом исходной системы. Этот аналог имеет место в случае, если О - группа свободная в некотором многообразии, и Хп - множество ее свободных порождающих.

Отметим некоторые элементарные факты, относящиеся к понятию положительных элементов в группах. Если группа С конечна, то любой ее элемент положителен относительно любой системы X порождающих элементов. Действительно, в этом случае любой порождающий элемент хеХ

имеет конечный порядок, скажем |х| = А:. Тогда х~х =хк~\ и любая

отрицательная степень порождающего записывается как его положительная

степень. То же самое рассуждение показывает, что в любой группе порожденной множеством элементов X конечного порядка, все элементы положительны относительно X.

В часности, в любой периодической группе (? все элементы положительны относительно любого множества X порождающих элементов.

Так как любая счетная группа О вложима в группу, порожденную двумя элементами а, Ъ порядков \а\ >2, |б| > 3, любая счетная группа вложима

в группу, в которой все элементы положительны относительно некоторого минимального порождающего множества.

В то же время легко указать группы, в которых имеются не положительные элементы. В свободной группе ранга п> 2 все элементы коммутанта ¥'п (за исключением 1) не положительны. Действительно, любой элемент g е принадлежит ядру естественного гомоморфизма группы на свободную абелеву группу Ап-Рп! . В то же время любой нетривиальный положительный элемент группы ¥п не может переходить при таком гомоморфизме в 1.

1.1.3 Положительные элементы в свободных абелевых группах и векторных пространствах

Пусть Ап - свободная абелева группа с множеством свободных порождающих (базисом) Вп = {ЬиЬ2,...,Ьп}. Любой элемент а группы Ап однозначно записывается в виде

а = Ь^Ь^-..,Ькп\ (2)

где к1,к2,...,кп целые числа. Другими словами при фиксированном базисе Вп-{Ь1,Ь2,...,Ьп} группы Ап любой элемент представляется в виде набора

{кх, к2,..., кп) е Ъп. Имеется естественный изоморфизм Ап-2п, при котором элементу а соответствует набор ..., из (2).

Определение 6. Элемент а группы Ап будет положителен относительно

Вп, если соответствующий набор {к{, к2,..., кп) положителен, т.е. к1 >0 д�