Полуэмпирическая модель турбулентности для описания высокоскоростных слоев смешения и струй, не основанная на гипотезе Буссинеска тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Трошин Алексей Игоревич

Полуэмпирическая модель турбулентности для описания высокоскоростных слоев смешения и струй, не основанная на гипотезе Буссинеска

Специальность: 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

19ФЕВ

Жуковский — 2014

005559240

005559240

Работа выполнена в Центральном аэрогидродинамическом институте имени профессора Н. Е. Жуковского.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Власенко Владимир Викторович

доктор технических наук, доцент Молчанов Александр Михайлович (Московский авиационный институт)

кандидат физико-математических наук, доцент Гарбарук Андрей Викторович (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

Центральный институт авиационного моторостроения им. П. И. Баранова

Защита состоится 14 апреля 2015 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 403.004.01 при Центральном аэрогидродинамическом институте по адресу 140180, Московская обл., г. Жуковский, ул. Жуковского, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального аэрогидродинамического института.

Автореферат разослан «04» февраля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 403.004.01, д.ф.-м.н., доцен.

'тян Мурад Абрамович

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации определяется, с одной стороны, широким кругом физических задач и практических приложений, в которых слой смешения и струя являются определяющими факторами, а с другой стороны, отсутствием моделей турбулентности, дающих удовлетворительное соответствие расчета и эксперимента для течений данного класса.

Цель данной работы заключается в построении математической модели струйных течений на основе полуэмпирической модели турбулентности, которая позволяет существенно улучшить описание пространственных развивающихся течений со слоями смешения и струями.

Для достижения этой цели автору были поставлены следующие задачи:

1. Выполнить обзор современных моделей турбулентности с точки зрения их применимости к описанию течений со струями и слоями смешения; выявить физические и математические причины ошибок в описании струй и слоев смешения; рассмотреть влияние различных членов моделей турбулентности и эмпирических констант в этих членах на структуру течения.

2. Предложить модификации различных компонент уравнений для параметров турбулентности, повышающих качество описания струйных течений. Провести калибровку эмпирических констант на основе экспериментальных данных для классических струйных течений и добиться лучшего описания структуры этих течений по сравнению с существующими моделями турбулентности.

3. Продемонстрировать возможности модифицированной модели турбулентности, применив ее к описанию структуры течения в сверхзвуковой недорасширенной турбулентной струе, истекающей с круглого сопла. Данное течение исследовалось экспериментально в ИТПМ СО РАН (г. Новосибирск) в Лаборатории экспериментальной аэрогазодинамики на струйном модуле гиперзвуковой аэродинамической трубы Т-326, и автор принимал участие в некоторых из этих экспериментов. Предыдущие попытки автора выполнить моделирование данного эксперимента с использованием популярных в настоящее время моделей турбулентности показали, что современные модели позволяют дать достаточно точное описание течения лишь в первой "бочке" струи, а дальше начинают существенно расходиться с экспериментом.

На защиту выносится гюлуэмиирическая модель турбулентности класса DRSM (Differential Reynolds Stress Model — дифференциальная модель для напряжений Рейнольдса), основанная на модели SSG/LRR-w и включающая следующие отличия:

1. Дополнительный источниковый член, учитывающий продольную неоднородность струйных течений и эффекты эжекции.

2. Значения коэффициентов, откалиброванные по слоям смешения и затопленным струям.

3. Функция для описания эффектов осесимметричности.

4. Поправка на сжимаемость.

5. Ограничитель диффузионных потоков параметров турбулентности.

Соответствие паспорту специальности. Содержание диссертации полностью соответствует задаче, указанной в паспорте специальности 01.02.05: "Задачей механики жидкости, газа и плазмы является построение и исследование математических моделей для описания параметров потоков движущихся сред в широком диапазоне условий, <... > интерпретация экспериментальных данных с целью прогнозирования и контроля природных явлений <...>, а также разработки перспективных <... > летательных <... > аппаратов." В работе анализируются классы задач механики жидкости и газа, соответствующие областям исследований, перечисленным в паспорте специальности: "3) <...> турбулентные течения; 4) течения сжимаемых сред и ударные волны; 11) <...> слои смешения <...>; 12) струйные течения

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые в модели турбулентности класса DRSM учтено влияние продольной неоднородности струйных течений и эжекции на турбулентность: предложен дополнительный источниковый член в уравнении для характерной частоты турбулентных пульсаций ui.

2. Разработана новая модель для учета эффектов осесимметричности в круглой струе, которая включается на переходном и основном участках струи и отключается на начальном участке.

3. Впервые в DRSM-модель введена модификация, устраняющая турбулентный фронт перед скачками уплотнения: адаптирован ограничитель турбулентных потоков, предложенный Уилкоксом для буссинесковой модели.

Практическая значимость работы заключается в том, что построенная модель реализована в программе ZEUS (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013610172 от 9 января 2013 г.) и может быть рекомендована для:

1. исследования полей течения, образуемых струями, истекающими из двигателей перспективных летательных аппаратов;

2. решения задач избежания интерференции струй, истекающих из двигателя, с элементами конструкции летательных аппаратов;

3. получения качественного начального приближения для расчетов струйных течений на базе вихреразрешающих методов.

Достоверность изложенных в работе результатов обосновывается:

1. Сопоставлением расчетов с экспериментальными данными.

2. Сопоставлением результатов, полученных с использованием различных численных методов.

3. Сопоставлением результатов, полученных с использованием различных физических моделей.

Апробация работы. Материалы работы докладывались на 2 международных и 12 всероссийских конференциях, в том числе: на Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Новые решения и технологии в газотурбостроении" (ЦИАМ, Москва, 2010 г.), на XXII и XXIII Семинарах по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2010 г. и Томск, 2012 г. соответственно), на XVII Международной конференции по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2014, Новосибирск).

Личный вклад автора:

1. Построена математическая модель струйных течений путем модификации модели турбулентности SSG/LRR-w.

2. Модифицирована программа ZEUS путем разработки блока, реализующего построенную модель.

3. Выполнено сопоставление расчетных и экспериментальных данных по начальному участку недорасширенной струи, полученных автором лично.

Публикации. Исследования по теме диссертации изложены в 6 статьях, 3 из которых опубликованы в журналах из списка ВАК:

1. Vlasenko V., Bosniakov S., Mikhailov S., Morozov A., Troshin A. Computational approach for investigation of thrust and acoustic performances of present-day nozzles // Prog. Aerosp. Sei., vol. 46, pp. 141-197, 2010 (Список ВАК).

2. Трошин А.И. Модель турбулентности с переменными коэффициентами для расчетов слоев смешения и струй // Изв. РАН. МЖГ, №3, с. 39-48, 2012 (Список ВАК).

3. Трошии А.И. Учет продольной неоднородности течения при моделировании турбулентных слоев смешения и струй // Математическое моделирование, 2015. В печати (Список ВАК).

4. Трошии А.И., Запрягаев В.И., Киселев Н.П. Расчетно-эксперименталь-ное исследование сверхзвуковой слабонедорасширенной струи // Труды ЦАГИ, вып. 2710, с. 111-120, 2013.

5. Власенко В.В., Кажан Е.В., Матяш Е.С., Михайлов C.B., Трошин А.И. Численная реализация неявной схемы и различных моделей турбулентности в расчетном модуле ZEUS // Труды ЦАГИ, вып. 2735, 2014. В печати.

6. Трошин А.И., Савельев A.A., Власенко В.В. Моделирование начального участка недорасширенной струи с использованием дифференциальной модели для напряжений Рейнольдса // статья в сборнике "Результаты фундаментальных исследований в прикладных задачах авиастроения", под ред. Чернышева C.JL, М.: Наука, в печати.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, выводов и приложения. Полный объем диссертации 168 страниц текста с 95 рисунками и 20 таблицами. Список литературы содержит 179 наименований.

Содержание работы

Во введении сформулирована цель работы, обоснована актуальность выбранной темы, определены научная новизна и практическая значимость работы, поставлены задачи исследования, сделан обзор классов изучаемых моделей и научной литературы по ним; дано краткое содержание глав диссертации.

В первой главе "Система уравнений и базовая модель турбулентности" представлены мгновенные и осредненные уравнения движения сжимаемого газа. Проанализированы, в том числе в расчетах модельных задач, наиболее часто используемые полуэмнирические замыкания корреляций, входящих в эти уравнения. Сделан краткий обзор известных ОИЗМ-моделей турбулентности и выбрана базовая модель, удобная для дальнейшей работы и внесения модификаций.

Для описания течений сжимаемого газа применяются уравнения Реи-нольдса с использованием осреднения по Фавру:

дрщ д dt дхь

др дрйк _ Q dt dxk '

pUiVLk + pSik + Tik + pRik

= 0,

dpE д

^рЁйк + рйк + (Tik + pRik) Щ + qk + pa к + Tk

= 0.

дЬ дхь |

Здесь используется правило суммирования по повторяющимся индексам.

В настоящей работе основное внимание уделяется моделированию напряжений Рейнольдса Щ = ри"и"/р, которые представляют собой турбулентные потоки импульса. Дифференциальное уравнение, описывающее тензор Ду, может быть представлено в виде

дйз дщ

Ь а--Щкъ—

дхк дхк

dpRjj д

-9Rn

dt дхк

Моделирования требуют следующие члены:

_ / ощ ищ

рСф = ри"и"и'1+ р'(и'^к + u'jSik) — турбулентные потоки

рЩ = 2- 3) — обменный член, распределяющий энергию между пульсациями в различных направлениях (йу = (дщ/дх^ + ди^/дх{)/2 — тензор скоростей деформации, <1 = Бкк ~ дивергенция поля скорости);

• ре,j = -T^du'j/dxk - т^кди\/дхк — диссипация Яу.

Дан обзор существующих подходов к моделированию этих членов в случае несжимаемой жидкости, а также способов учета влияния сжимаемости газа на них. Внимание уделено классическим задачам с однородной турбулентностью: затуханию изотропной и анизотропной турбулентности, развитию однородной турбулентности на фоне сдвигового течения и на фоне объемного сжатия газа. Данные экспериментов и прямого численного моделирования (DNS) этих задач использованы автором для сопоставления существующих моделей источниковых членов рПу и ргц. Рассмотрена проблема

искажения анизотропии напряжений Рейнольдса на границах турбулентных зон и сформулировано требование к модели Сф, при котором искажения не происходит. Изучено влияние параметров турбулентности в набегающем потоке на решение в турбулентной зоне и найдено условие на коэффициенты полуэмпирического уравнения для характерной частоты пульсаций ш, при котором устраняется нефизичная чувствительность решения к значению ш в слаботурбулентном окружающем течении.

Сделан обзор наиболее известных DRSM-моделей турбулентности. Эти модели можно разделить на две группы: те, которые используют уравнение для скорости диссипации кинетической энергии турбулентности е, и те, которые используют уравнение для характерной частоты пульсаций ш. Преимущество моделей второй группы — возможность описания турбулентных пограничных слоев без введения эмпирических пристенных функций. В качестве базовой DRSM-модели в данной работе выбрана современная модель из второй группы — SSG/LRR-w [Cócora, Eisfeld, Probst, Crippa, Radespiel 2012], которая содержит переключатель между "свободнотурбулентным" и "пристенным" наборами коэффициентов, взятый из модели SST Ментера. Это позволяет в данной работе заниматься модификацией только "свободнотурбулентной" части SSG/LRR-w, не нарушая описание пограничных слоев и не сужая область применимости модели. Кроме шести уравнений для компонент тензора Rij, SSG/LRR-w использует следующее дифференциальное уравнение для и:

дрш д dt dxk

_дси _ к ди> pcuuk - ¡i-^--С„р

дхк С^шдхк

. adCup (дк дш \ = р- (Си1Р - + тах —, 0 j , (1)

где к = Ra/2 — кинетическая энергия турбулентности.

Во второй главе "Расчеты автомодельных слоев смешения и струй" проведен анализ моделей турбулентности и модифицирована базовая модель на основе расчетов слоев смешения и струй в автомодельных переменных.

Рассмотрено четыре классических автомодельных течения (рис. 1): временной слой смешения, слой смешения за уступом, основные участки плоской и круглой струй. Дан обзор экспериментальных данных по этим течениям. Сопоставлены решения этих задач, полученные автором с использованием стандартных DRSM-моделей Лаундера, Риса и Роди (LRR), Stress-w Уилкокса и SSG/LRR-cj.

Временной слой смешения (рис. 1, а) возникает при контакте двух параллельных встречных потоков с одинаковыми скоростями. Этот слой смешения симметричен относительно своего центра, не содержит продольных градиен-

тов и не эжектирует газ в турбулентную область. Показано, что в этой задаче модели LRR и Stress-w дают соответствие экспериментам по всей ширине, а модель SSG/LRR-w предсказывает слишком резкие границы турбулентной области — см. рис. 2, а. Для устранения этого дефекта базовой модели было изучено влияние каждого ее эмпирического коэффициента и найдены диапазоны оптимальных значений коэффициентов, при которых временной слой смешения полностью соответствует экспериментам. Использовался метод перебора на многомерной сетке.

#

а)

6)

в)

Рис. 1. Схемы автомодельных течений: а) временной слой смешения, б) слой смешения за уступом, в) основные участки плоской и круглой струй.

Рис. 2. Профили скорости: а) во временном слое смешения, б) в слое смешения за уступом. Сплошная линия — модель SSG/LRR-w, пунктир — модель LRR, штрихпунктир — модель Stress-w. Символы — экспериментальные данные.

Слой смешения за уступом (рис. 1, б), в отличие от предыдущей задачи, несимметричен, неоднороден в продольном направлении и эжектирует газ. В этой задаче все три стандартные модели дают ошибку одного и того же характера: высокоскоростная часть слоя смешения размыта недостаточно, а низкоскоростная, наоборот, слишком сильно — см. рис. 2, б. В рамках модели

БЭС/ЬЕЛ-сл; можно так подобрать коэффициенты в рамках найденных выше диапазонов, чтобы получить правильную ширину слоя смешения за уступом. Однако указанное выше искажение профиля слоя смешения за уступом сохраняется. Это указывает на то, что данные особенности профиля слоя смешения определяются не значениями коэффициентов моделей, а не учтенными во всех трех стандартных моделях физическими эффектами, которые есть в слое смешения за уступом и которых нет во временном слое смешения: продольной неоднородностью слоя смешения за уступом и в порождаемой ей эжекцией.

Разработан дополнительный источниковый член 1и в уравнении для ш (1), устраняющий это систематическое искажение слоя смешения за уступом. Чтобы учесть эффекты продольной неоднородности струйных течений, этот член должен содержать производные от параметров газа. Для учета эжекции он должен быть чувствителен к поперечной компоненте скорости. При этом на этот член было наложено требование инвариантности относительно вращений системы координат и относительно преобразований Галилея. Для устранения искажения профиля скорости нужно увеличить уровень турбулентности в высокоскоростной части слоя смешения, которая размывается недостаточно, и уменьшить — в низкоскоростной части. Для достижения этой цели источниковый член должен иметь разные знаки в этих областях. Было найдено четыре безразмерных скалярных выражения, удовлетворяющие перечисленным условиям:

Можно показать, что во временном слое смешения все найденные выражения тождественно равны нулю, а в слое смешения за уступом Л^ = 0 и Ыкы = 0, но Ли ± 0 и Аи ф 0.

Тестовые расчеты показали, что использование Л^ неэффективно для исправления профиля скорости в слое смешения, а Ыык при соответствующем подборе коэффициента решает проблему. Полученный дополнительный источниковый член в уравнении (1) имеет вид

При применении модели к этой задаче в (2) остаются два главных компонента:

Щк =

Ли

1 дщ дк дк 1 дш дк ды

ки3 дх3 дх1 дх]' со" ох^ ах{ ох^

1 дщ ди дк _ к дщ дш дш

ш4 дх2 дхг дх2' ш5 дх} дх1 дх'

/£0) = -С„зЛиш2, О, з = 21.

(2)

слагаемое

Сш з ди ди) дк и)2 ду дх ду

учитывающее продольную неоднородность параметра ш (в автомодельном приближении ш ~ 1/ж), и слагаемое

Сш3 дд дш дк ш2 ду ду ду'

зависящее от поперечного профиля эжекционной составляющей скорости v.

Однако использование источникового члена (2), откалиброванного по слою смешения, приводит к тому, что скорость роста ширины плоской струи на основном участке (рис. 1, в) оказывается заниженной. Для корректного описания основного участка плоской струи было дополнительно задействовано выражение (равное нулю в слоях смешения). Кроме того, потребовалось ограничить безразмерный комплекс в составе построенного источникового члена с помощью гиперболического тангенса и скорректировать значение коэффициента Си3. Окончательное выражение для 1Ш следующее:

1и = -Сы3о.озеь

2О0 дш дк

0.03ш4дxiдxi

Си з — 22.

(3)

Здесь = (дщ/дх^ - д^/дх{)/2 — тензор ротации.

На рис. 3, а с экспериментами сравниваются профили скорости слоя смешения за уступом, полученные по модифицированной модели турбулентности без источникового члена 1Ы и с ним. На рис. 3, б аналогичное сравнение представлено для основного участка плоской струи. Видно, что в обоих случаях включение 1и приводит профили скорости в соответствие экспериментальным

данным.

1 «и0 0.8 а) У -

0.6 /

0.4 9/'

0.2

0

-0.2 -0.1 п 0 0.1

0.1 п

Рис. 3. Профили скорости: а) в слое смешения за уступом, б) на основном участке плоской струи, в) на основном участке круглой струи. Пунктир — модель без 1и, сплошная линия — модель с 1и и поправкой на осесимметрич-ность, штрихпунктир (для круглой струи) — модель с но без поправки на осесимметричность. Символы — экспериментальные данные.

При использовании (3) скорость роста ширины плоской струи г)р моделируется практически точно, а скорость роста ширины круглой струи г\г существенно завышена. Такой же эффект наблюдается и в остальных стандартных

моделях. Более того, модели предсказывают r¡r > r¡p, в то время как в экспериментах т]г < 7]р. Такое поведение получило в литературе название "Аномалия плоской/круглой струи".

В 1978 году Поуп предположил, что в круглой струе имеется дополнительный механизм диссипации энергии турбулентности, связанный с растяжением вихрей в азимутальном направлении. Он разработал поправку в уравнении для диссипации, учитывающую этот эффект. В качестве индикатора осесимметричности Поуп предложил использовать безразмерный комплекс

_ QijQjkSki

х~ (ад3'

В плоских течениях х = 0, в осесимметричных течениях х^О.

Уилкокс адаптировал метод Поупа для моделей турбулентности, использующих уравнение для ш, представив поправку в виде сомножителя к коэффициенту диссипации. В данной работе предложено распределить поправку Уилкокса по двум членам в уравнении (1), чтобы меньше изменять значение каждого из них: dpui д

dt дхк

Данная поправка откалибрована по основному участку круглой струи в автомодельном приближении.

Из рис. 3, в видно, что с поправкой профиль скорости в круглой струе соответствует экспериментам; аномалия плоской/круглой струи устраняется.

В третьей главе "Расчеты по полным уравнениям Рейнольдса" представлены результаты расчетов дозвуковых струй с использованием солве-ра ZEUS (ЦАГИ) и разработаны дополнительные модификации модели турбулентности, которые требуются для описания неавтомодельных эффектов в струях. Также в этой главе рассмотрены эффекты сжимаемости турбулентных пульсаций в высокоскоростных слоях смешения.

DRSM-модели турбулентности были запрограммированы в программе ZEUS, входящей в состав пакета EWT-ЦАГИ. В диссертации задачи решались с использованием явного численного метода 2 порядка аппроксимации по всем переменным, основанного на схеме Годунова-Колгана-Родионова. Стационарное решение получалось методом установления с локальным шагом по времени.

По базовой и модифицированной моделям турбулентности были проведены расчеты плоской и круглой дозвуковых затопленных холодных струй. Калибр сопла в обоих случаях b = 1 м, число Маха в ядре струи М0 = 0.3, число Рейнольдса по этим параметрам Re и 6.7 х 10е. Были построены блочно-структурированные расчетные сетки с 1 ячейкой в боковом направлении. В

= р11д: ы2/ах " J+""' /ах = 1 + юо|хГ

сетке для плоской струи боковой шаг Az = const, в сетке для круглой струи ячейки образуют сектор с углом раствора 5°. На поверхности сопла ставилось условие прилипания. Сетка сгущена к поверхности сопла; размер первой пристенной ячейки в радиальном направлении — 2 х Ю-6 м. В пограничный слой на срезе сопла попадает около 25 ячеек сетки. Всего на радиусе сопла помещено 40 ячеек. Толщина пограничного слоя в расчетах была малой, как и в экспериментах, с которыми проводилось сопоставление. Вниз по потоку от среза сопла продольный шаг сетки постепенно увеличивается; на первых 10 калибрах струи расположено 50 ячеек. Внешние границы удалены от области изучения струи более чем на 500 калибров.

Поля скорости в плоской струе, полученные по базовой и модифицированной моделям турбулентности, изображены на рис. 4, а. Осевые распределения скорости в плоской струе представлены на рис. 5, а, б. Первый положительный результат описанных во второй главе модификаций — почти вдвое сокращается длина начального участка струи: новое ее значение (5.6 калибра) попадает в диапазон разброса экспериментальных данных. Второй результат: на основном участке струи получен правильный темп затухания осевой скорости. Исходная модель не попадала в полосу экспериментального разброса. На переходном участке осталось незначительное расхождение с экспериментами, но тем не менее, улучшение по сравнению с исходной моделью очевидно.

С круглой струей возникли дополнительные трудности. Как известно, автомодельные участки слоев смешения круглой и плоской струй почти не отличаются друг от друга. Это подтвердилось в расчетах без поправки на осесимметричность. Однако при включении поправки слой смешения круглой струи становится уже на 40%, что не соответствует реальности. Можно предположить, что механизм растяжения кольцевых вихрей Поупа не проявляется на начальном участке круглой струи, и соответствующую поправку нужно использовать только за пределами начального участка. Для этого был разработан индикатор, который использует свойства ранее найденных выражений Nkk и Nuk'-

AI = min

(1 ^kk I

A(Nkk-N„ky' .

С A = :

Он обнуляется в слоях смешения и становится равным единице на переходном и основном участках струй. Предлагается модель для учета эффектов осесимметричности, использующая индикатор А1 для локального включения поправки Уилкокса:

^Чттшй^П

Коэффициент в поправке Уилкокса потребовалось немного скорректировать.

11

100

и, m/s 80

Рис. 4. Поля скорости, полученные в расчетах а) плоской, б) круглой струи. Показаны границы начальных участков струй. Верхняя половина каждой струи — расчет по модифицированной модели, нижняя половина — расчет по базовой модели SSG/LRR-w.

Заметим, что в расчетах но полным уравнениям Рейнольдса тензор Ski, входящий в определение Xi заменяется на Ski ~ dki/2, чтобы величина х оставалась строго нулевой в плоских сжимаемых течениях.

В результате внесенного изменения (рис. 5, в, г), длина начального участка круглой струи сокращается до 5 калибров и попадает в полосу экспериментального разброса, затухание осевой скорости на основном участке начинает моделироваться корректно, а также верно описывается переходный участок струи. Исходная модель не позволяет получить ничего из перечисленного.

Далее в диссертации рассматриваются эффекты сжимаемости пульсаций в высокоскоростных течениях на примере слоя смешения. Как известно, с ростом конвективного числа Маха Мс = |üi — Ü2I/(5i + 0.2) ширина слоев смешения сокращается. Современные модели турбулентности учитывают этот эффект с помощью дополнительной изотропной "дилатационной" диссипации p£¿ = 4Дс?'2/3. Однако данные DNS сжимаемой турбулентности на фоне сдвигового течения показывают, что основной механизм подавления турбулентного смешения другой: изменяется анизотропия напряжений Рейнольдса aij = (Rij — 2kóij/3)/k. Значит, корректная поправка на сжимаемость должна в первую очередь действовать на обменный член, отвечающий за анизотро-

_

Рис. 5. Осевые распределения скорости: а) в ближнем поле плоской струи, б) в дальнем поле плоской струи, в) в ближнем поле круглой струи, г) в дальнем поле круглой струи. Пунктир — базовая модель ЗЗС/ЫШ-ш, сплошная линия — модифицированная модель. Символы — экспериментальные данные.

пию, и уже во вторую очередь — учитывать вклад дилатационной диссипации.

В литературе были найдены несколько поправок к обменному члену, однако они оказались либо неустойчивыми при больших Мс, либо были настроены на модель обменного члена ЫШ. Для модели БЭС ни одной подобной поправки не обнаружилось, поэтому она была построена и откалибрована в настоящей работе. Коэффициенты модели БЭС делаются функциями турбулентного числа Маха М^.

с! Сх( 1 - 0.36^), С2 ->• 3(Сх - 1)/2, С3 Сз(1 + 0.36^),

сз* -»• с;( 1 + о.збге), с4 с4(1 + о.збРе), с5 с5(1 - о.збрс),

Рс = 0.5(1 + Ш(5М4 - 0.6/МО), М1 = л/2к/а.

Для описания дилатационной диссипации взята модель Хуанга и Фу: ed = 0.1(1 — ехр(—5M?))es. В отличие от классических моделей, она не позволяет Sd стать больше, чем 0.1es, что согласуется с данными DNS. Расчеты высокоскоростных слоев смешения показали, что в диапазоне 0 ^ Мс ^ 2 новая поправка воспроизводит сокращение ширины слоев смешения с отклонением от экспериментальной кривой Лэнгли в пределах 10% (рис. 6). Учет только дилатационной диссипации не позволяет сократить ширину слоя смешения в достаточной степени: при Мс > 0.5 снижение величины анизотропии касательного напряжения Рейнольдса начинает давать существенный вклад в сужение слоев смешения. На рис. 7 показана зависимость компонент а^ от Мс. Видно, что величина анизотропии касательного напряжения снижается примерно вдвое, снова в согласии с данными DNS.

1 i 1 | 1 1 1 1

D„,/D™ 0.8 без поправок V ^о ° \\ " °° \\

0.6 кривая ЛэнглйЧ \ 8 \\ ° о\\ с поправкой к с

0.4 \ 00 о \ о \ с поправками ч^Чк П, и е

о о

0.2 о о 1 1 ° оо ОО-w 1 к-1

Рис. 6. Зависимость скорости роста ширины слоя смешения от Мс.

Рис. 7. Зависимость a,ij в слое смешения от Мс. Сплошные линии — расчеты с поправкой к Ilij, пунктирные — без поправок на сжимаемость, линия с символами — данные DNS.

В четвертой главе "Расчет недорасширенной струи" представлены результаты расчетов начального участка круглой холодной недорасширенной струи и рассмотрена проблема перехода турбулентности через скачки уплотнения.

Моделировался эксперимент, проведенный в ИТПМ СО РАН под руководством В. И. Запрягаева и в котором автор принимал участие. Исследовалась воздушная струя, истекающая из звукового сопла с пс = 5 и коэффициентом нерасчетности 2.64. Были получены шлирен-фотографии течения (рис.

Рис. 8. Задача о недорасширенной круглой струе: а) пример шлирен-фотографии, полученной в эксперименте; б) расчетная сетка.

8, а) и замеры давления торможения Пито вдоль оси струи и в нескольких ее поперечных сечениях.

Была построена расчетная сетка, предназначенная для изучения 5-7 первых калибров струи. Сетка представляет собой сектор с углом раствора 5° и одной ячейкой в азимутальном направлении. Поток на срезе сопла формируется во входном канале с условием прилипания на стенках сопла. Сетка вручную адаптирована к особенностям течения, благодаря чему достигается приемлемое разрешение структуры струи. Буферные блоки отдаляют внешние границы расчетной области (рис. 8, б).

Расчеты по буссинесковым моделям турбулентности, проведенные автором ранее, показали, что эти модели могут неправильно описывать положение диска Маха и развитие слоя смешения, исходящего из тройной точки. Это связано с некорректным описанием перехода турбулентности через скачок уплотнения, причем этот переход является сеточно-зависимым. Например, для модели (д - ш) Коукли суммарное производство кинетической энергии турбулентности на прямом скачке можно оценить как

Дцт = £ р,л « - Е (Д-)^Л « | £ (^У /. = О ([

I г г

Здесь Л, — шаг расчетной сетки в окрестности скачка уплотнения. Суммирование ведется по ячейкам поперек скачка. Как видно, на достаточно мелких

сетках эта модель турбулентности будет предсказывать завышенное производство к на скачке.

Аналогичная оценка для модели ЯЭТ дает противоположный результат:

Дшп = ~ 5 10Ф = °(/г)'

г г

С измельчением сетки производство линейно снижается. Дело в том, что на больших градиентах скорости в этой модели срабатывает ограничитель производства Р = пип(.Р, 10е), из-за чего развитие внутреннего слоя смешения в недорасширенной струе подавляется.

Искажения, порождаемые этими сеточно-зависимыми эффектами, проиллюстрированы на осевых распределениях на рис. 9, а. Модель (д — и>) создаст за диском Маха область сильной турбулентности. За счет турбулентной диффузии р( на оси начинает расти сразу за диском Маха, а сам диск смещается вниз по потоку. Модель ББТ в этой области, наоборот, не позволяет турбулентности развиться, и внутренний слой смешения, исходящий из тройной точки, не достигает оси струи даже на расстоянии 4 калибров от среза сопла. Из-за этого на осевом распределении полученном по модели ЭБТ, нет роста давления во всей рассматриваемой области.

Рис. 9. Осевые распределения давления торможения Пито, полученные с а) буссинесковыми, б) БИЗМ-моделями турбулентности.

Можно показать, что ОИЯМ-модели благодаря точной формуле для производства Яу- допускают конечное сеточно-независимое усиление турбулентности на скачке. Для этого диффузионные члены модели должны быть малы но сравнению с источниковыми членами. В тестовых расчетах, однако, получено "взрывное" поведение турбулентности, связанное с тем, что диффузионные и источниковые члены оказываются одного порядка и порождают

хю

Рис. 10. Осевое распределение кинетической энергии турбулентности в окрестности диска Маха недорасширенной струи.

интенсивный турбулентный фронт перед скачком (рис. 10, пунктирная линия). Коэффициент усиления к на диске Маха при этом равен 5 х 102.

Проблема решается путем адаптации ограничителя диффузионных потоков параметров турбулентности из буссинесковой модели (к— со) Уилкокса:

dpRj■ dt

+

дхк

Cr Rki dRi.

dxi

дрш д dt дхк

Сш к doj Cflu*dxk

uj = max

(w, Cn^S^/C,) , Сцт = 7/8.

С этим ограничителем турбулентный фронт перед скачком не образуется (рис. 10, сплошная линия). Коэффициент усиления к на диске Маха становится равным 1.1, что по порядку величины соответствует данным DNS (1.7 — 1.9) для данного числа Маха (см. [Gatski, Bonnet 2009]). Частично расхождение можно объяснить тем, что в недорасширенной струе турбулентность перед диском Маха существенно анизотропная, а в опубликованных DNS исследуется прохождение через скачок уплотнения изотропной турбулентности.

Осевые распределения pt, полученные в расчетах по DRSM-моделям турбулентности, представлены на рис. 9, б. При использовании ограничителя диффузионных потоков улавливается подъем в осевом распределении pt на расстоянии 2 калибров от среза сопла, что было невозможно с буссинесковы-ми моделями. Это достигается за счет правильной турбулизации внутреннего слоя смешения струи. При этом модифицированная модель работает немного точнее, чем базовая. Без ограничителя турбулентных потоков стандарт-

ные ОЫБМ-модели предсказывают перепроизводство турбулентности на диске Маха подобно буссинесковой модели (д — ы) (ср. с рис. 9, а).

Рис. 11. Поперечные профили давления торможения Пито. Сплошная линия — модифицированная модель турбулентности, пунктир — базовая модель 83С/ЬЫ1-и>, символы — экспериментальные данные.

На рис. 11 показаны профили давления торможения Пито в различных поперечных сечениях струи. С модифицированной моделью, использующей ограничитель диффузионных потоков, ошибка на первых трех калибрах струи не превосходит 7%, в то время как базовая модель без модификаций дает качественно неверный профиль давления сразу за первым диском Маха. Необходимо сделать два замечания:

1. Поправка на сжимаемость, предложенная в 3 главе, не позволила уточнить описание начального участка недорасширенной струн с нерегулярным отражением скачков уплотнения, а в отдельных областях течения

привела к рассогласованию результатов расчета с экспериментом. В итоге, в финальных расчетах эта поправка не использовалась. Применять ее рекомендуется только для струй, ударно-волновая структура которых не содержит нерегулярных отражений.

2. Как было показано, ограничитель диффузионных потоков Уилкокса играет критически важную роль в задачах с сильными скачками уплотнения. Однако в дозвуковых слоях смешения он искажает профиль скорости, что приводит к завышению длины начального участка затопленных изобарических струй. Использовать этот ограничитель рекомендуется только в тех задачах, где без него происходит "взрыв" турбулентности на скачках уплотнения. По-видимому, достаточно включать его лишь в окрестности сильных скачков уплотнения. Однако это требует дополнительных исследований, связанных с построением индикатора сильных ударных волн, которые выходят за рамки данной диссертации.

В конце главы 4 диссертации приводится окончательная формулировка модели 88С/ЫШ.-и;-2:

dpRg

dt dxk

dRij Cr pRki dRij pRijuk-p—--

dpui d dt dxk

ölj Си pk дш

ршик - fi---——--5—

oxk Cß и* охk

u>* dxi

= p-(—P-

к \ /ах

= p{ Pij + Щ- -£sSi

~ P {дк du \

- cu2f„£я + Cedkd) + plu + max —, 0j .

w* =

шах I

для задач без сильных скачков уплотнения; для задач с сильными скачками уплотнения.

Здесь Ciim = 7/8, С^ = 0.09.

Производство напряжений Рейнольдса и кинетической энергии турбу-

лентности:

düt „ düi _ „ „ dük ъ = - р = = -*»wr

4 ±ЧКдхк Модель обменного члена:

Пу = -{СХЕэ + С{Р)а^ + С2еа{а{ка^ - \аыаы5ц) + (С3 - С^у/ЩШдЩ-

+

Cik{S°kakj + aikS°kj - lausig) + C5k(nikakj - aikÜkj) + C6kday.

Скорость диссипации: еа = С^кш. Дополнительный источниковый член:

1ш = -Си;3 0.03 Ш

Поправка на осесиммстричность: 1 + 89|Х|

1 2Г2у дш дк

0.03 ш4 дхг дхл

/ах= 1 +

А1 = тт

__Лат _ - й5ы/2)

1 + 1001x1 ) ' х~ (ЗДЗ

СА

NIк

(Мь* - ад

1 Зйг дк дк

ки>3 За^ дх{ дх^'

_ 1 дщ ди дк _

Мык ~ —7 я—а—> ^^ — Ш4 ¿71; ОХ]

Каждый переменный коэффициент V модели вычисляется по формуле V = Vi.Fi + 1^(1 — где переходная функция имеет вид ^ =

£ = тт

у/к 500/1 \

4 кш

Сцш^' ри<11)' Ю-ю) ¿2

а^ — "свободнотурбулентное" значение коэффициента сад с?ю — расстояние до ближайшей твердой поверхности.

Значения переменных коэффициентов приведены в таблице 1.

Таблица 1. Значения переменных коэффициентов модели 88С/ЫИ1-и;-2.

Сш\ Сш 2 Сд Сш ас1 Сш з Сеа

"Пристенное" значение

0.5556 0.8333 0.0675 0.045 0 0 0.4037 "Свободнотурбу- а48 0^86 0^20 0_05дз 0^566 22 0^3533

лентное значение

С\ С{ С2 Сз С3

С4

С'п с«

"Пристенное" значение

"Свободнотурбулентное" значение

1.8 0 0 0.8 0 267/275 159/275 0

1.7 0.9 1.05 0.8 0.65 0.625

0.2 0

В заключении кратко подведен итог диссертации и обозначены направления дальнейших исследований в области перспективных моделей турбулентности, предназначенных для описания струйных течений.

Выводы. В работе решена теоретическая задача, имеющая важное значение для разработки перспективных летательных аппаратов: на основе модели SSG/LRR-w построена модель турбулентности, которая повышает точность описания высокоскоростных слоев смешения и струй. В результате исследований сделаны следующие выводы:

1. Анализ решений уравнений Рейнольдса, замкнутых различными моделями турбулентности, позволяет предположить, что продольная неоднородность параметров газа и эффекты эжекции оказывают существенное влияние на профиль скорости в слое смешения на начальном участке струи. Разработана модификация уравнения для характерной частоты турбулентности, которая учитывает эти эффекты. Это позволяет получить в расчетах длину начального участка плоской дозвуковой струи с точностью не хуже 10%, а поперечные профили скорости — с точностью не хуже 5%.

2. Разработана новая модель эффектов осесимметричности, учитывающая, что механизм растяжения кольцевых вихрей Поупа не проявляется на начальном участке круглой струи. Модель действует только на переходном и основном участках круглой струи, что позволяет при описании круглых струй достичь той же точности, что и при описании плоских струй.

3. Сопоставление решений уравнений Рейнольдса с разными поправками на эффекты сжимаемости турбулентности приводит к предположению о том, что при конвективном числе Маха Мс > 0.5 изменение анизотропии напряжений Рейнольдса оказывает существенное влияние на сокращение ширины слоев смешения. Построена поправка на сжимаемость, которая учитывает этот эффект. В результате снижение ширины слоев смешения в диапазоне 0 < Мс ^ 2 моделируется с точностью не хуже 10%. Однако в расчетах недорасширенной струи с ттс = 5 данная поправка ухудшает качество описания начального участка струи.

4. В расчетах установлено, что на ударно-волновую структуру недорасширенной струи существенно влияет взаимодействие турбулентности с дисками Маха. Предложена модификация DRSM-модели, которая устраняет турбулентный фронт перед скачками уплотнения и обеспечивает точность не хуже 7% в описании осевого распределения и поперечных профилей давления торможения Пито на первых 3 калибрах струи. Данную модификацию следует включать только в окрестности сильных скачков уплотнения.

Подписано в печать 29 декабря 2014 г. Объем 1,2 п.л. Тираж 80 экз. Отпечатано в НИО-1 ЦАГИ