Применение В-сплайнов в методе конечных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 Ой

5

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи ПАЦКО Надежда Леонидовна

УДК 519.6

ПРИМЕНЕНИЕ В-СПЛАЙНОВ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1993

Работа выполнена в Институте математики и механики Уральского Отделения Российской Академии Наук.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Н.Субботин Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Н.И.Черных кандидат физико-математических наук, доцент Ю.М.Репин Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится "16 " о^опь^г^_1993 года

в часов на заседании специализированрого совета К 002.07.01 в Институте математики и механики Уральского Отделения Российской Академии Наук, г.Екатеринбург, ул.С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " Л^ и _1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник В.Д.Скаран

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

' 'Актуальность темы. Полиномиальные сплайны находят шпро-;ое применение d вычислительной математике п инженерной практике. )нп хорошо зарекомендовали себя при решении интерполяционных за-[ач, задач численного дифференцирования ii численного интегрировали функций, при решенп краевых па дач, интегральных уравнений н \д. Полиномиальные сплайны имеют хорошие свойства устойчивости 1тносительно локальных возмущений, просты в реализации на ЭВМ. Сплайны обладают экстремальными свойствами.

В теории сплайн-аппроксимации наиболее известны монографии i статьи таких авторов, как Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш, 1 Б. Стечкпн, Ю. Н. Субботин, Шенберг, К. де Боор, В. М. Тпхоми->ов, В. А. Морозов, Н. П. Корнейчук, Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, i. Л. Мирошниченко, В. А. Василенко, В. Н. Малоземов, А. Б. Певный, L И. Гребенников, В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов и др.

Настоящая работа посвящена методу сплайи-пнтсрпопяцнп фун-цпн, заданной в узлах равномерной cqtkii конечного отрезка, и прп-[ененпю В-спланнов в качестве аппроксимирующих функций в ме-оде конечных элементов (MIO) при решении эллиптических крае-ых задач. Рассматривается также применение В-сплайнов в задаче ас-чета напряженно-деформированного состояния резиновых элемен-ов при запрессовке комбинированного шарнира и при осевом сжа-нн ограниченного по торцам толстостенного цилиндрического амор-пзатора. Гезпнометаллпчсскпе шарниры комбинированного типа яв-яются одними из самых распространенных среди силовых резпноте-ничеекпх изделий в автомобильной промышленности, тракторостро-

еншх и транспортном машиностроении; амортизаторы сжатия применяются также в горнодобывающей промышленности.

Цель работы.

1. Рассмотреть способ сплайн-интерполяции на конечном отрезк< [О,а], при котором краевые условия на концах отрезка явно не зада ются. Получить оценки погрешности сплайн-пнтсрполяцпп для фун кции и ее производных в пространствах С[0,а] и ¿р[0,а] (р > 1).

2. Изучить вопрос применения В-сплайнов в МКЭ на примере ре шення эллиптических краевых задач в прямоугольнике. Провести сра вненне В-спланнов с традиционными базисными функциями.

3.Разработать эффективный прямой метод решения системы ли неиных алгебраических уравнении (СЛАУ), возникающей в МКЭ, матрицей, построенной на основе В-сплайнов.

4. Использовать В-сплайны в МКЭ при решении нелинейной задач расчета напряженно-деформированного состояния осеснммстрпчны резинометаллпчеекпх изделий. Провести анализ результатов числе! ного моделирования.

Методика исследований. Проведенные исследования опирают« на общие методы математического анализа, теории приближения фу] кцпп, вычислительной математики. При выводе оценок в значнтельнс мере используются результаты и идеи Ю.Н.Субботина, относящиеся изучению экстремальных п аппроксимационных свойств интерполящ сплайнами с равномерными узлами на бесконечной осн. При решеш задачи расчета резинометаллпчеекпх изделий в больших деформацш применяются методы теории наложения малых деформаций на коне ные.

Научная новизна. Предложен способ сплайн-интерполяции на отрезке, не требующий задания краевых условий. Получены оценки погрешности аппроксимации функции и ее производных в пространствах С[0,а] и ¿р[0,а] (р>1).

На примере решения эллиптических краевых задач описана технология применения В-сплайнов в МКЭ. Разработан модифицированный фронтальный метод (МФМ) решения СЛАУ с глобальной матрицей, построенной на основе двумерных В-сплайнов произвольной степени с произвольным расположенпем узлов. Отмечены преимущества В-сплайнов в сравнении с традиционными базисными функциями МКЭ по точности и количеству неизвестных параметров. Использование В-сплайнов в задаче расчета напряженно-деформированного состояния осесимметричных резинометаллических изделий позволило применить различные сочетания степеней В-сплайнов при аппроксимации радиального и осевого перемещений и функции гидростатического давления.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенный способ сплайн-интерполяция на отрозке может быть использован в вычислительной математике, в приложениях теории приближения функции для приближенного представления функций, приближенного восстановления сеточных функций, в задачах численного дифференцирования функций и т.д.

Технология применения В-сплайнов в МКЭ, разработанная для задачи расчета осеспмметрнчных резинометаллпческих изделий , реализована в виде комплекса программ "BRS" и может быть использована и при решении других задач.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на II Всесоюзном совещании по методам сплайн-функций (г.Новоснбирск, 1984 г.), на Всесоюзной Сибирской школе по вычислительной математике (г.Новосибирск, 1988 г;), на Ш-сй Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (г.Сыктывкар, 1989 г.), на 3-еп региональной конференции "Теория аппроксимации и задачи вычислительной математики" (г.Новосибирск, 1991 г.), на семинарах отделов теории приближения функций и теории аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН (г.Екатеринбург).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [1-7].

Структура и об'ем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Общий объем -151 страница машинописного текста, включая 14 таблиц и 19 рисунков.

Библиография содержит 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении в сжатой форме изложены основные результаты работы.

Параграф) 0 содержит некоторые определения, необходимые при дальнейшем изложении.

Первая глава посвящена методу сплайн-интерполяции функции /(х), заданной в узлах равномерной сетки на конечном отрезке [0,а]. Глава содержит четыре параграфа.

В первом параграфе указан способ построения интерполяционного сплайна для функции /(х). Суть его состоит в том, что с помощью

двух интерполяционных полиномов Лагранжа степени п, интерполирующих функцию в (п+1) первых (соответственно последних) узлах сетки, продолжаем функцию f(x) на всю ось и применяем интерполяционный сплайн Sn(x, h) с равномерными узлами , определенный на всей осп. Суйсенпе S„(x,h) сплайн-пнтерполянта Sn(x,h) продолженной функции определяет сплайн на отрезке. Прп этом способе построения интерполяционного сплайна не требуется явного задания краевых условий.

Интерполяционные сплайны с равномерными узлами на бесконечной осп были введены в работах Кваде и Коллатца, Шенберга. Экстремальные и аппроксимативные свойства таких сплайнов и их обобщепй изучались Ю.Н.Субботиным. В частности, Ю.Н.Субботиным доказано, что существует единственный интерполяционный сплайн с равномерными узлами на бесконечной оси, имеющий ограниченную п-ю производную. Такой сплайн обладает хорошими свойствами сходимости.

В данной работе прп выводе соответствующих оценок для функции, оаданой на конечном отрезке, в значительной мере используются результаты и идеи работ Ю.Н.Субботпна.

Во втором параграфе получена оценка погрешности интерполяции функции и ее производных в пространстве С[0,а]:

Теорема 1. Если 0 < к < п и функция f(x) имеет на отрезке [0, а] непрерывную k-ю производную, то справедлива оценка ||/М(*) - ^(х, Л)||С[М < с(п, Л)

(к<п, О < г < к), где с(п, к) - положительная константа, зависящая только от п и к.

Основным результатом третьего параграфа является оценка в пространстве Ьр [0, а] (р>1).

Теорема 2. Если 1 < I < п п функция /(х) б то справедливо неравенство

(О < г < I, Р> 1),

где положительная константа с(п,1,¿) зависит только от п, / и г.

В четвертом параграфе приведены расчетные формулы для определения сплайна 5п(х, Л), интерполирующего функцию /(х) в узлах равномерной сетки отрезка [0,а]. Описанный алгоритм был реализован в виде процедуры, предназначенной для вычисления сплайна 5п(а:,Л) и его производных в произвольной точке отрезка [0,а]. Программа использовалась для приближенного представления и восстановления функций.

Во второй главе анализируется применение В-сплайнов в методе конечных элементов (МКЭ) на примере решения эллиптических краевых задач.

В первом параграфе обсуждается использование одномерных и двумерных В-сплайнов степени п в МКЭ. Отмечаются преимущества В-сплайнов по сравнению с полиномами Лагранжа и Эрмнта по чнслу неизвестных параметров и количеству отличных от нуля элементов в глобальной матрице.

Во втором параграфе дается постановка задачи для двумерных эллиптических уравнений в прямоугольнике.

Пусть область Г2 - прямоугольник с границей Г:

П = {(х,2/): СП) < т < с<2' < у < №}.

В соответствии с методом Рптца п методом штрафных функций решение эллиптической краевой задачи, удовлетворяющей граничному условию

Ми = (р на Г, сводится к проблеме минимизации функционала

J{u) = (Аи,и) -2(/,и) + а 1(Ми-ч>)2<1Г,

г

где А - симметричный, положительно определенный оператор; / - достаточно гладкая функция; а (о > 0) - коэффициент штрафа; .М -линейный оператор; <р - Заданная функция.

Приближенное решение эллиптической краевой задачи будем искать в виде

¿=1 ■

где Ф^(х,у) - двумерные В-сплайны произвольной степени п с произвольным расположением узлов.

Известно, что в МКЭ в конечном счете все сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

¿[(Лф!"\ Ф«п)) + а(МФ(п>, Ф'п))г]с,- = (/, Ф<">) + а (у, МфН)г, (1) ¿=1

з = V-

В третьем параграфе описана структура глобальной матрицы системы (1), основанной на В-сплайнах. Регулярность структуры глобальной матрицы (ГМ) используется в алгоритме модифицированного фронтального метода решения СЛАУ.

Четвертый параграф посвящен изложению модифицированного фронтального метода (МФМ).

Фронтальный метод, предложенный для симметричных, положительно определенных матриц Апронсом, - один из наиболее эффективных прямых методов решения больших разреженных СЛАУ в МКЭ. Фронтальный метод (ФМ) основан на методе исключения Гаусса. Особенность ФМ в том, что уравнения в нем генерируются параллельно с процессом решения системы. В оперативной памяти отводится рабочий массив (РМ), в котором суммируются локальные матрицы (ЛМ) и одновременно о существ ляе тся Гауссовское исключение. Размерность РМ значительно меньше размерности ГМ.

Непосредственное применение ФМ к системе (1) при п > 2 невозможно, так как ФМ ориентирован на базисные функции, определяющие параметры которых непосредственно связаны со значениями изучаемых характеристик (перемещений, напряжений и т.д.) в узлах ко-нечноэлемснтной сетки. Такие параметры будем называть узловыми. При использовании В-сплайнов в МКЭ неизвестные системы (1) не являются узловыми параметрами. По этой же причине не подходит стандартный для ФМ способ внесения'граничных условий.

Модификация фронтального метода заключается в распространении ФМ на случаи неузловых параметров. Существенно используется упорядоченность неизвестных.

В случае симметричных положительно определенных матриц МФМ снован на методе LDLT - факторизации. Приводится подробное пз-оженпе алгоритма.

Для несимметричных матриц, построенных на В-сплапнах и имею-(пх регулярную структуру, основные этапы МФМ даны в приложе-пи.

Параграф пять содержит результаты численных экспериментов для вух модельных задач.

I. Уравнение Пуассона

II. Бпгармонпческое уравнение (пластина с Заделанным краем)

Символ ш означает внешнюю нормаль.

Оказалось, что для достижения хорошей точности при использова-ш В-сплайнов требуется находить значительно меньше параметров, ;м для других типов базисных функций: кубических эрмитовых, на (адрате, кубических на треугольнике, пятой степени на треугольнике, ункцпй Клафа и Точера, функции Дюпюп и Геля. Например в задаче полиномы пятой степени на треугольнике дают максимальное сме-

д*и д*и _ q ох■* дх2ду2 ду* ~ D

в Q = (0,1) х (0,1),

щение пластины е = 0.00127 (приближенное значение аналптпческо решения) при определении 961 неизвестных параметров. Если пспол зовать В-сплапны 3-ей степени, то получить е = 0.00127 удается п] определении 49 неизвестных параметров.

Третья глава посвящена нелинейной задаче расчета напряженн деформированного состояния осесимметрнчных резинометаллическ] изделий.

Разработкой методов расчета резпнометаллпческпх изделий зан малпсь многие авторы: В. Л. Бпдерман, Н. А.' Сухова, Э. Э. Лаве дел, В. Н. Потураев, В. И. Дырда, И. И. Круш, С. И. Дымникс К. Ф. Черных, В. Г. Карнаухов, Э. И. Мо§Ье, Н. Г. М. И. С ротин, В. П. Козлов, А. А. Павловские, М. И. Снпегс, В. А. Целпщс И. К. Сенченков, В. Т. Григоренко, Г. В. Мартьянова, В. Г. Маслеин ков, В: В. Кирпчевский, А. С. Сахаров, Г. Г. Мазнева, Е. А. Гозма В. А. Дружинин, С. С. Прасникова, Т. П. Дядюкпна, А. Ю. Шевчеш А. В. Мазнецова и другие.

В данной работе рассматриваются задачи расчета резиновых эт. ментов при запрессовке комбинированного шарнира и при осевом сж тии ограниченного по торцам толстостенного цилиндрического амо тизатора.

В первом параграфе описана конструкция резинометаллическ] шарниров и втулок.

Во втором параграфе приведена постановка задачи. Использ ется предположение о несжимаемости резины (коэффициент Пуассо] ц = 0.5). Резиновые шарниры и амортизаторы сжатия работают области средних и больших деформаций. Рассматриваемые задачи о

эсятся к нелинейной теории упругости. Нелинейная задача включает: эавненпе равновесия (в компонентах тензора Ппола-Кпрхгофа), со-гношенпя, связывающие перемещения и компоненты тензора дефор-аций, уравнения состояшш, геометрические соотношения, условие зсжимаемости. Пр1теденпе нелинейной задачи к последовательности таеаризованных задач осуществляется на основе теории наложения алых деформаций на конечные. Используются основные соотношения горни наложения малых деформаций на конечные в цилиндрической 1стеме координат г, <р, г (а<г<Ь, 0 < <р < -I < г < I), приве-;нные для потенцпала Трелоара в работе Дымнпкова, Дружинина 1 . м линеаризованных задач функционал прпращенпя потенциальной сергии в координатах недеформированного состояния взят из работы ружпнпна 2.

Известно, что расчет осесимметричных тел при осесцмметрпчных 1грузках сводится к решению двумерной задачи. Далее координату г юзначим через х, а координату г через у.

Во втором параграфе при поиске точки стационарности функцно-

ша линеаризованной задачи в качестве базисных функции в МКЭ

пользуются двумерные В-сплайны произвольной степени с пропз-

1 Дымнпков С.И., Дружинин В.А. Характеристики жесткости резп-«металлнческого шаршфа комбинированного типа // Вопросы дина-

1ки и прочности. - Рига: Зпнатне, 1976. - N0. 33. - С. 147-159.

3 Дружинин В.А. Исследование влияния предварительных деформа-ш на разрушение резиновых элементов Комбинированного шарнира

Вопросы динамики и прочности. - Рига: Зпнатне, 1983. - N0. 42. -. 80-85.

вольным расположением узлов:

«(*.»)='ё)с<ФЬ)(*,у),

¿=1

}=1

Р(*.У)= £ А,Ф1ПР)(Х12/).

«=1

Здесь пи,пи,,пр - степени В-сплайнов, аппроксимирующих фун перемещений (радиальное - и, и осевое - V)) и функцию гидрост ческого давления р. Условия стационарности функционала прнво; СЛАУ с симметричной матрицей.

В четвертом параграфе приведены формулы для вычисления J локальных векторов нагрузки (ЛВН), необходимые для осуществи МФМ решения СЛАУ.'Описал способ занесешш ЛМ и ЛВН в Р] Пятый параграф содержит результаты численного моделировг Описанный алгоритм с применением В-сплайнов реализован в комплекса программ "ВШ?"' на языке ФОРТРАН. Комплекс пр< значен для расчета напряженно-деформированного состояния осе метрпчных резпнометалличесхих изделии прямоугольной формы чении. Вычисления проводились на ЭВМ БЭСМ-6 и Эльбрус Рассчитывались резиновые элементы при запрессовке одноколет комбинированных шарниров и при осевом сжатии ограниченны торцам амортизаторов. Полученные результаты достаточно хор совпадают с экспериментальными данными из работ 2>3. Для то:

3 Сиротин М.И., Масленников В.Г., Дядюхина Т.П. Расчет тог. стенных резиновых втулок при осевом сжатии // Каучук и рези] 1986, N0. 12. - С. 24-26.

енного полого цилиндра с ограничениями по торцам получилось хотев согласование со значениями точного решения 4 в лпнейной об-стп.

В работе 5 говорится, что использование метода последовательных гружешш при вычислении больших деформации упругих массивных л требует дополнительных обоснований. В связи с этим отметим,

0 метод расчета с применением B-сплайнов может быть полезен, по айней мере, для нахождения начального приближения. Технология применения В-сплайнов в MIO может быть использо-на п прп решении других задач (не обязательно осеспмметрпчных). Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Предложен способ сплапн-интерполяцпп на отрезке, не требу-цип задания краевых условий. Доказаны оценки погрешности ап-окспмации функцшг п ее производных в пространствах С[0,а] п '[О,а] (Р> 1).

2. На примере решения эллиптических краевых задач в прямоуголь-ке проанализирован вопрос о применении B-сплайнов в MIO. Пробно сравнение B-сплайнов с традиционными базисными функциями ХЭ: применение B-сплайнов позволяет получпть хорошую точность

»' г

и значительно меньшем числе параметров.

3. Разработан модифицированный фронтальный метод решения

1 Сенченков U.K., Шевченко А.Ю., Мазнецова A.B. Справочные ко-

фпцпенты жесткости призматических и цилиндрических впбропзо-

горов при сжатии и сдвиге// Вопросы дпнампкн п прочности.

га: Зпнатне, 1987. - No. 48. - С. 23-28.

Слепян JI.IL, Витязева Е.В. Об одном приближенном методе рения задач теории упругости в случае больших деформаций // ДАН :СР. - 1984. - Т. 277, No. 3. - С. 566-569.

СЛАУ с матрицей, основанной на двумерных В-сплайнах пропз ной степени с произвольным расположением узлов.

4. В-сплайны применены при решении нелинейной задачи ра< напряженно-деформированного состояния осесимметричных ре; металлических изделий. Разработан комплекс программ "BRS" зультаты численного моделирования (с использованием комплекса грамм "BRS") в задачах расчета резиновых элементов при запр вке комбинированного шарнира и при осевом сжатии ограниченно торцам амортизатора показали хорошее совпадение с эксперимен нымп данными. В задаче о сжатии полого кругового цилиндра с крепленными торцами и свободными от напряжений цилиндричес поверхностями имеется хорошее согласование результатов, пол; ных с использованием В-сплайнов, со значениями точного реши области малых деформаций.

Приношу глубокую признательность своему научному руко телю Ю.Н.Субботину за постановку задач и помощь при выполх работы.

Основные результаты диссертации изложены в следук работах:

1. Падко H Л. Приближение сплайнами на отрезке / / Матеь метки, 1974. - Т. 16, Вып. 3. - С. 491-500.

2. Пацко Н.Л. Восстановление сеточной функции и ее произво с помощью сплайнов произвольного порядка // Программы оптш ции (приближение функций), 1975. - Вып. 6. - Свердловск, ИММ АН СССР. - С. 63-81.

3. Пацко Н.Л. Применение В-сплайнов при решении некоторые

евых аадач методом конечных элементов // Алгоритмы приближения функций, 1987. - Свердловск, ИММ УНЦ АН СССР. - С. 35-88.

4. Пацко Н.Л. Модифицированный фронтальный метод решения СЛАУ с матрицей жесткости, построенной на основе В-сплайнов / Цеп. в ВИНИТИ, 31 е., N0. 2627-В87 от 15.04.87.

5. Субботин Ю.Н., Пацко Н.Л. Применение В-сплайнов в методе ко-аечных элементов // Тезисы докладов Ш-еп Всесоюзной конференции но нелинейной теории упругости. - Сыктывкар, 1989. - С. 124.

6. Субботин Ю.Н., Пацко Н.Л. Применение В-спланов в методе ко-аечных элементов // Моделирование в механике, 1991. - Новосибирск, Г. 5(22), N 5. - С. 110-117/

7. Пацко Н.Л. Технология применения В-сплайнов в расчете осе-:имметричных реоинометаллпчеекпх изделий / Деп. в ВИНИТИ, 189

N0. 2443-В92 от 24.07.92.