Расчет электромагнитных полей в цепочке резонаторов с магнитной связью для линейных ускорителей электронов со стоячей волной методом электродинамического моделирования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. Электродинамическое моделирование замедляющих систем типа цепочки связанных резонаторов.

§1.1. Электродинамическая нодель цепочки связанных объемных резонаторов.

§1.2. Уравнение для цепочки резонаторов как реализация метода Галеркина.

§1.3. Моделирование элементов связи между резонаторами замедляющей системы.

§1.4. Моделирование замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов с учетом подводящего волноводного тракта.

§1.5. Характеристики разработанных программ, результаты тестовых расчетов.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА П. Электродинамические характеристики высших видов колебаний в осесимметричных объемных резонаторах.

§2.1. Расчет ЭДХ на основе разложения искомых функций по базису преобразованной области.

§2.2. Методика и программа построения системы кривой-линейных ортогональных координат в осесимметричных резонаторах.

§2.3. Расчет электродинамических характеристик на основе решения уравнений Максвелла в криволинейной ортогональной системе координат.

§2.4. Расчет электродинамических характеристик на основе итерационного метода.

Выводы к главе П. НО

ГЛАВА Ш. Численная модель возбуждения объемных резонаторов пучками заряженных частиц. III

§3.1. Электродинамическая модель возбуждения объемного резонатора периодической последовательностью сгустков заряженных частиц в стационарном режиме. III

§3.2. Численное моделирование возбуждения объемного резонатора в стационарном режиме.

§3.3. Анализ возбуждения осесимметричного резонатора ультрарелятивистским пучком заряженных частиц в стационарном режиме.

§3.4. Электродинамическое моделирование возбуждения объемного резонатора пучком заряженных частиц в переходном режиме.

§3.5. Численная модель процесса возбутвдения резонатора сгустком заряженных частиц.

§3.6. Возбуждение цилиндрического резонатора ультрарелятивистским сгустком заряженных частиц.

Выводы к главе Ш.

Наряду с традиционным применением ускорителей заряженных частиц в качестве инструмента экспериментальной физики в последние годя наблюдается значительное увеличение сфер их использования в народном хозяйстве /I/. Непрерывно возрастает доля радиационной технологии на базе малогабаритных ускорителей в тяжелой и легкой промышленности, в сельском хозяйстве и медицине. Естественно, что к ускорителям заряженных частиц прикладного назначения предъявляется ряд специфических требований, обусловленных необходимостью их эффективного использования в производстве. К таким требованиям прежде всего относятся простота обслуживания, экономичность, надежность. Их выполнение невозможно без детальной проработки и оптимизации всех систем установки. Большое практическое значение в связи с этим приобретает численный эксперимент, который в ряде случаев значительно дешевле натурного эксперимента, не требует больших материальных затрат, позволяет набрать необходимую статистику в короткие сроки и значительно ускорить разработку новых установок и приборов. Более того, как показала практика, численный эксперимент позволяет выявлять и неизвестные ранее процессы и явления, быть инструментом тонких и всесторонних исследований моделируемого объекта /2/.

Все более разностороннее применение находит численное моделирование при исследовании электродинамических процессов в ускорителях заряженных частиц (УЗЧ) и электровакуумных приборах (ЭВП) СВЧ. Тенденция к увеличению токов заряженных частиц и мощности установок в целом привела к качественно новым требованиям, предъявляемым к численному моделированию электродинамических процессов. Одним из наиболее существенных требований является многомодовость модели, т.е. возможность анализировать взаимодействие пучков заряженных частиц с комплексом электромагнитных колебаний, которые возбуждаются в рабочих объемах установок.

В настоящей работе в основу численной модели УЗЧ и ЭВП СВЧ положено электродинамическое моделирование замедляющих систем типа цепочки связанных объемных резонаторов, а для описания электромагнитных полей в резонаторах системы используется метод разложения на основном базисе, который строится в резонаторах сложной формы численным способом.Выбор такой модели обусловлен возможность проводить многостороннее численное исследование замедляющих систем при относительной простоте получаемых алгоритмов. Выбранная модель не охватывает, естественно, всего многообразия используемых на практике замедляющих систем, а ограничивается замедляющими структурами, представляющими собой цепочку связанных объемных резонаторов (ЦСР). В частности, значительная часть результатов, полученных в настоящей работе, использована при разработке линейных ускорителей электронов со стоячей волной на основе бипериодических замедляющих структур /3, 4 /.

Одной из нервых работ, посвященных электродинамическому моделированию замедляющих систем типа ЦСР, является работа / 5 /, авторы которой получили дисперсионное соотношение для цепочки цилиндрических резонаторов, связанных через узкие азимутальные щели, с учетом как вихревой, так и потенциальной частей поля. В основу работы были положены уравнения для ЦСР, полученные Слэтером / 6 /. Дальнейшее развитие данная методика получила в работе / 7 /, где впервые было проведено электродинамическое моделирование бипериодической замедляющей системы. В работе / 8 / электродинамическая модель использовалась дай анализа дисперсионной характеристики системы резонаторов, последовательно связанных через узкие азимутальные щели, прорезанные на одинаковом расстоянии от оси резонаторов.

В настоящей работе проведено дальнейшее развитие методики электродинамического моделирования замедляющих систем типа ЦСР с магнитной связью с учетом взаимного разворота щелей связи по азимуту и их расположения на различных радиусах от оси системы / 9, 10 /. На практике замедляющие системы соединены, как правило, с волноводными трактами, подводящими или отводящими СВЧ-мощность, наличие которых может существенно влиять на электродинамические характеристики (ЭДХ) системы. В связи с этим в работе рассматривается также моделирование замедляющих систем с подводящим волноводным трактом и методика расчета их внешних ЭДК / 50 /.

Наряду с моделью электродинамической цепочки связанных резонаторов для исследований ЭДХ замедляющих систем на практике используется модель, представляющая замедляющую структуру в виде цепочки связанных радиотехнических контуров / II, 12, 13 /. Такое представление замедляющих систем, обладая большой наглядностью и простотой алгоритма, имеет ряд недостатков, ограничивающих применение контурной модели (например, трудность учета несимметричности возбуждения ячеек, необходимость оцределения параметров эквивалентной схемы ячеек и т.д.).

Как уже отмечалось выше, при моделировании замедляющих систем типа ЦСР электромагнитные поля в резонаторах раскладываю тЬя в ряда по системам собственных векторных ортонормирование функций, чем и обеспечивается многомодовость модели. Такой подход позволяет разделить решение задачи на два этапа: решение краевой задачи электродинамики для нахождения собственных векторных функций и оцределение неизвестных коэффициентов разложения электромагнитного поля. Однако большинство используемых на практике замедляющих систем имеют резонаторы сложной формы, затрудняющей получение аналитического решения краевой задачи, и для нахождения собственных векторных функций таких резонаторов необходимо использовать численные метода.

Подавляющее большинство численных методов решения волнового уравнения основано на сведении его путем дискретизации к системе линейных алгебраических уравнений / 14 /. Как правило, используется четыре основных метода решения краевой задачи в полых резонатора: метод конечных разностей, вариационный метод, интегральный метод и метод конечных элементов, получивший в последнее время широкое распространение / 15 /. Поскольку дискретизацию можно рассматривать, как проекцию бесконечномерного функционального пространства на конечномерное пространство,то все перечисленные выше метода являются разновидностями проек-ционно-сеточного метода / 16 /.

Среди первых отечественных работ, посвященных численным методам расчета электродинамических характеристик высших видов колебаний, можно отметить работу / 17 /, где изложена методика и приведены некоторые данные по расчету резонансных частот высших видов колебаний в осесимметричных резонаторах на основе решения интегральных уравнений. К недостаткам предложенного подхода следует отнести значительную погрешность расчета резонансных частот (порядка 2-5$) даже при несложном профиле исследуемого резонатора и существенную зависимость погрешности расчета от сложности границы.

Среди первых известных зарубежных программ следзует выделить программу &TJPERFI<>H/ 18 /, которая послужила основой дяя создания целой серии более совершенных программ SUPER F1SH-1 / 19 /, L(\N$ / 20 /, PRU3) / 21,22 AULTRAFISH / 23 /.

Программа $UPERFI$H предназначена для вычисления ЭДХ азимутально-однородных видов колебаний в осесимметриных резонаторах сложной формы. В основу программы положен метод конечных элементов, причем на исследуемую область наносится нерегулярная триангулярная сетка, что позволяет с высокой точностью аппроксимировать границу области. Относительная погрешность рачета резонансных частот цилиндрических резонаторов лежит в пределах 0,1*10 х 10~3. Время требуемое для расчета одной моды при числе узлов сетки порядка 2000 составляет приблизительно 10 сек на ЭВМ СДС 7600. К недостаткам программы следует отнести значительный объем памяти и необходимость корректного выбора узла с кольцевым возбуждающим током, причем этот выбор зависит как от конфигурации резонатора, так и от распределения компонент электромагнитного поля искомой мода, что затрудняет алгоритмизацию выбора.

Методика, положенная в основу програшы $1TPE1RFISH получила дальнейшее развитие в программе 20 /, где для решения системы уравнений, полученной при дискретизации задачи, используется метод обратных итераций со сдвигом по частоте. "В отличии от &UPE.RFISH возбуждение резонатора обеспечивается не одним кольцевым магнитным током в выбранном узле сетки, а магнитными токами, распределенными по продольному сечению резонатора. К недостаткам программы следует отнести возросший, по сравнению с программой $VPELRFI$M объем памяти, занимаемый рабочими массивами.

Одним из современных вычислительных средств на основе метода конечных элементов является пакет программ PRUL / 21,22 /, предназначенный для расчета ЭДХ азимутально-неоднородных видов колебаний в осесимметричных резонаторах. Прототипом при создании программного комплекса PR1F3) послужила программа SUPER FISH , методика которой была развита авторами для расчета электромагнитных полей с вариациями по азимуту. К достоинствам пакета программ PR1TD относится высокая точность расчета: относительная погрешность определения резонансных частот цилиндрических резонаторов составляет 14-6 10"^, а относио тельная погрешность расчета полей не превышает при этом 1*5 10 . Время расчета одного вида колебаний при числе узлов сетки порядка 1000 составляет 1*3 мин на ЭВМ с быстродействием I млн. операций / сек.

Метод конечных элементов реализован также в быстродействующих црограммах MULTIMODE/ 58 / и PRVDO /59/, предназначенных для расчета собственных колебаний в осесимметричных резонаторах. Для решения алгебраической проблемы собственных значений в программах использован метод итераций в подпространстве. В отличии от программ и PRUD в программах MULTIMODE и J?RUD0 в качестве конечных элементов используются изопара-метрические четырехугольные элементы, что позволило повысить точность численного решения и эффективность вычислительного алгоритма.

Алгоритмы рассмотренных выше программ основаны на использовании для дискретизации исходных уравнений метода конечных элементов, который в настоящее время находит широкое применение в численном моделировании. Другим методом, эффективно используемым при решении краевых задач внутренней электродинамики является метод конечных разностей. На его основе созданы программы для расчета ЭДХ как азимутально-однородных / 24,25,26 / так азимутально-неоднородных видов колебаний / 27,28,29 / в осесимметричных резонаторах.

Среди современных программ, в которых используется конечностно-разностный метод, можно отметить программу AZIMUTH / 29 /, предназначенную для расчета азимутально-однородных и азимутально-неоднородных видов колебаний. Программа A1IMVTH обладает высоким быстродействием (расчет одного вида колебаний занимает 1*3мин на ЭВМ БЭСМ-6 при числе узлов сетки порядка 4000) и устойчивостью решения. Относительная погрешность расчета резонансных частот азимутально-неоднородных видов Колено баний не превышает 1,5 10 * и уменьшается с увеличением числа вариаций поля по азимуту. К недостаткам программы следует отнести зависимость времени счета от номера рассчитываемого вида колебаний (поскольку для расчета конкретной мода необходимо провести расчет всех мод с таким же числом вариаций по азимуту, но имеющих более низкую резонансную частоту) и ограничение в настоящее время возможности расчета несколькими первыми модами при фиксированном числе вариаций поля по азимуту.

Анализируя современное состояние вопроса можно отметить, что первый этап решения задачи расчета электродинамических характеристик высших видов колебаний в осесимметричных резонаторах когда формировались подходы и метода решения, в целом завершен, и данная проблема вступает во второй этап развития, посвященный разработке более совершенных численных методов и более эффективных программных комплексов. Это связано как со спецификой конкретных задач, так и с ростом круга пользователей, поскольку определение электродинамических характеристик высших видов колебаний представляет большой интерес при разработке ускорителей заряженных частиц и электровакуумных приборов СВЧ.

Следзует отметить, что на момент разработки методик и программ, представленных в настоящей работе и посвященных расчету ЭДХ высших видов колебаний, была известна лишь одна отечественная программа аналогичного назначения / 29 /, имеющая сравнительно невысокое быстродействие и требующая значительного объе-ема машинной памяти. В тоже время существовала значительная практическая потребность в быстродействующих программах по расчету собственных колебаний резонаторов. В связи с этим была поставлена и решена задача разработки эффективных методик и программ для расчета как азимутально-однородных, так и азимутально-неоднородных видов колебаний в осесишетричных резонаторах / 26, 28 /.

Для развития электродинамической модели замедляющих систем типа цепочки связанных резонаторов на решение задачи с учетом нагрузки током необходима численная модель взаимодействия потоков заряженных частиц, присутствующих в системе, с электромагнитным полем резонаторов. Основной проблемой при этом является решение задачи о возбуждении пучками заряженных частиц электромагнитных полей в резонаторах системы, в рамках самосогласованной постановки.

Среди первых отечественных работ, посвященных возбуждению произвольных резонаторов потоками заряженных частиц можно выделить работу / 30 /, в которой сформулирована общая постановка задачи и дано качественное решение в рамках многомодового подхода.

Естественно, что на первом этапе решения данной проблемы развивались в основном аналитические методы, требовавшие определенной идеализации и упрощений, снимающих нелинейность задачи. Так, например, возбуждение колебаний в объемных резонаторах заданными токами фиксированной частоты рассмотрено в / 31 /, где анализируются периодические процессы или процессы, близкие к периодическим. Работа / 32 / посвящена решению задачи об излучении равномерно двищегося заряда в . периодических структурах, в работе / 33 / проведены оценки излучения для отдельных волн и суммарного излучения при прохождении заряженного пучка через цилиндрический резонатор при условии, что скорость движения пучка постоянна.

Среди последних работ, посвященных возбуждению объемных резонаторов заданным током, можно выделить работы / 34,35 /, в которых проведен глубокий анализ переходного процесса в замкнутом цилиндрическом резонаторе, пронизываемом одиночным цилиндрическим сгустком и дана физическая интерпретация полученных результатов.

В работе / 36 / для рассмотрения переходного процесса в резонаторе, возбуждаемом пучком, используется численно-аналитический метод, при котором на первом этапе в приближении заданного поля интегрируются уравнения динамики и вычисляются коэффициенты Фурье - разложения наведенного тока, затем методом медленно меняющихся амплитуд решается уравнение для переходного процесса в резонаторе, представленном своими эквивалентными параметрами и определяется зависимость амплитуды и фазы колебаний от времени.

Применение численного эксперимента для анализа самосогласованного процесса взаимодействия плотного тороидального сгустка электронов запасенным в коаксиальном резонаторе сторонним полем проведено в работах / 37,38,39,40 /, где представлено два различных подхода к решению данной задачи. Так, в работах / 37,38 / соответствующая группа уравнений Максвелла и релятивистское уравнение Ньютона, описывающее движение сгустка, решаются методом конечных разностей, а в работах / 39,40 / используется метод разложения на .основном базисе и полученная система дифференциальных уравнений второго порядка решается численно методом Рунге-Кутта.

Решению задачи о возбуждении объемного резонатора сгустком заряженных частиц, в переходном режиме посвящены работы / 41, 42 /, где сеточным методом непосредственно решается неоднородная система уравнений Максвелла для полного электромагнитного поля совместно с релятивистскими уравнениями динамики / 43 /. Для моделирования сгустка используется метод "крупных частиц"

Таким образом, разработано довольно много подходов и способов решения задачи о возбуждении объемных резонаторов потоками заряженных частиц. Однако быстрое развитие вычислительной техники и методов численного анализа открывает новые возможности в решении данной проблемы. В частности, создание пакетов программ по расчету собственных колебаний в резонаторах сложной формы позволило приступить к реализации метода решения задачи о возбуждении объемных резонаторов на основе разложения искомых электромагнитных полей по системам собственных векторных функций.

Такой подход, наряду с возможностью решения задачи о взаимодействии потоков заряженных частиц с полным электромагнитным полем, позволяет анализировать взаимодействие потоков заряженных частиц с отдельными видами колебаний в рабочих объемах, изучать их влияние на динамику частиц и эволюцию сгустков, а также разрабатывать методы борьбы с паразитными видами колебаний, что является актуальной задачей практики.

В настоящей работе рассматривается численное моделирование замедляющих систем типа ЦСР с магнитной связью на основе разложения искомых полей по системам собственных векторных функций резонаторов и методика расчета в рамках используемой модели электромагнитных полей, возбуждаемых в резонаторах потоками заряженных частиц.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

- методика численного моделирования замедляющих систем типа ЦСР с магнитной связью с учетом подводящего волновода и взаимного расположения элементов связи;

- методика расчета электродинамических характеристик ази-мутально-однородных видов колебаний в осесимметричных резонаторах на основе итерационного метода;

- методика расчета электродинамических характеристик высших видов колебаний в осесимметричных резонаторах, основанная на решении однородных уравнений Максвелла в криволинейной ортогональной системе координат;

- методика численного построения криволинейной ортогональной системы координат в односвязных аксиально-оимметричных объемах;

- методика численного моделирования возбуждения объемного резонатора пучком заряженных частиц в стационарном режиме в рамках многомодовой модели;

- методика численного моделирования переходного процесса при возбуждении объемного резонатора сгустком заряженных частиц.

На основе разработанных методик создан ряд программных комплексов для расчета ЭДХ замедляющих систем типа ЦСР с магнитной связью, для расчета высших видов колебаний в осесимметричных резонаторах, для численного анализа генерации вихревой части электромагнитных полей пучком заряженных частиц в осесимметричных резонаторах в стационарном режиме.

Программные комплексы и методики численного моделирования внедрены в НИИ ЭФА им. Д.В.Ефремова, в РТИ АН СССР, в ИХК и Г СО АН СССР, в МРТИ АН СССР и используются при разработке линейных УЗЧ и ЭВП СВЧ.

Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах / 9,10,25,26,28,49,50,53,56 / и содержатся в 5 отчетах по хоздоговорной тематике. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения.

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 печатных работах / 9,10,25,26,28,49,50,53,56/ и содержатся в 5 отчетах по хоздоговорной тематике.

Программный комплекс &R0T и программа КАМЕУ внедрены в НИИ дШ им.Д.В.Ефремова и используются для разработки малогабаритных линейных ускорителей электронов.

Программа &ЫОМ внедрена в НИИ Э§А им.Д.В.Ефремова, ИХК и Г СО АН СССР, РТИ АН СССР, ИЯФ МГУ и используется для расчета собственных колебаний в осесимметричных резонаторах различных типов.

Программа \)(/1Ч£г$ и методика расчета переходного процесса переданы в РТИ АН СССР и используются в процессе разработки суперрелятивистского клистрона.

Материалы диссертации докладывались на У1 Всесоюзном /семинаре по линейным ускорителям (г.Харьков,1979г.), на Всесоюзной конференции по машинному проектированию систем и устройств СВЧ (г.Тбилиси,1979г.), на Национальной конференции по линейным ускорителям в г.Сан-Франциско (США,1979г.),на 29 научной конференции МИШИ (1981г.), на Всесоюзном семинаре по электродинамике периодических структур (Москва,МЭИ,1982г.), на УШ Всесоюзном совещании по ускорителям заряженных частиц (г.Серпухов,1982г.), на УШ Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям (г.Харьков,. 1983г.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Рябухин Ю.В., Шальнов А.В. Ускоренные пучки и их применение.- М. :Атомиздат, 1980.- 192с.

2. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков.-М.:Атомиз-дат,1979.-224с.

3. Исследование резонаторных замедляющих систем в режиме ускорения больших токов с циркуляцией пучка.- Отчет по теме ШО-З-П за 5-8 этапы, го с. регистрации 80028127, М.,МШ, 1982, авт.:Н.П.Собенин, Б.В.Зверев, В.Л.Бухарин и др.

4. Исследование резонаторных замедляющих систем в режиме ускорения больших токов с циркуляцией пучка.- Отчет по теме80.3-II за 9-12 этапы, П гос.регистрации 80028127, М.,ШШ, 1982, авт.:Н.П.Собенин, Б.В.Зверев, В.Л.Бухарин и др.

5. ЛИгн M.A.,KCno&.F.OhtJie Tlveo^ oj- SbumgJg. Coifed CoЩ Cliam*.-IRE Tmhg.MTT,v.HTT-S,U*3,3?2.

6. Слэтер Дж. Электроника сверхвысоких частот.-Ы.:Советское радио, 1948.- 191с.

7. KUduRcwtfa T.,Gio4dcmo $>.,Caytte*T}. 3)^елс&1оп and

8. Gfiaxac^^dCc^- at АЙе/matuig Pe^uodtc SWctw^ Unea/t ftawXw^Q^.-ta.^u.Ih^'t.,\>.Ssa- Б&2.

9. Собенин Н.П.,Степанов В.В.,Школьников Э.Я. Нагрузка током в бипериодических структурах в стационарном режиме.- В кн.: "Ускорители",М.:Атомиздат, вып.17, 1979,с.88-93.

10. Степ нов В.В. Расчет переходного процесса в бипериодических замедляющих структурах.-В кн.:"Вопросы атомной науки и техники", серия "Техника физического эксперимента", вып.1/3/,Харьков, ЖШД979.

11. Григорьев А.Д.,Янкевич В.Б. Численные методы расчета электромагнитных полей свободных волн и колебаний в регулярных волноводах и полых резонаторов.-В кн.:"Зарубежная радиоэлектроника", 1975, I? 5, с.43-67.

12. Сегерлинд Дж. Применение метода конечных элементов.-М.:Мир,1979, с.392.

13. Марчук Г.PL, Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-М.:Наука,1981.- 416с.

14. Вольман В.И.,Пашу Ю.А. Анализ резонаторов, образованных отрезками неоднородных линий передач с осевой симметрией.- В кн.: "Радиотехника и электроника",1975, т.20, № II,с.2263- 2269.18. R.F. A P<togtatn ^оч &\5oiuafem oj- RF CatfUow- wcik (^(uaol/ucaf

15. Дайковский А.Г. и др. Программа для расчета электромагнитных полей аксиально-симметричных резонаторов.-Серпухов,1980.-15 с.(Препринт / ШВЭ.:80-19).

16. Карлинер М.М., Лысянский П.Б.,Шомель Б.М.,Яковлев В.П.- программа для вычисления электромагнитных полей и собственных частот аксиально-симметричных резонаторов.- Препринт ИЯШ 79-59. Новосибирск ,1979.

17. Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Рябов А.Д. Вычисление электромагнитных полей с вариацией по ^ в осесимметричных резонаторах. Часть I. Основные соотношения.- Препринт ШВЭ 80-107. Серпухов,1980.

18. Дайковский А.Г., Португалов Ю.И.,Рябов А.Д. Вычисление электромагнитных полей с вариацией по У в осесимметричных резонаторах. Часть П. Возможности пакета программ £R1H) Серпухов,1981.-с.(Препринт / ШВЭ.:81-60).

19. HcAoigert R.F., HalloA К., Hinut&o &-.Ы.

20. ULTR-^FX^H fohwaJtiwrtfoh oj- SirfcEBFTibH to m>L.~£toieecl. Linear Accel. (Lonfe^nae, SANTA-FE ,

21. Григорьев А.Д.,Силаев С.А. Расчет электромагнитного поля азицутально-неоднородных типов колебаний аксиально-симметриынх резонаторов с произвольной формой образующей.- В кн."Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ",1981, вып.2 (326), с.62-65.

22. Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками.- М.:Технико-теоретическая литература, 1953,с.324.

23. Ванштейн В.А.,Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.-М.:Советское радио,1973, с.398.

24. Колпаков 0.А.,Котов В.И.,0м-Сан-Ха. Распространение медленных электромагнитных волн в структурном волноводе и излучение заряда, пролетающего по его оси,- В кн. :"}Вурнал технической физики',' т. ХХХУ,выпЛ,1965, с.26-34.

25. Колпаков О.А.,Котов В.И. Излучение заряда, пролетающего через цилиндрический резонатор.- В кн. :"}15урнал технической физики", Т.ХХХ1У, вып.8,1964, с.1387-1391.

26. Ломизе Л.Г.Свешникова Н.Н. Собственное поле сгустка заряженных частиц при переходном и черенковском излучении в резонаторе. -В кн.:Тяжелоионные ускорители",М.:Труды радиотехнического института,1980,с.133-144.

27. Ломизе Л.Г.,Свешникова Н.Н. Замораживание поля при переходном излучении.-В кн.:"Тяжелоионные ускорители",М.:Труды радиотехнического института,1980,с.145-150.

28. Ворогушин М.®., Мудролюбов В.Г.,Петрунин В.И.Переходный процесс в резонаторе, возбуждаемом пучком.- В кн.:"Радиотехника и электроника", 1978, вып.З, с.638-642.

29. Бахвалов Н.С., Жидков Е.П.,Каданцева Е.П.,Рубин С.Б., Сердюкова С.И. Численное решение модельной самосогласованной электродинамической задачи.- Дубна,1979.-12с. (Препринт / ОИЯИ: PII-I2I73).

30. Бахвалов Н.С., Шздков Е.П., Каданцева Е.П.,рубин С.Б., Сердюкова С.И. Численное моделирование движения плотного сгустка электронов в неоднородной структуре.-Дубна,1980.-8с.! (Препринт/ ОИЯИ:PI1-80-876).

31. Рубин С.Б. Самосогласованное рассмотрение задачи об ускорении в резонаторе электронного сгустка с большим зарядом.- Дубна, 1978.-18с. (Препринт/ 0ИЯИ:Р9-П769).

32. Рубин С.Б. 0 численном эксперименте в связи с вопросами отбора энергии у ускоряющего поля плотным релятивистским сгустком электронов.- В кн.:"Журнал технической физики",1981,т.51, вып.З, с.568-576.

33. Данилов В.Д. 0 численном решении задачи взаимодействия сгустка заряженных частиц с резонатором.-В кн. ^'Инженерно-математические методы в физике и кибернетике", М.:Атомиздат,1975, вып.4, с.8-12.

34. Данилов В.Д. Численное исследование переходных процессовв резонаторе при прохождении мощных пикосекундных импульсов тока.-В кн.:"Ускорители", М.:Атомиздат,1977, вып.16,с.18-21.

35. Вальднер О.А., Володин В.А.,Гусаров В.Н.,Данилов В.Д., Масунов Э.С.,Ращиков В.И. Методы исследования взаимодействия интенсивных пучков заряженных частиц с ускоряющими структурами.-В кн.:"Ускорители",М.:Энергоиздат, 1981, вып.20,с.3-12.

36. Ыашковцев Б.М.,Цибизов К.Н.,Емелин Б.Ш. Теория волноводов .-М.:Наука,1966,с.351.

37. Слэтер Дж. Передача ультракоротких волн.-М.:Технико-теоретическая литература, 1946, с.344.

38. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач, электродинамики.-М.:Наука, 1967, с.460.

39. Ьэдепш R. &&ctaomagne£ce vx/ \K/aЛе S^stemland U-Ч,

40. Мак-Кракен Д.,Дорн У. Численные методы и программирование на ^ОРТРАНе,. -М. Мир, 1977, с. 584.

41. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.-М.:Иностранная литература, 1963.

42. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям .-М.:Наука, 1979,с.830.

43. Касчиева В.А., Касичев М.С., Кочин В.Н., Федосеев А.И. Пакет программ MVLTIMQ3)E> для расчета спектров частот осесимметричных и продольно-однородных электромагнитных резонаторов методом конечных элементов.- Серпухов, 1982.- 23с. (Препринт/ИйВЭ: 82-92).