Сходимость и оптимизация численных дискретно-стохастических процедур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

1 Общие подходы к оптимизации дискретно-стохастических численных методов.

1.1 Дискретно-стохастические численные методы (ДСЧМ) аппроксимации функций.

1.2 Погрешности ДСЧМ аппроксимации функции.

1.3 Условно-оптимальные параметры ДСЧМ аппроксимации функции.

2 Дискретно-стохастические численные методы с несмещенными оценками в узлах сетки.

2.1 ДСЧМ аппроксимации интегралов, зависящих от параметра.

2.2 Погрешности ДСЧМ аппроксимации интеграла, зависящего от параметра.

2.3 Условно-оптимальные параметры ДСЧМ аппроксимации интеграла, зависящего от параметра.

2.4 ДСЧМ аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода.

2.5 Погрешности ДСЧМ аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода.'.

2.6 Условно-оптимальные параметры ДСЧМ аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода.

2.7 Вычисление констант.

2.8 Численные примеры.

2.8.1 Численные примеры для интеграла, зависящего от параметра.

2.8.2 Численные примеры для интегрального уравнения.

3 Многомерный аналог метода полигона частот.

3.1 Верхние границы для дискретной компоненты погрешности и смещения многомерного аналога метода полигона частот (МАМПЧ).

3.2 Верхние границы для стохастической компоненты погрешности МАМПЧ.

3.3 Погрешность и условно-оптимальные параметры МАМПЧ.

3.4 Использование МАМПЧ при решении одной стохастической задачи теории переноса излучения.

3.5 Погрешность и условная оптимизация МАМПЧ при решении нелинейных интегральных уравнений методом простой итерации.

С развитием вычислительной техники возрастает интерес к численным методам решения прикладных задач, в частности, к статистическому моделированию (или методу Монте-Карло) [1-17].

Классические методы Монте-Карло строятся для вычисления многократных интегралов. Кроме того, методы статистического моделирования используются при вычислении функционалов от решений интегральных уравнений; при этом используются представления таких функционалов в виде интегралов счетной размерности. Указанные алгоритмы позволяют получать отдельные значения интегралов, в том числе, значения решений интегральных уравнений в выбранных точках.

Если же речь идет о параметрическом интегрировании или об оценке решений интегральных уравнений в целом, то здесь требуются специальные подходы. Одним из первых таких подходов явился так называемый метод зависимых испытаний, обоснованный и исследованный в [18 - 20].

В последние годы активно разрабатываются новые функциональные алгоритмы метода Монте-Карло [13, 14, 16, 17, 19 - 42] (см. также обзоры литературы в [13, 14, 17]).

Исследованию таких алгоритмов посвящены, в частности, работы автора [21, 26, 28, 29, 31, 33 - 37, 42], обзор которых и представляет содержание данной диссертации. Исследуемые алгоритмы статистического моделирования мы будем называть дискретно-стохастическими (или функциональными) численными методами глобальной аппроксимации функций. Эти методы связаны с предварительной дискретизацией задачи (введением сетки), оценкой решения в узлах сетки методом Монте-Карло с последующим восполнением решения по полученным приближенным значениям в узлах сетки. Особенностью исследуемых численных процедур является наличие дискретной и стохастической составляющих погрешности алгоритма, что приводит к некоторым сложностям при исследовании сходимости и при оптимизации упомянутых процедур. В частности, возможны различные подходы к выбору вероятностной меры оценки погрешности и критерия оптимальности алгоритма. Поэтому разработка теории сходимости и оптимизации дискретно-стохастических алгоритмов является актуальной задачей.

Погрешность дискретно-стохастической численной процедуры является случайной величиной, поэтому требуется выбрать вид вероятностной сходимости этой величины к нулю при увеличении числа узлов сетки и числа испытаний при реализации алгоритмов метода Монте-Карло в узлах сетки. С точки зрения теории методов Монте-Карло наиболее естественным является так называемый Ь^-подход, Здесь в качестве меры погрешности выбирается И^-мера со сходимостью в среднем. Тогда стохастическая компонента погрешности представляет собой интеграл от функции дисперсии глобальной аппроксимации решения, которая определяет эффективность алгоритмов статистического моделирования.

С точки зрения дискретных методов в качестве меры погрешности следует выбирать С-меру (супремум модуля разности двух непрерывных функций). В работах [13, 14, 17] для перехода к этой мере предлагается использовать теоремы вложения [43].

При этом нужно изучать сходимость в среднем к нулю производных от погрешности. Кроме того, следует отметить, что оценки погрешности, получаемые из теорем вложения, являются достаточно грубыми и реализуемыми лишь для небольших размерностей задач.

Более точные верхние границы погрешности в метрике С можно получить, если взять более слабую, чем в среднем, сходимость погрешности к нулю по вероятности. Такой метод исследования погрешности дискретно-стохастических численных алгоритмов мы будем называть прямым или С-подходом [21 - 23].

Некоторое отличие от монографий [13, 14, 17] (см. также обзоры литературы в этих изданиях) в данной работе состоит в выборе восполнения решения по полученным приближенным значениям в узлах. В [13,14,17] используется специальное линейное восполнение. Здесь мы будем использовать аппроксимацию Стренга-Фикса [44, 45] с кусочно-линейной производящей функцией (или функцией-крышкой [45]); такое восполнение мы будем называть мультилинейной аппроксимацией [21 - 23].

В работах [38 - 41] показано, что класс восполнений, которые можно использовать в дискретно-стохастических процедурах, достаточно широк и, более того, методика построения верхних границ для дискретных компонент погрешности функциональных алгоритмов практически идентична для различных восполнений. Поэтому основные результаты данной работы технически несложно перенести на дискретно-стохастические процедуры с более гладкими, чем мультилинейное, восполнениями подобно тому, как это сделано в [38 - 41].

Наибольший интерес (и часто - трудность) составляет построение верхних границ для стохастических компонент погрешностей функциональных численных методов для того или иного подхода. Здесь играют роль как свойства соответствующего восполнения (в частности, свойство "сноса погрешности в узлы" [21 - 23]), так и особенности используемых стохастических оценок значений решения в узлах. Здесь важно смещенные они или несмещенные, зависимые или независимые, векторные или скалярные. Изучению этих особенностей посвящена значительная часть данной работы.

Естественно, важно и то, для приближения какой функции используется та или иная дискретно-стохастическая численная процедура. В качестве основных примеров таких функций рассматриваются интеграл, зависящий от параметра

1(®) = У к1{у,х)йу, (1) у и решение интегрального уравнения второго рода

Р2{х) = 1к2{у,х)<р2(у)<1у + ф(х), т.е. </>2 = К</>2 + Ф ■ (2) у

Для интеграла, зависящего от параметра, в качестве стохастических оценок в узлах сетки в данной работе рассматриваются независимые оценки (в каждом узле подбирается своя вероятностная плотность), оценки по методу зависимых испытаний (здесь и плотность, и реализуемые по ней случайные векторы одни и те же для всех узлов), а также смешанные оценки. Все эти оценки являются несмещенными.

Для интегрального уравнения в работе изучаются несмещенные оценки по методу сопряженных блужданий, локальные и векторные оценки, а также смещенные оценки по методу полигона частот. Здесь уместно заметить, что оценки по методу сопряженных блужданий и векторные оценки для интегрального уравнения являются соответственно скалярным и векторным аналогами независимых оценок для интеграла, зависящего от параметра. В свою очередь, локальные оценки являются аналогом оценок по методу зависимых испытаний.

В рамках С-подхода при построении верхних границ для стохастических компонент погрешностей функциональных численных методов с независимыми оценками в узлах (скалярными и векторными) в данной работе используются результаты теории порядковых статистик [46], а для методов с зависимыми оценками в узлах - теория метода зависимых испытаний [18 - 20].

Для многих используемых в приложениях интегральных уравнений второго рода (в том числе, нелинейных и стохастических) можно с успехом использовать аппроксимацию решения по многомерному аналогу метода полигона частот. Здесь стохастические оценки в узлах являются смещенными и "слабо" зависимыми, причем и смещение, и зависимость уменьшаются с ростом числа узлов. При построении верхних границ для стохастических компонент погрешностей в рамках С-подхода здесь потребовалось доказывать специальные аналоги утверждений из теории -порядковых статистик для случая зависимых случайных величин, чьи ковариации убывают с ростом числа величин.

Отметим, что все условия, обеспечивающие возможность построения верхних границ погрешностей дискретно-стохастических алгоритмов, выражены в терминах подынтегральной функции (для 9Р1), ядра и свободного члена интегрального уравнения (для ч>2).

Особое внимание в работе уделено проблеме выбора параметров дискретно-стохастических численных методов. Выбору подлежат число узлов сетки, вероятностные плотности, определяющие стохастические оценки в узлах, а также числа реализаций оценок в узлах сетки. Используется подход из [13, 14]. Предполагается, что верхняя граница погрешности достаточно точно воспроизводит зависимость этой погрешности от параметров, и эта граница приравнивается малому положительному числу. При этом условии минимизируется функция трудоемкости, аргументами которой являются выбираемые параметры. Для всех рассматриваемых в данной работе функциональных алгоритмов такую задачу удалось решить при условии, что вероятностные плотности в узлах выбраны и фиксированы, то есть минимизация трудоемкости производилась по числу узлов и по числам испытаний в узлах, соответствующие критические значения выбираемых параметров названы далее условно-оптимальными.

Спектр возможных приложений исследуемых в диссертации алгоритмов достаточно широк [13, 14, 17]. В качестве примеров таких приложений в работе рассмотрены решения стохастической задачи теории переноса излучения и нелинейного интегрального уравнения со сжимающим оператором. Приведены также результаты тестовых расчетов, подтверждающие основные теоретические выводы приведенных исследований.

Работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы из 61 наименования.

В главе 1 рассмотрены общие подходы к оптимизации дискретно-стохастических численных методов.

В разделе 1.1 первой главы описана общая схема построения дискретно-стохастических численных процедур, определены и С-подходы к исследованию сходимости функциональных алгоритмов. Показано, что для этих подходов погрешность распадается на дискретную и стохастическую составляющие (для смещенных оценок появляется и компонента смещения). Описана аппроксимация Стренга-Фикса, которая выбирается в качестве основного примера восполнения в рассматриваемых дискретно-стохастических процедурах. Отмечено, что эта аппроксимация обладает свойством "сноса погрешности в узлы", позволяющим строить верхние границы для стохастических компонент погрешностей и смещения функциональных алгоритмов.

В пункте 1.2 на основе теории проекционно-сеточных численных методов построены верхние границы для дискретных компонент погрешностей. Получены также верхние границы для стохастических компонент погрешностей процедур с независимыми оценками в узлах (здесь существенно использована теория порядковых статистик). Сформулированы замечания о том, как можно получить верхние границы стохастических компонент погрешностей функциональных алгоритмов с зависимыми и "слабо зависимыми" стохастическими оценками в узлах сетки (подробный вывод соответствующих соотношений для конкретных оценок в узлах приведен в главах 2 и 3).

В пункте 1.3 сформулирована задача о выборе условно-оптимальных параметров для исследуемых численных дискретно-стохастических процедур.

В главах 2 и 3 общие подходы, предложенные в первой главе, реализованы при исследовании функциональных алгоритмов аппроксимации функций у>х и <¿>2

В пункте 2.1 описаны независимые и зависимые оценки в узлах для интеграла, зависящего от параметра, отмечены преимущества и недостатки этих оценок. Приведены утверждения о сходимости метода зависимых испытаний, показывающие связь эффективности этого метода с абсолютными величинами производных от решения по параметру. В связи с этим предложена концепция смешанных (независимых и зависимых) оценок в узлах.

В пункте 2.2 приведены утверждения о принадлежности функции фх рассматриваемым функциональным пространствам; эти результаты сформулированы в терминах подынтегральной функции. Приведены также утверждения об ограниченности дисперсий независимых и зависимых оценок, что дает, с учетом свойства "сноса погрешности в узлы", возможность получить верхние границы для стохастических компонент погрешностей в рамках и С-подходов. Сформулированы замечания об оптимальном выборе стохастических плотностей в узлах. Наконец, приведены окончательные утверждения о погрешностях дискретно-стохастических процедур аппроксимации функции (¿>1 с независимыми и зависимыми оценками в узлах сетки для Ьг- и С-подходов (всего 4 утверждения).

В пункте 2.3 на основе этих утверждений получены выражения для условно-оптимальных параметров рассматриваемых дискретно-стохастических процедур аппроксимации интеграла, зависящего от параметра.

В пунктах 2.4 - 2.6 рассматриваются те же вопросы, что и в пунктах 2.1 - 2.3, но на этот раз - для более сложной функции <¿>2

В частности, в пункте 2.4 описаны несмещенные оценки в узлах для решения интегрального уравнения второго рода: независимые (полученные по методу сопряженных блужданий), зависимые (локальные) и векторные.

В пункте 2.5 в терминах ядра и свободного члена интегрального уравнения сформулированы утверждения о принадлежности функции с/?2 рассматриваемым функциональным пространствам. Приведены (в том числе, и для независимых векторных оценок) утверждения о верхних границах для дисперсий оценок в узлах. Приведены соображения о выборе плотностей, определяющих цепи Маркова, используемые для построения оценок в узлах. Наконец, сформулированы (а для векторных оценок - доказаны) окончательные утверждения о погрешностях функциональных алгоритмов аппроксимации функции ц>1 (всего б утверждений).

На основе этих утверждений в пункте 2.6 получены выражения для условно- ■ оптимальных параметров рассматриваемых дискретно-стохастических процедур аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода.

В пункте 2.7 предложены алгоритмы вычисления констант, имеющихся в выражениях для верхних границ погрешностей и условно-оптимальных параметров исследуемых процедур.

В пункте 2.8 приведены результаты тестирования функциональных алгоритмов аппроксимации функций и и полученных условно-оптимальных параметров.

В главе 3 рассматриваются вопросы сходимости и оптимизации практически весьма эффективной дискретно-стохастической процедуры со смещенными оценками в узлах сетки, которая строится для аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода. Эту процедуру естественно назвать многомерным аналогом метода полигона частот.

В пункте 3.1 описывается схема реализации метода полигона частот. Показано, что погрешность для этого функционального алгоритма распадается (как для Ьг~, так и для С-подхода) на три части - помимо дискретной и стохастической компонент возникает смещение. Предложены подходы к оценке смещения.

В пункте 3.2 получены верхние границы для дисперсий оценок метода полигона частот, что дает возможность ограничить стохастическую компоненту погрешности для Ьг-подхода. С учетом того, что корреляции оценок в узлах убывают с ростом числа узлов, удалось, по аналогии с рассуждениями из теории экстремумов нормальных последовательностей, получить асимптотические верхние границы для стохастической компоненты погрешности метода полигона частот для С-подхода.

В пункте 3.3 сформулированы окончательные утверждения о погрешностях многомерного аналога метода полигона частот, получены выражения для условно-оптимальных параметров рассматриваемой процедуры и предложены алгоритмы вычисления констант, имеющихся в этих выражениях. Результаты тестовых расчетов для метода полигона частот (в сравнений с несмещенными оценками в узлах) приведены в общих таблицах в пункте 2.8.

В пункте 3.4 показана возможность эффективного использования метода полигона частот при решении стохастических задач теории переноса излучения. В частности, получен профиль интенсивности излучения через плоский стохастический слой.

В пункте 3.5 рассматривается применение многомерного аналога метода полигона частот при решении нелинейных интегральных уравнений методом простой итерации. Для С-подхода получена верхняя граница для полной погрешности рассматриваемого алгоритма через п итераций, получены выражения для условно-оптимальных параметров на каждой итерации. Здесь же приведены результаты тестирования полученных условно-оптимальных соотношений на аналоге кинетического уравнения Больцмана и модельном кинетическом уравнении (БГК) в классической задаче о теплопередаче между параллельными пластинами.

В Заключении сформулированы основные результаты работы, описаны возможности развития и применения этих результатов.

Как указывалось выше, по результатам, представленным в диссертации, опубликовано 11 работ автора: одна статья в центральном российском журнале [35], три статьи в международных журналах ([34] - совместно с А.В.Войтишеком, [36] - совместно с М.Ю.Плотниковым, [42] - совместно с А.В.Войтишеком), три статьи в сборниках ВЦ СО РАН ([21] - совместно в А.В.Войтишеком, [28], [31]), два препринта ВЦ СО РАН ([29], [33] - совместно с А.В.Войтишеком), статья в материалах международной конференции ([26] - совместно с А.В.Войтишеком), тезисы международного симпозиума [37].

Результаты из диссертации были представлены на международной конференции "Advanced Mathematics, Computations and Applications" (Новосибирск, июнь 1995), на международных совещанииях "Mathematical Methods in Stochastic Simulation and Experimental Design" (Санкт-Петербург, июнь 1996 и июнь 1998), на 21-ом международном симпозиуме "Rarefied Gas Dynamics" (Марсель, Франция, июль 1998), на международных конференциях "Оптимизация численных методов" и "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, сентябрь 1998 и июнь 2000), на конференцях молодых ученых Вычислительного центра СО РАН (Новосибирск, март 1997) и Новосибирского госуниверситета (апрель 1996, грамота за лучшую работу) и неоднократно на семинаре ВЦ и ИВМ и МГ СО РАН "Статистическое моделирование в физике".

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю к.ф.-м.н. A.B. Войтишеку за постоянное внимание и руководство работой, чл.-корр. РАН Г.А. Михайлову за полезные замечания и доброжелательную поддержку, а также д.ф.-м.н. С.М. Пригарину за полезное обсуждение работы.

Результаты работы, таким образом, являются определенным вкладом в теорию функциональных методов Монте-Карло и могут быть эффективно использованы в многочисленных приложениях.

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты работы, определяющие ее научную новизну.

1. Рассмотрены Ь2-подход и С-подход к построению верхних границ погрешностей и выбору условно-оптимальных параметров дискретно-стохастических численных процедур глобальной аппроксимации функций, представленных в интегральной форме. В качестве основных примеров таких функций рассмотрены интегралы, зависящие от параметра, и решения интегральных уравнений второго рода. В качестве восполнения решения по приближенным значениям в узлах сетки рассмотрена мультилинейная аппроксимация. В качестве стохастических оценок решения в узлах сетки рассмотрены: несмещенные независимые, зависимые и смешанные оценки - для интеграла, зависящего от параметра; оценки по методу сопряженных блужданий, локальные, векторные оценки и смещенные оценки по многомерному аналогу метода полигона частот - для интегральных уравнений второго рода.

2. Уточнен вид разложения погрешностей рассматриваемых численных процедур на дискретные и стохастические компоненты, включая смещение для функциональных алгоритмов со смещенными оценками в узлах. Построены верхние границы для дискретных компонент погрешностей и смещения .

3. С использованием свойства мультилинейной аппроксимации - "снос погрешности в узлы", получены верхние границы для стохастических компонент погрешностей функциональных алгоритмов: для процедур с независимыми (скалярными и векторными) стохастическими оценками решения в узлах сетки на основе результатов теории порядковых статистик, а для процедур с зависимыми оценками в узлах на основе теории метода зависимых испытаний.

4. Получено утверждение об асимптотическом распределении максимума из набора зависимых случайных величин, чьи ковариации убывают с ростом числа величин. На этой основе построены асимптотические верхние границы стохастической для компоненты погрешности многомерного аналога метода полигона частот.

5. На основе решения задачи минимизации трудоемкости при фиксированном уровне погрешности получены условно-оптимальные параметры рассматриваемых функциональных алгоритмов.

6. Построены верхние границы погрешности и условно-оптимальные параметры для многомерного аналога метода полигона частот при решении нелинейных интегральных уравнений методом простой итерации.

7. Проведено численное тестирование исследуемых дискретно-стохастических процедур. На примере глобального решения стохастической задачи теории переноса излучения и нелинейного модельного интегрального уравнения показаны возможности расширения сферы применения функциональных численных алгоритмов.

Кратко охарактеризуем теоретическое и практическое значение работы и опишем возможности развития и приложения полученных автором результатов.

Хорошо известно, что решения многих уравнений математической физики, описывающих важные реальные процессы, допускают интегральные представления. Как правило, в качестве таких представлений выступают интегральные уравнения второго рода с обобщенными ядрами. Рассматриваемые в данной работе дискретно-стохастические численные процедуры позволяют получать глобальные аппроксимации решений уравнений, являющихся "гладкими приближениями" таких задач. Дальнейшее развитие теории таких процедур может быть связано с построением функциональных алгоритмов, позволяющих учитывать особенности ядер интегральных уравнений (и определенные шаги в этом направлении уже сделаны в работах Г.А.Михайлова и его учеников - см.

13, 14, 17]).

Известно также, что в ряде приложений (в частности, в финансовой математике) возникают задачи параметрического интегрирования с гладкими подынтегральными функциями, причем требуется получать приближения как самого решения, так и его производных. В связи с этим построенные в данной работе функциональные алгоритмы можно развивать в сторону увеличения их "гладкости". В частности, несложно перейти к более гладким восполнениям решения по приближенным значениям в узлах сетки подобно тому, как это сделано в [38 - 41]. Возможно также развитие и С« -подходов (где г > 0) к получению верхних границ погрешностей и условно-оптимальных параметров соответствующих функциональных алгоритмов.

Важным свойством рассмотренных дискретно-стохастических процедур (впрочем, как и многих других вероятностных численных методов) является то, что они годятся для решения стохастических задач (в данной работе это показано на примере решения стохастической задачи теории переноса излучения). Введение дополнительной рандомизации задачи, как правило, радикально не усложняет подходов к построению и обоснованию модификаций соответствующих "дискретных" численных процедур. Поэтому предложенные в данной работе подходы к получению верхних границ погрешностей и условно-оптимальных параметров можно применять при исследовании функциональных алгоритмов решения стохастических задач.

Исследованные в данной работе алгоритмы можно также использовать на определенных этапах решения сложных (например, нелинейных) задач (в данной работе это показано на примере решения нелинейного интегрального уравнения со сжимающим оператором). Разрабатываемые здесь принципы баланса дискретных и стохастических компонент погрешностей могут быть использованы во многих других ситуациях. Например, в работе [58] подобный принцип применен при построении оптимального (в смысле теории сложности [59, 60]) многоуровнего метода глобального приближения интеграла, зависящего от параметра, а в работе [61] - при обосновании алгоритма "конечных элементов - Монте-Карло" численного решения задачи радиационно-кондуктивного те-плопереноса в плоском слое.

1. Freiberger W., Grenander U. A Short Course in Computational Probability and Statistics. Springer, 1971.

2. Спанье Дж., Гелбард 3. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1972.

3. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

4. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск, Наука, 1974.

5. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.

6. Марчук Г.И. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976.

7. Франк-Каменецкий А.Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-Карло. М.: Атомиздат, 1978.

8. Елепов Б.С. и др. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1980.

9. Ермаков С.М.', Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

10. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.

11. Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. М.: Наука, 1989.

12. Mikhailov G.A. Minimization of computational costs of non-analogue Monte Carlo methods// Series of Soviet and East European Mathematics. Vol. 5. Singapore: World Scientific, 1991.

13. Mikhailov G.A. New Monte Carlo Methods with Estimating Derivatives. Utrecht: VSP, 1995.

14. Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. Utrecht: VSP, 1996.

15. Войтишек А.В. Методы Монте-Карло в алгоритмах и задачах. Ч. I V. -Новосибирск, Изд.-во НГУ, 1997 - 1999.

16. Mikhailov G.A. Parametric Estimates by the Monte Carlo Method. Utrecht: VSP, 1995.

17. Фролов А.С., Ченцов H.H. О вычислении методом Монте-Карло определенных интегралов, зависящих от параметра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. - Т. 2, N 4. - С. 714 - 717.

18. Войтишек А.В., Пригарин С.М. О функциональной сходимости оценок и моделей в . методе Монте-Карло /'/ Журнал вычислительной математики и математическойфизики. 1992. - Т. 32, N 10. - С. 1641 - 1651.

19. Пригарин С.М. О сходимости и оптимизации функциональных оценок метода Монте-Карло в пространствах Соболева // Сибирский журнал вычислительной математики / Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1999. - Т.2, N 1. - С. 57 - 67.

20. Shkarupa E.V., Voytishek A.V. Comparizon of two procedures for global stochastic estimation of functions // Bulletin Novosibirsk Computing Center. Series: Numerical Analysis. 1Q93. - V. 4. - P. 71 - 81.

21. Войтишек А.В. Асимптотика сходимости дискретно-стохастических численных методов глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода // Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35, N 4. - С. 728 - 736.

22. Войтишек А.В. Дискретно-стохастические процедуры глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода. Общие вопросы. Новосибирск, 1994. - 23 с. - (Препринт / РАН. Сибирское отделение. ВЦ; 1018).

23. Войтишек А.В. Дискретно-стохастические процедуры глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода. Оценки погрешности. Новосибирск,1995. 53 с. - (Препринт / РАН. Сибирское отделение. ВЦ; 1049).

24. Voytishek A.V. On the errors of discretely stochastic procedures in estimating globally the solution of an integral equation of the second kind // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1996. - V. 11, N 1. - PI 71 - 92.

25. Шкарупа E.B. С-подход к оценке погрешности и оптимизации векторных дискретно-стохастических процедур глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода // Труды ВЦ СО РАН. Серия: Вычислительная математика. 1996. - Вып. 4. - С. 146 - 167.

26. Шкарупа Е.В. Дискретно-стохастические процедуры глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода. Метод полигона частот. Новосибирск,1996. 34 с. - (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. ВЦ; 1076).

27. Войтишек А.В. Дискретно-стохастические процедуры оценки интеграла, зависящего от параметра. Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1996. - Т. 36, N 8. - С. 23 - 38.

28. Шкарупа Е.В. Оценка погрешности и оптимизация в метрике пространства С метода Монте-Карло при итерационном решении нелинейных интегральных уравнений.// Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. Новосибирск, 1997.-стр. 197-211.

29. Voytishek A.V. Using the Strang-Fix approximation in discrete-stochastic numerical procedures // Monte Carlo Methods and Applications. 1997. - Vol. 3, N. 2. - P. 89 - 112.

30. Войтишек А.В., Шкарупа Е.В. Дискретно-стохастические процедуры глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода. Оптимизация. Новосибирск, 1997. - 96 с. - (Препринт /РАН. Сибирское отделение. ВЦ; 1091).

31. Шкарупа Е.В. Оценка погрешности и оптимизация метода полигона частот для глобального решения интегрального уравнения второго рода. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - Т. 38, N 4. - С. 612 -627.

32. Plotnikov M.Yu., Shkarupa E.V. Error estimation and optimization in С space of Monte Carlo iterative solution of nonlinear integral equations.// Monte Carlo Methods and Application. - 1998. - Vol. 4, N 1. - P. 53-70.

33. Shkarupa E.V. C-approach to optimization of solving nonlinear integral equation by the Monte Carlo Method // Abstract of the 21st International Sumposium on Rarefied Gas Dynamics, Marseille, France, July, 1998.

34. Войтишек А.В. О допустимом классе восполнений для дискретно-стохастических процедур глобальной оценки функций // Сибирский журнал вычислительной математики / Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1998. - T.l, N 2. - С. 119 - 134.

35. Voytishek A.V. On the permissible class of interpolations for discrete-stochastic procedures of global estimaton of functions // Proceedings of the Third Petersburg Workshop on Simulation, St.Peterburg, June 28 July 3, 1998. - P. 137 - 140.

36. Войтишек А.В. Дискретно-стохастические процедуры глобальной оценки решения интегрального уравнения второго рода. Допустимый класс восполнений. Новосибирск, 1998. - 33 с. - (Препринт / РАН. Сибирское отделение. ИВМ и МГ; 1131).

37. Shkarupa E.V., Voytishek A.V. Convergence of discrete-stochastic numerical procedures with independent or weakly dependent estimators at grid nodes // Journal of Statistical Planning and Inference. 2000. - V. 85. - P. 199 - 211.

38. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

39. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

40. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

41. Литбеттер М., Ротсен X., Линдгрен Г. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

42. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

43. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2. М.: Наука, 1970.

44. Михайлов Г.А., Плотников М.Ю. Оценка "по пробегу" для решения линейного и нелинейного уравнения переноса излучения в целом. // Доклады Академии Наук.- 1994. Т. 337, N 2. - С. 162 - 164.

45. Пригарин С.М. Некоторые приложения теоремы Джейна-Маркуса в статистическом моделировании // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1990. С. 22 28.

46. Пригарин С.М. Сходимость и оптимизация функциональных оценок в методе Монте-Карло. Новосибирск, 1993. (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. ВЦ; N 1007).

47. Davison В. Neutron Transport Theory. Oxford University, 1957.

48. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Каргин Б.А., Дарбинян Р.А., Елепов Б.С. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976.

49. Войтишек А.В., Михайлов Г.А. Численная реализация специальных моделей стохастически-неоднородных полей. Новосибирск, 1995. - 31 с. - (Препринт / РАН. Сибирское отделение. ВЦ; 1034).

50. Plotnikov M.Yu. Using the weighted Monte Carlo method for solving nonlinear integral equations// Rus.J.Numer.Anal.Math Modelling,9,N 2,1994,p.121-147

51. Григорьев Ю.Н.,Иванов M.С.,Харитонова Н.И.К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений динамики разреженного газа методом Монте-Карло//Численные методы механики сплошной среды./АН СССР,Сиб. отд.,ВЦ,-Hoboch6iipck,1971,t.2,N 4,с.101-107.

52. Heinrich S. A multilevel version of the method of dependent tests // Proceedings of the Third Petersburg Workshop on Simulation, St.Peterburg, June 28 July 3, 1998. - P. 31 - 35.

53. Бахвалов H.C, Численные методы. M.: Наука, 1975.

54. Traub J.F., Wasilkowski G.W., Wozniakowski H. Information Based Complexity. -New York: Academic Press, 1988.

55. Voytishek A.V. Statistical estimation of radiative flows in numerical solution of radiative-conductive heat transfer problems // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1992. - V. 7, N 4. - P. 343 - 369.