Системы конгруенций в импликативной логике и теории моделей алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ДИСКИН Зиновий Борисович

СИСТЕМЫ КОНГРУЕНЦИЙ В ИМПЛИКАТИВНОЙ ЛОГИКЕ й ТЕОРИЙ МОДЕЛЕЙ АЛГЕБР

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск 1992

Работа выполнена в Рижском авиационном университете.

Научный руководитель — доктор физ.-мат. наук,

профессор Б. И. ПЛОТКИН.

Официальные оппоненты — доктор физ.-мат. наук,

профессор Л. Н. ШЕВРИН, — кандидат физ.-мат. наук, В. А. ГОРБУНОВ.

Ведущая организация — Новосибирский государственный университет.

Защита состоится в ^час. декабря 1992 г. на заседании специализированного совета K-0S4.36.02 Омского государственного университета (644077. Омск, пр. Мира, 55а).

С диссертацией можно ознакомиться н библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан

т ноября 1992 г.

®дрес.

г.Омск Фр-ь А/ара, 5 имокьь гыударенны,; г»^

у алг.ед'м

с11ТсАШ ■ Ученый секретарь

ЦС/ а-У/а зсгр0Со/]с специализированного совета

'В-А- &Л/С7 ы/со4у в- А- РОМАН ЬКОВ

, Ч"

Могаьо. л j-нидинсиу, провести кекоторук» ycrccnysj лииим, отдс-пякауч' чисть униеорсальмс:1 a.^rc-Cpu, относгчауюск к уинрерса .•■ьнсЛ i-ireSpe как таколоЯ, от другой чгсгн. относякеМся, cjr.cp'-".-, к теории нолилой. Одкнк нз ¡;рлэ>:акоа »одораздели чожот олуыгл, иозно:«:-ность использсзакия аппарата cco£osj'.nx чдгчйр н вгрозльиы:« кснгру-Jimuii - тогда SiP-замкнутость, или, е терминологии !■ И. Мзльлеоа. "л?п.ч!1чная полнота, рассматриваемо!о класса ¿.г.re'ip ini.eiipyi.-T его «истинно» алгобрлич&скую природу. И дейетнителто, с ¡н.еним и авторитетом А:\с.10лия Ивлиочнчл Кпльцеьн нсег.ад связ1гозлси интерес изучению реиеток полквазимногообразч'| к решето:. ко:1груь;н1ыГ!, связанных с квазккисгообраэкями Сен., iiaripiii.ep, tSrJ,(5,s"0. что, (»'CCfiHOiiiio, относится г. «ра-*нчмраьанмой» уш'.о^рсалыюи алгебре. i'öM tie яенсе, изучение лред.ччсгопбразкЧ и кгэазичногеюйразий, нниси гглоеаян. нипл»:катионув логику г.лг«?бр, часто отнозят »; теории ис^е— г»'-, всяком случае, а стандартных монографиях по уч>'есрса.ч>;чсй алгебра Копа I4il. Барр.<са Сзикапьзкаьара С111 этот предгег ¿Аоснйтрнолгтсн а разделе теории коделой, а и другой ота<1 даргмой ченогрл}><н - Гратиерд С1Гз} - всобпе Jiniüt упоминается в прилэ*еч:1«. Зозиокьо это ~Бл:и<но с "ген, что спстепатич<?с:<ого описания ниплик-ч-гизнон логики на языке .-сонгруенини ло сих пор не било созвано Схо-гя. разумеете;«, ряд су цветении* резу-г.ьтатоз о зток Направлении /ис- получек, ч частнссгн . э работа:« В. А. Горбуноад с сотрулшжатО .

3 с.lifo« голе,* хорошо »• »оосгно, что эквзциальная теория Сэаг.кнутоо множество гоад^стьЗ есть нэ что иное, ьпог.и^

инвариантна»! гонгруенцпя на госСс-лнои алгебре счетного ранга, или. другими оет»5и11, для заданной имсгообразил V рзпгеткз Dcex его подмногообразия изоморфна ресьтке всех вполне инвариантных коигрускциП на ^^uii Синлехс Т км будек далзе, как правило, опускать, а на его песта указывать множество *юрожлг. о. писать $ >. Однако вытекаютпЧ отсюда естестненкый вопрос:

что яоляэгел знзлсгои вполме ини^рианткоГ! Конгруенции ' j

в случгг !тпл>"кат!1вннх классов, р"частности, средккогообра- j

зий и ква'зимкогообразкй? J

до сих пор нэ («м^л достаточно разработанного отпита, а э случае прсдпногообргэиЗ ответ ьссбые на Сил известен.

Длл обсуждения этой проблематики нан будет удобно принять слздуюшую терккнологию. ¡!усть к,Х - бесконечные кардиналы.

<Х~имп.ликаиие>й Сили мХ-киазитохЗ&стоом} кы будем ' называть ннпликапхю от кножества черененных ноююст» кеньшеп V и с числом посылок мекыипп к. х'л-инпликалшииьм классом или кК-кваяимно-гоо5рази-?,ч назооеч кхасо" алг.?бр, определяеныЛ некоторой совокуп ностью кХ-мкпликациН.

Гоэоря о иХ-ксгоиннсгообразиях. ни допускаем значение со для к и Учли X, пэнимая под зтил отсутствие соотвотстьу юцч;: иощиостных ограничений, например, «Х-кяазимкогсзобрлэие определяется совокупностью импликаций от менее, чем X. перенечнмх. ;;о а числом посылок произвольном мощности. Тогда обычное кса-.н|ияогообо2э»:с - это <ои-1шплнкатииннй класс, а предмногооСразия С или реплично-полиые илассч в терминологии Мальцева) есть, как известно, даос—импликатнбные г массы.

Сразу же отиртчи; г> теории полелей принято различать . большие И MOJIiA? логики. т.е. логики. Ь которых cobokj .шость всех прелложеннП япляется, соотаетстоснно, собственным классов или нножеегьои Сен., например, (201). Поскольку пред-, многообразия определяются. ьооЗще говори,' классами импликаций. то соотсетствуютап логика должна быть больше!!. Адане:< fte}3, в предположении отрицания теоретнко-множествэнпог^ принципа Вопенки, постролл npnttep прединогорбраэчя полугрупп, требующего неограниченного числа временных лля своего задания и, следовательно, не определимого никаким множеством Импликаций. Однако оказывается, что имеется, теп не' иёнее, созложность задавать преднногообразия ннож;.>ствак;) импликаций, т.е. как некоторые их-квазинно>-оо^разия, но эта

возиоягость существенно заиисит от прннкиаейоЛ аксиоматики теории множеств и, на сакои деле, эквивалентна справедливости принципа Еопенки.

Теперь отмеченный выае вопрос можно переформулировать как семейство Q1 -aaScv, £■)<*. Х<оо : •

наЗгац ЖЕивал&нпную характеристику н\-п2сзинногао6разий на языке/ конгруениий . ^

Задача Qij^ решена впервые Горбуновын и Тунановык [21 и, неэазнс.мпо и несколько ииьш образом, Хенке ПУЗ С» другой формули-

роске 'результат У.еаке затем псреоткряпался Ква<ен(5;»>:ои С 7 и. неявно, Блокон и Пигоиш. С12а], ск. также исторические.» гмнечамчя •1.7 и раздело -I ;!»ссе ртац ,нО. ^то решение допускает нопосрсд-ственное обобщение 'на случай {. лнаг.о уже о ситуации

требуются лругно, Солее тонкие рассуждения. Далее, г. случая и теории мисжестп с отрицание!! принципа р.ор<1-ботануяя Хенпе тс/ориг. вообще но прнненпка. поскольку им существенно должны рдботЬть с наборами ипплкклцип, соответственно» коигру-енции от неограниченного числа переменных.

По-лр" того, пусть даже яы "лшрн" .в теории кио:кести. I; которой при.чгн:! Сопенки спраееллив, ¡1 тогда лю«5ое предпюгообразт.' задается киркестрои чиплик-г.иий. Од-.'ако если ни з^хотнн распознавать псе возможные предкчогообраэня С:«окоторой произвольно!"!, но фиксированной смгнатурьО посредстром систем конгруекции ил абсолютно свободной алгебре 2( для дост,лто»1Ко Солького ранга то вновь, как показано в диссертационной работе, потерпим неудачу. Именно, используя о.-,ну почструкцик> Еудкина и Горбукоса С [135, £ исходящую, на санок деле, к А. И. Мальцеву. можно понаэоть Сем. Приложение 1 диссертоцшО. что дня любого бесконечного кардинала нэй-

яутсл доа розлнчных ярс/змноголеразия групп Л'1.'ХЗ.: ио таких что - - СопЯ*25^. где СопОХ>у. =

. Таг.нн обраэон, г.онгру-М'цчй ¡!а одчой фиксированной свободной алгебре о сигнатуре групп — пусть сколь годно иолык..го ранга - не хватает для описания всех лр^днногоэбраэий групп.

Следуювий еосериенио естественней круг проблем ьнплн.катшэной

логики - ЭТ'_ сепейстео С2 % -зчЭач:

х\

•описють операторы замыкания

X н» °„Х'Х Моа-Ое^Х. Т- н- Т^г :=• <5е-</^х-Ноа£, гЭ<> К обо знача«™ произвел, :гий класс алгеЬр, £ - произвольный набор иХ-квазипохЭесп-.в,

. X - набор х\-квазит>хд-?ста, истинных в 'Л.

Различные: частные случаи этой проблемы рассматривались многими авторами и результаты хорошо известны Сси. список обозначений 0.4 в разделе 1.0 диссертации'.):

С - in'' - «io.ib?.чзр , otiepnw^ это по-эидииоиу >

Г.Чулчпиохии ГtJ33.1Р63г.2. ^ элтем исреоп'.ры -.з<|.юсь jiHorniirj авторами Смдиоолог- моего wot резу/тьтот пъиписыэаатся Gaiiavuoi<c».G!fy п Херрли-чу С [ 103 11 9'C>j с1!. и^в>гсг.чый обзор

В Teil лора С ¿63 5.

<U - iil'1 - г.л-|СС1[Ч<.'Ский результат Мгзльисоа С.Г.S» 1 Л9оЪ?>; t г

й - Sf?' - linaiiibür»» CI22j,iP7C3 и, н?эпьмсняо, в форме хм х

^ ~ лля ха.ч - йудкш; '.1 Горбунок С f 1 3 ,1 $73) ;

= Ч^''7' " 'УЛЗииарч С С15 1.1971? и

<4 , " iL SP лли - Банэи?гс>:ий ч Херр.'.их С 13О; ;

£

- li_ - Булкой н roo>5yi:ou С f l 3,197jO ii , недйоно,

ovo м

О , -- дли uSXScn - Адаквг <t85.1S5fW.

.сет

г.сьструпкакое (JinusHtic а:,сиоа я правгл окэога л^я ; ^ »m?p-ЧЙ Mira Селкгягоч C253.

Q этга cr.v'cr.e отсутствует опчсачио or.Rpavopi. дг.ч случая

~ ого по^уче-ьо Г , i?neprjMcO , а

С CO

т.экче отсутствует 0[1нсг>яи»ч T для 'icai^e, чем с^етчлы. - i о тг' r.'.'i.'ir,>'о п .'чссертлanii С^ чйстн^оти, и для .

Ь н^ич ».о»1то<ст<-.- i'iÄ'c», что /:о сих пор ои^епг.-лр'глоимие и помочи-» mi ?олуч;|.'Г.:с>, ра^оуждеилячн Ouicva сч^иь рл-з-

.иенч."!! ас- иид>0 а лу>;»? тспрж! Моделей или /.'iixo теории

i.oTc-ropbT! СИОЗЗ, не отпочаспочс! ст^идартан "р'-'^нчирораниоЛ" упи-ьерс-длънои плгоб'рк. . ¿'/»нетленное . оо-вяяииону, исклвчримс робот? £2-11 . спрцн^льно . пссвяк-зннйи С^ г.еррон ч.?сг:0

йоксолте-ль^тэу результата Селиэиа побредет sott рассмотрения с истец r.ourpyc'üus'.K. о«я.1кс построения Кид»"».ч!й«|Х<« неся г ;оиия>!ю искус-стп^чний xiipsKTi'fi и еновь мо лопусгамг ог-обгрснч лля случаен

У. указанной икплигатиеной С¿?-Ог!рос>.лекз;блюг.о. не сплен нрииикэет С (АО проблем а тккэ ./нкверси.о.юй логики. Дейстои-ге.мьно» п перього

порядка ^»'но сонантгчэскч экчнсеалентно занё-нить на :1но>:™стио Эизг.»)!"-.шинных и!*ии>игаиий Сс>л—кмлликаоий5. т.е. прчлложеняй р>1Д!< С^ОР—»О, где СЧ'1> есть унич<грздлькьаг г.ва.чтороо. ^ есть

бсскранторнля формула, » которой Р - конъюнкция■ а О - диэъвнкика зтск<-рних лоряул. Дог^уссаг. теперь «'•есу.онечноо, но нчиьксге. ме« X, число псрем&киь'х, н бес[;оночН1-'е„ '.-о кеньи:ие, чен », дн?>ю1:»:ц:|Я » конъинр.ция, иы прмкодя!! к -иналикгипт.ч ' и. соответственно.

мл-униперсальной логккр. Зэчеяял теперь и ладачах С1 .02 . ин-

п.«!икг>-п4ц|1|.:э конструкцч;: на соотет>тст»у!;ч-"нё> у.чнверсальнг-; конструкции» Мс' получаен U -аналоги этих ::а.яач - !Л , 2/,ссь ситуация eiae ' "куие". чем п мпплнкатишюй «огике - задача и-пидило. вообще не- рр.сснатривалась. а для задачи U2^ известии лишь следующие классические результаты:

У - Slp" - теорена Лося-Тарского. W = S - ннооь i.Чудновский С С1ЗЭ>

Т " ■ - описан Д. Ке-чли CC2¿1>.

оы

Вновь все эти результат получены теоретико-модалонмпн р^с-сувдечилми, эа исключением зкигеуг.понянутой работ и Когг.онбах^, г до результат Келли опять сленнально передоказып^етсп посредством расснотрения систем кснгруегшии Однако псстр.оэимя Ква.-епбаха

iiocí-'t довольно нскусстьеннын характер, существенно отличаются от его ус о-ПОСТрО<?МПП И 1ЭНО£1п> не допускают обобщения длл случаев

Обшая - "стратегическая" - цель лчссчртацнотюП рабсти вместе с непосредственно прияикакдаей к не! статьей 114с1 - .рлзвнть н.чпли-кйт;«в;|уи и уннае-рсалькую логику н те-opi.ra чо-аелеГ) алгебр чисто унчперсал^но-алгеб}- ..нчэскнни четодлнп на сснозе изучения ссютпет-сткуюь51>: г<»я.етох конгруенций. Построенная ? работе теорич позволяет яать описанным ыяге О^- и -задачам единообразной решение для Л'.эбых зничаннН к,К: jííí.Aígo. В релул^тате елнноойрпэпо получаются как йсэ упонянутыэ ииые известные ' результаты о :<аикиутых ¡¡мпднкатпршм и уннверсальных классах олгебр ч предложений. так и ряд совсси новых, э частности ■ описание операторов ^^ 3

случае wí\<a£ou, а таки.э теорекы полнота, т.е. описании сператороз

Г Q} . £ ^J^f

Т^. Т , дли всех uirt.Xi'œ. Кек у:-.:-э отмечалось. в случае к=--Х=о. рассматривав«!,!.» логики являются больпикн - тогда установленные теораны полноты будут, по -вндиксиу, хронологически первьжи теоре-наии полноти для больших логик.

Ocuîsît схема раэвнваелего о работ*? подхода такова.

■ • Пусть Y - некоторое иногосбраз н алгебр ¡t ?i ~ счет no-

oí *

порожденная '/-свободная алгебра. Для лк'бых Sterí" и lî^'r'. пусть <TfO

Cor. " обозначает множество <«tCcn'l(: .«U/OeSO. Нножестро ícConSJ называется чипариаптны». если для любых ecEnd Î к Í?«C, Как

показал Х-~чкс С192, 'X эаикяут относительно опс-раторор S.O' 'L Силм,

г с

окрнвапентко, S,!P 3, если и только если боп ' есть инвариантная

алгебраическая система заныканий в рекетко Con?j . Зтот результат

легко о£о^иаегся иа случай хм-лкпликйт«вны:ч классов, икенно, 'X

замкнут относительно операторов S.IF.Q. , если и только если <Г'Х>». '

<,оп ¿(^ есть инпариэнтнап и-нндуктионая система замыканий а реях'тко СопЗ .

Ны будем называть ■ такого рода результаты о связи ке-кду СГ.-ОЙСТЕММИ ганкнутостн 'Л И СВОИСТЕ,аКИ Замкнутости COOTBeTCTDyKUUIX иабсрпи» комгруекцнп реэульяа'псти первого рода. В pzCore получен целый список таких реэул^татоэ - сто лелмы 1.7 - J.12 главы 1. Некоторые из «их более или менее изиестны, другие - косы, среди последних стоит отметит), ленму 1 8 и j р.му 1.9 вместэ с конструкцией О. lCiJ,CiiЭ. Перолл из них, d частности, в япнон виде -через андоморфкэии Jf - ог.исньает отношение предпорядк?! на ре-ши^кдх конгруенций:

J>l£,i*? : <»> <-. 'S У ¿-г,

которое играет ёол!,.суь-> роль й гостроениях Горбунова, а вторая -обобщает классическую теореку Рекака-Биркго^а на случай фильтрованных произведении.

Результаты ааоього рода с язчаалт снстеки' конгруенций с иабэ-pc!t;;4 импликаций. Сказывается, что эта сг?язь есть непосредственное о Собцение хорошо :-'зегстиого С для логиков. е.с с<сякол случае! соотношения - на самом деле, срсГботствии Га.пуа — иеапу системами замыкании и CiTKOuseiiHsiiiii слодорачпл. порохдаеиы:« itaoop<at!Ji аксиом н прагил ывояа. Именно. Сдз-О т.п-гшкаш'н могут рассмлтрчватьсн как, рооьше* гопоря. лнфшштарные Сд-з-Г>лраш|ла ишода, тогда э-амкнучк снсте.и: конгру.-чщш оказыз^ютс«; не чем ин.ым. как реик.-тк0ни теорий, зликнут их относительно этих г> рас и Ji викода С&пррсьл »¡лея ч рйкточать u tut лигпции как. празила ьизс-да почкял.чсь, по-эидниопу, у Блока и Ппгоццн Г12аЗ>. При эток Галуа-ззньхагшг? некоторого иноикствд прааил вывода, т.е. импликации, до наименьшэго отношения следования, его содержат*го. моког быть описано системой нета-акснон и иета-праЕНл вывода Стзкая система есть не что иное, кок хорошо иэеестная о _ логике ге:1Тцено><ская .форма дедуктивной систекО. Для эта иетаситема совпадает, а ипплмкатиснок

случае, со списков праьил выьола Сс^лизпа-Квакенбаха, а в унньерсальнои случае - со списком правил ез ыьо да Келли-КвакенСаха, Следует ответить, что хотя результаты иторого родэ являются чисто синтаксическими. именно они в неягл-зом е>ндо содержат некоторые стандартные теоретико—«сдельные рассу.-кдения Сс конгруенцияки вкссто алгеёрХ

После того, как результаты первого и второго рода устзновле-

ны. следующий шаг - связать их посредстром простой леммы 3.1 раздела 3. которая сзяэыоает синтаксическое понятие зэнкнутостн кон-груенуни Скак теории) относительно импликации Скак лрзпнла пь'.водп) с семантическим понятием гмполнилости импликации кл <?актор-.алгебре; дз-днэлог зтой леммы также справедлив. Как следствие мы получим, г одной стороны, характеристики замкнуть:* импликатиеных и универсальных классов алгебр как Slr1^-замкнутых. соответственно. SIf^-замкнутых, э с другой - теоремы полнот и в стиле Сели¿на-Келлч-Кпакенбаха для соответствующих логик.

К сожалению, как уже отмечалось Dvrae, лля адекватного описания предмногообр^зиЯ конгруекций на одной фмкесроолнной свободной алгебре, пугтть сколь угодно большого ранга, и<? хоатпет. Обойти это обстоятельство позволяет слелуюгшя идея. Именно, следует рассматривать системы конгруенипй над псеии езеболчмни алгебрами одновременно, т.е. Б<:есто алгебры Jf^ работать со слоением алгебр X есть бесконечный кардинал), и влменить осе вышеприведенные конструкции на соотЕетстоуювдие

слоения, т.е. рассматривать гиперсистемы копгруенаий

„ CÍO , _ сго_. „ Son v С Cor> ?jv - XcU) ,

>,-имплчкатипнь:е гипертеор ни:

Citq, PC = <" Úoc? ,'X. XtlD , ж со

и т.д., где XcU обозначает, что X есть множестио.

Здесь самое главное - выявить соотношения меха/ <окленентами этих слооннй и. соответственно, праиильмо определять понятие mma-рнантностн для гнпер'ситуации. Это сделано п диссертации и вьш?-опнеанная схема пчоец эффективно работает, т.е. слоения успешно эзненпют неформальные "ио-иоистры": это очто проде »

(•(Л . '

Ц,. ¡g^^cmCy.SEí) - Кт^Л -- Con и т 1. В результате,

¡.•«сколько неожиданно, оказывается. что решения Q2 задач.

u¿n.>.<m, могут быть получены достаточно элементарными методами.

Конкретно, результаты работы тякопы.

Пусть V есть многообразие алгебр, a "XcW, ScfY - два его подкласса. Эти данные определяют соответствующее слоонне над У мь

С 90

хестр конгруенций Сг.оротко, ^-слоение конгруенций) U»»». У : = ~CCone~VC'V. НеЭО, где Соп^И-. =<0eCon1t: 'it-'O^'.O. Обратно, любое такое слоение ОСС^сСспИ, "Н-г-У) определяет класс У/С-. -С1Х/0: ОсС^р.

Очевидно.

С«) У/?« 50 А Wi1" и

О^енидпа, г;слч ¿г — абстрактный !1 содерхалуиЧ г/-с&обо пньзе

алгебры клгес, т.е. У«?•?*:>.™'".СП - такие классы на иа.чы 0 работе то-таль.чынн, тс ИУ-'К н для ,г;й5ого ГКс*/'

Оппсаннне дни <31.1/1-задачи теперь Формулируются ••»•акии образок:

исследовать ссот иетотрне между свойствами замкнутости 'Л Сот—

коситель:<о стандартных операторов -'С.пыка1шя универсальной ад-

гебрьО и свойствам! зешкиутсстн соотпетствуюгагс слоении С

конгрусышй Вгп. " Зг.

О.1.ОКБЗПАЧЕЬЯЯ. Ci Э. 4|усть К есть класс алгебр некоторого фиксированного типа, - бесконечны:: кардинал. Тогда

О ЯГ - класс всех изоморфны:: образов алгебр in 'К, ¡НСЧ' - кла^-с r.cex гоногорфных образов алгебр из ЙГ. PIT - класс :юя1!ьос ироизееденнн лр-издольных систек алгебр из Si,

- класс исех ¡(зо.черфных образог> подалгебр алгебр из причем обладающих . иножствои образу к^чх с мощностью не.чыс-зй

iT'^K — кдасс осех ;иокор.{яых сбра^ог. л—фнльтроиаьных Сили к-рэдушфоиаииьэсЭ произведений яронзьольпь;:; снете» алгебр из X;

G. К-- класс зсе>: изоморфных образов пряных пределов пролэ-во*-нгпраедечных систеи алгебр из ГХ;

- класс всех изоморфных образов.пряные пределов факторных к-напраь'дь'нньо; систеи . ягеёр из ?С, т.е. прямых пределов таких «-налраглинньи систем., з которых все гомокорфиэин зтшноргни;

L^i'C - izsacc всех доокорфиых сбраэог. пряных предоясчз таких >!а-

rtpraw омогвм, № которых ьс» rpHOMOj^H>HH t .«.ГШ »TC.il ИН1-*?КЦНЯКМ,

иные!и слозйки, класс ьэонор^ных образоо у-капраеленних объединений алгебр иг SC

CiiX Xfcli ознпча :Т, что X есть, нноу.сстьо.

.YtU^ означает, что X есть множество с нокипстью меньшей X, '■р. А <Х'о4: 1Х1<\>.

а,

Ciii>. Пусть 'У есть кисгосбразие алгебр. Тогда

~ •У-свсбоднг.я алгебра, порожденная кножестпон X; З^С'Ю : = <J-;yC->0: X<AJ> .

0.2. СОГЛАШЕНИЕ. Мы допускаем значение аод ч кардинальных сип-волов я,?., которое означает что, на санон дело, ограничения по

О

o«kocti¡ отсутствуют. D 'частности, (L -Я. -С. =D, Ь~ -Р, т

(О Uj CÜ CÚ

>-:|!1ду?.типность и эг-фильтроианмость система запиксгнгЛ не длугг ка-:ой--лпбэ информации, так. как лк-бпя систома замыканий ui-müjyktsíhha i зппкпута относительно »j-фильтропанш-тх пересеченна.

0.0. ПРЕДУПРЕЖДЕН!!^. Для S и -Д) . Гг и В.*. 'еС'с","."," "> .

—--— 'Ч r.X> V*« 0>

ш будни иополэооать обозначения К и ф. iГ и L* соответственно,

г. е. в перлон случае им оь/скаен индекс со , a i?o второе — индекс о

1.3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Г есть наогооИразна и /сТ.

Со.">. Пусть Л ость множество .1 .•;>.■! есть ссмойсткс его под-

<<нсэ;*:еств. Для заданного ¿пльтрл Г над / , тер^-сг-ч-^/ш^лг X,

г

фильпрйясгнны™ по Г. p¡. т>.' , называет::-.! c~,t .i/ir-нной.'есгзо:

■ тХ- ♦-» <■ i <"-!-. atX.JeF. ' 'l^í t г.

íIhoíuctdo Cc"í\-1 наэкметсп систе-мей

Г т

:)ат.1ксаш& г.аЭ A. eciii f^ X..<sC для произвольного саиэйства Х«з С i:

любого »-полього фильтра Г над /.

CÍ'J. Гплерсисте.чой кон?ру&ниий Н&Э иди просто г'.'п.орсие-

гао.чей конгру&ницй. когда J" ясно нз контекста, или, cit-з короче,

гипорсиепе-noi назыьа« тся таксе слоение кс.нгруенций Спал .'О.

»>СС^гсСогЛ<, ífeJO , что дли дпьыу. У, выполняется счрдувете

условия:

/Г'&еС,^ для любого С СИЗ? для некоторого л-е£>{'С'У, &>.> УеС„г .

Ciil>. Гиперснстема г?=ССс,(. íteJO называется (ч-фшыирочаннэй} гип.*-?рсисп«.?г\ой íjaí-'Ur.cííua.' *>(,>, если, длл ка:кдой алгебры 'U-:-'-'. зг1нг.нут0 относительно фильтровьниш: пересечений.

Ciii>. Гиперснстена IícjO казьгаается »-инЭук.тишюй,

если, для к.ахдой алгебры Ifsí", С^ заикнуто относительно и—направленных объединений'. .

.Легко показать, что лля гинерсистек замыканшЧ к-иидуктнпность совпадает с *-£нльтроганность», з.это'л случае, мы будем называть гиперцистенц замыканий ъ—коппактныяи.

Civ}. Пусть теперь,'?' замкнут относительно S?. Гиперсистеиа

ИеЗО называется х-олесли, для любых "ЦсУ и OfS^onlt. выполняется следующее уоловг i:

CCt> 3 0tCr, для гсякой подалгебры 1Í.

и it о *

С v3. Гиперсистеиа кангруенинЯ Й-СС^. Ite.?"} называется главны*

гиперфильтрон. если ' имеется некоторое сг '-ейства хонгруелцнЯ

IfcJO, такое что Cnf=<)-)«ConlM.- ДЛЯ каждой ll^r", инь.кч

слоозки. S есть нечто upr.se СдЗ^^.

Отизтин, что «-индуктивность С», олределикость) ал-зчет

Ю

к* -.шдукти.рность С -оп.рел^^мость) для любого л'>х-.

1.ТЕОРЕМА. Пусть 'У гсть многообразие и класс Устотален Си заикнуг относительно £ для пунктов, соязани!лх с \-ог.р';дгликость»: .Для л-^ого класса УССУ и "бесконечных карлша.тао" к.Х:

выполняется сладуюкре:

СсО 9С замкнут относительно X 1—> Тйгп"^У есть гнперспстена;

л с С 'О

СО ч ^К замкнут относительно . Ъсгп есть

*Х >• л.

Х-определнная я-индултивная гиперспстена;

СИ) . 5Г злккнут относительно ч—» есть

йХ ' и л.

X—определимая х-ин,цукт1шнгя г. лерсистема замыканий; С111З . гамг.н) ; относительно З,;?*",!!^ Чап^У есть

Х-олрей5-п;1г5зя х—^н.^ьтроэанчая гнперслстена ■ замыканий; <1^0 IX замкнут относительно Л,К,О1 ¥-*п ' 'У есть главный

гнпер^исьтр.

Равносильно для лкСого слоения кочгруенций & над тотальным

С' с-У * о' есть гнперснстёна Уу>1 замкну г относительно Л;

СО*^ К есть Х-олредглиная к-нндукткс;;ая гиг.ерспстема

«-» У/С замкнут относительно

С ИЗ^ £ ость X—определимая *-ин.£уктиЕнай гиперснстена зди1;ка~

кия' У/У. заг.киут относительно X, Р, С/". В.. ;

* X

Са!!?^ есть X—определнная и-фнльтроаакьая гиперсистем^ згишка-

нлй » У/Ъ .^анкпут относительно ^¡Р^.С-^; а-О' й есть глаиныЯ г-нпер£ильт~ '

УУС замкнут отнйентелыю 8«.2,1Р. п

Санл констг''кипи операторов заклинил произвольного слоения ксигруенцин до напненьшен' • *\->;омпактно11 ' г.шеренстены. ее содержащей, так*;е описаны в диссертации Со раздела 1.3, определение 3.1 и теорема 0.3).

Теперь ни догооорнмея о следующие обозначение. Длл заданного

многообразия 'V и "бесконечных кардиналов" Х.и: ы<Х,к<ю, сводятся

множество ¡>:/-> 'Л, О&а Го,,, -г,де Ко., : - Г.,Сх

'к/ л л X

х Г.ХЮ, з. такка и.-слоение . -. =СС<?<? .,: л'«5и. где Х^и. означа-

X Л «л ^«л ,Х л

ет, что X есть множество с модностью неныией X. Как и прежде,

£> £<?„ есть просто 5>£<?,,, о Хеи означает, что X есть ино»:естоо.

Сенейстео ^иСХ^сС^с?^: л'с-и^) будет называться _ (¡-ииплшшаииным

Х-слое/ги^м ш^н просто О.е^^-сла&ии&м, записывать зто мы ёудек так:

^ с «еф. . .

кХ

Далее, для КсТ, •л О^СЕ^сСее^^: ХеУ^),

Йео "С :о СГ-^-Сеч . Се^ .К -. = С Сед ).

Хл ?ел / •

ibdJ- 0 КссС =

X л.

I. I. СПРКДБЛГКИЕ.

Ci.3. Гпоу.естро «{.-ииплнкгцн:1 11 _хсi

X'-urin^uKapiuSHO и гас-ор<-''-"1 ^ и преете, pu-' й f ."■.." .

оно г-энкнуто относи-* г*льно слолук^илч н i ; f> i. i : !!■:-•:•.".:< С/-''.

¿л.:г,о/>.> JiCji'11 л :: i'îO :

t- Г-»,>, если ^еГсСе-ç y. СЬО v:"', vv' h Г-»м .г;лп лмбого

Co)^ !*-.»•> г оГ дли .ообего ссГпсф'!-...

Cd2J,, г- Г-.ЭЙР-

<-dO СГ-.р Î-Î.....n> h r->»,,..f ...г* ,

r i !. ' i 'ni П

где Ь о£озп?члет произвольную у-опрсдгликуи операций'.

Для заданного произвольного о.чоеплы ScO*.-;-;^, наии-.-п^.:.:..!

^-нмлл-^катпгиая теория . с, "".'"pi.cjm. будет g6o:/-i,.iv С 'О

ÎT.r ОО н.чи t--*" . писколь/^v, легко видеть. СЮс!}} £с=

v; ^ i; л ' Ч

етть. на сапой ле нанпень^ое нее отношение л;

на сслер:'Гзцее другипи слона::;!. станд..рткь::-. образен порож-

денное С как hho:«';cïboh правил сыгола иосрелстпои подстановок.

~гсори;( ¿ГсгОес? ^ називается w ' -.".оисак/тиюи /¡ля некоторо-о

бесконечного кардинала <к, если для любой -* .«cZ пикете« Г' • -'О ,Г

«

тако-:, что Г'

Cil Qcq^ -теорией млн х>.~гиП1?рго-?о рией t г -л

-слоение ^ t v . >;<iU,J> такое, что каждая его компонента

-теория и . вдебауок., псе слоение У занкнутс ' относительно елг-дуюпих пргпал енвода для всох кноетств

у- hr-^htp для любого гомоморфизма Ло'/отС^,, Правило Cci^ есть спеииа-i-.кЛ случаи для У,-У.

Для заданного произвольного слоения .VcCScç.^, нанненыадя ин-пликатиьная иК-гмпертеорип. содержащая У. Суде г обозначаться че, оз СУ> или С V—y^ -'-Vrïf^j , поскольку, как легко сидеть, для ка:»-С y'J

дого , Х-слой У, ' есть- 3 ¿действительности •

и-ког.пактное отношение следование на £Т<?Х» порокленг.ое нно:«естЕ правил выгода -Ю 1 idlomCУ,, Г-.

Таким обраг.'ом, *х-гчпертеория есть «-кокпактное

г ип&ротыоаснае следоаания над слоекием ХеЧ^Э.

С iii,. ггЛ-rnnepTi jpn-n F-CZ.çCjQ&C}^; XcAKJ называется

' -опр&Э^.'Шмой, X' « X. если, для любого множества и любой ии-

плпкацни Г~"(х.Со-зчпольяется слояув2'.»е условие:

Г-» •е V, С Гс?Гу7>-р £у дли неко орого X.

С1'т0. хХ-гипертеория назътастсч к'-компактной, ¡:'<к, сс.тн

каждая ее конпонентг. - и' -конпакт.ча, л'с.и^.

2. К.ТЕОРЕМА. Пусть У ость многообразие и

СЮ. Дл;1 любого класс Ус?Г справедливо :

С1Э . Ь »¡сю«»» .К - "X * С.?0_ 5!РГ< = а5ыРГЗС.

*Х к). лК К н X к л л

Снапоиним. <:то П/"=С- Г=П, 1РГ-=РЗ , в частности, если \>н, то № со ио

а: „. « г «а х » « и. =

НЪА *Х ИХ и

При тон Ол.¿ '-К есть *\-г;тертеорн>ч, кагора« ¿('-компакт.-.^

к'^'к, тогда и только тог%ца, р.огся О. ^ замкнут относительно Е-^

(или, эквивалентно, 1. , Э, и X'-определи ил, л'5?.. тогда и тольк

тогда, когда замкнут относительно С-^,-

СИЗ. Для любого слоения .,.■ -ХЧЛ! Э спраиодлмоо:

л ^л л

<2>. ' ТЬ, : = Ъщ . КоАЗ> = «1 ЯГ» С Л - С |—: ХсЧ. ^ .

\к * X к/С А

„ - ., с -«о •

При зточ Мог).»' есть <0 .-занюг гни класс, который ^ , -замкну

тсглй и только тогда, когда теория. ТЬ «'-компактна.

"

, -аагх.кут тогда и только .тогда, когда ТЬ У X'гопределинг. X <.\

л * . ^ р

Для лнд5ого Л'с'/ любих *<« следующие условий

валэнтны:

С^З К есть «Х-кваз'шногооуразне,

т.е. для некоторого ^сре^

СЬЗ зьикнут относительно К.?, К и Г";

' X ж ....

СЮ' У ззша.ут относительно С.'Т!-'Жр; СсЗ ЭС заихпут относительно 0.с.5 и !РГ:

«X

Сс^' 2С запснут относительно 0.^55*

Cj.NO. Длп любах ы<Х,н<о> п любого слоения ^сС!^-. условия экгиоалентны.-

СаЭ л1* есть ория, то есть, для некоторого Я-Л',

СЬЭ эанкьут относительно каждого правила оывода на . списка

Га^у.СЬЭ^.Сс^^у.СсИЗ^. . .Сс!Ох определения 1. ЭС1 СсЭ Т ость «-компактное гиперотиоаекие следования на слиен

СVI. Следуювд!« реиотки изоморфны: СаЭ решетка всех -замкнутых подклассса 'У.

СЬЗ решетка всех *~иидухтивных Сили «-фи.пьтроваичыхз

.\-опросеjumiix гнперонетен замыканий конгруенцмп нал ярои.ч-иольмын \!'Икс-лрогза иным тотэлънкм ,

СсЗ дуальная решетка исех Л-гньсртеорий, Cd; дуальная есех к-ко::пакт|и ix >.-~о п p'.vs'

л' -гнпертсормй для ироюъолышх X'>Х.

У.-^к у • го': j рн лос ь, ö гх с т р л г. т i < о 11 Т'-срл-л rf.

лмчлть большие и 1*.,1/логик;!, т.о. .логики, и которгх кллсс i :>■-/. предложении ;;те.!, соптьотстсомо , собстиеннит: nnaccoii iiп у,' >-■ жествон. Очевидно, что »птлилйтсина»! логнхл Q. ^ будет (^льи»» тогда л только тогда, когда Х-к>. Однако даже г< этой случае, i.r.i::i нскоторап л-м-теорня У ягзляетсл Х-огродолнмой для некоторого ■ >.

то KodJ'- ModC .У [XI1. Экпислл&нтчо, если гнпорсистеиа коигру vih:hu над Рл л-онределинл для некоторого ,\<«>, то ¿'"-l^/CC [ХЭ г

X«U>> , SJX=CC,.: XcU 3. Такин сбразон. л-опроделиместь для чокоторого Х<а> п«во.«вст ограничиться формул Сзто c^o-icrno р абстрактной тоорн'г

моделей ньэиаагтея тооретико-мнокестсепноЛ г.оипэкткостыоЭ. С->лоо того, н случае, наприн^р. Х'-опроделнпостм Стон ее-wo. Х~оп;:едо'ншзсти , in;,'. X "-киипактлостн, и.пн Х--;огт.|::тнс.н: , u*'.;! D'tri^iiTt'"ыю упрощается. нескольку любая Л .i:i >. /■.

C.-iS!.^ г и ¡Н'ртеорн я . так же г.ак и любая Х*-опр^ '-" „iiitiaf r;incpc;rcTc i!ü у сиг руонций полностью определяет спои:::: куй:-, о к^кг .::<:< jr.i.i

•/-свободной плтейрой ранга X.

3.1 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ*. Пусть «<Х<Х'йа\

С i j. Er ¡и K-CC,/rCen"<4есть Х*-определяпая гиперсистека коигру снииП лад 'то FnSS - для .лкСого «и.: ягеетла X

f.OC'.HOCTll MOHbUSil X. ' *

С i i D. Если "f-CZl^cGvcf : XcU^, ."> есть х'-опроделимая x\' -гипортсорня, io Mcri.^ModtE^, для любого пножостпа У- ноцьостн гень^ей X.

Таким образом, к случае Х*-определ«мости для некоторого Ete наин предыдущие результаты о слоениях конгруенций и иннлнкатяи-чыу. теорий над немео-орыя тотальны« -> могут быть переформулированы ч терминах обычных - но расслоенных - конструкций над алгеброй

13се эти пср.сфорну пнроикн суммиропзии и с.под>'к.л:их предложенных. которые яеля ¡отся "Х-определииой" оерсиеЛ предыдущих результатов.

3. 2. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ . Для заданного класс Ä'cV система коигру-

ç'S-'O

Cc-ri v • ÎÀ't~'\, содержит lcü мнАориацию отпос.-:т<_'.п; чз i

тогл'л ii только тогдз, когда 9< запкнут относите, лс S и Тольк<

„ С 90 „

i* этог: с.пуЧме ч/л. есть \ --опрсделинаи гипорснстона и

сяодовател^ьо, м on í.'T CuT'u родуи ирссаяа к с^оей коппонечт*

С^- С^п* ^бег, потери '.'.я^ериаиин.

3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Jíj, ость 'У-сьободн?д5Т алгиСра над ис-ко-тооыи бесконечный гакхкестоок X, ù « есть "бесконечней к а р дни a Ji",

b-ÍKÍW.

СО. Н:ю...ество конгруенний называете;! Сх-Усист&г-ои,

ссл.« <г"*е«С для уакдого с-елХгг^^ у и любоП ОеС.

íiHoyecTBO кокгруеникй СсСоч^^, назыаается e/spt.aK.-tuiiHoi сиа;г. :,си, если г.* дця *;а:;:дого сюръегл исного у и :\у,Со.

iícC.

C i х'З , l'Vr.o:".C'C7r.D хонгруенций CcCorig v vi.i с г. X—orpecíej¡t;Mi¿'-t,

ес.лн, для .люсой ï/^Ccil'JJv. iíoC тогда и только тогда, когда для -каждого XtáPj существует зг.инорфнзк c-^ZpiCg^. > "»^коГ: чте г *С гС. другим« слосаи.и. С полностью определяется сноеи ре-

дукцией к слоению конгруенци^ £--С Су^-Соп^у-. УсЭ^/О . где г. 1ОгС для некоторого С. . эквивалентно,

Сй дтт кикотсрсго г)-гб>.

Отметки. что если то rnCа« систола Ccíc ij

^-опредолиьа. . '

3.4. ТЕОРЕМ.*. Пусть есть кногообразие и ест!

-свободная елгеьра ранга х -ЯЛЯ некоторого бесконечного карликалг X. ы£%<оо. Для любого класса tKc-V, эанкнутуго относительно и и л^бых .''бесконечных кардинплов" х,Х': ы<н,К<оо Схотя теоронь действительно интересна, только если и выполняются еле-дующие yc.ioav.»:' '

Cil 9С такжэ занкну- относительно

"С 3D « X

<»•> Crm* g есть Х-определииа. х-индуктивная система;

X ток» з икнут относительно Р. ¡L^flL^0 Con ^ есть

X-определимая «-индуктивная Ск-Зсистена замыкании,

г €7 С SO

CiiO , SC занкнут относительно S.F1 ,¡L. t~> С v 7f ест» ил ' ж X J

Х-слтределиьая «-Фильтрованная Сх-Усистема замыканий;

Civi X замкнут относительно IH.S.I? Ccn'^'g

главный фильтр;

/СП

Если то достаточно требовать -энкнутосги Con ' ?

относительно 1 лишь для сюръектисшых ocr.n'Ig.

*

аиноси.чьно, лг.f Jü:oor--' ино'д.естрз СсСотч'.ч

" X

■ Л'--ДУМ!'.

н\

С ость систона <—■> класс эапкпут о^исситол.-ьс. С-

С ..-сть Х-опродолин: п ;<-и н,>;у;;: шп: а.: С * -

.....> Ts^C замкнут относительно S, (L*', Ж

" • * X'

С <;тl л-опродолик .и н-и..дук-rtiCfiaii -С Генотипа зл'нь'г.л!.:!!!

Tj/С замкнут относительно S, S JP. 1*, £

X к ,4: X

С есть Х-определикан «-^ильтрсеащл;; С<<-^спс7ем.>

заниклний Тг^С замкнут относительно S, S ,1г>г , S ,3-?:

' X * я X

ПчО" С есть гдознан уильтр замкнут от нос ительне

" ' £слг х-х- то достаточно требоиать замкнутости С относительно о"1 лишь для сюр-ьективных c«i£rnci^. LT

Теперь ми используем следующие обозначения. Для л:о';ьг.; tjixSto ii 'XcfY, пусть Cf-q'^yj и C&q'^Ki = СГЧ.р^Ое;?^: 'А"ьГ-.'р>

Сзанетнм. преяде mi числи дело со слоепияк» »5 -

3. S. ГЕОРЕШ. :1усть Т есто многообразие? и wSX<co,

Ci-Э.Ллл любого класса iXcT справ<?длиьо Снапонним, -'J, if,r- Р") :

СО О) 00

СИ ' <а*. : = MoüCteq/. SC = = '3-f JL. SIPCC -- s.frt <\-,

в частности," если Х>я,' то ,

CU „ ■ о\'Л = С* -X = !L*SPX » 8. SPJC -- $'|Г'ГЯС = <0 Я".

При этон Qtq? JX ест! tiee? -теория, которая л' -компактна тогда и только тогда,. когдп Q .К замкнут относительно Ц- , , л

-определима .тогда я только тогда, когда Q ii эанкиут относительно ¡L^; , ,X'SX.

CiiJ. Для ли,Coro множества импликаиий справедливо,-

С23 . Ih'r : = -До£у\Мос1Г -- Er 1С, -СО =

>rX f= кХ • li . , «

При этон ifcdS есть Q -занкнутчй класс. который таг.аж

В.*,-замкнут <' <х, тогда j и только тогдл, когда -георнг.

С V}

—* н' -компактна , и Д.. ,-замкнут, ■ ' 5Х , гог^а и только тогдл, * .Л

czy

когда |— X' -опрс^гли.-ia.

CiiiJ. Следующие реиетки нзонор^ны; СаЗ рещетка всех <Q ^-замкнути:« подклассом ">',

СаЗ' решетка всех iü^^-заикнутьгл подклассои

5.3

СI-: рот.'.'тка всех и-коияакт)ик Си-3сист«и с решетке

СО лотка ьзсек ¿«.-локплктних Х"*"-ог»ред<злпких С «-О систем зани-

г.ияи'I и* решетке; Со» дня произвольного X/ >Х;

Сс1> ьеш'тна всех Соа . —теоопй»

С * О дуальная реик?тка осе:< «-компакт т. К*--определимых

и-1,1 , . , -теорий для произвольных х'>х,Х'->Х. м

ы X

Кяк ухе говорилось, разьитын е» гиссертйции подход пр $»снии

к за/да чаи логики и теории л одело' утгзерезлььых предложении

Слз-импликации} - го сделано в статье непосредственно

нри>пзкал1.х'й к диссертации анонсировано о ГЭсТ!). Однако в За-

клЕ^енни работы оспоопоп рс'^у^ыйт - решение порион полоса уш

¿.С л - при годится С без доказательств«^.

Для заданчих «^.»¡■..с^роьаннчх многообразия <У и кардиналог.

Л , \<<уз, обозначил ' •

Ч£м 2-е 1Мо где 1/л'о • аф ¿Тс?.., Г-'^-Г.^Г,,,

>г\ X ' ;«гХ т 1А • * X X л А

Дид^е?» д.пя класса алгеСЗъ л слоения Л*-С ,->,

X ил X.

" . _ л'А X

МосО' : = и Мос1~ « Нос!У., ..

Л л.

«1,1. ТЬОРЕКА. Пусть «Р есть нногообраи со<Х.^со.

С а X Для люСого класса ¡г ноет не *го с/г^думщее:

с а э ч ъ'.оа * <и.с.и . ¿< = о.^Е^-'зс,

«X *ХТ л

а частности» ее ».и Х>и. то

СО Мое!' Ипи . "X --- Ко ¿'Км 'X -

где есть класс всех изонорфных обра^^п всех прямых произведе-

ний Х-£лге6р, лрофактормзовашшх по м—полны* ультрафильтрам, при

этом 1Ри= й.

оо со

СаХЗ. В статьи С14сЗ будет представлена полная и корректная система аксиом и правил вь:года для замыкания произвольного слоения СЕуС^г^^: Х^и^Э до наименьшей гипертсории. его содержащей, т* е. до слоения Чъл) . Моа^. '

4,2.ЗАМЕЧАНИЕ. Мы не касаемся далеко не тривиального аопроса о тол, существуют ли- на саном дело «-полные ультрафильтра для Эта пробяойд связана с аксиоматикой теории мнохесте, в которой иы работает?, с частности, с проблемами существования больших кардиналов Сен. ♦ например»

Следуюгцгш г ручла po'rvЗ'ьтатп-^ ргвоfu свяэзк.) с одпс-орепет.г-у. июспотрется ^-кЕлэимногообрлгил различных тштоп подобия С сигип -yp'j. Пс^оСлая проблематика госколят к Л. И. Т'^лы^ву. г.о-ю-

тз 1563 рассилтрььлл рс'циоиалъиуо t¿ струг.турную эпгиоз^оитни.ггн ¿газмммогообрагнЛ. В д-''<-С'ГрТ0ипч о;?рел^/Cí'i-í ^ср^нзмм ^х-ио.'оиммо-•ообрлгий ч построена категория í.'cox таких к^соииисгообрагп'й, ~~ 4;írTO семантическая к.опструк цпн. С другой оторочи,

>прелолт?ш-: t Си сушног т»» „ интерпретации^ *л-н;-гплигатг<рн' г:

-ипертеерпй 3} построена като^орня r?cc х таки:< гнпор т i.-cpMÍi. Сч-чПЫу. - :.»-. о чис fe.» синтак-нчесг.ля к с .метру г wu я . :i,»r:c»4vu , !;остри».->п j ^y»41 - -rcpii из cjü'ToKc:ic<i e» и обратно, и jIsIuí.ki.'v.'üt-

:ссть, изомор^ноегь, еоотретстгу ^vmx кат^гори»;:

)v¿*r ^Í^QíqHLit^ - это более елльмии результат. мож^ли теорем,! толноты. е г.чост.1 . это ju'jot си^'л'аг^'имеспиь критерии

icii гнссти предтюг'~>обраэи»1 и киазигнс-ч-со^ра^ы"! и ссмаЬ'П'Ческни рит<?р;;;1 эк^ннален v ноет я ияпликатишшх гпиертеорий. i , г гор mi ~ lax .Мальцева, рапнссилонсзсть егг-укту р*'С-Д и рациональной зкки:-а-итностеп . И dmcv. • • гипоренстелм ко: ir рус-ниш':

4Гра>лт po:r.úKu;y рол о п р и п с л о и чi::< пост ¡ •OOI.'ÜVÍX ,

H^cr.o с:обо»? место и лнесертлиин заинкает проблеиатнк.!

•'j:-еС-раическ.■-< и, которая на сагли де.пе, бм.иа мотнсиру^гцнм

íc . о^чт^.ч нс»;ле,;«ег-анпн автора d имгли.г.лти^ио^ логик-:?.

*5гг«естн.о, ;¡ о^иле особонно ücuo послс? книги Ияаy.¿> и

Ыгоиш: Г 1,'^ri5 , 4 7 с h'Íic-,!- t:pc6 алгебранчоскоГ» -логики тесно

-oíOc'ihm с тгеориеЦ KDeijHMH-jrooópii^Hi. О»:лэллось, что развитии в писс.-ртацин ло^од к ш.члиг.атнвьон логике чере; систс?::ы v енгруеп-aun viiij)/ieTCfi мошь:п и потру мент ом нсследссан'ил а лгеор«ичс?е:<оП

логике, гг;:изол.;ет ра^омяать с-с? и уннйерсалыш-алгебраи^есдсн пула ;« решат ь нмогне Сем. Í ЗаЗ - С , t i 4л 3. С 13 , а частности,

плд^ч из mи«г?стьогсэ об^орл Лндрек;<. ^енетя и iiía^M Í 9] nencc:pf?>icTDeHMO слелу^т иJ. построением тоорми» для реи:е}|ня других 11г'с-(;годнма ео си«* т^^.иийльная!? нолифнк^цяя л-пя случа« cjiooh.ih копгру^нинй, теорий и т. л. над клпсссл но обязат-э^ыю содерхл-Liu»t все С1>о6олнме алгебры: эг^ моли^мкаинл построемл в С I4rj].

D днесертаиин опиедни прн>сла/дние результаты, котор'.гс пног"зь еппэляяычл с именем

Гмс?лло. MD-eoncM кэа^инногообр^ано лагизиру&ным, если оно язллется ^кпнаалеятной ^лгсбр^ичрсг.ой семантикой п ииыеле Влог.а-IhiroiniJí С(22а)5 для ^еко^оро» логики Сэ^о прямое?

обобщение хорошо известного отношения кпазинногообразий булевых гейтингоаьи. ЬСК ... алгебр к, соответственно, классической, инту нционистской. ДСК-импликатквной . . , прогсазицио. зльнык логика«} Torcía окязисаэтся. что класс всех логизируемых кеазимногообрази ножет бить охарактериэоаак некоторые чисто алгебраическим образом без SCEKHX ссылок ha логику, посредством киаэизквацийльных Села нолы'рвег.мх условий. Личин словаки. i'-гесс: квазинногообразпй получаемых из логики, ость СсгллбьйЭ сальцеэский класс,

Далее, нальцеиские понятия структурной и рацио»;альнзП интер прет?цки коазинногос.6раэнй Могут бнть естественным образок адаптк розану для ситуации пагизируеных коазипиогообраэий, и вноиь дс-.а зызается теорема оК их эквивалентности С в современной терминологии - теорема об эквивалентности. даже изоморфизме, категорий всех лз гизйруииых квазипногообра:зий и всех ахгебранзиру гкых. логик}.

Структура работы такова.

С разделе I рассиатрявается связь нежду•свойствами замкнутости классов алгеЗр и систем конгру нций и получается eco необхоли-кыг результаты гервого рода. Это чисто универсально

алгебраическая проблематика. реиающз^ задачу Ol'Oi

3 рапделэ 2 исследуется соотсетствие Галуа нежду системам! кокгруеииий я систенсиш импликаций и получаются все необходимые результаты з".ор>ого рода.

В ра:»др.яе 3,, с гомовью лем'-ш 3.1 результаты персо^о и вто-огс рода соь'ираытся визсте и отсюда выводится как характеристики замкнутых классов олгеб; , .так к теореиы полчоты - зто решает задач)

ог.

С С рассматривается а&жный частный случая ооиих pí

з/льтатоз - ситуация обычной ¿компактней, i шоЮ логш п. когд; ч^оло пгоенекпьк фиксировано Схотя н ckoj:¡» угодно пеликоЭ и, следователь.'!«. ноясио ограничиться рассмотрением систем комгруекций не единственной евс Годной алгебре достаточно большого ранга.

В разделе S расска гривагтея проблекатика соотно.-лемт х>.-комлэктных квазимноГос>ьра1и;1, гипертеорий, гнпер четен кс:нру-енцнй paSHicc thiiod подобия.

1S

В Заключении приводится Сбэз доказатильстиз} решение первой юлосины (.'¿^-задачи и формулируется слгдуяксб ьв годологнческое 'Тсертдение:

] инплика/пивнач с у ьинерс алчная лог и' 'I и теории моЭ елой i

| еслть чунирерса.чъной алгебри

соторое лр тлэгается назвать рези сом Ь'аль иева.

В Прило^нин 1 приеод5";тся известные результаты о суязи чкс^о-ттнэоцин предмнагообразнГ. с принимаемой аксиоматикой теории нно-кеств, а инснно, включением а нее принципа Вспенк.!. Строите . текло припер, демонстрирующий необходимость иаеинз СольшоР. логики для иписачия пре^нмогосбразпй да;»;е в случае принятия принципа Вопенки.

В Приложении 2 рассматриваются вопросы ал"¿Сраической логик-».

Литература

Будкин А. , Горбучо!з И. Л. Умпликативние к.юсси п-чгебр,, Алгебра и логика, 12.3С19/ 8

■¿. Горйуаоя в. А. .Туманов 3.1!. Сп^ра^нио к'лчт.гинногообрс-зий,

Мзтс-матичсогая логика и теория алгоритмов: Труды Института •1ат'-||.>т!1П! С0ЛИ,2СЛ?Э

За. дис;.11Н ¿и'луски^ «лгс-Ъри 3ля иггляссп-и-екпх лсгн-с.Г,

. ггл!нс>.нП мат. -^огоднчк, ЗЪСА 991 ^73-94

36. ;:.'С---'И 3. Б. "иаС-сЧ'^г-алге-СрсЛ Эля неклассич&ских ¿зтеиЛсу.нй мат. ежегодник, 350 90.095-117

Зн. НисКИН о. Б. 1л и^.'У и -Л-СI - р Ы с'Л5Г 11 (,'К с иЧ ^'С К ИХ .'.О;? а ,111,

ЛатшнЧский пат. г-агегодни.'. С« печатнЗ

3 г . Лис:-". ;н 3. Б. А.п?е исчислений пр^Эикаыаи, ос ионе':-¡'.их на

■ '<&<„~ассич&скиг логиках - Тезн'-и X '^сесокомоп к01Н}-.-ренцнч по иатенатической логике,Алма-Лта,1990,с. 53

Зд. Лиским З.Б. Логако парного поряОка как. сспоСстяо ¿?ун<г'оро!?

Вторые Математические чтенил плкяти М.Я.Суслана СТезисн ' мокладоьО , Саратов, 1"" 1. с. 34

Зе. Диекпн З.Б. Нее хол>, к с. р^зуль.па/ггоо цииьсреальной логики и ггс'Ораи коЭ&лой алсс&р пос к," <;груснии11 - Тезисы У.Х

^.е'.чрс-сну^лч^анской кон$. по тс-и I тп - г оГ логика, Казань , Сз печати}

41. Ней- лер Г..ЧЗН Ч.Ч. Теории падали. - !1. :11ир,1977,Ь.1с.

Кон Г1. Упине-рсальния ¡^хго&ра - И. : Пир, 1'С3. 349с.

го

i. !ii .nbueii Л. i'i. Cf?o6iiit.'H>io нальпс/ыь-нпил-^ алаоьри и их присоеЭинои— aucpynnu, 1 j.Tjт. сборник. 2П,3C1949D317-366

Z 6. М.и?ьн£к* A.H. Структурная -<ар2.кгг,еризация но которых класс ot* ал-¿•еор. ¿о*-.л. АН СССГ',12СС152а>29-32

Мальцев А. И. Несколько зсы&чаний о кяазu twos ос & рознях алх&бра— а7€> - г. их систем, Л.п" обра и логики , С, ЗС196СО 3-9

Sr. Ma льцои Л. П. О w «¿»которых лс-грс^и'лчых и*см росах алгебры и логики в . Труды Международного Конгресса матспатьгсоь СМоскпа— 1966Э,с.217-231

5л. Мальцев A. it Матомагпич vacc&sr логика, и ' оОная т&о рия ал^&бра-u4t.'Cxux сист&н* Избранные? грудь.:,т. Г - И. : May ко» 1976» 335с.

Ъ. ООтяъ елгебра, т. 2, под ред. П. Л. Скориякоаа - М. :Наука,1991»47*0.

7. Плогкш? В. >!. Унивеоссл^нан -глее-5ра» логика и о сг* и Эспт&х. -М. : Наука »J 991.

0; . Advi.u>ok - . J'."» /I'OU «»nny vurvublos aocj? c/uasiuarii?iy rioc-dP, Aie^bra Univ*rsalis?.27Cl£00'*J4-i-48.

9. /^ndrtfka, H. »NC*rnF»t y, I. ¿no' Sain,I., t.toctol theory ap-

proach to ill ¿ctTcic lotfCc* r-'roprirvt » 1CU4.

i 0. . B. , and Iic-rriich ,H. , a t f^oriU «.->*> by

•imp*-:cat torus* Houston J.Mather. „ ZClGTcO 140-171 .

11. Dut nr S. t And Srinicapp? r..*ivar H, P. » A Court-*? i t\ OVtivaz-iai. Al-¿obra, SpririgL»r-V«rlA9,1Q31

12 a. LI ok , V. J. arid Pi gonv.i , D. .4 t jfcbrciC able- logics, itenoi rs Ajn^r . Math.Soc. Vol.77", 3G3 C298CO, vi-«-78 pp.

12b. Blok.V. J. nd Pigozzi . D. » ?r£>toale,'t46raCc Lo+;\cx, Stuciia logi-cn, 4«seises^337-309

13. ChucSriovsky, O. V. » ri»i»uUs? ¿n i/io ¿h^c-ry o/ infini toly

long Ttxpc&s&ions, Soviet M^th. Dc.kl 9C i 96S> ,

13i.- CzoiaJcovcki » J. » feauce^ products of logical tnatxicem. Studio Logicu,39» 1 C1Q80D19-43

1.4 a.. 'Di sVin>2. B. , Fi r^ct-ox d^r logic as a. family of fxinc tors. Prepri nt. Raga Aviaticji Univ&rsi ty» 1 S£l» 46pp.

14b. Di ski n.2. B. . Ouacil -equaI lonat logic ccucl -t(tvodoI th&ary-of ctt^reb-via cor^rui-r.ct^' Csubr.*,.i'Lte-ri to Univcrsiilis)

14c. Dlrki n,Z. B. , Urii\!&r£.a.i logic anrf rriod&L theory of algebras vicx co»-¿-r■ venct*^ Cin preparation^

' X 4-1. Diiik i n, 2. B. » Abstrac t unixjcfsetl cl^raic logic , K&nuscr i pt, 1QQ£, 3[Jpp.

I'd. P*uJiwArafT. , Oi\ the' cons? L ion. of locust \in iver&al h'orrx

c lacs cori.ta.~ri.ing a given cla^'-j, J. Math. ,GCl QTl^ 45C?.

; С. Cir-rr. .G, «vt л 1 i Л c-&mr*>ncÎL\i~\ о/ . SpH г»<з*»г-V*ítI Tori i n »

СОИ' UU'ÖW i^t t i

. Cor fcuucjv, V. A. . Tr\r> ntr-uctuTo of th** *.att¿^re"7 t?/ i v<tr I f < ,

Mivnuscri pi. Cdodicat^d to ßj/irru Jóm^cn) , i 1>Г-0» »l^po.

.ö. Стг-'л'rzer , G. , O'txiw- £лсопО r¿»Ji ti on , £y.r i - -V»-«; I

IL ï. ,1575

. О. Нг>?г*пк f»» /i. , Гц) I у » nvurí ar\ ¿ ul ¿oôr с \г. о ¿ c<:v U'4.4' --v.". f. -.» '

c^fi^rw.^i-V:; rjrítí (lutv.ii^ír i• Col l.cq. Мч'/ri, J . f'ci yo i С Hunr?aryJ> , Ar\L.t».-r dr.T., It-У "i

íO. M^ov/sky» J. A. » f'rincip<i> ccri^ï'-i

J. «Symbol i с Log j с ,1С i 42-4 fc.

Л. lías hi wagi . Т. » 1>л С itl, .l^-t nplit iono ( cí^'S^c. ИМ »v~«*r. Л:» t. от -c.-o , 1 ?< 1 -i г.

I'd:. iwl i у, D. , Cov.o '.vih» о/ i %\* teyr «íu\ 'лчтс.

SOA , iîttj-U я Sei . Мл t Ь. Нш i^-чг . , t г,с t ) .

-С-1. Pi gorrri , D. » Л Ifitiico t^wcreit'c t*:i ctz altor. •.'^•rl wi*.~.\<

q^amia,4 toi ; f Mcuvj4<.t-í pi , 1 QUO.Í Зрр.

M. QiM^koCih^sh, ?. V.'. , Conpin f t ^ с o r /ог uni (."-»r^aí Cñd

i n.p l '.ci t í <vyvr í '.O'j \cg of cíLfi-bx ¿г«» •• 'Ут co'i »

Frese. . í-itt.h. Li:-o. , í H i. -iC J. lOt J-tOSi

l';j, i'"«;« L i rue. г t. Л. , Co ^ 2 t o n«> í: •„? f cnlc и l i } or ci к ? ocr^ it с. к il t у i г '.t '-/i

С о/ ai . ЛI cj<*ttrri ijr.i ■-:..■> I A ^ , rJC i CO-

Taylor . '.V. . £ vwi'jí > 1070, J. M.vth. ,is¡v >

w*. 1 r: i 4 : , . í c.~ oa i í c>r».u i oaí r'-ih . Ос.'.:*о! л n^uii',

'.Лчг 3 ù'^-i.