Слойно-транзитивные группы автоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Київський ^шєрситет імені Тараса Шевченка

І з С і: і і

Лавренюк Ярослав Васильович

УДК512.

ШАРОВО-ТРАНЗИТИВНІ ГРУПИ АВТОМОРФІЗМІВ КОРЕНЕВИХ ДЕРЕВ

(01.01.06 — алгебра та теорія чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському університеті імені Тараса Шевченка. Науковий керівник:

• СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович, доктор фізико-

математичних наук, професор, завідувач кафедрою алгебри і математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка, м.Київ

Офіційні опоненти:

• СИСАК Ярослав Прокопович, доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України, м. Київ

• Леонов Юрій Григорович, кандидат фізико-математичних наук, доцент, Українська державна академія зв’язку, м. Одеса

Провідна установа:

• Львівський державний університет імені Івана Франка, м.Льві

Захист відбудеться «&» 2000 року о^ год. на засідан

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському університе імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ-127, пр. ака

Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київської університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано «22-» 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Петравчук А.Г

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми.

В останні роки групи автоморфізмів (ізометрій) кореневих дерев нтенсивно вивчаються у зв'язку з тим, що вони містять різні цікаві підгрупи з ікстремальними властивостями. Зокрема, в групи автоморфізмів таких дерев іриродно занурються відомі періодичні групи В. 1. Сущанського, Р. І. ригорчука, Н. Гупта - С. Сідкі, а також вільні конструкції, різні конструкції руп проміжного росту і т. ін.

Кореневі дерева, які при цьому виникають є досить однорідними. А аме, кореневе дерево Т (скінченне чи нескінченне) є шарово-однорідним, кщо вершини, що віддалені на однакову відстань від кореня, мають однакову алентність. В випадку скінченного дерева найбільша з довжин шляхів, що ’єднують кореневу вершину з іншими, називається висотою цього дерева.

Зображення груп автоморфізмами шарово-однорідних дерев є дуже лідним. Використовуючи такі зображення отримано багато результатів про удову груп Р. І. Григорчука, груп Н. Гупта - С. Сідкі, групи фінітарних втоморфізмів, а також побудовані нові групи з цікавими властивостями, априклад, нерозв'язні без скруту групи, кожна власна підгрупа яких є озв'язною. Для найвідомішої з груп Григорчука пораховано центрапізатори лементів, описано нижній центральний ряд, для груп Н. Гупта - С. Сідкі бчислено їх групи автоморфізмів, встановлено, що група автоморфізмів зупи фінітарних автоморфізмів бінарного кореневого дерева збігається з її ормалізатором в групі всіх автоморфізмів цього дерева.

Р. І. Григорчук виділив в групі всіх автоморфізмів шарово-цнорідного дерева спеціальний клас підгруп — так звані гіллясті групи. На [іжнародній алгебраїчній конференції (Слов'янськ, 1997), він поставив ряд ятань щодо будови цих груп. Зокрема, було висловлено гіпотезу, що для -ипової" гіллястої групи група автоморфізмів збігається з її нормалізатором в >упі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева (група фінітарних шшорфізмів та групи Н. Гупта-С.Сідкі, для яких це твердження справедливе, гіллястими групами).

Вивчення гіллястих груп має багато спільного з дослідженням групи ремони; одна з причин цього полягає у тому, що в обох випадках виникають еровані вінцеві добутки.

Група автоморфізмів афінного простору Ап вимірності п над іксованим полем К, яка має назву "афінна група Кремони", може бути шсана як група оборотних наборів многочленів з к\х1 ,...,хп ] вигляду

(а,

щодо операції суперпозиції. Для нескінченних полів вона збігається з групої автоморфізмів кільця многочленів к[х] У випадку скінченного поля і

різні набори з афінної групи Кремони є різними автоморфізмами кільц К[х, ,...,хп], але вони можуть завдавати однакові автоморфізми афінног простору А". В цьому разі аффінною групою Кремони прийнято називат групу автоморфізмів кільця многочленів К[Х]

В групі Кремони виділяються дві важливі підгрупи: СЬп(к) ■— груг лінійних перетворень та — група трикутних перетворень, або як її ш називають, група Жонк'сра. '

Група Кремони в випадку нульової характеристики вивчалася роботах, багатьох авторів, зокрема в роботах Т. Камбаяші, Т. Петрі, І. ] Шафаревича.

Ряд задач пов'язаних з групою Кремони поставлено в відомих робот; X. Басса, X. Крафта та В. Попова.

Якщо характеристика К дорівнює 0, то група Жок'єра Jn діє точно і афінному просторі А" над полем К. В противному разі ця дія неточна, випадку скінченного поля ^ , q = рт, позначимо символом І„ нормальні дільник із .}„, що є ядром цієї дії. Факторгрупа Вп - 3 п11п є напівпрямк добутком груп (рц)' = р’ х...хр* і Нг„, де ІУп — група унітрикутні автоморфізмів афінного простору А" над полем . Якщо д = р, то IV„ = 1 є силівською р-підгрупою симетричної групи степеня рп. Тому в ЦЬОР випадку будова фупи Вп значною мірою визначається будовою Рп.

Виявляється, що групи Рп та Вп природним чином зображуються підгрупи і як факторгрупи груп автоморфізмів р-дерева висоти п (коренево дерева, в якого валентність всіх некореневих вершин крім висячих, дорівні р +1, а валентність кореня — р). Крім цього границя Рх, природ визначеної проективної системи груп РП (п > 1) , є силівською р-підфупс групи всіх атоморфізмів нескінченного р-дерева. Таким чином, будова гру Рж, як і групи Вп значною мірою визначається будовою Рп. Досліджен фупи Рж представляє інтерес ще й тому, що вона є універсальною що занурень в класі резидуально скінченних р-груп1.

Все зазначене вище говорить про актуальність теми дисертації.

1 Сущанский В.И. р-изометрические представления и редукция ослабленной проблем Бернсайда// Publ. Math. Debrecen. - 1992. - 40/3-4. - p. 169-193. '

з

і'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертації пов’язана з дослідженнями кафедри алгебри і ітематичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка, а також і темі “Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (номер ржавної реєстрації 0197U003160).

ета і задачі дослідження.

дослідити будову класів спряженості максимальної потужності силівської р-ігрупи Рп та її нормалізатора Вп в групі всіх автоиорфізмів скінченного р-рева висоти п.

зписати нормальну та характеристичну будову нормалізатора силівської р-ігрупи в фупі всіх автоиорфізмів довільного /з-дерева.

охарактеризувати групи автоморфізмів довільних вінцево-гіллястих підгруп рупі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева.

іукова новизна одержаних результатів.

Усі одержані наукові результати є новими. В дисертаційній роботі: ювністю описано класи спряженості максимальної потужності силівської р-[групи Р„ групи всіх автоморфізмів скінченного р-дерева висоти п та її змалізатора Вп в групі автоморфізмів.

а допомогою поняття “паралелотопічної підгрупи” описано нормальні та >актеристичні підгрупи нормалізатора силівської р-підфупи в групі всіх •оморфізмів скінченного р-дерева, а також замкнені нормальні та іактеристичні підфупи нормалізатора силівської /?-підфупн в групі всіх оморфізмів нескінченного р-дерева.

(оведено, що фупа автоморфізмів довільної вінцево-гіллястої підгрупи в пі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева збігається з її імалізатором; зокрема фупа всіх автоморфізмів нескінченного шарово-юрідного дерева є досконалою. Встановлено вінцеву гіллястість і рактеризовано групи автоморфізмів ряду природних підфуп в групі всіх

автоморфізмів шарово-однорідного дерева: підгруп фінітарних та скінченні станових автоморфізмів, силівської р-підгрупи, її нормалізатора.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертації є внеском в геометричну теорію груг Запропоновані методи обчислень можуть бути використані для подальши досліджень різних типів ітерованих вінцевих добутків, групи Кремони та гру: ізометрій кореневих і некореневих дерев.

Апробація результатів дисертації.

Результати, отримані в дисертації, доповідалися: на семінарі "Теорі груп та напівгруп" у Київському Університеті імені Тараса Шевченка; н Київському алгебраїчному семінарі, на П'ятій Міжнародній конференції іме* академіка М. Кравчука (Київ, 1996), на Третій міжнародній конференц "Групи і групові кільця" (Великий Любінь, Львівська обл., 1996), а також н Першій Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті професор Л. М. Глускіна (Слов'янськ, 1997).

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-6], з яких статті в фахових виданнях і 2 — тези конференцій.

Особистий внесок здобувача.

Основні результати викладені в дисертації отримані авторо самостійно. Результати спільної статті [1] викладено в підрозділі 3.1. Леми 3. і 3.2 з цього підрозділу належать автору, лему 3.3 встановлено співавторої доцентом Ю. В. Боднарчуком, а доведення теореми 3.4 отримане при рівном вкладі співавторів.

Структура і об'єм роботи.

Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків списку літератури, викладених на 11£ сторінках машинописного текст Список літератури містить 46 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнш професору Сущанському Віталію Івановичу за постійну увагу і підтримку роботі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В першому розділі вводяться необхідні поняття та доводяться опоміжні твердження.

В підрозділі 1.1 наводяться необхідні теоретичні відомості про інцеві добутки груп підстановок та про будову силівських /^-підгруп иметричних груп скінченного степеня.

>значення 1. Вінцевим добутком груп підстановок IV ~(G,X) wr (Н, Y)

озивається цапівпрямий добуток групи G на групу F всіх функцій з множини ' в Н, що задається вкладенням G с AutF, при якому кожному gsG

тавимо у відповідність автоморфізм: / —> f(g'lx) групи F. Група F

озивається базисною групою або базою вінцевого добутку W.

Наводяться потрібні для подальшого властивості вінцевого добутку вох груп підстановок. Описується конструкція вінцевого добутку за ослідовністю (скінченною або нескінченною) груп підстановок.

. Як відомо2, будь-яка силівська р-підгрупа симетричної групи кінченного степеня розкладається в прямий добуток силівських ^-підгруп ^метричних груп степенів р" для деяких п.

Для зображення силівської ^-підгрупи Рп симетричної групи степеня і” використовується запропоноване JI. А. Калужніним3 табличне зображення, т якому кожен елемент Р„ зображується таблицею

)'аз(хі>х2)’--ап(х\-->хп-\)].

: ai(xx,...,xi_x)&Yp[xx,...,xl_x]/I, I = {х[-хх,х^-х2>.є

;дукованими многочленами за модулем ідеала 1 над полем Fp (/ = 1,2,...,п).

В підрозділі 1,2 визначаються група Кремони та група Жонк'єра над ;інченним полем. Вводиться до розгляду факторгрупа Вп групи Жонк'єра за

(ром дії на афінному просторі вимірності п.

Факторгрупу В„ над F? можна ототожнити з групою наборів вигляду

(а,х, +а,„..,а„х„

Л. Холл. Теория групп. — Москва: Изд. иностр. лит., 1962. - 468 с. Салужнин Л. А. Избранные главы теории групп. - Киев, 1979. - 52 с.

де от, є F* (1 <t <и), а, є Fg, аДхі,...,хм)є F^Jx,...хм]// — редуковані

многочлени над F?, 2< і < п. Група В„ розкладається у напівпрямий добуток підгруп, одна з яких ізоморфна Т„ = Fjx...xF*, а друга — групі W„ унітрикутних автоморфізмів афінного простору Ап над полем F?. Остання складається з найможливіших наборів редукованих многочленів вигляду

{х1+аи...,х„

В випадку q = р маємо Wn-P„ і група В„ є нормалізатором Р„ в симетричній групі степеня р”.

На групі Вп визначається передпорядок: для u,vgB„ (и = їїй, v = vv , де u,v є Тп, ü,v вР„) вважаємо, що u < v якщо існує таке т, що u = vm і Ій <| v |(-, 1< і <,п, де \й\, — висота і-ої координати елемента й є Р„ у сенсі Л. А. Калужніна3.

Означення 9. Підгрупа К групи Вп називається парапепотопічною, якщо для будь-яких и,у є Вп з и <v і vеК випливає, що иєК.

Так введене поняття паралелотопічності є узагальненням поняття паралелотопічної підфупи у випадку Р„, яке відіграє центральну роль при

вивченні характеристичних підгруп цієї групи.

В підрозділі 1.3 наводяться необхідні відомості про шарово-однорідні дерева та групи ізометрій цих дерев.

Рівнем (або шаром) номер п називається множина вершин кореневого дерева (r,v0) визначена рівністю

Vn={veV{T):d(Vo>V)=n},

де d(vQ,v) — відстань між вершинами v0 та v, що дорівнює довжині з'єднуючого їх шляху.

Рівень номер 0 містить лише корінь дерева.

Будемо говорити, що група автоморфізмів є шарово-транзитивною, якщо вона діє транзитивно на всіх рівнях. Кореневе дерево Т називається шарово-однорідним, якщо група AutF всіх автоморфізмів (ізометрій) цього дерева є шарово-транзитивною. Воно називається однорідним, якщо існує таке число к, що |F„| = кп для всіх п = 1,2,....

Далі в цьому підрозділі наводиться визначення класу гіллястих груп автоморфізмів, введеного до розгляду P. І. Григорчуком, і розглядаються певні модифікації поняття гіллястості. А саме, вводяться визначення слабо гіллястих та та вінцево-гіллястих груп автоморфізмів невиродженого нескінченного шарово-однорідного кореневого дерева (тобто такого дерева Т, що AutT — нескінченна). Наводяться основні приклади таких груп. Зокрема встановлюється, що вінцево-гіллястими будуть:

1) AutT — група всіх автоморфізмів довільного нескінченного шарово-однорідного дерева Т.

2) Р„(р) —силівськар-підгрупа групи Aut 7^ для нескінченного однорідного дерева валентності р.

3) Вж(р) —нормалізатор групи Рл(р) в групі AutТр.

4) FA(T) — група фінітарних автоморфізмів4 довільного невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева Т.

5) FGA(T) — група скінченно станових автоморфізмів5 нескінченного іднорідного дерева.

Крім цього, в групі природним чином виділяються

таралелотопічні підгрупи.

Другий розділ присвячено вивченню будови силівської р-підгрупи рупи ізометрій р-дерева та її нормалізатора в цій групі для р > 3.

В підрозділі 2.1 описуються класи спряженості максимальної ютужності силівської р-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева висоти і (тобто дерева, в якого рівно п рівнів).

Теорема 2.4.1. Множина таблиць вигляду

І4»4*Г‘ +а2(х1\...,лп.іхГ1 -Ci +<*„(*»-,)]. (1)

'е А0,...,Лп_2 є Fp- Лі-і є F/; —фіксовані, а о,(^_ і), 2< і-in, —довільні едуковані многочлени, які не містять одночлена xf*1 ...х%2\, утворює клас пряженості групи Рп найбільшої потужності.

. Всі класи спряженості найбільшої потужності мають вигляд (І).

Сущанський В.І. Групи автоматних підстановок// Доповіді НАН України. -1998. -«6. - с.47-52.

Сущанський В.І. Групи скінченно-автоматних підстановок// Доповіді НАН України. -?99. — №2. - с.29-32.

Ця теорема дає змогу охарактеризувати класи спряженості максимальної потужності для синівських р-підгруп довільних скінченних симетричних груп. А саме, нехай т — довільне натуральне число, т-Ікрк +... + /]/? + /0 —його розклад за основою р. Тоді синівська р-підгрупа симетричної групи Symm(m) має вигляд ;і

Р(‘ хР-12 х...хР'‘.

Наслідок 2.5. Кожен клас спряженості найбільшої потужності в силівській р-підгрупі симетричної групи Symm(m) мас вигляд ■ •де Ку (\<i<k,\< j < /,) множина таблиць вигляду (1) довжини і. ...

В підрозділі 2.2 описуються класи спряженості максимальної потужності нормалізатора силівської р-підгрупи групи автоморфізмів Aut Г”

для скінченного р-дерева Т” висоти п (в Aut Т"). Для цього вводиться поняття рангу кортежа над F*.

Означення 20. Рангом кортежа м = ,..., ) є (f* |' називатимемо

найбільше число г(и), для якого існує множина індексів

/={/,,...,г'г jl</, <...<іг<п},

така що для довільного ік є / виконується співвідношення ■ . ■ ■

Ранг кортежа (1,...,1) вважатимемо рівним 0. Рангам групи (р* називатимемо число

г(п) = тах|у(м)| и є (р^

Ранг г(п) легко обчислюється за розкладом числа р-1 на прост множники.

Лема 2.6. Нехай р['... р[у розклад числа р-1 на прості множники. Тоді

г(п) = шіп{п,/, +... + /„}.

Далі доводиться

Теорема 2.10. 1. Потужність довільного класу спряженості <и> в В„ задовольняє нерівність

\<и>\<Іф-іу-г{в)рі^"^І’-^п+г^ .

2: В групі Вп існують класи спряженості потужності

Основним результатом цього підрозділу є така теорема Георема 2.11. Множина елементів вигляду

(*І +аих2 + а2(Х]),...,хп_Г(„) + а„-Г(п){-Хп-г(п)-])> ^

®л-г(п)+1хл-г(п) + І ^ ал-г(/і)+1 (-^Г/і-г(и))>' • ■’^спхп + ап (Хл_ 1)),

)е ), для І <і <п- г(п) —довільні многочлени найбільшої висоти, адля

п-г(п) + \<і<п — довільні многочлени, ап_г(п)+І,...,ап — фіксовані

глементи з ¥*р , такі що .

■ г(і,...,1,а„.фі+„...,ап)=г(п)

творюс клас спряженості найбільшої потужності. .

Іри р> 5 всі класи спряженості найбільшої потужності мають вигляд (2).

В підрозділі 2.3 описуються нормальні дільники нормалізатора илівськоїр-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева висоти п.

Георема 2.18. Будь-яка нормальна підгрупа групи В„ — паралелотопічна.

Як наслідок з цієї теореми отримуємо

Теорема 2.19. Будь-яка нормальна підгрупа групи Вп розкладається а напівпрямий добуток деякої підгрупи групи Т„ та парапелотопічної підгрупи групи Р„.

Нехай К <Вп. Побудуємо підгрупу К <Т„, таку що її є К тоді і тільки тоді, коли и є К. Нехай також

^■гп->К

— проектор нау-ту координату, тобто Лj{al,...,a„)=aj.

Глибиною підгрупи К називатимемо найбільше число г таке, що всі елементи з К мають на перших г координатах тотожні перетворення.

Теорема 2.20. Підгрупа К групи В„ глибини г нормальна тоді і тільки тоді, коли К — паралелотопічна, причому якщо

^¡(к)= {1} (і > г), то кі £ р‘~х - рг, а якщо яг,(к)* {1}, то кі= р'~1.

Нормальна будова групи Жонк'єра в випадку нульової характеристики поля описана Іваненком Н. Л.6

В підрозділі 2.4 узагальнюються результати підрозділу 2.3 на випадок нескінченного /ьдерева. Отримане тут твердження є наслідком з попередніх результатів, оскільки легко доводиться, що будь-яка замкнена нормальна підгрупа групи Вх є паралелотопічною і розкладається в напівпрямий добуток деякої підгрупи групи Т„ та паралелотопічної підгрупи групи Т„.

Теорема 2.27. Підгрупа К групи Ва глибини г є замкненою нормальною тоді і тільки тоді, коли К—паралелотопічна, причому якщо

я,(к)={1} (і>г), то ^ >р‘~х -рг, аякщо то к/^р1'1.

6 Іваненко Н.Л. Нормальна будова групи Жонк'єра над полем нульової характеристики// Укр. мат. журнал. -1994. №6 (46). - с.304-312. •

Третій розділ присвячено вивченню автоморфізмів вінцево-гіллястих

5уП.

В підрозділі 3.1 знайдено групу автоморфізмів нормалізатора «лівської р-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева висоти п для. >>3.

еорема 3.4. Група автоморфізмів В„ є напівпрямим добутком групи ппВп £ В„ внутрішніх автоморфізмів В„ і декартового степеня С”'1 иклічної групи порядку р

АиіВп^ВпХСпр~1.

Зовнішні автоморфізми з С"“1 діють на елементах ґ є Г„, g„-.^єP„-] і г є , де Р„ — базисна група вінцевого добутку Р„ = Рп_, Ср таким ином:

* -> <. 8п-1 /р >

ричомудія р на многочленах з /*), визначається рівністю

П — 1 *=1 ^....

і ске¥р, \<к^п-1.

Зауважимо, що Боднарчуком Ю. В.7 встановлено, що всі регулярні ітоморфізми групи Жонк'єра, в випадку нульової характеристики поля, є їутрішніми.

В підрозділі 3.2 досліджуються вінцево-гіллясті підгрупи групи ометрій невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева, формульована нижче теорема є основним результатом підрозділу.

еорема 3.7. Нехай Я — вінцево-гілляста підгрупа групи всіх автоморфізмів МХ.Т нескінченного шарово-однорідного дерева Т. Тоді

AutR = NAшT(R).

Sfu. Bodnarchuk On automorphisms of block-triangular polynomial translation groupsII umal of Pure and Applied Algebra. - 1999. -137. - p. 103-123.

В підрозділі 3.3 наведено деякі застосування отриманих вище результатів.

З теорем 2.20 та 3.4 як наслідок отримуємо опис характеристичних підгруп групи Вп.

Теорема 3.8. В групі В„ клас характеристичних підгруп збігається з класом нормальних підгруп. Тобто підгрупа К групи В„ глибини г характеристична тоді і тільки тоді, коли К — паралелотопічна, причому якщо .. •

Лі{к)= {1} (і> г), то > р'~х ~рг, •

а Якщо я-,(а:)*{1}, то кі = р‘~х.

Подальші результати є прикладами застосування теореми 3.7.

Теорема 3.9. Група всіх автоморфізмів довільного невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева Т є досконалою. ....

Зазначимо, що досконалість групи всіх автоморфізмів однорідного (не кореневого) дерева була встановлена Знойком Д. В.8

Теорема 3.10. Група автоморфізмів групи фінітарних автоморфізмів РА збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх автоморфізмів невиродженого нескінченого шарово-однорідного дерева.

Ця теорема є узагальненням результату Браннера та Сідкі9, які розглянули лише випадок бінарного дерева.

Теорема 3.11. Група автоморфізмів групи скінченно станових автоморфізмів РвА збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх автоморфізмів нескінченного однорідного дерева. .

З теореми 3.7 отримується і такий наслідок. '

Теорема 3.12. Група Вх(р) збігається з групою автоморфізмів РХ(Р) - і є досконалою.

Знойко Д.В. Группы автоморфизмов регулярных деревьев// Мат. СССР Сб. - 1977. -32.-с.109-115. .

9 A.M. Brunner, S. Sidki On the Automorphism Group of the One-Rooted Binary Tree. -Journal of Algebra.-1997.-195.-p.465-486. .

висновки

В даній роботі вивчається будова груп автоморфізмів скінченних і іескінченних шарово-однорідних дерев, зокрема нормалізатора силівської р-іідгрупи групи автоморфізмів скінченного р-дерева.

Описано класи спряженості максимальної потужності, нормальні іідгрупи та групу автоморфізмів нормалізатора силівської р-підгрупи групи зометрій скінченного р-дерева.

Розвинено технічний апарат для дослідження груп ізометрій шарово-аднорідних дерев, завдяки чому вдалося довести, що для довільної вінцево-їллястої групи її група автоморфізмів збігається з нормалізатором цієї групи в рупі всіх ізометрій шарово-однорідного дерева, і як наслідок, отримати, що рупа всіх ізометрій шарово-однорідного дерева є досконалою.

Застосовані в дисертаційній роботі методи обчислень можуть бути іикористані для подальших досліджень різних типів ітерованих вінцевих [обутків, групи Кремони та груп автоморфізмів кореневих і некореневих іерев.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

. Боднарчук Ю.В., Лавренюк Я.В. Група автоморфізмів нормалізатора илівськоїр-підгрупи симетричної групи S „ // Доповіді НАН України. - 1999. ■X27.-c.7-ll. Р

. Лавренюк Я.В. Автоморфізми вінцево-гіллястих груп// Вісник Київського ніверситету. - 1999. - Х®1. - с.50-57.

. Лавренюк Я.В. Класи спряженості групи трикутних автоморфізмів афінного ростору над простим скінченним полем// Вісник Київського університету. -997. №3. - с.28-36.

. Lavreniuk Ya. On normal subgroups of Jonkier group// Математичні Студії. -997. -Т.8,№2.- c. 143-146.

. Лавренюк Я.В. Класи спряженості в силівських підгрупах симетричних зуп//П’ята Міжнародна конференція імені академіка М.Кравчука. - Київ. -996.-Тези доповідей.-с.231.

. Lavreniuk Ya. On conjugacy classes of group of automorphisms of the Affine засе over prime finite field Vp (p > 3 )// Міжнародна алгебраїчна конференція, рисвячена пам'яті професора Л.М.Глускіна (1922-1985). - Слов'янськ. - 1997. Тези доповідей. - с.72.

Лавренюк Я. В. Шарово-транзитивні групи автоморфізмів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 — алгебра і теорія чисел. — Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Дисертацію присвячено дослідженню груп автоморфізмів шарово-однорідних дерев. Охарактеризовано класи спряженості максимальної потужності силівської р-підгрупи Рп та її нормалізатора Вп в групі всіх

автоморфізмів скінченного р-дерева висоти п.

Описано нормальну та характеристичну будову нормалізатора силівської р-підгрупи в групі всіх автоморфізмів довільного (скінченного чи нескінченного) р-дерева. Описано групи автоморфізмів довільних вінцево-гіллястих підгруп групи автоморфізмів шарово-однорідного дерева. Встановлено вінцеву гіллястість і охарактеризовано групи автоморфізмів ряду природних підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева: підгруп фінітарних та скінченно станових автоморфізмів, силівської р-підгрупи, її нормалізатора.

Ключові слова: синівська р-підгрупа, клас спряженості, нормальна будова, шарово-однорідне дерево, група автоморфізмів.

Lavreniuk Ya. V. Level transitive automorphism groups. — Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of a candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 — algebra and number theory. — Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to investigation of automorphism groups of level gomogeneous trees. The conjugacy classes of maximal size of the Sylow p-subgroup P„ of the full automorphism group of finite p-tree of height n and its normalizer Bn in the automorphism group are characterized. Normal and characteristical subgroups in normalizer of subgroup Pn are described. The automorphism group of any wreath branch subgroup of automorphism group of level homogeneous tree are also described. In particular the automorphisms of the full automorphism group, its subgroup of finite state automorphisms and normalizer of the P„ are investigated.

Key words: Sylow p-subgroup, conjugacy class, normal subgroup, level homogeneous tree, automorphism group.

Лавренюк Я. В. Слойно-транзитивные группы автоморфизмов. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. — Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Диссертация посвящена изучению групп автоморфизмов слойно-однородных деревьев.

Характеризированы классы сопряженности наибольшей мощности силовской р-подгруппы Р„ и её нормализатора В„ в группе всех автоморфизмов конечного р-дерева высоты п.

С помощью понятия “параллелотопической подгруппы” описаны нормальные и характеристические подгруппы нормализатора силовской р-подгруппы в фуппе всех автоморфизмов конечного р-дерева, а также замкнутые нормальные и характеристические подгруппы нормализатора силовской р-подгруппы в группе всех автоморфизмов бесконечного р-дерева. Установлено, что в конечном случае классы нормальных и характеристических подгрупп совпадают, хотя группа и имеет внешние автоморфизмы. В случае бесконечного /7-дерева установлено, что эта группа

— совершенна.

Также описаны группы автоморфизмов произвольных веночно-зетвящихся подгрупп группы автоморфизмов слойно-однородного дерева. Установлено, что все автоморфизмы любой веночно-ветвящейся подгруппы шдуцируются элементами её нормализатора в группе всех автоморфизмов ;лойно-однородного дерева.

Также установлено веночную ветвистость и описано группы ibtomорфизмов ряда естественных подгрупп в группе всех автоморфизмов :лойно-однородного дерева: подгрупп финитарных автоморфизмов и

ютоморфизмов с конечным числом состояний, силовской /7-подгруппы, её юрмализатора.

Ключевые слова: силовская /7-подгруппа, класс сопряженности, юрмальная подгруппа, слойно-однородное дерево, группа автоморфизмов.

Підписано до друку 11.07. 2000 р. Формат 60x84/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Обсяг 1,0 друк.арк. ТиражПО сю. Замовлення № 261.

Видавництво та друк - Інформаційно-видавиичий центр Товариства "Знання” України 03150, м.Київ, вул. Велйка Васильківська (Червоноармійська), 57/3, к.214. ' '

Тел. 227-41-45,227-30-97 • .