Спектральная теория конечных регулярных графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ.НАУК МАТШАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА САШСТ-ПЕТЕРБУРГСКОВ ОТДЕЛЕНИЕ

На правах рукописи УДК 517.172, 519.217.2

НИКИТИН Алекоей Михайлович

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФОВ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

• даооертацки на соискание ученой отепыш кандидата физико-матемагичоогаос неук

Са нк т-П етар<5ург 1993

Работа выполнена в лаборатории математических проблем физики Санкт-Петербургского отделения Математического института гм.В.Л.Стеклава РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-матекатичеоких- наук

ведущий научный сотрудник А.Б.Венков |

ОФЩШШМЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук |

ведущий научный сотрудник М.М.Скриганов !

кандидат физико-математичооких ; наук А.О.Смирнов ■ ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургский гооударотввн-

ный университет

Защита состоится " $ " ИСА&рЕ* 1993 г.' в_чаоов

на заоеданвд Специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического инотитута им.В.А.Стеклова РАН (Санкт-П «тербург, Фонтанка, 27).

С даиоертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургокого отдаления Математического института имени В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан

г.

Ученый се1:ретарь Специализированного сов доктор физ.-матем.наук .профессор

А.П. Остяков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОИ1 ;

Актуальность теми. В 1956 г. норвежский математик /..Овльберг опубликовал работу^, в которой им била доказана формула олода, ноощая о тех гтор его ига. Фо[мула следа Сель-берга являвтоя мощным инструментом в теории £|&томорфних функций, а теории автоморфшх 'представлений и автоморфных. форм, в квантовой теории поля и других разделах математики и теоре- ; тичеокой физики. S

Изначально оригинальный метод А.Сельберга отнооилоя лишь ; к верхней полуплоскости и фуксовой группе первого рода, разрывно действующей на верхней полуплоскости. Впсоледотвитт в работах А.Б.Венкова, КГангсшш, Г.Уорнера и ряда других последователей. этот метод был распространен .туш произвольного некомпактного двухточечно-однородного пространства общего гида и дискретной группы, разрывно дойствуотей на тат'ом про-отр' чотве. Отметим также, что ^(юрмулэ слада Сэльбврга нашла интерпретацию на языке теории представлений в работах И.М.Гельфэнда, М.И.Граева, И.И.Пятецкого-Шширо и ряда .других авторов.

Развитие метода А.Сельберга произошло, благодаря изучению гармонического анализа на полутгростых группах Ли над полями К. и'С .

С .другой оторонн, в работах ряда иооледоват лей - в ос-новнш, в статьях французских математиков Ф.Брюа и К.Титса -развивалось изучено редунтивтшх групп над локяльш-га полями. . Соединив технику теории Ррюп-Титоа и мзтоцц теории представлений, японский математик Я.Ихара в oûneîl работе™, опубликованной в 1966 г., построил аналог дзета-'^ута-цгги Оельберг«

A.Salberg, Harmonic analysis and ciiscoj. inuouo groupn in v/ealcly ajmmotric Rieimmnian apace.' with applioatione to Diriehlet aeriea, J. Ind.Mnth.Soc. , 20 (135G), 47-0', .

r2i ~

J Va.lhara, On diecruto sL'bgroup3 on the jwu by two projective linear «roup over p -nilic fields, O.Mnth.Soe. ' Japan, 10, H 3 (1966), pp.219-235.

наиел явное детершнантнов представление для этой дзета-функцш*. Роль глобального сигметргцеокого пространства в работе ШИхара играло дерево Бркя-Титоа X , ассоциированное о группой (2, ' ТГ'0 Ар -локальное паде, роль

^декретной группи /"* - свободная группа конечного ранга % изометрических автоморфизмов дерева X 0 конечным фактом-графом У ~Г\ X • Необходимо отметить, что гармонический анализ на ре-,уларных деревьях представляет собой хорошо изученный предмет. Более того, для деревьев существует аналог интегральной геометрии

Опираясь на мотодч Л.Сельберга и попользовав знание гар-пбнпчоокого анализа ,дш регулярнее деревьев, французский математик Г.Лхугада в овоей работе*^ 1 опубликованной в 1987 г., прецогаврл по,дход к изучению дзете-фгункщт Ихарг с помощью Формула слща Сельберга для регулщшпе деревьев. Тем самым, методы А.Сельберга бшш перенесены в чисто номбинат-^нуо ситуацию, в которой роль глобального симметрического пространства играло регулярное дерево X > а роль дискретно^ группы р - свободная группа конечного ранга %. изометрических автоморфизмов деревя V 0 конечным факторграфом

У-Г\х-

В недавних исследованиях американского шгемагикг Л.Басса и японского математика Ки-И.Хашимото (выполненных не-загкеимо друг от друга) была существенно расширена область использования опектралъннх методов в теории графов.

Кроме того, специалистами по теории поля в настоящий момент интенсивно развивается метод р -адическш. квантовкх струн, что также связано с темой диссертации.

Тема исследования, на взгляд автора, интересна и акту-ельня.

Цель диссертации: построение аналога теории Л.Сельберга для коночных регулярадх графов.

С.ЛЦшппйа, Ропс1;хопс рвгХосИ^иез сЧ Гогти1е 11ес • 1ш:ог <3.е Зо1ЪегЕ виг З.еа агЪгез, С.Й.Лсай. о'с1. , Гаг1з, *. 30 5 1967), ЯегЛ, И 16, рр.709-712.

Мзтоды кооледовашш; аботракткая теория графов, теории груш г, теория линейных представлений конечных групп, методн теории А.Сельберга, методн аналитической теории чисел, тож-Деоиза Ьаоса-Хашшото для -функштП графа, тождество следов Атьи-Ботта, методы теории щи: «лаканий.

Научная новизна. В диссертации получоны пледущие новые результаты:

- интерпретация тоядоства Басоа-Хашшлото для дзета-функции конечного графа на язык о топологических цепей Маркова}

- подход к формуле анода Салвберга для регулярного дс ева через -функции;

- аналог теоремы гшогноога Чеботарева доя накрытий конечных регулярных графов нечетного типа о конечной группой Галуа (нечетного порядка);

- теорема сб асшлггогичеокой плотности распределения цпиштивнкх класоов оопгяжегсшх оло;. знтов груттан [* в обобщенных клаосах гомолотий гёш;торграфа У я /~\ X ;

- гомологические тождества для нонечвдх регулярных факторграфов и, как следствие, новое цетершнантиое подставление для дзета-функции конечното регулярного фактор-графа;

- оценки нетривиальной части спектра оператора усреднения ко единичному радяуоу .для конечных регулярных фактор-графов нечетного типа;

- конструкция некоторых конечных регулярных графов, спектр которых модно оосчитать явно.

Теоретическая и практическая пеннооть результатов диссертация. Результаты диссертации имеют приложения в теории графов и в теории передачи шгформацкя.

Апробация .работы. Результаты диссоргп^л доклад..аалиоь авторш на с<зстдарах:

- по квантовой теории паля ^ру/овСцитель семинпрп -академик Л.д,Фаддеев),

- по теортш: чисол (руководите/!', сошнера - доктор физ.--матгял.нпух прэфесоор А.К Андрианов);

- по спектральной теории автомор^ных функций (рукочоди;-тели семинара - доктор физ.-матем.наук А.Б.Венков и доктор физ.-мйтем.наук А.И.Виноградов).

Публикации по теме диссертации. Основное содеряание дисоартащш отражено в шести работах автора, список которых •помещен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (каждая из которых содержит пять параграфов) и описка литераV.' ри, включающего семьдесят восемь наименований. Общий объем диссертации - сто двадцать одна страница машино- ' писного текста.

Антор выражает благодарность научному руководителю, доктору физ.-матем.наук А.Б.Вешсову и доктору физ.-матем.наук А.И.Виногрчдову Еа полезные консультации.

Автор выражает благодарнооть профессору Х.Бассу, профессору Р.Кулкарни, профессору А.Любоцкому, профессору Р.С' Фшилпсу, профессору П.Сарнаку, профоосору Ки-И.Хапш.юто и ппофессору А.Хори за возможность ознакомиться с новыми результатами в данном направлении.

Обозначения. Для любого конечного множества $ ■ число ого элементов обозначается через # ^ .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТА

Во введении показана актуальность темы, предотавлен обзор ранее полученных результатов по теме диссертации, дин их краткий анализ и сформулированы основные результаты диссертации.

В главе I изучены некоторые приложения формулы следа Сельберга для регулярного дерева.

Пуоть X 0ОТЬ бесконечное локе ьно-конечное (у* 4) -регуляргое ( , ^ ^ ) дерево, V X - мн -

жеотво его вершин, £" X ~ множество его (ориентированных) ребер. Пуоть /"* - строго гиперболическая группа изометрических автоморфизмов дерева о конечным фэкторграфом У = Г\ X > ^Р • Г—- ЦЫг>) - конечномерное унитарное представление группы , пространство представления. Ассоциированная с эгига. данными -функция определена бесконечным произведением

ЦГи,!)-П ш

приЫ1<{1 > иеС.

Произведение в правой чаоти (I) берется по множеству Ср всех примитивных класоов сопряженных элементов группы /"* (отличных от единичного); ¿¿^ Р есть степень кляось {Р} £ Ар (степень {¿<1 соть функция классов).

Дзета-функция факторграфа у ¡~\ V

определена бесконечным произведением

- тсц

при /а/< ч'\ X £ £

С! п£йощьщ формулы следа Сельберга цл^ регулярного дерева можно установить, что 11 у имеет мердаорф-

ное продолжение на вою комплексную 11 -плоскость, имеет детершнангное представление:

при 11 £ С . , где:

I) -

это сужение оператора успедпенля по единичному радиусу (Г = на пространство (Г} £>) -автаморфшх 0 -

коцепей нг. У (это пространство обозначается через " /

, 2) П = А\Г,'р)

<1У 2

(Заметим, что отображение

есть элемент

из Л"(Г, р) тогда и только тогда, когда выполнено условие:

ь^х ^ е Г »для всех 1)" ).

Соответственно, дстерминангное предсгавлснкз для ъСн(Ц) га.'еят в!

¿/и)4' «>

Отметим, что оператор ^ в сиплее, асссршровашю^

0 V У в Г\\'Х > изображается матрицей ичцидонт-

чооти Д(г факторграфз У « Г \ X •

Обозначим через ^(коммутативную)

алгебру операторов вица: '

оо

* /*1-0

где: I) ^ ¿(^}щ-0 ~ ЭГ0 сем<эйств0 «пораторов усреднения по садзусу П - & I г X, г . . .

- это Ц. -значная последовательность, удовлетворяющая условию:

т.4

Обозначим су^.егаш

К с /(Ул.с)

на пространство Д р) чпрез (С(Гу р) •

ТЕОРЕМА I. Пусть /*,/*' - свобод'ше группа конечных рангов, деИствувдко пз дсроно ){ , причем = Ке/ь'Ц! где ! Г* —>■ & - это оюръект1ш:шй гомоморфизм груи™ Г э конеч1;ую групп;/- . Тогда, в вншэпртшлтых оЗознячетшях, для любого ^ ^1/Х г С) выполнено равзнство следов:

ТгК(Ги) - Тг К (Г, С!1) <*>

где []^ есть унитарно прецптаатение гручпы Г , инду!Ртро-егнное с сднс арного ецшшнсго :тр?дс"Евк!!'::.ч груипп . "з теорем! I :'-эаус? '^срму.'^ ^акториэмпл:

-ю -

¿1*1$

г А

где произведена в правой части (6) берется по множеству (у воех неприводимых конечномерных унитарных представлений '(о точностью до изоморфизма) группы (2, .

В главе II рассмотрен аналог теоремы плотности Чеботарева. Благодаря недавним исследованиям американского математика 'Х.Еасса и японского математика Ки-И.Хашимого (оделанным ими независимо друг от друга), /,(7» Р) имеет детерми-нантное представление: ' _

ЦГ,«>}) ' , (7)

где 7р г- это оператор, действующий в пространстве (Г, автоморфиых £ .-коцепей - обозначим это пространство через & (Г, - по Формулэ:

(%«>)(})- Ь ^/«»е^С./). <8)

суммирование в правой чаогя (8) производится по воем

£У - /*\ £Х • тагаш, ч»о (у, - собст-

венный путь в у , (Заметим, что отображение 10 8 £Х" • Ур !еоть елемент из Л. (Г} Р) ' тогда и только тогда, ' когда выполнено уоловие:

для воех ?еГ; % й £К) Из (?) следует, что .

для всех

Опрэделим множества:

ПГ(*)-{Ш*$: Щ"1} > т ¿'Г*.

Наибольший общий делитель чисел £/\/ , таких, что

Рг(<1)-ф- ф • обозначил через Из оло~

дует, что ^

иТр)-полином ПО и?

Пусть

у = Г \ К есть конечный связный (0,+1) регулярный факторграф нечетного типа (т.е. —• ( <1+I) не является собственным значением оператора ¿"(Г,{) ' ) с

}(У) =i (модельный вариант). Иопольауя (9), нетрудно получить асимптотику: ^

---г ' «>

при [ —»- 00

Пусть /*' ' - свободные группы' конечных рангов пзо-мэтричеснтк 9ятшорс7исмов ^ -регулярного дерева .

Будем предполагать, что состжзтотвутошо коночные связные + I) -регулярные йакторграфы

г у =Г\Х У= г\ л

имеют нечетный тип, а такк: , что

тдв ^: [*—- £ еогь оюръенигвный гомоморфизм группы

[* в конечную групщ О, нечетного поредка, 9-(У)" I (модельный вариант). *

Определим множество

ПГ(Ы) -{№ Рг ■ V"1 • ' М}

ТВОРИЛА 2. В принятых вы ню пре дположениях о группах

Г Г' и & » т имеем:

при ¿ —°°

Следствие (аналог теоремы плотности Чеботарева). В вышопринятых ттредположениях о группах /* /*' и £ мы имеем:

для всех оС , Р & (р .

В главе Ш нредотавленн гомологические тождества для ко-нечннх регулярных факторграфов.

Пуоть У-^ есть конечный сзязикй + рогулямшй фа .'¡»орграф. Определим два конечномерн -х пространства над полам ^ .

У. - ¿1МЛ)

■К

^(Е ул)

где £ У фиксировано выбором некоторой ориентащш на У'. Определим скалярное произведение в и но формулам:

им • ,

иеЧУ

для всех , б 1/о 5 для всех

О л оря т0р кограницы ^ ; ♦ опрг ¡.влсч формулой:

(Й/Х;) - ЗД ^. и®

для всех • $ ^ ^ ^ { Г«^) ~ конец

ребра ¿""'у , - начало ребра В*У'">-

Дуаташй оператор £; "у туг импэт виц:

!*Е* У

Обозна ши

и1(У) =СоЫЯ *

- 14 -

Лаплаоианы на и "V^ имеют вид:

Д^ S ÍOT (16)

Будил обозначать спектр оператора Д. чероз JfuA .

ТЕОР£Ш 3. В принятых выше обозначениях имеет место равенство опектров Дс и fudfyjl

(с учетш кратности):

= átn&ikw <IW

Отсюда; о учетом (4), (15) и того факта, что ■//^V") одномерно и соотоиг из конотаяг, мы шла см

йиедотвпе (новое детерглинантное представление для

ír (*) >. г.-» "(t-t-ij-Aj.

Публикации ПО TOMO ДПССВрТаЦИИ

1. Никитин A.M. Об шгалогс формул факторизации Ненкова-Сографа, Препринт ЛОЖ, Г-Э-О! (т991).

2. Никитин A.M. Об аналоге фошу. факторизащш Венкова-.Яографа И, Препринт ПОЖ, P-II-9I (1991).

3. Никитин A.M. О опэктре оператора' уоредне- ш для конечного однородного графа, Препринт ГОШ, Р-3-92 (1992).

4. Никитин А.!.:. Формула следа Оелъберго., графы Рамануджана и некоторые проблемы математической физики, Алгебра и анализ, т.5, вып. 3 (1993) (совместно о Л.В.Пенковым).

5. Никитин A.M. О нок. торцх гомологичеоких тождествах для коночных однородных грм;|'юа, Зап.научн.оомпн.ПОМИ, т.,205 (1993), И0-Г.2Г.

6. Никитин A.M. Ир'.шитивныо классы сопряхоншх элементов л обобщенная группа гомолегий кош. uioro графч, Яап.научн. сешш.ПОШ, Т.20Р (19ЭЬ), 157-165.

Р'ГП ШЯФ,8ак.532,тир.Ю0,уч.-изд.л.0,7; 26/1Ш-1993 г. Беоплатно