Спектральные характеристики квантовых графов типа "звезда" тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

Аннотация ii

2 Определения и предварительные замечания

2.1 Определения

2.2 Вывод условия квантования

2.3 Свойства матрицы DS. Формула следа

2.4 Геометрический смысл матрицы S

2.5 Сглаженная формула следа

2.6 Спектральные статистики

2.G.1 Средняя плотность

2.6.2 Двухточечная корреляционная функция

2.6.3 Форм-фактор

3 Форм-фактор для графа типа "звезда"

3.1 Разложение форм-фактора

3.1.1 Общие формулы

3.1.2 Вычисление KI{T)

3.1.3 Вклад j =

3.1.4 KJ{T) для произвольного j

3.2 Суммируемая аппроксимация

3.3 Численный анализ разложения в ряд

4 Квантовая вероятность возврата для деревьев

4.1 Определения

4.2 Рекуррентное соотношение для вероятности возврата

4.3 Локальный вклад класса вырождения

4.3.1 Случай В =

4.4 Обобщение результатов для полного дерева

4.5 Численное исследование

4.5.1 Параметры t и г

4.5.2 Вычисление W (777,1,777,2,., шв)

4.5.3 Результаты численных исследований

4.6 Предел при больших В

5 Интегральное представление

5.1 Постановка задачи

5.2 Средняя плотность

5.3 Двухточечная корреляционная функция

5.3.1 Рецепт

5.3.2 Ингредиенты

5.3.3 Результат

5.3.4 Свойства функции М{и.)

5.4 Разложение в ряд при больших х

5.5 Особенности форм-фактора

5.6 Предел R2{x) при малых х

5.7 Сравнение графов типа "звезда" и биллиардов Шебы (Seba) А Комбинаторные результаты А.1 Основные свойства классов вырождения А.2 Разбиение целого числа А.З Перестановки без связей В

Список обозначений IV Bibliography

При исследовании широкого класса систем, демонстрирующих некоторое свойство, полезно рассмотреть в качестве примера подкласс более простых систем. Исследовав подкалсс, можно будет надеяться на достижение некоторого понимания и в более общем случае.Таким отношением "класс — подкласс" характеризуется связь между понятиями квантовый хаос и квантовые графы, и, хотя и в меньшей степени, между квантовыми графами и квантовыми графами типа "звезда".Так что представляет собой квантовый хаос? Это — особенности нолуклассического, но не классического, поведения систем, классическое движение которых является хаотическим. Термин "полуклассический" здесь означает ситуацию "при стремлении постоянной Планка к пулю" [1].Представляемая работа относится к той части квантовой теории хаоса, которая изучает собственные значения квантовых систем, pix спектр. Спектры, хотя и отличаются от системы к системе, имеют некоторые универсальные признаки, которые декларированы в гипотезах: Гипотеза 1 (Гипотеза Берри-Табора (Berry, Tabor)). Если классическая динамика является интегрируемой, то статистические свойства спектра типичной системы являются такими oice, что и свойства иекоррелироваиной последовательности уровней. В частности, распределение меснсуровневых интервалов — пуассоновское [2].Гипотеза 2 (Гипотеза Бохигаса-Длсанонни-Шмита (Bohigas, Giannoni, Schmit)). Если классическое движение типичной квантовой системы является хаотическим, то статистические свойства ее спектра будут такими oice, что и свойства собственных значений болъиюй случайной матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля (GOE), в случае если система инвариантна относительно инверсии времени, и из гауссовского унитарного ансамбля (GUE) в противном случае [3].Под статистическими свойствами понимаются такие функции, как функция распределение промежутка между соседними собственными значениями, различные корреляционные функции, последовательности собственных значений и ирисоединенные функции. Гауссовский ортогональный (унитарный) ансамбль определяется как вероятностное пространство действительных симметричных (эрмитовых) матриц со статистически независимыми матричными элементами, снабженное вероятностной мерой инвариантной относительно любой ортогональной (унитарной) замены базиса.Изучением статистических свойств таких случайных матриц занимается теория случайных матриц (RMT).Приведенные выше гипотезы не относятся ко всем системам, известны контрпримеры и к гипотезе Берри-Табора (хороший обзор случаев, в которых гипотеза может быть строго обоснована или опровергнута дан в [4]), и к гипотезе Бохигаса-Джаноннн-Шмита: например геодезическое движения на некоторых арифметических поверхностях постоянной отрицательной кривизны [5], и отображение Аносова (cat map) [6]. Ожидается выполнение гипотез в отпошении типичных систем, где значение слова "типичный" представляет собой большой открытый вопрос в области квантового хаоса.Однако суш,ествует несколько подходов, позволяюш,нх изучать статистическне свойства собственных уровней. Например, уровпевая динамика, которая изучает зависимость собственных уровней от параметра, дает возможность проследить переходы от одного типа статистического поведения к другому (например, переход от GOE к GUE, при нарушении симметрии относительно инверсии времени). В этой работе мы заострим наше внимание на подходе, который возникает при следующем наблюдении. Для того, чтобы гипотезы выполнялись в принципе, квантовой системе должно быть известно о хаотичности поведения своего классического аналога.Хаос определяется через свойства орбит системы. Например, одно из требований гласит: почти все орбиты исследуют все доступное пространство в своих блужданиях. Таким образом, можно сказать, что квантовая система должна знать об орбитах классической системы. Эта взаимосвязь обеспечивается формулами следа.Есть большая уверенность в том, что формула следа содержит всю информацию, необходимую для проверки гипотезы, но получение этой информации представляет собой чрезвычайно трудную задачу. Вклады различных орбит очень точно сбалансированы, а их количество растет экспоненциально с ростом длины орбит. Тем не менее, оказывается возможно получить некоторую информацию о плотности распределения периодических орбит, снабженных весами А^ .^, без наличия подробной информации о сали1х периодических орбитах системы. Важный шаг в этом направлении был сделан Ханнэй и Озорно де Алмейда (Наппау, Ozorio de Almeida) [10], которые обнаружили, что .,__ aS интегрируемая система, Y. К - \ (1-0-2) р: \Sp\<s I PS"^ хаотическая (эргодическая) система, при S —> оо. Таким образом, мы видим суш,ествованне ясного различия между асимптотическим поведением суммы в интегрируемом и хаотическом случаях. Правило сложения Ханнэй и Озорио де Алмейда было использовано Берри (Berry) в [11], где, наряду с другими величинами, Берри рассмотрел форм-фактор, который представляет собой преобразование Фурье спектральной двухточечной корреляционной функции R2{x) = {d{E)d{E + x)), (1.0.3) где ( • ) означает энергетическое среднее (существуют также другие типы средних, и среднее по отношению ко множеству систем будет использоваться нами позже). При нснользовапип формулы следа Гуцвиллера можно получить аппроксимацию R2{x) в виде суммы по всем парам периодических орбит. Примепение преобразования Фурье /оо i?2(:c)e'^"/^'rfx, (1.0.4) •00 позволяет получить выражение для форм-фактора К (г) также в форме суммы пар орбит. Анализ Веггу был главным образом основан на диагональной аппроксимации, которая означает, что рассматриваются только те пары орбит, которые эквивалентны относительно симметрии системы. Тем не менее, законность такого приближения ограничена диапазоном т <С 27rhd, а вне этого диапазона необходимо вычисление внедиагональных членов, связанных с парами орбит, не связанных симметрией.Внедиагональные члены связаны с корреляциями между действиями различных орбит и в [12], было показано, что можно рассмотреть "обратную" гипотезу Бохигаса-Джаноннн-Шмнта: при предположении, что спектральные флуктуации задаются RMT, было получено универсальное выражение для классической функции корреляции действий орбит, согласующееся с некоторыми численными данными. Но настоящий прорыв был осуществлен с несколько другой стороны или вернее с двух сторон в одно и то же время. Осциллирующю"! член старшего порядка в предсказанной RMT корреляционной функции R2{x) был получен в [13] благодаря использоваи1ио подхода суперсимметрии (доступное объяснение техники сунерсимметрии содержится, например, в [14]) и в [15] с помощью установления связи между внедиагональными и диагональными членами в разложении корреляционной функции в сумму пар орбит. Тем не менее, основным предположением в [15] было, грубо говоря, предположение о том, что корреляции между короткими периодическими орбитами взаимно сокращаются. Поннманне того, как это происходит, (и когда этого не нроисходр1т, то почему?) могло бы пе только обеспечить основу для вышеупомянутого предположения, но также и показать путь для получения членов более высокого порядка. Чтобы приобрести некоторое представление о таком балансировании между внедиагональными членами, иеобходи^ю было пайтп легкий пример, в котором периодические орбиты и их корреляции могли быть подробно изучены. PI тут возникли квантовые графы. Идея состояла в том, чтобы рассмотреть собственные значения оператора Лапласа на метрическом графе.Граф представляет собой совокупность вершин и ребер, которые соединяют некоторые из вершин. Граф становится метрическим, если мы введем длины ребер. За исключением вершин, граф — одномерная структура, таким образом, дифференциальное уравнение легко разрешимо. Граничные условия, определенные на вершинах, делают поиск собственных значений нетривиальной, но все же вынолникюй задачей и, в идеальном случае, делали возможным возникновение RMT эффектов. Идея, по-видимому, витала в воздухе в течение некоторого времени: изучались статистические свойства спектра дискретного оператора Лапласа, например, в [16], была доказана точная формула следа, этого главного компонента релевантности задачи, для непрерывного оператора Лапласа в [17]. Формула следа была независимо открыта вновь в работах [19, 20], которые инициировали целый ряд статей, рассмотренных ниже, и научно-исследовательских проектов, включая эту работу.Результаты численных вычислений, опубликованные в [19], показали хорошее совпадение с предсказаниями RMT, и, таким образом, законность установления квантовых графов в качестве хорошей модели квантового хаоса. В действительности, присутствовали такие необходимые компоненты, как эргодичность (в смысле марковской цепи), экспоненциальное расиространенне периодических орбит и формула следа. Сам феномен совпадения с RMT результатами также был продемонстрирован. Имелся и недостаток, состоящий в том, что квантовые графы не имели детерминированных классических аналогов, только вероятностные — марковские цепи. Но в то же саьюе время это было и пренмугцеством: легче становилось классифицировать орбиты.Следующим шагом стало более подробное изучение квантовых графов [20], структура которых была расширена с целью включить более общие граничные условия, теперь зависящие от параметра. Численно, наряду с аналитическим подтверждением, было показано, что при различных значениях параметров статистики претерпевают изменение от предсказанных RMT к пуассоновским. Также было обнаружено, что статистики графов типа "звезда" (частный случай графов, см. рис. 2.1 в следующей главе, иногда также называемых графами типа "гидра") демонстрируют систематические отклонения от поведения RMT. Как свидетельствует название, граф тина "звезда" состоит из центральной вершины, связанной со многими периферийными вершинами (лучами "звезды"). Отклонения в статистиках звездного графа стали очевидны только при достаточно большом количестве периферийных вершин.В [20] было также найдено, что другой тип графов, множественно связные кольца, имеет экспоненциально локализованные собственные состояния (локализация Андерсона (Anderson)). Полное аналитическое исследование локализации Андерсона в терминах периодических орбит на бесконечной цепи было представлено в [21]. Бесконечная цепь представляет собой граф, составленный из бесконечного числа последовательно связных вершин. Таким образом, валентность каждой вершины (то есть количество ребер, исходяш,их из вершины) равна 2. Рассмотренной величиной была квантовая вероятность возврата к исходному состоянию: некоторое начальное условие итерируется посредством квантового оператора эволюции и квадрат модуля итерированного состояния в начале координат является вероятностью возврата. Классическим аналогом квантовой вероятности возврата является вероятность возврата в начальное положение после п шагов для случайного блуждания. Хорошо известно, что эта вероятность затухает в зависимости от п. Оказывается, что квантовая вероятность возврата не убывает до нуля при числе итераций п стремящемся к бесконечности, а стремится в пределе к отличному от нуля значению.Этот эффект является результатом взаимного влияния орбит одинаковой длины.В работе другого направления [22] было установлено, что квантовые графы могут также быть использованы для изучения типичного поведеппя хаотических систем рассеяния. Посредством введения уходящих в бесконечность ребер граф был превращен в задачу рассеяния. Было продемонстрировано, что такие графы показывают все особенности, которые характеризуют квантовое хаотическое рассеяние и, при статистическом рассмотрении, совокупность матриц рассеяния хорошо воспроизводит характеристики соответствующих ансамблей случайных матриц.В [23] был найден пример квантового графа, чья спектральная двухточечная корреляционная функция точно воспроизводит соответствующее RMT выражение. Двухточечная корреляционная функция для графа "2звезда" (звезда с двумя лучами) была вычислена как непосредственно, так и с помощью подхода, связанного с периодическими орбитами. При подходящем усреднении по пространству параметров результат воспроизводит соответствующее RMT выражение для матриц 2 x 2 . При доказательстве эквивалентности двух подходов было получено несколько новых комбинаторных тождеств. Эти тождества были позднее использованы в [21] для получения компактной формы вероятности возврата.Другая статистика, форм-фактор, была детально изучена для графов тина "звезда" с большим числом лучей в работе [24]. Используя классификацию периодических орбит, было получено полное (включая впедиагопальпые члены) разложение форм-фактора в стеиенной ряд в окрестности нуля. Примечательно, что первые четыре члена разложения совпадали с соответсвующимр! членами в диагональной аппроксимации, полученной в [20], однако члены более высокого порядка не совпадали. Ряд, полученный в [24], на своем интервале сходимости совершенно совпадал с численными дaппы^пI из [20], которые не являлись RMT, 1ю были в некотором смысле промежуточным звеном между RMT и пуассоновским форм-фактором.Радиус сходилюсти ряда был расширен за счет использования метода Паде но улучшению сходимости. Результаты статьи [24] составляют главную часть главы 3.Форм-фактор также был изучен в [25], где разложение в ряд по периодическим орбитам использовалось для того, чтобы явно вычислить формфактор для некоторых орнептированных бинарных графов. Результаты показывали хорошее соответствие с RMT и давали основания ожидать даже лучшее соответствие при возрастании размера графа. К сожалению, некоторые особенности больших бинарных графов делают применение точных комбинаторных методов, развитых в [25], невозможным. Тем не менее работа [25] внесла большой вклад в поиск наиболее простого класса графов, делающего возможными RMT-эффекты.В упомянутых выше статьях для получения спектральных статистик квантовых графов применялись различные типы усреднений. Настоящая работа использует, в различных главах, усреднение по спектру и усреднение относительно индивидуальных длин ребер. Усреднение по граничным условиям также возможно, и в [26] было продемонстрировано, что эти типы усреднения эквивалентны.Квантовые графы привлекли значительное внимание и в связи с транспортпыми и термодинамическими свойствами слабо беспорядочных и когерентных проводников. Эти свойства могут быть связаны со спектральным детерминантом лапласиана па графе [27]. В работе [28] были подробно изучены различные вырал<ения для спектрального детерминанта и был получен удобный дпаграмматический метод разложения спектрального детep^пшaнтa в виде суммы по конечному числу периодических орбит (см. также ссылки в [28]).В [29] был изложен метод получения распределения межуровневых расстояний Р(А) для квантовых графов без обращения к теории периодических орбит. Авторы выразили собствеппые значения системы как моменты времени, в которые гинерноверхность, явно задаваемая топологией графа, пересекается эргодическим потоком на торе. В этом случае межуровпевые расстояния соответствуют временам первого возврата па гиперповерхность. Точное представление распределения межуровневых расстояний было получено в виде интеграла но гиперповерхности. Поведение при малых А задается поведением гиперповерхности в окрестности особых точек и может изучаться при помощи использования аппроксимации гиперповерхности. Анализ был осуществлен для нескольких простых графов, включая граф типа "звезда" с тремя ребрами, для которого отталкивание RMT-образного уровня изучается для малых Д. В настоящей работе мы пытаемся продвинуться в понимании "конструктивной рп1терференщ1и" периодических орбит, которая является причиной возникновения эффектов подобных RMT. В главе 2 даются определения графов и периодических орбит, определяются оператор Лапласа и граничные условия. Мы выписываем явное решение лапласиана н получаем условия на собственные значения в виде детерминаптпого уравнения. Далее мы приводим простой вывод формулы следа. Получив формулу следа, мы переходим к определению таких спектральных статистик, как средняя плотность распределения собственных значений, двухточечная коррелящюнная функщш и форм-фактор. Последние две статистики выражаются как суммы по парам периодических орбит. Показывается, что только пары орбит с одинаковыми длинами вносят вклад в суммы. Заметим, что равенство длин орбит р и р' не обязательно влечет за собой то, что орбиты являются одинаковыми пли связанными через некоторую симметрию (например, обращающую направление орбиты). Длина орбиты есть просто сумма длин всех составляющих ее ребер, поэтому, чтобы иметь одпи и те же длины, две орбиты должны проходить через те же самые ребра одинаковое количество раз (хотя и в различном порядке), или, пользуясь терминологией, введеппой в [25], иметь одинаковые частоты посещения ребер. Этот вопрос детально обсуждается и иллюстрируется на примерах в главе 2.Следующая глава, в значительной стенени осповаппая па материале работы [24], посвящена детальному изучению графов типа "звезда". Здесь предполагаются граничные условия типа Неймапа и выводится разложение форм-фактора в степенной ряд в пределе бесконечно большого количества ребер (лучей) звезды. Сначала выводится точное комбинаторное выражение для форм-фактора при любом конечном числе ребер, а затем берется предел, упрош;аюш,ий комбинаторные суммы. Однако полученное все еще слишком сложно для аналитического изучения, поэтому вычисляется большое количество членов разложения, которые анализируются численно. В частности, мы находим, что радиус сходимости ряда конечен и что область сходимости может быть расширена за счет использования аппроксимащ1и Паде. Аппроксимащш Паде форм-фактора, выявляет особенности, находящиеся в комплексной плоскости, и, судя по поведению аппроксимащ1н, сингулярные точки являются не полюсами, а существепными особенными точками.Оказывается, что комбинаторные методы, развитые в главе 3, могут быть использованы для изучения локализащш Андерсона на бесконечных регулярных деревьях (называемых в литературе также решетками Бете (Bethe)). Граф называется деревом, если на нем не существует щ1клов; он регулярен, если валентность всех вершин одинакова. Бесконечная цепь — особый случай бесконечных регулярных деревьев, соответствующих валентности 2. Локализащш Андерсона в сходной (по не тождественной) модели уже была изучена в [31] с использованием связи между локалргзацией собственных состояний и распределением вероятности д'Ф{Е)/дЕ, где уравнение Ф(£') = 2тт1 имеет своими решениями собственные значения Еп- Было найдено четыре области в пространстве параметров, в которых существуют различные типы собственных состояний. В частности, существует область, где система имеет 1юрмпруемые собственные состояния и вследствие этого в спектре присутствует дискретная компонента. В главе 4 проблема рассматривается с другой точки зрения. Мы изучаем квантовую вероятность возврата в корень дерева после п шагов. Объединяя методы, развитые в [21] и [24], мы получаем точную комбинаторную рекурсию для вероятности возврата. И снова, эта рекурсия слишком сложна для аналитического решения, хотя и дает четкий алгоритм для численного анализа проблемы. Наш алгоритм имеет нолиномпальпую сложность по сравнению с экспоненциальной сложностью прямого суммирования по периодическим орбитам. Вычисления показывают, что для некоторой области значений параметров модели вероятность возврата стремится к отличному от нуля пределу при числе шагов, стремяш;емся к бесконечности. Это влечет за собой существование локализованных собственных состояний. Результат, полученный в пастояп1,ей диссертации, согласуется с представленным в [31], даже области значений параметров находятся в приблизительном соответствии.В главе 5 мы возвраш,аемся к графу типа "звезда", используя другой подход. Как объяснено в главе 2, условие того, что Е„, является собственным значением, состоит в равенстве нулю некоторого детерминанта. Этот детерминант принимает особенно простую форму для графов типа "звезда" из-за их специальной структуры. В этом случае собственные значения лапласиана являются нулями квазппернодической мероморфной функции и для получения двухточечной корреляционной функции нулей можно применить метод, развитый в [32]. Двухточечная корреляционная функция связана с форм-фактором главы 3 посредством преобразования Фурье. Мы делюнстрпруем, что это соответствие между нашими результатами действительно имеет место. Таким образом подтверждено, что суммирование по пер1юдическпм орбитам не только возможно (хотя может быть и технически сложно), но и дает правильный ответ.Результаты главы 5 дают представление форм-фактора в виде интеграла. Этот интеграл содержит в себе всю информацию о форм-факторе, в частности, информацию об его особенностях. Изучая интеграл, мы находим пару особенных точек, которая является причиной расходимости ряда из главы 3. Из анализа Паде в главе 3 было сделано заключение, что особые точки не являются полюсами, а в главе 5 найдено, что это логарифмические особенности. Мы вычисляем основной вклад в особых точках и получаем асимптотику коэффициентов разложения форм-фактора в степенной ряд. Выясняется также, что окончательное выражение для двухточечной корреляционной функции совпадает с выражением, полученным в [32] для двухточечной корреляции спектра биллиарда Шебы (Seba), интегрируемой системы, возмущенной дельта-функцией. Эвристически причина такого сходства состоит в том, что волновая динамика в обеих системах сосредоточена вокруг точки рассеяния: дельта-функции в биллиарде и основной вершины в графе типа "звезда".Громоздкие комбинаторные выкладки, используемые в тексте, вынесены в приложение. Вывод числа перестановок без связей, комбинаторной величины, используемой в главах 3 и 4, был существенно упрощен по сравнению с их первоначальной формой в [24]. Выкладки проиллюстрированы несколькими рисунками, дающими читателю хоть и слабую, но надежду на понимание.Таким образом, в диссертации представляется вывод предельных двухточечных спектральных статистпк для класса квантовых графов при числе вершин, стремящемся к бесконечности. Статистики получены двумя путями. Первый путь использует точную формулу следа и классификацию периодических орбит па графе; насколько нам известно, это первое точное суммирование такого рода. Второй путь — изучение непосредственно статистик нулей трансцендентного характеристического уравнения. Показано, что эти подходы дают эквивалентные результаты, дополняющие друг друга: первый результат, полученный в виде разложения в степенной ряд, представляется более эффективным для численных исследований, тогда как второй результат представлен в удобной форме для изучения особенностей форм-фактора. Также показано, что спектральные статистики совпадают с уже найденными для биллиарда Шебы и обсуждаются причины этого совпадения. В качестве применения комбинаторных методов, развитых в работе, получено точное выражение для квантовой вероятности возврата на бесконечных регулярных деревьях, которое исследовано численно. Сделан вывод о том, что для некоторой области значений параметров вероятность возврата стрелп1тся к отличному от нуля пределу п, следовательно, у системы имеются локализованные собственные состояния.Определение 1. С каждым графом задана его V xV матрица смеэюно2.1. Определения emu Ее элементы задаются формулой { 1, если (г, Л е В, (2.1.2) О, в противном случае, где j = 1,...,V. Поскольку множество В симметрично, то матрица С — также симметрична.Определение 2. Валентность Vi вершины i есть количество вершин j , смежных с г, т.е. »^ = I]C'xj. (2.1.3) j Определение 3. Матрица смежноети ребер есть матрица В размера 2В X 2J5 с элементами ^{i,j){k^ — ^jk, (2 .1 .4 ) где (i,j), {к, I) е В. Таким образом существует ребро (i,j) для любого г и j из V. Матрица смежности такого графа имеет нули на диагонали и единицы в качестве впедиагональпых элементов. Валентность всех вершин одинакова, равная V -I.2.1. Определения Рис. 2.1: Примеры графа (а), дерева (Ь) и графа типа "звезда" (с).Определение 5. Для любой последовательности ребер р G Р^, ее класс эквивалентности относительно циклического оператора сдвига а называется периодической орбитой. Число п называется периодом орбиты. Таким образом, множество Vn есть лшожество всех орбит периода п iiV = U^2^n- Список ребер в порядке их прохода орбитой р, заключенный в круглые скобки, называется символическим кодом орбиты.2.1. Определения Замечание 1. Осповпое различие между периодическими орбитами и циклами состоит в том, что периодической орбите разрешено проходить одно и то же ребро более одного раза.Для некоторых периодических орбит р существует более короткая орбита q = {QI, ..., Qm) периода т, п — тг, такая, что р = {qi,...,qm,qu---,qm,---,qi,---qm) (2.1.8) Тогда говорят, что р есть повторение орбиты q. Наименьшее число т, для которого возможна декомпозиция (2.1.8) называется основным периодом р, а соответствующее г = п/тп - числом повторения. Если г = 1, говорят, что орбита простая. В приведенных выше обозначениях каждая орбита р Е V соответствует т = п/г последовательностям из V.Пример 4. Если обозначить а = (0,1), /3 = (1)2), 7 = (2,0) на графе рис. 2.1(a), то орбита (ct,/3,7, а,/3, т) будет иметь период 6, основной период 3 и число повторения 2. Она соответствует 3 различным последовательностям, [а, А 7, а,/5,7] (2.1.9) [/?,7,а,/3,7,«] (2.1.10) [7,а,/?,7,а,/3]- (2.1.11) Графы, которые мы будем рассматривать, являются метрическими, так что каждое ребро b имеет длину, Ьь. Естественно, Ьь = L^. Заметим, что при этом не рассматривается геометрическая возможность наличия такого графа, т.е. не требуется выполнения неравенства треугольника.Если отдельные длины рационально независимы, то две различные орбиты имеют одну и ту же длину тогда и только тогда, когда они проходят через те же самые неориентированные ребра одинаковое количество раз (хотя и в различном порядке). Очевидным следствием этого является то, что такие орбиты имеют одинаковый период.Простейшим примером двух орбит одинаковой длины является орбита и ее обрагценне: р = {bi,b2,...,bn) Р = {bn,---,b2,bi) (2.1.14) Менее тривиальный пример показан на рис. 2.2.Определение 6. Две орбиты принадлежат одному классу выроэюдения, если они имеют одинаковую длину или, что эквивалентно, если они соответствуют (2.1.15) тому же самому вектору s.Для того, чтобы рассматривать функции на графе, отождествим каждое ориептпрованпое ребро b с интервалом [О, Ьь]. Это даст нам локальную переменную Хь па ребре Ь; геометрически она обозначает расстояние от начальной вершины. Заметим, что, если ребро b является обращением ребра Ь, то XJ, = Ьь — хь- Знак равенства здесь используется в том смысле, что xi, и Lb — Хь обозначают одно и то же геометрическое положение на ребре.Теперь можно определить функции на ребре и, следовательно, определить функции на всем графе, как совокупность функций па всех ребрах графа.Функции Ф е L'^{G), представляющие для нас интерес, дважды дифференцируемы на ребрах (в концевых точках производные односторонние) со вторыми производными, снова принадлежащими пространству L'^{G).Кроме того, они удовлетворяют следующим условиям: Ф(г^)(0) = Ф(гл)(0) для любых i,i, keV, (2.1.20) т.е. Ф непрерывна в вершинах и r-Ci,j = \ Условие (2.1.21) называется условием сохранения потока. Пространство всех функций, удовлетворяющих вышеприведенным условиям на графе С, обозначим T{G).Определение 7. Множество значений {А;^ }^0' ^•^^ которых (2.1.22) имеет решение, называется квантовым спектром графа G. Чтобы подчеркнуть тот факт, что рассматриваются свойства квантового спектра, мы будем иногда называть G квантовым графом.

1. M.V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 413, 183-198 (1987).

2. M.V. Berry and M. Tabor, Proc. R. Soc. Lond. A 356, 375-395 (1977).

3. O. Bohigas, M.J. Giannoni and C. Schmit, Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1.

4. J. Marklof, in Proceedings of the 3rd European Congress of Mathematics, (Birkhauser, to appear); also available athttp://www.maths.bris.ac.uk/~majm/bib/bib.html.

5. E.B. Bogomlny, B. Georgeot, M.J. Giannoni, and C. Schmit, Phys. Rep. 291 220 (1997).

6. J.P. Keating, Nonlinearity 4 309 (1991).

7. M.G. Gutzwiller, "Chaos in Classical and Quantum Mechanics", (New York: Springer-Verlag, 1990).

8. A. Selberg, J. Ind. Math. Soc. 20, 47 (1956).

9. N.L. Balazs and A. Voros, Phys. Rep. 143 109-240 (1986).

10. J.H. Hannay and A.M. Ozorio de Alemeida, J. Phys. A 17, 3429-3440 (1984).

11. M.V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 400, 229-251 (1985).

12. N. Argaman, F.-M. Dittes, E. Doron, J.P. Keating, A.Yu. Kitaev, M. Sieber, and U. Smilansky, Phys. Rev. Lett. 71, 4326 (1993).

13. A.V. Andreev and B.L. Altshuler, Phys. Rev. Lett. 75, 902 (1995).

14. F. Haake, "Quantum Signatures of Chaos" (Berlin: Springer-Verlag, 1991).

15. E.B. Bogomolny and J.P. Keating, Phys. Rev. Lett. 77, 1472-1475 (1996).

16. I.S. Gradshtein and I.M. Ryzhik, "Tables of intergals, series, and products", (Boston: Academic Press, 1994).

17. M. Petkovsek, P. Wilf, and D. Zeilberger, "A=B", (Wellesley, MA: A.K.Peters, 1996).

18. M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables", (New York: Dover, 1965).

19. G. Berkolaiko, E.B. Bogomolny, and J.P.Keating, submitted to J. Phys. A (2000).

20. B. Bolobas, "Graph theory", (New-York: Springer-Verlag, 1994).

21. N.J.A. Sloane, "On-line Encyclopedia of Integer Sequences", http://www.research.att.com/~njas/sequences/российская госуда ' зешод БИБЛНОТШ!/- к осьfcepb-O^tckJO Г^го^ии, (/¿bf>M>êu4 Л.iï.01 .02do^^^J^a \ ¿Г ^A- 7ßj