Спиновые эффекты в электрон-протонном и нуклон-антинуклонном взаимодействии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



На правах рукописи

САЛЬНИКОВ Сергей Георгиевич

СПИНОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОН-ПРОТОННОМ И НУКЛОН-АНТИНУКЛОННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 НОЯ Ж

НОВОСИБИРСК - 2013

005541196

005541196

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

МИЛЬШТЕЙН - доктор физико-математических наук,

Александр Ильич профессор, Федеральное государственное

бюджетное учреждение науки Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

НИКОЛАЕВ - доктор физико-математических наук,

Николай Николаевич Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка, ведущий научный сотрудник.

ШАТУНОВ - доктор физико-математических наук,

Юрий Михайлович профессор, член-корреспондент РАН,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск, заведующий лабораторией.

ВЕДУЩАЯ - Новосибирский государственный

ОРГАНИЗАЦИЯ университет, г. Новосибирск.

Защита диссертации состоится « Л. Ч » (ЩХ&ЬЛ 2013 г.

в « 1?-,^ » часов на заседании диссертационного совета Д003.016.02 Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск,

проспект Академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института ядерной физики имени Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан « » С 2013 г.

Ученый секретарь .

диссертационного совета X

доктор физ.-мат. наук, профессор B.C. Фадин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В последнее время активно обсуждаются эксперименты с поляризованными частицами. Например, большое значение имеют эксперименты по рассеянию поляризованных антипротонов на поляризованных протонах, для чего была создана коллаборация PAX. Такие эксперименты позволят измерить некоторые наблюдаемые, недоступные для измерений другими способами. К примеру, в процессе Дрелла-Яна (рр —> рр + 1+1') можно измерять такую важную партонную функцию, как поперечность валентных кварков в протоне, а в процессе аннигиляции {'рр --> е+е~) можно измерить амплитуды и относительную фазу электрического и магнитного формфакторов протона во времениподобной области. Для реализации запланированной физической программы необходимо научиться получать пучки поляризованных антипротонов. В качестве основного способа поляризации антипротонов рассматривается спиновая фильтрация на поляризованной мишени. Метод спиновой фильтрации заключается в том, что при рассеянии на поляризованной мишени скорости выбывания из пучка частиц с различными направлениями спина отличаются, таким образом, пучок приобретает поляризацию. Этот метод был успешно опробован в эксперименте FILTEX на протонах с энергией 23 МэВ и позже в накопителе COSY на протонах с энергией 49 МэВ. Было показано, что за несколько часов можно получить поляризацию протонного пучка на уровне 5%. Возможность применения метода спиновой фильтрации к поляризации антипротонов предлагается проверить на AD-ring в CERN, а проведение запланированной программы исследований предполагается на базе накопителя HESR ускорительного комплекса FAIR.

Теоретическое описание кинетики поляризации при рассеянии, как правило, проводят следующим образом. Если пучок изначально был непо-ляризован, то конечная поляризация выражается через два аксиальных вектора: (ти« • vj, где (т - поляризация мишени, а v- скорость пучка. Ограничиваясь рассмотрением эволюции поляризации в случае, когда поляризация мишени параллельна либо перпендикулярна оси пучка, мы видим, что поляризация пучка всегда параллельна поляризации мишени.

При такой постановке задачи рассмотрение кинетики поляризации существенно упрощается, так как можно ввести ось квантования, направленную по поляризации мишени, и рассматривать изменение числа частиц с определённой проекцией спина на данную ось. Однако, если направления поляризаций произвольны, то возможно вращение поляризации, которое не может быть описано в таком подходе. Эффекты, связанные с поворотом поляризации представляют определённый интерес, например, при изучении рассеяния поляризованных нейтронов в среде. Обобщение кинетических уравнений на случай, когда направления поляризаций и скорости произвольны, представляет собой нетривиальную задачу, так как в этом случае необходимо рассматривать эволюцию матрицы плотности. Ранее уже были предложены разные способы вывода кинетического уравнения общего вида, однако они довольно сложны. Кроме того, не был проведён детальный анализ решений кинетического уравнения.

Цель работы состоит в получении уравнения, описывающего эволюцию поляризации частиц в процессах рассеяния, и применении этого уравнения к различным задачам, таким как электрон-протонное и протон-антипротонное рассеяние.

Основное внимание уделяется рассмотрению полученного уравнения в случае рассеяния двух частиц со спином 1/2 и анализу решений этого уравнения. Другая важная задача — изучение кинетики поляризации в протон-антипротонном и дейтрон-антипротонном рассеянии с помощью неймегенского оптического потенциала.

Личный вклад автора

Изложенные в работе результаты получены автором лично или при его определяющем вкладе.

Научная новизна

Предложен новый способ вывода уравнений эволюции для величин, построенных из операторов спинов частиц, а также соотношения унитарности для амплитуды рассеяния. Впервые получен общий вид уравнения эволюции для поляризации спинорной частицы при рассеянии на бесспиновой и спинорной частицах и проанализированы его общие решения. Получено уравнение, описывающее кинетику поляризации в нуклон-(анти)нуклонном рассеянии, и впервые рассмотрено его общее решение.

В работе получены аналитические выражения для коэффициентов кинетического уравнения в случае электрон-протонного рассеяния в нерелятивистском случае. Впервые вычислены зависящие от спина части сечения и коэффициенты кинетического уравнения для антипротон-протонного и антипротон-дейтронного рассеяния с помощью неймеген-ского потенциала.

Научная и практическая ценность

Предложенный способ вывода кинетических уравнений существенно упрощает получение уравнений эволюции для величин, построенных из операторов спинов частиц. В работе проведено детальное рассмотрение кинетического уравнения для поляризации в случае рассеяния двух частиц со спинами 1/2. Получены формулы, выражающие коэффициенты кинетического уравнения через амплитуду рассеяния в случае, когда выбыванием частиц из пучка можно пренебречь, а также в том случае, когда выбывание частиц важно. Таким образом, зная амплитуду рассеяния, можно сразу написать уравнение эволюции и его решение.

Полученные кинетические уравнения могут быть использованы для описания эволюции поляризации частиц в процессах рассеяния. Например, можно предсказать время, необходимое для поляризации пучка, вычислить угол поворота поляризации частицы при прохождении через вещество, а также величину тензорной поляризации дейтрона после рассеяния.

В работе рассмотрены различные способы получения пучка поляризованных антипротонов. Показано, что поляризация антипротонов путем рассеяния на поляризованных позитронах невозможна за разумное время. Полученные с помощью неймегенской модели предсказания для сечения протон-антипротонного рассеяния говорят о том, что спиновая фильтрация на поляризованной водородной мишени может обеспечить необходимую поляризацию антипротонов за время порядка суток. Фильтрация на дейтериевой мишени позволит получить такую же поляризацию за меньшее время.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получение кинетического уравнения для величин, построенных из операторов спинов. Предложен новый способ, существенно упрощающий получение уравнений эволюции. Детально проанализиро-

ваны уравнения, описывающие эволюцию поляризации спинорной частицы при рассеянии на бесспиновой и спинорной частицах, получены- общие решения. Получено обобщение уравнения с учётом выбывания частиц из пучка.

2. Аналитическое вычисление коэффициентов кинетического уравнения для поляризации в случае ер рассеяния. Взаимодействие электрона с протоном описывается с помощью гамильтониана Брейта.

3. Исследование эволюции поляризации антипротонного пучка при рассеянии на поляризованной водородной и дейтериевой мишенях. Амплитуда рр рассеяния вычислена с помощью неймегенского нуклон-антинуклонного потенциала, а для описания рассеяния на дейтроне использовалось приближение Глаубера-Ситенко. Получены предсказания для степени поляризации антипротонов в этих процессах.

Апробация диссертации

Материалы диссертации докладывались на Международной конференции «19th International Spin Physics Symposium» в 2010 г. (Юлих, Германия), на Семинаре теоретического отдела ИЯФ СО РАН в августе 2013 г. и опубликованы в научных журналах.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения, изложена на 87 страницах и содержит 56 наименований библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность поставленной научной задачи — получения кинетического уравнения для поляризации.

В первой главе выводится уравнение эволюции для среднего значения оператора, построенного из операторов спинов частиц, в процессах рассеяния без учета выбывания частиц. Уравнение эволюции имеет вид

| (О) = vN Sp {p(t) [J dQn F+OF - (F+{0)0 - 0F(O))] } , (1)

где О - оператор, независящий от импульсов и координат частиц, v - относительная скорость, N - плотность частиц в см"3, р - спиновая матри-

6

ца плотности системы, к - импульс в системе центра масс, ^ - амплитуда рассеяния, являющаяся оператором в спиновом пространстве.

Сначала рассматривается эволюция поляризации спинорной частицы при рассеянии на бесспиновой частице и показывается, что в процессе деполяризации поляризация будет менять не только величину, но и направление. Затем получено уравнение для поляризации при рассеянии на спинорной частице в виде

= Л1С1 + Вх (п0 • С1) п0 + А2 [с! х Сг] + В2 (п0 ■ (2) [й х "о]

+ А3 Сг + В3 (п0 ■ С2) по , (2)

где С1, С2 - поляризации частиц, п0 - направление оси пучка, А¿, Bi - коэффициенты, выражающиеся через амплитуду рассеяния. В работе рассмотрены некоторые частные решения кинетического уравнения (2), и показано, как можно получить общее решение. Доказано, что все решения этого уравнения стремятся к некоторому конечному значению поляризации. Отдельно рассмотрено приближенное решение уравнения в случае, когда амплитуда рассеяния слабо зависит от спинов. Такое приближение применимо, по крайней мере, к рассеянию частиц, взаимодействующих только электромагнитным образом, так как в этом случае основной вклад в амплитуду рассеяния дает кулоновский потенциал, не зависящий от спинов. При этом оказывается, что выполняется сильное неравенство А2, В2 » Аь Вг, Л3, В3, и решение уравнения принимает более простой и наглядный вид.

Вторая глава посвящена применению полученного кинетического уравнения к описанию кинетики поляризации в нерелятивистском электрон-протонном рассеянии. Для вычисления амплитуды рассеяния используется гамильтониан Брейта

а ацо Ь ■ аУо ^ ' ~ г 2 тетр г3 4 т^ г3

Г 3 (р • ах) (р • а2) - (<?! • <?2) + 8тгд(0 (^ {3)

4тетр \ г3 3 )

где а - постоянная тонкой структуры (Н = с = 1), Цо = 2.79 - гиромагнитное отношение для протона, тр и те - массы протона и электрона

7

соответственно, Ь - оператор орбитального момента электрона, В\ и с?2 -операторы спина протона и электрона соответственно, р = г/г. В работе получено аналитическое выражение для коэффициентов кинетического уравнения (2) А¿, В^, и рассмотрены два предельных случая: борновское приближение (параметр Зоммерфельда £ = —а/у —> 0) и случай малой относительной скорости частиц —> —оо). Показано, что сечение переворота спина пропорционально £2 в пределе малых скоростей, как и ожидалось. Несмотря на это, даже при малых скоростях, использование этого процесса для поляризации антипротонов невозможно, так как время поляризации оказывается слишком большим при доступных сегодня параметрах пучков.

Третья глава посвящена исследованию протон-антипротонного и дейтрон-антипротонного рассеяния. Кинетическое уравнение, полученное в первой главе, обобщено на случай, когда выбывание частиц из пучка играет важную роль. В этом случае уравнение может быть записано в виде

где Г - область интегрирования, соответствующая тому, что частицы после рассеяния остаются в пучке, то есть угол рассеяния меньше угла аксептанса.

Написаны уравнения, описывающие эволюцию поляризации и числа частиц в пучке в случае протон-антипротонного рассеяния. Уравнение для поляризации антипротонов в этом случае имеет вид

где £1 и £2 — поляризации антипротона и протона соответственно, по -направление оси пучка. В случаях, когда по параллелен либо перпендикулярен С21 получено общее решение этого уравнения. В работе получено выражение для сечения выбывания антипротонов из пучка, совпадающие с известными результатами, а также выведены формулы для коэф-

.-/йег

= М ( (6 • Сг) с! - Са) + Вг (п0 ■ ( (£ • йо) Сх - йо)

фициентов кинетического уравнения (5). Для вычисления всех этих величин использовался неймегенский нуклон-антинуклонный оптический потенциал. В работе представлены графики зависимости коэффициентов кинетического уравнения и ожидаемой степени поляризации пучка от энергии антипротонов.-Предсказывается степень поляризации антипротонного пучка около 0,2 за время порядка суток.

Рассеяние антипротонов на дейтроне описывается с помощью приближения Глаубера-Ситенко, которое позволяет выразить амплитуду рассеяния на составном ядре через амплитуды рассеяния на нуклонах. В работе применяется улучшенная версия глауберовской модели, учитывающая зависимость амплитуд рассеяния от спинов, а также вклад £>-волны в волновую функцию дейтрона. Получено кинетическое уравнение для поляризации и показано, что вклад тензорной поляризации дейтрона сильно подавлен в пределе малых углов аксептанса. Степень поляризации антипротонов в случае фильтрации на дейтериевой мишени предсказывается примерно такой же, как и в случае водородной мишени, а время поляризации вдвое меньше при той же плотности мишени.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

1. Предложен новый способ получения кинетического уравнения для любых величин, построенных из операторов спинов частиц. Проанализировано уравнение эволюции для поляризации спинорной частицы при рассеянии на бесспиновой или спинорной частицах, рассмотрены общие решения уравнения.

2. Получено общее решение кинетического уравнения, описывающего эволюцию спина антипротона при рассеянии на позитронах, и показано, что такой способ не позволяет получить пучок поляризованных антипротонов за разумное время.

3. Кинетическое уравнение обобщено на случай рассеяния с выбыванием частиц и использовано для изучения эволюции поляризации антипротонов при рассеянии на водородной мишени. Получено общее решение уравнения в случае, когда поляризация мишени параллельна либо перпендикулярна оси пучка. Коэффициенты кинетического уравнения вычислены с помощью неймегенского нуклон-антинуклонного потенциала. Получена степень поляризации антипротонов около 0,2 за время порядка суток.

4. Исследована эволюция поляризации антипротонов при рассеянии на дейтериевой мишени. Для вычисления амплитуды pd рассеяния использовалось приближение Глаубера-Ситенко. Степень поляризации антипротонов получается примерно такая же, как и в случае рр рассеяния, однако время поляризации меньше при той же плотности мишени.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Milstein A.I., Salnikov S.G., Strakhovenko V.M. Polarization effects in non-relativistic ep scattering. // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. B. 2008, Vol. 266. No 15. P. 3453-3457.

2. Dmitriev V.F., Milstein A.I., Salnikov S.G. Spin-dependent part of pp interaction cross section and Nijmegen potential. // Phys. Lett. B. 2010. Vol. 690. No. 4. P. 427-430.

3. Dmitriev V.F., Milstein A.I., Salnikov S.G. Spin-dependent part of pp interaction cross section and Nijmegen potential. // Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. Vol. 295. 2011. P. 012088.

4. Salnikov S.G. Spin-dependent part of pd interaction cross section and Nijmegen potential. // Nucl. Phys. A. 2012, Vol. 874. P. 98-107.

5. Milstein A.I., Salnikov S.G. Kinetics of polarization in non-relativistic scattering. // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. B. 2013, Vol. 313. P. 64-67.

САЛЬНИКОВ Сергей Георгиевич

Спиновые эффекты в электрон-протонном и нуклон-антипуклонном взаимодействии

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 19.09.2013 г Сдано в набор 23.09. 2013 г. Формат 60x90 1/16 Объем 0.7 печ.л., 0.6 уч.-изд.л.

_Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 18_

Обработано на РС и отпечатано на ротапринте «ИЯФ им. Г.И. Будкера» СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. Академика Лаврентьева, 11

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМ. Г. И. БУДКЕРА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ

НАУК

На правах рукописи

САЛЬНИКОВ СЕРГЕЙ ГЕОРГИЕВИЧ

СПИНОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОН-ПРОТОННОМ И НУКЛОН-АНТИНУКЛОННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Милынтейн Александр Ильич доктор физико-математических наук, профессор

Новосибирск - 2013

Содержание

Введение ......................................................4

Глава 1. Кинетика поляризации в нерелятивистском

рассеянии ................... ... 9

1.1. Кинетические уравнение..........................................9

1.2. Рассеяние клстицы со спином = 1/2..........................12

1.2.1. Случай 32 = 0..............................................13

1.2.2. Случай 52 = 1/2 ..........................................14

1.2.3. Случай слабой зависимости амплитуды рассеяния от спинов......................................................19

Глава 2. Поляризационные эффекты в нерелятивистском ер рассеянии.................... 23

2.1. Вычисление коэффициентов кинетического уравнения .... 24

2.2. Кинетика поляризации в ер рассеянии............. 34

Глава 3. Поляризационные эффекты в нуклон-анти-

нуклонном рассеянии....................................37

3.1. Кинетическое уравнение с учётом выбывания частиц..........40

3.2. Кинетическое уравнение в случае рр рассеяния................42

3.3. Вычисление амплитуды рр рассеяния с помощью непмегенско-

го потенциала........................... 50

3.4. Кинетика поляризации в pel рассеянии............. 62

Заключение....................................................73

Приложение А. Неймегенский потенциал............75

Литература....................................................81

Введение

В последнее время активно обсуждаются эксперименты с поляризованными частицами. Например, большое значение имеют эксперименты по рассеянию поляризованных антипротонов на поляризованных протонах, для чего была создана коллаборация PAX [1]. Такие эксперименты позволят измерить некоторые наблюдаемые, недоступные для измерений другими способами [2]. К примеру, в процессе Дрелла-Яна (рр —> рр + 1+1~) можно измерять такую важную партийную функцию, как поперечность валентных кварков в протоне, а в процессе аннигиляции (рр е+е~) можно измерить амплитуды и относительную фазу электрического и магнитного формфакто-ров протона во временииодобной области. Для реализации запланированной физической программы необходимо научиться получать пучки поляризованных антипротонов. В качестве основного способа поляризации антипротонов рассматривается спиновая фильтрация на поляризованной мишени. Метод спиновой фильтрации был впервые предложен в работе [3] и заключается в том, что при рассеянии на поляризованной мишени скорости выбывания из пучка частиц с различными направлениями спина отличаются, таким образом, пучок приобретает поляризацию. Этот метод был успешно опробован в эксперименте FILTEX на протонах с энергией 23МэВ [4] и позже в накопителе COSY на протонах с энергией 49МэВ [5]. Было показано, что за несколько часов можно получить поляризацию протонного пучка на уровне 5%. Возможность применения метода спиновой фильтрации к поляризации антипротонов предлагается проверить на AD-ring в CERN [б], а проведение запланированной программы исследований предполагается на базе накопителя HESR ускорительного комплекса FAIR [7].

Теоретическое описание кинетики поляризации при рассеянии, как пра-

вило, проводят следующим образом. Если пучок изначально был неполярп-зован, то конечная поляризация выражается через два аксиальных вектора: Ст и V (£т ■ V), где Ст — поляризация мпшеии, а V — скорость пучка. Ограничиваясь рассмотрением эволюции поляризации в случае, когда поляризация мишени параллельна либо перпендикулярна оси пучка, мы видим, что поляризация пучка всегда параллельна поляризации мишени. При такой постановке задачи рассмотрение кинетики поляризации существенно упрощается, так как можно ввести ось квантования, направленную по поляризации мишени, и рассматривать изменение числа частиц с определённой проекцией спина на данную ось.

В работе [8], где рассматривалось взаимодействие протонов с поляризованной водородной мишенью, было написано уравнение, связывающее скорость изменения поляризации с поляризационным сечением, выражающимся через зависящую от спина часть сечения рассеяния. Рассматривалось три вклада в поляризационное сечение: выбывание протонов из пучка, рассеяние на поляризованных электронах и эффекты при рассеянии на малые углы. Однако, в дальнейшем было показано [9], что последние два эффекта в этой работе были учтены неправильно, и на самом деле их вклад в поляризационное сечение пренебрежимо мал.

Более детальное рассмотрение кинетики поляризации было проведено в работе [9] путём рассмотрения эволюции функций распределения. Авторы показали, что уравнения эволюции для чисел частиц с определённой проекцией спина можно записать через и — вероятности переворота спина частиц, остающихся в пучке, и — вероятности выбывания из пучка частиц с проекцией спина ±1/2. Частицы выбывают из пучка в случае, если они рассеиваются на достаточно большой угол. Максимальный угол, при рассеянии на который частицы остаются в пучке, называется уг-

лом аксептанса п в реальных накопителях составляет порядка Юмрад. В случае нерелятивистского рр (рр) рассеяния основной вклад в сечение выбывания из пучка даёт кулоновское рассеяние, независящее от спинов, поэтому

Вероятности переворота спина в этом случае малы из-за малости угла аксептанса <С — поэтому вкладом

и в уравнения можно пренебречь. При этом система уравнений сводится к уравнению для поляршацпи из работы [8], а поляризационное сечение выражается через сечения выбывания из пучка: о — (сг°и1; — <7°и(-)/2. В работе [9] также показано, что фильтрация на электронах не даёт заметного вклада в эволюцию поляризации, так как протоны рассеиваются только на малые углы. Таким образом, основным эффектом, приводящим к поляризации пучка при рассеянии на мишени, является фильтрация на поляризованных ядрах.

Описанные выше уравнения подходят для описания экспериментов, в которых поляризации частиц параллельны друг другу и параллельны или перпендикулярны оси пучков. Однако, если направления поляризаций произвольны, то возможно вращение поляризации, которое не может быть описано этими уравнениями. Эффекты, связанные с поворотом поляризации представляют определённый интерес, например, при изучении рассеяния поляризованных нейтронов в среде [10]. Обобщение кинетических уравнений на случай, когда направления поляризаций и скорости произвольны, представляет собой нетривиальную задачу, так как в этом случае необходимо рассматривать эволюцию матрицы плотности. Ранее уже были предложены разные способы вывода кинетического уравнения общего вида, однако они довольно сложны. Кроме того, не был проведён детальный анализ решений кинетического уравнения.

Впервые уравнение эволюции дня спшювой матрицы плотности р было

получено в работе [11] путём решения квантового уравнения Лиувилля. Формальное решение этого уравнения было записано в виде р' = БрЗ+, где р' — матрица плотности после рассеяния, а 5 — 5-матрица. Выражая 5-матрицу через амплитуду рассеяния, авторы получили уравнение эволюции, которое было применено для описания сдвига частоты при спинно-обменной оптической накачке. В работе также было замечено, что полученное уравнение описывает поворот спина электронов в результате рассеяния. Это кинетическое уравнение было позже использовано в работах [12, 13] для изучения эволюции спина протонов при прохождении через поляризованную среду. Кроме того, была рассмотрена эволюция спина дейтрона [14, 15] при прохождении через вещество. Особое внимание уделялось возможности определения действительной части амплитуды упругого рассеяния вперёд путём измерения угла поворота поляризации при прохождении частицы через среду.

Другой способ получения кинетического уравнения был предложен в работе [16]. Авторы написали гейзенберговское уравнение движения для матрицы плотности с использованием гамильтониана Ферми, выражающегося через амплитуду упругого рассеяния вперёд. Полученное таким образом кинетическое уравнение соответствует случаю, когда все рассеянные частицы выбывают из пучка. В этой же работе было написано обобщение данного уравнения с учётом рассеяния частиц внутри пучка. Кинетическое уравнение было решено в случае, когда поляризации пучка и мишени параллельны. В этом случае были воспроизведены результаты работ [8, 9].

На защиту выносятся следующие положения.

Получение кинетического уравнения для величин, построенных из операторов спинов. Предложен новый способ, существенно упрощающий получение уравнений эволюции. Детально проанализированы уравнения, оппсы-

вающие эволюцию поляризации спинорной частицы при рассеянии на бесспиновой и спинорной частицах, получены общие решения. Получено обобщение уравнения с учётом выбывания частиц из пучка.

Аналитическое вычисление коэффициентов кинетического уравнения для поляризации в случае ер рассеяния. Взаимодействие электрона с протоном описывается с помощью гамильтониана Брейта.

Исследование эволюции поляризации антипротонного пучка при рассеянии на поляризованной водородной и дейтериевой мишенях. Амплитуда рр рассеяния вычислена с помощью неймегенского нуклон-антинуклонного потенциала, а для описания рассеяния на дейтроне использовалось приближение Глаубера — Ситенко. Получены предсказания для степени поляризации антипротонов в этих процессах.

Глава 1

Кинетика поляризации в нерелятивистском

рассеянии

1.1. Кинетическое уравнение

Рассмотрим эволюцию некоторого оператора О в процессе рассеяния двух частиц со спинами и 62- Это может быть произвольный оператор, зависящий от спинов рассеивающихся частиц, так что [О. г] = 0 и [0,р] = О, где г — относительная координата, р — соответствующий импульс, [а, Ь] — коммутатор операторов а и 6. Мы считаем относительную скорость частиц достаточно малой, чтобы было применимо нерелятивистское описание, и пока пренебрегаем потерей частиц при рассеянии. Обобщение полученного уравнения на случай, когда выбывание частиц важно, будет рассмотрено в Главе 3. Оператор в гейзенберговском представлении Он = егтОе~гШ подчиняется уравнению движения

^Он = 1[Н,<Эн], (1)

где Н — гамильтониан системы (Н = с = 1). Усредним это уравнение по по волновым функциям задачи рассеяния, имеющим при г —У оо асимптотику

/ Ист \

Ыг) - ^м (¿к г + е—Р{п.. По)) Х1Х2 : (2)

где к — начальный импульс, N — плотность числа частиц, .Р — амплитуда упругого рассеяния, являющаяся оператором в спиновом пространстве, по = к/к — единичный вектор в направлении к. п = г/г — единичный вектор в направлении г, — спиновые волновые функции соответствующих

частиц. После усреднения (1) мы получаем следующее уравнение:

^ I с1гф+(г)Онфк{г) = 1 I ¿гф1{г)[Н.Он]щ(г). (3)

Хотя волновые функции (2) являются собственными функциям гамильтониана (Нфк — Ефк), правая часть уравнения не равна нулю из-за того, что гамильтониан не является эрмитовым по отношению к ненормируемым волновым функциям. Для того, чтобы можно было воспользоваться эрмитово-стью гамильтониана, мы умножим волновую функцию на быстро убывающий множитель:

фк{г)^е~Хгфк(г): (4)

а параметр Л устремим к нулю в конце вычислений. Выражение (3) можно преобразовать, воспользовавшись тем, что фк — собственные функции гамильтониана:

^ (О) = г I (1гф+(г) { [е~х\ Н] Оне'Хг + е~ХгОн [е"Аг, Н] } фк(т), (5)

где (О) = / с1гф£(г)Онфк(г) — среднее значение оператора О. Коммутатор [е~~л'\ Н] пропорционален малому параметру Л, и только вклад больших расстояний г ~ 1/А в интеграл может компенсировать эту малость. Благодаря этому при вычислении коммутатора в гамильтониане можно оставить только кинетический член:

г\

[е-Хг.Н]

г?

' 2М

((р-п)е-Хг + е-Хг(п-р)), (6)

2 М

где М — приведённая масса, сталкивающихся частиц. Кроме того, волновую функцию под интегралом можно заменить её асимптотикой. Оставляя под интегралом только слагаемые, наиболее медленно убывающие с расстоянием, мы получаем

£

dt.

(О) = AwVSp jp(i) J dr e~~2Xr

2 {n0-n)O + ~F+OF

\p+Qgik-r-ikr (-[ i i ^ сл r?„ikr-ik-r

r 4 r

(1 + (no • n)) + -OFeihr~ik T (1 + (n0 • n))

(7)

где v — k/M — относительная скорость частиц, Sp — операция взятия следа матрицы, pit) — спиновая матрица плотности системы. Видно, что интеграл по углам от первого слагаемого равен нулю. Воспользовавшись асимптотическим выражением для плоской волны

Лк г г->оо,

2тг гкг

eikr5 (п - п0) - е~гкг5 (п + п0)) :

—гкг.

(8)

где 6(х) — ¿»-функция Дирака, можно взять интеграл по углам от двух других слагаемых, после чего легко вычисляется интеграл по радиусу. В результате мы получим уравнение, описывающее эволюцию среднего значения оператора О в процессе рассеяния:

dttn F+OF -

2тгг

~F

(9)

где dfln — элвхмент телесного угла, соответствующий вектору п, F(0) — значение оператора Р, вычисленное при п =

Если мы возьмём О — 1, то получим из (9) соотношение унитарности:

Sp p(t)

dnnF+F-^(F+(0)-F(0))

= 0.

(10)

Уравнения (9) и (10) верны для произвольных спинов и если частицы не выбывают в процессе рассеяния. Описанный здесь вывод кинетического уравнения был предложен автором в работе [17]. Само же уравнение (9) можно вывести из кинетического уравнения для матрицы плотности, полученного ранее в работе [11].

1.2. Рассеяние частицы со спином S\ = 1/2

Получив общий вид уравнения эволюции, напишем кинетическое уравнение для поляризации частицы со спином 1/2. Для этого мы подставим О = сг\ в уравнение (9), а матрицу плотности системы запишем в виде pit) = pi(t) ■ р2'-

2ттг

к

jtCi = vNSp^Pl(t)P2

J dnn F+aiF-

a i - <T ]

(И)

Здесь cri — матрицы Паули, действующие на спиновые переменные первой частицы, pi и Р2 — матрицы плотности первой и второй частиц, соответственно. Мы считаем поляризацию второй частицы фиксированной, поскольку при проведении экспериментов обычно интересуются эволюцией поляризации только одной частицы. Если же необходимо рассматривать эволюции поляризаций обеих частиц, то нужно написать для второй частицы уравнение, аналогичное (11), и решать систему уравнений. Соотношение унитарности (10) в нашем случае даёт

"2тгг

Sp Sp

Р2 J dïln F+F = Sp p2ai J dQn F+F

к

— Sp

~p2 (f+(0) - F(0)) P20-1 (V(O)-F(O))

2iri

~кГ

(12)

Используя эти соотношения, уравнение (11) можно привести к виду jtCi=vNSp^pi(t)-p2 J dnn([F+,cri\F + F+ [<x1;F])

+ lp2[Ci(t)xcri} (F+(0) + F(0))\.

(13)

Общий вид амплитуды рассеяния для частицы со спином 1/2 можно записать следующим образом:

F = Fq + cri ■ Fi.

(14)

где функции Ро и уже не зависят от спина первой частицы. Тогда кинетическое уравнение примет вид

~(г = уМ ЭР21р21 сШп • О) + ■ СО - 2 ■ 2^) Сх

¿о^х - Л^о) х Сх"

+ г

2г

X .Р]

2тт

Т

■Р2

^+(0) + ^1(0)) X Сх

(15)

где Эрг обозначает след по спиновым переменным второй частицы.

1.2.1. Случай 62 = 0

Наиболее простым случаем является рассеяние частицы со спином 1/2 на бесспиновой частице. Тогда р2 = 1, а амплитуда рассеяния имеет вид

Я = /о + /х сгх ■ ^ , Ро = /о, -Рх = /х^

(16)

где ^ = [п х по], а функции /о и /1 зависят от ж = (и ■ по). Соотношение унитарности (10) в этом случае сводятся к оптической теореме:

¿а

п

1/о|2 + |/х|

V

47г

т

1ш /о(0) •

(17)

Уравнение эволюции для поляризации (15) принимает вид

с1

(И

Сх = -Ш [Сх + (Сх ■ По) По] ,

ш = I с1Пп 1У2\Ь\2 .

(18)

Решение этого уравнения легко найти для произвольной начальной поляризации Сх(0):

Сх(0 = [Сх(о) - По (Сх(0) • по)] е-"* + п0 (Сх(0) • п0) е"2ьЛ . (19)

Видно, что в процессе деполяризации происходит не только уменьшение поляризации частицы, но н её поворот, если начальная поляризация не параллельна и не перпендикулярна скорости.

1.2.2. Случай ¿2 = 1/2

Теперь рассмотрим наиболее важный случай: рассеяние двух частиц со спином 1/2. В этом случае амплитуда рассеяния имеет вид

^ = /о + (/КП + /2^2) • I/ + Г3а\4 , = /о + /2 <Т2 • I/ , ^ = Л г/ + Г-' сг{ .

(20)

Здесь сг2 — матрицы Паули, действующие на спиновые переменные второй частицы, функции /0,1,2 зависят от х = (п • по), а тензор построен из векторов По и п. Используя общий вид амплитуды (см., например, [18]), можно показать, что тензор Тгз должен быть симметричным. Спиновая матрица плотности второй частицы может быть записана стандартным образом:

Р2 = 7} (! + С2 ■ сг2)

(21)

где £2 ~~ независящий от времени вектор поляризации второй частицы. Кинетическое уравнение (15) в результате принимает вид

А ...

<И

я = д^сг + [Сх х +я1,

|/!|2 - Л*') + Ие (т*а*тэа) - ТаЬ*ТаЬ5^

Г = уЫ < 2 / сЮп 1т

• 47Г ■ 1 /г^Й + /2/1 (*> • Сг) + Т ИеГ°(0)С! > ■

(22)

При выводе этого уравнения были использованы соотношения

с1Ппх(п ■ п0)Т^ик = 0,

с/Оп еаЬс 1т (Г°*Т'Ь) =0

1т (Т™*ГЬ) =0,

(23)

верные для произвольной функции х(х)- Для получения этих соотношений был использован общий вид тензора Ти для Р- и Т-инвариантной амплитуды (см. [18]):

Т* = + п£ + и + (п^ + /5 , (24)

ГДе /з,4,5 ~~ произвольные функции от х — (п ■ щ). В случае рассеяния двух частиц со спином 1/2 соотношение унитарности (10) сводятся к двум нетривиальным соотношениям:

47г ~к

47Г •■ Г

— 1тГу(0)= / ёПп

1т/0(0) = I <1Пп [|/0|2 + (|Л|2 + |/2|2) !У2 + ТаЫТаЬ

2 Не (Я/О ^ + 2Яе (Г'70) - ^асезМТаЬ*Ты

(25)

Тензор и вектора Т и £7 можно представить в виде

= + В1 пг0п30 ,

р = Л2С2 + В2 (по ■ С2) По , 0 = С2 + В3 (по