Структура симметрически замкнутых классов К-значной логики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

московский государстве! пшй университет им.М.В.Ломоносова

р г б 0 ^mo-mmmimnm факультет

- 5 S'i'iOH 199^ на правах рукописи

удк 519.95

Нгуви Вви Хоа структура симметрически замкнутых классов к-значнои логики 01.01.09 Математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

москва - 1995

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физик! механико-математического факультета Белорусского государственной университета.

Официальные опйоненты : доктор физико-математических наук,

профессор В.С.Анашн, .доктор физико-математических наук,

B.А;Буевич,

доктор физико-математических наук,

C.С.Марченков

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится 16 июня 1995 года в 16 часов 05 мин.на зас( дании диссертационного Совета Д 053.05.05 при Московском госуда] ственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математически! факультет аудитория 1408 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан 18 мая 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.05 при МГУ профессор

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В математической кибернетике функциональные систеш (ф.с.) давно стали центральным объектом исследования. В основополагающей работе [1] начала 60-х годов А.А.Ляпунов и С.В.Яблонский разработали концептуальны основы исследований в области математической кибернетики. Было замечено, что при описании функционирования некоторых классов пребразователей информации появляются системы функций к-значной логики.

Важным этапом в развитии теории ф.с. явились работы В.Б.Кудрявцева и его учеников [2,3]. Были получены, в частности, результаты указывающие на зависимость от типа операций сложности решения проблемы полноты. В работах В.А.Буевича, С.С.Марченкова и других авторов проведены исследования ф.с., связанных с конечными автоматами, частично определенными функциями .

Следует отметить, что вид функций к-значной логики, описывающих функционирование преобразователей информации, в ряде случаев существенно зависит от способа кодирования входной и выходной информации. Подооная ситуация ( при к-2 ) обнаружена давно, при к>2 данное обстоятельство становится существенным.

Ниже более подробно обсуждается взаимносвязь способов кодирования входно-выходной информации и реализации (в частности схемами) преобразователей.

Во-первых, при технической реализации преобразователей информации необходима согласованность между способом кодирования и операцией суперпозиции, это означает, что при взаимнооднозначном кодировании в информации преобразователь я, полученный суперпозицией

з

преобразователей вин, f»h<g> , должен быть идентифицирован с преобразователем fs-hs(g8). Таким'образом, операции кодирования и суперпозиции являются, в некотором смысле, перестановочными.

Во-вторых , из физических соображений (т.е. на языке схем) вместо множества ирь) всех замкнутых, относительно суперпозиции, классов функций k-значной логики достаточно рассматривать только множество ijjlP,,) тех замкнутых классов (з.к.) функций к-значной логики, которые обладают симметрией относительно некоторого класса кодирований с ( т.е. все "копии" каждой функции из з.к., полученные кодированием sec, также содержатся в з.к.).

Приведенные выше соображения лежат в основе нашего рассмотрения специального класса кодирований, соответствующих понятию двойственности функций относительно групп симметрии. Нетрудно видеть, что преобразователи, описываемые двойственными относительно перестановки в подгруппы с симметрической группы s(Ek)(над множеством значений переменных Ек) k-значными функциями f и f" идентичны и в задает некоторое взаимно-однозначное кодирование, которое можно отождествить с перестановкой в . Класс кодирований в этом случае можно отождествить с группой g. Определяемое в работе g-за-

мыкание произвольной системы Е k-значных функций , является замы/

канием множества всех таких функций, каждая из которых двойственна к некоторой функции из z относительно некоторой перестановки группы с. На основе понятия с-замыкания естественным образом вводятся понятия с-з.к. , о-критериальной системы , g-предполного класса, с-порядка.

Очевидно, что g-з.к. является одновременно з.к. в обычно» смысле. Образуемую такими з.к. структуру обозначим через ic(pi Каждая структура Lc(Pk) является некоторым "приближением» структуры всех з.к. L(Pk), где Le (i>k) * L(Pk) при единичной подгруппе ек,

а структура .(Рк), согласно работе [4], ровпадает со структу-к

рой. всех- з.к. , сохраняемых всеми автоморфизмами к-зачной логики (т.е. всеми внутрешшми автоморфизмами к-значной логики). З.к. структуры и5(Е )(Рк) будем называть в дальнейшем симметрически з.к.

Важно отметить, что такие известные финитные свойства з.к. как существование конечной порождающей системы, предикатная описуемость сохраняются при с-замыкании.

В 1954 г. С.В.Яблонским [5] была решена задача о полноте в 3 -значной логике, при этом все 18 предполных классов были явно описаны. Отсюда вытекает алгоритм распознавания полноты для любой конечной системы к-значных функций. Идея решения задачи о полноте

\

в терминах предполных классов стала одной из главных для ф.с.. В дальнейшем , А.И.Мальцев в 1964 г. решил задачу о полноте для 4-значной логики, С.В.Яблонским , А.В.Кузнецовым, Ло Чжу-каем, И.Розенбергом и др. [5-9], были последовательно описаны все семейства предполных классов для к-значных логик. Завершающее описание опубликовано в 1970 г. И.Розенбергом.

Отметим, что проблема полноты для произвольных к-значных логик с операциями суперпозиции (т.е. з.к. из Рк) не имеет окончательного решения. Причиной этого, по видимому, является принципиальная невозможность получения счетного описания решетки 1-(Рк) з.к.из Рк при кьз, аналогичного полученному Э.Постом для двузначной логики в монографии [10]. В работе [II) было показано, что су/

ществуют з.к. со счетным базисом, и мощность множества з.к. кон-тину ална. Отдельные фрагменты решетки з.к. к-значной логики исследовались С.С.Марченковым, И.А.Мальцевым, Д.Лау, Я.Деметровичем, Я.Базинским, Л.Ханаком, В.Чаканым, Х.Масидой [12-22].

Описания конечных структур «-дС,,) для определенных типов

подгрупп с, с одной стороны, означают полное решение проблемы полноты для произвольных к-значных логик с оператором с -замыкания, с другой стороны, являются описаниями некоторых известных типов з.к. из МРк)(з.к.. самодвойственных относительно группы с).

Из вышеизложенного вытекает актуальность вопросов, рассмотренных в диссертации.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I/ Исследовать структуры с-с(Рк) , с - подгруппа

симметрической группы 5(Ек). Получить эффективное описание структур 1ц(Рк), рассматривая структуры «-с(Рк) как -приближения" структуры Мр4).

2/ Получить полное описание структуры «-5(Е ) (Рк) всех симметрических з.к. к-значной логики. Найти для каждого з.к. из И-5(Е ) (Рк) его $(шк>-критериальную систему, я(Ек)-базис и порядок.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основными методами , используемыми в работе являются методы теории функциональных систем и теории груш, теории универсальных алгебр.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами являются следующие:

I/ Получены эффективные критерии полноты для симметрически замкнутых систем к-значной логики.

2/ Получено достаточное условие для групп с при выполнешш которого структура >-с(Рк> конечна и эффективно описываем^.

3/ Получено полное описание структуры симметрических з.к. и5(Е | (Рк). Для каждого з.к. из п.5(Е ( (Рк) описана его $(Ек)-кри-

териальная система, построен его s(ej-базис и найден его порядок. Построены-диаграммы структуры is{c ^ (рз) и ij(e ) (р4) .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты найдут применения в теории функциональных систем, конечных алгебр, а также в теории синтеза схем из многозначных элементов.

АПРОБАЦИЯ. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебра и логика" акад. РАН Ю.Л.Ершова в институте математике СО РАН'/Новосибирск, 1989-1991ГГ./, на семинаре кафедры математической информатики КГУ проф. А.В.Аннсимова /Киев,1988г./, на семинаре по теории автоматов в МГУ акад.АТН, проф.В.Б.Кудрявцева /Москва, 1990г./, на межреспубликанской школе-семинаре "Математическая теория по синтезу и сложности управляющих систем" "под руководством чл.-корр. РАН О.Б.Лупанова /Минск, 1993г./, на семинаре кафедры математической' кибернетики МГУ "математические вопросы кибернетики" под руководством чл.-корр; РАН С.В.Яблонского /Москва,1994г./, на межгосударственном семинаре по дискретной математике, посвященной 70-летию С.В.Яблонского , под руководством чл.-корр. РАН О.Б.Лупанова /Москва¿1995г./.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты по теме диссертации опублико- ' ваны в работах [23-34].

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и списка литературы из 60 наименований. Глава i состоит из 4 параграфов., глава и состоит из 2 параграфов, глава in состоит из 2 параграфов, глава iv состоит из 2 параграфов, глава v состоит из 2 параграфов. Приложение содержит 3 диаграммы и один сводный каталог из 31 таблицы . Общий объем диссертации составляет 250 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование проблематики диссертации, и кратко излагаются основные результаты.

В первой главе рводятся понятие с-замыкание, описания и обозначения всех симметрически з.к..

Две функции f(x ), g(xl,...,xn) из Рк называются двой-

ственными друг к другу относительно подгруппы с группы s(ck), если f и g двойственны друг к другу относительно некоторой перестановки в ч с (т.е.8~'f (в(х,),.. .,s(x )) = д(х ....,х )). Отношение двойс-

1 n In

твенности относительно подгруппы с (G-двойственности) является отношением эквивалентности на множестве рк и обозначается через g*.

с-замыкание [£)с для любой системы функций z с Рк индуктивно определяется следующими правилами:

1) всякая функция из z принадлежит [Z] с

2) если t е [S]G И fG*g, ТО g е [Z]G ;

3) если ms [zi0 , то [w] s [Z)G .

Функции рассматриваются с точностью до фиктивных переменных. Множество м функций из рк называется g-замкнутым классом, если [м]с = м. Множество функций z с и с Рк называется с-полным в и,

если [Z)G = и. Естественным образом вводятся понятия с-критери-альной системы, с-предполного класса, с-базиса, с-порядка.

Очевидно что g-з.к. является одновременно з.к. в обычном смысле. Поэтому можно считать структуру LG(pk) всех с-з.к. некоторой подструктурой первоначальной структуры з.к., которая состоит из всех з.к. типа с . Такую подструктуру будем называть с-подст-

руктурой структуры L(lPk) з.к. k-значной логики.

Для данного с-з.к. к через bas(k), ord(k), cr(k), basc(k),

crdg (к), сис (к) обозначим базис, порядок, критериальную систему,

е-базис, с-порядок, G-критериальную систему класса к соответственно. При g = s(tk) s(tk)-замыкание называется д-замыканием или симметрическим замыканием и вместо символов i )S(E j, bhss^e j(k),

j(K),CRs^e J (К ) используются СИМВОЛЫ [ ] д ,ВЙ5д (к), ОШд(К),

скд(к) соответственно.

Для любого множества и с Рк и для любой подгруппы с с s(eJ

\ (к * 2) ПУСТЬ C(M) = {fePj fO*g, geM }.

Следующее предложение показывает, что кодирования, эквивалентные отношениям двойственности, и суперпозиции перестановочны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ А. Для любого множества м с Рк и для любой подгруппы с с s(ck)(k * 2) имеет место равенство [о(м)] ■ [njg.

СЛЕДСТВИЕ А. Для любой подгруппы в с $(е ) с-з.к. к из Рк (кьг) обладает конечным Оазисом тогда и только тогда, если к обладает конечным с- базисом. При этом всегда имеет место равенство

ordg(K) - CRD(К).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.I.I. З.к. м из Pk (к*2) называется предикатно-описуемым с точностью до селекторов, если [м и {е|}] является предикатно-описуемым.

Следующие предложения в, с из первой главы показывают, что такие известные финитные свойства з.к. как существование конечной порождающей системы, предикатная описуемость с точностью до селекторов (или предикатная описуемость ) сохраняются при с-замыкании.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ в. Для любой подгруппы с с х(Ек) и для любого с-з.к. и из Рк (кьг) следующие три утверждения эквивалентны:

1. с-з.к. м не содержит строго возрастающих цепочек замкнутых классов с пределом, равным и.

2. В м каждый е-з.к., который отличен от и, может быть расширен до с-предполного класса и число е- предполных классов конечно.

3. и имеет конечный е-Оазис.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ с. Для любой подгруппы с с б^) и для любого с-з.к. м из Рк (к*2) следующие три утверадения эквивалентны:

1.Клм - с м не имеет строго убывающих цепочек с-замкнутых надн лассов с пределом, равным ¡м.

2.Класс м имеет конечное число минимальных с-надклассов и каждый с - надкласс класса м содержит минимальный с - надкласс класса м.

3.Класс м предикатно-описуем с точностью до селекторов.

Во второй главе излагается эффективный критерий полноты симметрически замкнутых систем к-значной логики. Показывается, что при к=з ,4 имеются 4, а при -2 симметрически предполшх класса

Для произвольной функции £ из Рк и произвольного элемента у

из Ек через (г) обозначим множество всех наборов из е^, на которых £ = у, а через 1т £ - множество всех значений функции £

ДЛЯ МНОЖеСТВа М ФУНКЦИЙ ИЗ Рк ПУСТЬ м'"' - { ГбМ / II,,! ш }.

Для любого к г 3 пусть Р°= / г € Ри, £ (х, . . . ,х) х) , ак= {£/ £ е Рк, л~г£(п(х1), . . .,п(хп)) = £(хг.....Хп) ДЛЯ ЛЮбОГО

п 6 Д(ЕкН, v= {f / с « P4,n"tf(n(xl).....*<*„)) = f(x,"-".x„)

при любом я е u(e4)}, ol<= u(pl) (класс сохранения отношения pl), где pL= {(a,b,c,d) € eJ / а + ь= с + d (+ - сложение в поле Галуа gif (4))}, sn.pk=pk(k,u pJ"-1' (это множество называете.; классом Слу-

пецкого), i — класс всех линейных функций [5j из рз.

ТЕОРЕМА 2.2.1. Система функций z из рз д-полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из 4 д-з.к. ра, SHIP , А , о.3.

3 3 3

ТЕОРЕМА 2.2.2. Для того, чтобы система функций z из р4 была л-полной, необходимо и достаточно чтобы г целиком не содержалась ни в одном из четырех л-з.к. р", v4, ol4,'silp4.

ТЕОРЕМА 2,2.3. Пусть kas, с -произвольная ш-транзитивная подгруппа группы S(EJ, ш г Система функций е из Рк о-полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном ИЗ двух B-3.K. р", SLFk.

В третьей главе дается достаточное условие конечности структуры n-G(Pk).

ТЕОРЕМА 3.2.1. Для любого кез и для любой tti-транзитивной подгруппы с гругатч s (е ), где ma [ § ]+i , семейство l (р j всех

* g

с -классов k-значной логики конечно и каждый с -класс имеет конечный базис.

Из теоремы 3.2.1 вытекают следующие теорема 3.2.2 и следствие 3.2.1.

ТЕОРЕМА 3.2.2. Для любого кгз и для любой m-транзитивной подгруппы s группы s(Ek), где ms [ ^ ]+i , каждый с -класс семейства

a-G(Pk) предикатно-огатсуем с точностью до селекторов.

СЛЕДСТВИЕ 3.2.1. Для любого к е з структуры 1.Д(Е ((Рк) и

к

«-дС.)) конечны и каждый класс этих структур

конечно-порожден и предикатно-описуем с точностью до селекторов.

В четвертой главе, предлагается полная классификация всех инвариантных подполугрупп ( симметрически з.к. одноместных функций ) полугруппы всех подстановок к-элементного множества.

Через 5к(м), дк(и), где мсЕк, |и|<к обозначим соответственно симметрическую, знакопеременную группы, действующие на м, а через Ук(м)(|«|-4<к) -четверную группу Клейна на Е4(на и). Как з.к. функций из Рк(Р4) множества 5(Ек), л(Ек)(у(Е4)) имеют соответственно еще обозначения Р5к, РАк(ру4). Единичная перестановка из $(Ек) составляет единичную подгруйпу Рек :

Пусть к, к>,... такие натуральные числа, что к = кг+кг+... +кг, к^к^.. будем называть набор л(к)=(к ,.. ,,кг) разби-

ением числа к.

Пусть * такое бинарное отношение на множестве всех разбиений числа к , что для любых двух разбиений л^к) = (к|...,к' ) и

я2(к)=(к^... ) отношение \1(к)^х2(к) справедливо тогда и только 2

тогда, когда г,=г2-1 и найдутся а,ь из {1.....г2), с из {1,...,^}

такие, что к'= к*+ к®, а (к).....К-г'Кч.....К > " .....

к2 ка к2 к2 1с2 \

2

Определим на множестве всех разбиений числа к отношение частичного порядка следующим образом: для любых двух разбиений *1 (к),

хг(к) отношение л^к) г хг(к) справедливо тогда и только тогда, когда л1(к)»х2(к) или существует конечная последовательность разбиений л1 (к),...,х) (к) таких, что А,(к) * А( (к) ^ а (к...

I ■ . 1 г

^ (к)«х2(к).

т

Для любой ФУНКЦИИ р(х) ИЗ Р^""11 пусть Im *>={Tj, . . • ,7Г}, где |> I = - - - = I *>*'(гг)|ы. Набор (|<-r,) I.....|*>м(гр)|) является разбиением числа к, которое обозначается через x'ik).

Через f(к).....л( (к)] обозначим множеств^ всех функций

1 *

¥>(х) из р1(к> таких, что х'Чк) ^ а( (к) для некоторого u, lsusm.

и

Система разбиений {х> (к)} называется зависимой, если

1 а

существуют х( (к), х( (к), iip*qsm такие, что X, (к) ^ (к), и

Р Ч Р ч

независимой в противном случае. Если {х( (к),...,xf (к)} является

t ■

независимой системой разбиений числа к , то вместо обозначения f[а (к),...,х (к)] используем обозначение f<a (к),...,л (к)>.

1а 1а

Теорема 4,2.1 (0 классификации инвариантных подполугрупп симметрической полугруппы степени к ).

Все инвариантные подполугруппы симметрической полугруппы симметрической полугруппы , к*з, исчерпываются подполугруппами, —-• которые совпадают либо с Рек, рдк, psk, либо с pv4 (при к=4), либо с f<x (к),...,х ("к)>upo , где {х (к),...,х (к)} произволь-

1а 1а

ная независимая система разбиений числа к, а рск«{рек, рдк, psk> а} или pg4=pv4 (при к=4). Кроме того, если инвариантная подполугруппа полугруппы р'|к) представима в виде f<a( (к),..., а( (к)> и

■л * *

ирск, то такое представление является единственным.

В пятой главе при к*з приводится полное описание решетки всех симметрически з.к. «-л(рк).

В первом параграфе пятой главы вычисляется д-базис, порядок каждого симметрически з.к.

Во втором параграфе пятой главы при построении структуры Lfi(Pk>

симметрически з.к. используется следующее предложение

ПРЕДЛОЖЕНИЕ э. Если подмножество мд(Рк> симметрически з.к. структуры и-д(Рк) (к=2) содержит з.к. Рк и д-критериальную систему каждого симметрически з.к. из мд(Рк), то мд(Рк) = и.д(Рк).

Отметим , что все з.к. четных и однородных функций являются симметрически з.к., д-критериальные системы которых описаны в работах [13,14]. Описание д-критериальных систем всех остальных симметрически з.к. разделится на 5 части (соответствующих 5 подпа-раграфам)¡описание д-критериальных систем симметрически з.к., содержащих константы описание д-критериальных систем симметрически з.к., булевы ограничения которых совпадают либо с классом всех булевых селекторных функций, либо с классом всех булевых линейных а-функций,- описание д-критериальных систем симметрически з.к., булевы ограничения которых совпадают либо с классом всех булевых самодвойственных монотонных функций, либо с классом всех булевых самодвойственных а-функшй; описание д-критериальных систем симметрически з.к., булевы ограничения которых совпадают либо с классом всех булевых монотонных а-функций, либо с классом всех- булевых «-функций,- описание д-критериальных систем симметрически з..к., содержащих функции не сохраняющие е2 и не содержащих константы.

Резуьтатом описания д-критериальных систем всех симметрически з.к. является теорема 6.2.1 , в которой содержится полный список всех симметрически з.к. к-значной логики.

В приложении предлагаются диаграммы решеток всех симметрически з.к. 1.д(р2), 1.д(рз), ьд(р4). Показывается сводный каталог всех

симметрически з.к. к-значной логики (к*з).

Автор благодарен В.В.Горлову за постоянную поддержку. Автор признателен члену-корреспонденту РАН С.В.Яблонскому за внимание к работе.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА .

1. Ляпунов A.A., Яблонский С.В. Теоретические проблемы киберне-

тики // Проблемы кибернетики. Выл.9 - М: Наука, 1963.-С. 5-22.

2. Кудрявцев В.Б. Функциональные системы. - М: Наука, 1982.

3. Буевич В.А. Условия A-полноты для конечных автоматов. Москва. Изд-во Московского ун-та. Часть т, 1986, 104с. Часть 2, 1987, 109с.

4. Мальцев А.И. Итеративные алгебры Поста. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1976.- с.99.

5. Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Тр. МИАН СССР.- 1958.- T.5I.- С.5 - 142.

6. Кузнецов A.B. О проблемах тождества функциональной полноты алгебраических систем // Труды Третьего Всесоюзного математического съезда, и. м.-. АН СССР. 1956.-С. 145-146.

7. Ло Чжу-кай. Предполные классы, определяемые нормальными к -ар-

ными отношениями В к-значной логике// Acta Sei. Natur. Univ. JilínensiB. 1964.- V.3.

8. Ло Чжу-кай. Предполнота множества и кольца линейных функций //

Acta Sei. Natur. Univ. Jilinensis. 1963.- V.2.

9. Rosenberg I.G. Ober die functionalen Vollständigkeit in den mehrwertigen logicen // Rozpravy Ceskoslovenske Akad. Ved. Rada Mat. Prirod. 1970. Bd. 80, N4. s.3-93.

10. Post E. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Studies. Princeton .- 1941.- V.5.

11. Янов Ю.И., Мучник A.A. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // ДАН СССР.- 1959. -т. 127, N I. - С. 44-46.

12. Марченков С.С., Деметрович Я., Ханнак Л. О замкнутых классах самодвойственных функций в рз // Сб. "методы дискретного аиа-

лиза в решении комбинаторных задач"; Новосибирск, 1980, N34.-С.33-73.

13. Марченков С.С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики.

Вып.39 - М: Наука, 1982.- С. 82-106. 14; Марченков С.С. Классификация алгебр со знакопеременной группой автоморфизмов // Математические вопросы кибернетики.- 1989. -ВЫП.2 - С.100 - 122.

,15. Деметрович Я., Мальцев И.А. О существенно минимальных

ТС-КЛОНаХ На ТреХЭЛеМеНТНОМ МНОЖвСТВе//МТА SzTAKI Kozlemenyek -1984,N31.-p.115-151.

16. Деметрович Я., Мальцев И.А. О строении клона Бурле на трехэлементном множестве // Препринт ИМ СО АН СССР ы1 за 1987 г., 43с. • .

17. Lau D. Klassen quasilinearen Funktionen von Vj! Rostock.

Math. Kolloq.-1985,M28.-S.33-45.

18. Bagyinszki J, Demetrovics J. The structure of linear

classes in prime-valued logics // - MTA SzTAKI Kozlemenyek.-

1976,NI6.-P,25-52.

19. Bagyinszki J, Demetrovics J. The structure of ^ linear classes in prime-valued logics // Discrete Mathematic, Banach Center publication - Warsaw 1982 - P.. 105-123.

10. Burosch G.,'Dassow J., Harnau W., Lau D. On subalgebras of an

algebra of predicates// BIK.-1985.-Bd.I43,N3.-P.9-22.

21. Csakany В., Gavalcova T. Finite homogeneous algebras I//Acta Sci.Math.-1980,V.42.- P.57-65.

22. Machida H. On closed sets of three-valued monotono logical function // Finite Algebra and Multiple-valued Logic (Proc.Conf. Szeged 1979), Colloq.math.Soc. J.Bolyai, North-Holland, Amsterdam.- 1981,V.28.-P.441-467.

публикации по теме диссертации

23. Нгуен Ван Хоа. 00 L-эквивалентности систем функций в многозначных логиках // Алгебра и логика .-1988.-Т.27,Ml.-с.37-47.1

24. Нгуен Ван Хоа. Об одном достаточном условии групповой полноты в миогзначных логиках // Доклады АН БССР.-1988.-Т.32,N11,-

С.968-971.

25. Нгуен Ван Хоа. Структурные свойства семейства с-полных замкнутых классов к-значной логики // Доклады АН БССР.-1989.-Т.33, nil.-С.969-971. ' ■ <

26. Нгуен Ван Хоа. Некоторые типы алпроксимационной полноты в к-значной логике, связанные с группами преобразований переменных // Доклады АН БССР.-1990.-Т.34,N11.-С.970-973. .

27. Нгуен Ван Хоа. К описанию семейства о-полных замкнутых классов к-значной логики // Кибернетика.-1990,N5.-С.9-12.

28. Нгуен Ван Хоа. О с-полных замкнутых классов к-значной логики// BIK'. -1990,N5/6.-С.301-313. ----

29. Нгуен Ван Хоа. О полноте систем функций к-значной логики, связанной с группами преобразований переменных // Кибернетика и системный анализ.- 1992,нГ.-с.42-48.

30. Нгуен Ван Хоа. О структуре самодвойственных замкнутых классов трехзначной логики р, // Дискретная математика. - 1992. - Т.4, вып.4.-С.82-95.

31. Нгуен Ван Хоа. О семействах замкнутых классов k-значной логики, сохраняемых всеми автоморфизмами // Дискретная математика.- 1993. - Т.5, ВЫП. 4.- С. 85 - 106.

32. Нгуен Ван Хоа. К описанию замкнутых классов, сохраняемых всеми внутренними автоморфизмами к-значной логики // Доклады АНРБ.-

1994.-Т.38, N3.-С.16-19.

33. Нгуен Ван Хоа. О структуре замкнутых классов к-значной логики, самодвойственных относительно транзитивных групп // Доклады АНРБ.-1994.-Т.38, N6.-с.17-20.

34.. Нгуен Ван Хоа. О замкнутых классах к-значной логики, самодвойственных относительно транзитивных групп // Дискретная математика.- 1995 . - Т.7, вып. .- С. (в печати).

хв