Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп

Судоплатов, Сергей Владимирович

Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Судоплатов, Сергей Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп»

Автореферат диссертации на тему "Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп"

На правах рукописи

оозобуиь1

СУДОПЛАТОВ Сергей Владимирович

ТЕОРИИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ И ПОЛИГОНОМЕТРИИ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-2006

003067061

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете и в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Палютин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Гончаров Сергей Савостьяпович,

доктор физико-математических наук, профессор Хисамиев Назиф Гарифуллинович,

доктор физико-математических наук Степанова Алёна Андреевна

Ведущая организация: Омский государственный университет

Защита состоится 22 марта 2007 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Коп-тюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 14 февраля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук А. Н. Ряскин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из основных задач современной теории моделей является решение спектральной проблемы, т.е. проблемы описания для различных классов теорий Т функций 1(Т, А) числа попарно неизоморфных моделей теории Т в мощности Л. Интерес к этой проблеме вызван прежде всего тем, что для ее решения требуется построение содержательной структурной теории.

Проблема описания функций спектра, а также классов теорий, зависящих от этих функций, привлекала и продолжает привлекать внимание большой группы специалистов по теории моделей, составляя обширную область исследований. Это отражено в большом количестве статей, а также в ряде монографий, среди которых упомянем следующие книги — С. С. Гончаров, Ю. Л. Ершов [1], Ю. Л. Ершов, Е. А. Па-лютин [2], Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн [3], Дж. Сакс [4], Справочная книга по математической логике [5], Дж. Болдуин [7], А. Пилай [8], Б. Пуаза [9], С. Шелах [10], Ф. Вагнер [11].

Как известно [10], [21], спектральная проблема решена в целом для счетных полных теорий в несчетных мощностях Л.

До настоящего времени одной из малоисследованных проблем остается проблема описания числа 1(Т, и) попарно неизоморфных с четных моделей теории Т для данных классов полных теорий. В этой связи следует отметить гипотезу Воота, согласно которой не существует теории Т с условием ш < 1{Т, и>) < 2Ш. Эта гипотеза была подтверждена для теорий деревьев, унаров, многообразий, для о-минимальных теорий, для теорий модулей над некоторыми кольцами. В классе стабильных теорий гипотеза Воота доказана для ш-стабильных теорий [42], для различных классов суперстабильных теорий [20], [32], а также для 1-базируемых теорий с неизолированным типом над конечным множеством, который ортогонален пустому множеству [44]. Предпринимались попытки построения примеров, опровергающих гипотезу Воота. Однако до настоящего времени проблема остается открытой.

Еще одной интересной гипотезой является гипотеза Пилая, согласно которой для счетной теории Т условие с!с1(0) )= Г влечет 1(Т,и>) > и>. А. Пилай [35] доказал эту гипотезу для стабильных теорий, а также установил (см. [33]), что из с1с1(0) [= Т следует Г(Т,ш) > 4. П. Танович [45] показал, что гипотеза Пилая верна для теорий, не имеющих свойства строгого порядка.

В 1959 г. К. Рыль-Нардзевский [39] опубликовал свою знаменитую теорему, представляющую синтаксический критерий счетной категоричности теории (т.е. условия 1(Т, со) = 1), согласно которому счетная категоричность теории эквивалентна конечному числу п-типов теории для каждого натурального числа п и фиксированного множества свободных переменных. Это означает, что каждая счетно категоричная теория определяется одной характеристикой, а именно, функцией Рылъ-Нардзевского, которая каждому натуральному числу п ставит в соответствие число типов от п фиксированных переменных.

Большое количество результатов связано с эренфойхтповыми теориями, т.е. теориями, имеющими конечное (> 1) число счетных моделей. Р. Воотом [49] установлено, что не существует полных теорий, имеющих ровно две счетные модели. На основе теории плотного линейного порядка А. Эренфойхт (см. [49]) построил первоначальные примеры теорий, имеющих ровно п счетных моделей для любого натурального п > 3. Дальнейшие исследования были связаны с построением эренфойхто-вых теорий, обладающих различными дополнительными свойствами, с нахождением и исследованием структурных свойств эренфойхтовых теорий, а также с нахождением классов полных теорий, не содержащих эренфойхтовых теорий.

М. Г. Перетятькин [16] для каждого п > 3 построил полную разрешимую теорию, имеющую ровно п счетных моделей, из которых лишь одна конструктивизируема. В работах М. Г. Перетятькина [17], Б. Ома-рова [15], Т. Миллара [31], С. Томаса [46], Р. Вудроу [51] построены примеры эренфойхтовых теорий, допускающих константные обогащения до теорий с бесконечным числом счетных моделей, а также неэренфойх-товых теорий, некоторые константные обогащения которых являются эренфойхтовыми. Р. Вудроу [50] показал, что в предположении элиминации кванторов и при ограничении сигнатуры на бинарный предикатный символ и константные символы счетные полные теории, имеющие ровно три счетные модели, являются по существу примерами Эрен-фойхта. А. Пилай [34] установил, что в любой эренфойхтовой теории с малым числом связей интерпретируется бесконечный плотный частичный порядок. С. С. Гончаров и М. Пурмахдиан [13] доказали, что каждая эренфойхтова теория имеет конечный ранг. С. С. Гончаров показал, что существует разрешимая эренфойхтова теория, все типы которой вы-

числимы, но не все счетные модели могут быть выбраны разрешимыми. В работе К. Икеда, А. Пилая и А. Цубои [26] показано, что в любой почти ш-категоричной теории с тремя счетными моделями интерпретируется плотный линейный порядок. Е. Р. Байсалов [12] описал числа счетных моделей о-минимальных теорий (класс о-минимальных теорий включает классические примеры эренфойхтовых теорий). С. Лемп и Т. Слемен установили, что свойство эренфойхтовости П}-полно. У. Кал-верт, В. Харизанов, Дж. Найт, С. Миллер описали сложность индексных множеств классической эренфойхтовой теории.

Более тридцати лет известна проблема Лахлана о существовании стабильной эренфойхтовой теории. В направлении решения этой проблемы для различных подклассов класса стабильных теорий установлено отсутствие теорий Т с условием 1 < 1(Т,ш) < и>. Это отсутствие было доказано для класса несчетно категоричных теорий (Дж. Болдуин, А. Лахлан [18]), для суперстабильных теорий (А. Лахлан [28], Д. Ласкар [30], С. Шелах [41], Ю. Заффе [40], А. Пилай [36]), для теорий с неглавным суперстабильным типом (Т. Г. Мустафин [14]), для стабильных теорий, у которых ск1(0) является моделью [35], для нормальных теорий (А. Пилай [36]), для слабо нормальных (1-базируемых) теорий (А. Пилай [37]), для теорий, допускающих конечную кодировку (Е. Хрушовский [24]), для объединений псевдо-суперстабильных теорий (А. Цубои [48]), для теорий без плотных цепей ответвляемости [23]. А. Цубои [47] доказал, что любая счетная эренфойхтова теория, представляющаяся в виде счетного объединения ^-категоричных теорий, нестабильна. А. А. Викентьев установил наследственность неэренфойх-товости при расширении неэренфойхтовых формульных ограничений. П. Танович [43] показал, что любая стабильная теория, в которой интерпретируется бесконечное множество попарно различных констант, является неэренфойхтовой. Им же [45] доказано, что если теория Т эренфойхтова, то с1с1(0) конечно или теория Т имеет свойство строгого порядка.

С развитием теории простых теорий (см. [11]) наряду с проблемой Лахлана для стабильных теорий возникла аналогичная проблема для простых теорий -.проблема Лахлана для простых теорий. Б. Ким [27] обобщил теорему Лахлана [28] о суперстабильных теориях и установил, что эренфойхтовы теории не содержатся в классе суперпростых теорий.

При определении числа счетных моделей важную роль играют так называемые властные типы, которые всегда присутствуют в эренфойх-товых теориях (см. [19]). По существу, доказательство отсутствия эрен-фойхтовых теорий в вышеперечисленных классах сводится к тому, что для этих классов доказывается отсутствие теорий с неглавными властными типами. Другие существенные свойства, которыми обладают эренфойхтовы теории — несимметричность отношения полуизолированности на множестве реализаций властных типов, а также бесконечный вес неглавных властных типов в простых теориях. Начала систематизации структурных свойств эренфойхтовых теорий и их властных типов положены в кандидатской диссертации автора [6].

А. Лахлан [29] доказал, что структура бесконечной псевдоплоскости содержится в моделях любой ^-категоричной стабильной несуперста-бильной теории, а А. Пи лай [37] получил аналогичный результат для стабильных не 1-базируемых теорий. Таким образом, положительное решение проблемы Лахлана возможно лишь в классе теорий, интерпретирующих псевдоплоскости.

Взаимосвязь типов в теориях во многом определяется предпоряд-ками Рудина-Кейслера [38]. Эти предпорядки имеют конечное число классов эквивалентности для эренфойхтовых теорий. В работах Д. Л аскара проведено исследование различных видов предпорядков Рудина-Кейслера и показано, что любому властному типу соответствует наибольший класс эквивалентности по предпорядку Рудина-Кейслера.

Е. Хрушовский [25] с помощью модификации генерической конструкции Ионсона-Фраисе опроверг гипотезу Зильбера, построив примеры сильно минимальных не локально модулярных теорий, в которых не интерпретируется группа. Его оригинальная конструкция, послужившая основой для построения соответствующего примера, а также для последующего решения других известных теоретико-модельных проблем, стимулировала интенсивное изучение как самой конструкции Хрушовского и ее различных (в широком смысле) модификаций, способных создавать "генерические" теории с заданными свойствами, так и аксиоматических основ, позволяющих определить границы применимости этой конструкции.

Применительно к проблеме Лахлана Б. Хервиг [22] показал плодотворность конструкции Хрушовского, построив на ее основе малую стабильную теорию с типом, имеющим бесконечный вес.

В работе [53] автором показано, что структура неглавного властного типа содержит структуру бесконтурного орграфа, обладающего свойством попарного пересечения. В работе [54] установлено, что указанное свойство реализуется с помощью тригонометрий групп на проективной плоскости. Обнаруженная связь эренфойхтовых теорий с тригономет-риями и полигонометриями стимулировала создание структурной теории полигонометрий и тригонометрий групп.

"Полигонометрия (от греч. ро1}^6по8 — многоугольный и те^ёо — измеряю) — один из методов определения взаимного положения точек земной поверхности для построения опорной геодезической сети, служащей основой топографических съемок, планировки и строительства городов, перенесения проектов инженерных сооружений в натуру и т. п. Положения пунктов в принятой системе координат определяют методом полигонометрии путем измерения на местности длин линий, последовательно соединяющих эти пункты и образующих полигономет-рический ход, и горизонтальных углов между ними. При значительных размерах территории, на которой должна быть создана опорная геодезическая сеть, прокладываются взаимно пересекающиеся полигономет-рические ходы, образующие полигонометрическую сеть...

Время возникновения метода полигонометрии неизвестно. В прошлом он имел ограниченное применение из-за большого объема линейных измерений, затрудненных условиями местности, громоздкости необходимого оборудования и невозможности контроля результатов работы до ее полного завершения. Поэтому в прошлом метод полигонометрии применялся только для обоснования городских съемок и для сгущения опорной геодезической сети, созданной методом триангуляции... С изобретением электрооптических дальномеров и радиодальномеров, позволяющих непосредственно измерять линии на местности с высокой точностью, метод полигонометрии освободился от своего основного недостатка и стал применяться наравне с методом триангуляции."1

Полигонометрии исследовались А. И. Лекселем, Н. И. Фуссом, Т. Ба-нахевичем и другими. В 20 веке важную роль сыграли исследования русского геодезиста В. В. Данилова, детально разработавшего метод параллактической полигонометрии, который был намечен В. Я. Струве

1Большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). Гл. ред. А.М.Прохоров. — М.: Советская Энциклопедия, 1975. — Т. 20, с. 195. ; 1 ■

еще в 1836 г. В развитии теории и методов полигонометрии большое значение имели труды советских геодезистов А. С. Чеботарева, В. В. Попова, Н. А. Кузина и Н. Н. Лебедева, разработавших рациональные методы ведения полигонометрических работ различного вида и точности, а также методы вычислительной обработки и оценки погрешности их результатов.

Как известно, наряду с классической тригонометрией на евклидовой плоскости, к классическим тригонометриям также относятся сферическая и гиперболическая тригонометрии.

Цель работы. Изучение структурных свойств класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей. Развитие классификационной теории эренфойхтовых структур, а также теории полиго-нометрий групп.

Общая методика исследований. В работе используется аппарат теории моделей, включающий современные средства спектральной теории, теории генерических моделей, а также теоретико-модельные конструкции. При изучении полигонометрий и тригонометрий групп применяется арсенал теории групп, теории графов, геометрии и теории универсальных алгебр.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

— найдены синтаксическая характеризация и основные характеристики для класса эренфойхтовых теорий (теорема 1.1.13);

— развита теория синтаксических генерических конструкций, позволяющая строить генерические модели посредством классов типов (параграф 1.5);

— на основе синтаксического подхода к построению генерических моделей сконструированы примеры, реализующие все возможности для основных характеристик класса эренфойхтовых теорий (теорема 1.9.1);

— найдены алгебраические критерии существования полигонометрий и тригонометрий (теоремы 2.1.3 и 2.1.4), критерии изоморфизма и вложимости полигонометрий (теоремы 2.1.5, 2.3.1, 2.3.3, 2.3.8);

— установлено существование тригонометрии группы без кручения на проективной плоскости (теоремы 2.2.1 и 2.2.7), а также существование и число попарно неизоморфных полигонометрий для различных пар конечных групп (параграф 2.7);

— описан и исследован класс частичных алгебр, определяющих по-лигонометрии (параграф 3.1), а также класс групп автоморфизмов по-лигонометрий (параграф 3.2);

— изучены свойства и описаны функции спектра теорий всюду конечно определенных полигонометрий (параграф 3.5);

— установлено существование ^-стабильных тригонометрии групп без кручения на проективной плоскости (теорема 3.7.35);

— исследованы полигонометрии групп с условиями симметрии расстояний (параграф 3.9), обобщенные полигонометрии, соответствующие произвольному множеству матриц сторон и углов (параграф 3.10), полигонометрии с несущественными раскрасками точек (параграф 3.11);

— исследованы свойства теорий, наследуемых при транзитивных размещениях алгебраических систем (параграф 3.12).

Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в общей теории моделей, при решении пограничных вопросов, связанных с теорией групп, теорией графов, геометрией и теорией универсальных алгебр, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Девятой Всесоюзной конференции по математической логике (Ленинград, 1988), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993; Москва, 1998; Москва, 2004; Екатеринбург, 2005), на Советско-Французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, 1990), на Суслинских конференциях (Саратов, 1991,1994), на XI Межреспубликанской конференции по математической логике (Казань, 1992), на Казахско-Французских коллоквиумах по теории моделей (Алма-Ата, 1994; Караганда, 2000), на Международных конференциях по математической логике памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1994, 1999, 2001, 2004), на Летней школе по теории моделей и универсальной алгебре (Эрлагол, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005), на Корейско-Российском Международном симпозиуме по Науке и Технологии (Ульсан, 1997), на Летней школе по универсальной алгебре и упорядоченным множествам (Велке Карловице, Чехия, 1998), на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" (Волгоград, 1999), на Международной конференции, посвященной 60-

летию со дня рождения академика Ю.Л.Ершова (Новосибирск, 2000), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002), на Научных сессиях НГТУ (Новосибирск, 2003, 2005, 2006), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета (Москва, 2004), на Международной конференции "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004), на Французско-Казахстанской конференции "Теория моделей и алгебра" (Астана, 2005), на Девятой Азиатской логической конференции (Новосибирск, 2005), на Международной алгебраической конференции к 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005), на Международной конференции "Методы логики в математике ПГ' (Санкт-Петербург, 2006), на Международной школе "Теория моделей и ее применения в компьютерной науке" (Алма-Ата, 2006), на Российской школе-семинаре "Синтаксис и семантика логических систем" (Иркутск, 2006).

Автор выступал с докладами о результатах диссертации на заседаниях семинаров в Новосибирске (семинар "Теория моделей", 1987-2006; семинар "Алгебра и логика", 1993, 1995, 2001; семинар "Теория групп", 1999; семинар "Эварист Галуа", 2002; семинар "Теория вычислимости", 2005; Общеинститутский математический семинар ИМ СО РАН, 2005), в Москве (1991, 2000, алгебраический семинар МГУ), в Париже, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Лионе, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Екатеринбурге (2003, семинар "Алгебраические системы"), в Урбане, США (2004, семинар по теории моделей), в Чикаго, США (2004, семинар по теории моделей).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [52]-[98]; часть из них включена в учебник С. В. Судоплатова и Е. В. Овчинниковой [52].

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 320 страниц и состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и алфавитного указателя. Основные утверждения диссертации названы теоремами. Все утверждения занумерованы тройками индексов, из которых первые два индекса указывают на номер соответствующего параграфа, а третий — порядковый номер утверждения в этом параграфе. Нумерация примеров основана на том же принципе, но составлена независимо от нумерации утверждений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 изучаются вопросы, связанные с синтаксической характе-ризацией класса эренфойхтовых теорий. Центральной здесь является доказываемая в параграфе 1.1 теорема 1.1.13, представляющая синтаксическую характеризацию класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей и являющаяся аналогом теоремы Рыль-Нардзевского.

Через М, Л/",... (возможно с индексами) обозначаются бесконечные модели элементарных теорий, через М, И,... — их соответствующие носители. Тип кортежа й в модели М обозначается через 1р^(а), а также через tp(a), если из контекста ясно, о какой модели идет речь. Множество всех типов теории Т над пустым множеством обозначается через 5(Г) или 5(0).

Тип р(х) € 5(У) называется мощным или властным типом теории Т, если в любой модели М теории Т, реализующей тип р, реализуется любой тип q е 5(Т): М (= 5(Т).

Ясно, что наличие властного типа влечет малость теории Т, т.е. счетность множества 5(Г), что в свою очередь влечет существование для любого типа р € 5(Г) и любой его реализации а простой модели Ма над а. Поскольку все простые модели над реализациями типа р изоморфны, эти модели обозначаются через Мр.

Пусть ря q — типы из Б(Т). Будем говорить, что тип р подчиняется типу с; или р не превосходит q по предпорядку Рудина-Кейслера и писать р <як <7, если Мч\= р, т.е. модель Мр является элементарной подмоделью модели Мя: Мр Мд. При этом будем также говорить, что модель Мр подчиняется модели Мя или не превосходит модели Мч по предпорядку Рудина-Кейслера и писать Мр <нк Мч.

Типы р ид называются взаимоподчиняемыми, взаимореализуемыми или эквивалентными по Рудину-Кейслеру (р ~пк д), если р <пк Я и Я <пк Р- При этом модели Мр и Мд также называются взаимоподчиняемыми или эквивалентными по Рудину-Кейслеру (Мр М.9).

Обозначим через КК(Т) множество РМ типов изоморфизма моделей Мр (р £ 5(Т)) с отношением подчинения, индуцированным отношением подчинения <пк между моделями Мр: 11К(Т) = (РМ, <пк)-Будем говорить, что типы изоморфизма М1,М2 € РМ взаимоподчи-няемы ,(Мх ~дк Мг), если взаимоподчиняемы их представители.

Элементарная цепь (-Мп)„6а, называется элементарной над типом р (рЕ 5(Г)), если М„ — Мр для любого п е ш. Модель М называется

предельной над типом р, если М = \J Мп для некоторой элемеитар-

пбы

ной цепи (Мп)п<Еи наД типом р и М ф Мр.

Для любого класса М £ RK(T) / состоящего из типов изо-

морфизма взаимоподчиняемых моделей Л4Р1 ,■■■, МРп, обозначим через IL(M) число попарно неизоморфных моделей, каждая из которых предельна над некоторым типом рг.

Теорема 1.1.13 Для любой счетной полной теории Т следующие условия эквивалентны:

(1 )1(Т,и)<ш; _ _

(2) теория Т мала, |RK(T)| < и и IL(M) < ш для любого М е ИК(Г)/~л*.

При выполнении условия (1) (или (2)) теория Т обладает следующими свойствами:

(а) RK(T) имеет наименьший элемент Мо (тип изоморфизма простой модели) и IL(M0) = 0;

(б) RK (Г) имеет наибольший ~пк-класс Mi (класс типов изоморфизма всех простых моделей над реализациями властных типов), и из |ЛК(Г)| >J. следует IL(M^) > 1;

(в) если |М| > 1, то IL(M) > 1.

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула: /(2» = |НК(Г)| + IL(Mj),

¿=o

где Mo, •. .)М|як(г)/~лк|-1 — все элементы ч.у.м. RK(Т)/~д/<.

Будем говорить, что теория Т обладает свойством согласованного расширения цепей простых над кортежами моделей (СЕР), если для любого типа р € S(T) любые две предельные модели М. и N над типом р изоморфны. Заметим, что существование изоморфизма предельных моделей равносильно существованию элементарных цепей (Мп)п^ш и (•А/"п)пбш наД типом р, удовлетворяющих следующим условиям:

1 )М = U Мп, Я = и М»;

2) существуют константные обогащения М'п+1 = {Л4п+1 , с)селг и К+1 = (Л/"п+1, с)с€Лг;. п € ш, М'о = Mo, Л/q = Af0, такие, что M'n+i ~ ■Mn+i, neu.

На основании теоремы 1.1.13 справедлива следующая теорема для теорий, удовлетворяющих условию (СЕР).

Теорема 1.1.14. Пусть теорияТ удовлетворяет (СЕР). Следующие условия эквивалентны:

(1) 1(Т,ш) < и;

(2) теория Т мала и |ИК(Т)| < ы.

При этом справедливо следующее неравенство, которое превращается в равенство при |КК(Т)/~дк | < 2;

1{Т,и>) < |]Ж(Г)| + |11К(Г)/~я* | - 1.

Из теоремы 1.1.14 выводится синтаксическая характеризация класса теорий, имеющих ровно три счетные модели.

Следствие 1.1.15. Для любой полной теории Т следующие условия эквивалентны:

(1) 7(1» = 3;

(2) теория Т мала, обладает (СЕР) и |11К(Т)| = 2. □

В параграфе 1.2 определяются понятия несущественных и почти несущественных совмещений и раскрасок моделей, при которых типы кортежей при совмещениях определяются типами тех же кортежей, рассматриваемых в исходных моделях. Доказываются характери-зации несущественности и почти несущественности совмещений (теоремы 1.2.6 и 1.2.7). В этом же параграфе устанавливается, что при несущественных совмещениях и раскрасках моделей сохраняются свойства А-стабильности и малости теории (теоремы 1.2.8 и 1.2.12). В завершающей части параграфа 1.2 определяется понятие упорядоченной раскраски, приводится достаточное условие несимметричности отношения полуизолированности при наличии упорядоченной раскраски (предложение 1.2.13) и строится пример ш-стабильной теории (пример 1.2.3), который показывает, что различные элементарные цепи над одним и тем же типом могут порождать неизоморфные предельные модели и при этом образуется континуум попарно неизоморфных предельных моделей.

В параграфе 1.3 определяются понятия р-главного р-типа и редуцированности теории над типом и доказывается, что из отсутствия свойства строгого порядка в теории Т с неглавным властным типом р следует существование не р-главного р-типа и нередуцированность теории над типом р (предложение 1.3.5 и теорема 1.3.6). В этом же параграфе приводится пример ^-стабильной теории, имеющей не р-главный р-тип, реализующийся в модели Мр (пример 1.3.1).

В параграфе 1.4 определяется понятие властного орграфа, устанавливается связь властных орграфов с властными типами (предложения 1.4.1 и 1.4.2), дается описание структуры транзитивных замыканий насыщенных властных орграфов, образующихся в моделях теорий с неглавными властными 1-типами при условии конечного числа неглавных 1-типов (теорема 1.4.3), и доказывается, что структура властного орграфа, рассматриваемая в модели простой теории, индуцирует бесконечный вес (предложение 1.4.6). Приведем в этой связи определение властного орграфа и формулировку теоремы 1.4.3.

Счетный бесконтурный орграф Г = {X, <5) называется властным, если выполняются следующие условия:

(а) группа автоморфизмов орграфа Г транзитивна;

(б) формула С}(х,у) эквивалентна в теории ТЪ(Г) дизъюнкции главных формул;

(в) ас1({а}) П У <2п(Г,а) = {а} для любой вершины а £ X;

(г) Г ¡= Ух, у Зг х) А С}{г, у)) (свойство попарного пересечения). Теорема 1.4.3. Пусть Г = — насыщенный властный ор-

граф, в котором ас1({а}) Л и <Зп(а, Г) = {о} для любого а € X. Тогда

его транзитивное замыкание ТС (Г) = изоморфно направ-

ленному вниз множеству с транзитивной группой автоморфизмов и имеющему один из следующих порядков:

(1с) плотный частичный порядок с максимальными антицепями, содержащими а элементов, а£(ш + 1) \ {0};

(2) частичный порядок с бесконечным числом покрывающих элементов для любого элемента.

что любая счетная однородная модель порождается некоторым наследственным классом (теорема 1.5.10), а, значит, любая полная счетная теория является генерической (следствие 1.5.11). Устанавливается критерий малости теории (теорема 1.5.12), критерий вложимости одной счетной однородной модели в другую на языке генерических классов (теорема 1.5.13). Определяется свойство однородного амальгамирования генерического класса То и доказывается, что это свойство при условии конечных замыканий влечет насыщенность генерической модели, а также Д(То)-базируемость генерической теории, где Д(Т0) — множество формул, которые получаются навешиванием кванторов существования на конъюнкции формул, определяющих типы порождающего самодостаточного класса (теорема 1.5.14). Замечается, что в условиях теоремы 1.5.14 проверка свойств формул, сохраняющихся при переходе к булевым комбинациям, сводится к проверке свойств формул из множества Д(То) (следствие 1.5.15). В частности, если стабильны формулы, входящие в множество Д(То), то генерическая теория является стабильной (следствие 1.5.16).

Приведем формулировку основной теоремы параграфа 1.5:

Теорема 1.5.14. Если (То;^) — самодостаточный класс, обладающий свойством однородного Ь-амальгамирования, и класс К имеет конечные замыкания, то (То-генерическая модель Л4 ш-насыщена. При этом любое конечное множество А С М расширяется до своего самодостаточного замыкания А С М, тип содержит тип Ф(У) для самодостаточного типа Ф(А) и выполняется Ф(К) Н tp(Л).

В параграфе 1.6 на основе синтаксической генерической конструкции и несущественной упорядоченной раскраски бесконтурного орграфа строится пример генерического властного орграфа, имеющего неограниченные длины кратчайших маршрутов и допускающего обогащение до структуры неглавного властного типа.

Теорема 1.6.3. Существует счетный цветной насыщенный орграф М € Ко, удовлетворяющий вместе со своей теорией То следующим условиям:

1) если / : А —>с М, д : А ->с В ~ с-вложения и В £ Кц, то существует с-вложение К : В —>с М. такое, что / = д о И;

2) если А и В — с-изоморфные с-подграфы орграфа М, то = tp м(В);

3) раскраска обеднения Л4 ^ С} модели М. до графовой сигнатуры И = {<?} несущественна и упорядочена;

4) формула (¿(х,у) является главной формулой в теории

ТЬ(Л4 ГО).

В параграфе 1.7 приводятся генерические конструкции обогащений теории из параграфа 1.6, в которых любой неглавный тип является властным.

Теорема 1.7.4 Существует малая теория Т, обогащающая теорию То и удовлетворяющая условию |ИК(Т)| = 2.

В параграфе 1.8 дается генерическая конструкция обогащения теории из параграфа 1.7, имеющего ровно три счетные модели:

Теорема 1.8.8. Существует полная теория Т, обогащающая гене-рическую теорию То и удовлетворяющая условию 1(Т,ш) = 3.

В параграфе 1.9 на основе генерических конструкций из параграфов 1.6 — 1.8 приводятся конструкции, реализующие всевозможные основные характеристики полных теорий с конечным числом счетных моделей:

Теорема 1.9.1. Для любого конечного предупорядоченного множества (X, <) с наименьшим элементом хо и наибольшим классом х\ в упорядоченном фактор-множестве (Х,<)/~ по отношению ~ (где х ~ у х < у и у < х), а также для любой функции / : Х/~ —и>, удовлетворяющей условиям /(хо) = 0, /(з?Г) > 0 при \Х\ > 1, /(?/) > 0 при \у\ > 1, существует полная теория Т и изоморфизм д : (X, <):^КК(Г) такой, что 1Ь(д(у)) = /(у) для любого у £

В параграфе 1.10 устанавливаются аналоги теорем 1.1.13 и 1.9.1 для малых теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера (теоремы 1.10.1 и 1.10.3).

В параграфе 1.11 представляется описание всевозможных предпо-рядков Рудина-Кейслера в малых теориях:

Теорема 1.11.1. 1. Для любой малой теории Т предупорядоченное множество НК(Т) не более чем счетно, направлено вверх и имеет наименьший элемент.

2. Для любого не более чем счетного предупорядоченного направленного вверх множества (X, <), имеющего наименьший элемент, существует малая теория Т, для которой Ш<(Т) ~ (X, <).

В параграфе 1.12 показывается, что наряду с получающимся при доказательстве теоремы 1.6.3 властным орграфом, соответствующим условию (1ш) теоремы 1.4.3, существуют две модификации основной конструкции, в первой из которых властный орграф соответствует условию 2 теоремы 1.4.3 (теорема 1.12.2), а вторая конструкция позволяет построить властный тип без властного орграфа (теорема 1.12.5). Строящиеся при этом генерические модели М и М расширяются до моделей,

теории которых имеют любой заданный предпорядок подчинения и любую заданную функцию распределения числа предельных моделей.

В главе 2 определяются различные понятия полигонометрий и тригонометрии групп, обосновывается связь тригонометрии с властными орграфами и представляются различные алгебраические и теоретико-графовые свойства полигонометрий.

Понятия полигонометрии и тригонометрии группы с особым элементом и первоначальные примеры таких полигонометрий и тригоно-метрий (примеры 2.1.1 и 2.1.2) приводятся в параграфе 2.1. В этом же параграфе доказывается, что любой орграф, индуцируемый бесконтурной тригонометрией, является властным (предложение 2.1.1). Кроме того устанавливаются критерии существования полигонометрий (теоремы 2.1.3 и 2.1.4), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 2.1.5), критерий существования тригонометрии (теорема 2.1.6). Замечается, что в отличие от классических тригонометрий в тригонометриях групп имеет место неоднозначность параметров треугольников по трем сторонам (предложение 2.1.8).

Система V — {P,L,I), где Р — множество точек, L — множество линий, I С Р х L — отношение инцидентности, называется точной (Ai, Аг)-псевдоплоскостью, где Ai, Аг — некоторые кардиналы, если выполняются следующие предложения:

VpeP з=x4eL I(p,i), v/eL a=x*PeP i(P,i),

Vpi ФР2&Р 3-4 6 L (I(pul) M(p2,l)),

Vh^heL 3%6P (I(p,h)Al(p,l2)).

Здесь 3=A означает "существует ровно A", a 3-1 — "существует не более одного".

Точная (Ai, А2)-псевдоплоскость V называется плоскостью, если выполняется

YPi Ф Р2 Е Р 3=4 eL (I(Pl,l)M(p2,l)). Плоскость V называется проективной плоскостью, если

VhtheL з=1р € р (KpMaiM).

Точная (Ai,А2)-псевдоплоскость называется точной Х-псевдоплоскос-тью, если Ах = Аг = А.

Пусть б — группа, до — неединичный элемент группы О. Система {в, Т,д0) (обозначаемая через рш(С,'Р,до)) называется полигономет-рией группы С? с особым элементом до на точной \0\-псевдоплоскоети V — (Р, Ь, б), если выполняются следующие условия:

а) для любой линии I £ Ь группа б действует точно транзитивно на множестве I, т.е. ре = р, (рд\)д2 = р(<7152), Р 6 <71 >52 £ <?, и для любых точек р',р" £ I существует ровно один элемент д £ (3 такой, что

р"=р'9;

б) для любых точек рьрг £ Ри линий 1\, Ь € Ь, если рх 6 /1 и Р2 € ¿2, то существует такая биекция / : Р —> Р, что

(I) /(Рг)=Р2,/(М = Ь;

(II) множество /(¿) принадлежит множеству Ь для любой линии I £ Ь, и /({г | р €/}) = {/1 /(р) € /} для любой точки р £ Р;

(ш) для любой линии I £ Ь и любых точек р',р" £1, если р" = р'д на/, то /(р")=/(р')э на /(/);

в) для любой точки р £ Р множество р {р' | р' = рдо на некоторой линии 1} является линией и отображение р £ Р ^ р^£ Ь осуществляет биекцию между Р и Ь.

Отметим, что термин "полигонометрия" определяет класс описанных выше объектов более точно, чем использованный в ранних работах автора термин "тригонометрия". Указанная замена терминологии произведена по предложению Е.А.Палютина.

Полигонометрия рт(С, Р, до) называется тригонометрией группы с особым элементом до, если V — плоскость. Тригонометрия рт(С, Р,до) будет обозначаться через Шт^С?,?7, <?о)-

Предложение 2.1.1. Если Гэо = (Р;<330) — особый граф до-бесконтурной тригонометрии 1гш = (Р, Ь, £),до), то Г^о ~ властный орграф.

Теорема 2.1.3. Пусть до — неединичный элемент группы й, А — некоторое множество б-треугольников. Следующие условия эквивалентны:

(1) множество А является до-согласованным;

(2) на некоторой точной \С\-псевдоплоскости V существует полигонометрия рт(<3, V,до) такая, что А = 8з((7, Р, <?о)-

Теорема 2.1.4. Пусть до — неединичпый элемент группы С, Б — некоторое множество О-многоугольников. Следующие условия эквивалентны:

(1) Б — до-полигонометрическое множество;

(2) на некоторой точной \С\-псевдоплоскости V существует полигонометрия рт(С?,Р,до) такая, что Б — 8((7, V,до)-

Теорема 2.1.5. Следующие условия эквивалентны:

(1) рт^Рь^о) - рт(С,7>2,0ь);

(2) $>{С,Гидо) = и с{Рг) = с(Т2).

Теорема 2.1.6. Если V — связная псевдоплоскость и тройка {С,Т,до) образует полигонометрию, то следующие условия эквивалентны:

(1) Бз(С,— до-предполное (до-полное) множество;

(2) V — (проективная) плоскость.

В параграфе 2.2 доказывается существование тригонометрии свободной А-порожденной группы Р\ (где А — произвольный бесконечный кардинал) на проективной плоскости (теорема 2.2.1), устанавливается максимальное число таких тригонометрий (теорема 2.2.2) и показывается существование тригонометрии, имеющей властный орграф (следствие 2.2.4). Кроме того доказываются теорема о расширении полиго-нометрии подгруппы до полигонометрии группы (теорема 2.2.5), теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы С х для любой группы О и подходящей мощности А (теорема 2.2.7) и теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы С у. А для любой группы в и подходящей абелевой группы А (теорема 2.2.8).

Теорема 2.2.1. Для любого А > и группа .Рд имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.2. Для любого А > и группа Рш имеет 2х тригонометрий на проективной плоскости.

Следствие 2.2.4. Существует тригонолгетрия, имеющая властный особый орграф.

Теорема 2.2.5. Если подгруппа Н группы С? имеет полигонометрию на точной \Н\-псевдоплоскости Тц, то группа С? имеет тригонометрию на некоторой точной \С\-псевдоплоскости, расширяющей псевдоплоскость Тн-

Теорема 2.2.7. Для любой группы О группа О х -Рл(о), где А(б) = тах{|С|,ш}, имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.8. Для любой группы С группа С? х А, где А = © £ Аг, где А^ е {Ъ2,Ъг,Щ, А{ € Щ и {Ъп | 2 < п < и],

»<а (й)

А (б) = тах{|(7|,А}, имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

ма 2.3.8), необходимое условие совместного вложения полигонометрий (предложение 2.3.10).

Теорема 2.3.1. Пусть С\ — неединичная подгруппа группы С?г, 73! — связная точная (£?1|-псевдоплоскость. Следующие условия эквивалентны:

(1) полигонометрия рт^ь?7!,<7о) вложима в полигонометрию рш(С2,7,2,5о);

(2) 5(С1,Г1,9о) = 8(02,Г2,90) Г Ог.

Теорема 2.3.3. Пусть С?! — неединичпая подгруппа группы С?2-Следующие условия эквивалентны:

(1) полигонометрия рт((?1)'Р1, до) вложима в полигонометрию рт^Т^Зо);

(2) в(С?1,7^1,<7о) = 8((?2,'Р2,5о) [ С?1, « число с(Р\) не превосходит числа с(Г[) для любой максимальной С\-подполигонометрии рт(Сг1,?'1,до) полигонометрии рт(С?2,772,£7о)-

Теорема 2.3.8. Пусть рт = рш(0,~Р,до) — некоторая (до-бескон-турная) полигонометрия, имеющая не более А(рт) компонент связности. Следующие условия эквивалентны:

(1) полигонометрия рт вложима в некоторую (до-бесконтурную) тригонометрию рт' группы (7 * -Рд(рт) на проективной плоскости;

(2) полигонометрия рт не содержит Ъ.р.-многоугольников.

В параграфе 2.4 определяются понятия полигонометрии и тригонометрии пары групп, объединяющие понятия полигонометрии и тригонометрии группы, а также классические тригонометрии. Приводятся примеры, интерпретирующие полигонометрии пар групп в виде классических тригонометрий. Аналогично полигонометриям групп устанавливаются критерии существования полигонометрии (теоремы 2.4.1 и 2.4.2), изоморфизма полигонометрий (теорема 2.4.3), существования тригонометрии (теорема 2.4.4), вложимости одной полигонометрии в другую (теорема 2.4.6), теорема о расширении полигонометрии с пары подгрупп на пару групп (теорема 2.4.9), критерий вложимости полигонометрии в тригонометрию на проективной плоскости (теорема 2.4.10), теорема о совместной вложимости полигонометрий (теорема 2.4.11), предложение о вложимости любой полигонометрии пары групп в полигонометрию группы (предложение 2.4.12).

В параграфе 2.5 определяются понятия гомоморфизма полигонометрий и фактор-полигонометрии и приводится полигонометрический аналог теоремы о гомоморфизмах (теорема 2.5.1).

В параграфе 2.6 определяются полигонометрические аналоги операций над графами, показывается, что любая связная полигонометрия

получается некоторой факторизацией древесной полигонометрии (следствие 2.6.4), а также доказываются критерии вложимости цветного графа в полигонометрии:

Теорема 2.6.6 Пусть Г = (М, (Щ \ i £ I)) — цветной граф с попарно различными отношениями и без петель. Следующие условия эквивалентны:

1) граф Г вложим в некоторую полигопометрию пары групп;

2) граф Г вложим в некоторую тригонометрию группы;

3) граф Г вложим в некоторую тригонометрию группы С? = =»чех(22)г*^А> где (^г)г — копия группы Р\ — свободная Х-порожден-ная группа, А = |Г| + и;

4) для любых дуг (ах, Ьх), (аг, Ьг) 6 не существует цвета ] ф г в Г, и если (Ьх,ах) € то (62,02) 6 Qj.

В параграфе 2.7 приводятся критерии для конечных полигономет-рий (предложения 2.7.1 и 2.7.2), примеры серий конечных полигономет-рий и описание полигонометрий малого порядка.

В главе 3 изучаются алгебраические системы и элементарные теории, связанные с полигонометриями групп. В параграфе 3.1 определяется аксиоматизируемый класс частичных алгебр, соответствующих полигонометриям (класс полигонометрических алгебр). На языке этих алгебр приводятся критерий существования полигонометрий (теорема 3.1.1), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 3.1.3), доказывается теорема о подобии теории класса полигонометрических алгебр над проективными плоскостями конечно аксиоматизируемой теории (теорема 3.1.10), исследуются вопросы замкнутости класса полигонометрических алгебр относительно операций над частичными алгебрами (предложения 3.1.11 и 3.1.12), а также изучается связь категории гомоморфизмов полигонометрий с категорией гомоморфизмов полигонометрических алгебр (предложениеЗ.1.14).

Теорема 3.1.1. Пусть Л — некоторая частичная алгебра, определенная на носителе и (?2. Следующие условия эквивалентны:

(1) Л является полигонометрической алгеброй над парой групп (СЬС2);

(2) на некоторой точной (|(?х|,\02\)-псевдоплоскости V существует полигонометрия рт{С\,02,Т>) такая, что А = ,4(рт).

Теорема 3.1.3. Следующие условия эквивалентны:

(1) рт(С?1,С2!Р)~рт(Сх,(32,Р');

(2) Д(рт(Сь(?2,Р)) = Д(рт«?ъС2,Г)) « = с(Т').

Теорема 3.1.10. Теория класса всех тригонометрических алгебр над проективной плоскостью подобна конечно аксиоматизируемой теории класса всех проективно тригонометрических алгебр.

В параграфе 3.2 изучаются группы автоморфизмов полигонометрий. Приводится описание группы автоморфизмов данной полигонометрии на языке порождающих элементов и определяющих соотношений (теорема 3.2.4), а также описание класса групп автоморфизмов полигонометрий (теорема 3.2.15).

Теорема 3.2.4. Если ОМ(8) — полигонометрическое множество, задающее полигонометрию рт = рт(Сг1,£?2, V) с с(рт) компонентами связности, то

А^(рт)~(СьС2 || Й1,Я2,

а!а\а2а2 ■ ■ -Оп^л

«2 ап

£*! а2 .

а" ) 6 й }>

При этом, если с(рт) = 1, то группа С?х изоморфна стабилизаторам линий, а С?2 — стабилизаторам вершин.

Теорема 3.2.15. Группа С изоморфна группе автоморфизмов некоторой полигонометрии пары групп (61, (?2) тогда и только тогда, когда С изоморфна некоторой группе Со г Эд с некоторым кардиналом А, удовлетворяющей следующим условиям:

(а) (?х < во, < Со, С?1 П<32 = {е};

(б) группа Со порождается множеством С?1 и С2;

(в) если а1а>1.. .ап-2ап-2ап-1ап-1апап = ей а.10ц .. .ап-гап-гап-ха^ а'па'п = е, о; £ ^ \ {е}, а, € С2 \ {е}, 1 < г < п, п > 3, то а„_1 = а'п_и ап - а'п, ап = а'п;

(г) если агах... ап-2ап-2ап-1ап-1апап = ей а>1а1... ап-2ап-2а!п-1а'п_1 а'па'п = е, а; £ ^ \ {е}, аг- 6 С?2 \ {е}, 1 < г < п, п > 3, то ап_х = ап = а'п, ап = а'п;

(д) если а1а1а2а2азаз = е, а* € а* € С?2, 1 < г < 3, и аз = е, то щ = а2 = е или = е;

(е) если а!а1а2а2азО!з = е а» 6 (?х, Ог £ (?2) 1 < г < 3, гв ах = е, то а2 = 013 = е или аз = е.

В параграфе 3.3 на языке групп автоморфизмов охарактеризован класс полигонометрий групп (теорема 3.3.1), а также условие определимости полигонометрии пары групп в алгебраической системе (предложение 3.1.2).

В параграфе 3.4 определяется понятие полигонометрической теории, приводятся свойства полигонометрических теорий (предложения 3.4.1, 3.4.2, 3.4.4; теоремы 3.4.11 и 3.4.12), параметризация формул и типов в полигонометрических теориях (предложения 3.4.6 — 3.4.9).

В параграфе 3.5 описываются спектральные функции теорий всюду конечно определенных полигонометрий, т.е. полигонометрий, имеющих конечное число различных наборов параметров нетривиальных n-угольников для каждого п.

Теорема 3.5.4. Пусть Т — теория бесконечной всюду конечно определенной полигонометрии pm = pm(Gi,G2,V). Тогда

1) 1{Т, А) = 1 для любого А > ш, если Gi,G2 — конечные группы и d(pm) < оо;

2) I(T, и>) = w и 1{Т, А) = 1 для любого А > lj, если Gi, — конечные группы и d(pm) = оо;

3) 7(T,wa) = (max(|C?1|,|G2|,H))1J, если ш < max(|Gi|, |<?2|) < ш*.

В параграфе 3.6 доказывается обобщение теоремы 3.5.4 для теорий, любая модель которых представляется в виде ациклического гиперграфа минимальных простых моделей и обладающих свойством расширения изоморфизмов семейств минимальных простых моделей. Класс таких теорий обозначается через Т§.

Теорема 3.6.2. Любая теория Т из класса Tfi удовлетворяет одному из следующих условий:

1) 1 < d(T) < 2, ЦТ, |Т|) = |а + ш\, где |Т| = ыа, и I(T,X) = 1, если А > \Т\;

2) d(T) — оо, Т — тотально трансцендентная теория бесконечного ранга Морли и I(T,wa) = (max(Ao, |а|))ш, где Ао — число точек сочленения минимальной простой модели, лежащей в |Т|+ -насыщенной модели теории Т, ша > |Г|.

В параграфе 3.7 с помощью модификации конструкции Хрушовско-го доказывается существование ы-стабильной тригонометрии группы G * Fu на проективной плоскости для любой счетной группы G.

Теорема 3.7.35, Для любой счетной группы G и свободной счетно порожденной группы существует ш-стабилъная тригонометрия группы G *FU па проективной плоскости.

В параграфе 3.8 определяется понятие тригонометрии пары групп с функциями sin и cos (SC-тригонометрии) и устанавливаются теоремы о подобии теории класса всех тригонометрических алгебр, соответствующих правильным SC-тригонометриям конечно аксиоматизируемой теории (теорема 3.8.1), а также о вложимости любой тригонометрии пары

(кольцо с единицей, группа) в некоторую БС-тригонометрию (теорема 3.8.2).

В параграфе 3.9 определяется понятие полигонометрии пары групп с условием симметричности расстояний на линиях и переносятся теоремы о полигонометриях на симметричный случай.

В параграфе 3.10 определяются понятия обобщенных и нечетких полигонометрии, позволяющие рассматривать произвольное замкнутое множество матриц сторон и углов (БА-матриц) в виде множества наборов параметров многоугольников некоторой обобщенно полигономет-рической системы, а также устанавливать вероятностные значения параметров многоугольников по системам определяющих параметров. В этом параграфе приводятся следующая теорема о существовании обобщенной полигонометрии, соответствующей заданному замкнутому множеству БА-матриц (теорема 3.10.1), теорема о включении обобщенных полигонометрий во властные орграфы (теорема 3.10.3), а также вероятностный аналог теоремы 3.10.1 (теорема 3.10.5).

Теорема 3.10.1. Для любого замкнутого множества БА-матриц Э над парой групп (Сл^з) существует обобщенная полигонометрия gpm = gpm(Gl,G!2,'P), для которой в^рт) = Э.

В параграфе 3.11 определяется понятие цветной полигонометрии и доказывается критерий несущественности раскраски произвольной полигонометрии, вложимой в тригонометрию (теорема 3.11.1). Кроме того, устанавливается, что несущественность раскраски порождает так называемую группу цветопостоянства, сохраняющую цвета элементов при действиях этой группы на линиях.

В параграфе 3.12 определяются размещения алгебраических систем на свободных псевдоплоскостях, имеющие транзитивные группы автоморфизмов и описываются функции спектра для соответствующих теорий Т*, порожденных теориями 7*, г € ш:

Теорема 3.12.7. Функция спектра теории Т* имеет следующий вид-.

7(Г*,шо) = и>о, если Т*, г € ш — счетно категоричные теории, не индуцирующие новых счетных систем, и 1(Т*,и>о) = 2"'0 в противном а/гучае-,

1(Т*,ша) = (Аа)ш при а > 1, где \а — кардинал, равный максимуму из |а + числа моделей теорий Т» мощности < а и числа новых систем теорий Т; мощности < а.

Автор выражает глубокую благодарность своему Учителю Евгению Андреевичу Палютину за внимание, проявленное к работе, конструктивную критику и постоянную поддержку.

Список литературы

[1] Гончаров С. С., Ершов Ю. Л. Конструктивные модели. — Новосибирск: Научная книга, 1999.

[2] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — СПб.: Лань, 2004.

[3] Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. — М.: Мир, 1977.

[4] Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. — М.: Мир, 1976.

[5] Справочная книга по математической логике. Ч. 1, Теория моделей / Под ред. Дж. Барвайса. — М.: Наука, 1982.

[6] Судоплатов С. В. Базируемость стабильных теорий и свойства счетных моделей с мощными типами: Дисс... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. — Новосибирск, 1990. — 142 с.

[7] Baldwin J. Т. Fundamentals of Stability Theory. — Springer-Verlag, 1988.

[8] Pillay A. An introduction to stability theory. — Oxford University Press, 1983.

[9] Poizat B.P. Cours de théorie des modèles. — Villeurbane: Nur Al-Mantiq Wal-Ma'rifah, 1985.

[10] Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. — Amsterdam: North-Holland, 1990.

[11] Wagner F. О. Simple Theories. — Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[12] Байсалов E.P. Число счетных о-минимальных моделей // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. Караганда: Изд-во КарГУ, 1995. С. 25-30.

[13] Гончаров С. С., Пурмахдиан М. Итерированные обогащения моделей счетных теорий и их приложения // Алгебра и логика. 1995. Т. 34, №6. С. 623-645.

[14] Мустафин Т. Г. О числе счетных моделей счетной полной теории // Алгебра и логика. 1981. Т. 20, №1. С. 69-91.

[15] Омаров Б. Несущественные расширения полных теорий // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, №5. С. 542-550.

[16] Перетятъкин М. Г. О полных теориях с конечным числом счетных моделей // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, №5. С. 550-576.

[17] Перетятъкин М. Г. Теории с тремя счетными моделями // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, №2. С. 224-235.

[18] Baldwin J. T., Lachlan A. H. On strongly minimal sets //J. Symbolic Logic. 1971. V. 36, No. 1. P. 79-96.

[19] Benda U. Remarks on countable models // Fund. math. 1974. V. 81, No. 2. P. 107-119.

Buechler S. Classification of small weakly minimal sets, I / J.T. Baldwin (ed.), Classification Theory, Proceedings, Chicago, 1985. — Springer, 1987. - P. 32-71.

Hart B., Hrushovski E., Laskowski M.S. The uncountable spectra of countable theories // Ann Math. 2000. V. 152, No. 1. P. 207-257.

Herwig B. Weight oj in stable theories with few types // J. Symbolic Logic. 1995. V. 60, No. 2. P. 353-373.

Herwig B., Loveys J., Pillay A., Tanovid P., Wagner F. Stable theories with no dense forking chains // Arch. Math. Logic. 1992. V. 31. P. 297-304.

Hrushovski E. Finitely based theories // J. Symbolic Logic. 1989, V. 54, No. 1. P. 221-225.

Hrushovski E. A new strongly minimal set // Ann. Pure and Appl. Logic. 1993. V. 62. P. 147-166.

Ikeda K., Pillay A., Tsuboi A. On theories having three countable models // Math. Logic Quaterly. 1998. V. 44. P. 161-166.

Kim B. On the number of countable models of a countable supersimple theory // J. London math. Soc. 1999. V. 60, No. 2. P. 641-645.

Lachlan A. H. On the number of countable models of a countable superstable theory // Proc. Int. Cong. Logic, Methodology and Philosophy of Science. Amsterdam: North-Holland, 1973. P. 45-56.

Lachlan A. H. Two conjectures regarding the stability of w-categorical theories // Fund. Math. 1974. V. 81. P. 133-145.

Lascar D. Ranks and definability in superstable theories // Israel J. Math. 1976. V. 23, No. 1. P. 53-87.

Millar T. Finite extensions and the number of countable models //J. Symbolic Logic. 1989. V. 54, No. 2. P. 264-270.

Newelski L. Vaught's conjecture for some meager groups // Israel J. Math. 1999. V.112. P. 271-300.

Pillay A. Number of countable models // Journal of Symbolic Logic. 1978. V. 43. P. 492-496.

Pillay A. Instability and theories with few models // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. V. 80. P. 461-468.

Pillay A. Dimension theory and homogeneity for elementary extensions of a model // J. Symbolic Logic. 1982. V. 47. P. 147-160.

Pillay A. Countable models of stable theories // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 89, No. 4. P. 666-672.

Pillay A. Stable theories, pseudoplanes and the number of countable models 11 Ann. Pure and Appl. Log. 1989. V. 43, No. 2. P. 147-160;

Rudin M.E. Partial orders on the types of ¡5N // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 155. P. 353-362.

[39] Ryll-Nardzewski C. On the categoricity in power ^ No // Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Math., Astron., Phys. 1959. V. 7. P. 545-548.

[40] Saffe U. An introduction to regular types. — Preprint, 1981.

[41] Shelah S. End extensions and numbers of countable models //J. Symbolic Logic. 1978. V. 43. P. 550-562.

[42] Shelah S., Harrington L., Makkai M. A proof of Vaught's conjecture for testable theories // Israel J. Math. 1984. V. 49. P. 259-280.

[43] Tanovid P. On the number of countable models of stable theories // Fund. Math. 2001. V. 169. P. 139-144.

[44] Tanovic P. A note on countable models of 1-based theories // Archive for Math. Logic. 2002. V. 41, No. 7. P. 669-671.

[45] Tanovic P. On constants and the strict order property // Archive for Math. Logic, 2006.

[46] Thomas S. Theories with finitely many models // J. Symbol. Log. 1986, V. 51. P. 374-376.

[47] Tsuboi A. On theories having a finite number of nonisomorphic countable models // J. Symbol. Log. 1985, V. 50, No. 3. P. 806-808.

[48] Tsuboi A. Countable models and unions of theories // J. Math. Soc. Japan. 1986. V. 38, No. 3. P. 501-508.

[49] Vaught R. Denumerable models of complete theories // Infinistic Methods. — London: Pergamon, 1961. P. 303-321.

[50] Woodrow R. E. A note on countable complete theories having three isomorphism types of countable models //J. Symbolic Logic. 1976. V. 41. P. 672-680.

[51] Woodrow R. E. Theories with a finite number of countable models // J. Symbolic Logic. 1978. V. 43, No. 3. P.442-455.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[52] Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебник. — М.: ИНФРА-М, Новосибирск: НГТУ, 2004.

[53] Судоплатов С. В. О мощных типах в малых теориях // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, №4. С. 118-128.

[54] Судоплатов С- В. Тригонометрии групп и систем // Структурные свойства алгебраических систем. Тематический сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1990. — С. 12-33.

[55] Судоплатов С. В. Тригонометрии на точной псевдоплоскости // Труды Советско-Французского коллоквиума по теории моделей. — Караганда: изд-во КарГУ, 1990. - С. 185-201.

[56] Судоплатов С. В. Типовая редуцированность и мощные типы // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 33, №1. С. 150-159.

[57] Судоплагпов С. В. Об отношении вложимости в классе тригонометрий групп // Алгебра и логика. 1994. Т. 33, №4. С. 429-447.

[58] Судоплагпов С. В. О тригонометриях групп на проективной плоскости // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, №2. С. 419-431.

[59] Судоплатов С. В. О тригонометриях, не вложимых в тригонометрии с малыми теориями // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1995. - С. 103-110.

[60] Судоплатов С. В. О тригонометриях конечных групп и групп с подгруппами, имеющими тригонометрии // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, №2. С. 419-423,

[61] Судоплатов С. В. Об одной оценке сложности теорий графов // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, №3. С. 700-703.

[62] Судоплатов С. В. Полигонометрии пар групп // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №4. С. 925-931.

[63] Судоплатов С. В. Частичные алгебры, ассоциированные с полигономет-риями пар групп // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, №4. С. 454-476.

[64] Судоплатов С. В. Тригонометрии с функциями Sin и Cos // Алгебра и теория моделей. Сборник трудов / Под. ред. А. Г. Пинуса и К. Н. Пономарева. — Новосибирск, изд-во НГТУ. 1997. — С. 169-172.

[65] Судоплатов С. В. Число моделей теорий всюду конечно определенных полигонометрии // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, №3. С. 689-694.

[66] Судоплатов С. В. Транзитивные размещения алгебраических систем // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, №6. С. 1347-1351.

[67] Судоплатов С. В. О классификации полигонометрий групп // Мат. труды. 2001. Т. 4, №1. С. 174-202.

[68] Судоплатов С. В. Об ациклических гиперграфах минимальных простых моделей // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, №6. С. 1408-1412.

[69] Судоплатов С. В. w-Стабильные тригонометрии на проективной плоскости // Мат. труды. 2002. Т. 5, №1. С. 135-166.

[70] Судоплатов С. В. Несущественные совмещения и раскраски моделей // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, №5. С. 1132-1141.

[71] Судоплатов С. В. Полные теории с конечным числом счетных моделей.

I И Алгебра и логика. 2004. Т. 43, №1. С. 110-124.

[72] Судоплатов С. В. Полные теории с конечным числом счетных моделей.

II // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, №3. С. 314-353.

[73] Sudoplatov S. V. Group polygonometries and related algebraic systems // Contributions to General Algebra 11 / Proc. of the Olomouc Workshop '98 on General Algebra. — Klagenfurt: Verlag Johannes Heyn, 1999. — P. 191210.

[74] Sudoplatov S. V. Group polygonometries with symmetrical conditions // Алгебра и теория моделей 2. Сборник трудов. / Под. ред. А.Г.Пинуса и К.Н.Пономарева. — Новосибирск: изд-во Н'ГТУ, 1999. — С. 140-159.

[75] Sudoplatov S. V. On classification of group polygonometries // Siberian Advances in Math. 2001. V. 11, No. 3. P. 98-125.

[76] Sudoplatov S. V. Closed sets of side-angle matrices and correspondent geometrical structures // Алгебра и теория моделей, 3. Сборник трудов / Под. ред. А.Г.Пинуса и К.Н.Пономарева. — Новосибирск: изд-во НГТУ, 2001. — С.131-135.

[77] Sudoplatov S. V. w-Stable trigonometries on a projective plane // Siberian Advances in Math. 2002. V. 12, No. 4. P. 97-124.

[78] Sudoplatov S. V. Fuzzy polygonometries // Алгебра и теория моделей, 4. Сборник трудов / Под. ред. А.Г.Пинуса и К.Н.Пономарева. — Новосибирск: изд-во НГТУ, 2003. - С. 124-128.

[79] Судоплатов С. В. Мощные типы и свойство редуцированности // 9-я Всесоюз. конф. по мат. логике. Тез. докл. — JL: Наука, 1988. -- С. 159.

[80] Судоплатов С. В. Аппроксимация свойства проективности с бесконтурной ориентацией в стабильных теориях // Советско-Французский коллоквиум по теории моделей. Тез. докл. — Караганда: изд-во КарГУ, 1990.

- С. 46-47.

[81] Судоплатов С. В. О тригонометриях групп //XI Межреспубл. конф. по мат. логике. Тез. сообщений. — Казань: изд-во КГУ, 1992. — С. 136.

[82] Судоплатов С. В. Транзитивное размещение структуры в структуре свободной ориентированной псевдоплоскости // Третья Междунар. конф. по алгебре. Тез. докл. — Красноярск: изд-во КрГУ, 1993. — С. 321-322.

[83] Судоплатов С. В. Отношение вложимости в классе тригонометрий групп // Третья Междунар. конф. по алгебре. Тез. докл. — Красноярск: изд-во КрГУ, 1993. - С. 322-323.

[84] Sudoplatov S. V. On trigonometries of pairs of groups // Третья Суслинская конф. Научные математические чтения. — Саратов: изд-во СГПИ, 1994.

- С. 58-59.

[85] Sudoplatov S. V. Homomorphisms in the class of trigonometries of pairs of groups // Третья Суслинская конф. Научные матем. чтения. — Саратов: изд-во СГПИ, 1994. - С. 60-61.

[86] Sudoplatov S. V. On classification of polygonometries of groups // Abstracts. KORUS '97. The first Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. September 29 - October 3, 1997. — University of Ulsan, Republic of Korea. — P. 133.

[87] Sudoplatov S. V. Automorphism groups of polygonometries // Kurosh Algebraic Conference '98, Abstracts of Talks. — M.: изд-во МГУ, 1998- — С. 119-120.

[88] Sudoplatov S. V. On type identifications in trigonometrical theories // Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвящ. 90-летию со дня рождения А.И. Мальцева. Тез. докл. — Новосибирск, изд-во ИДМИ. 1999. — С. 111-112.

[89] Sudoplatov S. V. On hypergraphs of minimal prime models // Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвящ. 90-летию со дня рждения А.И. Мальцева. Тез. докл. — Новосибирск, изд-во ИДМИ. 1999. — С. 112-113.

[90] Судоплатов С. В. О полигонометриях с условием симметрии // Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения"памяти Л. А. Скорнякова. — Волгоград: Перемена, 1999. — С. 61-62.

[91] Судоплатов С. В. О погружении тригонометрий групп в неглавные типы // Логика и приложения. Тезисы междунар. конф., посвящ. 60-летию со дня рождения акад. Ю.Л.Ершова. — Новосибирск: изд-во НИИДМИ, 2000. - С. 97.

[92] Sudoplatov S. V. On generic group trigonometries // Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию нгаучно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, основанного О.Ю.Шмидтом в 1930 г. (13-16 ноября 2000 г.).Тез. докл. — М.: изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2000. — С. 94-95.

[93] Судоплатов С. В. Об обобщенных полигонометриях групп // Междунар. семинар по теории групп, посвящ. 70-летию А.И.Старостина и 80-летию Н.Ф.Сесекина. - Екатеринбург: изд-во УрГУ, 2001. - С. 209-212.

[94] Sudoplatov S. V. On syntactical generic constructions // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докладов 6-й Международной конференции, посвященной 100-летию Н.Г.Чудакова. — Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета, 2004. — С. 142-144.

[95] Sudoplatov S. V. On structures of powerful types // Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Междунар. конф. — Иркутск: Изд-во ИГПУ, 2004. - С. 198-199.

[96] Sudoplatov S. V. On syntactical approach to generic constructions // Model theory and Algebra. Prance-Kazakhstan Conference. 18-22 July, 2005. Abstracts. — Astana: Edition of ENU, 2005. — P. 62-63.

[97] Sudoplatov S. V. On saturated generic models // Abstracts. The 9th Asian Logic Conference. August 16-19, 2005. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. - С. 132-133.

[98] Sudoplatov S. V. On syntactical generic constructions and embedding relation in the class of homogeneous models // Междунар. алгебраическая конф. к 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина. Екатеринбург, Россия, 29 августа - 3 сентября 2005 г. Тез. докл. — Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2005. - С. 162-165.

Судоплатов Сергей Владимирович

Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 18.01.07. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 120 экз. Заказ № 19.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Судоплатов, Сергей Владимирович

Введение и исторический обзор

Г л а в а 1. Теории с конечным числом счетных моделей

§ 1.1. Синтаксическая характеризация класса полных теорий с конечным числом счетных моделей.

§ 1.2. Несущественные совмещения и раскраски моделей.

§ 1.3. Тйповая редуцированность и властные типы.

§ 1.4. Властные орграфы.

§ 1.5. Синтаксические генерические конструкции.

§ 1.6. Генерические теории с несимметричным отношением полуизолированности

§ 1.7. Генерические теории с неглавными властными типами.

§ 1.8. Теория с тремя счетными моделями.

§ 1.9. Реализация основных характеристик полных теорий с конечным числом счетных моделей.

§ 1.10. Теории с конечными предпорядками Рудииа-Кейслера.

§ 1.11. Предпорядки подчинения в малых теориях.

§ 1.12. Теории с неплотными структурами властных орграфов и теории с властными типами, не имеющие властных орграфов

Г Л а в а 2. Полигонометрии групп

§ 2.1. Полигонометрии групп с особыми элементами.

§ 2.2. Тригонометрии групп на проективной плоскости.

§ 2.3. Вложения полигопометрий групп.

§ 2.4. Полигонометрии пар групп.

§ 2.5. Гомоморфизмы и фактор-полигонометрии

§ 2.6. Графы и полигонометрии.

§ 2.7. Конечные полигонометрии.

Г л а в а 3. Алгебраические системы и теории, связанные с полигонометриями

§ 3.1. Частичные алгебры, ассоциированные с полигонометриями.

§ 3.2. Группы автоморфизмов полигопометрий.

§ 3.3. Полигонометрии групп и определимость полигонометрий в алгебраических системах.

§ 3.4. Полигономстрические теории.

§ 3.5. Спектр теорий всюду конечно определенных полигонометрий.

§ 3.6. Спектр ациклических теорий со свойством расширения изоморфизмов

§ 3.7. ш-Стабильные тригонометрии на проективной плоскости.

§ 3.8. Тригонометрии с функциями sin и cos.

§ 3.9. Полигонометрии групп с условиями симметрии

§ 3.10. Обобщенные и нечеткие полигонометрии.

§ 3.11. Цветные полигонометрии

§ 3.12. Транзитивные размещения алгебраических систем.

Введение диссертация по математике, на тему "Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп"

1. Краткий обзор предшествующих исследований. Одной из основных задач современной теории моделей является решение спектральной проблемы, т.е. проблемы описания для различных классов теорий Т функций 1(Т, Л) числа попарно неизоморфных моделей теории Т в мощности Л. Интерес к этой проблеме вызван прежде всего тем, что для ее решения требуется построение содержательной структурной теории.

Проблема описания функций спектра, а также классов теорий, зависящих от этих функций, привлекала и продолжает привлекать внимание широкой группы специалистов по теории моделей, составляя обширную область исследований. Это отражено в большом количестве работ, среди которых упомянем следующие: книги и диссертации — О. В. Белеградек [1]; С. С. Гончаров, Ю. J1. Ершов [3]; Ю. J1. Ершов, Е. А. Палютин [7]; Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн [10]; Дж. Сакс [20]; Справочная книга по математической логике [21]; Дж. Болдуин [29]; А. Пилай [38]; Б. Пуаза [39]; С. Шелах [40]; Ф. Вагнер [41]; статьи -С. С. Гончаров, М. Пурмахдиан [46]; Т. Г. Мустафин [51]; Б. Омаров [52]; Е. А. Палютин [54]; Е. А. Палютин, С. С. Старченко [55]; М. Г. Пе-ретятькин [56], [57]; А. Н. Ряскин [59]; Дж. Болдуин, А. Лахлан [83]; М. Бонда [105]; С. Биклер [108]; Б. Харт, С. Старченко, М. Валери-от [121]; Б. Харт, Е. Хрушовский, М. Ласковский [122]; Б. Хервиг, Дж. Ловейс, А. Пилай, П. Танович, Ф. Вагнер [128]; Б. Хервиг [129]; Е. Хрушовский [138]; К. Икеда, А. Пилай, А. Цубои [143]; Б. Хусаинов, А. Найес, Р. Шор [151]; Б. Ким [153]; А. Лахлан [157]; Д. Ласкар [159]; Дж. Ловейс, П. Танович [164]; Л. Лоу, А. Пилай [165]; Л. Майер [167]; Т. Миллар [169]—[172]; М. Морли [174], [175]; А. Пилай [180]-[184], [186], [187]; Р. Рид [196]; К. Рыль-Нардзевский [198]; Ю. Заффе [199], [200]; С. Шелах [201]; С. Шелах, Л. Харрингтон, М. Маккай [203]; С. Томас [216]; А. Цубои [217], [218]; П. Танович [213]; P. Boot [219]; Р. Вудроу [224], [225].

Как известно (см. С. Шелах [40]; Б. Харт, Е. Хрушовский, М. JTac-ковский [122]), спектральная проблема решена в целом для счетных полных теорий в несчетных мощностях Л.

До настоящего времени одной из малоисследованных проблем остается проблема описания числа 1(Т,ш) попарно неизоморфных счетных моделей теории Т для данных классов полных теорий. В этой связи следует отметить гипотезу Воота, согласно которой не существует теории Т с условием си < 1(Т,и>) < 2Ш. Эта гипотеза была подтверждена для теорий деревьев (Дж. Стил [206]), унаров (Л.Маркус [166]; А. Миллер [173]), многообразий (Б. Харт, С. Старченко, М. Ва-лериот [121]), для о-минимальных теорий (Л. Майер [167]), для теорий модулей над некоторыми кольцами (В. А. Пунинская [58], [193]; В. А. Пунииская, К. Тоффалори [194]). В классе стабильных теорий гипотеза Воота доказана для а;-стабильных теорий (С. Шелах, Л. Хар-рингтон, М. Маккай [203]), для различных классов суперстабильных теорий (Е. Р. Байсалов [42], [43]; С. Биклер [108], [109]; Л. Лоу, А. Пи-лай [165]; Л. Невельский [176], [177], [178]), а также для 1-базируемых теорий с неизолированным типом над конечным множеством, который ортогонален пустому множеству (П. Танович [214]). Предпринимались попытки (см. Р. Найт [155]) построения примеров, опровергающих гипотезу Воота. Однако до настоящего времени проблема остается открытой.

Еще одной интересной гипотезой является гипотеза Пилая, согласно которой для счетной теории Т условие dcl(0) |= Т влечет 7(Т, ш) > ш. А. Пилай [183] доказал эту гипотезу для стабильных теорий, а также установил (см. А. Пилай [180]), что из dcl(0) \= Т следует 7(Т, ш) > 4. П.Танович [215] показал, что гипотеза Пилая верна для теорий, не имеющих свойства строгого порядка.

В 1959 г. К. Рыль-Нардзевский [198] опубликовал свою знаменитую теорему, представляющую синтаксический критерий счетной категоричности теории (т.е. условия 1(Т,и>) = 1), согласно которому счетная категоричность теории эквивалентна конечному числу гс-типов теории для каждого натурального числа п и фиксированного множества свободных переменных. Это означает, что каждая счетно категоричная теория определяется одной характеристикой, а именно, функцией Рылъ-Нардзевского, которая каждому натуральному числу тг ставит в соответствие число типов от п фиксированных переменных.

Большое количество результатов связано с эренфойхтовыми теориями, т.е. теориями, имеющими конечное (> 1) число счетных моделей.

Р. Воотом [219] установлено, что не существует полных теорий, имеющих ровно две счетные модели. На основе теории плотного линейного порядка А. Эренфойхт (см. [219]) построил первоначальные примеры теорий, имеющих ровно п счетных моделей для любого натурального п > 3. Дальнейшие исследования были связаны с построением эрен-фойхтовых теорий, обладающих различными дополнительными свойствами, с нахождением и исследованием структурных свойств эрен-фойхтовых теорий, а также с нахождением классов полных теорий, не содержащих эрепфойхтовых теорий.

М.Г.Перетятькин [56] для каждого п > 3 построил полную разрешимую теорию, имеющую ровно п счетных моделей, из которых лишь одна конструктивизируема. В работах Б. Омарова [52], М.Г.Перетятькина [57], Т. Миллара [169], [172], С. Томаса [216], Р. Вудроу [225] построены примеры эренфойхтовых теорий, допускающих константные обогащения до теорий с бесконечным числом счетных моделей, а также неэрен-фойхтовых теорий, некоторые константные обогащения которых являются эренфойхтовыми. Р. Вудроу [224] показал, что в предположении элиминации кванторов и при ограничении сигнатуры на бинарный предикатный символ и константные символы счетные полные теории, имеющие ровно три счетные модели, являются по существу примерами Эренфойхта. А. Пилай [182] установил, что в любой эренфойхтовой теории с малым числом связей интерпретируется бесконечный плотный частичный порядок. С. С. Гончаров и М. Пурмахдиан [46] доказали, что каждая эренфойхтова теория имеет конечный ранг. В работе К. Икеды, А. Пилая, А. Цубоя [143] показано, что в любой почти и-категоричной теории с тремя счетными моделями интерпретируется плотный линейный порядок. Е. Р. Байсалов [44] описал числа счетных моделей о-минимальных теорий (класс о-минимальных теорий включает классические примеры эренфойхтовых теорий). С. Лемп и Т. Сле-мен [163] установили, что свойство эренфойхтовости П|-полно. У. Кал-верт, В. Харизанов, Дж. Найт, С. Миллер [110] описали сложность индексных множеств классической эренфойхтовой теории. Конструктивные модели эренфойхтовых теорий рассмотрены в работах К. Эша и Т. Миллара [82], Г. А. Омаровой [53], Б. Хусаинова, А. Найеса и Р. Шора [151], А. Н. Гаврюшкина [45], разрешимые эренфойхтовы теории — в работах Т. Миллара [170], [171], Р. Рида [196], В. Харизанов [35]. С. С. Гончаров [118] показал, что существует разрешимая эренфойхтова теория, все типы которой вычислимы, но не все счетные модели могут быть выбраны разрешимыми.

Более тридцати лет известна проблема Лахлана о существовании стабильной эренфойхтовой теории. В направлении решения этой проблемы для различных подклассов класса стабильных теорий установлено отсутствие теорий Т с условием 1 < 1{Т, и>) < и. Это отсутствие было доказано для класса несчетно категоричных теорий (Дж. Болдуин, А. Лахлан [83]), для суперстабильных теорий (А. Лахлаи [157], Д. Ласкар [159], С. Шелах [201], Ю. Заффе [199], А. Пилай [184]), для теорий с неглавным суперстабильным типом (Т. Г. Мустафин [51]), для стабильных теорий, у которых dcl(0) является моделью (А. Пилай [183]), для нормальных теорий (А. Пилай [184]), для слабо нормальных (1-базируемых) теорий (А. Пилай [186], [187]), для теорий, допускающих конечную кодировку (Е. Хрушовский [138]), для объединений псевдо-суперстабильпых теорий (А. Цубои [218]), для теорий без плотных цепей ответвляемости (Б. Хервиг, Дж. Ловейс, А. Пилай, П. Та-нович, Ф. Вагнер [128]). А. Цубои [217] доказал, что любая счетная эрепфойхтова теория, представляющаяся в виде счетного объединения о;-категоричных теорий, нестабильна. А. А. Викентьев [231] установил наследственность иеэренфойхтовости при расширении неэренфойхто-вых формульных ограничений. П. Танович [213] показал, что любая стабильная теория, в которой интерпретируется бесконечное множество попарно различных констант, является неэренфойхтовой. Им же [215] доказано, что если теория Т эренфойхтова, то множество dcl(0) конечно или теория Т имеет свойство строгого порядка.

С развитием теории простых теорий (см. Ф. Вагнер [41]; 3. Шатзи-дакис, А. Пилай [112]; Б. Ким, А. Пилай [152]; Б. Ким [153]; М. Пур-махдиан [192]; С. Шелах [202]) наряду с проблемой Лахлана для стабильных теорий возникла аналогичная проблема для простых теорий: проблема Лахлана для простых теорий. Б. Ким [153] обобщил теорему Лахлана (см. А. Лахлан [157]) о суперстабильных теориях и установил, что эренфойхтовы теории не содержатся в классе суперпростых теорий.

При определении числа счетных моделей важную роль играют так называемые властные типы, которые всегда присутствуют в эрен-фойхтовых теориях (см. М. Бенда [105]). По существу, доказательство отсутствия эренфойхтовых теорий в вышеперечисленных классах сводится к тому, что для этих классов доказывается отсутствие теорий с неглавными властными типами. Другие существенные свойства, которыми обладают эренфойхтовы теории — несимметричность отношения полуизолированности на множестве реализаций властных типов, а также бесконечный вес неглавных властных типов в простых теориях см. А. Пилай [184]; Б. Ким [153]). Начала систематизации структурных свойств эренфойхтовых теорий и их властных типов положены в кандидатской диссертации автора (см. С. В. Судоплатов [24]).

А. Лахлан [158] доказал, что структура бесконечной псевдоплоскости содержится в моделях любой w-категоричной стабильной несупер-стабильной теории, а А. Пилай [186] получил аналогичный результат для стабильных не 1-базируемых теорий. Таким образом, положительное решение проблемы Лахлаиа возможно лишь в классе теорий, интерпретирующих псевдоплоскости.

Взаимосвязь типов в теориях во многом определяется предпоряд-ками Рудина-Кейслера (см. М. Рудин [197]). Эти предпорядки имеют конечное число классов эквивалентности для эренфойхтовых теорий. В работах Д. Ласкара [159]—[161] проведено исследование различных видов предпорядков Рудина-Кейслера и показано, что любому властному типу соответствует наибольший класс эквивалентности по пред-порядку Рудина-Кейслера.

В 1988 г. Е. Хрушовский [141] с помощью модификации генериче-ской конструкции Йонсона-Фраисе (см. Р. Фраисе [117], [34]; Б. Йои-сон [148], [149];) опроверг гипотезу Зильбера, построив примеры сильно минимальных не локально модулярных теорий, в которых не интерпретируется группа. Его оригинальная конструкция, послужившая основой для построения соответствующего примера, а также для последующего решения других известных теоретико-модельиых проблем, стимулировала интенсивное изучение как самой конструкции Хрушов-ского и ее различных (в широком смысле) модификаций, способных создавать "генерические" теории с заданными свойствами (см. Дж. Болдуин [30], [84], [85], [86], [96], [97]; А. С. Колесников [37]; А. Хассон [36], [123], [124], [127]; Дж. Болдуин, С. Шелах [89]; Дж. Болдуин, К. Холланд [91], [92], [94]; А. Баудиш [98], [99]; А. Баудиш, А. Мартин-Пизарро, М. Циглер [101], [102], [103], [104]; М. де Бонис, А. Несин [106]; О. Шапюи, Е. Хрушовский , П. Куаран, Б. Пуаза [111]; Д. Эванс [113], [115], [116]; Д. Эванс, М. Пантано [114]; А. Хассон, М. Хилс [125]; А. Хассон, Е. Хрушовский [126]; Б. Хервиг [129], [130], [131]; Б. Хер-виг, Д. Ласкар [132]; К. Холланд [133], [134]; Е. Хрушовский [137], [139], [140]; Е. Хрушовский, Б. И. Зильбер [142]; К. Икеда [144], [145]; А. А. Иванов [147]; А. Кехрис, К. Розендаль [150]; Б. Ким, А. С. Колесников, А. Цубои [154]; Н. Питфилд, Б. И. Зильбер [179]; А. Пилай,

A. Цубои [188]; Б. Пуаза [189], [190]; С. Шелах [204]; С. Солецкий [205];

B. В. Вербовский [220]; В. В. Вербовский, И. Йонеда [221]; А. Виллаве-сес, П. Замбрано [222]; И. Йонеда [226]; М. Циглер [227]; Б. И. Зильбер

228], [229] [230]), так и аксиоматических основ, позволяющих определить границы применимости этой конструкции (см. А. Бонато [31]; Р. Арефьев, Дж. Болдуин, М. Мазукко [81]; Дж. Болдуин [88]—[95]; Дж. Болдуин, Н. Ши [87]; А. Баудиш [100]; 3. Шатзидакис, А. Пилай [112]; Д. Эванс [ИЗ]; Дж. Гуд [119]; К. Холланд [135]; К. Икеда, А. Пилай, X. Кикио А. Цубои, [146]; Д. Кикер, М. Ласковский [156]; М. Ласковский [162]; Б. Пуаза [191]; М. Пурмахдиан [192]; Р. Рая ни [195]; Ф. Вагнер [223]).

Применительно к проблеме Лахлаиа Б. Хервиг [129] показал плодотворность конструкции Хрушовского, построив на ее основе малую стабильную теорию с типом, имеющим бесконечный вес.

В работе [60] автором показано, что структура неглавного властного типа содержит структуру бесконтурного орграфа, обладающего свойством попарного пересечения. В работе [61] установлено, что указанное свойство реализуется с помощью тригонометрий групп на проективной плоскости. Обнаруженная связь эреифойхтовых теорий с тригономет-риями и полигонометриями стимулировала создание структурной теории полигонометрий и тригонометрий групп. Полигонометрия (от греч. polygonos — многоугольный и metreo — измеряю) — один из методов определения взаимного положения точек земной поверхности для построения опорной геодезической сети, служащей основой топографических съемок, планировки и строительства городов, перенесения проектов инженерных сооружений в натуру и т. п. Положения пунктов в принятой системе координат определяют методом полигонометрии путем измерения на местности длин линий, последовательно соединяющих эти пункты и образующих по-лигонометрический ход, и горизонтальных углов между ними. При значительных размерах территории, на которой должна быть создана опорная геодезическая сеть, прокладываются взаимно пересекающиеся полигонометрические ходы, образующие полигоиометрическую сеть.

Время возникновения метода полигонометрии неизвестно. В прошлом он имел ограниченное применение из-за большого объема линейных измерений, затрудненных условиями местности, громоздкости необходимого оборудования и невозможности контроля результатов работы до ее полного завершения. Поэтому в прошлом метод полигонометрии применялся только для обоснования городских съемок и для сгущения опорной геодезической сети, созданной методом триангуляции. С изобретением электрооптических дальномеров и радиодальномеров, позволяющих непосредственно измерять линии на местности с высокой точностью, метод полигонометрии освободился от своего основного недостатка и стал применяться наравне с методом триангуляции."1

Полигонометрии исследовались А. И. Лекселем [48], [49], Н. И. Фус-сом [1G], Т. Банахевичем и другими. В 20 веке важную роль сыграли исследования русского геодезиста В. В. Данилова [5], детально разработавшего метод параллактической полигонометрии, который был намечен В. Я. Струве еще в 1836 г. В развитии теории и методов полигонометрии большое значение имели труды советских геодезистов А. С. Чеботарева, В. В. Попова, Н. А. Кузина и Н. Н. Лебедева [13], разработавших рациональные методы ведения полигонометрических работ различного вида и точности, а также методы вычислительной обработки и оценки погрешности их результатов.

Как известно, наряду с классической тригонометрией на евклидовой плоскости, к классическим тригонометриям также относятся сферическая и гиперболическая тригонометрии. Современные исследования, связанные с классическими тригонометриями, представлены, например, в работах А. Антиппы [80] и Дж. Макклири [168].

2. Основные постановки задач. В рамках общей проблемы описания теорий, обладающих заданными функциями спектра I, возникают две следующие взаимосвязанные проблемы для класса эренфойхтовых теорий.

Проблема 1 (проблема синтаксической характеризации эренфойх-товости). Найти синтаксическую характеризацию и основные характеристики для класса эренфойхтовых теорий.

Проблема 2 (проблема реализации основных характеристик эрен-фойхтовости). Построить примеры, реализующие все возможности для основных характеристик класса эренфойхтовых теорий.

Поскольку одной из основных характеристик для класса эренфойхтовых теорий являются конечные предпорядки Рудина-Кейслера, вышеперечисленные проблемы получают следующие обобщения.

Проблема 3 (проблема синтаксической характеризации теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера). Найти синтаксическую характеризацию и основные характеристики для класса теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера. большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская Энциклопедия, 1975. - Т. 20, с. 195.

Проблема 4 (проблема реализации основных характеристик теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера). Построить примеры, реализующие все возможности для основных характеристик класса теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера.

При решении проблем 2 и 4 важную роль играет следующая вспомогательная

Проблема 5 (проблема существования генерических эреифойхто-вых теорий). Установить существование генерических эреифойхто-вых теорий.

В первой главе диссертации в полном объеме решаются первые три проблемы и проблема 5, а четвертая проблема при предположении континуум-гипотезы. Решения проблем 1 и 3 представляют аналоги теоремы Рыль-Нардзевского. Проблемы 2 и 4 решаются на основе решения проблемы 5.

Обнаруженная автором взаимосвязь между структурами эренфойх-товых теорий и тригонометрическими структурами стимулировала исследования полигонометрий и тригонометрий групп, а также классов алгебраических систем, связанных с полигонометриями. В рамках общей проблемы развития теории полигонометрий групп и связанных с ними алгебраических систем был обозначен следующий ряд проблем, относящихся к алгебраическим, геометрическим, теоретико-модельным и теоретико-графовым аспектам данной проблемы.

Проблема 6 (проблема критериев существования полигонометрий и тригонометрий). Найти алгебраические критерии существования полигонометрий и тригонометрий.

Проблема 7 (проблема критериев изоморфизма и вложимости полигонометрий). Найти критерии изоморфизма и влоэюимости полигонометрий.

Проблема 8 (проблема существования тригонометрии группы на проективной плоскости). Установить, существует ли тригонометрия группы без кручения на проективной плоскости.

Проблема 9 (проблема существования и числа конечных полигонометрий). Установить существование и число попарно неизоморфных полигонометрий для различных пар конечных групп.

Проблема 10 (проблема описания частичных алгебр, определяющих полигонометрии). Описать и исследовать класс частичных алгебр, определяющих полигонометрии.

Проблема 11 (проблема описания групп автоморфизмов полиго-нометрий). Описать и исследовать класс групп автоморфизмов по-лигонометрий.

Проблема 12 (проблема изучения свойств полигонометрических теорий). Изучить свойства и описать функции спектра теорий по-лигонометрий.

Проблема 13 (проблема существования ы-стабильных тригоно-метрий на проективной плоскости). Установить существование oj-стабильных тригонометрии групп без кручения на проективной плоскости.

Проблема 14 (проблема изучения тригоиометрий с функциями sin и cos). Исследовать тригонометрии с функциями sin и cos.

Проблема 15 (проблема изучения полигонометрий с условиями симметрии). Исследовать полигонометрии групп с условиями симметрии расстояний.

Проблема 16 (проблема изучения обобщенных полигонометрий). Исследовать класс обобщенных полигонометрий, соответствующих произвольному множеству матриц сторон и углов.

Проблема 17 (проблема изучения цветных полигонометрий). Охарактеризовать и исследовать полигонометрии с несущественными раскрасками точек.

Проблема 18 (проблема изучения структур с транзитивной группой автоморфизмов). Исследовать свойства теорий, наследуемых при транзитивных размещениях алгебраических систем.

Решению проблем 6-18 посвящены вторая и третья главы диссертации.

3. Обзор основных результатов. Текст диссертации, следующей за введением, разделен на три главы. Основные утверждения диссертации названы теоремами. Все утверждения занумерованы тройками индексов, из которых первые два индекса указывают на номер соответствующего параграфа, а третий — порядковый номер утверждения в этом параграфе. Нумерация примеров основана на том же принципе, но составлена независимо от нумерации утверждений.

Всюду в дальнейшем мы будем использовать обозначения и терминологию: по теории моделей из справочной книги по математической логике [21] (см. также книги С. С. Гончаров, Ю. JI. Ершов [3]; Ю. JI. Ершов [6]; Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин [7]; Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн [10];

Дж. Сакс [20]; С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова [26]; Дж. Болдуин [29]; А. Пилай [38]; Б. Пуаза [39]; С. Шелах [40]; Ф. Вагнер [41]); понятия и обозначения по общей и универсальной алгебре из книги [17] (см. также книги В. А. Горбунов [4]; М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков [8]; А. И. Кокорин, В. М. Копытов [11]; А. Г. Пи-нус [19]; JI. А. Скорнянов [22]; А. И. Ширшов, А. А. Никитин [28]; П. Бурмейстер [32]); систему геометрических и тригонометрических понятий из книг Ф. Картеси [9], Ж. Лелон-Ферран [15], Н. Н. Степанов [23] (см. также книги Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен [2]; X. Коксетер [12]; А. И. Ширшов, А. А. Никитин [28]; П. Дембовский [33]); терминологию по теории графов из книги [14] (см. также книги О. Оре [18]; С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова [25]; Ф. Харари [27]).

В главе 1 изучаются вопросы, связанные с синтаксической харак-теризацией класса эренфойхтовых теорий. Центральной здесь является доказываемая в параграфе 1.1 теорема 1.1.13, представляющая синтаксическую характеризацию класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей и являющаяся аналогом теоремы Рыль-Нардзевского.

Через М,М,. (возможно с индексами) будут обозначаться бесконечные модели элементарных теорий, через М, N,. — их соответствующие носители. Тип кортежа а в модели М будет обозначаться через tpм(а), а также через tp(a), если из контекста ясно, о какой модели идет речь. Множество всех типов теории Т над пустым множеством будет обозначаться через S(T) или S(0).

Тип р(х) € S(T) называется мощным или властным типом теории Т, если в любой модели М теории Т, реализующей тип р, реализуется любой тип q е S(T): М |= S(T).

Ясно, что наличие властного типа влечет малость теории Т, т.е. счетность множества S(T), что в свою очередь влечет существование для любого типа р £ S(T) и любой его реализации а простой модели Ма над а. Поскольку все простые модели над реализациями типа р изоморфны, эти модели обозначаются через Мр.

Пусть р и q — типы из S(T). Будем говорить, что тип р подчиняется типу q или р не превосходит q по предпорядку Рудина-Кейслера и писать р <rk q, если Mq f= р, т.е. модель Мр является элементарной подмоделью модели Mq: Мр ■< Mq. При этом будем также говорить, что модель Мр подчиняется модели Mq или не превосходит модели Mq по предпорядку Рудина-Кейслера и писать Мр <rk Mq.

Типы р ii q называются взаимоподчиняемыми, взаимореализуемы-ми или эквивалентными по Рудину-Кейслеру (р q), если Р <rk Q и Я <rk Р■ При этом модели Мр и Мя также называются взаимоподчиняемыми или эквивалентными по Рудину-Кейслеру

Мр ~rk Mq).

Обозначим через RK(T) множество РМ типов изоморфизма моделей Мр (р € S(T)) с отношением подчинения, индуцированным отношением подчинения <rk между моделями Мр: RK(Т) = (РМ, <rk)-Будем говорить, что типы изоморфизма Mi,M2 6 РМ взаимоподчи-няемы (Mi ~RK М2), если взаимоподчиняемы их представители.

Элементарная цепь (Мп)пеш называется элементарной над типом Р {р € 5(Т)), если Мп — Мр для любого п е w. Модель М называется предельной над типом р, если М = (J Мп для некоторой пЕи элементарной цепи (Мп)пеи над типом р и М ф. Мр.

Для любого класса М 6 RK(T)/~^, состоящего из типов изоморфизма взаимоподчиняемых моделей МР1,. ,МРп, обозначим через IL(M) число попарно неизоморфных моделей, каждая из которых предельна над некоторым типом pi.

Теорема 1.1.13 Для любой счетной полной теории Т следующие условия эквивалентны:

1 )1(Т,ш)<и;

2) теория Т мала, |RK(T)| < а) и IL(M) < а; для любого М 6 Ш(Т)/~цк.

При выполнении условия (1) (или (2)) теория Т обладает следующими свойствами: а) RK(T) имеет наименьший элемент Мо (тип изоморфизма простой модели) и IL(Mo) = 0; б) RK(T) имеет наибольший ~ш-класс Mi (класс типов изоморфизма всех простых моделей над реализациями властных типов), и из |RK(T)| >1 следует lL(Mi) > 1; в) если |М| > 1, то IL(M) > 1.

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула:

RK(T)/~™|-i 7(7» = |RK(T)| + £ IL(Mj), i=0 где Mq, ., М|кк(г)/~ЛА-|-1 — все элементы ч.у.м. RK(T)/~rk

Будем говорить, что теория Т обладает свойством согласованного расширения цепей простых над кортежами моделей (СЕР), если для любого типа р Е S(T) любые две предельные модели М. и Л/" над типом р изоморфны. Заметим, что существование изоморфизма предельных моделей равносильно существованию элементарных цепей (Мп)пби и (Мг)пеш над типом р, удовлетворяющих следующим условиям:

1 )М = [jMn,M= U К-, nEu n€ui

2) существуют константные обогащения М'п+1 = (Мп+ъ с)сем^ и К+1 = (Мп+г, c)ceNп€ш,М'о = М0, Л/J = такие, что М'п+1 ~ К+ъ пеш.

На основании теоремы 1.1.13 справедлива следующая теорема для теорий, удовлетворяющих условию (СЕР).

Теорема 1.1.14. Пусть теория Т удовлетворяет (СЕР). Следующие условия эквивалентны:

1) Jp»< w;

2) теория Т мала и |RK(T)| < ш.

При этом справедливо следующее неравенство, которое превращается в равенство при |RK(T)/4rk | < 2;

7(7» < |RK(T)| + |RK(T)/~^ 1-1.

Из теоремы 1.1.14 выводится синтаксическая характеризация класса теорий, имеющих ровно три счетные модели.

Следствие 1.1.15. Для любой полной теории Т следующие условия эквивалентны:

1) 7(7» = 3;

2) теория Т мала, обладает (СЕР) и |RK(Т)| = 2. □

В параграфе 1.2 определяются понятая несущественных и почти несущественных совмещений и раскрасок моделей, при которых типы кортежей при совмещениях определяются типами тех же кортежей, рассматриваемых в исходных моделях. Доказываются характеризации несущественности и почти несущественности совмещений.

Теорема 1.2.6. Пусть Т — совмещение Д,-базируемых теорий Т{, i = 1,2. Следующие условия эквивалентны:

1) совмещение Т несущественно;

2) теория Т (Дх U А>2)-базируема.

Теорема 1.2.7. Пусть Т — совмещение Дг-базируемых теорий i = 1,2. Следующие условия эквивалентны:

1) совмещение Т почти несущественно;

2) теория Т почти (Д1 U Дг)-базируема.

В этом же параграфе устанавливается, что при несущественных совмещениях и раскрасках моделей сохраняются свойства А-стабиль-пости и малости теории.

Теорема 1.2.8. ЕслиТ — почти несущественное совмещение теорий Т\ и Т-2, то теория Т Х-стабилъна (мала) тогда и только тогда, когда Х-стабилъны (малы) теории Т\ и Т^.

Теорема 1.2.12. Если Col — почти несущественная раскраска модели М мощности |Е(Л4)| + и, то теория Th((A4,Col)) А-стабилъна (мала) тогда и только тогда, когда Х-стабильна (мала) теория Th(Ai).

В завершающей части параграфа 1.2 определяется понятие упорядоченной раскраски, приводится достаточное условие несимметричности отношения полуизолированности при наличии упорядоченной раскраски (предложение 1.2.13) и строится пример w-стабильной теории (пример 1.2.3), который показывает, что различные элементарные цепи над одним и тем же типом могут порождать неизоморфные предельные модели, и при этом образуется континуум попарно неизоморфных предельных моделей.

Пусть р(х) — тип из S(T). Тип q(xi,.,xn) £ S(T) называется п п,р)-типом, если q(xi,.,xn) D |J p(xi). Множество всех (n,p)i=1 типов теории T обозначается через 5П;Р(Т), а элементы множества SP(T) ^ (J Sn;P(T) называются р-типами. Тип q(y) из S(T) Iianew^O} зывается -главным, если найдется формула ip(y) Е q(y) такая, что U{p(yi) \yiey}U {ip(y)} Ь q(y).

Пусть М. — счетная насыщенная модель теории Т, имеющей предикатную сигнатуру. Рассмотрим индуцированную системой М подсистему р(М) = (р(М);Е(Т)) сигнатуры £(Т) теории Т с носителем р(М) = {а е М | р(а)} и отношениями R(p(M)) = R(M) П (p(M))rtR\ R е Е(Т). Обозначим через Тр теорию Th(р(М)).

Теория Т называется редуцированной над типом р, если теории Т и Тр допускают элиминацию кванторов.

Предложение 1.3.5 Если р(х) — неглавный властный тип теории Т, не имеющей свойство строгого порядка, то |£>2,р(Т)| = и.

Теорема 1.3.6. Если Т — теория, не имеющая свойства строгого порядка, р(х) — неглавный властный тип, то морлизация Т* теории Т не редуцирована над типом р*.

В этом же параграфе приводится пример а>-стабильной теории, имеющей нер-главный^тип, реализующийся в модели Мр (пример 1.3.1).

Счетный бесконтурный орграф Г = (X, Q) называется властным, если выполняются следующие условия: а) группа автоморфизмов орграфа Г транзитивна; б) формула Q(x, у) эквивалентна в теории ТЬ(Г) дизъюнкции главных формул; в) acl({a}) П |J Qn(T, а) = {а} для любой вершины a G X) г) Г \= Ух, y3z(Q(z, x)AQ(z, у)) (свойство попарного пересечения).

Теорема 1.4.3. Пусть Г = (X; Q) — насыщенный властный орграф, в котором acl({a}) П |J Qn(a,T) = {а} для любого а £ X.

Тогда его транзитивное замыкание ТС(Г) = изоморфно направленному вниз множеству с транзитивной группой автоморфизмов и имеющему один из следующих порядков:

1а) плотный частичный порядок с максимальными антицепями, содержащими а элементов, а £ (w + 1) \ {0};

2) частичный порядок с бесконечным числом покрывающих элементов для любого элемента.

В параграфе 1.5 определяется понятие генерического класса, а также синтаксический способ построения генерической модели. Устанавливается существование генерической модели (теорема 1.5.2), а также показывается, что синтаксический подход обобщает подход семантический (теорема 1.5.3). Определяется понятие самодостаточного ге-нерического класса, устанавливается свойство конечного замыкания для класса моделей теории генерической насыщенной модели, порожденной самодостаточным классом (следствие 1.5.6), приводятся критерии насыщенности генерической модели (теорема 1.5.7), доказывается существование самодостаточных замыкаиий (теорема 1.5.8), а также однородность генерической модели, порожденной самодостаточным классом (следствие 1.5.9). Определяется понятие наследственного класса и показывается, что любая счетная однородная модель порождается некоторым наследственным классом (теорема 1.5.10), а, значит, любая полная счетная теория является генерической (следствие 1.5.11). Устанавливается критерий малости теории (теорема 1.5.12), критерий вложимости одной счетной однородной модели в другую на языке гснерических классов (теорема 1.5.13). Определяется свойство однородного амальгамирования генерического класса То и доказывается, что это свойство при условии конечных замыканий влечет насыщенность генерической модели, а также А(То)-базируемость генерической теории, где А (То) — множество формул, которые получаются навешиванием кванторов существования на конъюнкции формул, определяющих типы порождающего самодостаточного класса (теорема 1.5.14). Замечается, что в условиях теоремы 1.5.14 проверка свойств формул, сохраняющихся при переходе к булевым комбинациям, сводится к проверке свойств формул из множества А (То) (следствие 1.5.15). В частности, если стабильны формулы, входящие в множество А (То), то генерическая теория является стабильиой (следствие 1.5.16).

Приведем формулировку основной теоремы параграфа 1.5:

Теорема 1.5.14. Если (То;^) — самодостаточный класс, обладающий свойством однородного t-амальгамирования, и класс К имеет конечные замыкания, то (То; -генерическая модель М со-насы-щена. При этом любое конечное множество А С М расширяется до своего самодостаточного замыкания А С М, тип tp(A) содер-oicum тип Ф(У) для самодостаточного типа Ф(А) и выполняется

Ф(У) h tp(I).

Теорема 1.6.3. Существует счетный цветной насыщенный орграф М £ Kg, удовлетворяющий вместе со своей теорией Tq следующим условиям:

1) если f : А -»с М, g : А -»с В — с-влоэ/сения и В G Kg, то существует с-вложение h : В -»с М такое, что f = g о h;

2) если А и В — с-изоморфные с-подграфы орграфа М, то tpM(A) = tp м(В);

3) раскраска обеднения М \ Q модели М до графовой сигнатуры Е = {Q} несущественна и Q-упорядочена;

4) формула Q(x, у) является главной формулой в теории Th(.M f

Теорема 1.7.4 Существует малая теория Т, обогащаюищя теорию То и удовлетворяющая условию |RK(T)| = 2.

Теорема 1.8.8. Существует полная теория Т, обогащающая ге-нерическую теорию То и удовлетворяющая условию /(Г, ш) = 3.

Теорема 1.9.1. Для любого конечного предупорядоченного мно-лсества (X, <) с наименьшим элементом Хо и наибольшим классом х\ в упорядоченном фактор-множестве (Х,<)/~ по отношению ~ (где х ~ у х < у и у < х), а также для любой функции f : Х/~ -» и, удовлетворяющей условиям /(£о) = О, f(xi) > 0 при \Х\ > I, f(y) > 0 при \у\ > 1, существует полная теория Т и изоморфизм g : (X, <) ^RK(T) такой, что IL(g(y)) = f(y) для любого у € Х/~.

Теорема 1.10.1. Для любого конечного предупорядоченного множества (X, <) с наименьшим элементом хо и наибольшим классом х\ в упорядоченном фактор-множестве (X, <)/ ~ по отношению ~ (где х ~ у х < у и у < х), а также для любой функции f : X/r-j —> lj U {cj, 2Ш], удовлетворяющей условиям f(xo) = О, f(xi) > О при \Х\ > 1, /(у) > О при \у\ > 1, существует полная малая теория Т и изоморфизм g : (X, <) —> RK(T) такой, что lL(g(y)) = f(y) для любого у £ Х/~.

Теорема 1.10.3. Любая полная малая теория Т с конечным пред-порядком Рудина-Кейслера удовлетворяет следующим условиям: а) система RK(Т) имеет наименьший элемент Мо (тип изоморфизма простой модели) и IL(Mo) = 0; б) система RK(Т) имеет наибольший класс Mi (класс типов изоморфизма всех простых моделей над реализациями властных типов) и из |RK(T)| > 1 следует IL(Mi) > 1; в) если |М| > 1, то IL(M) > 1.

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула: ш(т)/~як\-1 ^

7» = |RK(T)|+ £ IL(Mf), i=о где Мо,., — осе элементы ч.у.м. RK(T)/~RK и

IL(Mj) 6 cj U {oj,cui, 2W} для любого i.

В параграфе 1.11 представляется описание всевозможных предпо-рядков Рудина-Кейслера в малых теориях:

Теорема 1.11.1.1. Для любой малой теории Т предупорядоченное множество RK(T) не более чем счетно, направлено вверх и имеет наименьший элемент.

2. Для любого не более чем счетного предупорядоченного направленного вверх мноэюеетва (X, <), имеющего наименьший элемент, существует малая теория Т, для которой RK(T) ~ (X, <).

Теорема 1.12.2 Существует счетный цветной насыщенный ор

Л. граф М 6 К, удовлетворяющий следующим условиям:

1) если f : A Yq, М, д : А —В — с-вложения и В G Кр; mo существует с-вложение h : В М такое, что f = д о h;

2) если АиВ — с-изоморфные с-подграфы орграфа М, то tp^(A) = tp м{В);

3) раскраска обеднения M\q модели М. до графовой cu2Hamijpu Е =

А А

Q} несущественна и Q-упорядочена;

Л А

4) формула Q(x,y) эквивалентна в теории Th(A4|^) дизъюнкции двух главных формул Q$(x,y) и Q\(x,y).

Теорема 1.12.5. Существует счетный цветной насыщенный орграф М. G К; удовлетворяющий следующим условиям:

1) если f : А —>■cv М, g : А -Ьсю В — су-влоэ/сения и В € Kg? то существует си-влоэюение h : В —>а, М. такое, что f = go h;

2) если АиВ — си-изоморфные cv-подграфы орграфа М, то tp^(A) = tp м(В);

3) раскраска обеднения М\^ модели М до графовой сигнатуры ^ — (Qo, Q1? • • •) Qm • • •) несущественна и Qn-упорядочена для као/с-дого п G и;

4) munpooix) обладает локальным свойством попарного пересечения, но не имеет глобального свойства попарного пересечения.

А v

Генерические модели М и М расширяются до моделей, теории которых имеют заданный предпорядок подчинения и заданную функцию распределения числа предельных моделей.

В главе 2 определяются различные понятия полигонометрий и три-гонометрий групп, обосновывается связь тригонометрий с властными орграфами и представляются различные алгебраические и теоретико-графовые свойства полигонометрий.

Понятия полигонометрии и тригонометрии группы с особым элементом и первоначальные примеры таких полигонометрий и тригонометрий (примеры 2.1.1 и 2.1.2) приводятся в параграфе 2.1. В этом же параграфе доказывается, что любой орграф, индуцируемый бесконтурной тригонометрией, является властным (предложение 2.1.1). Кроме того устанавливаются критерии существования полигонометрий (теоремы 2.1.3 и 2.1.4), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 2.1.5), критерий существования тригонометрии (теорема 2.1.6). Замечается, что в отличие от классических тригонометрий в тригоно-метриях групп имеет место неоднозначность параметров треугольников по трем сторонам (предложение 2.1.8).

Система V = (Р, L,I), где Р — множество точек, L — множество линий, I С Р х L — отношение инцидентности, называется точной (Ai, А2)-псевдоплоскостъю, где Ai, Л2 — некоторые кардиналы, если выполняются следующие предложения:

VpEP 3=Ai/el /(р,/), v/el з=Л2рер /(р,/),

Vpi^P2eP 3*4 eL (/(pi,/)a/(p2,/)), Щф12еь з^реР (i(p,h)M(p,i2))•

Здесь 3=л означает "существует ровно А", а З-1 — "существует не более одного".

Точная (Ai, А2)-псевдоплоскость V называется плоскостью, если выполняется Vpi ф P2 Е Р 3=Ч Е L (/(рх, Z) Л/(р2,0)- Плоскость Р называется проективной плоскостью, если V/i ф I2 Е L 3=1р Е Р (7(р, 1\) А/(р, /2)). Точная (Ai, А2)-псевдоплоскость называется точной Х-псевдоплоскостыо, если Ai = А2 = А.

Пусть G — группа, до — неединичный элемент группы G. Система (G, V, до) (обозначаемая через pm(G, V, до)) называется полигономет-рией группы G с особым элементом до на точной \С\-псевдоплоскости V = (Р, L, е), если выполняются следующие условия: а) для любой линии I Е L группа G действует точно траизитивно на множестве I, т.е. ре = р, [pg\)g2 = p{9i92), Р £ gi,g2 € G, и для любых точек р',р" Е I существует ровно один элемент g Е G такой, что р" = р'д; б) для любых точек pi,p2 Е Р и линий I1J2 £ L, если р\ Е li и Р2 £ /2, то существует такая биекция / : Р -> Р, что i) /(Pi)=P2, /(У = '2; ii) множество /(/) принадлежит множеству L для любой линии

I £ L, и /({/ | р Е 0) = О I /(р) е 0 Для ЛК)бой точки р € Р; iii) для любой линии I £ L и любых точек р', р" € если р" = р'д на /, то /(р") = f(p')g на /(f); в) для любой точки р Е Р множество р "j^ {У | р' = Р9о па некоторой линии /} является линией и отображение р Е Р р L осуществляет биекцию между Р и L.

Отметим, что термин "полигоиометрия" определяет класс описанных выше объектов более точно, чем использованный в ранних работах автора термин "тригонометрия". Указанная замена терминологии произведена по предложению Е. А. Палютина.

Полигоиометрия pm(G, V,go) называется тригонометрией группы G с особым элементом до, если V — плоскость. Тригонометрия pm(G, V,go) будет обозначаться через trm(G,V,go).

Предложение 2.1.1. Если Тдо = (Р; Qgo) — особый граф до-бескон-гпурной тригонометрии trm = trm((7, (Р, L, £),до), тпо Тдо — властный орграф.

Теорема 2.1.3. Пусть до — неединичный элемент группы G, А — некоторое множество G-треугольников. Следующие условия эквивалентны:

1) множество А является go-согласованным;

2) на некоторой точной \С\-псевдоплоскостиТ существует поли-гонометрия pm(G,V,go) такая, что А = S3(G,V,go).

Теорема 2.1.4. Пусть до — неединичный элемент группы G, S — некоторое мнооюество G-многоугольников. Следующие условия эквивалентны:

1) S — go-полигонометрическое мносисество;

2) на некоторой точной \G\-nceedonAOCKOcmuV существует поли-гонометрия pm(G,V,go) такая, что S = S(G,V,go).

Теорема 2.1.5. Следующие условия эквивалентны:

1) pm(G,Vhgo)^pm(G,V2,go);

2) S(G,Vhg0) = S(G,V2,g0) и c(Pi) = c{V2).

Теорема 2.1.6. Если V — связная псевдоплоскость и тройка (G,V,go) образует полигопометрию, то следующие условия эквивалентны:

1) S^(G,V,go) — до-предполпое (go-полное) множество;

2) V — (проективная) плоскость.

Предложение 2.1.8. Пусть trm = trm(G, V,go) — тригонометрия на плоскости V с особым элементом до, у которого ф е. Тогда найдутся G-треугольники \ г Ь 01 ] € S3[G,V,go), i = 1,2, та

Pi 7г J кие, что а\ = а2 ф е, = Ь2 Ф е, с\ = с2 Ф е и a>i ф а2.

В параграфе 2.2 доказывается существование тригонометрии свободной Л-порожденной группы F\ (где Л — произвольный бесконечный кардинал) на проективной плоскости (теорема 2.2.1), устанавливается максимальное число таких тригонометрий (теорема 2.2.2) и показывается существование тригонометрии, имеющей властный орграф (следствие 2.2.4). Кроме того доказываются теорема о расширении полигонометрии подгруппы до полигонометрии группы (теорема 2.2.5), теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы GxF\ для любой группы G и подходящей мощности Л (теорема 2.2.7) и теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы G х А для любой группы G и подходящей абелевой группы А (теорема 2.2.8).

Теорема 2.2.1. Для любого \ >ш группа F\ имеет тригонометрию па некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.2. Для любого X > ш группа Fu имеет 2Л тригонометрий на проективной плоскости.

Следствие 2.2.4. Существует тригонометрия, имеющая властный особый орграф.

Теорема 2.2.5. Если подгруппа Н группы G имеет полигономет-рию на точной \Н\-псевдоплоскости Vh, то группа G имеет тригонометрию на некоторой точной |G|-псевдоплоскости, расширяющей псевдоплоскость Vh

Теорема 2.2.7. Для любой группы G группа G х F\(g)> где A(G) = max{|(j|,a;}, имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.8. Для любой группы G группа G х А, где А = А1 © £ Ai} где А.г <Е {Z2,Z3,Z}, А{ £ Щ U {Ъп | 2 < п < си}, i<\(G)

X(G) = тахЦС?!, А}; имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

В параграфе 2.3 устанавливается критерии вложимости одной полигонометрии в другую (теоремы 2.3.1 и 2.3.3), критерий вложимости полигонометрии в тригонометрию на проективной плоскости (теорема 2.3.8), необходимое условие совместного вложения полигонометрий (предложение 2.3.10).

Теорема 2.3.1. Пусть G\ — неединичная подгруппа группы G2, V\ — связная точная \С\\-псевдоплоскость. Следующие условия эквивалентны:

1) полигонометрия pm(Gi,Vi,go) вложима в полигонометрию (2)S(GhVhgo) = S(G2,V2,go)\G1.

Теорема 2.3.3. Пусть G\ — неедииичная подгруппа группы G2. Следующие условия эквивалентны:

1) полигонометрия pm(Gi,Vi,go) вложима в полигонометрию pm(G2,V2,go)]

2) S((?i, Vi,go) = S{G2,V2,go) \ G\, и число c{V\) не превосходит числа c(V'i) для любой максимальной Gi-подполигонометрии pm(C?i, V'i,go) полигонометрии pm(G2, V2,go)

Теорема 2.3.8. Пусть pm = pm(G, V,go) — некоторая (go-бес-контурная) полигонометрия, имеющая не более А(рт) компонент связности. Следующие условия эквивалентны:

1) полигонометрия рт вложима в некоторую {до-бесконтурную) тригонометрию рт' группы G * -Ра(рш) на проективной плоскости;

2) полигонометрия рт не содержит h.p.-многоугольников.

Предложение 2.3.10. Если полигонометрии ртг и рт2 соответствующих им групп G\ и С?2 вложимы в некоторую полигонометрию рт3 группы содерэ/сащей Gi и G<i, то S(pm1) П S(pm2) = S(pm4) для некоторой полигонометрии рт4 группы П С?2

В параграфе 2.6 определяются полигонометрические аналоги операций над графами, показывается, что любая связная полигонометрия получается некоторой факторизацией древесной полигонометрии (следствие 2.6.4), а также доказываются критерии вложимости цветного графа в полигонометрии:

Теорема 2.6.6 Пусть Г = (М, (Ri | i € /)) — цветной граф с попарно различными отношениями и без петель. Следующие условия эквивалентны:

1) граф Г вложим в некоторую полигонометрию пары групп;

2) граф Г вложим в некоторую тригонометрию группы;

3) граф Г вложим в некоторую тригонометрию группы G = *гел(^2)г * F\, где (bi)i — копия группы z2; F\ — свободная X-порожденная группа, А = |Г| + ш;

4) для любых дуг (ai,6i), (a2,62) £ Qi we существует цвета j ф i в Г, и если (bi,a\) £ Qj, то (62^2) £ Qj

В параграфе 2.7 приводятся критерии для конечных полигонометрий (предложения 2.7.1 и 2.7.2), примеры серий конечных полигонометрий и описание полигонометрий малого порядка.

В главе 3 изучаются алгебраические системы и элементарные теории, связанные с полигопометриями групп. В параграфе 3.1 определяется аксиоматизируемый класс частичных алгебр, соответствующих нолигонометриям (класс полигонометрических алгебр). На языке этих алгебр приводятся критерий существования полигонометрий (теорема 3.1.1), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 3.1.3), доказывается теорема о подобии теории класса полигонометрических алгебр над проективными плоскостями конечно аксиоматизируемой теории (теорема 3.1.10), исследуются вопросы замкнутости класса полигонометрических алгебр относительно операций над частичными алгебрами (предложения 3.1.11 и 3.1.12), а также изучается связь категории гомоморфизмов полигонометрий с категорией гомоморфизмов полигонометрических алгебр (предложениеЗ.1.14).

Теорема 3.1.1. Пусть Л — некоторая частичная алгебра, определенная на носителе G\ U G2- Следующие условия эквивалентны:

1) А является полигонометрической алгеброй над парой групп (GhG2);

2) на некоторой точной (|Gi|, IG2I)-псевдоплоскости V существует полигонометрия pm(Gi,G2,V) такая, что А = Д(рт).

Теорема 3.1.3. Следующие условия эквивалентны:

1) pm(GhG2,V)~pm(GhG2,V);

2) A(pm(GhG2,V)) = A(pm(GhG2,V')) и c(V) = c(V).

Предложение 3.1.11. Класс проективно тригонометрических (соответственно полигонометрических) алгебр с каждой алгеброй А содержит любую ее замкнутую подалгебру и фактор-алгебру.

Предложение 3.1.12. 1. Класс полигонометрических алгебр замкнут относительно свободных произведений.

2. Алгебры Д(рт) и Д(рт') влоэюимы в свободное произведение Д(рт * рт').

3. Гомоморфный образ свободного произведения Д(рт * рт') изоморфен свободному произведению соответствующих фактор-алгебр полигонометрических алгебр Л (рт) и Л (рт').

Предложение 3.1.14. 1. Отображение Л является функтором из категории в категорию К

2. Если рт, рт' — связные тригонометрии, Тр : Д(рт) —> Л(рт') — гомоморфизм, то Тр = Л{ф) для некоторого гомоморфизма (р : рт —> рт'.

3. Если (р : рт —> рт'; ф : рт —> рт' — гомоморфизмы категории и Л((р) = Л(ф), то существует автоморфизм х '■ рт'-^рт' такой, что ф = Х' (Р

Теорема 3.2.4. Если GN(S) — полигонометрическое множество, задающее полигонометрию pm = pm(Gi, G2,V) с с(рт) компонентами связности, то

Aut(pm) GhG2 || RhR2, a\a\a20i2 • • • anttn

GS \) iS c(pm)

При этом, если c(pm) = 1, то группа G\ изоморфна стабилизаторам линий, a G2 — стабилизаторам вершин.

Теорема 3.2.15. Группа G изоморфна группе автоморфизмов некоторой полигонометрии пары групп (Gi,^) тогда и только тогда, когда G изоморфна некоторой группе Gq г с некоторым кардиналом \, удовлетворяющей следующим условиям: а) G\ < Go, G2 < Go, Gx П G2 = {e}; б) группа Go порождается множеством G\ u G2; в) если aio;i. йп^п^п-^п-^п^п = ей ai^i. an^n^n-i^n-i a'na'n = e, a* £ Gfi\{e}, а{ E Сгг\{е}, 1 < i < n, n > 3, mo ani = a'nb an — an — an; г) если a\a\. a:n2an2a;niania;nan = eu a\ai. an-2an2Q;n-i«n-i a'na'n = e, щ E Ci\{e}, E G2\{e}, 1 < i < n, n > 3, mo an-i = a'nb an — anl — an> д) если aia^^a3^3 = e, aj E G\, щ E G2, 1 < i < 3, и аз = e, mo °>i — a2 = e или <^1 = e; е) если a\a\a2a2a^az = e сч E G\, аг- E G2, 1 < i < 3, и a\ = e, mo а2 = аз = е или аз = е.

Теорема 3.3.1. Полигонометрия pm = pm(Gr, G, (P,L, £)) является полигонометрией группы G с некоторым особым элементом тогда и только тогда, когда найдется точка р 6 Р, линии I' £ L, для которых выполняются следующие условия: а)р#1,ре /', ШГф 0; б) стабилизатор точки р совпадает со стабилизатором линии I.

Теорема 3.5.4. Пусть Т — теория бесконечной всюду конечно определенной полигонометрии pm = pm(Gri, G2, V). Тогда

1) I(T, А) = 1 для любого \>ш, если Gi,G2 — конечные группы и d(pm) < оо;

2) 1(Т,ш) = и и /(Т, А) = 1 для любого А > и, если G\,G2 — конечные группы и d(pm) = оо;

3) I(T,u;a) = (max(\Gi\,\G2\,\a\))U}, если и < max(|<?i|, \G2\) < ша.

Теорема 3.6.2. Любая теория Т из класса Tfi удовлетворяет одному из следующих условий:

1) 1 < d{T) < 2, /(Т, \Т\) = \а + ш\, где \Т\ = иа, и /(Г, А) - 1, если А > \Т\;

2) d(T) = оо, Т — тотально трансцендентная теория бесконечного ранга Морли и 1(Т,ша) = (max(Ao, |o;|))w, где Aq — число точек сочленения минимальной простой модели, лежащей в \Т\+-насыщенной модели теории Т, ша > \Т\.

В параграфе 3.7 с помощью модификации конструкции Хрушовско-го доказывается существование w-стабилыюй тригонометрии группы G * Fu на проективной плоскости для любой счетной группы G.

Теорема 3.7.35. Для любой счетной группы G и свободной счетно порожденной группы существует ш-стабильная тригонометрия группы G * Fu на проективной плоскости.

В параграфе 3.8 определяется понятие тригонометрии пары групп с функциями sin и cos (SC-тригонометрии) и устанавливаются следующие теоремы.

Теорема 3.8.1. Теория класса всех тригонометрических алгебр, соответствующих правильным SC-тригонометриям (со свойством подобия), подобна конечно аксиоматизируемой теории.

Теорема 3.8.2. Любая тригонометрия пары (кольцо с единицей, группа) влоэюима в некоторую SC-тригонометрию.

В параграфе 3.10 определяются понятия обобщенных и нечетких полигонометрии, позволяющие рассматривать произвольное замкнутое множество матриц сторон и углов (SA-матриц) в виде множества наборов параметров многоугольников некоторой обобщенно полигоно-метрической системы, а также устанавливать вероятностные значения параметров многоугольников по системам определяющих параметров. В этом параграфе приводятся следующая теорема о существовании обобщенной полигонометрии, соответствующей заданному замкнутому множеству SA-матриц (теорема 3.10.1), теорема о включении обобщенных полигонометрий во властные орграфы (теорема 3.10.3), а также вероятностный аналог теоремы 3.10.1 (теорема 3.10.5).

Теорема 3.10.1. Для любого замкнутого мноэюества SA-матриц S над парой групп (C?i, G2) существует обобщенная полигоиометрия gpm = gpm(Gi, G2,V), для которой S(gpm) = S.

Теорема 3.11.1. Пусть Col — раскраска не имеющей h.p.-многоугольников связной полигонометрии pm = pm(G, V, до) бесконечной группы G. Следующие условия эквивалентны:

1) Col — внутренне несущественная раскраска-,

2) выполняются следующие условия: i) для любых точек р\ и р2 если Col(pi) = Со \(р2) и Si — {pi,p'i)-маршрут, то существует точка р'2 такая, что некоторый (р2,р2)-маршрут S2 имеет те же параметры сторон и углов, что и маршрут Si, и при этом Col^) = Col(p'2); ii) для любых точек Pi,P2,P3,Pi,P2>P3 если Pi Ф Р2> Col(pi) = Col^'j), Col(p2) = Со1(У2) и существует (pi,p2)-маршрут Si, {р2,рз)~ маршрут S2, {p'i,p2)-маршрут S^ и (р'2, р'%)-маршрут S'2 такие, что маршруты Siл S2 и S[" S'2 имеют одинаковые параметры сторон и углов, то Со1(рз) = Со1(рз).

Теорема 3.12.7. Функция спектра теории Т* имеет следующий вид:

1(Т*,сио) = если TJ, i Е ш — счетно категоричные теории, не индуцирующие новых счетных систем, и 1(Т*, о>о) = 2W° в противном случае;

1(Т*, и>а) = (Аа)ш при а > 1, где Ха — кардинал, равный максимуму из + числа моделей теорий Ti мощности < а и числа новых систем теорий Ti мощности < а.

Результаты диссертации были представлены на Девятой Всесоюзной конференции по математической логике (Ленинград, 1988), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993; Москва, 1998; Москва, 2004; Екатеринбург, 2005), на Советско-Французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, 1990), на Суслинских конференциях (Саратов, 1991, 1994), на XI Межреспубликанской конференции по математической логике (Казань, 1992), на Казахско-Французских коллоквиумах по теории моделей (Алма-Ата, 1994; Караганда, 2000), на Международных конференциях по математической логике памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1994, 1999, 2001, 2004), на Летней школе по теории моделей и универсальной алгебре (Эрлагол, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005), на Корейско-Российском Международном симпозиуме по Науке и Технологии (Ульсан, 1997), на Летней школе по универсальной алгебре и упорядоченным множествам (Велке Карловице, Чехия, 1998), на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" (Волгоград, 1999), на Международной конференции, посвященной 60-летию со дня рождения академика Ю.Л.Ершова (Новосибирск, 2000), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002), на Научных сессиях НГТУ (Новосибирск, 2003, 2005, 2006), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета (Москва, 2004), на Международной конференции "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004), на Французско-Казахстанской конференции "Теория моделей и алгебра" (Астана, 2005), на Девятой Азиатской логической конференции (Новосибирск, 2005), на Международной алгебраической конференции к 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шев-рина (Екатеринбург, 2005), на Международной конференции "Методы логики в математике III" (Санкт-Петербург, 2006), на Международной школе "Теория моделей и ее применения в компьютерной науке" (Алма-Ата, 2006), на Российской школе-семинаре "Синтаксис и семантика логических систем" (Иркутск, 2006).

Автор выступал с докладами о результатах диссертации на заседаниях семинаров в Новосибирске (семинар "Теория моделей", 19872006; семинар "Алгебра и логика", 1993, 1995, 2001; семинар "Теория групп", 1999; семинар "Эварист Галуа", 2002; семинар "Теория вычислимости", 2005; Общеинститутский математический семинар ИМ СО РАН, 2005), в Москве (1991, 2000, алгебраический семинар МГУ), в Париже, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Лионе, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Екатеринбурге (2003, семинар "Алгебраические системы"), в Урбане, США (2004, семинар по теории моделей), в Чикаго, США (2004, семинар по теории моделей).

Основные результаты опубликованы в работах [60]-[79], [207]-[212], [232]—[251]; часть из них включена в учебник С. В. Судоплатова и Е. В. Овчинниковой [26].

Автор выражает глубокую благодарность своему Учителю Евгению Андреевичу Палютину за внимание, проявленное к работе, конструктивную критику и постоянную поддержку, без которых появление данной диссертации было бы вряд ли возможным.

Автор глубоко признателен за большую помощь и поддержку заведующему кафедрой алгебры и математической логики НГТУ Александру Георгиевичу Пинусу.

Заключение диссертации по теме "Математическая логика, алгебра и теория чисел"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем некоторые открытые вопросы и проблемы, связанные с эренфойхтовыми теориями и полигоиометриями групп.

1. (Проблема Лахлана для стабильных теорий) Существует ли стабильная эренфойхтова теория?

2. (Проблема Лахлана для простых теорий) Существует ли простая эренфойхтова теория?

3. (Проблема Пилая) Существует ли эренфойхтова теория Т с условием dcl(0) f= Т?

4. Описать властные орграфы, обогащаемые до структур неглавных властных типов.

5. Имеют ли генерические теории, построенные в параграфах 1.8 — 1.10, свойство строгого порядка?

6. Существует ли бесконтурная тригонометрия trm некоторой группы на плоскости, теория особого графа которой мала и стабильна?

7. Существует ли тригонометрия группы Z на проективной плоскости?

8. Существуют ли полигонометрии групп Ър (где р — простое число, р > 5) с особыми элементами?

9. Существуют ли две конечные полигонометрии, не вложимые в некоторую общую конечную полигонометрию ?

10. Будет ли любой конечный граф вложим в некоторую конечную полигонометрию ?

И. Проблема классификации конечных полигонометрий и проблема описания числа связных конечных полигонометрий рт = pm((ji, G2,"P) как функции, зависящей от |Gi|, |С?2| и d(pm).

12. Какие свойства универсальных алгебр могут быть проинтерпретированы в виде свойств частичных алгебр, ассоциированных с полигонометриями пар групп?

13. Проблема классификации групп автоморфизмов конечных полигонометрий.

14. Проблема описания функций спектра полигонометрических теорий.

15. Существует ли тригонометрия пары (коммутативное кольцо с единицей, группа), обладающая свойством подобия и не вложимая ни в какую SC-тригонометрию со свойством подобия ?

16. Исследовать класс конечных полигонометрий с условиями симметрии.

17. Найти критерии изоморфизма и вложимости для обобщенных полигонометрий.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Судоплатов, Сергей Владимирович, Новосибирск

1. Диссертации и книги

2. Белеградек О. В. Теория моделей унитреугольпых и экзистенциально замкнутых групп: Дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.06. — Новосибирск, 1995. — 213 с.

3. Гильберт Д., Коп-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.

4. Гончаров С. С., Ершов Ю. Л. Конструктивные модели. — Новосибирск: Научная книга, 1999.

5. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск: Научная книга, 1999.

6. Данилов В. В. Точная полигопометрия. — М., 1953.

7. Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. — М.: Наука, 1980.

8. Ершов Ю. Л., Палютпип Е. А. Математическая логика. — СПб.: Лань, 2004.

9. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982.

10. Kapmecu Ф. Введение в конечные геометрии. — М.: Наука, 1980.

11. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. — М.: Мир, 1977.

12. Кокорин А. И., Копытпов В.М. Линейно упрорядоченные группы. — М.: Наука, 1972.

13. Кокстпер X. Действительная проективная плоскость. — М.: ГИФМЛ, 1959.

14. Кузин Н. А., Лебедев Н. Н. Практическое руководство по городской и инженерной полигонометрии. — М., 1954.

15. Лекции по теории графов/ В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. — М.: Наука, 1990.

16. Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. — М.: Мир, 1989.

17. Лысенко В. И. Николай Иванович Фусс (1755-1826). — М.: Наука, 1975.

18. Общая алгебра. Т. 1, 2 / Под ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990.

19. Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968.

20. Пинус А.Г. Основы универсальной алгебры. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.

21. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. — М.: Мир, 1976.

22. Справочная книга по математической логике. Ч. 1, Теория моделей / Под ред. Дж. Барвайса. — М.: Наука, 1982.

23. Скорняков JI. А. Элементы общей алгебры. — М.: Наука, 1983.

24. Степанов Я. Н. Сферическая тригонометрия. М., Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1948.

25. Судоплатов С. В. Базируемость стабильных теорий и свойства счетных моделей с мощными типами: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. — Новосибирск, 1990. — 142 с.

26. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Дискретная математика: Учебник. — М.: ИНФРА-М, Новосибирск: НГТУ, 2005.

27. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебник. М.: ИНФРА-М, Новосибирск: НГТУ, 2004.

28. Харари Ф. Теория графов. — М.: Едиториал УРСС, 2003.

29. Ширшов А. И., Никитин А. А. Алгебраическая теория проективных плоскостей. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1987.

30. Baldwin J. Т. Fundamentals of Stability Theory. — Springer-Verlag, 1988.

31. Baldwin J. T. Abstract elementary classes. — Book in preparation, 2004.

32. Bonato A.C.J. Colourings, Generics, and Free Amalgams. — Ph. D. Thesis. University of Waterloo, 2004.

33. Burmeister P. A Model Theoretic Oriented Approach to Partial Algebras. Math. Res. — Academie-Verlag, Berlin, 1986.

34. Dembowski P. Finite geometries. — Berlin — New York: Springer-Verlag, 1968.

35. Fraisse R. Theory of Relations. — Amsterdam: North-Holland, 1986.

36. Harizanov V. Handbook of Recursive Mathematics, vol. 1 Chapter 1: Pure Computable Model Theory — George Washington University, 2006.

37. Hasson A. In Search of New Strongly Minimal Sets. — Ph. D. Thesis. Hebrew University, 2004.

38. Kolesnikov A. Generalized amalgamation in simple theories and characterization of dependence in non-elementary classes. — Ph. D. Thesis. Carnegie Mellon University, 2004.

39. Pillay A. An introduction to stability theory. — Oxford University Press, 1983.

40. Poizat B.P. Cours de th£orie des modeles. — Villeurbane: Nur Al-Mantiq Wal-Ma'rifah, 1985.

41. Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. — Amsterdam: North-Holland, 1990.

42. Wagner F.O. Simple Theories. — Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 2000.1. Статьи

43. Байсалов Е.Р. Счетные модели суперстабильных теорий // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, №3. С. 265-283.

44. Байсалов Е.Р. Счетные модели малых стабильных теорий // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, №4. С. 9-15.

45. Байсалов Е.Р. Число счетных о-мипимальпых моделей // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: Изд-во КарГУ, 1995. С. 25-30.

46. Гаврюшкин А. Н. Эренфойхтовы теории и их конструктивные модели // Выпускная квалификационная работа бакалавра. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2004.

47. Гончаров С. С., Пурмахдиан М. Итерированные обогащения моделей счетных теорий и их приложения // Алгебра и логика. 1995. Т. 34, №6. С. 623-645.

48. Заффе Ю., Палютин Е. А., Старченко С. С. Модели суперстабильиых хориовых теорий // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, №3. С. 278-326.

49. Лысенко В. И. Полигонометрическая работа в России в 18 веке // Истор.-Мат. Исслед. 1959. Т. 12. С. 161-178.

50. Лысенко В. И. О математических работах А. И. Лекселя // История и методология естественных наук, XXV. — Москва. 1980. — С. 104-112.

51. Мальцев А. И. Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр некоторых типов // Сиб. матем. журн. 1962. Т. 3, №5. С. 729-743.

52. Мустафин Т. Г. О числе счетных моделей счетной полной теории // Алгебра и логика. 1981. Т. 20, №1. С. 69-91.

53. Омаров Б. Несущественные расширения полных теорий // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, №5. С. 542-550.

54. Омарова Г. А. Конструктивные модели эренфойхтовых теорий // Теоретико-модельная алгебра. — Алма-Ата: Изд-во КазГУ, 1989. — С. 105-117.

55. Палютин Е. А. Модели со счетно категоричными универсальными теориями // Алгебра и логика. 1971. Т. 10, №1. С. 23-32.

56. Палютин Е. А., Старченко С. С. Хорповы теории с немаксимальным спектром // Теория моделей и ее применения. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — С. 108-162.

57. Перетятъкин М. Г. О полных теориях с конечным числом счетных моделей // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, №5. С. 550-576.

58. Перетятъкин М. Г. Теории с тремя счетными моделями // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, т. С. 224-235.

59. Пунинская В.А. Гипотеза Воота для модулей над наследственными нетеровыми первичными кольцами // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, №6. С. 171Ц-172.

60. Ряскин А. Н. Число моделей полных теорий унаров // Теория моделей и ее применения. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — С. 162-182.

61. Судоплатов С. В. О мощных типах в малых теориях // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, №4. С. 118-128.

62. Судоплатов С. В. Тригонометрии групп и систем // Структурные свойства алгебраических систем. Тематический сборник научных трудов. — Караганда: Изд-во КарГУ, 1990. С. 12-33.

63. Судоплатов С. В. Тригонометрии на точной псевдоплоскости // Труды Советско-Французского коллоквиума по теории моделей. Караганда: Изд-во КарГУ, 1990. — С. 185-201.

64. Судоплатов С. В. Типовая редуцированность и мощные типы // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 33, т. С. 150-159.

65. Судоплатов С. В. Об отношении вложимости в классе тригонометрий групп // Алгебра и логика. 1994. Т. 33, №4. С. 429-447.

66. Судоплатов С. В. О тригонометриях групп на проективной плоскости // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, №2. С. 419-431.

67. Судоплатов С. В. О тригонометриях, не вложимых в тригонометрии с малыми теориями // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: Изд-во КарГУ, 1995. — С. 103-110.

68. Судоплатов С. В. О тригонометриях конечных групп и групп с подгруппами, имеющими тригонометрии // Сиб. матем. жури. 1996. Т. 37, №2. С. 419-423.

69. Судоплатов С. В. Об одной оценке сложности теорий графов // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, №3. С. 700-703.

70. Судоплатов С. В. Полигонометрии пар групп // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №4. С. 925-931.

71. Судоплатов С. В. Частичные алгебры, ассоциированные с полигонометриями пар групп // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, №4. С. 454-476.

72. Судоплатов С. В. Тригонометрии с функциями Sin и Cos // Алгебра и теория моделей. Сборник трудов / Под. ред. А. Г. Пинуса и К. Н. Пономарева. — Новосибирск, Изд-во НГТУ. 1997. С. 169-172.

73. Судоплатов С. В. Число моделей теорий всюду конечно определенных полигонометрий // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, №3. С. 689-694.

74. Судоплатов С. В. Транзитивные размещения алгебраических систем // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, №6. С. 1347-1351.

75. Судоплатов С. В. О классификации полигонометрий групп // Мат. труды. 2001. Т. 4, №1. С. 174-202.

76. Судоплатов С. В. Об ациклических гиперграфах минимальных простых моделей // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, №6. С. 1408-1412.

77. Судоплатов С. В. w-Стабильные тригонометрии на проективной плоскости // Мат. труды. 2002. Т. 5, №1. С. 135-166.

78. Судоплатов С. В. Несущественные совмещения и раскраски моделей // Сиб. матсм. журн. 2003. Т. 44, №5. С. 1132-1141.

79. Судоплатов С. В. Полные теории с конечным числом счетных моделей. I // Алгебра и логика. 2004. Т. 43, №1. С. 110-124.

80. Судоплатов С. В. Полные теории с конечным числом счетных моделей. II // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, №3. С. 314-353.

81. Antippa A. F. The combinatorial structure of trigonometry // Internat. J. Math, and Math. Sci. V. 2003, No. 8. P. 475-500.

82. Aref'ev R., Baldwin J. Т., Mazucco M. Classification of (^-invariant amalgamation classes // J. Symbolic logic. 1999. V. 64. P. 1743-1750.

83. Ash C. J., Millar T. S. Persistently finite, persistently arithmetic theories // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 89. P. 4874-492.

84. Baldwin J. Т., Lachlan A. H. On strongly minimal sets // J. Symbolic Logic. 1971. V. 36, No. 1. P. 79-96.

85. Baldwin J. T. An almost strongly minimal non-Desarguesian projective plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 342, No. 2. P. 695-711.

86. Baldwin J. Т., Itai M. ^-generic projective planes have Morley rank two or infinity // Math. Log. Quart. 1994. V. 40. P. 143-152.

87. Baldwin J. T. Some projective planes of Lenz-Barlotti class I // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123, No. 1. P. 251-256.

88. Baldwin J. Т., Shi N. Stable generic structures // Ann. Pure and Appl. Logic. 1996. V. 79. P. 1-35.

89. Baldwin J. T. Problems on 'Pathological' Structures / Preprint. University of Illinois at Chicago, 1997.

90. Baldwin J. Т., Shelah S. DOP and FCP in generic theories // J. Symbolic Logic. 1998. V. 63, No. 2. P. 427-438.

91. Baldwin J. T. Stable amalgamation. Dedicated to the memory of A.I.Maltsev / Preprint. University of Illinois at Chicago, 2000.

92. Baldwin J. Т., Holland K. Constructing w-stable structures: fields of rank 2 // J. Symbolic Logic. 2000, V. 65. P. 371-391.

93. Baldwin J. Т., Holland K. Constructing w-stable structures: Computing rank // Fund. Math. 2001, V. 170. P. 1-20.

94. Baldwin J. T. Rank and homogeneous structures // Report No. 10, 2000/2001. Institute Mittag-Lefler. The Royal Swedish Academy of Sciences. 2001.

95. Baldwin J. Т., Holland K. Constructing w-stable structures: Rank к fields // Notre Dame J. of Formal Logic. 2003, V. 44, No. 3. P. 139-147.

96. Baldwin J. Т. Expansions of geometries // J. Symbolic Logic. 2003. V. 68, No. 3. P. 803-827.

97. Baldwin J. T. Notes on Quasiminimality and Excellence / Preprint. University of Illinois at Chicago, 2004.

98. Baldwin J. T. The metamathematics of random graphs / Preprint. University of Illinois at Chicago, 2005.

99. Baudisch A. A new uncountably categorical group // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 48. P. 3889-3940.

100. Baudisch A. Closure in Ho-categorical bilinear maps // J. Symbolic Logic. 2000. V. 65. P. 914-922.

101. Baudisch A. Generic variations of models of T // J. Symbolic Logic. 2002. V. 67. P. 1025-1038.

102. Baudisch A., Martin-Pizarro A., Ziegler M. Hrushovskis Fusion / Preprint. Mathematisches Institut, Freiburg, 2005.

103. Baudisch A., Martin-Pizarro A., Ziegler M. On fields and colors // Algebra and Logic. 2006. V. 45, No. 2. P. 92-105.

104. Baudisch A., Martin-Pizarro A., Ziegler M. Red fields / Preprint. Mathematisches Institut, Freiburg, 2005.

105. Baudisch A., Martin-Pizarro A., Ziegler M. Fusion over a vector space / Preprint. Mathematisches Institut, Freiburg, 2005.

106. Bouscaren E., Poizat B. Des Belles Paires Aux Beaux Uples // J. Symbolic Logic. 1988. V. 53, No. 2. P. 434-442.

107. Buechler S. Vaught's conjecture for superstable theories of finite rank / Preprint. University of Notre Dame, 1993.

108. Buechler S. Classification of small weakly minimal sets, I / J.T. Baldwin (ed.), Classification Theory, Proceedings, Chicago, 1985. — Springer, 1987. — P. 32-71.

109. Calvert W., Harizanov V.S., Knight J.F., Miller S. Index Sets of Computable Structures / Preprint. University of Notre Dame, 2005.

110. Chapuis O., Hrushovski E., Koiran P., Poizat B. La limite des theories de courbes g£n6riques // J. Symbolic Logic. 2002. V. 67. P. 24-34.

111. Chatzidakis Z., Pillay A. Generic structures and simple theories // Ann. Pure and Appl. Logic. 1998. V. 95. P. 71-92.

112. Evans D.M. Ho-categorical structures with a predimension // Ann. Pure and Appl. Logic. 2002. V. 116. P. 157-186.

113. Evans D.M., Pantano M.E. No-categorical structures with arbitrarily fast growth of algebraic closure 11 J. Symbolic Logic. 2002. V. 67. P. 897-909.-115. Evans D.M. Ample dividing // J. Symbolic Logic. 2003. V. 68. P. 1385-1402.

114. Evans D.M. Some remarks on generic structures / Preprint. School of Mathematics. Norwich. 2003.

115. Fraisse R. Sur certaines relations qui g£^ralisent l'ordre des nombres rationnels // C.R. Acad. Sci. Paris. 1953. V. 237. P. 540-542.

116. Goncharov S.S. Morley's problem (abstract) 11 Bulletin of Symbolic Logic. 1997. V. 99, No. 3.

117. Goode J.B. Hrushovski's geometries / Seminarberichte, Humbolt Universitat zu Berlin, 104. 1989. P. 106-117.

118. Harnik V., Harrington L. Fundamentals of forking // Ann. Pure and Appl. Logic. 1984. V. 26. No. 3. P. 245-286.

119. Hart В., Starchenko S., Valeriote M. Vaught's conjecture for varieties // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 342. P. 173-196.

120. Hart В., Hrushovski E., Laskowski M.S. The uncountable spectra of countable theories 11 Ann Math. 2000. V. 152, No. 1. P. 207-257.

121. Hasson A. Interpreting Structures of Finite Morely Rank in Strongly Minimal Structures / Preprint. Einstein Institute of Mathematics. Jerusalem, 2004.

122. Hasson A. Collapsing structure and a theory of envelopes / Preprint. Einstein Institute of Mathematics. Jerusalem, 2004.

123. Hasson A., Hils M. Fusion over sublanguages // J. Symbolic Logic. 2006. V. 71, No. 2. P. 361-398.

124. Hasson A., Hrushovski E. DMP in strongly minimal structures / Preprint. Einstein Institute of Mathematics. Jerusalem, 2005.

125. Hasson A. Interpreting structures of finite morley rank in strongly minimal sets / Preprint. Einstein Institute of Mathematics. Jerusalem, 2005.

126. Herwig В., Loveys J., Pillay A., Tanovic P., Wagner F. Stable theories with no dense forking chains 11 Arch. Math. Logic. 1992. V. 31. P. 297-304.

127. Herwig B. Weight u) in stable theories with few types // J. Symbolic Logic. 1995. V. 60, No. 2. P. 353-373.

128. Herwig B. Extending Partial Automorphisms on Finite Structures // Combinatorica. 1995. V. 15. P. 365-371.

129. Herwig B. Extending partial isomorphisms for the small index property of many omega-categorical structures 11 Israel J. Math. 1998. V. 107. P. 93-123.

130. Herwig В., Lascar D. Extending partial automorphisms and the profinite topology on free groups 11 Transactions of the AMS. 1999. V. 352, No. 5. P. 1985-2021.

131. Holland К. An introduction to fusions of strongly minimal sets: The geometry of fusions // Archive for Math. Logic. 1995. V. 34. P. 395-413.

132. Holland K. Strongly minimal fusions of vector spaces // Ann. Pure and Appl. Logic. 1997. V. 83, No. 1. P. 1-22.

133. Holland K. Model completeness of the new strongly minimal sets // J. Symbolic Logic. 1999, V. 64, No. 3. P. 946-962.

134. Hrushovski E., Pillay A. Weakly normal groups // Logic Colloquium '85. — North Holland, 1987. P. 233-244.

135. Hrushovski E. A stable No-categorical pseudoplane / Preprint. Hebrew University, Jerusalem, 1988.

136. Hrushovski E. Finitely based theories 11 J. Symbolic Logic. 1989, V. 54, No. 1. P. 221-225.

137. Hrushovski E. Strongly minimal expansions of algebraically closed fields // Israel J. Math. 1992. V. 79. P. 129-151.

138. Hrushovski E. Extending partial isomorphisms of graphs // Combinatorica. 1992. V. 12. P. 204-218.

139. Hrushovski E. A new strongly minimal set // Ann. Pure and Appl. Logic. 1993. V. 62. P. 147-166.

140. Hrushovski E., Zil'ber В. I. Zariski geometries // Journal of the American Mathematical Society. 1996. V. 9, No. 1. P. 1-55.

141. Ikeda K., Pillay A., Tsuboi A. On theories having three countable models // Math. Logic Quaterly. 1998. V. 44. P. 161-166.

142. Ikeda K. Minimal But Not Strongly Minimal Structures with Arbitrary Finite Dimensions. J. Symbolic Logic. 2001. V. 66, No. 1. P. 117-126.

143. Ikeda K. A Note on Generic Projective Planes // Notre Dame Journal of Formal Logic. 2002. V. 43, No. 4. P. 249-254.

144. Ikeda K., Kikyo H., Tsuboi A. On generic structures with a strong amalgamation property / Preprint, 2006.

145. Ivanov A. Generic expansions of w-categorical structures and semantics of generalized quantifiers 11 J.Symbolic Logic. 1999. V. 64, No. 2. P. 775-789.

146. Jonsson B. Universal relational systems // Math. Scand. 1956. V. 4. P. 193-208.

147. Jonsson B. Homogeneous universal relational systems // Math. Scand. 1960. V. 8. P. 137-142.

148. Kechris A. S., Rosendal C. Turbulence, amalgamation and generic automorphisms of homogeneous structures 11 arXiv:math.LO/0409567. 2006. V. 4. 50 p.

149. Khoussainov В., Nies A., Shore R.A. Recursive models of theories with few models // Notre Dame J. Formal Logic, 1997. V. 38. P. 165-178.

150. Kim В., Pillay A. Simple theories // Ann. Pure and Appl. Logic. 1997. V. 88. P. 149164.

151. Kim B. On the number of countable models of a countable supersimple theory // J. London math. Soc. 1999. V. 60, No. 2. P. 641-645.

152. Kim В., Kolesnikov A.S., Tsuboi A. Generalized amalgamation and n-simplicity. — Preprint, 2005.

153. Knight R. W. The Vaught Conjecture: A Counterexample. — Preprint, 2002.

154. Kueker D. W., Laskowski C. On generic structures // Notre Dame J. of Formal Logic. 1992. V. 33. P. 175-183.

155. Lachlan A. H. On the number of countable models of a countable superstable theory // Proc. Int. Cong. Logic, Methodology and Philosophy of Science. Amsterdam: North-Holland, 1973. P. 45-56.

156. Lachlan A. H. Two conjectures regarding the stability of ubcategorical theories // Fund. Math. 1974. V. 81. P. 133-145.

157. Lascar D. Ranks and definability in superstable theories // Israel J. Math. 1976. V. 23, No. 1. P. 53-87.

158. Lascar D. Generalization de l'ordre de Rudin-Keisler aux types d'une theorie // Colloq. Int. Log. 1975. Clermont-Ferrand, 1977. P. 73-81.

159. Lascar D. Ordre de Rudin-Keisler et poids dans les theories stables // Z. Math. Logic Grundlagen Math. 1982. V. 28. P. 413-430.

160. Laskowski M.C., A simpler axiomatization of the Shelah-Spencer almost sure theories // Israel J. Math, (to appear)

161. Loveys J., Tanovic P. Countable models of trivial theories which admit finite coding // J. Symbolic Logic. 1996. V.61, No. 4. P. 1279-1286.

162. Low L.F., Pillay A. Superstable theories with few countable models // Archive for Math. Logic. 1992. V. 31. P. 457-465.

163. Marcus L. The number of countable models of a theory of unary function // Fundam. Math. 1980. V. 108. P. 171-181.

164. Mayer L. Vaught's conjecture for o-minimal theories // J. Symbolic Logic. 1988. V.53, No. 1. P. 146-159.

165. McCleary J. Trigonometries // American Math. Monthly. 2002. V. 109. P. 623-638.

166. Millar T. Stability, complete extensions, and the number of countable models // Aspects of Effective Algebra (J.N.Grossley, ed.).Yarra Glen: Upside Down A Book Company, 1981. P. 196-205.

167. Millar Т. Persistently finite theories with hyperarithmetic models // IVans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 278. P. 91-99.

168. Millar T. Decidable Ehrenfeucht theories // Proc. Sympos. Pure Math. 1985. V. 42. P. 311-321.

169. Millar T. Finite extensions and the number of countable models // J. Symbolic Logic. 1989. V. 54, No. 2. P. 264-270.

170. Miller A. Vaught's conjecture for theories of one unary operation // Rindam. Math. 1981. V. 111. P. 135-141.

171. Morley M. Countable models of Ki-categorical theories // Israel J. Math. 1967. V. 5, No. 1. P. 65-72.

172. Morley M. The number of countable models // J. Symbolic Logic. 1970. V.35. P. 14-18.

173. Newelski L. A proof of Saffe's conjecture // Fundam. Math. 1990. V. 134 P. 143-155.

174. Newelski L. Vaught's conjecture for some meager groups // Israel J. Math. 1999. V.112. P. 271-300.

175. Newelski L. Meager Forking and m-Independence // Doc. Math. 1998. Extra Volume ICM. II. P. 33-42.

176. Peatfield N., Zilber B. Analitic Zariski structures and the Hrushovski construction // Ann. Pure and Appl. Logic. 2004. V. 132. P. 127-180.

177. Pillay A. Number of countable models // Journal of Symbolic Logic. 1978. V. 43. P. 492-496.

178. Pillay A. Theories with exactly three countable models and theories with algebraic prime models // J. Symbolic Logic. 1980. V. 45. P. 302-310.

179. Pillay A. Instability and theories with few models // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. V. 80. P. 461-468.

180. Pillay A. Dimension theory and homogeneity for elementary extensions of a model // J. Symbolic Logic. 1982. V. 47. P. 147-160.

181. Pillay A. Countable models of stable theories // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 89, No. 4. P. 666-672.

182. Pillay A. Superstable groups of finite rank without pseudoplanes // Ann. Pure and Appl. Logic. 1986. V. 36. P. 95-101.

183. Pillay A. Stable theories, pseudoplanes and the number of countable models // Ann. Pure and Appl. Log. 1989. V. 43, No. 2. P. 147-160.

184. Pillay A. Countable models of 1-based theories // Arch. Math. Logic. 1992. V. 31. P. 163-170.

185. Pillay A., Tsuboi A. Amalgamations preserving w-categoricity // J. Symbolic Logic. 1997. V. 62. P. 1070-1074.

186. Poizat B. Le carre de l'egalitS // J. Symbolic Logic. 1999, V. 64, No. 3. P. 1339-1355.

187. Poizat В. L'6galit6 au cube // J. Symbolic Logic. 2001. V. 66. P. 1647-1676.

188. Poizat B. Amalgames de Hrushovski. Une tentative de classification // Tits buildings and the model theory of groups (Wiirzburg, 2000). London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 291. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. P. 195-214.

189. Pourmahdian M. Simple generic structures // Ann. Pure and Appl. Logic. 2003. V. 121. P. 227-260.

190. Puninskaya V. Vaught's conjecture for modules over a Dedekind prime ring // Bull. London Math. Soc. 1999. V. 31. P. 129-135.

191. Puninskaya V., Toffalori C. Vaught's Conjecture and Group Rings // Comm. Algebra. 2005. V. 33. P. 4267-4281.

192. Rajani R. Generic structures / Preprint. University of Amsterdam, 2002.

193. Reed R. A decidable Ehrenfeucht theory with exactly two hyperarithmetic models // Ann. Pure and Appl. Log. 1991. V. 53, No. 2. P. 135-168.

194. Rudin M.E. Partial orders on the types of (3N // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 155. P. 353-362.

195. Ryll-Nardzewski C. On the categoricity in power < No // Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Math., Astron., Phys. 1959. V. 7. P. 545-548.

196. Saffe U. An introduction to regular types. — Preprint, 1981.

197. Saffe U. The number of uncountable models of w-stable theories // Ann. Pure and Appl. Log. 1983. V. 24, P. 231-261.

198. Shelah S. End extensions and numbers of countable models // J. Symbolic Logic. 1978. V. 43. P. 550-562.

199. Shelah S. Simple unstable theories // Ann. Math, logic. 1980. V. 19. P. 177-203.

200. Shelah S., Harrington L., Makkai M. A proof of Vaught's conjecture for w-stable theories 11 Israel J. Math. 1984. V. 49. P. 259-280.

201. Shelah S. Categoricity for abstract classes with amalgamation // Ann. Pure and Appl. Logic. 1999. V. 98. P. 261-294.

202. Solecki S. Extending Partial Isometries, Israel J. Math. 2005. V. 150. P. 315-332.

203. Steel J. On Vaught's conjecture //A. Kechris, Y. Moschovakis (ed.), Cabal Seminar '76-77, Lecture Notes in Mathematics, 689. Springer, 1978. - P. 193-208.

204. Sudoplatov S. V. Group polygonometries and related algebraic systems // Contributions to General Algebra 11 / Proc. of the Olomouc Workshop '98 on General Algebra. Klagenfurt: Verlag Johannes Heyn, 1999. P. 191-210.

205. Sudoplatov S. V. Group polygonometries with symmetrical conditions // Алгебра и теория моделей 2. Сборник трудов. / Под. ред. А.Г.Пинуса и К.Н.Пономарева. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999. С. 140-159.

206. Sudoplatov S. V. On classification of group polygonometries // Siberian Advances in Math. 2001. V. 11, No. 3. P. 98-125.

207. Sudoplatov S. V. Closed sets of side-angle matrices and correspondent geometrical structures // Алгебра и теория моделей, 3. Сборник трудов / Под. ред. А.Г.Пипуса и К.Н.Пономарева. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. - С. 131-135.

208. Sudoplatov S. V. w-Stable trigonometries on a projective plane // Siberian Advances in Math. 2002. V. 12, No. 4. P. 97-124.

209. Sudoplatov S. V. Fuzzy polygonometries // Алгебра и теория моделей, 4. Сборник трудов / Под. ред. А.Г.Пипуса и К.Н.Пономарева. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. С. 124-128.

210. Tanovic P. On the number of countable models of stable theories // Fund. Math. 2001. V. 169. P. 139-144.

211. Tanovic P. A note on countable models of 1-based theories // Archive for Math. Logic. 2002. V. 41, No. 7. P. 669-671.

212. Tanovic P. On constants and the strict order property // Archive for Math. Logic, 2006. V. 45, No. 4. P. 423-430.

213. Thomas S. Theories with finitely many models // J. Symbol. Log. 1986, V. 51. P. 374-376.

214. Tsuboi A. On theories having a finite number of nonisomorphic countable models // J. Symbol. Log. 1985, V. 50, No. 3. P. 806-808.

215. Tsuboi A. Countable models and unions of theories // J. Math. Soc. Japan. 1986. V. 38, No. 3. P. 501-508.

216. Vaught R. Denumerable models of complete theories // Infinistic Methods. — London: Pergamon, 1961. P. 303-321.

217. Verbovskiy V. V. On elimination of imaginaries for the strongly minimal sets of E. Hrushovski / Preprint, 1999.

218. Verbovskiy V. V., Yoneda I. CM-triviality and relational structures // Ann. Pure and Appl. Log. 2003. V. 122. P. 175-194.

219. Villaveces A., Zambrano P. Hrushovski constructions and tame abstract elementary classes / Preprint. Universidad Nacional de Colombia. Bogotd, 2005.

220. Wagner F. Relational strucrures and dimensions / Automorphisms of first order structures. Clarendon Press, Oxford, 1994. — P. 153-181.

221. Woodrow R. E. A note on countable complete theories having three isomorphism types of countable models // J. Symbolic Logic. 1976. V. 41. P. 672-680.

222. Woodrow R. E. Theories with a finite number of countable models // J. Symbolic Logic. 1978. V. 43, No. 3. P.442-455.

223. Yoneda I. CM-triviality and generic structures // Archive for Math. Logic 2003. V. 42, No. 5. P. 423-433.

224. Ziegler M. Fusion of structures of finite Morley rank / Preprint. Mathematisches Institut, Freiburg, 2006.

225. Zil'ber В. I. Fields with pseudo-exponentiation / Preprint. Oxford University, 2000.

226. Zil'ber В. A theory of a generic function with derivations // Logic and Algebra (ed. Yi Zhang). Contemporary Mathematics. 2002. V. 302. P. 85-100.

227. Zil'ber B. Bi-coloured fields on the complex numbers // J. Symbolic Logic. 2004. V. 69, No. 4. P. 11171-1186.1. Тезисы докладов

228. Викентьев А. А. Теории с бесконечным числом моделей // Междупар. конф. по алгебре, посвящ. памяти А. И. Мальцева. Тез. докл. — Новосибирск: Изд-во Института математики СО АН СССР, 1989. С. 28.

229. Судоплатов С. В. Мощные типы и свойство редуцированности // 9-я Всесоюз. конф. по мат. логике. Тез. докл. — JL: Наука, 1988. — С. 159.

230. Судоплатов С. В. Аппроксимация свойства проективности с бесконтурной ориентацией в стабильных теориях // Советско-Французский коллоквиум по теории моделей. Тез. докл. — Караганда: Изд-во КарГУ, 1990. — С. 46-47.

231. Судоплатов С. В. О тригонометриях групп // XI Межреспубл. конф. по мат. логике. Тез. сообщений. — Казань: Изд-во КГУ, 1992. — С. 136.

232. Судоплатов С. В. Транзитивное размещение структуры в структуре свободной ориентированной псевдоплоскости // Третья Междунар. конф. по алгебре. Тез. докл. Красноярск: Изд-во КрГУ, 1993. - С. 321-322.

233. Судоплатов С. В. Отношение вложимости в классе тригонометрий групп // Третья Междунар. конф. по алгебре. Тез. докл. — Красноярск: Изд-во КрГУ, 1993. — С. 322-323.

234. Sudoplatov S. V. On trigonometries of pairs of groups // Третья Суслинская конф. Научные математические чтения. — Саратов: Изд-во СГПИ, 1994. — С. 58-59.

235. Sudoplatov S. V. Homomorphisms in the class of trigonometries of pairs of groups // Третья Суслинская конф. Научные матем. чтения. — Саратов: Изд-во СГПИ, 1994. С. 60-61.

236. Sudoplatov S. V. On classification of polygonometries of groups // Abstracts. KORUS '97. The first Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. September 29 October 3, 1997. — University of Ulsan, Republic of Korea. — P. 133.

237. Sudoplatov S. V. Automorphism groups of polygonometries // Kurosh Algcbraic Conference '98, Abstracts of Talks. M.: Изд-во МГУ, 1998. - С. 119-120.

238. Sudoplatov S. V. On type identifications in trigonometrical theories // Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвящ. 90-летию со дня рождения А.И. Мальцева. Тез. докл. Новосибирск, Изд-во ИДМИ. 1999. - С. 111-112.

239. Sudoplatov S. V. On hypergraphs of minimal prime models // Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвящ. 90-летию со дня рждения А.И. Мальцева. Тез. докл. Новосибирск, Изд-во ИДМИ. 1999. - С. 112-113.

240. Судоплатов С. В. О полигонометриях с условием симметрии // Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения"памяти JI. А. Скорнякова. — Волгоград: Перемена, 1999. — С. 61-62.

241. Судоплатов С. В. О погружении тригонометрий групп в неглавные типы // Логика и приложения. Тезисы междунар. конф., посвящ. 60-летию со дня рождения акад. Ю.Л.Ершова. Новосибирск: Изд-во НИИДМИ, 2000. - С. 97.

242. Судоплатов С. В. Об обобщенных полигонометриях групп // Междунар. семинар по теории групп, посвящ. 70-летию А.И.Старостина и 80-летию Н.Ф.Сесекина. — Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2001. С. 209-212.

243. Sudoplatov S. V. On structures of powerful types // Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Междунар. конф. — Иркутск: Изд-во ИГПУ, 2004. — С. 198-199.

244. Sudoplatov S. V. On syntactical approach to generic constructions // Model theory and Algebra. Prance-Kazakhstan Conference. 18-22 July, 2005. Abstracts. — Astana: Edition of ENU, 2005. P. 62-63.

245. Sudoplatov S. V. On saturated generic models // Abstracts. The 9th Asian Logic Conference. August 16-19, 2005. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. С. 132-133.

246. G\,СУ-з-подполигонометрия, 258

247. Gi, (?2)-многоугольник, 154

248. Д(.4)-простой, 185 (С1,С2)-подполигонометрия, 156 (Git С2)5-многоуголышк, 255 (С?1,С?2,п)-уголыгак, 154 (С!1,С2,п)5-уголыгак, 255 (М,Н(М)), 217

249. Rs,g\,g'2( Рт), 166 S(T), 12, 31 S(0), 12, 31 Sn(T), 31

250. Sn(0), 31 Sh 115 S0, 114 SP(T), 15, 53 Sn,p(T), 15, 53 T(pm), 202 T(spm), 275 T°, 113 T°/I, 115 T*, 54 T0, 85 Ta, 98 Tp, 15, 53 Tfp, 290 X ldz Y, 247 X <p M, 246 Fn., 206 [a], 204 [p], 275 [4 205, 275 [n], 204 Д(Д), 185

251. Д-соединение (Gi, С2)-треуголышков, 184 Г(рт), 162 Tgenj 85a-отождествление вершин по ломаной, 163a-отождествление точек, 2661(1'.I"), 1281. Z(p',p,p"), 2531. К, 1221. К5, 1211. Ко, 1211. М, 20, 122cos, 2761. К*, 1181. Щ, 1181. К0, 1191. М, 19, 119

252. А-псевдоплоскость точная, 21, 125 А(рт), 150 (М,Col), 47lim an) , 46п-юо / jV11661. Z§, 173 241pmt(GuG2,V), 164 Pi(Mo,M'0), 213 Рр(МьХ'о), 213sin, 276spm(Gi,G2>77)l 253 Cc, 811. Ccv, 121 C«> 81

253. TAG(pm), 162 TAG(pm) \(GhG2), 163 2711. Cm> 192

254. TC^/;fl;G(pm,pm'), 168 271 192

255. Aut(pm), 193 BLP(pm), 169 Comh{M\,M2), 43 Cos, 249

256. FPC(pm), 151, 222 GN(S), 129, 256 GN„(S), 129, 154 IECTm,44 \EC{M\,M2), 44 IL(M), 13, 40 ILfc(T0//), 116 Ker(/), 162, 266 Pos(G), 252 RK(T), 13, 35 SIP, 33 Sin, 249

257. Банахевич (Т. Banachiewicz), 9

258. Баудиш (A. Baudisch), 7, 81. Белеградек О. В., 31. Бенда (М. Benda), 3, 6

259. Биклер (S. Buechler), 3, 4

260. Болдуин (J. Т. Baldwin), 3, 6-8, 12, 70,73, 78, 221, 247, 248, 278 Бопато (А. С. J. Bonato), 8 Бурмейстер (P. Burmeister), 12, 190 Бускарен (Е. Bouscaren), 58

261. Дембовский (P. Dembowski), 12, 127 Детрассировка, 83 Диаграмма, 68 Диаметргиперграфа, 218 полигонометрии, 172 псевдоплоскости, 125 теории, 218 Длинамаршрута, 51, 217 отрезка, 128, 252 Дуга, 511. Ершов Ю. JL, 3, 11

262. Иванов А. А., 7 Изоморфизмs-полигонометрий,265 полигонометрий,134

263. Икеда (К. Ikeda), 3, 5, 7, 8 Источник, 92

264. Йонеда (I. Yoneda), 7 Йонсон (В. Jonsson), 7

265. Йонсона-Фраисе, 7 Хрушовского, 7 Контур, 51

266. Конус положительный, 252 Копиис-изоморфные, 82 сз-изоморфные, 103са-изоморфные, 99 Копытов В. М., 12 Кортеж полуизолирующий, 32 Kyapan (P. Koiran), 7 Кузин Н. А., 9

267. Ласкар (D. Lascar), 3, б, 7 Ласковский (М. S. Laskowski), 3, 4, 8 Лахлан (А. Н. Lachlan), 3, 6, 7, 282 Лебедев Н. Н., 9 Лексель А. И., 9

268. Лелон-Ферран (J. Lelong-Ferrand), 12 Лемма-амальгамационная, 121 ^-амальгамационная, 119 сз-амальгамационная, 104 са-амальгамационная, 99 амальгамационная, 82 Лемп (S. Lempp), 5 Ловейс (J. Loveys), 3 Ломаная, 125 Лоу (L. F. Low), 3, 4

269. Найес (A. Nies), 3, 5 Найт (J. F. Knight), 5 Найт (R. W. Knight), 4, 117 Невельский (L. Newelski), 4 Неорграф, 51 Несин (A. Nesin), 7 Никитин А. А., 12 Носитель с-графа, 81

270. Палютин Е. А., 3, 11, 21, 30, 42, 80 Пантано (М. Е. Pantano), 7 Пара типов минимальная, 72 Параметрыопределяющие, 129, 154, 255 сторон многоугольника, 255 углов многоугольника, 255 Пары точек согласованные, 167

271. Перераскраска допустимая, 83 Перестановка циклическая матрицы, 129,154, 255 Перетятькин М. Г., 3, 5, 59 Перешеек, 234

272. Пурмахдиан (М. Pourmahdian), 3, 5, 6, 8 Пучок, 131, 281

273. Cri, (?2)-многоугольников, 154 (Сг1, (ЗУ-многоугольников, 256 Соединение Ст-многоуголышков, 129 Солецкий (S. Solecki), 7 Соотношение CL, 92 Старченко С. С., 3, 4, 42, 80 Степанов Н. Н., 12, 157, 259 Стил (J. Steel), 4 Сторона, 214, 280

274. Ст1,С2)3-многоуголышка, 255 Ст-многоугольника, 129 Струве В. Я., 9 Судоплатов С. В., 7, 12, 30

275. Танович (P. Tanovid), 3, 4, 6 Теорема

276. Gi, (?2)5-многоугольника, 255 G-многоугольника, 129 между дугами, 162 между дугой и линией, 162

277. Фактор-й-полигонометрия, 266 Фактор-алгебра, 270

278. Харизанов (V. S. Harizanov), 5

279. Харник (V. Harnik), 80, 207

280. Харрингтон (L. Harrington), 3, 4, 80, 2071. Харт (В. Hart), 3, 41. Хассон (A. Hasson), 7

281. Хервиг (В. Herwig), 3, 6-8, 2211. Хилс (М. Hils), 7

282. Ход полигонометрический, 8

283. Холланд (К. Holland), 7, 8

284. Хрушовский (Е. Hrushovski), 3, 4, 6, 7,221, 290 Хусаинов Б., 3, 51. Цветдуги,118 точки, 286 элемента, 47 Цепь элементарная, 36над типом, 13, 36 Циглер (М. Ziegler), 7 Цикл, 511. Цубои (A. Tsuboi), 3, 5-8

285. Чеботарев А. С., 9 Четырехугольник, 125 Число цикломатическое, 231 Чэн (С. С. Chang), 3, И

286. Шапюи (О. Chapuis), 7 Шатзидакис (Z. Chatzidakis), 6, 8 Шелах (S. Shelah), 3, 4, 6, 7, 12 Ши (N. Shi), 8, 70, 73, 78, 247, 248 Ширшов А. И., 12 Шор (R. A. Shore), 3, 5

287. Эванс (D. М. Evans), 7, 8 Элемент особый, 21, 125 Эрецфойхт (A. Ehrenfeucht), 5 Эш (С. J. Ash ), 5

288. Ядро гомоморфизма, 162, 266де Бонис (М. J. de Bonis), 7