Уравнения среднего магнитного поля с учетом флуктуаций крупномасштабной скорости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

005053427

Томин Дмитрий Николаевич

УРАВНЕНИЯ СРЕДНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ С УЧЕТОМ ФЛУКТУАЦИЙ КРУПНОМАСШТАБНОЙ СКОРОСТИ

Специальность 01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

1 8 0КТ 2012

Москва - 2012

005053427

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

доктор физико-математических наук, профессо; СОКОЛОВ Дмитрий Дмитриевич доктор физико-математических наук, профессо] БОГАЧЕВ Владимир Игоревич, профессор кафедры

теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова доктор физико-математических наук ПЕТРОВ Александр Пхоун Чжо, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН Ведущая организация Институт механики сплошных сред

Уральского отделения РАН, г. Пермь

Защита состоится « 9 » ноября 2012 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д.1, главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « 9 » октября 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель Официальные оппоненты

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Объект исследования и актуальность темы. Многие астрофизические объекты (галактики, звезды, планеты) обладают собственными крупномасштабными магнитными полями. Происхождение, сохранение и эволюция этих полей составляют один из основных вопросов космологии. Считается, что они обязаны своим происхождением работе механизма гидромагнитного динамо, идея которого, принадлежащая Лармору1, состоит в том, что вследствие действия электромагнитной индукции кинетическая энергия движущейся электропроводящей среды, превращаясь в энергию магнитного поля, экспоненциально усиливает начальное магнитное поле при отсутствии внешних ЭДС. Эволюция магнитного поля Н в объеме движущейся электропроводящей жидкости в безразмерных переменных описывается уравнением магнитной индукции

дП/Ot = V х (V х Н) + i/mV2H (1)

при VH = О, VV = 0, где ит = 1/Rm > 0 — коэффициент магнитной индукции электропроводящей жидкости, Rm — магнитное число Рейнольдса, V = V(x, t) — поле скорости движущейся жидкости. Наиболее интересным и важным в космической физике является случай малых vm (больших Rm). Особую роль играет так называемое быстрое динамо, то есть динамо, не исчезающее в пределе vm —0 (Rm —¥ оо).

Большую роль для генерации магнитного поля играет геометрическая (топологическая) структура поля скорости. Например, согласно теореме Ка-улинга2'3 для осесимметричного потока невозможно магнитное динамо с той же осью магнитного поля. Также магнитное динамо не возникает для плоского (двумерного) поля скорости4,5'6.

Наиболее интересна реализация механизма магнитного динамо, основанная на так называемом а-эффекте, суть которого состоит в том, что во вращающейся турбулентности или конвекции происходит своеобразное нарушение зеркальной симметрии, так что в результате действия силы Кориолиса в выражении для средней ЭДС индукции (с которой связан электрический ток) появляется член, параллельный магнитному полю. Напомним, что обычно электрический ток перпендикулярен магнитному полю. В результате действия а-эффекта в течении электропроводящей жидкости возникает крупномасштабное магнитное поле, пространственный масштаб которого может

1Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci., 1919, P. 159-160.

2Cowling T.G. The magnetic field of sunspots, Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1934, V. 94, P. 39-48.

^Каулинг Т. Магнитная гидродинамика, М., ИЛ, 1959.

4 Зельдович Я. Б. Магпитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости, ЖЭТФ, 1956, Т. 31, Вып. 1, С. 154-156.

5Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Магнитное поле проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях, ЖЭТФ, 1980, Т. 78, Вып. 3, С. 980-986.

6Зельдоеич Я.Б., Рузмайкин А.А. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма, Успехи физ. наук, 1987, Т. 152, Вып. 2, С. 263-284. —

намного превосходить основной масштаб турбулентности. Это описание а-эффекта требует последовательной интерпретации турбулентности как случайного статистически локально однородного и изотропного поля. Идея Паркера о возможности возникновения магнитного динамо в турбулентном потоке электропроводящей жидкости с полем скорости, обладающим ненулевой спиральностью и не имеющем зеркальной симметрии, привела к дальнейшему развитию теории магнитного динамо и послужила основой для создания теории магнитной гидродинамики средних полей7,8,9.

Непосредственно со времени развития концепции a-эффекта в середине 60-ых годов предпринимаются усилия для того, чтобы воспроизвести его и в моделях, которые непосредственно привлекают описание течений на языке статистической гидромеханики. Вопрос о том, насколько это можно сделать, принадлежит к одному из наиболее дискуссионных в данной области. Одна из плодотворных возможностей для такого описания была предложена В.И. Арнольдом10,11, который ввел ставшую широко известной модель ЛВС-потока, являющегося, с одной стороны, классическим примером так называемого детерминированного хаоса, а с другой — течением Бельтрами, то есть в этом потоке rotv ос V, иными словами, гидродинамическая спираль-ность ЛВС-потока Vrotv — максимально возможная. Оказывается, что спи-ральность и определяет a-эффект, так что ожидалось, что ЛВС-поток должен хорошо моделировать свойства вращающейся турбулентности. Для конкретного ABC-потока произведен численный расчет12 магнитного динамо на ЭВМ. Оказалось, что поведение магнитного поля в детерминированном ЛВС-потоке существенно отличается от его поведения в зеркально-асимметричной турбулентности. Магнитное поле в этом потоке на самом деле растет (если магнитное число Рейнольдса оказывается достаточно большим). Этот рост соответствует быстрому динамо, однако пространственный масштаб растущего магнитного поля не превышает масштаба течения.

Я.Б. Зельдовичем и др. в 1983 г. (см.13) сформулировано представление о том, что причина несходства ЛВС-потока и зеркально-асимметричной турбулентности в отношении генерации быстрого крупномасштабного магнитного динамо состоит в стационарности первого. Была высказана надежда14 на то, что введение случайности в коэффициенты ЛВС-потока должно сделать

7Паркер Е. Космические магнитные поля, М., Мир, 1982, Т. 1 и 2.

sВайнштейн С.И., Зельдович Я.В., Рузмайкин A.A. Турбулентное динамо в астрофизике, М., Наука, 1980.

9Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, М., Мир, 1984.

10Арнольд В.И. Замечание о поведении течений трехмерной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей, Прикладная математика и механика, 1972, Т. 36, С. 255-264.

11 Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М., Наука, 1974.

12 Арнольд В.И., Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерностационарном потоке несжимаемой жидкости, Вестник МГУ, Серия матем. и мех., 1983, Вып. 3, С. 43-46.

13Зельдович Я.Б., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике, М .-Ижевск, ИКИ, 2006.

14Galanti В., Sulem P., Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 1992, V. 66, Issue 1, P. 183-208.

поведение магнитного поля в этом потоке намного более похожим на его поведение в зеркально-асимметричной турбулентности. Одна из задач данной работы — проверить это предположение.

Отметим, что техника вывода уравнения среднего поля в турбулентной среде, обладающей развитой иерархией масштабов, хорошо известна. С физической точки зрения мы находимся в иной ситуации. Мы рассматриваем случайные поля скорости, описывающие потоки, в определенных отношениях похожие на турбулентные, но в других сильно от них отличающиеся. Эти потоки, которые мы называем рандомизированными короткокоррелирован-ными случайными полями (РКПС), с одной стороны, более бедные и оттого более обозримые, и это ключевое отличие. С другой стороны, они содержат многие часто применяемые поля скорости при условии рандомизации их коэффициентов. Согласно сформулированной выше гипотезе Я.Б. Зельдовича, подтверждаемой в данной работе для случайных АВС-потока и потока Г. Робертса, являющихся частными случаями РКПС, введение случайности в коэффициенты этих потоков сближает их по свойствам с зеркально-асимметричной турбулентностью, по крайней мере, в отношении а-эффекта и крупномасштабного динамо.

В 1983 г. С.А. Молчановым и др.15'16 для описания магнитного поля в нестационарном потоке со случайными флуктуациями был предложен метод вывода уравнений среднего магнитного поля для короткокоррелированного случайного поля скорости с функциональным управляющим параметром, что наряду со сложностью вычислений по этому методу сдерживало его применение к конкретным случайным полям скорости (в частности, уравнения среднего поля даже для представляющих особый интерес случайных ЛВС-потока и потока Г. Робертса до сих пор не были получены).

Цель работы. Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач: разработать конструктивный метод вывода уравнений среднего магнитного поля (отталкиваясь от подхода, предложенного С.А. Молчановым и др.) для введенного автором класса РКПС; получить явные уравнения среднего магнитного поля для содержащихся в этом классе случайных ЛВС-потока и потока Г. Робертса; исследовать крупномасштабное динамо в этих конкретных случайных потоках и проверить для них гипотезу Я.Б. Зельдовича; вывести уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах во всем пространстве для винтового цилиндрического поля скорости с короткокоррелированными коэффициентами; ировести статистическую обработку результатов наблюдений солнечной активности с целью обнаружения и исследования а-эффекта.

15Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Уравнения динамо в случайном короткокоррелиро-ванном поле скорости, Магнитная гидродинамика, 1983, № 4, С. 67-72.

16Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке, УФН, 1985, Т. 145, №4, С. 593-628.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим основные из них:

1. Разработан метод вывода уравнений среднего магнитного поля (на основе подхода С.А. Молчанова и др.) для случайных полей скорости из выделенного автором класса РКПС, а также получены сами эти уравнения и предложен матричный алгоритм вычисления их коэффициентов.

2. Найдены уравнения среднего магнитного поля для конкретных РКПС, получающихся короткокоррелированной рандомизацией коэффициентов классических детерминированных ЛВС-потока и потока Г. Робертса.

3. Показано, что вопрос о генерации крупномасштабного магнитного динамо в РКПС с независящими от времени базисными полями скорости ввиду уравнений среднего поля с усредненными по пространству коэффициентами сводится к исследованию спектра некоторой связанной с этим РКПС матрицы. В частности, для указанных выше случайных ЛВС-потока и потока Г. Робертса получены эти уравнения и доказано возникновение а-эффекта, турбулентной диффузии и крупномасштабного кинематического динамо, чем подтверждена гипотеза Я. Б. Зельдовича.

4. Выведены уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах в пространстве для рандомизированного винтового цилиндрического потока.

Кроме того, произведена статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности в связи с проявлениями а-эффекта для магнитного поля Солнца.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, случайных процессов, математической статистики, математического анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, математической физики. В частности, при построения решения задачи Коши для уравнения магнитной индукции применяются методы теории мультипликативных интегралов, а при исследовании крупномасштабного динамо — метод Фурье.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Систематизированная техника вывода уравнений среднего магнитного поля для введенного класса РКПС, основанная на предложенном автором матричном алгоритме, может быть использована при исследовании широкого круга как чисто теоретических задач, так и задач, возникающих в приложениях и связанных с теоретическими, экспериментальными и вычислительными моделями магнитного динамо. В этих моделях одним из важнейших элементов исследования является усреднение уравнения индукции и нахождение моментных уравнений, в частности, уравнения среднего поля для магнитного поля в соответствующем случайном потоке. Многие как экспериментальные, так и теоретические модели динамо связаны именно с теми конкретными полями скорости, которые рассмотрены в настоящей работе: АБС-поток, поток Г. Робертса и винтовое поле скорости.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны доклады: в 2010 и 2011 гг. на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара и заведующий кафедрой — академик РАН А.Н. Ширяев);

в 2012 г. на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (руководитель — профессор, д.ф.-м.н. В.И. Богачев );

в 2012 г. на семинаре «Физическая гидродинамика» под руководством профессора, д.ф.-м.н. П.Г. Фрика в Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН, Пермь;

в 2008 г. на Астрофизическом семинаре Отделения теоретической физики ФИАН (руководитель семинара — академик РАН A.B. Гуревич).

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 2009 г.; 8th AIMS Conference «Dynamical systems, differential equations and applications», Dresden, Germany, 2010; XXIX конференция «Актуальные проблемы внегалактической астрономии», Пущинская радиоастрономическая обсерватория АКЦ ФИАН, Пущи-но, 2012 г.

Публикации. Список основных научных работ, опубликованных по теме диссертации, состоит из 8 наименований, приведен в конце автореферата [1] — [8] и содержит 5 статей в журналах из списка ВАК РФ и 3 работы — в тезисах конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), двух разбитых на параграфы основных глав, приложения и списка литературы из 52 наименований. Ее общий объем составляет 104 страницы, включая 6 рисунков и 1 таблицу.

Краткое содержание диссертации

В первой главе, являющейся введением, представлен обзор публикаций, близких к теме диссертации, рассмотрен объект исследования и раскрыта актуальность темы, поставлены основные цели и сформулированы задачи диссертационной работы, указана научная новизна полученных результатов и кратко изложено содержание диссертации.

Вторая глава содержит вывод уравнений среднего магнитного поля в декартовых координатах для вводимого здесь автором класса РКПС на основе метода15,16. Сведения, представленные в первых трех параграфах, по существу, известны15,16; для полноты изложения и последующих ссылок мы приводим их с доказательствами в удобном для дальнейшего виде. В §2.1 рассматривается задача Коши для уравнения (1), которая в матричной форме

при лагранжевом подходе может быть записана следующим образом:

ёН _ дУ.

~5Г= дх

г=-Н + ,тДН,

н(€,0) = н0(О.

(2) (3)

Здесь и далее для любого (х, Ь) € М3 х [0, +оо) имеем Н = 3*1,

„ /Т,Ч ЗУ (дУЛ .п.„ дтт дУ <1Н <ЭН дН V = (^)зхь ш = и в (2) Н, ДН, - и - = - + -V рас-

сматриваются в точке (х(£, где х(£,£) = г(£,г,0) и х = г(х0,Мо) при фиксированных Хо € М3 и ¿0 ^ 0 есть положение частицы жидкости в любой момент времени £ > О при ее движении в поле скорости У(х, Ь) и ее положении хо в начальный момент ¿о- Векторное поле Но(£) есть начальное (затравочное) магнитное поле, предполагаемое ограниченным и соленоидальным в К3. Считаем, что поле скорости У(х, ¿) задано и является соленоидальным по х и ограниченным в!3х [0; +оо) детерминированным векторным полем. При заданном ^бМ3 задача Коши (2), (3) описывает эволюцию магнитного поля вдоль траектории х = х(£, £) частицы жидкости, находившейся в положении £ в момент ¿о = 0.

В §2.2 рассматривается течение без магнитной диффузии для детерминированного ПОЛЯ скорости, ЧТО соответствует предельному случаю 1Ут = 0. Уравнение (2) при ит = 0 описывает перенос магнитного поля Н вдоль траектории х(£,£) движущейся частицы жидкости и отражает «вморожен-ность» силовых магнитных линий в движущуюся среду17,16. Используя технику мультипликативного интегрирования18,19, мы получаем решение задачи Коши (2),(3) как в терминах обратного мультипликативного интеграла, так и в терминах матрицы Грина. Пусть ¿о > 0, Хо 6 К3 и = г(хо, ¿о - й, ¿о) при 0 < я < ¿о- Тогда

где 0 < в < ¿о и любой элемент матрицы Грина (?(з) = С(хо,£3,5, ¿о)

есть решение задачи Коши (¿у — символ Кронекера)

Здесь и далее используется обычное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам в одночленных индексных объектах (по г и в от 1 до указанного ниже натурального числа т, а по остальным малым латинским индексам — от 1 до 3).

17Альфвен Ч. Космическая электродинамика, М., ИЛ, 1952.

18Мантпуров О.В. Мультипликативный интеграл, Проблемы геометрии, 1990, Т. 22, С. 167 - 215.

19Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Физматлит, 2004.

н(хо,г0) = - ¿О,

(4)

(5)

В §2.3 рассматривается течение с диффузией для детерминированного поля скорости, то есть случай vm > 0. При учете магнитной индукции поле не переносится вдоль одной траектории. Однако, как и в теории броуновского движения20,21, можно ввести пучок случайных винеровских траекторий, стартующих в начальный момент времени t0 = 0 и приходящих к моменту t в точку х (фиксируем х S R3 и t > 0):

s

ls = х - J V(|r, t - r)dr + y/2v~w(a), 0 <s<t, (6)

о

(интегральное уравнение Каца — Фейнмана), гдеш(в) = (tui(s),№2(s),W3(5)) — трехмерный случайный винеровский процесс с независимыми компонентами; в частности, Swj{s) = 0, £{vjj{s)wk{s)) — sSjk Vs > 0. Перенос поля вдоль отдельной траектории подобен лагранжеву случаю. В §2.3 показано, что решение уравнения (2) в точке (х, t) при vm > 0 получается усреднением правой части (4) (при Хо = х и i0 = t) по всем траекториям пучка (6):

Н(х, t) = <?х [G(x, |„ s, t)H(£„ t - «)] , 0 < а < t. (7)

В §2.4 вводится понятие рандомизированного короткокоррелированного поля скорости (РКПС). Пусть т — натуральное число. РКПС порядка т есть случайное поле скорости вида

V(x,i) = ¿i(t)ui(x, t) + Л2(£)и2(х, i) + ... + Am(t)vm(-x,t), (8)

где i7i(x, t),..., t)m(x,i) — так называемые базисные поля скорости, образующие линейно независимую систему ограниченных и достаточно гладких по (х, t) в R3 х [0, +оо), соленоидальных по х векторных полей. Коэффициенты Ar(t) (г = 1,2,... ,т) являются случайными процессами, зависящими от времени t на промежутке [0, +оо) и представляющимися в виде суммы регулярных и нерегулярных частей: AT(t) — АТ + AT(t). За счет выделения регулярных частей Аг, являющихся постоянными, нерегулярные части (флуктуации коэффициентов) Är(t) обладают нулевыми средними (^Är(t)j = 0. Будем считать, что флуктуации ÄT{t) (г = 1,2,,... ,т) образуют гтг-мерный коротко-коррелированный случайный процесс. Это означает, что каждый случайный процесс Ar(t) рассматривается как предел при Д —0 случайных процессов Dr(t), постоянных на каждом из промежутков [О, А), [Д,2Д), [2Д, ЗА),..., независимых и одинаково распределенных на разных таких промежутках (промежутках обновления), причем

<DrA(i)> = О, (0ГД(£), D?(t)) = /WA, D?(t) = 0(Д^2)

г0Гихман В.В., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов, М., Наука, 1965.

21 Маккин Х.П. Стохастические интегралы, М., Мир, 1972.

при всех r,s = 1,2, ...,m и t > 0, где ковариации ргз являются постоянными. При этом флуктуации Ar(t) становятся белым шумом. Этот предельный переход является обычным при исследовании влияния флуктуаций среды на поведение в ней физических полей. РКПС (8) является пределом при А —у 0 семейства случайных полей скорости VA(x, t) = A^(t)vT(x,t), где A?(t) = Är + D?(t).

РКПС можно рассматривать как упорядоченную тройку (V, Л, р), где матрицы V (матрица РКПС), Л (столбец средних РКПС), р (матрица кова-риаций РКПС) имеют вид: V = (vir)3xm, Л = (Лг)тх1, Р = (Ргз)тхт• При этом г-й столбец матрицы V состоит из декартовых компонент v\T, v^r, vzr г-ого базисного поля скорости г>г(х,t) (г = 1,2,...,т). Средние ÄT могут быть произвольными вещественными числами. Матрица р может быть любой симметричной неотрицательно определенной вещественной матрицей; в частности, имеем: ргг > 0 и |prs| < y/pn-Pss при всех г, s = 1,2,..., т.

В §2.5 мы получаем уравнение среднего магнитного поля для РКПС (8) на основе подхода15,16. Пусть х е R3, 0 < t < t + Ai. Заменим РКПС V(x, i) из (8) аппроксимирующим его случайным полем скорости VA<(x,i), считая [i,i+Ai] промежутком обновления. Для каждой реализации УДг(х, i), задавшись полем Н(х, t) в момент i, по формуле (7) находим решение уравнения магнитной индукции в момент времени t -I- Ai. Затем усредняем его по полю скорости VAi (обозначение (...)) на отрезке [0, i + Ai], причем в (7) можно переставить порядок усреднения (<?х(...)) = <?х({...)). Получаем

(Н) (х, t + Ai) = <?х «G(£Ai, Ai)H(£*, i)>),

где 0 < s < i + Ai, = £s(Ai) = r(x,i + At - s,t + Ai), Ai) =

= G(x, Ai, t + Ai) — матрица Грина. В силу (6) случайный процесс £5 удовлетворяет следующему уравнению Каца — Фейнмана на [0, i + Ai]:

s

Ss = x - J VAf(£r, t + Ai - r)dr + (s). о

На первом этапе проводим усреднение (GH)j по полю скорости на [0,i]. Так как ввиду (5) G(£At, Ai) зависит от VAt лишь при значениях времени на [t,t + Ai], то на этом этапе нужно усреднить лишь H(£üi,i). При этом применяем следующую лемму, имеющую, возможно, самостоятельный интерес. Ее доказательство использует соотношение?2 w(s) = 0(s7), выполняющееся при 7 < 1/2 для 0 < s < At, и оценку VAi(i) = 0(l/i/Ai).

™Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов, М., Физматлит, 2005.

Лемма 2.5.1. Справедливы следующие асимптотические формулы

€дА =

1 д2 {Н})1

ши» 0>1 = {Н:)г + - х)к +

л Дг _4 /"

€д4 - X = ч/2^(Д4) - Уд'Д4 - ] +

о

(10)

л Д1

_яум г

V2U¿wk{At) - <Д4 - _/ +

1<ЖЛ(.

+-

2 дх1

д(Щ)х 1 &с* 2

-(11)

дхкдх1

+ о(Д4);

д»

ау.д« ,_а2ул' г

= ^ + + / +

+1А (V,

2 да* V '

о

_ (Д4)2 + 0(Д4). (12)

дх: /

дх^

В правых частях (9)—(12) компоненты полей (Н)1, и их производные рассматриваются в точке (х, 4).

На втором этапе усредняем С(£Д(, Д4) (Н^д^)^ по УД{ на [4,4 + Д4] ((.. .)2), оставляя с помощью леммы 2.5.1 лишь слагаемые порядка 0(Д4) и используя, ввиду короткой памяти поля скорости, расщепление корреляций типа

т/Д(1/Д£9_№\ /тгАЦГЛП 9 (нз) Ук Ц ~дхкдх^ / 2 ~ Ц Усреднив полученную формулу по траекториям находим разностные уравнения для компонент В^ среднего магнитного поля В = (Н) вида В,(х, 4 + Д4) - Д(х, 4) = ... + о(Д4) и приходим к основному результату.

Теорема 2.5.1. Для РКПС (У,А,р) всюду в К3 х (0,+оо) справедливы следующие уравнения среднего магнитного поля:

дВг Л „ д2Вг дВ{ , дВ: , п

-ж = ++^++ %В]

_1 (dvir dvks d2viT \ д

Qij - 2Prs ^дхк dx, v"sdx.dxJ +

где i = 1, 2, 3 и коэффициенты находятся по формулам

1 1 dvks - dvis

Cki - 2PrsVkrVu, dk = 2PrsVlr~dxi' ~ rVkr, Pijk = ~f>rsVkT~faT'

dxj

В §2.6 исследуется проблема возникновения крупномасштабного динамо в квазистационарном РКПС, то есть в РКПС (8) с базисными полями скорости vT(x), не зависящими от времени t. В этом случае после усреднения по пространству ((.. ,)sp) коэффициентов (14) получаем линейные УЧП второго порядка с постоянными коэффициентами, а именно, уравнения (13), коэффициенты (14) которых заменены соответственно числами ck¡ = {cki}sp, dk = (dk)sp, рцк = {Pijk)sp, Qij = (<lij)sp- Применяя метод Фурье, ищем ненулевое решение В = e7Í+i(n,x) (Y¡)3xl, где П = (П1,П2,Пз) — волновой вектор, (n,x) = n\Xi + П2Х2 + щх$, комплексное число 7 — порядок экспоненциального роста во времени, Yi — постоянные, и приходим к задаче исследования спектра матрицы (ау)зхз с элементами (n = \Jn\ + п\ + п\)

ац — qij + inkpijk + 6ij (inkdk - vmr? — ckinkn^ .

Крупномасштабное магнитное динамо возникает, если наибольшая вещественная часть собственного числа 7 матрицы (ау) положительна.

В третьей главе рассматриваются применения результатов второй главы к некоторым конкретным РКПС.

Для облегчения вычисления коэффициентов (14) в §3.1 разработан соответствующий матричный алгоритм. Рассмотрим РКПС (V,A, р). Введем

квадратные матрицы третьего порядка Zk = ( ) (к = 1,2,3).

V oxi Jsl

Теорема 3.1.1. l)Cs (си)зхз = |VpVT, где верхний индекс Т означает транспонирование матрицы; матрица С симметрична; 2) d = (dk)3x1 = = (d'k)3xi — VA, где d'k, (k = 1,2,3), есть полусумма всех элементов матрицы, получаемой поэлементным произведением р и ZkV; 3) при i = 1,2,3 для квадратных матриц третьего порядка Pj — {pijk)jk справедлива формула Pi = -(VpZi)T; 4) q = (5^)3*3 = %ЬхЗ + (Уц)зхЗ,'.где при i,j = 1,2,3 q^ есть полусумма всех элементов матрицы, получающейся поэлементным

dV dZi

умножением матриц р и Z{—--——V; уи есть произведение j-ой строки

dxj oxj

матрицы Zj на столбец средних А.

ЛВС-поток с постоянными коэффициентами А, В, С, введенный В. И. Арнольдом10,11, определяется полем скорости

V(x, t) = (Bcosy 4- Csinz С eos г + A sin х A cosa; + Bsin.y)T.

Рандомизация приводит к РКПС порядка 3 с основными матрицами

(О COS У Sin Z \ / А \ / Рхх Рху Pxz

sinx О COSz , л= В I , Р = \ Pyx Руу Pyz cosa: sin у 0 / \Cj \ pzx pzy pzz

На основе теорем 2.5.1 и 3.1.1 в §3.2 получаем следующую теорему. Теорема 3.2.1. Уравнения среднего магнитного поля для рассматриваемого случайного ABC-потока имеют вид

dBj dt

= VmABi + Ki + Li + Mi + Ni,

(15)

где i = 1, 2, 3, выражения Ki и N\ определены ниже, Li и Mi получаются из Ki согласованными циклическими перестановками символов х, у, z и Ä, В, С, а N2 и N3 получаются из Ni согласованными циклическими перестановками индексов 1, 2, 3, символов х, у, z и параметров Ä, В, С:

1 д^В'

Ki — 2 (РУУ COs2 У + cos J/ Sin Z + pzz Sin2 z) -f

. x d2Bi

+ [pyz cos y cos г + pvx cos y sin x + pzz sin z cos г + pZx sin z sin x) -¿—r—(-

axoy

/1 1 . . = =, . \ dBi

+ I ~^Pxz cos x cos z — -pxy sm £ sin у — Bcosy — (7sinz 1 ——,

\ ¿d ¿é J (Jjj

Г/ • M . . ,дВ2 ,

Ni = sm у cos y + pyz sin z)+ (pyz cos z + pyx sin + \Pyx cos x +

+pyy sin у)—j - cos z I (pzy cos у + pzz sin z) + (pzz cos z + pzx sin X) —--h

+ {Pzx cos X + pzy sin y)

дВз] 1 dz J 2KHyx

+

{pyx sin у COS X + pzx COS Z sin x)B 1 4-

B2 +

-pxy sin X cos у + pyz cos у cos z — В sin у

+

-pzx sin Z COS X + pzy sin у sin z + С cos z

B*.

В §3.3 исследуется вопрос о возможности возникновения крупномасштабного магнитного динамо в случайном АВС-потоке.

Теорема 3.3.1. После усреднения коэффициентов первого уравнения среднего поля (15) по пространству это уравнение принимает вид

дВі . 1. . ^ J^X J. і х^У *->і

— = 1/тД Bi + -{Руу + Pzz)^r + -¡{Pzz + Рхх+ + \{Рхх + Руу)^Г + \Руу^ - \Pzz-

,д2в} 1 д2Ві

дх2 4 ^ ду2 кд2Ві 1 дВ2 1. дВз ду '

Уравнения для В2 и получаются из (16) согласованной циклической перестановкой нижних индексов 1, 2, 3 и переменных х, у, z.

Используя метод Фурье, приходим к дисперсионному соотношению

р? + p,(n\pyypzz + n\pxxpzz + п\рххруу) = 0, (17)

где

/X = —2Í |7 + vmn2 + ^[{Pyy + Pzz)n\ + (Pzi + Pzz)n\ + (Pxx + /Зга)Пз]| .

Члены в уравнении (16), выражающиеся через р с различными индексами, аналогичны членам с a-эффектом и турбулентной диффузией в стандартном уравнении Штеенбека—Краузе—Рэдлера. Разделение средней ЭДС на эти два эффекта и выделение турбулентного диамагнетизма отталкивается от картины нарушения зеркальной симметрии в локально однородном и изотропном случайном поле.

При рхх = руу = pzz = а случайный ЛВС-поток наиболее симметричен, то есть близок к однородной изотропной турбулентности. В этом случае дисперсионное соотношение (17) имеет 3 корня и

— единственный из них, соответствующий растущему при подходящих значениях волнового вектора решению. Для выявления в этом решении а-эффекта и турбулентной диффузии вернемся к размерным единицам, введя длину ребра ячейки течения I = 2п. Тогда мы получаем а = и/3, (3 = vl/3 + vm с V = 2сг/3, то есть (при подходящем определении характерной скорости v) стандартные формулы теории длины перемешивания.

Мы выяснили, что поведение среднего магнитного поля в случайном ЛВС-потоке определяется уравнением, сводящимся к уравнению Штеенбека—Краузе—Рэдлера для a-эффекта. Тем самым мы подтверждаем (по крайней мере, в рамках этого показательного примера) верность гипотезы Я.Б. Зельдовича о соотношении динамического хаоса и турбулентности. Конечно, теоретически можно допустить, что более удачный выбор течения с хаотическими линиями тока и без рандомизации приведет к самовозбуждению крупномасштабного магнитного поля. Известно (В.И. Арнольд и др., 1981), что этого можно добиться для некоторого течения в специально подобранном римановом пространстве. Неизвестно, можно ли этого добиться в обычном пространстве.

Детерминированный поток Г. Робертса23'24 имеет вид

V(x) = Лг>(х) = Л(— sinzcosy coszsin у sin х sin у)т,

23Roberts G.О. Spatially periodic dynamos, Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1970, A266, P 535—558.

24 Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with twodimensional periodicity, Phil. Trans. R. Soc. London, 1972, A271, P. 411-454.

где А — постоянная. Его рандомизация в §3.4 приводит к простой РКПС с матрицей V = v(x). Столбец средних А и матрицу ковариаций р можно рассматривать как числовые параметры (А = А € R, р > 0). После расчета коэффициентов уравнений среднего поля по матричному алгоритму §3.1 с последующей подстановкой в (13) получаем следующий результат.

Теорема 3.4.1. Уравнения среднего магнитного поля для случайного потока Г. Робертса имеют вид

дві ЛГУ р( ■ 2 2 д2Ві 2 . 2 д2Ві . , .2 d2Bt

= 1/тАBi + - sm X cos¿ у—г + cosJ х sin¿ у+ sin^ х sin2 у-(19)

1 ■ „ . „ д2Ві 2 д2Ві 9 д2Ві\

- - sm 2х sin 2у—~— - sm^ х sin 2у—— + sin 2х sinz ?/—~ + ñ,,

2 дхду oxoz dyozJ

где

cos2 х ■

R\ = (sin2xcos2j/ + A sin x cos y] + (Tsin2y + -V 4 J ox \ 4 2

• r, 7 N дВ\ /р . . . „ т . \ дВ\ • sin 2 у — A cos x cos yj + sin 2x sin 2y — A sin x sin у J —--h

, P ■ 2 • О P . n -2 .2 -2

+-sin XSin2«—---sin2xsm y—--p sin x sin y—--h

2 ax 2 ay oz

+ ^ cos 2у — A cos x cos y^j ■ B\ + A sin x sin у ■ B2,

r, P ■ 2 • « P . ~ . ? dBi . n . o сШі

Ü2 = —-sin xsin2j/—--h - sin 2jsin u—--1- psm x sm y—--h

2 ox 2 ay oz

+ (7 sin 2x + - sin 2x cos2 y + Á sin x cos y\ — f— sin 2у cos 2x + \4 2 J ox \4

— . \ dB2 (p 7 \ dB2

+A cos x sin у) —--I — sin 2x sm 2y + A sin x sin y) —--

/ ay \4 / oz

—A sin x sin у ■ B\ + ^ cos 2x + A cos x cos у^ • #2,

p . „ . „ сШі о . 9 p . „ .2 ЗВі

Яз = - sin 2x sin 2y —--p cos x sin у —--- sin 2x sin у —--Ь

4 ax oy 2 oz

. , 9 сШ2 P . „ . „ P . 2 • „

+p sin x cos «—---sin 2x sin 2y—--- sin x sin 2у——Ь

cte 4 oy 2 oz

fP.~ ■ \ 9B¡ /р . „ 7 \

+ sin 2x + л sin x cos J/J --1- sin 2y — A cos x sin yj —

—Asinxsiny^^ + ^sin2y + ЛсозхБІпу^ Bi + + ^ sin2x + A sin x cos y^ B2.

В §3.5 доказывается следующая теорема.

Теорема 3.5.1. После усреднения по пространству коэффициентов уравнений среднего поля (19) для случайного поля Г. Робертса получаем следующую систему УЧП с постоянными коэффициентами:

дВ1 Л Х^АВ рдВг дВ* (

~дГ=\ т+ 8/ ~ 4~зГ' ~дГ = V т + 8/ 2 4"аг"'

дВз ( дВЛ

Применение метода Фурье приводит к дисперсионному соотношению /х(16^2 - Р2"з) = °> ГДе А» = 7 + ("т + 0 п2.

Все корни 7 этого уравнения вещественны, и лишь один из них может быть положительным. Если п = (0,0, п), где п > 0, то этот корень равен

Отсюда (так же, как из (18) для случайного ЛВС-потока) следует, что крупномасштабное магнитное поле в случайном потоке Г. Робертса растет со скоростью, аналогичной скорости роста для среднеполевого динамо в зеркально-асимметричной турбулентности с а-эффектом. Тем самым еще раз подтверждается гипотеза Я.Б. Зельдовича о том, что зависимость от времени (в данном случае в виде случайных короткокоррелированных по времени флуктуации коэффициентов) снимает препятствия для возникновения и развития крупномасштабного быстрого кинематического динамо в классических потоках. Возможен и иной анализ, состоящий в том, чтобы рассматривать случайные ЛВС-поток и поток Г. Робертса как примеры неоднородной и анизотропной турбулентности и воспользоваться известными выражениями для коэффициентов переноса магнитного поля в подобной турбулентности. Этот анализ, содержащийся в [3], в отличие от разрабатываемого диссертантом другого подхода15,16, не вполне безупречен логически, так как мы как раз и хотим проверить, насколько ЛВС-поток и поток Г. Робертса можно рассматривать как примеры турбулентности. Тем не менее в том, что касается возникновения крупномасштабного магнитного динамо в случайных ЛВС-потоке и потоке Г. Робертса, эти подходы приводят'к качественно близким результатам. Отметим, что в статье [3] диссертанту принадлежат только общие для этих двух альтернативных подходов методы и результаты, связанные с получением и исследованием дисперсионных соотношений (см. статьи [1] и [2], все результаты которых, за исключением постановки задачи, принадлежат диссертанту).

В §3.6 уравнение магнитной индукции (1) записано в цилиндрических координатах г, <р, 2 для полей скорости вида (последнее из них представляет

собой винтовое цилиндрическое течение25,26):

(Уг{г,ч>,г)\ ( 0 \ / 0 \

V = I , У(г, ¥>,*) = гЩг,ц>,г) , У(г, = гП(г)

) \Уг{г,ч>,г) ) \Уг{т) }

В §3.7 выводятся уравнения среднего магнитного поля для случайного винтового потока. Записав соответствующий детерминированный поток в цилиндрических координатах, введя коэффициенты и рандомизируя их, получаем РКПС с компонентами = —А\(1)уО.{г), V2 = Л1^)хГ2(г), = = Л2(<Ж(г), где г = л/х2 + у2, {] = 1,2,3) — короткокоррелированные случайные процессы. Основные матрицы этого РКПС имеют вид

'-(г 2

Вначале в §3.7 вычисляются коэффициенты уравнения среднего поля согласно матричному алгоритму §3.1 и выписываются уравнения среднего магнитного поля для винтового цилиндрического потока в декартовых координатах. Возвращаясь к цилиндрическим координатам г, </з, г, после преобразований получаем следующую теорему.

Теорема 3.7.2. Уравнения среднего магнитного поля для случайного винтового потока в цилиндрических координатах имеют вид

дВТ - „дВг 7„дВГ ( 1 1 дВг 2 дВ„ д2Вг

= -Л1П—^ - А2Уг— + ит[ ~^ВГ + - -5—* + —^ + от д<р ог \ гг г ог ар от1

1 д2вг . 82вЛ . и ^^

+ n fti" -5-Г + + PnVi

г2 <V dz2 I 2 V dtp2 Zdipdz ^ 2 dz2

дВ,, - dii_ 1 n9Bv т ,, dBv ( 1 L2 9Br -g? = ^Br - - Л2У2^ + ^ - 72Bv + ^ +

1дВш д2Вш 1 д2Вш д2вЛ If d2Bw

„ U 1 U Ду U I X / 2U ,

+ + 5z2 J+2\PnU dp2 +

8BZ - dVz - dBz vdB (1 dBz d2B

^ Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. and Shukurov A.M. Hydromagnetic screw dynamo, J. Fluid Mech., 1988, V. 197, P. 39-56.

26 Пономаренко Ю.Б. К теории гидромагнитного динамо, Прикл. мех. техн. физика, 1973, Л/а 6, С. 47-51.

Полагая здесь В = er/t+i(m,p+kl!) ■ (br{r) bv{r) b2(r))T, получаем приведенную в параграфе §3.7 систему трех дифференциальных уравнений, которая при рц = pi2 = Р22 = Ai = Аг = 0 превращается в систему уравнений (4)—(6) из работы25 для детерминированного винтового потока.

До недавнего времени а-эффект оставался чисто теоретической конструкцией, но в последнее время стало возможным наблюдать величины, его определяющие, в активных областях солнца, обработка этих данных подтверждает основные выводы теории динамо. Этой тематике, в частности, посвящен §3.8, в котором на основе [4], [5] производится сравнение некоторых наблюдаемых характеристик а-эффекта. Автору в этом параграфе (как и в статьях [4], [5]) принадлежит вся статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности, в частности, нахождение доверительных интервалов и построение графиков.

В Приложении приводятся необходимые сведения из теории мультипликативных интегралов'18'1'19!.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Дмитрию Дмитриевичу Соколову за постановку задачи и внимание к работе.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Томин Д.Н., Соколов Д.Д. Магнитное поле во флуктуирующем АВС-потоке, Письма в астрономический журнал, 2009, Т. 35, №5, С. 359-363.

[2] Tomin D., Sokoloff D. Dynamo in fluctuating ABC flow, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 2010, V. 104, no. 2-3, P. 183-188.

[3] Kleeorin N., Rogachevskii I., Sokoloff D., Tomin D. Mean-field dynamos in random Arnold—Beltrami—Childress and Roberts flows, Physical Review, E., 2009, V. 79, 046302, 7 p.

[4] Sokoloff D., Zhang #., Kuzanyan K.M., Tomin D. Magnetic and current helicities in solar.dynamos, Adv. Sp. Res., 2007, V. 39, P. 1670 - 1673.

[5] Sokoloff D.D., Zhang H., Kuzanyan K.M., Obridko V.N., Tomin D.N., Tutubalin V.N. Current helicity and twist as two indicators of the mirror asymmetry of solar magnetic fields, Solar Physics, 2008, V. 248, no.l, P. 17-28.

[6] Соколов Д.Д., Томин Д.Н. Флуктуирующий ABC-поток и гипотеза Зельдовича о быстром динамо, Сборник трудов международной конференции МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность»,

Москва, 2009, С. 300-303.

[7] Sokoloff D., Tomin D., Rubashny A. Dynamo in context of Riemannian geometry: A mathematical tool and cosmological applications, 8th AIMS Conference «Dynamical systems, differential equations and applications», Abstracts, Dresden, Germany, 2010, P. 74.

[8] Томин Д.Н. Уравнения среднего магнитного поля и крупномасштабное динамо в случайных ЛВС-потоке и потоке Робертса, XXIX конференция «Актуальные проблемы внегалактической астрономии», Пущинская радиоастрономическая обсерватория АКЦ ФИАН, Пущино, 2012, Тезисы докладов, С. 18.

Описание личного вклада диссертанта в статьях в соавторстве содержится в тексте автореферата.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (0 0 экз. Заказ № о Д

1 Введение

2 Уравнение среднего магнитного поля для случайного поля скорости

2.1 Уравнение магнитной индукции.

2.2 Течение без диффузии для детерминированного поля скорости.

2.3 Течение с диффузией для детерминированного поля скорости.

2.4 Понятие рандомизированного короткокоррелированного поля скорости.

2.5 Уравнение среднего магнитного поля для рандомизированного короткокоррелированного поля скорости.

2.6 Крупномасштабное динамо в РКПС.

3 Применение к АВС-потоку, потоку Г. Робертса и винтовому цилиндрическому потоку. Динамо и а-эффект. 53 •3.1 Вычисление коэффициентов уравнения среднего ноля в матричной форме.

3.2 Уравнение среднего поля для случайного АБС-потока.

3.3 Динамо в случайном /ШС'-потоке.

3.4 Уравнение среднего поля для случайного потока Г. Робертса.

3.5 Динамо в случайном потоке Г. Робертса.

3.6 Уравнение магнитной индукции в цилиндрических координатах.

3.7 Уравнение среднего поля для случайного винтового цилиндрического потока

•3.8 Статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности и аг-эффект.

Объект исследования и актуальность темы

Многие астрофизические объекты (галактики, звезды, планеты) обладают собственными крупномасштабными магнитными полями. Происхождение, сохранение и эволюция этих полей составляют один из основных вопросов космологии. Время существования многих космических объектов существенно превышает характерное время затухания собственных магнитных полей. Поэтому существование глобальных магнитных полей у таких объектов требует объяснения. Считается, что крупномасштабные магнитные поля небесных тел, в том числе Солнца и галактик, обязаны своим происхождением работе механизма гидромагнитного динамо. Идея магнитного динамо принадлежит Лар-мор.у [38] и состоит в том. что изначально слабое начальное магнитное поле может экспоненциально усиливаться при отсутствии внешних ЭДС за счет частичного превращения кинетической энергии движущейся электропроводящей жидкости в энергию магнитного поля. Эволюция магнитного поля в объеме движущейся электропроводящей жидкости описывается уравнением магнитной индукции, являющимся линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных (УЧП) второго порядка, имеющим параболический тип; переменные коэффициенты этого уравнения полностью определяются заданием векторного поля скорости ¿) жидкости. Ввиду однородности уравнения для возникновения и развития магнитного динамо необходимо наличие ненулевого начального (затравочного) магнитного поля, которое может быть весьма слабым. Превращение этого поля в сильное благодаря магнитному динамо, таким образом, связано с вопросами неустойчивости нулевого решения уравнения магнитной индукции. В случае стационарного поля скорости \^(х) при данном коэффициенте ит магнитной индукции движущейся среды магнитное динамо связано со спектром оператора магнитной индукции, и возникает в случае, когда наибольшая вещественная часть собственного числа этого оператора положительна.

Большую роль для генерации магнитного поля играет геометрическая (топологичеекая) структура поля скорости. Например, согласно теореме Каулинга ([31], [16]) для осесимметричиого потока невозможно магнитное динамо с той же осью магнитного поля. Также магнитное динамо не возникает для сферически-симметричного гюля([29]), для плоского (двумерного) ноля скорости ([11], [12], [13]) и для тороидального поля скорости. Идея Паркера о возможности возникновения магнитного динамо в турбулентном потоке электропроводящей жидкости с полем скорости, обладающим ненулевой спиральностью и не имеющем отражательной симметрии, привела к дальнейшему развитию теории магнитного динамо и послужила основой для создания теории магнитной гидродинамики средних полей [23], [22], [7], [41], [28]. При этом наиболее интересным и важным в космической физике является случай малых коэффициентов магнитной индукции ит или, что то же самое, больших магнитных чисел Рейнольдса Я^,. Особую роль играет так называемое быстрое динамо, то есть динамо, не исчезающее в пределе ит 0 (Я„г оо).

Возможно несколько различных путей реализации механизма магнитного динамо. Из них наибольшее практическое значение имеет путь, основанный на так называемом а-эффекге, суть которого состоит в том, что во вращающейся турбулентности или конвекции происходит своеобразное нарушение отражательной (зеркальной) симметрии, так что в результате действия силы Кориолиса среднее число правовратцающихся вихрей оказывается отличным от среднего числа левовращающихся вихрей. В результате этого в выражении для средней электродвижущей силы индукции (с которой связан электрический ток) появляется член, параллельный магнитному полю. Напомним, что обычно электрический ток перпендикулярен магнитному полю. В результате действия а-эффекта в течении электропроводящей жидкости возникает магнитное поле, пространственный масштаб которого может намного превосходить основной масштаб турбулентности. Именно такое магнитное поле в физике обычно и называют крупномасштабным.

Это описание а-эффекта требует последовательной интерпретации турбулентности как случайного статистически локально однородного и изотропного поля. Со времени развития концепции «-эффекта в середине 60-ых годов предпринимаются усилия для того, чтобы воспроизвести его и в моделях, которые непосредственно привлекают описание течений па языке статистической гидромеханики. Вопрос о том. насколько это можно сделать, принадлежит к одному из наиболее дискуссионных в данной области.

Одна из плодотворных возможностей для такого описания была предложена В. И. Арнольдом, который в 1972 г. [2] ввел ставшую широко известной модель ЛВС-потока [3j. Соответствующее поле скорости является детерминированным, однако поведение его линий тока хаотическое (оно является классическим примером так называемого детерминированного хаоса). ЛВС-поток есть течение Бельтрами, то есть в этом потоке rot V ос V, иными словами, гидродинамическая спиральность ЛВС-потока Vrot V — максимально возможная (ABC-потоки представляют собой некоторые пространственно-периодические собственные функции оператора rotV). Оказывается, что спиральность и определяет а-эффект, так что ожидалось, что ЛВС-ноток должен хорошо моделировать свойства вращающейся турбулентности. Для конкретного ABC-потока В.И. Арнольдом и Е.И. Коркиной в 1983 г. [5] произведен численный расчет магнитного динамо на ЭВМ при относительно небольших значениях R,n. Отмстим, что с ростом Rm сложность чисто вычислительных алгоритмов, связанных с расчетом магнитного динамо, быстро нарастает, и для больших значений R,n эти вычисления в настоящее время практически невозможны из-за огромного объема вычислений. Это не позволяет удовлетворить потребности современной астрофизики и требует развития теоретических исследований в области магнитного динамо.

В действительности поведение магнитного поля в детерминированном ЛВС-потоке существенно отличается от его поведения в зеркально-асимметричной турбулентности. Магнитное поле в этом потоке на самом деле растет (если магнитное число Рейнольдса оказывается достаточно большим), и этот рост соответствует быстрому динамо, однако пространственный масштаб растущего магнитного поля не превышает масштаба течения. Магнитное поле имеет вид тонких сигар, длина которых сопоставима с размером ячейки периодичности потока [33], [35].

Я.Б. Зельдовичем и др. в 1983 г. (см. [14]) сформулировано представление о том что причина несходства АБС-потока и зеркально-асимметричной турбулентности состоит в стационарности первого. Была высказана надежда [32] на то, что введение случайности в коэффициенты АБС-потока должно сделать поведение магнитного поля в этом потоке намного более похожим на его поведение в зеркально-асимметричной турбулентности. Одна из задач данной работы — проверить это предположение.

Отметим, что техника вывода уравнения среднего поля в турбулентной среде, обладающей развитой иерархией масштабов, хорошо известна. С физической точки зрения мы находимся в иной ситуации. Мы рассматриваем случайные поля скорости, описывающие потоки, в определенных отношениях похожие на турбулентные, но в других сильно от них отличающиеся. Эти потоки, которые мы называем рандомизированными короткокоррелированными случайными полями (РКПС), с одной стороны, более бедные и оттого более обозримые, и это ключевое отличие. С другой стороны, они содержат многие часто применяемые поля скорости при условии рандомизации их коэффициентов. Согласно сформулированному выше предположению Я.Б. Зельдовича, подтверждаемому в данной работе для случайных АБС-потока и потока Г. Робертса, являющихся частными случаями РКПС, введение случайности в коэффициенты этих потоков сближает их по свойствам с зеркально-асимметричной турбулентностью, по крайней мере, в отношении а-эффекта и крупномасштабного динамо.

В 1983 г. С. А. Молчановым и др. [20], [21] для описания магнитного поля в нестационарном потоке со случайными флуктуациями был предложен метод вывода уравнений среднего магнитного поля для короткокоррелированного случайного поля скорости с функциональным управляющим параметром, что наряду со сложностью вычислений по этому методу сдерживало его применение к конкретным случайным полям скорости. В частности, уравнения среднего поля даже для представляющих особый интерес случайных ¿ШС-потока и потока Г. Робертса до сих пор не были получены. В настоящей работе этот метод применяется как к общим РКПС. так и к некоторым их конкретным случаям, а именно, к случайным АБС-потоку, потоку Г. Робертса и к винтовому цилиндрическому потоку. На основе этого метода в диссертации разработаны удобные для применения к конкретным РКПС схема и матричный алгоритм нахождения уравнений среднего поля.

Цель работы

Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач: разработать конструктивный метод вывода уравнений среднего магнитного поля (отталкиваясь от подхода, предложенного С.А. Молчановым и др.) для введенного автором класса РКПС; получить явные уравнения среднего магнитного ноля для содержащихся в этом классе случайных ЛВС-потока и потока Г. Робертса; исследовать крупномасштабное динамо в этих конкретных случайных потоках и проверить для них гипотезу Я.Б. Зельдовича; вывести уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах во всем пространстве для винтового цилиндрического поля скорости с короткокоррелироваппыми коэффициентами; провести статистическую обработку результатов наблюдений солнечной активности с целью обнаружения и исследования а-эффекта.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим основные из них:

1. Разработан метод вывода уравнений среднего магнитного поля (на основе подхода С.А. Молчанова и др.) для случайных полей скорости из выделенного автором класса РКПС. а также получены сами эти уравнения и предложен матричный алгоритм вычисления их коэффициентов.

2. Найдены уравнения среднего магнитного ноля для конкретных РКПС; получающихся короткокоррелированной рандомизацией коэффициентов классических детерминированных ЛВС-потока и потока Г. Робертса.

3. Показано, что вопрос о генерации крупномасштабного магнитного динамо в

РКПС с независящими от времени базисными полями скорости ввиду уравнений среднего поля с усредненными по пространству коэффициентами сводится к исследованию спектра некоторой связанной с этим РКПС матрицы. В частности, для указанных выше случайных АБС-потока и потока Г. Робсртса получены за и уравнения и доказано возникновение а-эффекта, турбулентной диффузии и крупномасштабного кинематического динамо, чем подтверждена гипотеза Я. Б. Зельдовича.

4. Выведены уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах в пространстве для рандомизированного винтового цилиндрического потока.

Кроме того, произведена статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности в связи с проявлениями а-эффекта для магнитного поля Солнца.

Методы исследования

В работе используются методы теории вероятностей, случайных процессов, математической статистики, математического анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, математической физики.

В частности, при построении решения задачи Коши для уравнения магнитной индукции применяются методы теории мультипликативных интегралов, а при исследовании крупномасштабного динамо — метод Фурье.

Теоретическая и практическая значимость работы

Систематизированная техника вывода уравнений среднего магнитного поля для введенного класса РКПС, основанная на предложенном автором матричном алгоритме, может быть использована при исследовании широкого круга как чисто теоретических задач, так и задач, возникающих в приложениях и связанных с теоретическими, экспериментальными и вычислительными моделями магнитного динамо. В этих моделях одним из важнейших элементов исследования является усреднение уравнения индукции и нахождение моментных уравнений, в частности, уравнения среднего поля для магнитного поля в соответствующем случайном потоке. Многие как экспериментальные. так и теоретические модели динамо связаны именно с теми конкретными полями скорости, которые рассмотрены в настоящей работе: ABC-поток, поток Г. Робертса и винтовое цилиндрическое поле скорости.

Апробация работы.

По теме диссертации были сделаны доклады: в 2010 и 2011 гг. на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара и заведующий кафедрой — академик РАН А.Н. Ширяев); в 2012 г. на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (руководитель — профессор, д.ф.-м.н. В.И. Богачев ); в 2012 г. на семинаре «Физическая гидродинамика» под ру ководством профессора, д.ф.-м.н. П.Г. Фрика в Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН, Пермь; в 2008 г. на Астрофизическом семинаре Отделения теоретической физики ФИАН (руководитель семинара — академик РАН А.В. Гуревич).

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 2009 г.; 8th AIMS Conference «Dynamical systems, differential equations and applications», Dresden, Germany, 2010; XXIX конференция «Актуальные проблемы внегалактической астрономии», Пущинская радиоастрономическая обсерватория АКЦ ФИАН, Пущино, 2012 г.

Публикации

Список основных научных работ, опубликованных по теме диссертации, состоит из 8 наименований и содержит 5 статей в журналах из списка ВАК РФ ([26], [52|, [37|. [40].

50]) и 3 работы — в тезисах конференций ([25], [51]. [27]). Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения (глава 1), двух разбитых на параграфы основных глав, приложения и списка литературы из 52 наименований. Ее общий объем составляет 104 страницы, включая 6 рисунков и 1 таблицу.

1. Космическая электродинамика, М., ИЛ, 1952.

2. Арнольд В.И. Замечание о поведении течений трехмерной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей, Прикладная математика и механика, 1972, Т. -36, С. 255-264.•3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М., Наука, 1974.

3. Арнольд В.И. Зельдович Я.В. Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Магнитное поле в стационарном потоке с растяжением в римановом пространстве, ЖЭТФ, 1981, Т. 81, С. 2052.

4. Арнольд В.И. Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерностационариом потоке несжимаемой жидкости, Вестник МГУ, Серия матем. и мех., 1983, Вып. 3, С. 43-46.

5. Вулинский A.B. Ширяев А.Н. Теория случайных процессов, М., Физматлит, 2005.

6. Вайнштейн С.И. Зельдович Я.Б., Рузлшйкин A.A. Турбулентное динамо в астрофизике. М., Наука, 1980.

7. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М., Наука, Физматлит, 1996.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Физматлит, 2004.

9. Гихман В.В., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов, М., Наука. 1965.

10. Зельдович Я.Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости, ЖЭТФ, 1956, Т. 31, Вып. 1, С. 154-156.

11. Зельдович Я.Б. Рузмайкин A.A. Магнитное поле проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях, ЖЭТФ, 1980. Т. 78, Вып. 3, С. 980-986.

12. Зельдович Я.Б., Рузмайкин A.A. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма, Успехи физ. наук. 1987, Т. 152, Вып. 2, С. 263-284.

13. Зельдович, Я. Б. Рузлшйкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике, М., Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. 2006.

14. Казанцев А.П. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью, ЖЭТФ, 1967, Вып. 53, С. 1806-1813.

15. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М., ИЛ., 1959.

16. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, М., Мир, 1984.

17. Маккин Х.П. Стохастические интегралы, М., Мир, 1972.

18. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл, Проблемы геометрии. 1990, Т. 22, • С. 167-215.

19. Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Уравнения динамо в случайном короткокоррелированном поле скорости, Магнитная гидродинамика, 1983, № 4,С. 67-72.i

20. Молчанов С.А. Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке, Успехи физ. наук, 1985, Т. 145, № 4, С. 593-628.

21. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М., Мир, 1980.

22. Паркер Е. Космические магнитные поля, М. Мир. 1982, Т. 1 и 2.

23. Пономаренко Ю.Б. К теории гидромагнитного динамо, Прикл. мех. техн. физика. 1973, Л/а 6, С. 47-51.

24. Соколов Д.Д., Томин Д-Н. Флуктуирующий ABC-поток и гипотеза Зельдовича о быстром динамо, Сборник трудов международной конференции МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 2009,С. 300-303.

25. Томин Д.Н., Соколов Д.Д. Магнитное поле во флуктуирующем ABC-потоке, Письма в Астрономический Журнал, 2009, Т. 35, .№5, С. 359-363.

26. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. М.: РХД, 2003.

27. Bullard, Е. С., Gellrnan Н. The stability of a homopolar dynamo, Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955, V. 51, P. 744-760.

28. Choudhuri A.R., Chaterjee P., Nandy D. Helicity of solar active regions from a dynamo model, Ap.J., 2004, 615, L57-L60.

29. Cowling T.G. The magnetic field of sunspots, Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1934, V. 94. P. 39-48.

30. Galanti В., Sulem P. Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 1992, V. 66, issue 1, P. 183-208.

31. Galloway D. and Fnch U. A numerical investigation of magnetic field generation in a flow with chaotic streamlines, Geophys. Astrophys. Fluid Dvn., 1984, V. 29, P. 13-18.

32. Hagino M., Sakurai T. Solar-cycle variation of magnetic helicity in active regions, Publ. Astron. Soc. Jap. 2005, V. 57, P. 481-485.

33. Hollerbach R., Galloway D.J. and Proctor M.R.E. Numerical evidence of fast dynamo action in a spherical shell, Phys. Rev. L, 1995, V. 74, P. 3145-3148.

34. Kleeorm N. Kuzanyan K., Moss D. Rogachevskii I., Sokoloff D. Zhang H. Magnetic helicity evolution during the solar activity cycle: observations and dynamo theory, A&A, 2003, V. 409, P. 1097 -1105.

35. Kleeorm N., Rogachevskii I., Sokoloff D., Tom,in D. Mean-field dynamos in random Arnold—Beltrami—Childress and Roberts flows, Physical. Review, E, 2009, V. 79, 046302, 7 P.

36. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet, Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci., 1919, P. 159-160.

37. Livermore P.H., Hughes D.W., and Tobias S.M. The role of helicity and stretching in forced kinematic dynamos in a spherical shell, Phvs. Fluid. 2007. V. 19-057101.

38. Lortz D. Exact solutions of the hydromagnetic dynamo problem, Plazma Phys., 1968, V. 10, P. 967-972.

39. Parker E.N. The formation of sunspots from the solar toroidal field, Astrophys. .J. 1955, V. 121, P. 491-507.

40. Rddler K.-H. Mean-field approach to spherical dynamo models, Astron. Nachr., 1980, V. 301, P. 101-129.

41. Radler K.-H., Kleeorm N. Rogachevskii I. The mean electromotive force for Mhd turbulence: the case of a weak mean magnetic field and slow rotation, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 2003, V. 97, P. 249-274.

42. Roberts G.O. Spatially periodic dynamos, Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1970, A266, P. 535-558.45| Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with twodimensional periodicity. Phil. Trans. R. Soc. London, 1972, A271, P. 411-454.

43. Rogachevskii I. Kleeorm N. Intermittency and anomalous scaling for magnetic fluctuations, 1997, Phys. Rev., E56, P. 417-426.

44. Ruzrnaikm A.A., Sokoloff D.D. and Shukurov A.M. Hydromagnetic screw dynamo, J. Fluid Mech., 1988, V. 197, P. 39-56.

45. Sokoloff D., Bao S.D., Kleeorin N., Kuzanyan K., Moss D. Rogachevshi I., Tomvn D., Zhang H. The distribution of current helicity at the solar surface at the beginning of the solar cycle, Astron. Nachr., 2006, V. 327, no. 5, P. 876-883.

46. Sokoloff' D., Zhang H., Kuzanyan K.M., Tomin D. Magnetic and current helicities in solar dynamos, Adv. Sp. Res., 2007, V. 39, P. 1670-1673.

47. Sokoloff D.D., Zhang H., Kuzanyan K.M., Obridko V.N., Tomin D.N., Tutubalin V.N. Current helicity and twist as two indicators of the mirror asymmetry of solar magnetic fields, Solar Physics, 2008, V. 248, no.l, P. 17-28.

48. Sokoloff D., Tomin D., Rubashny A. Dynamo in context of Riemannian geometry: A mathematical tool and cosmological applications, 8th AIMS Conference «Dynamical systems, Differential equations and applications», Abstracts, Dresden, Germany, 2010,

49. Tomin D. Sokoloff D. Dynamo in fluctuating ABC flow, Geophvs. Astrophys. Fluid Dyn., 2010, V. 104, no. 2-3, P. 183-188.P. 74.