Условие устойчивости против иррационального поведения игроков

Белицкая, Анна Владимировна

Условие устойчивости против иррационального поведения игроков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Белицкая, Анна Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Условие устойчивости против иррационального поведения игроков»

Автореферат диссертации на тему "Условие устойчивости против иррационального поведения игроков"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

0050ООУ«-

Белицкая Анна Владимировна

УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОТИВ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИГРОКОВ

Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012 г.

2 2 НОЯ 2012

005055504

Работа выполнена на кафедре математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель: профессор Пстросян Леон Агапесович.

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Печерский Сергей Львович,

Факультет экономики ЕУСПб;

кандидат физико-математических наук Ковшов Александр Михайлович, факультет прикладной математики-процессов управления СПбГУ.

Ведущая организация:

Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург).

Защита состоится «19» декабря 2012 г. в 16 час. на заседании совета Д.212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В. О., Средний пр., д. 41/43, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ им. А. М. Горького по адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан « /о? > /tOcf.^Ä-<j 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

В. Д. Ногин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начиная с пятидесятых годов XX века, начинает развиваться теория дифференциальных игр, которая применяется при описании и исследовании экономических систем и процессов, а также процессов, происходящих в экологии, менеджменте и других сферах человеческой жизни. В различное время в развитие теории дифференциальных игр свой вклад внесли Р. Айзеке, H.H. Красовский, JI.A. Петросян, а также H.H. Данилов, Дж. Заккур, В.В. Захаров, H.A. Зенкевич, В. И. Жуковский, С. Йоргенсен, А.Ф. Клейменов, А.Ф. Кононенко, A.B. Кряжимский, Д.В. Кузютин, В.Н. Лагунов, Ю.С. Осипов, Л.С. Понтрягин, В.В. Розен, Дж. А. Филлар, C.B. Чистяков, Д.В.К. Янг, Б.Б. Яновская и др.

Со временем стала развиваться теория кооперативных дифференциальных игр. Появляется важное требование — требование динамической устойчивости (временной состоятельности или состоятельности во времени) выбранного в игре принципа оптимальности, в соответствии с которым находится решение игры. Динамическая устойчивость означет, что в процессе реализации решения принцип оптимальности, который был выбран в начале игры, должен оставаться состоятельным в течение всей игры. Необходимо отметить, что почти всегда первоначально выбранное решение в ходе его реализации теряет свою оптимальность. Чтобы этого избежать необходимо специальным образом производить регуляризацию принципа оптимальности. Динамическая устойчивость подробно исследовалась в работе Л.А. Петросяна1 (1977). Л.А. Петросян предложил производить регуляризацию принципа оптимальности перераспределением выигрыша в соответствии с "процедурой распределения дележа".

Еще одним важным свойством решений кооперативных дифференциальных игр является устойчивость против иррационального поведения игроков. В диссертационной работе исследуется условие устойчивости против иррационального поведения игроков. В процессе кооперативной игры может возникнуть ситуация, когда какой-либо игрок (или группа игроков) решат расторгнуть первоначально принятое кооперативное соглашение. Начиная с этого момента игроки начнут действовать каждый в своих интересах. Тогда участники должны быть уверены, что

1 Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. Вып. 14. е 19. С. 46-52.

в этом случае их затраты будут не выше, чем в случае изначального отсутствия кооперации. Условие, при котором игроки гарантируют себе при этом наихудшем сценарии (аннулирование кооперативного соглашения в процессе игры) затраты не выше, чем те, которые они получи ли бы, если с самого начала игры не кооперировались (не объединялись в максимальную коалицию), называется "условием устойчивости против иррационального поведения игроков"(условие Д.В.К. Янга2).

Условие Д.В.К. Янга выполняется редко. В диссертационной работе предлагается при кооперации распределять затраты в соответствии с динамически устойчивой процедурой распределения дележа. Это помогает в некоторых случаях достигать выполнения условия устойчивости против иррационального поведения игроков.

Исследуется модель экологического регулирования — модель сокращения вредных выбросов в атмосферу. В последнее время все больший интерес вызывают теоретико-игровые методы решения вопросов, связанных с многосторонними межгосударственными соглашениями. В модели сокращения вредных выбросов в атмосферу предприятия-загрязнители (страны) сами принимают активное участие в регулировании, в результате чего они существенно снижают объемы выбросов по сравнению с уровнем, установленным законодательством.

В работе рассматривается несколько вариантов игры сокращения вредных выбросов в атмосферу: с симметричными затратами, с несимметричными затратами и дифференциальная игра на сети. В первых двух случаях запас загрязнения, накопленного каким-либо игроком (страной), зависит от выбросов всех игроков, участвующих в игре.

Дифференциальная игра на сети предполпгает, что запас загрязнения, накопленного каким-либо игроком, может зависеть от выбросов не всех игроков, а только некоторых. Например, в силу направления ветра или удаленности стран друг от друга, можно пренебречь влиянием некоторых игроков друг на друга.

Целью диссертационной работы является изучение условия устойчивости против иррационального поведения игроков в случае, если при кооперации используется динамически устойчивая процедура распределения дележа (или выигрыша, если рассматриваются игры с нетрапсферабельпыми выирышами). В диссертации

2Yeung D. W. К. An irrational - behavior - proofncss condition in cooperative differential games // Intern. J. of Game Theory Rew. 2006. Vol. 8. P. 739-744.

рассматривалась задача сокращения вредных выбросов в атмосферу и проверялось условие устойчивости против иррационального поведения игроков для различных случаев игры, а также для различных принципов оптимальности.

Научная новизна работы.работы заключается в том, что в ней:

• предложено условие устойчивости против иррационального поведения игроков, в котором используется динамически устойчивая процедура распределения дележа;

• исследовано условие устойчивости против иррационального поведения игроков для кооперативных дифференциальных игр с нетрансферабельными выигрышами в случае, если используется динамически устойчивая процедура распределения выигрыша;

• определена и впервые исследована дифференциальная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертации, представляют теоретический и практический интерес. Для описания и исследования экономических систем и процессов, а также процессов, происходящих в экологии, менеджменте и других сферах человеческой жизни, все чаще используются математические теоретико-игровые модели. Особый интерес представляют кооперативные дифференциальные игры и динамическая устойчивость их решений (то есть оптимальность в процессе всей игры решения, которое было выбрано в начале игры). Также важное практическое значение имеет условие, гарантирующее игрокам, объединенным в максимальную коалицию, защиту от иррационального поведения какого-либо игрока (или группы игроков), входящего в максимальную коалицию.

Основные положения, выносимые на защиту:

пределения вектора Шепли. Выполнение аналогичного условия доказано в коалиционнай игре, где принципом оптимальности является PMS-вектор.

2. Математически формализовано условие устойчивости против иррационального поведения игроков для коалиций. Доказана теорема о том, что это условие выполнено для игры сокращения вредных выбросов в атмосферу, когда в качестве принципа оптимальности выбран динамически устойчивый вектор Шепли.

3. Для случая несимметричных затрат доказана теорема о выполнении условия устойчивости против иррационального поведения игроков в игре сокращения вредных выбросов в атмосферу, если была использована динамически устойчивая процедура распределения ES-вектора. Для случая коалиционной игры доказано аналогичное условие, где, в качестве принципа оптимальности, рассматривается PMS-вектор.

4. Доказана теорема о том, что условие устойчивости против иррационального поведения игроков для игры с нетрансферабельными выгрышами выполняется для любого Парето-оптимального решения, если используется динамически устойчивая процедура распределения выигрыша.

5. Определена дифференциальная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети. Найдено равновесие по Нэшу, минимальные издержки максимальной коалиции. Получена динамически устойчивая процедура распределения ES-вектора. Получено ограничение на структуру сети, гарантирующее выполнение условия устойчивости против иррационального поведения игроков в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети, если используется динамически устойчивая процедура распределения ES-вектора.

Апробация работы. Основные результаты, составляющие содержание работы, были представлены на III, V и VI Международных конференциях "Теория игр и менеджмент"СТМ'09, GTM'll и GTM'12 (Санкт-Петербург, 2009, 2011, 2012 гг.); на I Международной конференции "Chinese Game Theory and Expérimental Economies Association"(Пекин, Китай, 2010); на VIII Международном симпозиуме "International Society of Dynamic Games"ISDG (Падова, Италия, 2011); на

Международной научной конференции "Математика, экономика, менеджмент: 100 лет со дня рождения JI.B. Канторовича"(Санкт-Петербург, 2012); на Междуна-ровной конференции "Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics"CNSA-2012 (Санкт-Петербург, 2012). Кроме того, результаты докладывались на семинарах кафедры математической теории игр; на Международном семинаре "Scientific Publications. Qualitative Research Methods in Operations "(Санкт-Петербург, 2010 г.); на Всероссийской конференции "Устойчивость и процессы управления "(Санкт-Петербург, 2010 г.); на XLI и XLII научных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2010 и 2011 гг.).

Публикации работы. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, 2 из которых — в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертиции. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы (которые, в свою очередь, разбиты на подпарагра-фы), заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 109 страниц. Список литературы включает 47 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертационного исследования и новизна полученных результатов, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы положения, выносимые на защиту, обоснованы теоретическая ценность и практическая значимость представленных в работе результатов. Также представлены основные понятия и определения, используемые в работе.

В первой главе рассматривается условие устойчивости против иррационального поведения игроков в дифференциальной кооперативной игре. Предлагается на кооперативном участке игры затраты распределять с помощью динамически устойчивой процедуры распределения дележа ft(t). Для дифференциальной игры с бесконечной продолжительностью, с дисконтированием, данное условие выглядит следующим образом: t

V(xo, to; {»}) > / e-^-^ftMdr + e-r^Vix'ity, {г}), i 6 /, (1)

где V{x0, t0] {г}) — издержки игрока i в равновесии по Нэшу, вычисленные в начальном состоянии х0]

{г}) — аналогичные издержки, вычисленные в начальном состоянии на кооперативной траектории.

Введем достаточное условие выполнения условия устойчивости против иррационального поведения игроков (1):

Теорема 1 Для того, чтобы условие устойчивости против иррационального поведения игроков, где на кооперативном участке игры используется динамически устойчивая процедура распределения дележа Р{т), было выполнено, достаточно, чтобы выполнялось следующее неравенство:

А(т) < ¿Пх'М; {<}) + {<}). < = 1. ->

В параграфе 1.3 рассматривается коалиционная игра. Вводится условие устойчивости против иррационального поведения игроков для произвольной коалиции 5*, если издержки на кооперативном участке игры распределяются с помощью

динамически устойчивой процедуры распределения дележа А(т):

(

Г„

где ¿о; {■?*}) минимальные издержки коалиции вычисленные в началь-

ный момент х0 за время [£0, +оо), когда игроки, не входящие в коалицию (то есть входящие в коалицию действуют в соответствии со стратегиями, рав-

новесными по Нэшу,

У(х!(Ь); {5*;}) — подобные издержки, вычисленные в начальный момент на оптимальной кооперативной траектории хза время [(,+оо).

То есть коалиция гарантирует себе, что даже при аннулировании кооперативного соглашения, она "понесет"меньшие затраты, чем в случае, когда кооперативное соглашение изначально не было принято.

Во второй главе рассматривается теоретико-игровая модель экологического регулирования — модель сокращения вредных выбросов в атмосферу, случай с симметричными затратами.

В параграфе описана постановка игровой задачи. I — {1,2,..., га} — это множество игроков. С^щ) — это издержки на природоохранные мероприятия, которые несет игрок г, если он снижает выбросы до некоторого допустимого уровня щ:

С<М0) = - «¡)2, 0 < и<(0 <щ, 7 > 0.

Предполагается выполненным условие:

П7Г

Пусть Di(x) — это затраты па возмещение ущерба от загрязнения:

Di(x) = 7Tz(i), 7Г > 0.

Динамика загрязнения происходит в соответствии с дифференциальным уравнением:

i(t) = 1>(0-&с(0. i€l

x(to) = ÏOi (2)

где <5 — коэффициент, характеризующий долю поглощенного загрязнения.

Каждый игрок стремится минимизировать суммарные затраты на сокращение вредных выбросов и затраты, необходимые на возмещение ущерба от загрязнения. Таким образом, затраты игроков имеют следующий вид:

оо

Ki(x0, to, и) = I + А(«(0))«й.

при условии (2), где и = («ь ..., ип) — это ситуация в игре, а <5 — ставка дисконтирования.

Теорема 2 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполнено в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу, если на кооперативном участке игры для распределения кооперативных затрат используется динамически устойчивая процедура распределения вектора Шепли.

В параграфе 2.4.2 доказывается Теорема 2.

В разделе 2.5 рассматривается коалиционный вариант игры сокращения вредных выбросов в атмосферу с симметричными затратами. В качестве принципа оптимальности выбирается PMS-вектор3, который строится в параграфе 2.5.1. Предполагается, что на первой стадии коалиции действуют в собственных интересах.

3Petrosyan L., Mamkina S. Dynamic games with coalitional structures // International Game Theory Review. 2006. Vol.8. N 2. P. 295-307.

На втором шаге выигрыш каждой коалиции делится между игроками по вектору Шепли, вычисленному для кооперативной игры внутри каждой коалиции. Векторы Шепли, вычисленные для каждой коалиции, образуют РМБ-вектор.

Далее исследуется вопрос динамической устойчивости РМБ-вектора. В параграфе 2.5.2 вычисляется динамически устойчивая процедура распределения РМЭ-вектора.

Теорема 3 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполнено в коалиционной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу, если на кооперативном участке игры для распределения кооперативных затрат используется динамически устойчивая процедура распределения РМБ-вектора.

Теорема 3 доказывается в параграфе 2.5.3.

В последнем параграфе второй главы доказывается теорема о выполнении условия устойчивости против иррационального поведения игроков для коалиций в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу, если используется динамически устойчивая процедура распределения вектора Шепли.

В третьей главе исследуется модифицированная модель сокращения вредных выбросов в атмосферу. В параграфе 3.1 описана постановка задачи. Основным отличием данной модели является ассиметричность функций издержек игроков. Достигается она с помощью различных для каждого игрока г затрат на возмещение ущерба от загрязнения

Щя) = ж{х(г), 7Г; > 0.

Издержки на природоохранные мероприятия, которые несет игрок г, если он снижает выбросы до некоторого допустимого уровня щ имеют вид:

С{{щ) = 0<щ(г)<щ, 7 > 0.

Предполагается выполненным условие:

- 'е/

7 (Р + 6У

В параграфе 3.2 рассматривается Ев-вектор в качестве принципа оптимальности кооперативной игры. В параграфе 3.2.1 исследуется вопрос регуляризации ЕЭ-вектора. Вычисляется динамически устойчивая процедура распределения дележа.

Теорема 4 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполнено в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами, если на кооперативном участке игры для распределения кооперативных затрат используется динамически устойчивая процедура распределения ЕЭ-вектора.

Доказательство Теоремы 4 приводится в параграфе 3.2.2.

В разделе 3.3 рассматривается коалиционная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами. Строится характеристическая функция и РМЭ-вектор. Затем вычисляется динамически устойчивая процедура распределения РМЭ-вектора.

Теорема 5 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполнено в коалиционной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами, если на кооперативном участке игры для распределения кооперативных затрат используется динамически устойчивая процедура распределения РМЭ-вектора. -

В параграфе 3.3.4 приведено доказательство Теоремы 5.

В первых трех главах рассматриваются трансферабельные затраты.

Четвертая глава посвящена исследованию условия устойчивости против иррационального поведения игроков для игр с нетрансферабельными выигрышами. В качестве решения игры рассматривается Парето-оптималыюе решение. В параграфе 4.1 вводится понятие динамически устойчивого Парето-оптимального решения.

Теорема 6 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков для любого Парето-оптимального решения в кооперативной дифференциальной игре с нетрансферабельными выигрышами выполнено для процедуры распределения выигрыша, удовлетворяющей неравенству:

Ш ^ [4, +оо)) + рш{(х'(Ь), [I, +оо)),

где ^(ж"(г),[{,+оо)) — некооперативный выигрыш игрока { с начальным состоянием на кооперативной траектории на временном интервале [(,+оо).

Доказательство Теоремы 6 приводится в параграфе 4.2.

В параграфе 4.3 демонстрируется техника вычисления динамически устойчивой процедуры распределения выигрыша на примере игры сокращения вредных выбросов в атмосферу.

' В пятой главе вводится дифференциальная сетевая игра сокращения вредных выбросов в атмосферу. Рассматривается произвольная сеть и частный случай — случай "круговой сети". Случаю "Круговая сеть"посвящены первые шесть параграфов пятой главы. В параграфе 5.1 описана постановка игровой задачи.

Игра представляет собой набор Г(1,Ь), где / = {1,2,...,тг} — это множество игроков (предприятий), объединенных в сеть.

Узлами этой сети являются игроки из множества I.

Предположим, что игроки пронумерованы таким образом, что сеть состоит только из множества ребер Ь следующего вида:

(г, г + 1) 6 Ь, г е г ф п,

(3)

(п, 1) е Ь, г = п.

Такую игру будем называть сетевой игрой кругового типа или круговой сетью.

Выбросы игрока г, г = 1,2,...,п в момент времени г, £ е [(о,ос), обозначим

как

Динамика накопления загрязнения за время Р.

*<(') = + ти1+1 ~ £а:<(0.

4 2 4 (4)

*<(<о) = х°,

где 5 — коэффициент, характеризующий долю поглощенного загрязнения.

Каждый игрок имеет свою собственную динамику накопленного загрязнения, в отличие от моделей, рассмотренных во второй и третьей главе. При этом динамика игрока г, г = 1,...,п зависит не только от своих собственных выбросов,но и от выбросов соседних для него игроков. То есть от выбросов игроков г — 1 и г + 1. Предполагается, что игроки "замкнуты в круг". То есть, динамика накопленного загрязнения первого игрока зависит от выбросов последнего (п-го) и второго.

Таким образом, каждый игрок г & I, г ф ф п имеет связь с игроками г — 1 и г + 1. Первый игрок имеет связь с игроком п и игроком 2. Игрок п имеет связь с игроками п — 1 и 1.

В игре имеется два виде издержек, аналогичных издержкам в модели сокращения вредных выбросов в атмосферу, рассмотренным в главе 2:

С1М = - Й,-)2. О <Щ<Ъ, 7 > о.

Предполагается выполненным условие:

И издержки на возмещения ущерба от загрязнения:

А(я«(0) = "" >

Функция затрат игрока г определяется следующим образом:

оо

№,[«о,+оо),и1) = Уе-^-^Ы + АМОНЛ. ге I.

1о

В параграфе 5.1.1 найдено равновесие по Нэшу для дифференциальной игры на сети кругового типа. В параграфе 5.1.2 рассматривается кооперативная игра, минимизируются издержки максимальной коалиции. В следующих трех разделах исследуется динамическая устойчивость ЕЭ-всктора, в том числе вычисляется динамически устойчивая процедура распределения ЕЭ-вектора:

Теорема 7 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполнено в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети кругового типа, если на кооперативном участке игры для распределения кооперативных затрат используется динамически устойчивая процедура распределения ЕЭ-вектора.

Доказательство Теоремы 7 приводится в параграфе 5.1.5.

В разделе 5.2 вводится дифференцияльная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу на произвольной сети.

Игра представляет собой набор Г(/, L), где I = {1,2,..., п} — это множество игроков, объединенных в сеть. Узлами этой сети являются игроки из множества I. L — множество ребер (г, j) е L, i е j е I.

Основным отличием от сетевой игры сокращения вредных выбросов в атмосферу кругового типа является иной вид динамики накопления загрязнения игроком i.

Введем обозначения: Ki — множество игроков, от которых зависит динамика накопленного загрязнения игроком г; в нашей модели Ki — это множество игроков, связанных дугой с игроком г,

Mi ~ это множество игроков, на которых влияет игрок г, то есть множество игроков, имеющих связь с игроком г,

rrij — количество игроков, динамика накопленного загрязнения которых зависит от выбросов игрока j, Uj, \M¿\ = rtij, M¡ ф 0, j e I.

Динамика накопления загрязнения игроком i за время í определяется следующим дифференциальным уравнением:

¿iW = j~ 5xt{t), Ki = 0,

Xi{t0) = x°.

Ребро (г, ]) 6 Ь в сетевой игре сокращения вредных выбросов, если динамика накопления загрязнения игроком г зависит от выбросов игрока Сеть является ориентированной, то есть если ребро (г, ]) е Ь, то из этого не следует, что ребро

0\ 0 е ь.

Издержки, рассматриваемые в модели имеют такой же вид, как и издержки, рассмотренные в игре сокращения вредных выбросов в атмосферу кругового типа. Суммарные затраты, которые стремится минимизировать каждый игрок, также определяются аналогично затратам в игре кругового типа.

В параграфе 5.2.1 рассматривается пример, иллюстрирующий правило построения динамик накопленного загрязнения для игроков, учавствующих в игре. В параграфе 5.2.2 строится равновесие по Нэшу некооперативной игры им = [и1^, и^,

А соответствующие издержки в равновесии по Нэшу имеют вид: где:

д, V-»/- 1 __тг / 1 >__

и< = А + 47(р + 5)'

а _ оптимальная некооперативная траектория игрока г (в равновесии по Нашу)-

Далее вычисляется кооперативное решение — минимизируются издержки максимальной коалиции.

Оптимальные стратегии максимальной коалиции имеют вид:

I - *

щ = щ--;-

7 {р + б)

Минимальные издержки максимальной коалиции I равны:

п п

где х[ — оптимальная кооперативная траектория игрока г.

В разделе 5.2.4 определяется ЕЭ-вектор сетевой игры сокращения вредных выбросов в атмосферу = • ■ • •

,1- ж V 1___37Г 1П

2 47+ 47(/.+ 5)П V;-

где — оптимальная кооперативная траектория игрока г.

Для этой игры исследуется вопрос регуляризации ЕЭ-вектора (6). Вычисляется динамически устойчивая процедура распределения этого решения /3(£) = Оад.АИ, • •• ,А.(0) в параграфе 5.2.5:

А(4) = „(^^о + 1 + _ £

зтг ч/ |_г!_ 1е1

В параграфе 5.2.6 получено ограничение на структуру сети, гарантирующее выполнение условия устойчивости против иррационального поведения игроков в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети, если используется динамически устойчивая процедура распределения ЕЭ-вектора (7):

Теорема 8 Условие устойчивости против иррационального поведения игроков в сетевой игре сокращения вредных выбросов в атмосферу выполняется, когда на кооперативном участке игры используется динамически устойчивый ЕЭ-вектора и выполняется неравенство:

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Сетевая игра сокращения вредных выбросов в атмосферу // МТИП. Т. 4. Вып. 2. 2012. (в соавторстве с Л. А. Петросяном). С. 3-Ц13.

2. Коалиционное решение в задаче сокращения вредных выбросов // Изд-во СПбГУ. Вестник СПбГУ. серия 10. Выпуск 2. 2010. (в соавторстве с Л. А. Петросяном, Н.В. Козловской). С. 46-59.

3. Динамическая устойчивость РМЭ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов // Изд-во СПбГУ. Процессы управления и устойчивость, труды ХЫ международной конференции аспирантов и студентов. 2010. (в соавторстве с Н.В. Козловской). С. 612-617.

4. Условие Д.В.К. Янга для динамических игр с нетрансферабельными выигрышами // Изд-во СПбГУ. Процессы управления и устойчивость, труды ХЫ1 международной конференции аспирантов и студентов. 2011. (в соавторстве с Л. А. Петросяном). С. 496-502.

Публикации в других изданиях

5. The D.W.K. Yeung Condition for Cooperative Differential Games with Nontransferable Payoffs // Graduate School of Management, Contributions to game theory and management, Volume V. 2012. P. 45-50.

6. D. W. K. Yeung's Condition for the coalitional solution of the game of pollution cost reduction // Graduate School of Management, Contributions to game theory and management, Vol. III. 2010. (в соавторстве с H.B. Козловской). P. 171-181.

7. The detalization of the irrational behavior condition // Contributions to game theory and management. V. III. 2010. (в соавторстве с JI. А. Петросяпом, Д.В.К. Янгом и В.В. Жуком). Р. 431-440.

8. Network game of emission reduction // Тезисы докладов международной конференции "Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы". СПб.: Изд-во СПбГУ. 2012. (в соавторстве с Л. А. Петросяном). Р. 29-30.

9. Условие Д.В.К. Янга для пропорционального решения в задаче сокращения вредных выбросов // Всероссийская конференция, посвященная 80-летию со Дня Рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления". СПб.: ВВМ. 2010. (в соавторстве с Л. А. Петросяном). С. 150-151.

10. The Irrational Behavior Proof Condition for the Emission Reduction Game // Proceedings of the Eighth International ISDG Workshop. 2011.

11. Network Game of Pollution Cost Reduction // GAME THEORY AND MANAGEMENT. Collected abstracts of papers presented on the Sixth International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management, SPbU. 2012.

Подписано к печати 01.11.12. Формат60x84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5561.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Белицкая, Анна Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОТИВ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИГРОКОВ

1.1. Постановка задачи.

1.2. Достаточное условие устойчивости против иррационального поведения игроков

1.3. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков для коалиций.

Глава 2. ЗАДАЧА СОКРАЩЕНИЯ ВРЕДНЫХ ВЫБРОСОВ В АТМОСФЕРУ. СЛУЧАЙ СЕММИТРИЧНЫХ ЗАТРАТ.

2.1. Постановка задачи сокращения вредных выбросов в атмосферу для случая симметричных затрат.

2.2. Решение задачи.

2.3. Построение характеристической функции.

2.4. Вектор Шепли.

2.4.1. Динамическая устойчивость вектора Шепли.

2.4.2. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков для вектора Шепли.

2.5. Коалиционный вариант игры сокращения вредных выбросов в атмосферу с симметричными затратами.

2.5.1. Построение РМБ-вектора.

2.5.2. Динамическая устойчивость РМБ-вектора для случая симметричных затрат.

2.5.3. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков для РМБ-вектора.

2.6. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков для коалиций в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу.

Глава 3. ЗАДАЧА СОКРАЩЕНИЯ ВРЕДНЫХ ВЫБРОСОВ В АТМОСФЕРУ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЗАТРАТАМИ

3.1. Постановка задачи сокращения вредных выбросов в атмосферу для случая несимметричных затрат.

3.2. Вычисление ЕЯ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.2.1. Динамическая устойчивость ЕЯ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.2.2. Условие устойчивости против иррационального поведения для ЕЯ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.3. Коалиционная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.3.1. Вектор Шешщ в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.3.2. Построение РМБ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.3.3. Динамическая устойчивость РМБ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

3.3.4. Условие устойчивости против иррационального поведения для РМБ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу с несимметричными затратами.

Глава 4. УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОТИВ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИГРОКОВ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ИГР С

НЕТРАНСФЕРАБЕЛЬНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ

4.1. Динамическая устойчивость.

4.2. Устойчивость против иррационального поведения игроков для игры с нетрансферабельными выигрышами.

4.3. Задача сокращения вредных выбросов в атмосферу с нетрансферабельными затратами.

4.3.1. Математическая формализация задачи.

4.3.2. Решение задачи сокращения вредных выбросов в атмосферу с нетрансферабельными затратами.

Глава 5. СЕТЕВАЯ ИГРА СОКРАЩЕНИЯ ВРЕДНЫХ ВЫБРОСОВ В АТМОСФЕРУ

5.1. Дифференциальная игра на сети кругового типа.

5.1.1. Равновесие по Нэшу.

5.1.2. Минимальные'издержки максимальной коалиции.

5.1.3. Вычисление ЕБ-вектора.

5.1.4. Динамическая устойчивость ЕБ-вектора.

5.1.5. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу на круговой сети.

5.2. Произвольная сеть.

5.2.1. Пример дифференциальной игры на произвольной сети.

5.2.2. Равновесие по Нэшу в дифференциальной игре на произвольной сети.•.

5.2.3. Кооперативное решение в дифференциальной игре на произвольной сети.

5.2.4. Вычисление ЕБ-вектора в дифференциальной игре на произвольной сети.

5.2.5. Динамическая устойчивость ЕБ-вектора в дифференциальной игре на произвольной сети.

5.2.6. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу на произвольной сети.

Введение диссертация по математике, на тему "Условие устойчивости против иррационального поведения игроков"

Актуальность работы.

Одним из важнейших разделов теории игр является теория дифференциальных игр, которая возникла в пятидесятые годы XX века. До середины шестидесятых годов исследовались антагонистические дифференциальные игры, которые рассматривали конфликт между двумя сторонами, имеющими противоположные игнтересы. Но они были применимы лишь в ограниченном классе задач, например, в задачах, возникающих при военном столкновении сторон.

В конце шестидесятых годов стали появляться работы по теории неантагонистических дифференциальных игр, которые применялись при моделировании социально-экономических процессов. Рассматиривались некооперативные дифференциальные игры, где в качестве принципа оптимальности использовалось равновесие по Нэшу. Со временем стала развиваться теория кооперативных дифференциальных игр. В различное время в развитие теории дифференциальных игр свой вклад внесли Р. Айзеке^ H.H. Красовский, JI.A. Петросян, а также H.H. Данилов, Дж. Заккур, В.В. Захаров, H.A. Зенкевич, В. И. Жуковский, С. Йоргенсен, А.Ф. Клейменов, А.Ф. Кононенко, A.B. Кряжимский, Д.В. Кузютин, В.Н. Лагунов, Ю.С. Осипов, JI.C. Понтря-гин, В.В. Розен, Дж. А. Филлар, C.B. Чистяков, Д.В.К. Янг, Е.Б. Яновская и др.

В теории кооперативных дифференциальных игр появляется важное требование — требование динамической устойчивости (временной состоятельности или состоятельности во времени) выбранного в игре принципа оптимальности, в соответствии с которым находится решение игры. Динамическая устойчивость означет, что в процессе реализации решения принцип оптимальности, который был выбран.в начале игры, должен оставаться состоятельным в течение всей игры. То есть при развитии игры вдоль первоначально выбранной оптимальной кооперативной траектории игроки должны следовать одному итому же принципу оптимальности в каждый момент времени.

Необходимо отметить, что почти всегда первоначально выбранное решение в ходе его реализации теряет свою оптимальность. Чтобы этого избежать необходимо специальным образом производить регуляризацию принципа оптимальности. Динамическая устойчивость подробно исследовалась в работе Л.А. Петросяна [11]. Также проблеме динамической устойчивости посвящены работы [4], [15], [16] и др. Л.А. Петросян в [34] предложил производить регуляризацию принципа оптимальности перераспределением выигрыша в соответствии с "процедурой распределения делрка".

Динамическая устойчивость является не единственным условием устойчивости кооперации на всем отрезке ее реализации. Еще одним важным свойством кооперации является "устойчивость против иррационального поведения игроков". Нет гарантии, что на всем промежутке реализации кооперативного соглашения игроки, входящие в кооперацию будут вести себя "рационально". В процессе игры может возникнуть ситуация, когда какой-либо игрок (или группа игроков) решат расторгнуть первоначально принятое кооперативное соглашение. Начиная с этого момента игроки начнут действовать каждый в своих интересах. Тогда участники должны быть уверены, что в этом случае их затраты будут не выше, чем в случае изначального отсутствия кооперации. Условие, при котором игроки гарантируют себя при этом наихудшем сценарии (аннулирование кооперативного соглашения в процессе игры) затраты не выше, чем те, что они получи ли бы, если бы с самомго начала игры не объединялись в максимальную коалицию, называется "условием устойчивости против иррационального поведения игроков". Это условие было предложено Д.В.К. Янгом в [43] для дифференциальной кооперативной игры с конечной продолжительностью.

Условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполняется редко. В работе рассматривается условие устойчивости против иррационального поведения игроков для случая кооперативной дифференциальной игры с бесконечной продолжительностью. Предлагается на кооперативном участке игры использовать динамически устойчивую процедуру распределения дележа. Предложено условие против иррационального поведения игроков для коалиций. В соответствии с этим условием, рассматривается ситуация, когда перед началом игры принимается кооперативное соглашение, выбирается принцип оптимальности. В процессе игры иррациональные дествия игрока (игроков) ведут к распаду кооперации, после чего остается некоторая коалиция Все остальные игроки начинают действовать в своих интересах, выбирая стратегии, равновесные по Нэшу. Условие устойчивости против иррационального поведения игроков для коалиций заключается в том, что в случае распада кооперации в процессе игры оставшаяся коалиция гарантирует себе, что ее затраты будут не выше, чем затраты, которые эта коалиция "понесла"бы, если бы изначально не создавалась кооперация, а существовала бы только эта коалиция Бь, а все остальные игроки придерживались бы стратегий, равновесных по Нэшу. , ,

В частном случае исследуется модель экологического регулирования — модель сокращения вредных выбросов в атмосферу. В последнее время экологический проблемы привлекают внимание не только политиков и ученых, но и все общество, в целом. Происходит это потому, что само общество непосредственно участвует в развитии глобальных экологических проблем.

Полностью избежать последствий глобальных экологических проблем невозможно, но возможно уменьшить их последствия. В связи с этим принимаются различные межгосударственные соглашения по защите окружающей среды. В последнее время все больший интерес вызывают теоретико-игровые методы решения вопросов, связанных с многосторонними межгосударственными соглашениями. Одной из теоретико-игровых моделей, в которой рассматриваются такие межгосударственные соглашения, является модель сокращения вредных выбросов в атмосферу, предложенная Л.А. Петросяном и

Г. Заккуром в [39].

В работе рассматривается несколько вариаций игры сокращения вредных выбросов в атмосферу: с симметричными затратами, с несимметричными затратами и дифференциальная игра на сети. Для каждого случая исследуются различные принципы оптимальности. Исследуется вопрос динамической устойчивости решений. Также доказывается условие устойчивости против иррационального поведения игроков при условии, что на кооперативном участке игры для распределения кооперативных затрат используется динамически устойчивая процедура распределения дележа.

Основной целью работы являлось изучение условия устойчивости против иррационального поведения игроков в случае, если при кооперации используется динамически устойчивая процедура распределения дележа (или выигрыша, если рассматриваются игры с нетрансферабельными выирыша-ми). В диссертации рассматривалась задача сокращения вредных выбросов в атмосферу и проверялось условие устойчивости против иррационального поведения игроков для различных случаев игры, а также для различных к принципов оптимальности.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

• определена и впервые исследована дифференциальная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, представляют теоретический и практический интерес. Для описания и исследования экономических систем и процессов, а также процессов, происходящих в экологии, менеджменте и других сферах человеческой жизни, все чаще используются математические теоретико-игровые модели. Особый интерес представляют кооперативные дифференциальные игры и динамическая устойчивость их решений (то есть оптимальность в процессе всей игры решения, которое было выбрано в начале игры). Также важное практическое значение имеет условие, гарантирующее игрокам, объединенным в максимальную коалицию, защиту от иррационального поведения какого-либо игрока (или группы игроков), входящего в максимальную коалицию.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математически формализовано условие устойчивости против иррационального поведения игроков, в котором при кооперации используется динамически устойчивая процедура распределения дележа. Доказана теорема о выполнении условия устойчивости против иррационального поведения игроков для игры сокращения вредных выбросов в атмосферу, в случае симметричных затрат, если была использована динамически устойчивая процедура распределения дележа. В качестве принципа оптимальности рассмотрен Вектор Шепли. Выполнение аналогичного условия доказано в коалиционнай игре, где принципом оптимальности является РМЗ-вектор.

3. Для случая несимметричных затрат доказана теорема о выполнении условия устойчивости против иррационального поведения игроков в игре сокращения вредных выбросов в атмосферу, если была использована динамически устойчивая процедура распределения дележа. В качестве принципа оптимальности рассмотрен ES-вектор. Для случая коалиционной игры доказано аналогичное условие, где, в качестве принципа оптимальности, рассматривается PMS-вектор.

5. Определена дифференциальная игра сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети. Найдено равновесие по Нэшу, минимальные издержки максимальной коалиции, а также ES-вектор. Получена динамически устойчивая процедура распределения ES-вектора. Получено ограничение на структуру сети, гарантирующее выполнение условия устойчивости против иррационального поведения игроков в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу на сети, если используется динамически устойчивая процедура распределения ES-вектора.

Апробация работы. Основные результаты, составляющие содержание v > работы, были представлены на III, V и VI Международных конференциях «Теория игр и менеджмент» GTM'09, GTM'll и GTM'12 (Санкт-Петербург, 2009, 2011, 2012 гг.); на I Международной конференции "Chinese Game Theory and Expérimental Economies Association"(Пекин, Китай, 2010); на VIII Международном симпозиуме "International Society of Dynamic Games"ISDG (Па-дова, Италия, 2011); на Международной научной конференции «Математика, экономика, менеджмент: 100 лет со дня рождения JI.B. Канторовича» (Санкт-Петербург, 2012); на Междунаровной конференции "Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics"CNSA-2012 (Санкт-Петербург, 2012). Кроме того, результаты докладывались на семинарах кафедры математической теории игр; на Международном семинаре "Scientific Publications. Qualitative Research Methods in Opérations"(Санкт-Петербург, 2010 г.); на Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010 г.); на ХЫ и ХЫ1 научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2010 и 2011 гг.).

По материалам диссертации опубликованы работы [2], [6], [7], [8], [19], [28], [47].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследуется динамическая устойчивость различных кооперативных соглашений, а также устойчивость против иррационального поведения игроков. Основные кооперативные принципы оптимальности не обладают свойством динамической устойчивости (временной состоятельности). В качестве метода регуляризации была рассмотрена процедура распределения дележа (ПРД) для игр с трансферабельными выигрышами и процедура распределения выигрыша (ПРВ) для игр с нетрансферабельными выигрышами (затратами). Строится управления в виде функции специальных выплат, реализуемого на оптимальной траектории, на основе применения ПРД (либо ПРВ). Таким образом достигается динамическая устойчивость решения.

Исследуется вопрос устойчивости кооперации против иррационального поведения игроков для игры с бесконечной продолжительностью. Рассма-тивается ситуация, когда в процессе реализации кооперативного решения, в какой-то промежуточный момент времени игрок (или группа игроков) отказываются от кооперативного соглашения. Устойчивость против иррационального поведения игроков заключается в том, что даже в этом случае игроки "понесут"издержки меньшие, чем они "понесли"бы, если изначально кооперация не создавалась бы. Доказано, что при использовании динамически устойчивой ПРВ в игре с нетрансферабельными выигрышами для любого Парето-оптимального решения условие устойчивости против иррационального поведения игроков будет выполнено.

Исследовано достаточное условие выполнения условия устойчивости против иррационального поведения игроков.

Также было введено понятие условия устойчивости против иррационального поведения игроков для коалиций. В начале игры принимается кооперативное соглашение. Игроки распределяют затраты в соответствии с динамически устойчивой процедурой распределения дележа. Рассматривается ситуация, когда в процессе игры кооперация распадается, но остается коалиция При этом все остальные игроки, которые не входят в эту коалицию действуют в соответствии со стратегиями, равновесными по Нэшу. В этом случае коалиция гарантиреют себе затраты ниже, чем, если бы изначально кооперация не создавалась, а существовала бы только коалиция Бк

В частном случае исследована модель сокращения вредных выбросов в атмосферу. Рассмотрено три игры: игра с симметричными выигрышами, игра с несимметричными выигрышами, сетевая игра.

В первой игре в качестве принципов оптимальности рассмотрены вектор Шепли и РМЯ-вектор для коалиционной игры. Была построена динамически устойчивая ПРД для обоих случаев. Доказано, что условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполнено для вектора Шепли и для РМЯ-вектора в задаче сокращения вредных выбросов в атмосферу в том случае, если используется динамически устойчивая ПРД.

Во второй игре в качестве принципов оптимальности выбраны ЕЯ-вектор и РМЯ-вектор для коалиционного варианта игры. Также, как и в первом случае, построена динамически устойчивая ПРД и проверено выполнение условия устойчивости против иррационального поведения игроков для этой ПРД.

В третьей игре рассмотрены два случая: "Круговая сеть"и "Произвольная сеть". Построен ЕЯ-вектор, динамически устойчивая процедура распределения ЕЯ-вектора. Для первого случая доказано выполнение условия устойчивости против иррационального поведения игроков при использовании динамически устойчивой процедуры распределения ЕЯ-вектора. Для второго случая доказано, что при некоторых ограничениях на сеть, условие устойчивости против иррационального поведения игроков выполняется, если используется динамически устойчивая процедура распределения ЕЯ-вектора.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Белицкая, Анна Владимировна, Санкт-Петербург

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М., 1967.

2. Анна В. Белицкая, Леон А. Петросян Сетевая игра сокращения вредных выбросов в атмосферу // МТИП. Т. 4. Вып. 2. 2012. С. 3—13.

3. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

4. Данилов H.H. Кооперативные многошаговые игры с побочными платежами // Изв. Вузов. Мат. 1991. № 2. С. 33-42.

5. Зенкевич H.A., Петросян JI.A., Янг Д.В.К. Динамические игры и их приложения в менеджменте. СПб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента». 2009.

6. Ильина A.B., Козловская Н.В. Динамическая устойчивость PMS-вектора в задаче сокращения вредных выбросов // Изд-во СПбГУ. Процессы управления и устойчивость, труды XLI международной конференции аспирантов и студентов. 2010. С. 612-617.

7. Ильина A.B., Петросян Л.А. Условие Д.В.К. Янга для дина- мических игр с нетрансферабельными выигрышами // Изд-во СПбГУ. Процессы управления и устойчивость, труды XLII международной конференции аспирантов и студентов. 2011. С. 496-502.

8. Н.В. Козловская, Л.В. Петросян, A.B. Ильина Коалиционное решение в задаче сокращения вредных выбросов // Изд-во СПбГУ. Вестник СПбГУ. серия 10. Выпуск 2. 2010. С. 46-59.

9. Клейменов А.Ф. Неантагонистичекие дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993, 184 с.

10. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., 1974.

11. Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. Вып. 14. № 19. С. 46-52.

12. Петросян JI.А. Кооперативные игры на сетях // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. Том 16 №5. С. 143-150.

13. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А. Проблема временной состоятельности кооперативных решений в менеджменте // Вестник СПбГУ. Серия Менеджмент. 2007. № 1. С. 10

14. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М: Высш. шк, 1998.

15. Петросян Л.А., Кузютин Д.В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость. СПб.: Изд. СПбГУ, 2000.

16. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л.: Изд. ЛГУ, 1982.

17. Haurie A. A note on nonzero-sum differential games with bargaining solutions // Journal of Optimization Theory and Application. 1976. P. 3139.

18. Albizur M., Zarzuelo J. On coalitional semivalues // Games and Economic Behaviour. 2004. Vol. 2. P. 221-243.

19. Anna V. Belitskaia The D.W.K. Yeung Condition for Cooperative Differential Games with Nontransferable Payoffs // Graduate School of Management, Contributions to game theory and management, Volume V. 2012. P. 45-50.

20. Bloch F. Sequantal formation of coalitions with fixed payoff division // Games and Economic Behaviour. 1966. Vol. 14. P. 90-123.

21. Borkey P., Leveque F. Voluntary approaches for environmental protection in the European Union a survey // European Environment. 2000. Vol. 10. P. 35-54.

22. Dockner E. J., Jorgensen S., van Long N., Sorger G. Differential Games in Economics and Management Science. Cambridge University Press, 2000. P.485.

23. T. S. H. Driessen, Y. Funaki Coincidence of and collinearity between game theoretic solutions. OR Spektrum 13, 1991. P. 15-30.

24. J.C. Engwerda Necessary and sufficient conditions for Pareto optimal solutions of cooperative differential games // SIAM Journal on Control and Optimization. 48(6). 2010. P. 3859-3881.

25. Filar J.A., Gaertner P.S. A regional allocation of world C02 emission reductions // JMathematics and Computers in Simulation. 1987. P. 269275.

26. Haurie A., Zaccour G. Differential game models of global environment management // Annals of the International Society of Dynamic Games. 1995. P. 3-24.

27. S. Jorgensen, G. Martin-Herran, G. Zaccour Dynamic Games in the Economics and Management of Pollution // Environmental Modeling and Assessment. 2010. P. 433-467.

28. Iljina A., Kozlovskaya N. D. W. K. Yeung's Condition for the coalitional solution of the ¿ame of pollution cost reduction // Graduate School of Management, Contributions to game theory and management, Vol. III. 2010. P. 171-181.

29. Kaitala V., M. Pohjola Sustainable international agreements on green house warming: a game theory study // Annals of the International Society of Dynamic Games. 1995. P. 67-88.

30. Katsoulacos Y., Xepapadeas A. Environmental policy under oligopoly with endogenous market structure // Scand. J. of Economics. 1995. Vol.97 N 3. P. 411-420.

31. Nash J.F. Equilibrium points in n-person games // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1950. Vol. 36. P. 48-49.

32. Neumann J. von, Morgenstern 0. Theory of games and economic behavior // Princeton University Press. 1944.

33. Owen G. Values of games with a priory unions. In: R. Henn and 0. Moeschlin (eds.). Mathematical Economy and Game Theory (Berlin). 1997. P. 78-88.

34. Petrosyan L. Differential Games of Pursuit // World Scientific Pbl. 1993. P. 320.

35. Petrosjan L.A. The Time-Consistency problem in nonlinear dynamics // RBCM, J. of Brazilian Soc. of Mechanical Sciences, 1997. Vol. 19, № 2. P. 291-303.

36. Petrosjan L.A. Bargining in dynamic games // ICM Millennium Lectures on Games. 2003. P. 139-143.

37. Petrosyan L.A., Kozlovskaya N. Time-consistent Allocation in Coalitional Game of pollution cost reduction // Computational Economics and Financial and Industrial Systems. 2007. P. 156-160.

38. Petrosyan L., Mamkina S. Dynamic games with coalitional structures // International Game Theory Review. 2006. Vol.8. N 2. P. 295-307.

39. Petrosyan L., Zaccour G. Time-consistent Shapley value allocation of pollution cost reduction // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. Vol. 27. P. 381-398.

40. Petrosyan L.A., Zenkevieh N.A. Game Theory. Singapure, London: World Scientific Publisher. 1996.

41. Shapley L.S. A value for n-person games // Contributions to the Theory of Games II. Prineton: Princeton University Press, 1953.

42. Stimming M. Capital accumulation subject to pollution control: Open-Loop versus feedback investment strategies // Annals of Operations Research. 1999. Vol.88. P. 309-336.

43. Yeung D. W. K. An irrational behavior - proofness condition in cooperative differential games // Intern. J. of Game Theory Rew. 2006. Vol. 8. P. 739744.

44. Yeung D.W.K., Petrosyan L. A. Proportional time-consistent solution in differential games // International Conference on Logic, Game Theory and Social Choice. SPbGU. 2001. P. 254-256.

45. Yeung D. W.K., Petrosyan L. A. Cooperative Stochastic Differential Games. 2006. P. 41-85.

46. Yeung D.W.K., Petrosyan L. A. Subgame consistent solution of a cooperative stochastic differential game with nontransferable payoffs // Journal of Optimization Theory and Applications 124. 2005. P. 701—724.

47. David W.K. Yeung, Leon Petrosyan, Zhuk V., Anna V. Iljina The detalization of the irrational behavior condition // Contributions to game theory and management. V. III. 2010. P. 431-440.