Уточнение предельных теорем для оценок коэффициентов регрессии случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

о

МИНИСТЕРСТВО ОБРЛЯОВЛ1Щ УКРЛ'ЛШ КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ям. ТЛРЛСЛ ККВЧЕККО

На права* рукоггиои

Коваль Татьяна Леонидовна

УТОЧШШЕ П РЕ ЛЕЯ ЬШХ ТЕОРЕМ ДЛЯ ОЦЕНОК КОЭИВДИЕНТОВ РЕГРЕСС1М СЛУЧЛЙШХ ПОЛЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей а математическая статистика

Автореферат

диссертации ,чз соискание ученой стелена кандидата физико-математических «лук

Киев - 1992

I'ftdom ылполиола на кафедре теории вероятностей и ».утешу и чоокой статистики Киевского униьйрси-ета ш. TajAca Шевченко.

Нцучний руководитель - доктор фивико-цитематических наук", профессор Лвоноико H.H.

Официальные оппоненты: - доктор фиаико-матвматическмх

наук, ведущий научьий сотрудник BEffi'ffiHHlfflOD A.B.

- доктор .'1изик0-<ттематнчв01Ш1 наук, профессор МИШУРА Ь.С.

Чудушая органиаанмя: Институт кибирнетики 1Ш. Глуш-

кош АН Украины г. Каев

Равдта cujqtüutoü "_"___1992 г. в_часов ауд,

li__ lia заседании специатиаароьанного соьвтй К 0G8.10.II прз

Киевском уливорснтпта им, Тараса Иеичвико по ад росу: 262127, г. Kitûu, ьроспект академики Глушкоьа, 6, кезш ико-штецатичео-киП факультет.

С диссертацией иохао оанакопиться в Сийяиотбка униьароита*ц

л

Abïopoijiûpaï рааослац "_"_19Э_ г.

УченыЛ секретарь специачиаиротнлого ооьета

Б.И. Судьей \

МСКАЯ

. .„ , „ хаг;.. тойот работу / ..¡. ' ■ СсКНАЯ

LUUitiiij. j'EK А

Т'Т Актуальность темы. Предельные теоремы для случайных п.рэцез-... ■ con и полей - один на наиболее интенсивно рьэвиваоиртхся разделов современная тесцтси вероятностей. Этот раздал содержит цвдуЯ ряд самостоятельных направлен,;,!. Задача оценивания кооф'-ицикнтов рог-россии, анализа зависимостей яиляется од^эй из осиоьньос задач vo-i-ематичегкоЯ статистики. В нестоящсе время развевается спедаг'льнэе' направление исследования а это.'1, задаче, в котором "сдучь&здЛ ¡¡ум" является слученным процессом или полеу, причем, интерес здесь диктуется запросами приложения.. Асимптотическая нормальность оц<\ч?к наименьших квадратов ксо-^ициентоа регрессии случаен'-::-: процеоюз и полей, удоэлотвордадих услотз сильного перекраивания, усчаг.оп-лена в работлх !'¡«шандора н Гсзен^лотт», Ходею, X'tounno, я длч случая, когда "иуп" является мзртингйг.-р/онсстиз - Кьэсозчм, Л'Л-ненко и V.nuypoii. Интерес представляет оценки скорости схздикгети к нормальному закону л таких теоу--;'ох. ¿ля а-учг»Яикзг послодгп-^тел ностей и поле!!, удовлетворяющих ;слови?.;.» »«.рксяшстн, оцон/ьод г,.<г>-росчп сходимости, з центрально;*. предельно" теоречч г»шимплвсь ('ноги.:! авторы, Отметим лть работы Петром, Стзйио, Тихомирова, Вуяен-ского, Леоненно, ГяЯона и Ричардсон, Суихлодася, Еолтхауяйнц, Хчус-лора, Хейнричо. Настоящая работе продолжает оти исследования.

Цоль,работы. Диссертация посвящена з»дачо получения оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии случайного поля, удовлетворяющего одному из следующих условий зависимости: т - зависимость,' сильное перемешивание, случай, когда поле является

с

иартингал-рааностью, доказательству ясиыптотической нахальности оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии случайного- поля удовлетворяющего условию ассоциированности.

Методы исследования. При доказательстве теореы используется ыатод секционирования, метод характеристических функций, аппарат условных математических ожиданий, спектральная теория случайных полей, общие факты теории мору.

Научная новизна, В диссертационно»! работе получены следущие основные результаты:

- установлена скорость сходимости в центральной предельной теореме для оценок наименьших квадратов векторного коэффициента регрессии случайного поля, удовлетворяющего условии т. - зависимости, а такие для полей , удовлетворяв^)* условна сильного перемешивания;

- получена оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме дня взвешенных сумм случайных величин , являющихся двупа-раыетрическими мартингал-разностями;

- получен результат типа принципа инвариантности для оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии случайного пол« лнляюще гося мартингал-разностью на плоскости;

- доказана сходимость к нормальному закону оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии стационарной в широком оисле ассоциированной случайной последовательности;

- докезана центральная предельная теорема для оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии однородного случайного поля, удовлетворяющего условии ассоциированности.

Теоретическая у, практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в теории случайных колей, математической статистике, статистической

механике, статистической радиофизике и других областях знаний.

Апробация работы. Основные результата диссертации докладывались на конференциях молодых ученых механико-математического фа культета Киевского университета, на Научных семинарах Киевского университета, на республиканском семинаре по теорий вероятностей и математической статистике при Киевском университете , на 2 - Я Украинско-Венгерской конференции "Новые направления в теории вероятностей и математической статистике" ( Мукачево, 1992г. ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в . рвботах [1-3] .

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем работы 137 стр. машинописного текста. Библиография содержит 86 наименований.

СОДЖМШЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность теш, дан краткий обзор исследований, связанных с темой диссертации, а также кратко изложены ее основные результаты.

В работа введена следующая нумерация параграфов, теорем и лемм первая цифра означает номер главы, вторая - параграфа, третья -теоремы или леммы.

В работе рассматривается схема линейной регрессии

г

= 2 + ЬЫ _

где : К.1" случайное поле с нулевым средним ,

бц,) - неизвестный параметр, Ч^С'Ь)'. ■

известные функции. пусть и выделены некоторая снуе-

ма ограниченных ьоарасТищнх множеств А Ги • Задача заключается в том, чтобы по наблюдениям случайного ноля на множествах А,г

оценить параметр б . Оценка наименьших квадратов параметра О имеет анд:

е. * V- 2 •ь* А,.

Очевидно, что Эу^ - несмещенная оценка в'. & I а

ее корреляционная матрица имеет виц:

Задача оценивания скорости сходимости в центральной продольной теореме заключается в нахождении функции п-){0 » такой, что

ЛеЛ

где ^ = ои^С^'С^))..- " = 2 Ч-(1)

- класс выпуклых подмножеств в

- гоуесовв-

кий случайный вектор, , Ссо-У"- Я* --¿ть ¿и. б^Л^и.

I А п. I ~°> > - количество точек и А п. <

Е первой главе получены оценки скорости сходимости к нормально-

му закону оценки наименьших квадратов векторного козЭДлциента регрессии в случае, когда "шум" яатяетсй случаРнш полем, удовлетворяющим условию т- - зависимости (5 1.1) и сильного перемешивания (5 1.2). Введем необходимые определения.

Если V" е 2 ^ , то через обозначив наименьшую (Г-

алгебру, относительно которой измеримы все случайные величины

Ь а V) . Будем говорить, что случайное поле удовлетворя ет условию уп- - зависимости, если для произвольных подмиожесть VI , V,, пространства Z<* & - алгебры и ЛТО^)

независим, если

Введем матричную меру ^„.(.«Ш на е матрицей

плотности С^^СЛ)) ^ где

где . I: е^^ы , Г-,] = I, г,,.,

"Ь £ А П. , |

[-■^Й] - куб в X > В б"" алгебра боролевских подмножеств. Если у поля £.(.£), Ь е Я* существует спектральная плотность СЛ) , то

«со* 1 I ] .хом)'1

c-jr.il1* КлГ

I. Пусть существует мера ^ на ["-/г,Ц]^ такая, что имеет место слабая сходимость вероятностных мер ^^ ^ при ^А«.!-^«

и = (Д^^С^Л)}^..^ = невырожденная матрица,

«зли ' непрерывная и огрг-шченная функция, то.

при условии I".

Я^ Чгл^'/^ЫЛ))'114 иШ ( У СИЛ)"1

С-Л.Л.И C-H.li И с-«. Я Г1 Буквой С будем обозначать положительные конечные постоянные.

Следующая таорема диет оценку скорости сходимости в центральной продельной тсирема для оценки наименьших квадратов векторного коэффициента регрессии случайного поля с условном т. - зависимости, т.и. в ней рассматривается схима регрессии (I) при Теорема 1.1.1, Пусть выполнены условия:

1) £.(,■&) - однородное случайное поле, М1 ЬСОИ*1' ¡Н^« для некоторого $ >0 •

2) случиПнои поле - удовлетворяет услови») иг-зависимости ;

, 3) выполнено условии I и {(Л) на множество ^.М - не1',ц которого галохитольна ;

4) Ь аПАлГ1/г +4....%, .

Тогда у поля сущсстьует непрерывная и ограниченная спект-

ральная плотность ' {-(Д) Л 6 1-Л, И]^ и

где &

П. - I4-

^ с! и. К- ; \ - единичная матрица. В частности, при ^ 1. | ¿С(\ I - сС <з»/Ь'\* 1А.Л, Будем говорить, что случайной поле £,(*■) удовлетворяет условию сильного перемешивания, если для произвольных иодмножести Л/"г пространства выполнено условие:

^Ф 1РСАЬ)-КА)РСЬ)1 4 0 /

АьШлЛ.) ,,

6fcW.IV,) При Д С , V») ос

Отметим, что в последнее время полнились интересные рьбооы Веротгнникова, Дакхана л Гийоня, я которых условия перемешивания удается проверить для широких классов случайных процессов и полей, Рассмотрим снова с кем;' регрессии (I) при а.* I , г> 1 .

Т поре м '' 1.2.1. Гуеть внгголнопы следующие условия:

I) - однородное случайное поля , М I £-(^

о .

ДЛЯ НРКОТОрОГО Л >V ,

?.) - удовлетворяет условии сильного перем'мнзэиия, при-

чем й. + * , ;

3) выполнено условие I и "ГСЛ)>0 на множестве ^л - и°ра которого положительна ;

4) ьчр & а^п, г,,,.'). Ь£ А а

Т^гда у поля суцествуот непрерывная и ограниченная спектраль-

ная плотность ■{ СА), Я € [-'Л,Яи

Наличие слагаемого ¡17- р^'^ объясняется спецификой многомерного случая и особенностями нормировки. В частной случае при имеет место оценка: ь С(Ц - 'С^'С/б'Ч <- М^Р^'), (Г1-- {ип ¿.V/, которая при ¿1-1 совпадает с оценкой полученной Тихомировым.

Доказательство теорем 1.1.1 и 1.2.1 проводится методом характеристических функций и использует идчи работ Тихомирова и Сунклоди-са.

Во второй главе исследуется скорость сходимости в центральной предельной теореме для мартингал-разностей на плоскости.

Семейство б" - алгебр ; 1,| = 17Гг.) назовем потоком,

если •• ^ Т и выполнены условия:

I) ^ ^ , 1,1 - 1, 2 ,,..

в

2) Т"ц с t U , ¡ - i. ... n.

Для данного потока S" - алгебр п.) ьведем

Следующие семейства ÍT - алгебр!

Случайную функции tCí.jl',назовем аильной мартингал-разностью относительно потока 6" - алгебр (j если

1) является ?i¡ измеримой для uaex 1,2,,,. н. i

2) Mibci.jiu~ м *- ^ ;

3) MWi'l.i'illíl^O ".».

li § 2,1 получены оценка скорости сходимости к нормальному закону ьзвешенной суммы сл^чаПш« величш, яилящщихся мартингал-разностями нй плоскости при предположении совпадения условного и безусловного вторых моментов.

Теорема 2 Л Л. Пусть последоаитильность С i-.j^Ci является сильной мартингал-разностью относительно потока 6" - алгебр (Ч ^ ) L,j i И ВЫПОЛНОПИ УСЛОВИЯ!

1) Мич^ЛУ^^О-МС^и.р)--1 п.н. .

2) Mlb4i(pUa-<.~

3) Uv;\/¿,vé с/tv , где' C--I.» i) ; " С a L Í ■

iti.jiW ' Ц = 1 J i '

i-, j - 1.2,,.. w) произвольный набор действительных чисел. Тогда существует константи . О «■• оа , что

Av. - ^lf>C¿ ftii'ÉO.pAv tij-ФЫ ¿ Lnllí > ^

где ФЫ - функция распределения стандартного нормального закона.

-Рассмотрим схему регрессии Ш при ij. = t ,'ci = 2 < В этом случае непосредственным следствием теорем 2.1,1 является следующая теорема;

Теорема 2.1.2, Пусть последовательность

является сильной ыартингал-раэностыо относительно потока 0" - алгебр (5tj ; и выполнены условия:

1) ШьЧ^Н^.ц.^МС&Чл.рЬв-* п.н. ;

2) М1£3(м)| ij-.*oo.

з) ^ \чи,\)\/аvcuo"4 ^ ал*

Тогда

t-

где - функция распределения нормального закона с нулевым сред-

ним и дисперсией <э 1 ; = 'Л. ^Hi-.i) ,

4st

ex = 2 ^o^uaHi/z ч'и.р .

Б § 2.2 получена оценка скорости схо,,1улюсти в цетральной преде-дельной теореме для взвешенной суммы ограниченных случайных величин, являющихся двупараметрическими ыортингвй-разностями^

Т а о р е u а 2.2.1. Пусть последовательность ( l.jri^

является сильной мартингал-рызностьл относительно потоки G" - алгебр C'iTj ; L,j - Cîv ) и выполнены следуювде условии:

1) MU4l И, = 1 п.н. ;

2) 1 e-L^iJU Y с 00 i

3) Swp /-S^ fe c/tv , • w ^L, C. ï 1 некоторые

*

константы. Тогда

)v

Л*. - 3ч>1Р( 2 Û-4Hui/v ¿0~Ф(1)и 0 ьс^иы) ,

где û - нбкоторья полоуитальная яолстанта.

Теоремы 2.1 Л и 2.2.1 доказывался следуя методу предложенному Болтхаузшюм, прясиос.ибливая его к многомерному случаи.

Следствием теоремы 2,2,1 является теорема 2.2.2, даклцая оценку скорости сходимости к нормальному закону оценки наименьших квадратов коэффициента регрессии случайного поля пвлгалдегося мартингал-разностью на плоскости, т.е. рассматривается схема регрессии (I) при <1=1, ^ г Я • Теорема 2,2.2. Пусть последовательность является сильной мартингал-разностью относительно потока '■о* - алгебр (Т^ ; и выполнены условия:

1) - <Г" п.».

2) М\ Е-С1, р \ й ,у <х> и.Н. ;

. 3) ^Р чЧ^])1'1'- с/н гдв Г,

некоторые константы. Тогда

А. = ~ е) ^ г) - Фан * с^-1 ¿^ы ,

ь

где й 4 - некоторая положительная константа, Ф(-ь) - функция распределения нормального закона с параметрами С О, (Гг) .

В § 2.3,получен результат типа принципа инвариантности для оце Нок наименьших квадратов коэффициента регрессии случайного поля, являющегося сильном мартингал-разностью на плоскости, т.е. установлена слабая сходимость случайных полей построенных по оценкам наименьших квадратов к некоторому гауссоьскоцу случайному полю с независимыми приращениями.

Определим последовательность случайных полей Хл -Ь % 6 , > 1 следующим образом

а,5) = с,ии,и31 сС " ,

Очевидно, что Хп £ 0(10, пространство функций двух переменных

без разрывов второго рода с топологией Скорохода.

Теорема 2.3.1. Пусть последовательность является сильной мартингал-разностью относительно потока СГ - алгебр (.У^ L j = i, 2,,.,"-) 11 выполнены следующие условия:

1) yL.4ij. J п.н. для i, j 1 ;

2) M\&Ci i)la"5' ^ 00 для некоторого 8>0

3) bup \ 4'U,,J\ fcU * С /а- , С > L

1U llj'k

45 ill Q-'Ct.sj'e CC Lo, I]2) .

Пусть X = XCt,s) t (t,s)£ LO, i jг случайное поле с неэаьиси-шми гауссовсь'им приращениями, М ЛГ Ct, - А и ГЧ X "(Л , -cj) -= ff к Ct, S) Тогда последоьатольность распределений полей X, слабо сходится к распределению поля X" в 0(iA !}*)•

Приведем примеры, показышчоцив, какой вид Судет иметь дисперсия предельного ноля К , если функция регрессии имеет степенной вид:

1) если 4(1,¿J ^¡/jf1 где , то

2) если S4l,jJ - i* - ]f* где ot, > - 1 /д. , то для Я^р, : <ог(-Ь,3)- t 1 ; й"я

если (Л = {L , то

3) если Mli^J^i^^/'' где <¿ = 0,1,2,,.. , то

t t-0 где = c£ i^V1, i

в частности, при с< = 1 '• СГ^СЬ.бЛ^у^СЬ^-'З2) ,

В третьей главе доказано центральная предельная теорема для оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии случайного поля , удовлетворяющего условны ассоциированности, т.е. снова рассматривает' ся схема регрессии (I) при ц, = 1 ) сЦ I . Рассмотренные в главе I условия слабой зависимости трудно проверять на практике, поэтому естественно рассматривать предельные теоремы для случайных последова тельностей и полей при других условиях зависимости, которые могут быть проверены для конкретных статистических моделей. Одним из таких условий является условие ассоциированности, введенные математиками Эсери, Проханом к Валькипом, . независимо от них физиками ^ортуаном, Кастелиноы и ¡Йиниброы (по именам последних, такие величины называют ещё удовлетворяющими . р У^ й - неравенствам).

Конечное семейство Случайных величин (Л Ьт.) называется ассоциированным* если для любых Двух покоординатно неубывающих функ-

ЛЛ*. ^••К-™"-"» ^ тики*' что ^Е.имеет конечную Ьарши'Дю * выполнено условие : г. О

МС^Се,.,... 5 о .

Бесконечное семейство случайных величин называется ассоциированным, если любое его конечное подмножество является ассоциированным,

Б § 3.1 доказана центральная предельная теорема для оценок наименьших квадратов коэффициента регрессии последовательности ассоциированных случайных величин.

Т е о.р о м а ЗЛ.1. Пусть выполнены .следующие условия: ' ■ I) ' . ~ ассоциированная, стационарная в широком смысле Последовательность случайных величин , М = О 1 М £ * -б^Ч <Е>

2) N1 i £; |г' ^ для некоторого ö>0 •

3) Z HCi)coo , И

4"h,iö , su.p ЧГ /АЛ fe Wi :

Eil , Li-illv

Тогда существу от iLd 4 * ~ (f * и если о* ' > О , то*

oLCt-e) -> /v(o,<r') ,

где с}», t 6*к. ( определены ранее.

В 5 3.2 докызпнп асимптотическая нормальность опенки наименышх квадратов коэффициента регрессии случайного поля удовлетворяющего условии ассоциированности.

Пусть ^ р s р^ „.-^а,,,, } последовательность вектороь а /V1 . такая, что • р£> _» ^ ( ^ _„ ^ _ t - Определим

семейство П - Пл = ^ х ь /Vн : liit р^ j ( .

Теорема 3.2,1. Куоть выполнены следующие условия; I) [¿C^ij к. е /Vе' j ассоциированное однородное случьП-иоо поле ^ MtW-0 , IM t*С*-)- <3"с<, MQtUn') <с\ с

* ~ , lU*t -<,.} = М 6CiJ £.Ск.г) I

■ г) 2L

3) WU)>0 , I 'C»/inji/Ä

«к IV

w inj-pii'-pil1-... ;

sup

iii^i--------, ¿.6/v i.G;V-' '

4u|i4'4j) j

1 i I' l

ö

4) „««.""Vi ( vv ы ( l'A/"^,

l'

Тогда существует ¿им. с!«1 б**1 = 8"* и если >0 , то

»о

¿Ж - е) ^ <у(.о, б-") 1 —

Теоремы 3.1.1 И 3.2.1 обобщают результаты Биркеля, Коха и Гриммета,

Автор глубоко.благодарна научному руководители профессору Николаю Николаевичу Леоненко за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе над диссертацией.

Основные результата диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коваль Т.Л. Про оц!нку швидкооп збхжностх до нормального закону оц!нок коеф1Ц1внтхв регреси йипадкового поля// В1сн-нш Кшвського уихверсите1у. Физяко-математичш науки. -'1991. - 2, - С. 86-91,

2. • Коваль Т.Л. Оценка скорости сходимости в центральной пре-

. делы;чА теореме для двуваравдтрических мартингал-разностей// Украинский математяческгй журнал. - 1992. - 44, К 8. - С.

I

3. /Коваль Т\Л. Про точность дормалыт апроксимат'т: ощнок кое-

фхцхект1В регресп вяладкового поля// Теорхя ймов1рностей та матеиатична статистика. - 1992. - 47. - С.61-66.

Зак. № 201. тир. 100. Уч.тип. КУ. 1902г.