Векторно-релаксационный метод решения задач многокритериальной оптимизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

р V 6 ОД

^ 1\ ШО&сЩйЗлВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШИЛУ ОБРАЗОВАНИЮ.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -

На правах рукописи

БАЯРЛА ЖАМБААГШШ

ВЕКТОРНО-РЕЛЛКСАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗДД'АЧ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. (С ПРИЛОЖЕНИЕМ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ)

специальность 01.01.09 - математическая юйирнотика

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркут«с-1993г.

Работа выполнена в отделе прикладной математики Сибирского Энергетического Института 00 РАН.

Научные руководители

доктор физико-математических наук, в.н.с. Е.Г.Анциферов• доктор геолого-минэралагичвсккк наук, профессор И.К.Карпов

Официальный оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор H.H.Астафьев . "

кандидат физико-математических наук, доцант А.И.Веников

Ведущая организация

Вычислительный Цзнтр РАН

Защита диссертации состоится "28" июня 1993 г. в 10 часов На заседании специализированного совета К 0.63.32.08 по приауадзшш ученой стопшга кандидата физико-математических наук в Иркутским Государственном Университете (664003, бул. Гагарина, 20, 1-а корпус ИГУ, ауд. 218).

С диссертацией ыоано ознакомиться в научной библиотеке Иркутского Государственного Университета (бул.Гагарина, 24).

Автореферат разослан "¿¡" мая 1983 г.

■ С

Уч'зный секретарь специализированного

соЕэта, к.ф-н.н., доцэнт__Н.Б.Бэльтюков

Актуальность проблемы. Качество функционирования любой достаточно сложной системы оценивается обычно не одним, а несколькими критериями. Часто эти критерии, оценивающие степень достижения отдельных целая, противоречат друг другу-'. Так, производственный план может оцениваться по критериями прибыли, себестоимости продукции, равномерности выпуска и т.д.; наряду с экономическими(окупаемость капитальных вложения, себестоимость и т.д.) приобретают важность другие факторы (влияние на окружающую среду, социальный эффект и т.д.).

Многие из возникающих таким образом мне. окритериальных задач представляют собой расширение, обобщение однокритериальных и по сравнению со скалярным аналогом более полно отражают сущность ■ реальной проблемы, отличаются меньшей долей абстракциг Наиболее известными из них являются многокритериальные задачи математического программирования (задачи векторной оптимизации).

В настоящий момент разработано достаточно много методов решения задач векторной оптимизации. Но существенные недостатки этих методов состоят в том, что, во--'первых, все они ноет эвристический характер, во- вторых, они дают возможность в некоторых случаях отыскать лить одну из точек олггимума по Парето и не рассматривают вопроса о траекториях перехода в эту точку. В то ш время во многих прикладных задачах существуют дополнительные ограничения на траекторию, например, обязательное "улучшение" по всем или по некоторым критериям. Так, например, в химической термодинамике При исследовании оптимальных промежуточных состояний наряду с максимизацией критериальной функции, выражающей максимальный выход полезных веществ, нужно еще учитывать то обстоятельство, что в соответствии с общими законами термодинамики на каждом шаге итераций должна минимизироваться ■ функция Гийбса, выражающая суммарную рчергию системы. Применение, классических методов решения задач многокритериальной оптимизации для разрешения этой проблемы, как прави*. ^, не дают удовлетворительного результата. По этой причине возникла необходимость в разработке новой техники решения многокритериальных задач.

Процесс построения последовательности решений {хк) называется векторно-релаксационным, если не ухудшаются значения ни одного из отобранных критериев. Несмотря на острую необходимость, разработка

векторно-релаксациовдых методов остается одаой из мало исследованных областей многокритериальной оптимизации. Поэтому актуальной является проблема построения ьекторн п-релакеационных методов, которые учитывали бы требования к траекториям перевода к точке оптимума по Парето,

Цель работы

Г. Разработка векторно-рвлаксационных алгоритмов для решении двух-, трех- и многокритериальных задач векторной ытшвдзации.

2. Исследование возможностей применения векторно-релаксацион-ных методов для задачи поиска условных равновесий в термодинамических системах.

Научная новизна и практическая ценность результатов, получен- . ных автором, состоит в следующем:

1. Разработаны векторно-релаксационные алгоритмы, ■ являющиеся аналогом метода возмоншых направлений в скалярной (однокритериаль-ной) оптимизации. В частности для двух-, трэхкритериальных задач многокритериально» оптимизации автору удалось определить весь конус векторно-релаксационных направлений. В многокритериальном случае дан способ получения нужного векторно-рвлаксационного направления. Доказано, что при некоторых условиях всегда существует искомое ввкторно-релаксационное направление в допустимой области рассматриваемой задачи.

2. Предложен метод определения условных равновесий в химической термодггамике. Показано, что проблему поиска условных рав-весий можно рассматривать как двух- или трехкритериальчую задачу векторной оптимизации и разрешать векторно-релаксационныш методами. Подгонные практические результаты показывают, что предложенный метод определения условных равновесий в термодинамических системах достаточно прост и удобен для использования. Дальнейшее применение векторнОгрелаксационпых методов в геохимии не траничива-ется только этой задачей. Векторно-релаксационные методы с успехом могут применяться в решении обратных физико-химических задач, в расчете эволюции перераспределения веществ в единой совокупности систем - в метасистемах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 'научных семинарах СЭИ и ИГУ, ча конференции "Мете л математического программирования и их программное обеспечение"(Свердловск, 1993).

Структура и об'ем работы. Диссертация об*омом 90 страниц включает 11 таблиц, 1 рисунок " состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы из 92 названий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается краткий обзор существующих методов многокритериальной оптимизации и указываются их особенности.

В первой главе рассматривается следующая задача векторной оптимизации:

найти mln f(x), (1)

XeQ

где xeR", f(х) = (i1 (x), fz (х))т-выпуклая, непрерывная вектор-функция, осуществляющая отображение IT в R2, Q- некоторое непустое выпуклое и замкнутое множество, заданное с помощью Функциональных и (или) параллелепипедных ограничений.

Основная идея предлагаемых в диссертации векторно-релаксационных методов состоит в том, что на каждом шаге итерации искомое векторно-релаксационное направление ищется в конусе, образованном векторами возможных направлений спуска каждого из критериев. Для построения возможных направлений спуска для отдельных критериев был выбран метод внутренних точек, предложенный И.И.Дикиным*. Суть метода заключается в том, что возможное направление ищется на эллипсоиде с центром в точке хк, вписанном в допустимую область, в результате чего отыскание направления сводится к решению системы линейных уравнений с положительно определенной матрицей.

Раздел 1.2.1 главы 1 посвящен задаче поиска направления спуска в двухкритериалыюа задаче векторной оптимизации. Для этого на к- м шаге итераций сначала из точки yf по методу Дикиин находим направления спуска s'.s' соответственно для f1(х), iz(x). Заметим, что (vf*(х^.в1) < 0 и (vi2^),в2) < 0. Дока&анз следующая лемма, играющая важную роль во всех дальнейших рассуждениях.

Лемма 1.1. Справедливо равенство; (vf1 (у?),s2) = (vf2 (х*) .з1) а

"*См. Дикин И.И. Итеративное решение задач линейного и квадратичного программирования//ДАН СССР.-1967.-Т. 174, N4.-С.747-748.

Таким образом, если в*- направление спуска 1г(х) в точке у? или, что то же самое, (vf~(з£")) < О, ТО в' таккз будет направлением спуска I1 (х) в точка зс*. В противном случае, т.е. когда

= (vf2(x>i),Bl) > О, оказывается, всегда можно построить направленно, являющееся направлением спуска дам обо ¡к критериев одновременно в допустимой области.

Пусть вещественные числа A,B,C,D удовлетворяют неравенствам!

&,D < О & В,С > О. Рассмотрим систему неравенств относительно вещественного 6: где + В(1-6) < о, (2)

ice + D(i-e) < о. Тогда справедливы следующие утверждения:

Лажа l.g. Система (2) имеет положительное решение 0 тогда и только тогда, когда ¿D > ЕС и

Лзмма 1.3. Если AD - ВС, то система (2) не имеет решений и

Рассмотрим теперь систему неравенств;

Г (vfiX^.S) = (7l'(^)pD1)fl+(Vii(3i),B2)C1-e)<0, \ (vl2 (x"),О) = (Vl2(3i)>B1)64-(7f2(3{k),B2)(1-e)<0.

Тогда справедлива:

Теорвна 1.1. Если vt'(if) нэколдинеарен- с vi2 (х"),то справедливо нзрзЕэнствоJ

(Vii(x!c)lD,}(Vt'tf),B*) > (^).В1) а

Основной результат главы 1 формулируется в виде теоремы о существовании возможного направления спуска:

Теорема 1.2. Рассмотрим задачу (1). Если в допустимой tc iko хк вэкгоры vi1 (х*) и vi2 ) не направлены в противоположные стороны t то всегда существует для обеих функции fl (зс) и Г2 (х) возможное направленно cnycfta из точки хк в допупвюа области п

Рассмотрим вэктор s:

s = os1+(i-e>s2. (3)

Из тосроми 1.2 следует, что если {vf1 (xе) ,s2) < 0, то при 6. удовлетворяющем неравенствам

О < 0 < 1 ,

иначе, ос.яи (vi1 (я*) ) > о, то при 0, удовлетворяыэм неравенст-

вам

(vf'^.o") -(vfu^.s")

< в <

(711 (3£к ) , В2 )- (711 (х" ; , О* ) (7Гг (х" ) , П' }- г (Хк ) , З1 )

любой вэктор ввда (3) является направлением спуска для Г* (я) и ^(х) из точки ;ск в допустимой области.

В зависимости от вариации переменной 9 Евктор о будэт наняться. Чзм ближе 9 к своему верхнему пределу, тем сильнее будэт убывать функция 1* (х), и медленнее (х). Обратная ситуация (болзэ сильное убывание I2 (х)) будет иметь место прч приЗлЕйнии 9 к нгек-нему продолу. Следовательно, всегда возможно корректировать спуск по той или иной функции, что немаловажно. '

Кроме того, всегда йогою выбрать 9 так, чтобы имело место равенство: (711(Хк>,В) = (VIя (3^),В). Введем обозначения:

9

(7i'(xk),B2)

beg" (vf1(xk),B2)-(vf1(xk),3i)'

(Vi* (Xlr),p2)-(vf2 (yk),a2)

е(Г !1 (xk), o2)- (7f1 (Xk) ,вГ)+ (vfг (xk ),b')-(vt:1 (Xk ) ,0* ) '

end pt'ix^.B'i-tvt'tf),!!').

Заметим', что верны неравенства: 9Ье^ < < вепа.

Отсюда следует, что в случае: 9 « [ %og> eeq] справедливо неравенство: (vi'(xk),B) > (7f2(xk),B)j а в случае: 9 с [ eeq. 9end)

справедливо неравенство: (711(хк),в) < (7fz(xk),s). Следовательно, в зависимости от того, какой из критериев наиболее важен, можно выбрать 9 ьз соответствующего интервала.

Существенным отличием нашего мртода от'метода аддитивного свертывания критериев является то,- что параметер в целгчаправленно меняется на каждой итерации. Тем самым исключается ситуэция, когда при выполнении неравенства:

(7f(Xk),B) .= [97i,(Xk)+ (1-9)Vi2(Xk), в] < О

при фиксированном 0 какое-либо из скалярных произведения

(х^.в) становится положительным или функция (х)- начинает расти.

Глава 1 завершается разделом 1.2.2, где описаны процедура выбора длины шага и правило окончания итераций.

Вторая глава работы посвящена описанию вакторнр-релаксационно-го алгоритма решения выпуклой трехкритериальной задачи оптимизации.

Рассматривается следующая задача векторной оптимизации:

найти т1п 1(х), (4)

ХеО

где хеКп, Цх)=а1 (х),1г(х) Да (х))т-выпуклая непрерывная вектор-функция, осуществляющая отображения Я"в П9, 0- некоторое непустое выпуклое и замкнутое множество, заданное с помощью функциональных и (или) параллелепипедных ограничений.

На к-м шаге итераций рассматривается матрица УГ(5)а, которая определяется следующим образом. Пусть а1, з2 и а3 являются возможными направлениями спуска для Г4(х), £*(х) и £3<х) из точки Xя, вычисленными по методу Дикина. Допустим, что эти векторы линейно-нэзависимы, тогда

(^Г'Й ) (7^а2) (VI1 э3)

(о?в1) (?:Лз2) (^б3) (?13в1) <?13вг) (VI3за)

где скалярное произБедение векторов vf'■(x)'; ) и з\

Оказывается, что для построения векторно-релаксационного направления для задачи (-4) существенную роль играют некоторые свойства матрицы Г/Г(3)ци присоединенной к ней матрицу, которые исследуются в разделе 2,1.1 главы 2. Имеют место утверждения:

1. Матрица ^ симметрическая, отрицательно определенная.

2. Для элементов матрицы справедливы неравенства:

(71как) < и (7Гз1)(71кзк) > (^"х^а1),

гдэ и 1,к е | 1 , г, 3 ..

Из следующего вспомогательного утверждения:

Лемма 2.1. Сумма элементов отрицательно / "оложительно) опрзде х л-ной матрицы отрицательна (положительна) „

следует, что

3. Для элементов матрицы справедливо неравенство:

3 3

. V у^е*) < о.

к

Обозначим элементы матрицы Add ?F(S)a через q.., где i,j=T73, тогда имеют место утверждения:

1. Для элементов матриц AdJ ?Г(5)Э и vF(S)a справедливы тождества:

а> qui,,-«!»)*- <?iV)de'.[vF<S)9];

b> 4,A,-<4i,>*= (7i*s2 )det[VF(S)s]; c> Ч22Чээ-(Ч2Э)2= <*iV)det[VF<S)a3;

d> q,2q23-<*fV)det|VF<s)j; e> 4,34.3- Ч,2Чзз= <vfV)det[7F(S)3].

2. а) Из теоремы 1.2 следует: Ч11.Ч2г.Чээ> О.

b) Из отрицательности величин (?f'sl) и из sign(det[VF(S)a]j=-1 следует: q^q^Xq,,)2. q^Xq^)2. ■

c) Так как det^AdJ ?F(S)a] =

• q.^q«) - q22<q13) - 4ээ(ч1г) -= Ч,Лч2ЛЗ-<Ч2З>2]+ Ч.2Й19Ч23- Ч«Чзз]+ ч,.ч„] =

= det[vF(S)J[(vi1s')<vf2s2)<7f3s3)+2<vi,si!)(vlJ!s3)(7i3o1)--(Vi's1) (viV )2-(vl*s2) (viV )3-<?f3s3 )<viV )2] = [det[vF(S)j]2, то detjAdj vF(S)3]> 0. Тем самым доказано следующее утверждение:

Утверждение. Если vf'^j. vl2(xk) и И3(хк) линейно-независимы, то матрица Add vF(S)g положительна гтределена в

3. Из леммы 2.1 и из второго свойства матрицы AdJ следует

з

неравенство: ^Г О-

^ 1

Укажем еще одно важное свойство матрицы AdJ vF(S) . доказательство

которого следует из более общего утверкдания. которое доказывается в третьей главе.-

4.' Для элементов матрицы Adj vF(S)3 справедливы неравенства:

э

£q4> О, ^ТГЗ. i

Раздел 2.1.2 главы второй посвящается построению взкторно-рзлакса-цнонного направления для выпуклых трехкритериальных чадач Еэктор-иос огггшизацш, Доказательства большинства приводимых здесь утверждения опираются на вышеперечисленные свойства матриц vr(S)3 и Aüd yHS)3. В заключительном раздело даются способ выбора длины пага и условия остановки итераций.

В третьей главе рассматривается многокритериальная задача векторной оптимизации:

найти rain í(x), (5)

где s e R", í(}:> = (i* (x),(x), ... ,ím(х))т- непрерывная вектор-функция, осущрствх' идая отображения 1Гв If (предполагается, что все Í1 (э:)-вш]уклые и даф^ренцируемие), Q-напустое выпуклое и замкнутое множество, которое ыокэт быть задано с помощью функциональных и (или) параллэлепилэдаых ограничений.

В раздела 3.1 рассматривается задача построения ьакторно-рзлаксац»юнного направления для (Б).

На 1;-м шаге итерации из точки по катоду Дшшна находим направ-

лзыия спуска в' ,ьг.....о™ соответственно для всех функций

f1 (К) , fz (x) , ... ,tm(X). Допустим, ЧТО О1, Б2, ... ,0™ «ЛЗЭЙНО-кззависимы и построй,! матрицу:

" (víV) (víV) . . . (vfV) ' (VíV) (VfV) . . . (VíV)

(VIV) (VIV) . . . С?Гвт) .).

Легко видать, что все свойства матрицы для га=3, которые

6:1®: указаны ранее», остаются в силе.

Для некоторого йе 1Г, й < 0"рассмотрим систему .уравнений:.

УГ(Б)ту = а < О, . (6)

4 Зта система всегда имеет решение, если йсч ¿уГ(5)т] 0. Учитывая

второе свойство матрицы VI-)т, кошм заточить, что йэ"Ь [^Г (3) ] * 0. если векторьГа' лшегщо-негаЕисн^ы. После решения системы уравнений (6) искомое Езкторпо-ролаксацкои-ное направление инезт вид:

з =■ у 5*+ у з2+ ... + у з™.

** 2 т

Очевидно, такта возможных направления множество. Если все критерии равнозначны, то полагаем й =-1 для всех I. Иначе, если задана иерархия среди критериев, например I1 СО бохсо важен чем 12(х), I2 (х) более важен чем 1э(х) и т.д., то полагаем с14< й2< ... < (1т< 0.

Имеют место следующие Теорема 3.1. Рассмотрим задачу (5). Если в точке хк все а1, и=1,и линейно-независимы, то в конусе, образованном векторами з1, всегда существует возможное для всех критериальных функций направлзниэ спуска п

Тоорзиа 3.2. Система (в) при (1 =-1, 1=Т7п к'.зот пзотрицатвлыюэ

решение г

Рассмотрим теперь систему уравнений:

. +{ч!1ат

.^З1^ <?12з2)у,+ .

V У2+ • с . +

(7)

О,

= 1 .

Согласно теореме 3.2 система 7Г(Б)ту = -у < 0, где у,е <з Нт и еТ=<1,1, ... ,1). всегда имеет неотрицательно© решение. Следовательно, система (7) тоже всегда имеет неотрицательное рзшэнпз.

Пусть Ц , А - соответственно минор и алгебраическое дополнение

элемента в') в матрице VI?(Б) . Заметим, что

, (^Г'в1) (VI1 з2)

С? Г а') (уГ'р2) 1 1

.. (?1*вГп) 1 ,. (ч1гвт) 1

) 1

1 0

; = £ Ум 1 )в

I ^ I j

(^Гв4)...^"^-1) О (?Гв^4)...(уГ,вт) 1 1 ... 1 1 1 1 О

та т т

(-1 Г'^М Г'Чг )иХг V 1ог«а

Уг

-II'и

I i

Следовательно, верна

Теорема 3.3. Для матрицы справедливы утверждения:

1.

1 >

В частности, из теоремы 3.3, леммы 2.1 и из ранее доказанного ут-.верждения о положительной определе-ности матрицы АйЗ сле-

дует, чтг

в1бп

^Г А.. = в15П ^Г £ > 0 или д..> 0, -.=1713.

В конца третьей главы рассматриваются способ выбора Ду-ды шага и условия остановки итераций. Глава 3 завершается теоремой:

- Если задача (5) невырожденная и ов допустимая область удовлетво ряет условию регулярности Слейтера, то предлагаемый итерационный

т т

процесс сходится к точке множества Парето г.э медленнее, чем со скоростью геометрической прогрессии.

В заключительной четвертой глава исследуется возможность применения векторно-релаксационных методов в задаче поиска условных равновесия в термодинамической системе.

До сравнительно недавнего времени внимание исследователей термодинамических моделей было, в основном, сосредоточено на проблемах, связанных с поиском состояний,■доставляющих минимум свободной энергии. - так называемых состояний равновесия системы. Здесь были разработаны эффективные алгоритмы поиска равновесия-и, в связи с необходимостью практических расчетов, созданы мощные банки термодинамических данных.

Состояние равновесия системы - это то состояние, к которому система приходит из любого начального состояния.

На языке математического программирования задача поиска равновесия формулируется следующим образом:

.найти mln G(x), Xe!J

где G(x)- выпуклая функция, выражающая свободную энергию системы, Ц представляет собой выпуклый многогранник в неотрицательном ор-танте евклидова пространства.

Являясь безусловно важной, информация о состоянии равновесия сама по себе может оказаться недостаточной для оценки эффективности химических технологий. Так, например, процесс синтеза метанола из ргдорода и окиси углерода в соответствии с равновесной моделью приходит в состояние равновесия, в котором целевог продукт (метанол) присутствует в исчезающе малых количествах. В то же время, реально работающие установки синтеза дают несколько десятков процентов полеглого продукта на единицу вводимой смеси.

Следовательно, Полезный продукт получается на пути к равновесию. Отсюда ясна важность изучения динамики химических процессов. Такие исследования традиционно являются предметом химической кинетики. В этой отрасли науки разработан универсальный аппарат, позволяющий, подобно уравнениям динамики в механике, рассчитать траектории движения системы от начального со '■ояния к состоянию равновесия.

Однако, дет достаточно точного моделирования процессов с т-

мощью уравнений кинетики необходим огромный обьем информации о параметрах этих уравнения, и получение такой информации является непростой задачей.

Болэо того, существуют ситуации, когда подобная информация весьма приблизительна по существу или вообще отсутствует. Например, это имеет место при оценке перспективности химической переработки сырья в случае, когда детали самого технологического процесса заранее неизвестны и, тем не менее, важно получить ответы на вопросы, подобные следующим:

"на какой выход целевого продукта можно рассчитывать при переработке данного вида сырья?";

"насколько рискованной для окружающей среды является проектируемая химическая технология - какой максимально возможный выход вредных веществ может иметь место в процессе перехода системы из начального состояния в состояние равновесия?";

"в каких пропорциях следует использовать исходное сырье, чтобы получить максимальный выход целевого продукта при соблюдении заранее установленных требований к экологической безопасности?".

Таким образом, чмеется потребность в получении количественной информации о траекториях перехода системы в состояние равновесия без использования кинетических моделей.

Эта проблема была поставлена советскими учеными Г.С.Ябл^чским , А.Н.Горбанем и В.I':.Быковым в 1979 году. Ее теоретический анализ дан в монографии А.Н.Горбаня "Обход равновесия", вышедаэй в 1884 году. Аналогичные проблемы исследовались также американскими учеными Р.Шиннаром и Ч.Э.Фенгом, Существенный шаг в развитии исследи-вания данной проблемы был сделан в Сибирском энергетическом институте РАН (СЭИ) под руководством Б.М.Кагановича. В средине 80-х годов им была поставлена задача построения системы математических моделей и вычислительных алгоритмов, обобщающих классические равновесные модели и позволяющих находить состояния системы, обладающие важными для энергохимических технологий экстремальными свойствами. Г дальнейшем такие модели были разработаны и апробированы Е.Г.Анциферовым в виде некоторой двухуровневой-параметрической задачи выпуклого программирования и названы моделями оптимальных промежуточных состояний.

В настоящей работе задача поиска условных равновесий предс-

тавляатся как задача поиска хканчесного равновзсил, ослгатаниая дополнительными условиями - дополнительными крэтариальнши фушпщ-яш!. Такая двухкритериальная постановка в задачах химического равновесия мокет возникнуть, когда -требуется'обасшчэть фикафованшя выход неравновесных продуктов физико-химичэскога процесса, синтезируемых на катализаторах. В других случаях вторая критериальная функция "может удзржать" метастабильность опрэдэлещоз группы веществ в единой термодинамической системе. Например, возцшсазт необходимость сохранения наряду с равновесными неорганическими компонентами в водном растворе явно неравноЕвспых органических ионов и нейтральных комплексов.

Потребность введения второй^ критериальной функции может воз-нгаснуть и в задачах термодинамического согласоэания разнородной и противоречивой экспериментальной информации с ко1ггрол1фуемы1Ш факторами равновесия.

Тут ваяно заметить, что только при наличии достаточно надежного Еэкторяо-релаксационного алгоршпш мокзм говорить о возможном применении двух-, трех-, многокритериальных постановок в химической термодинамике.

В соответствии с вышеизложенным задачу поиска условных равновесия можем сформулировать в вида:

найти rain ¡?(x) = (íU),G(x))T, (8)

xc'l

где t{x)-некоторая критериальная <* ункция (линейная или выпуклая). Причем í(x)- главный из критериев.

В,разделах 4.3-4.4 приведены результаты применения описанного векторно-релаясационного метода к задаче (8).

Критериальная функция задана .. виде: í(x) = V(t^-;^)2,

ta-значения заранее заданных параметров, Ь £ Í1.....a), L- множество индексов.

Приводится численный прилер, имеющий иллюстративное значение. Рассматривается некоторая идеальная ('^=1) система, состоящая из газовой фазы и твердого углерода при температуре 25° С и давлении 1бар. Газовая фаза в равновесном состоянии потенциально может состоять из зависимых компонентов, которые (ложно условно отнести к равновесным соединениям, поскольку в обыччых "комнатных" условиях

(25°0 и 1бар) они устойчивы. Это водород На, кислород Ог, двуокись и окись углерода 002 и 00, вода Нг0, метан СН4. В список потенциально возможных в равновесии зависимых компонентов включены и заведомо неравноБвсныв в обычных условиях гомологи метана: этан С2Нб , пропан СаНв, Н-бутан СДо. В "комнатных" условиях эти газы будут разлагатьоя на более простые составляющие: водород, воду, метан, твердый углерод, окись и двуокись углерода. Возможность появления их в решении может практически реализоваться только в условиях неполного равновесия.

В реальных процессах такое "вынужденное" равновесие навязывается системе путем удержания ее на более высоком энергетическом уровне, 'осущестЬляеком в результате взаимодействия системы с другой убавляющей системой, состоящей из специально подобранных селективных катализаторов. Другая прчктическая возможность сохранения в неравновесном равновесии этана, пропана, Н-бутанэ - это резкое замедлению распада изначально заданного неравновесного состава.

Ниже приведены результаты расчета. Для получения равновесного состояния вычислены минимумы функции Гиббса на. положительном ор-танте (в первом варианте) и когда х е м (во втором варианте). В неравновесном решении приводятся результаты расчета по вышеизложенному методу. В варианте 1 величина в = в , в другом варианте -

ч

0 = О.Б*(6е(}+еепс1). Численные расчеты показали эффективность данного метода(Ь ={1,4, 8>).

* Выходы веществ.

н? Начальное энач. X Равновесное решение Неравновесное решение

вариант 1 вариант 2 вариант 1 вариант £

1 г 3 4 5 6 7 8 9 0.78014274 0.000087609 0.500007362 0.867377314 0.867389640

0.27414002 0.00026389 0.00071639 0.000000103 0.003813015 0.000000000 0.000000995 0.274919502 0.000152583 0.025193882 0.000016111 0.49768212? 0.02487^.228 0.000025478 0.49901081Е

0.45047575 0.10228415 0.00380549 0.58789255 0.992372438 2.003769332 0.000000014 0.000000048 0.450006504 1.139214784 0.048247981, 0.061134781 0.451897В86 0.101209891 0.000109606 0.869466222 и.451193772 0.101086644 0.000202041 0.869610655

0.24034529 0.000000000 0.276454672 0.000022260 0.00003890'

|ю| 2.16406571 2.992415704 2.199994076 1.792384907 1.7904В53В1

С(х) -55.0 -135.139734 -116.104368 -83.7053072 -83.7161224

Их) 0.43345847 2.059842215 1.291309449 0.01810863 0.01Е06579

В конце заключительной главы рассматриваются возмоншости применения векторно-релаксационных методов в различных областях геохимии.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Баяраа Ш. Один метод возможных направлений для Еекторной задачи математического программирования (ВЭМП) // Методы математического программирования и программное обеспечение. Тезисы докладов научной конференции.- Свердловск,1993,с.20.

2. Баяраа Ш. Определение оптимальных промежуточных состояния в термодинамических системах // статья переводится в журнала - А.М.3.1.

Подписано к печати 24ЛБ.93. Заказ 19. Объём 1.0 п.л. Формат 24 1/16. Тиран 100 экз.

Подразделение оперативной полиграфии Иркутского государственного университете, 66'40иЗ, г.Иркутск, б.Гагарина, 36