Вероятностно-геометрические свойства случайных множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

на правах рукописи

БЕРЛИНКОВ Артемий Геннадьевич

ВЕРОЯТНОСТНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ

Специальность 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики математика-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Лифшиц Михаил Анатольевич

Официальные оппопенты: доктор физико-математических наук,

профессор Смородина Наталья Васильевна

кандидат физико-математических наук, доцент Баушев Алексей Николаевич

Ведущая организация: Московский Государственный Университет

Защита состоится " 5" " ШШХ_2006 г. в час. 00 мин. на

заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском Отделении Математического Института им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 191023, наб. р. Фонтанки, д. 27, к.311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Отделения Математического Института института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " 2$ " (Х^^ЛЯ._200_£

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01, доктор физико-математических наук & А. Ю. Зайцев

¿О06А

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются случайные фракталы общего типа и некоторые вопросы размерности и мер, связанные с ними. Прежде различные авторы изучали свойства случайных фракталов относительно мер Хаусдорфа. В середине 80-х годов были определены упаковочные меры как в некотором смысле двойственные мерам Хаусдорфа. В диссертации проводится исследование свойств случайных фракталов с точки зрения упаковочных мер. Данная тема обсуждалась в литературе в значительно меньшей степени. Рассматриваемые случайные фракталы возникают в результате случайной рекурсивной конструкции, впервые определенной в 1986 году в работе Молдина и Вильямса, и называются случайными рекурсивными множествами.

Ранее упаковочные меры и вопрос о точной упаковочной размерности изучались для субординаторов, а также для броуновской траектории. Тэй-лор в 1987 году доказал отсуствие точной упаковочной размерности для траектории субординатора, а именно, что для произвольной калибровочной функции упаковочная мера относительно нее будет либо нулевой, либо бесконечной почти наверное в зависимости от сходимости некоторого интеграла. Упаковочные меры траекторий субординаторов и связанных с ними процессов также изучались в работах Фенг и Ша ([6]), Фристедта и Тэйлора ([7]), Кс. Ху ([12],[13],[14]), Й. Ху ([15]). Во многих из них требовалось дополнительное условие на рассматриваемые калибровочные функции - lim<p(2i)/<p(i) < оо, называемое условием удвоения.

В середине 90-х годов возникла гипотеза о точной упаковочной размерности случайных рекурсивных множеств, а именно о ее отсутствии в случае, когда малые уклонения естественной случайной меры множества ведут себя как полином, и о ее явном виде, когда малые уклонения ведут себя экспоненциально.

В1998 г. Ксяо доказал отсутствие точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона при геометрическом распределении потомков. В 2000 г. Лю анонсировал нахождение точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона в случае, когда количество потомков по крайней мере два почти наверное, но сделал ошибку в доказательстве оценки снизу этой размерности. Примерно одновременно с работой автора [4] в 2004 г. вышла работа Т. Ватанабе [19], где ошибка, допущенная Лю, была исправлена другими методами.

Гипотеза о точной упаковочной размерности случаых рекурсивных мно-

РОС. НАЦИОНАЛЫШ" БИБЛИОТЕКА

f .n*T*nRviir

жеств и является основной темой исследования в диссертации. Цель работы. Основной целью настоящей работы является исследование упаковочных мер случайных рекурсивных множеств и нахождение точной упаковочной размерности.

Методы исследований. Для доказательств результатов используются предельные теоремы теории вероятностей (о скорости сходимости в центральной предельной теореме, усиленный закон больших чисел), мартин-гальные методы, обобщение леммы Бореля-Кантелли для зависимых случайных величин, теорема плотности для упаковочных мер (см. теорема 6.11, [16]).

Научная новизна работы. Все результаты, полученные в данной работе, являются новыми, за исключением теоремы 2.2. Эта теорема была доказана в работе [9], в диссертации же приведено другое более короткое доказательство.

Научная значимость работы. Работа доказывает давно выдвинутую гипотезу о точной упаковочной размерности случайных рекурсивных множеств. При этом на рассматриваемые калибровочные функции в случае отсутствия точной упаковочной размерности не накладывается никаких условий. Для большой части интересных конструкций ответ состоит в проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются некоторые события с вероятностью единица.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 работы [1]-[4].

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А. Ибрагимова в 2005 г., на междисциплинарном математическом семинаре СПбГУ в 2005 г., на Симпозиуме по вещественному анализу в г. Дентон (США) в 2000 г., на Юго-западной конференции по динамике в Лос-Анджелесе (США) в 2000 г., на встрече Американского математического общества в г. Колум-бус (США) в 2001 г., на семинаре по математическому анализу университета Ювяскюля (Финляндия) в 2002 г., на международной конференции по фрактальной геометрии и стохастике во Фридрихроде и на семинаре по фрактальной геометрии университета г. Йена (ФРГ) в 2003 г.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения. Общий объем диссертации 78 страниц, включая список литературы из 47 названий.

Содержание диссертации

Во введении приводятся определение случайных рекурсивных множеств, изучению которых посвящена диссертация, вспомогательные сведения из теории меры, обзор известных результатов о мерах Хаусдорфа случайных рекурсивных множеств и об упаковочных мерах случайных процессов. Обоснована актуальность исследования, предпринятого в диссертации.

Точное определение случайной рекурсивной конструкции таково. Пусть

п е и {оо}, п > 2, Д = {1,2,..., п}, если п 6 Е4, и Д = ДО, если п = оо, 00

Д* = и Д' является множеством всех конечных последовательностей эле-1=0

ментов Д, а множеством всех их бесконечных последовательностей. Результат составления из двух последовательностей <т и т из Д* одной путём выписывания их соответствующем порядке обозначается акт. Длина конечной последовательности а обозначается |<т|. Если к € и а является последовательностью длины не меньше к, то последовательность, составленная из первых к элементов <т, обозначается о\к-

Случайная рекурсивная конструкция состоит из семейства Л = 6 Д*} случайных компактных подмножеств заданных на некотором вероятностном пространстве (Г2, Е, Р). При этом параметризующее множество последовательностей естественно рассматривать как дерево. При п < оо мы будем говорить о конечном ветвлении, при п — оо о бесконечном. Начальное множество /0 = 7 предполагается фиксированным и таким, что J — 0(1^(7)). Без потери общности мы предполагаем, что сНат(7) = 1.

Данные семейства случайных множеств должны удовлетворять следующим свойствам:

1. Отображения ш —► измеримы относительно

п. Множества если они не являются пустыми, геометрически подобны ■/, 1

¡11. является собственным подмножеством За для всех <т € Д* и г € Д при условии, что За ф 0,

1А,В С Е/3 геометрически подобны, если существуют 5 : Н"1 —» Ж.1* и г > 0, такие что для любых

х, у € И"1 (Из1(5(г), 5(у)) = гсШ1(а:,у) и Я(А) = В, при этом 5 называется отображением подобия

IV. Конструкция удовлетворяет условию случайного открытого множества: если (гит являются двумя последовательностями одинаковой длины, то Гп^/о-) Л = 0,

v. Существует последовательность независимых случайных векторов

та = №т*ъ • ■ • <7 € А*)

таких что выполнено соотношение сНат( = сИатПри этом вектора Т„ условно независимы при условиях, что За ф 0, и при этом же условии имеют то же распределение, что и Тц = (7\,.Т„). Иными словами, для любого конечного множества 5 С Д* и любого набора борелевских множеств В, с [0,1]д, 5 € 5,

Р(Т, 6 Зв ф 0 Уа 6 5) = Д Р(ТЛ е В.|Л * 0),

и для любого а £ А* и любого борелевского множества

/»(т, е В|7, ф 0) = Р(т0 е В).

Объектом изучения в данной диссертации является случайное рекурсивное множество, или предельное множество случайной рекурсивной конструкции (фрактал)

00

к(ш) = П и

*=1<7бД*

Все эти конструкции интересны только тогда, когда получающиеся множества К(ш) нетривиальны с положительной вероятностью. Для этого необходимо, чтобы среднее число "потомков" было больше одного. Данное условие будет предполагаться выполненным на всем протяжении диссертации. Следует заметить, что в случайных рекурсивных конструкциях допускается случайное расположение множеств .7а,{ внутри Ja. Таким образом случайные рекурсивные множества включают в себя в качестве частного случая случайные самоподобные множества, которые были определены

независимо Молдиным и Вильямсом в [18] и Графом в [8]. В последней статье они были впервые подвергнуты тщательному изучению.

Чтобы напомнить понятие случайного самоподобного множества, которое было введено в статье [18], обозначим сг-алгебру, порожденную отображениями ш Jff{w), где \а\ < р е 1N, через Jv. Пусть а € Др, P(Ja Ф 0) > 0, и отображение Fa : П х J —» lRd удовлетворяет следующим свойствам:

1. F„ измеримо относительно <т-алгебры Jp х B(J), где B(J) обозначает ст-алгебру борелевских подмножеств J,

2. при условии, что Ja{uj) ф 0, Fa{и, J) = Ja{u) для почти всех ш

3. F„ является отображением подобия почти наверное.

Определим За = {Jarn\r} € А*} равенством Ja-n = Fa(w, ■)~1(Jir^(w)). Тогда при условии, что За ф 0, будет случайной рекурсивной конструкцией, элементы связанные с которой будут обозначаться значком". Распределения векторов Tg и Те будут совпадать.

Будем говорить, что J стохастически геометрически самоподобная конструкция, если для каждого а € А* существует Fa, удовлетворяющее свойствам 1, 2, 3, такое что если S является конечным подмножеством Ар, В G Э\аa Bg, s € S, борелевскими подмножествами [2-7]д*, то

Р{ J„ еВвУз€ S\Ja Ф 0 Vs € s и В) = Д P(J G в,).

se s

Известно достаточно большое количество примеров конструкций, обладающих этими свойствами. Предельное множество стохастически геометрически самоподобной конструкции называется случайным самоподобным множеством.

Для удобства напомним различные понятия мер и размерностей, которые будут в дальнейшем использоваться. Функция у : [0, +оо) —> [0, +оо) называется калибровочной функцией, если она является неубывающей функцией, такой что у(0) = 0.

¿-приближение меры Хаусдорфа множества А относительно калибровочной функции <р обозначается Н^(А) и определяется так:

f оо оо

Ti-e(A) = inf \ ]Г (¿>(diam(t/j))|A С |J Uit diam(^) < S i=l »=1

■

Мера Хаусдорфа относительно функции <р обозначается Л¥'(А) и определяется как

о—+0

Мы будем писать "Щ = Щ и Нч> = Н" когда 0 < в < оо и ¡р(г) = г', г > 0. Размерность Хаусдорфа множества А, сПт# А, определяется как

&тн А = и£{а\Н*(А) = 0} = вир{в|И*(А) = оо}.

Говорят, что калибровочная функция 1р дает точную размерность, если мера относительно нее положительна и конечна.

Далее дадим определение упаковочных мер относительно функции ц>. Пусть А С Ш.*1 и 8 > 0. Множество {(а^, Г{)}™=1 называется ¿-упаковкой множества А, если х, € А, 6 > 2г,- > 0, и г* + < сИз^а:,, х^) для i, 3 = 1,..., п, г ф j. В этом случае замкнутые шары с центрами в точках Х{ и радиусами г, не пересекаются. Для начала определим ¿-приближение к упаковочному объему и упаковочный объем следующим образом:

Р^6(А) = вир < ^ (^(2^) | {(®4,г,)}"=1 является ¿-упаковкой А >, ^ ¿=1 >

Р*{А) = Ът%{А).

Поскольку Рц не обладает свойством счетной полуаддитивности, для получения внешней меры необходим дополнительный стандартный прием. Упаковочная мера относительно функции 1р определяется для подмножества А С Ж11 так:

7>%4) = Ш { £ \А С 0 АЛ.

^ «=1 ¿=1 Тогда V9 является борелевской регулярной внешней мерой. Если ср(г) — г', то V' обозначается V"■ По аналогии с размерностью Хаусдорфа упаковочная размерность определяется с помощью упаковочных мер:

длтРА = шОДРЧЛ) = 0} = 8ир{5|Ря(Л) = оо}.

Наконец, рассмотрим верхнюю и нижнюю размерности Минковского. Если К является ограниченным подмножеством Ж*1, и 8 > 0, обозначим наименьшее число открытых шаров радиуса 6, которыми можно покрыть К. Верхняя размерность Минковского множества К, обозначаемая <1ш1 мК, определяется как

dimМК = lim - log NS(K)/logé = lim log N2-i{K)/(J log 2),

а нижняя размерность Минковского, dim¡¿К, как

dimMK = Ищ - log Ns(K)/log«5= Um log N2-, (K)/(j log 2).

¿—>0 j—>oo

Для случайных рекурсивных конструкций Молдин и Вильяме нашли в статье [18] размерность Хаусдорфа случайного рекурсивного множества К(ш) даже в случае бесконечного ветвления следующим образом. При условии, что К (и) ф 0, размерность Хаусдорфа почти наверное равняется а, где

Заметим, что в случае конечного ветвления имеет место равенство

Е

Е2?

l »•=1

= 1.

Гацурас в [9] доказал, что размерность Минковского множества К(и>) совпадает с его размерностью Хаусдорфа.

Ситуация с мерой Хаусдорфа в размерности а данных случайных фракталов сравнительно хорошо изучена. По закону нуля или единицы (см. теоремы 1.1, 1.2 и следующие за ними замечания) для некоторых классов множеств К(и>) почти наверное выполнено одно из трех: мера Хаусдорфа в размерности а либо нулевая, либо бесконечная либо положительная и конечная. Граф в [8] показал, что для случайных самоподобных множеств К(ш) мера Хаусдорфа в размерности а положительна и конечна при условии, что система случайных подобий почти детерминистична, а точнее,

если

Р( гшп Т, > 6\Т( ф 0 ) = 1 для некоторого 6 > 0. \ /

Граф и др. ([10]) распространили данный результат на общие случайные рекурсивные конструкции Далее Граф в статье [8] доказал, что если = < 1, то мера Хаусдорфа в размерности а случайного

самоподобного множества почти наверное нулевая.

Для многих случаев, когда мера Хаусдорфа в размерности а нулевая, была найдена точная размерность Хаусдорфа. В частности Граф и др. в [10] нашли калибровочную функцию <р, такую что 0 < Н'Р(К(ш)) < оо п.н., при условии, что К{ш) ф 0. Эта калибровочная функция может быть найдена путем анализа функции распределения случайной величины X, которая является пределом некоторого положительного супермартингала. А именно, если для а £ А* обозначить 1„(ш) = сЦат(7<т(ш)), то супермартингалом будет последовательность £ /с € 14. При конечном ветвлении

<тед*

эта последовательность образует мартингал.

В первой главе доказываются законы нуля или единицы, которые утверждают, что для большой части исследуемых конструкций имеет место трихотомия - либо упаковочная мера в некоторой размерности ¡3 для почти всех непустых предельных множеств конструкции нулевая, либо бесконечная, либо ненулевая и конечная с вероятностью единица. Следующая теорема обобщает теорему 7.2 в [8].

Теорема 1.1 Если К(ш) является случайным самоподобным множеством, и в его конструкции число потомков почти наверное конечно, то для любого (3 > 0

Р(Тр{К{ш)) = 0|Я"(и>) ф 0) - 0 или 1.

Теперь рассмотрим общий случай случайных рекурсивных конструкций. Если для а € Д* и г € А выполнено ф 0, то обозначим отображение подобия между За и через Предположим, что для всех г € А справедливо Р(Т( > 0) = 1. Тогда для почти всех и> множества а 6 А*,

непусты, К(ш) п.н. непусто, и случайные вектора S,, = (Sa,\, • • -) корректно определены для всех а € А*. Доказывается закон нуля или единицы при единственном условии:

(V) Для всех г € А выполнено Р(7} > 0) = 1, и случайные вектора отображений подобия = (Sa,i, Sfft2, • • •) независимы.

Теорема 1.2 Предположим, что семейство случайных подмножеств 3 удовлетворяет лишь свойству (v'). Тогда для всех ß > 0

P(Vß(K) = 0\КфЦ>) = 0 или 1.

Во второй главе доказывается равенство размерностей Хаусдорфа, Минковского и упаковочной размерности для случайных рекурсивных множеств (теорема 2.2) и для предельных множеств конструкции с "конечной памятью"(то есть когда отношение диаметров потомка и родителя может зависеть от нескольких предыдущих шагов конструкции) из работы Дрях-лова и Темпельмана [5] (теорема 2.3). Обе теоремы опираются на следующее

Предложение 2.1 Предположим, что случайная рекурсивная конструкция 3 с конечным ветвлением удовлетворяет лишь свойствам (i), (ii), (iii), и выполнены свойства

1. для почти всех и> € П lim sup la(w) = 0, и

2. lim < 0 для некоторого ß > 0. k—»оо

Тогда ¿ла.мК{ш) < ß п.н.

Основные результаты главы выглядят следующим образом:

Теорема 2.2 Для случайной рекурсивной конструкции 3 с конечным ветвлением

¿гтнК(и) = dimjiiiif(a;) = &im.MK(w) = dimp K(w) n.M. при условии, что К(ш) ф 0.

Теорема 2.3 В упомянутой выше конструкции с "конечной памятью" dimp K(w) = dim= dimMK(u) = dimц K(w) п.н.

В третьей главе исследуются упаковочные меры случайных рекурсивных множеств. Для этого используются меры, определенные в работах [18] и [10]. С каждой конструкцией можно связать три меры, обозначаемые (мера, порожденная конструкцией), цш и Q следующим образом. Во-первых, ии определяется для компактного множества А С lRd равенством

vu{A) = Hm £ /«ИХ»,

Л,ПЛ5Ч

где Х„ = lim П • Во-вторых, - мера на А , определяется на теД* «=1

каждом множестве А[а) = {»? G Ак | а -< т?} равенством

а затем продолжается до борелевской меры на Aw. Наконец, Q является мерой на произведении пространств А** х П: для борелевского множества х Q положим Ви = {rj G Ди | (т),и>) € В}. Тогда

Q(B) = J b,(Bu)dP(w).

Рассмотрим множество Гг = {<т £ А* | la| > г, < г}. Для т€ Гг обозначим Гг>т = {<т € Гг | dist(Jff, JT) < г}. Для г] 6 Ди обозначим Gr(y, w) = Гг^|Гг. Величина (7г(т7, ш) показывает, сколько множеств размера близкого к г находится по соседству с выбранным множеством такого же размера, и отражает геометрическую концентрацию множеств конструкции.

Следующая теорема утверждает, что при экспоненциальных ограничениях на концентрацию множеств конструкции упаковочная мера случайного рекурсивного множества почти наверное положительна. Упомянутое

ограничение изучалось Графом и др. в [10] в связи с вычислением точной размерности Хауедорфа случайного рекурсивного множества, и оно выполнено во многих интересных примерах, включая те, которые рассмотрены в последующих главах диссертации.

Теорема 3.1 Предположим, что существуют С > 0 и Ь € (0,1), такие что для всех г > 0 и всех к € ДО

д(сах<1(£г(т],ш)) = к)< СЪк.

Тогда

> 0|К{ш) ф 0) > 0.

В статье [10] было введено свойство ограниченности окрестности, достаточные условия выполнения которого изучались в статье [10] в связи с изучением нижней оценки точной размерности Хауедорфа случайных рекурсивных множеств.

Определение. 3 С обладает свойством ограниченности окрестности, если существует по 6 ЕЧ, такое что для всех е > сИат(«7), если 3\,..., являются множествами, геометрически подобными 3, с непересекающимися внутренностями и <Нат(</,) > е > сПэ^^ 7,) для г = 1,..., к, то к < щ.

Следствие 3.2 Предположим, что предельное множество конструкции удовлетворяет закону нуля или единицы, а 3 - условию ограниченности окрестности, и что существует к > 0, такое что

Е[1/ тш{Ту: 7} > 0}] < оо.

Тогда Р{Та{К{ш)) > 0|К{и>) ф<Ь) = 1.

Далее обсуждаются почти детерминистические условия, т.е. когда сумма случайных коэффициентов подобия в степени а п.н. равняется 1, и если коэффициент подобия отличен от нуля, то он не меньше некоторого числа 8.

Теорема 3.3 Если Р(Т? + ■ ■ ■ + Т£ = 1) = 1 и существует некоторое число 6 > 0, такое что > 8\Т{ ф 0)= 1 для всех 1 < г < п, то Га(К(ш)) < (2/6)а < оо п.н.

Далее доказывается, что при достаточно случайных коэффициентах подобия и выполнении усиленного условия случайного открытого множества упаковочная мера случайного самоподобного множества в размерности а бесконечна.

Определение 3.4 Конструкция удовлетворяет усиленному условию случайного открытого множества, если существуют ро, ро > 0 и sq € IN U {0}, такие что для любого а € Д* существует событие Д, в а-алгебре, порожденной отображениями ш —> Та„{ш) с 0 < |т| < sq, P{Ra\Ka Ф Щ > ро, такое что для каждого ш € Дг П {Ка ф 0} существует х € Ка с dist(x, dJa) > p$la.

Теорема 3.5 Предположим, что К(ш) является случайным самоподобным множеством. Если Р(0 < Тр + - • - + < 1) > 0 и конструкция удовлетворяет усиленному условию случайного открытого множества, то

P(V*{K(w)) = оо|К(ш) фЩ = 1В следующей теореме улучшаются полученные оценки упаковочной меры случайных рекурсивных множеств путем рассмотрения упаковочных мер относительно калибровочных функций <¿>(f) — i?g{t).

Теорема 3.6 (верхняя граница). Предположим, что для некоторого £ > 0

E[l/™n{T¿--Ti>0}]<oo.

Тогда

1. Если Р(0 < X < а) < СаР при а 0 и ip(t) — Fgft) является произвольной калибровочной функцией, то из J Р*1" Wds < +оо следует

Р(Т^{К{ш)) = 0|K{w) Ф 0) — 1.

2. Если

г = lim-a_1/ílogP(0 < X < а) < оо,

о-»0

то для <p(t) = í°| log I log t\f,

P(V*{K(w)) < oo|К(ы) ф 0) = 1.

Для доказательства того, что полученные нижние оценки точной упаковочной размерности являются наилучшими, предположим далее, что выполнены следующие два предположения.

Предположение 1 Существуют рд, р > 0, So > 0 и набор событий Ra в <г-алгебре, порожденной случайными векторами (Tr»i,..., ТТ,п), а ~< т, \т\ < |<т| + so, такие что P{Ra\Ka ф 0) отделено от нуля, для каждого ш £ Ra П {Ка ф 0} существует х £ Ка с dist(ar, dJ„) > pla, «

S £ UT^TlidP = po. r, |t|=í0 i=1

Предположение 2 Существует 6 > 0, такое что P(T¡ = 6\Ti ф 0) = 1 для всех г £ Д.

Для k £ IN определим случайные величины Тк, lk, Хк на Д"хП, полагая = 1к{г],ш) = lv|4(w) и Хк(г],ш) = Xv\k(w) соответственно.

Для к £ 1N положим

Rk = {(4,w) едих Щш € Щ = (J {п £ ДКМИ = a)xR<ri

м=*

Вк = {1%Хк+,0 < c<p{lkp)} П Rk.

Теорема 3.7 Предположим, что Q(limBk) = 1 и что конструкция удовлетворяет предположению 1. Тогда

1. Если Cío" < Р(0 < X < а) < С2ар для всех а £ (0,1) и y?(t) = 1?g(t)

является измеримой функцией, то из расходимости [ ds = +оо

0+

следует Р{-Р*(к(и>)) = +оо\К(си) ФЩ = 1.

2. Если Cia1^ < — log Р(0 < X < а) < С2а1/0 для всех а £ (0,1), то для <p(t) = fllogllogflp, P{V*{K{w)) > 0|ЛГ(«) ф 0) = 1.

Если выполнено предположение 2, то условие Q(limBt) = 1, фигурирующее в теореме 3.7, выполнено.

В четвертой главе проводится сравнение между случайными рекурсивными множествами и деревьями Гальтона-Ватсона. Развитая в предыдущих главах диссертации теория применяется к границе дерева Гальтона-Ватсона.

В пятой главе рассмотрены вероятностные меры, порожденные согласно схеме, предложенной в работе [17], в которой при некоторых условиях были найдены оценки размерностей Хаусдорфа этих вероятностных мер. Мы доказываем, что при тех же условиях те же оценки справедливы и для упаковочных размерностей этих вероятностных мер.

В шестой главе приводятся примеры различных конструкций, на которых иллюстрируются полученные результаты. Разбираются процесс пер- d коляции Мандельброта, модифицированный процесс перколяции Мандель-брота, множество нулей броуновского моста, случайное канторовское мно- , жество, случайный самонепересекающийся процесс на решете Серпинско-го, впервые определенный в [11], для которого также дается более простое определение, позволяющее считать его случайным рекурсивным множеством. Также приводится пример случайной рекурсивной конструкции с бесконечным ветвлением, для предельного множества которой не выполнен закон нуля или единицы (см. теоремы 1.1,1.2) и случайной рекурсивной конструкции с бесконечным ветвлением, в которой dim\fK является невырожденной случайной величиной и dimp К < ess inf dimмК почти наверное (т.е. нарушается заключение теоремы 2.2).

В заключении подводится итог предпринятых исследований. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Берлинков А. Г. Размерности случайных рекурсивных множеств // Зап. научн. семян. ПОМИ. - 2005. - Т. 328. - С. 20-26.

[2] Berlinkov A. On packing measure and dimensions of random fractals // Rea1 Anal Exch. - 2000. - Vol. 24. - Pp. 91-92.

[3] Berlinkov A., Mauldin R. D. Packing measure and dimensions of random fractals //J. Theoret. РгоЬаЪ. - 2002. - Vol. 15., no. 3. - Pp. 695-713.

[4] Berlinkov A. Exact packing dimension in random recursive constructions

// Probab. Tb. Rel. Fields - 2003. - Vol. 126. - Pp. 477-496. i

Цитируемая литература

[5] Dryakhlov A. V., Tempelman, A. A. On Hausdorff dimension of random fractals//JVew York J. Math. - 2001. - Vol. 7. - Pp. 99-115.

[6] Feng J., Sha Z. Packing measure functions of subordinators sample paths //Science in China (Series A).- 1998. - Vol. 41. - Pp. 505-509.

[7] Fristedt B. E., Taylor S. J. . The packing measure of a general subordi-nator // Prob. Th. Rel. Fields. - 1992. - Vol. 92. - Pp. 493-510.

[8] Graf S. Statistically self-similar fractals // Prob. Tb. Rel. Fields - 1987. - Vol. 74. - Pp. 357-392.

[9] Gatzouras D. Lacunarity of self-similar and stochastically self-similar sets //Trans. Amer. Math. Soc. - 2000. - Vol. 352., no.5. - Pp. 1953-1983.

[10] Graf S., Mauldin R. D., Williams S. C. The exact Hausdorff dimension in random recursive constructions // Mem. Am. Math. Soc. - 1988. - Vol. 381. - 121 pp.

[11] Hattori K., Hattori T. Self-avoiding process on the Sierpinski Gasket //Prob. Th. Rel. Fields. - 1991. - Vol. 88. - Pp. 405-428.

[12] Hu X. The exact packing measure for a random re-ordering of the Cantor set //Science in China (Series A).- 1996. - Vol. 39. - Pp. 1-6.

[13] Hu X. The measure properties of a class of general subordinators and the random reorderings of the Cantor Set // Differential equations and control theory. - Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - 1996. - Vol. 176. - Pp. 93-100.

[14] Hu X. Some fractal sets determined by stable processes// Prob. Th. Rel. Fields. - 1994. - Vol. 100. - Pp. 205-225.

[15] Hu Y. Hausdorff and packing measures of the level sets of iterated Brow-nian motion // J.Theoret. Probab. - 1999. - Vol. 12. - Pp. 313-346.

[16] Mattilla P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - 343 pp.

[17] Mauldin R. D., Monticino G. M. Randomly generated distributions //Israel J. Math. - 1995. - Vol. 91. - Pp. 215-237.

[18] Mauldin R. D., Williams S. C. Random recursive constructions: asymtotic geometric and topological properties // Trans. Am. Math. Soc. - 1986. -Vol. 295. - Pp. 325-346.

[19] Watanabe T. Exact packing measure on the boundary of a Galton-Watson tree //J. Load. Math. Soc., II. Ser. - 2004. - Vol. 69, no.3. - Pp. 801-816.

Подписано в печать 24.04.06. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 27.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

¿оШ-j <f<PS~

Введение

0.1 Случайные рекурсивные конструкции.

0.2 Сведения из теории меры.

0.3 Обзор результатов.

0.4 Дальнейшие обозначения.

1 Законы нуля или единицы ф 2 Размерности случайных рекурсивных множеств

3 Упаковочные меры случайных рекурсивных множеств

3.1 Оценка упаковочной меры в размерности множества.

3.2 Оценка точной упаковочной размерности сверху.

3.3 Оценка точной упаковочной размерности снизу.

4 Деревья Гальтона-Ватсона

5 Случайно порожденные вероятностные распределения

6 Примеры 65 Заключение 73 Литература

В данной диссертации рассматриваются случайные фракталы общего типа и некоторые вопросы размерности и мер, связанные с ними. Прежде различные авторы изучали свойства случайных фракталов относительно мер Хаусдорфа, определенных еще в начале XX века. В середине 80-х годов были определены упаковочные меры как в некотором смысле двойственные мерам Хаусдорфа. Мы проводим исследование свойств случайных фракталов с точки зрения упаковочных мер. Данная тема обсуждалась в литературе в значительно меньшей степени.

0.1 Случайные рекурсивные конструкции

Рассматриваемые случайные фракталы возникают в результате случайной рекурсивной конструкции, впервые определенной в работе Молдина и Ви-льямса ([37]). Простым примером случайного фрактала является случайное кантпоровское множество. Для его получения независимо выбираются два случайных числа согласно равномерному распределению на интервале [0,1], и из трех образовавшихся интервалов берутся правый и левый, а средний отбрасывается. В каждом из полученных интервалов процедура повторяется в соответствующем масштабе и т. д. Случайное канторовское множество определяется как множество точек, принадлежащих сохраняемым интервалам после каждого шага конструкции. Случайный фрактал получается с помощью процедуры, аналогичной процедуре построения канторовско-го множества, причем механизм сохранения частей исходного множества на каждом шаге носит более общий характер. Сейчас будет дано точное определение этой конструкции.

Пусть п € IN U {оо}, п > 2, А = {1,2,., п}, если п в IN, и А = IN,

00 если п = оо, А* = (J А-7 является множеством всех конечных последовало тельностей элементов А, а дК множеством всех их бесконечных последовательностей. Результат составления из двух последовательностей а и г из А* одной путём выписывания их соответствующем порядке обозначается а * т. Длина конечной последовательности а обозначается \а\. Если к £ IN и а является последовательностью длины не меньше к, то последовательность, составленная из первых к элементов <7, обозначается а\к.

Случайная рекурсивная конструкция состоит из семейства J = {Ja\a £ А*} случайных компактных подмножеств lRd, заданных на некотором вероятностном пространстве (Q, Р). При этом параметризующее множество последовательностей естественно рассматривать как дерево. При п < оо мы будем говорить о конечном ветвлении, при п — оо о бесконечном. Начальное множество Jg — J предполагается фиксированным и таким, что J = Cl(Int( J)). Без потери общности мы предполагаем, что diam( J) = 1.

Данные семейства случайных множеств должны удовлетворять следующим свойствам: i. Отображения ш —> Ja{ш) измеримы относительно Е, и. Множества Ja, если они не являются пустыми, геометрически подобны J, 1 iii. Ja*i является собственным подмножеством Ja для всех а £ А* и i £ А при условии, что Ja ф 0, iv. Конструкция удовлетворяет условию случайного открытого множества: если а и г являются двумя последовательностями одинаковой длины, то Int(Jff) П Int(Jr) = 0, v. Существует последовательность независимых случайных векторов

То- — • • • > & £ А , таких что выполнено соотношение diam(JCT*j) = diam(JCT)TCT*j. При этом вектора Тст условно независимы при условиях, что Ja ^ 0, и при этом же условии имеют то же распределение, что и Т0 = (Ti,., Тп). Иными словами, для любого конечного множества S С А* и любого набора борелевских множеств В8 С [0,1]А, s £ S,

P(TS £ BsVs £ S\J, ф 0 Vs € S) = ДР(Т, £ BS\JS ф 0), seS lA, В С IRd геометрически подоб1ш, если существуют S : Itd —► lRd и г > 0, такие что для любых х, у G lRd dist(S(z), S(y)) = г dist(x, у) и 5(A) = В, при этом S называется отображением подобия. и для любого a G Д* и любого борелевского множества В С Нл

Р(та е в| 0) = Р(т0 е Б).

Объектом изучения в данной диссертации является случайное рекурсивное множество, или предельное множество случайной рекурсивной конструкции (фрактал)

00 к(и) = п U ш е а

1 <теД*

Все эти конструкции интересны только тогда, когда получающиеся множества К(ш) нетривиальны с положительной вероятностью. Для этого необходимо, чтобы среднее число "потомков" было больше одного. Данное условие будет предполагаться выполненным на всем протяжении диссертации. Следует заметить, что в случайных рекурсивных конструкциях допускается случайное расположение множеств Ja*i внутри Ja. Таким образом случайные рекурсивные множества включают в себя в качестве частного случая случайные самоподобные множества, которые были определены независимо Молдиным и Вильямсом в [37] и Графом в [18]. В последней статье они впервые были подвергнуты тщательному изучению.

Чтобы напомнить понятие случайного самоподобного множества, которое было введено в статье [37], обозначим ст-алгебру, порожденную отображениями ш н-» где |<т| < р € 1ST, через Jp. Пусть cr G Др, P{Ja ф 0) > 0, и отображение Fa : х J —*■ IRd удовлетворяет следующим свойствам:

1. Fa измеримо относительно а-алгебры Jv х B(J), где B{J) обозначает а-алгебру борелевских подмножеств J,

2. при условии, что Jc(ljj) Ф 0, Fa(u, J) — Ja(uj) для почти всех и

3. Fa является отображением подобия почти наверное.

Определим Ja = {Защ\п € А*} равенством Ja-,n — F0(uj, -)~l{Ja*ri(u)). Тогда при условии, что Ja ф 0, J<r будет случайной рекурсивной конструкцией, элементы связанные с которой будут обозначаться значком"! Распределения векторов Т0 и Tfl будут совпадать.

Будем говорить, что J стохастически геометрически самоподобная конструкция, если для каждого <т € А* существует Fa, удовлетворяющее свойствам 1, 2, 3, такое что если S является конечным подмножеством Др, В € J\a\, a Bs, s € 5, борелевскими подмножествами [27]д*, то

Примеры 6.1-6.5 обладают этим свойством. Предельное множество стохастически геометрически самоподобной конструкции называется случайным самоподобным множеством.

0.2 Сведения из теории меры

Для удобства напомним различные понятия мер и размерностей, которые будут в дальнейшем использоваться. Данные размерности и меры описываются Фальконером в [12], Маттилой в [32], Тэйлором в [43] и [44] и Тэйлором и Трико в [45].

Функция ip : [0, +оо) —> [0, +оо) называется калибровочной функцией, если она является неубывающей функцией, такой что у?(0) = 0.

-приближение меры Хаусдорфа множества А относительно калибровочной функции ip обозначается Tig (А) и определяется так:

Мера Хаусдорфа относительно функции ip обозначается НУ (А) и определяется как

Н«{А) = \\тт{А).

5—»0

Мы будем писать Щ = Щ и W = W когда 0 < s < оо и (p(r) = rs,r> 0. Размерность Хаусдорфа множества А, dim# А, определяется как

Говорят, что калибровочная функция ср дает точную размерность, если мера относительно нее положительна и конечна.

Далее дадим определение упаковочных мер относительно функции ср. Эти меры возникли естественным образом в двух различных областях. Они p(ja e BsVse s\Ja ф 0 Vs 6 S и в) = Y[p{3 е д).

И$(А) = inf Uu diamЩ < 5 dimНА = mf{s\?is(А) = 0} = sup{s|fts(.A) - оо}. были определены Д. Салливаном в [40] с целью анализа некоторых проблем динамики, и независимо Тэйлором и Трико в [45]. В последней статье были определены не только упаковочные меры и размерности, но и подсчитана точная упаковочная размерность для броуновской траектории.

Пусть А С IRd и 6 > 0. Множество {(х{, г$)}™=1 называется ^-упаковкой множества А, если Х{ 6 A, S > 2rt- > 0, и гг- + rj < dist(a:i, Xj) для г, j = 1,., п, г Ф j. В этом случае замкнутые шары с центрами в точках хг-и радиусами Г{ не пересекаются. Для начала определим J-приближение к упаковочному объему PqS и упаковочный объем Pq следующим образом:

Поскольку Pq не обладает свойством счетной полуаддитивности, для получения внешней меры необходим дополнительный стандартный прием. Упаковочная мера относительно функции (р определяется для подмножества А С IRd так:

Тогда Vv является борелевской регулярной внешней мерой. Если ip(r) = rs, то V^ обозначается Vs. По аналогии с размерностью Хаусдорфа упаковочная размерность определяется с помощью упаковочных мер:

Следует отметить, что данное двухступенчатое определение упаковочной меры технически усложняет работу с ней по сравнению с мерой Хаусдорфа. В некотором смысле это усложнение невозможно обойти. Вычислительная сложность упаковочных мер была проанализирована в статье Молдина и Маттилы [34]. Например, там доказывается что размерность Хаусдорфа является функцией второго бэровского класса на пространстве компактных подмножеств ]Rd, в то время как упаковочная размерность, хоть и являющаяся измеримой относительно сг-алгебры, порожденной аналитическими множествами, не является измеримой по Борелю функцией на пространстве компактных подмножеств. г=1 тРА = mf{s|P3(4) = 0} = sup{s|Pe(^) = оо}.

Наконец, рассмотрим верхнюю и нижнюю размерности Минковского. Если К является ограниченным подмножеством IRd, и S > 0, обозначим Ns(K) наименьшее число открытых шаров радиуса 5, которыми можно покрыть К. Верхняя размерность Минковского множества К, обозначаемая dimмК, определяется как dimjtfK = lim — logNs(K)/log6 — lim logN2-j(K)/(jlog2), (5—>0 j-*oo а нижняя размерность Минковского, dimMK, как dimМК — lim — log NS(K)/ log 6 = l|m log N2-j(К)/(j log 2).

5-+0 j—>oo

Вместо наименьшего количества открытых шаров радиуса 5 в определении размерностей Минковского можно использовать наибольшее коли-ф чество замкнутых шаров того же радиуса с центрами, расположенными во множестве К. Весьма полезным является тот факт, что упаковочная размерность множества может быть вычислена с использованием верхней размерности Минковского: dimpК = mil supdimMKi\K С |JKh K\ С Hd компактно >.

I * i=l ^

Также имеются несколько других зависимостей между размерностями множества: dirn/f К < dimp К < dim^K, dimя К < dimМК < dimмК-> ШМК = Ы{(3\Т(!(К) = 0} = sup{/5| vg(K) = оо}. 0.3 Обзор результатов

В данном разделе основные результаты диссертации рассматриваются в контексте смежных результатов, полученных ранее другими авторами. Для случайных рекурсивных конструкций Малдин и Вильяме нашли в статье [37] размерность Хаусдорфа случайного рекурсивного множества К{ш) даже в случае бесконечного ветвления следующим образом. При условии, что

К(ш) ф 0, размерность Хаусдорфа почти наверное равняется а, где а = Ы<(3:Е < 1

Заметим, что в случае конечного ветвления имеет место равенство

Гацурас в [16] доказал, что размерность Минковского множества К (и) совпадает с его размерностью Хаусдорфа. В теореме 2.2 приводится другое краткое доказательство данного факта. Это доказательство в теореме 2.3 распространяется на случайные фракталы, изучавшиеся Дряхловым и Тем-пельманом в [И]. Таким образом при конечном ветвлении все четыре стандартные размерности изучаемых конструкций - верхняя и нижняя размерности Минковского, Хаусдорфа и упаковочная размерность - совпадают. При бесконечном ветвлении размерность Минковского и упаковочная размерность могут превосходить размерность Хаусдорфа, даже если рекурсия носит детерминистический характер, см. [35], теорема 2.11.

Ситуация с мерой Хаусдорфа в размерности а данных случайных фракталов сравнительно хорошо изучена. По закону нуля или единицы (см. теоремы 1.1, 1.2 и следующие за ними замечания) для некоторых классов множеств К (и) почти наверное выполнено одно из трех: мера Хаусдорфа в размерности а либо нулевая, либо бесконечная либо положительная и конечная. Граф в [18] показал, что для случайных самоподобных множеств К (и) мера Хаусдорфа в размерности а положительна и конечна при условии, что система случайных подобий почти детерминистичпа, а точнее, если

Граф и др. ([20]) распространили данный результат на общие случайные рекурсивные конструкции. Для упаковочной меры в размерности а ситуация аналогична. В теореме 3.3 доказывается, что при тех же двух условиях упаковочная мера в размерности а положительна и конечна почти наверное. п р Ti>8\Ti^ 0=1 для некоторого S > 0.

Далее Граф в [18] доказал, что если Р^ £ Т-* = lj < 1, то мера Хаусдорфа в размерности а случайного самоподобного множества почти наверное нулевая. В теореме 3.6 доказывается, что в данной ситуации при условии, п что Р(0 < ^ Т-* < 1) > 0 и выполнении усиленного условия случайного г=1 открытого множества, упаковочная мера в размерности а бесконечна.

Для многих случаев, когда мера Хаусдорфа в размерности а нулевая, была найдена точная размерность Хаусдорфа. В частности Граф и др. в [20] нашли калибровочную функцию (р, такую что 0 < 7i<p{K(uj)) < оо п.н., при условии, что К(со) ф 0. Эта калибровочная функция может быть найдена путем анализа функции распределения случайной величины X, которая является пределом некоторого положительного супермартингала. А именно, если для a G А* обозначить 1а(ш) = diam(Jcr(a>)), то супермартингалом будет последовательность ]Г] А: € IN. Данная запись означает а\=к суммирование по всем последовательностям длины к и будет часто использоваться в дальнейшем. При конечном ветвлении эта последовательность образует мартингал.

Соответствующая ситуация при нахождении точной упаковочной размерности сложнее и была не разрешена. В данной диссертации решение этой задачи сводится к проверке того, случаются ли бесконечно часто некоторые события с вероятностью единица. Проверка произведена для простейших классов конструкций, в которых % может принимать только одно значение за исключением нулевого и при некоторых других заметно менее ограничительных условиях.

Ранее вопрос о точной упаковочной размерности был выяснен для траекторий субординаторов и, как уже упоминалось ранее, броуновской траектории. Тэйлор в [44] доказал, что упаковочная мера траектории субординатора с индексом /3 относительно калибровочной фукнции (p(t) = t@g(t) нулевая, если J0+g2(t)dt/t < оо, и бесконечная, если f0+g2(t)dt/t = оо, т.е. точной упаковочной размерности не существует. Упаковочные меры траекторий субординаторов и связанных с ними процессов также изучались в работах Фенг и Ша ([14]), Фристедта и Тэйлора ([14]), Кс. Ху ([24],[25],[26]), Й. Ху ([27]). Во многих из них требовалось дополнительное условие на рассматриваемые калибровочные функции - Нт<^(2£)/<£>(£) < оо, называемое

4—>0 условием удвоения.

Стоит упомянуть, что Лю в [30] анонсировал нахождение точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона в случае, когда количество потомков по крайней мере два почти наверное, но сделал ошибку в доказательстве оценки снизу этой размерности . Связь между деревьями Гальтона-Ватсона и случайными рекурсивными конструкциями, а также эта ошибка обсуждаются в главе 4 и теореме 4.2. Также Ксяо в [47] доказал отсутствие точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона при геометрическом распределении потомков.

При исследовании точной упаковочной размерности случайного рекурсивного множества мы различаем два случая - когда функция распределения случайной величины X убывает около нуля как полином, этот случай мы называем полиномиальным, и когда функция распределения убывает экспоненциально, тогда мы говорим об экспоненциальном случае. В теореме 3.12 найдена верхняя оценка точной упаковочной размерности общих случайных рекурсивных множеств, если коэффициенты подобия конструкции убывают к нулю не слишком быстро, а в теореме 3.28 при некоторых дополнительных предположениях доказывается, что найденная оценка верхней границы точной упаковочной размерности является наилучшей. Оказывается, что в полиномиальном случае точной упаковочной размерности не существует, т.е. упаковочная мера либо нулевая, либо конечная в зависимости от сходимости некоторого интеграла, а в экспоненциальном случае точная упаковочная размерность определяется размерностью множества и скоростью экспоненциального убывания к нулю функции распределения случайной величины X около нуля.

По материалам диссертации опубликовано 4 работы, они перечислены в списке литературы под номерами [1],[5],[7],[6]. Результаты диссертации докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А. Ибрагимова в 2005 г., на междисциплинарном математическом семинаре СПб-ГУ в 2005 г. на Симпозиуме по вещественному анализу в г. Дентон (США) в 2000 г., на Юго-западной конференции по динамике в Лос-Анджелесе (США) в 2000 г., на встрече Американского математического общества в г. Колумбус (США) в 2001 г., на семинаре по математическому анализу университета Ювяскюля (Финляндия) в 2002 г., на международной конференции по фрактальной геометрии и стохастике во Фридрихроде (ФРГ) и на семинаре по фрактальной геометрии университета г. Йена (ФРГ) в 2003 г.

0.4 Дальнейшие обозначения

В диссертации будут использоваться следующие обозначения - для конечной последовательности a G А* и последовательности г 6 A* U А14 запись а < т означает, что последовательность т начинается с сг, для оо

Г с A*, S? = £ 1%, для cr е А* множество Ка{и) = П U aer i=1 |r|=i

Г С А* называется антицепью, если для всех т, a G Г, а т и т (Т. Антицепь Г является максимальной, если для всех rj € А1* существует единственное & 6 IN, такой что rj\k € Г (rj\k будет обозначаться 7у|г), иными словами, максимальная антицепь является срезом дерева индексов. Особенно полезными для нас будут случайные антицепи вида Гг(и) = {ае А* 1>г,1а< г}.

В диссертации получены следующие результаты. 1. Доказан закон нуля или единицы для случайных самоподобных мно жеств, а также для случайных рекурсивных множеств, удовлетворя ющих условию невырождения "потомков" и независимости размеще ния "потомков" на каждом шаге конструкции. 2. Доказано совпадение размерности Хаусдорфа, верхней и нижней раз мерности Минковского и упаковочной размерности для широкого

класса множеств, включающего случайные рекурсивные множества,

а также для предельных множеств конструкции с "конечной памя тью" Дряхлова и Темпельмана,

3. Доказано, что при экспоненциальных ограничениях на концентрацию

множеств случайной рекурсивной конструкции сравнимого диаметра

упаковочная мера случайного рекурсивного множества в его размер ности с положительной вероятностью положительна. 4. Доказано, что для "почти детерминистической" случайной рекурсив ной конструкции мера предельного множества в его размерности по ложительна и конечна почти наверное. 5. Введено усиленное условие случайного открытого множества для слу чайных рекурсивных конструкций, при выполнении которого и при

недетерминистичности конструкции случайные самоподобные множе ства имеют бесконечную меру в их размерности

6. Получена оценка сверху точной упаковочной размерности случайных

рекурсивных множеств, в конструкции которых коэффициенты подо бия убывают к нулю не слишком быстро. 7. Получение оценки снизу точной упаковочной размерности случай ных рекурсивных множеств, совпадающей с оценкой сверху, сведено к проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются неко торые события с вероятностью единица. Проверка произведена для

некоторого класса конструкций. 8. Получена оценка упаковочной размерности некоторых случайно по рожденных вероятностных мер, совпадающая с оценкой их размер ности Хаусдорфа. В общем, работа доказывает давно выдвинутую гипотезу о точной упа ковочной размерности случайных рекурсивных множеств. При этом на рас сматриваемые калибровочные функции в случае отсутствия точной упако вочной размерности не накладывается никаких условий. Ответ состоит в

проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются некоторые со бытия с вероятностью единица, как упомянуто в предпоследнем пункте. Автор благодарен проф. Лифшицу М.А. за чтение диссертации и пред ложения по ее улучшению.

1. Верлишов А. Г. Размерности случайных рекурсивных множеств // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 2005. - Т. 328. - С. 20-26.

2. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972. - 416 с.3J Ширяев А. Н. Вероятность. М.: МЦНМО, ТТ. 1-2, 2004. - 927 с.

3. Athreya К. В., Ney P. Е. Branching Processes. Berlin-Heidelberg-New-York: Springer, 1972. - 294 pp.

4. Berlinkov A. On packing measure and dimensions of random fractals // Real Anal. Exch. 2000. - Vol. 24. - Pp. 91-52.

5. Berlinkov A. Exact packing dimension in random recursive constructions j I Probab. Th. Rel. Fields 2003. - Vol. 126. - Pp. 477-496.

6. Berlinkov A., Mauldin R. D. Packing measure and dimensions of random fractals /Д Theoret Probab, 2002, ~ Vol. 15., no, 3. - Pp. 695-713.

7. Biggins J. D., Bingham N. H. Large deviations in the supercritical branching process // Adv. Appl. Probab. 1993. - Vol. 25., no. 4. - Pp. 757-772.

8. Bingham N. H. On the limit of the supercritical branching process //J. Appl. Probab. 1988. -Vol. 25A. - Pp. 215-228.

9. Dubuc S. (1971): La densite de la loi-limite d'un processus en cascade expansif // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Vierw. Gebiete 1971. -Vol. 19. - Pp. 281-290.

10. Dryakhlov A. V., Tempelman, A. A. On Hausdorff dimension of random fractals//New York J. Math. 2001. - Vol. 7. - Pp. 99-115.

11. Falconer K. J. Fractal Geometry: Mathematical foundations and applications. New York: John Wiley, 1990. - 288 pp.

12. Feng D., Hua S., Wen Z. Some relations between packing premeasure and packing measure //Bull. London Math. Soc. 1999. - Vol. 31. - Pp. 665-670.

13. Feng J., Sha Z. Packing measure functions of subordinators sample paths //Science in China (Series A). 1998. - Vol. 41. - Pp. 505-509.

14. Fristedt В. E., Taylor S. J. . The packing measure of a general subordi-nator // Prob. Th. Rel. Fields. 1992. - Vol. 92. - Pp. 493-510.

15. Gatzouras D. Lacunarity of self-similar and stochastically self-similar sets //Trans. Amer. Math. Soc. 2000. - Vol. 352., no.5. - Pp. 1953-1983.

16. Gatzouras D., Lalley S. P. Statistically self-affine sets: Hausdorff and box dimensions //J. Theoret. Probab. 1994. - Vol. 7. - Pp. 437-468.

17. Graf S. Statistically self-similar fractals // Prob. Th. Rel. Fields 1987. - Vol. 74. - Pp. 357-392.

18. GrafS., MauldinR. D., Williams S. C. Random homeomorphisms //Adv. Math. 1986. - Vol. 60. - Pp. 239-259.

19. Graf S., Mauldin R. D., Williams S. C. The exact Hausdorff dimension in random recursive constructions // Mem. Am. Math. Soc. 1988. - Vol. 381. -121 pp.

20. Hawkes J. Trees generated by a simple branching process // J. London Math. Soc. -1981 Vol. 24. - Pp. 378-384.

21. Hattori K. Exact Hausdorff dimension of self-avoiding processes on the multi-dimensional Sierpinski gasket // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. ~ 2000. = Vol. 7, no. 1. Pp. 57-98.

22. Hattori K., Hattori T. Self-avoiding process on the Sierpinski Gasket //Prob. Th. Rel Fields. 1991. - Vol. 88. - Pp. 405-428.

23. Ни X. The exact packing measure for a random re-ordering of the Cantor set //Science in China (Series A).- 1996. Vol. 39. - Pp. 143.