Абстрактные винеровские интегралы и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МЛІІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ . ім. Ів.Фраике

р Г 5 ОЛ 1 7 ОНТ 1996

На правах рукопиоу_

Гаврилів Оресг Отйішноаич АБСТРАКТНІ ШІШГІВСЬКІ ІНТЕГРАЛИ і IX ЗАСТОСУВАННЯ 01.01.01 -'математичний аналіз

• АБГ0Р1ЖРАТ ‘

ДИСЕРТАЦІЇ НА ЗДОБУТТЯ І1АУК0ДОГ0 СТУПЕНЯ КАНДИДАТА ФІЗИІЇО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК

Львів - 1956

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Державно- -го університету "Львівська політехніка".

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук |гі.П.Коза'к|

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичиих наук М.С.Сявавко •

кандидат фізико-математичних наук

О.Г.Сторож

' Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.-Я.С.Лідстригача

Захист відбудеться _: 1996 р. о

годині в _ —-------------------- • на засіданні спеціалізованої

ради Д 04 04 01 при Львівському державному університеті ім.

Ів.Франка згідно адреси 290602, м.Львів, Університетська,І.

З дисертацією мокна ознайомитись у бібліотеці 'Львівсь- . кою державного .університету.

Автореферат розіслано ”______"_______________1996 р.

Вчений секретар _

спеціалізованої ради Я.В.Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ Акт^альність теми і ступінь аослідкеності тематики

Поява нових розділів фізики і математики у XX столітті ии>ь„ ла необхідність створення методів інтегрування на нескінченновимір-них многовидах. У 20-х роках нашого століття, при вивченні броунів-ського процесу, Норберт Вінер запровадив поняття інтегралу від функціонала, заданого на просторі траєкторій процесу. 1942-го року Р.фейнман, в задачі про принцип найменшої дії у квантовій фізиці, застосував метод континуального інтегрування. Ці результати явилися поштовхом до подальших досліджень в теорії і теорії застосування континуальних інтегралів. Вінерівські інтеграли виявилися безпосередньо застосовними н теорії.ймовірностей; теорії інтегральних, диференціальних і операторних рівнянь; теоретичній фізиці.

Вінерівську міру в просторі .неперервних функцій двох змінних введено Т.Ьітагавою. Деякі властивості цієї міри вивчено в працях Дк.ііє, І.М.Ковальчика. Близькі аспекти серйозно розпрацьовувано Ю.Л.Далецьким. Поширенню вінерівської міри на випадок простору неперервних функцій багатьох змінних присв"ячено роботи Т.Тобіаса; П.П.Козака; І.МЖовольчика; Л.О.Яновіча. У випадку .скінченного числом множників^добутку просторів міру Вінера розглядали І.М.Ко- , вальчик, П.П.Козак, автор дисертації.

Значний вклад в розробці теорії інтегралу Вінера належить .Р.Камерону, В.Мартіну, їх учням. Зокрема, ними одержано в даний час класичні результати про перетворення інтегралу Вінера іа зсуву; лінійної та нелінійної замін змінних, - котрі послужили вихідними в одержанні, відповідних результатів для вінерівського інтегралу у просторі функцій двох змінних, багатьох змінних, скінченно-кратного вінерівського інтегралу, нескінченнократного вінерівсь-

• кого інтеграла.

Важливу теорему про включення інтеграла по мірі Вінера в загальну теорію абстроктнго інтеграла Лебега доведено С.В.Фоміним.

Г.б.Шиловим і Фан Дик Тінем отримано результати,' що дозболяють перетворювати інтеграл Вінера до інтегралу за гаусівською мірою у просторі всіх числових послідовностей. Л.Гросс - виходячи з конііеп-ції і конструкції класичної міри Вінера, специфіки використання, потреби інтегрування у банаховому просторі - побудував абстрактний вінерівський простір, чим абстрактні вінерівські інтеграли постали започаткованими. Властивості відповідної міри в абстрактному

• вінерівськоцу просторі вивчалися Л.Гроссом, Х.-С.Го, Р.Рамером.

Прикладка абстрактних вінерівських інтегралів в різноманітних галузях науки і техніки стала полем діяльності великого число авторів. . •

Вінерівське випадкове ноле від декількох параметрів постало в праці М.М.Ченцова, де показано, що за деяких умов поле неперервне з імовірністю один. •

Питання зп"язку інтегралу Вінера зі звичайними диференціальними рівняннями і диференціальними рівняннями в часткових похідних розглядали Р.Камерон і В.Маргін, М.Каи. Застосування вінерівських інтегралів до теорії лінійних інтегральних рівнянь і систем інтегральних рівнянь розглянули !.Остром, Р.Камерон, В.Мартін, П.ІІ.Ко-зак{ до теорії інтегро-диференціальних рівнянь - П.П.Козак, Р.М.Ка-доб"янський| до теорії нескінченних систем Інтегральних, звичайних диференціальних, інтегро-диференціальні«, диференціальних рівнянь у часткових похідних - П.П.Козак, Я.М.Чабанкж. Тематику вінерівсь-кої міри в просторі неперервних функцій нескінченного числа змінних та відповідного вінерівського інтеграла плідно розпрацьовувано ІІ.П.Козаком та Г.І.Білущвк.

Мета .Дисертаційної роботи і основні завдання наукових . досліагень: • '

Розвиток кратного та нескінченнократного інтегрування у абстрактних в іітпівььииіг птюр.торах у прагненні побудови інструменту для обчислення абстрактних вінерівських інтегралів аналогічно

- З -

універсального значення, якого у обчисленнях інтегралів по областях евклідових просторів відіграють повторні інтеграли; побудова надійних методів будови розв"язків систем лінійних операторних рівнянь у абстрактних вінерівських просторах; створення базисних підвалин роботи зі слабкими розподілами.

Методика досліджень.

Використовуються теорія абстрактного вінерівського інтегралу від функціоналу в одновимірному випадку, теорія інтегралу Бахне-ра, теорія інтегралу в локально компактному просторі, теорі ізоморфізму просторів, теорій інтеграла Лейега.

В результаті вдається розвинути техніку роботи в абстрактних вінерівських просторах, одержати результати на стику теорії ймовірностей і функціонального аналізу, одержати результати для кратних та нескінченно-вимірних слабких розподілів в гільбертовому просторі. '

И£§321і3_22 ІІІ!]ИІ£її досліджень. • .

В дисертації отримано такі-результати: '

- упроваджено поняття абстрактних вінерівських міри та ін-

тегралу у скінченному та нескінченному добутках абстрактний вінерівських просторів; • ’ .

- для кратиих та нескінченнократних абстрактних вінерівських інтегралів-, розглянутих в сенсі Бохнера, одержано перетворення відповідних інтегралів за зсуву та лінійного перетворення абстрактного вінерівського простору;

- побудовано розв"язки скінченнократішї. та «ескінченнократ-ної систем лінійних операторних рівнянь в абстрактних вінерівських просторах, у вигляді скінченнократного чи нескінченнократного пінсріпських інтегралів;

- запроваджено кратні та нескінченнократні гаусівські слабкі розподіли на базі відповідних циліндричних мір у відповідних абстрактних в і пері вських просторах;

- для абстрактних вінерівських інтегралів-ащ функціоналів спеціального вигляду розроблено алгоритм пвниження кратності кратного абстрактного вінерівського інтегралу та .формули перетворень для неокінченнократного, що уаручнюе роботу з інтегралами.

Рівень Ееаліаації, впроващкення наукових розробок відповідає рівню реаліаування математичних результатів,

Теоретична та практична значимість. . .

В дисертації розроблено ряд суттєвих аспектів теорії кратних та нескінченнократних абстрактних вінерівських інтегралів, аапро-вадквно кратні та нескінченнократні гаусівські слабкі розподіли.

Вони можуть знайти застосування в ядерній фізиці, лазерній оптиці, фізико-хімічній теорії хімічних процесів.

Основні положення дисертвуії, що виносяться на захист.

- Побудова декартового добутку абстрактних вінерівських просторів як абстрактного вінерівського простору; .

- побудова абстрактної вінерівської міри з вектором диспер-

л* - _ •

сій £ на декартовому добутку абстрактних вінерівських просторів;

. - побудова і дослідження властивостей інтегралу Бохеро на *

. - - . » декартовому добутку абстрактних вінерівських просторів як,.інтеграла по абстрактній вінерівській мірі аа зсуву та лінійних перетворень простору; • * .

- структура слабких розподілів в декартовок^/ добутку гіль-

бертових просторів; .

- побудова зчисленного декартового добутку абстрактних вінерівських просторів як абстрактного вінерівського простору;

- побудова абстрактної вінерівської міри на зліченному де- . лортовому добутку абстрактних вінерівських просторів;

- побудова і дослідження властивостей сильного інтегралу Бохнера на зліченному декартовому добутку абстрактних вінерівських просторів в розумінні інтегралам по відповідній абстрактній вінерівській мірі ~ при різних моделях лінійних перетворень простору-добутку;

- побудова нескінченнократНих нормальних розподілів у гіль-

бертовому просторі тп слабких розподілів в зліченному декартовому добутку гільбертових просторів; ■

- аналоги теореми ІІелє-Вінера для декартових добутків абстрактних вінерівських просторів, скінче.чнократного та злічеиного;

. - структури представлення розв'язків лінійних систем опера-

торних рівнянь, скінченнократної та зліченної, - абстрактним віне-рівським інтегралом; . •

- алгоритми пониження кратності кратних та нескінченнократних абстрактних вінерівських інтегралів. .

Апробація наукових досліджень.

Основні результати викладено і обговорено: '

- на семінарі з вінерівських інтегралів, що провадився в

Державному Університеті "Львівська політехніка" під керуванням

к,ф.-м.н. 11« Л. Козака;

- на наукових конференціях в 1983, 1984, 1985, 1986, 1907, 1968 рр. Державного Університету "Львівська політехніка";

- на Львівській виїздній цколі-сойінар з теорії ймовірностей інституту математики Національно! Академії Наук України, 1986 р.

. - на семінарах з функціонального аналізу в Львівському Дер-

кавному університеті ім. їв.Франка проф. В.Е.Лянце, 1995-1996 р р.

Публікації, По темі дисертації опубліковано 7 наукових статте», депоновано три. Публікації подаються після викладу основних результатів дисертації.

Ст^уктуїт і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів і списку літератури, 'який містить93 нйменувань, і складає 97 сторінок комп'ютерного машинопису» ■

особистого внеску аспіранта у розробку виносимого на захист, в співавторстві з науковим керівником к»ф»-м.її.. П.П.Ко-заком опубліковано статті £"1,2Д . Науковому керівнику належить загальна постановка задвчі і деяк? ідеї, а дисертанту - реалізація роботи.1 ’ .

Характеристика методології, метощ 52сліджень ПВ2АУ§ЇЇ І об"єкта. Науковий штук, застосування сучасного матаналізу в підході до вирішення теми, операторних систем рівнянь та теорії Рмо-вірностей.

Виклад основних результатів зисертації та ^юрздлюаання підсаків , що випливають з наукового Й2£5ІЙ®§ЙН£-

У главі 1 запровадвується поняття кратного абстрактного ві-нерівського інтегралу на декартовому добутку абстрактних вінерівсь-ких просторів. Інтеграл розглядається в сенсі Бохн<-ра.

В §1,1 розглянуто абстрактний вінерівський простір (г^,

Н^і , означений як декартів добуток абстрактних вінерівських

просторів (І^ Мі). ■{,& » причому простір М«, - сепарабсльний гільбертів зі. скалярним добутком > •

де скалярний добуток в сепарабельному гільбортовому просторі - банахів простір, одерканиР поповненням ^і-і! ПО

деякій вимірній нормі, слабшій норми Нцг

В ¡гіщ започаткована гаусівська циліндрична Рмпп ірностна міра, єдине б -авдитивне продовження котрої на борелівське поле в

Вщ називається вінерівсьісою мірою в Вщ . інтеграл за вінерівсь-кою мірою в названо кратним абстрактним в нігерійським інтегралом. В 51.І дослідкено клас мнолин, на яких зосереджено вінерівсь-ку міру в

ТЕОРЕМА 1.1. Якщо А і йп/ у то при перетворенні ги- А міри і р£ еквівалентні, і ^

/ Му) '¿І**- НЦЇ.1*+ •

вііі ет У'4

+ і/(КЛ)і) .

для довільної рь - інтегровної функції а і значеннями н

банановому просторі. Де Р> (т. ий Ш *х), * е вш, и 6 вш,

п р. - абстрактна вінерівсько міро в .

ТЕОРЕМА 1.2. Нехай Т-І^К - лінійне відображення В в себе і виконуються умови: а)

в) для Т існує обернене лінійне відобракен . ня М(Ц в себе;

сі К*X, (Нм)*

Тоді міри R,e~f і р* еквівалентні, і * t £ р ■

І т<^>ЧШф{-£мґакКк.А.)+

'ш % ' . .

к-« nr»J

для довільної - інтегровної функпії' МЮ' зі значеннями в бапаховому прастарі. Тут |\ оіш*?гтт х,мш) - простір ядерних операторів.

У зв"язку з наявністю взаємно-однозначної' відповідності мі* слабкими розподілами і циліндричними мірами',, слабкий розподіл, відповідний звуженню £ в циліндричну міру' в є нормальним £ - вимірним розподілом з вектором параметрів .? .

В главі II здійснюється побудова нескінченнократного абстрактного вінсрівського інтеграла. Конструювання міри в нескінченному добутку абстрактних вінерівських просторів fe; К», 8J провадиться на основі теореми Ttyjwa, за схемою Гросса.

ТЕОРЕМА 2.1. Якщо U н„, />. г*, и; - ^ {Ы,

ти при перетворенні кіри і Pf еквівалентні, і

для довільної pg -інтєгровної функції здійснюється

%. k ■

ТЕОРЕМА 2.2. Пеха'Г Т'М - лінійне відображення 8^ в се-

бе і виконуються утни: а) К ( бо» і 4" М О» »

в.) для Т існув обернене лінійне відобра-ГСННЯ Hot в себе,:

" - Є -

с) ке$і_ if-u). .

Тоді міри Рг°Т і Рг еквівалентні, і для довільної £, -■ ^ ^ ~ в

інтегровної в смислі Бохнера функції виконується рівність

4 % І/ k»¡*j.А» *■>1)1 м т 1 h,Л*

Відповідно декартовості добутку (¿^ Н„ t де і - відображення включення М* в ¿о, , оператор X предст.авлюваний у вигляді нескінченної квадратної матриці.

Як і в .главі І, але з урахуванням теореми Тулча, запроваджуються уже нескінченновимірні слабкі розподіли в гільбертовому просторі. .

Застосування кратних та нескінченнократних абстрактних ві-нерівськюс інтегралів розглядаються в главі III.

ТЕОРЕМА 3.1. Нехай - лінійне операторне рівняння

в #¿0 , де <0 ¿ É Н ;

А[усН !

^ А (HU)j 5 . . .

„ і) h\ не є власним числом оператора Д . Тоді

.ЇЇ(р(ч НйЫ,

. ■ Ьа І

' Л«/АТ* і А* (Г- С С< А„ О-

-(гднИ£ ( ;

^береться із.конкретного Bj ,

’•* 53,2 йрисв"ячено вирішенню питання зображення розв"язку нескінченної .системи лінійних операторних рівнянь абстрактним вінерівським інтегралом (у нескінченному добутку просторів).

Подалі здійснюється.доведения ісйрбмп, аналогічної теоремі

Пелі-Вінера, для абстрактних вінерівсьних інтегралів - кратного і нескінченнократного. Будується алгоритм поникення кратності для кратних абстрактних вінерівсьних інтегралів від функціоналів специфічного виду, відповідні формули перетворень для нескінченнократних вінерівсьних інтегралів.

Подальше розкриттг: тематики містке новими ідеями застосувань* абстрактних вінерівських інтегралів в сучасному аналізі.

ВИСНОВКИ.

В дисертаційній роботі встановлено:

1. Поняття скінченного декартового аоб^тк^_абстрактних вінв-

£І2£ьких просторів, на основі чого запроваджено абстрактну віне-рівську міру (з вектором дисперсій t ), де сім"я { /¿"І характеризується стискаючими факторами (причому стиск може характеризуватися певними властиврстями уц обов'язково однакових темпів розвитку та специфічних чи близького характеру направленостей розвивання, при можливій багатоманітності функиійного навантаження конкретних абстрактних вінерівських просторів (співмножників добутку( Н'щ,' Зщ)), Разом з деякими іншими, цікавими

для подальшого вивчення висновками, вищезгадані результати подано в §1.1. , . .

2. Інтегровність інтегралів Бохнера під функцій зі значеннями в банаховом^ просторі досить широкого спектру форм аналітичного задания, частково ілюстрованих записами формул (1,2.3), (І.З.Ь).

З- ЗіЕЇЇЇПЕХ слабких Е2§Ш2І5І§ Э й®£5Е2£2£!¥Х Е2Й£2£Х £І2£!5£ВІ2Ш!Ї просто рів досить широкого спектру можливо й суттєво різних характером просторів-співмнокників (розглянуто на ст.ЗЬ-36). . *

4. Специфічний скінченний аека^тів добуток гільбертових просторів яко гільбертів простір Нщ з типом скалярного добутку

-to -

в Нщ - що надає деяких суттєвих можливостей для узагальнень і практики.

' Маються на увазі пера усього суттєві відмінності змістів всіх тих фізичних об"ектів-підоб"сктів, деякі властивості котрих (поокремішньо) характеризують і описують конкретні гільбертові простори - співмножники Hj декартового добутку Над - = обов"язковою цілісністю об"єднуючої математичної структури, відповідної фізичному об"єкту... який тими чи іншими способами розкладено не профіксовані вище об"вкти-підоб"єкти (зокрема, зафіксовано формулою (І.І.9)).

5. ШИЇІА абстрактної ¡¡інерівської міри Р+ з цескінченно-• ■ - • -ІІВЦЕШШ Е202Е2Й ШІ£ШЕ£20 * в Нескінченному декартовому добутку абстршітних ВІНерІВОЬКИХ просторів ( і№, Hp, ), ЯКИЙ запроваджується вперте ($2.1).

Б. Інтегро|і£іІ£ть за Бо х над о w функцій зі значеннями в бана-ховому просторі і-функціоналів досить високого числа різновидів. Значний об*см вищезгаданих функцій і функціоналів задовільняє формулам (1.2.3), (2.2.2) як тотожностям.

7. Fgловці gSBSjjTjj теорії ио^маль^их нескінчецнократних розподіл і^ у гільберторому просторі. Подано у §2.3.

8« ЗЗІНЗЙЙіШ ЙШЇЕ2І2 ¿об^ток £|льбертових П£юсторів з суттєво характерним скалярним добутком - що перетворив розглядуваний вліч.енний двкартів добуток рільбертрвих просторів у гільбертів простір. Розглянуто у 82.1.

. 9« Класидцого результат ¡¡¡¡о момент першого порядку

випадкового вектора банахового простору зо щільністю розподілу, еквівалентно»« мірі. Цікавим є перехід по множині міри нуль відносно функції зі значеннями в довільному банахопому просторі ^ до тотоінього оператора-фушції зі значеннями в бинаховому просто PV 6 , ар аабезпечується властивостями сильного інтегралу Бох-

нера. Подано на ст. 57. '

10. Аналоги теореми Пелі-Вінсра для■абстрактних віне^івсь-ких Інтегралів про інтеграл від ексглнента- зв9і*еного скалярного добутку, в тому числі - зваленого внутрівтьо. (53.3).

11. Теореми про ПЄ£ЄЇВ0£ВННЯ кратного та.несніщеннокщт-

ного абстрактних вінерівських Інтегралів за лінійних перетворень простору (Ш.З, 2.3). .

12. Ствдкт^щ ПЕ5йставленнд £оза"язк]в лінійних систем

(скінченної та зліченної) оператори«; ¡¡івИянь у вигляді, відповідно, кратного та нескінченнократного абстрактних вінерівських інтегралів. Дано в §53.1, 3.2. .

13. ¿еякі иокливосгі ганикення,KjsrHocri кратних абстрактних вінерівських інтегралів ({3.41. . -

Дисертація містить нові обгрунтовані теоретичні результати, які в вкладом як в теорію інтегралу та міри в абстрактному рінерівському просторі, так і суттєвими для подальших узагальнень сучасної атомної фізики не лише в сенсі поглибленого розуміння багатьох суттєвих аспектів досить вагомих різновидів бро-унівського руху.

Список 2Ш@лікованих лраиь. .

1. Гаврылив О.С., Козак 11,11. Кратный абстрактный винеровс-

кий интеграл и его свойства>/Докл. АН УССР. Сер.А. - 1985. -»2. - С.3-6. . .

2. Гаврылив О.С., Козак П.П. Абстрактный виНеровский интеграл в бесконечном произведении пространств,^Докл. АН УССР.

Сер.А. - 1985. - №7. - С.9-ІІ. .

. 3. Гаврылив О.С. Изобракение решения- системы операторных .уравнений в банаховом пространстве в виде кратного абстрактного

винеровского интеграла^1 Докл. All УССР, Сер.А. - 1986. - №0. - •

С.3-6.

■ 4. Гаврылив О.С. Преобразования абстрактного винеровского интеграла в бесконечном произведении АВЛ при линейных преобразованиях пространства^Укр, мат, кури. - 1986. - 38, Кб, - С.692-696

5, Гаврылив 0.С, Представление решения бесконечной системы линейных операторных уравнений в виде абстрактного винеровского интеграла. - Киев, 1907. - 7 с. - Деп. в УКРИШИТИ, ШІЗ. - 1к87.

. 6. Гаврилів О.С., Іванел В.К. До обчислення кратних абстрак-

тних вінорівських інтегралів з деякими перетвореннями. -Київ,

1995. -8с,- Деп. в ДНТБ України, №1386 - Ук95.

7. Гаврылив 0,С, О некоторых свойствах кратных винеровских интегралов / ВеСТїик Львов, политехи, ин-та. - 1984, - МВ2, -

С,38-40. .

8. Гаврылив 0.G, К вычислению кратных винеровских интегралов, Киев,- 1984, - 7 с,- Деп. в УкрНШТИ, №2201. - Ук84.

9. Гаврылив О.С. Одна формула для вычисления кратного вине-

ровского интеграла^ Вестник Львов, политехи, ин-та. - 198Ь, -»192. - С.20-21. •

. 10, Гаврылив О.С., Чабанюк Я.Ы, Об одном свойстве вииеровс-

кой ыеры в бесконечном произведении пространств/'Вестник Львов, политехи; ин-та. - 1986, - )?202, - С.23-25.

Oavryliv O.S*, Abstract Wiener integrala and it a using, Thesis applying fox o&ndidate degree о 1 phyalej and mathama -ties» 01,01,01. Mathematical Analyaiei typeoorlft, Lviv state Un-ty n.e.I.fraalto, Lviv, 1996,

Sen во lent if lo worica being maintanad, containing construction of multiple and endlessly repeated abstract Wiener Integraleі transformation formulae of multiple and endlessly

- ІЗ -

repeated dbstrct Wiener integrals under shift and linear spaoe transformations. Main using of theory Is Introduced.

Гаврылив О.С. Абстрактные винеровские интегралы и их применения. Диссертация на соискание ученого степеня кандидата фиэико-математичсских наук: 01.01.'01. (Математический анализ, рукопись, Львовский гос. .ун-т им.И.Франко, Львов, 1996.

Защищается 10 научных работ, которые содержат построение кратных и бесконечнократных абстрактных винеровских интегралов, формулы преобразований кратных и бесконечнократных абстрактных винеровских интегралов при сдвиге и линейном преобразовании пространства и основные применения.

Ключові слова: абстрактний, вінерівоький, інтеграл, засто-

сування.

Підписано до друку 08.07^96. Формат 60x64/16. Папір fipjK. ftl. Друк офсетя. Унови.друк.арк. 1,0. Обл.-вид.арк. 1,0. '

Умови. фарб. відб. 1,1. Тирєж 100. Заи. 156. .

1.шіішш;о-офС0тна лабораторія Львівського держуніверситет Іи. І.Франка. 290602 Львів, вул. Університетська, І.