Периодические и устойчивые решения уравнений с пуассоновским возмущением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

3" 0 3 9 1

Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

На правах рукописи

АЛЬ НАБАШ Мамун

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПУАСССНОВСКИМ ВОЗМУЩЕНИЕМ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа ме ханпко - математического факультета Киевского государственно! \ ¡:иьерситета им. Т. Г. Шевченко.

Научный руководитель — доктор физико-математических нд \к. профессор А. Я. ДОРОГОВЦЕВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

кандидат физико-математических наук, доцент М. П. МОКЛЯЧУК

Ведущая организация — Институт кибернетики АН Украины г. Киев.

специализированного совета K068.18.ll при Киевском государ ственном университете им. Т. Г. Шевченко по адресу: 252127, Ки ев-127, проспект академика Глушкова, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГУ (ули ца Владимирская, 62).

Автореферат разослан « » 1992 г.

профессор Н. И. ПОРТЕНКО

Защита состоится «

1992 года на заседали]

Ученый секретарь специализированного совета

В. И. СУЩАНСКИЙ

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность тет. Периодические процессы были введены как естественное обобщение стационарных процессов, а также как модели адекватного описания процессов типа сезонных изменений и им подобных. Периодические решения стохастических динамических систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, изучались в работах В.И.Воровича, А.Я.Дороговцева, Р.З.Хась-минского и ряда других авторов. Из недавних работ следует отметить цикл статей Т. мою га п'а . эти работы имели дело с системами в конечномерном фазовом пространстве. Периодические решения систем в абстрактных пространствах также рассматривались в работах В.И.Ко-эоброда, Е.Рае-сйшх и м.Р^«о£ , т. Moroza.na , А.Я.Дороговцева, О.Онейды и других математиков. При этом в качестве стохастического возмущения рассматривались либо гладкие периодические процессы, либо изучались решения стохастических уравнений типа диффузионных. Од-* нако, представляет интерес также случай, когда возмущение описывается толчками, происходящими в случайные моменты времени. Одной из моделей такой системы является стохастическое дифференциальное уравнение с процессом Пуассона вместо винеровского. Этой малоизученной схеме и посвящена настоящая диссертация, в которой для некоторых упомянутых систем установлены условия существования периодических режимов, а такяе условия устойчивости этих режимов.

Цель работы. Предполагалось изучить условия существования стохастически периодических решений линейных и нелинейных стохастических систем в гильбертовом пространстве, возмущаемое пуассоновск;::л процессом, а такие получить условия :/с?ойчивости для линейного однородного уравнения.

Методика исследования. Использованы современные метода теории вероятностей в абстрактных пространствах, теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, а также операторные методы.

Научная новизна. Для линейного стохастического уравнения с постоянным оператором линейной части получен .критерий существования периодического решения, получены достаточные условия дня уравнения с переменным оператором линейной части и для нелинейных уравнений. Приведенные условия выражены в терминах спектра операторов и являются э.ЭДективншш. Получено также условие устойчивости линейного однородного стохастического уравнения с пуассоновским процессом.

Применение. Диссертация имеет теоретически!: характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории стохастических динамических систем, описании ряда биологических и экономических моделей.

Апиобаггш paooTiT. Результаты работы докладывались .на заседании кафедры математического анализа.

Публикации. По результата!.! диссертации подготовлено к публикации две статьи.

.у.'г.ттра и объем работы. Диссертация состоит из кх" ,лщ и пяти разделов. Объем работы составляет

105 страниц машинописного текста. Список использованных источников включает 45 наименований.

содашз-щ РАБОТЕ

Во введении диссертации даётся описание изучаемых задач, приводится краткий обзор работ, на которых основано настоящее исследование, а также тех, которые имеют отношение к тематике диссертации. Приводится также краткий перечень основных результатов.

Раздел I "Периодические векторные процессы", содержит обзор основных фактов о периодических векторных олучаДных_ процессах, при этом использованы результаты работА.Я.Лороговцева.Определение периодического, процесса со- -стоит в следующем. Пусть (X, | - сепарабельное комплексное банахово пространство,¿/3(Х)~ алгебра борелевс-ких подмножеств X и (П^Р) - полное вероятностное пространство.

Определение 4. X - значный случайный процесс [xtt\-. i« R } называется периодическим с периодом Т> 0 , если

Vfi е М Yfl,, ...,1*}CR V{А«, ...ДЛс ЯМ Pifl {<a:i{ti*Tl6AJ} . p{Л {<o-. «itiUAilb.

Согласно этому определению, периодичны с периодом Т все усреднённые характеристики периодического с периодом Т процесса. В п.1.3.1 рассматриваются функции от периодического с периодом Т процесса, которые приводят к процессу такого яе вида, а также свойства ыоментных функций. ПЛ.3.2 содержит условия, при выполнении которых пределы последовательных периодических процессов и интегралы от них также являются периодическими процессами. Приведённые в разделе i диссертации результаты о периодических процессах являются основой для получения периодических решений в последующих разделах.

Раздел 2 "Стохастический интеграл от векторной функции относительно процесса Пуассона" представляет собой адаптацию известного построения стохастического интеграла к рассматриваемо!! в диссертации векторной ситуации, приведенное в п.2.1 определение комплексного процесса Пуассона состоит в следующем. Действительный процесс Пуассона { Nr(l): teR} с параметром X есть процесс с независимыми однородными пуассоновскими приращениями такой, что При этом предполагается, что процесс N». непрерывен справа. Процесс Пуассона {NíO-leR^ со значениями в С есть

N(t): - Ni(tWNa(0 , t с IR ,

где N, и Na- действительные независимые процессы Пуассона с параметрами JU,>0 и jl,»0 соответственно. В п.п.2.2 и 2.3 обсуждаются свойства стохастических интегралов относительно процессов и N , включая свойства непрерывности стохастического интеграла, как функции верхнего предела. Приводимое в п.2.4. определение стохастического интеграла от гильбертовозначной функции относительно комплексного процесса Пуассона аналогично хорошо известному определению стохастического интеграла от гильбертовозначной функции относительно винеровского процесса . Пусть til - класс процессов вида S^ iii « где и - согласованные с потоком J í^j действительные процессы на fto.ti) , которые непрерывны слева и имеют конечные пределы справа в точках [t0, Ы и

V

J ufK'mdi <+-«», к-1,г и

Здесь

- ffa(NK(st)-NK(s,) I s,«st<i, к-а) f í e í?

Положил - - и(*авИ, 4 с к .

Пусть ( Н, (■,•)) - комплексное сегсарабельное гильбертово пространство, II-II - отвечающая скалярному произведению норма, { еп ■ п>1} - некоторый фиксированный оргонормированний базис в Н . Пусть [*о, фиксированный отрезок и [Ый- t е _ измэрииый

Н - значний процесс, заданный на вероятностном пространстве (¡2,'?,Р) и такой, что

1) V ИМ : Ж-) , Щ. ,

и

2) / М I Н- (з)|)' Ы.5 -с ♦ ее .

Стохастический интеграл от процесса к относительно комплексного процесса Й мояет быть определен следующим образом

Проверяется корректность этого определения и устанавливаются свойства введенного интеграла. Например,

V - «

М вир II ] кМс^Ж ^

^ ЯОц + Ьг)} М I НСз)| вс£з и

Затем устанавливаются функциональные свойства стохастического интеграла как функции параметра. Эти свойства есть основа доказательства теорем в дальнейших разделах. Отметим также следующее. Поскольку траектории • процесса Пуассона с вероятностью I имеют ограниченную вариацию на отрезке, то стохастический интеграл относительно этого процесса совпадает с вероятностью I с потраекторшпл. Это обстоятельство полезно при доказательстве ряда свойств интеграла.

В п.3.1 раздела 3 "Периодические решения линейных уравнений* с пуассоновским возмущением" изучается уравнение

<*хМ = Ахиш *№<1й(4), (0.1)

относительно Н - значного процесса {за) - ^ ( И} для заданного оператора А^ЖН) и Н - значной -функции i Для фиксированного числа Т > 0 пусть

%

К —-Н

ПМ/Т

м-Е те ,

пе %

з* "

Пусть - класс всех Т - периодических И-

вначных случайных процессов (х(1)-- ЬеК} , измеримых

относительно процесса N , и таких, что почти все их

траектории сильно непрерывны на К , исключая точки

скачкфОпроцесса N , в которых существуют пределы

слава и справа. Кроме того, т

/ М Ва(*)1с№ < ■

Определение I. Процесс | асШ: ^ Г\}с^Рт называется решением уравнения (0.1) с функцией / € <Лу , если для любых е < t с вероятностью I справедливо равенство

ееш-х(я) = + ¡тинМ • (0 2)

Единственность решения уравнения (0.1) есть единственность с точностью до стохастической эквивалентности.

ааыегим, что условие Т - периодичности процесса £Е . в определении I следует опустить, если идет речь о решении уравнения (0.1)г не обязательно периодическом.

Пусть 6(А) - спектр оператора А . Доказано следующее утверждение.

Теорема I. VT>0 31 se е

х - решеш.е уравнения (0.1) £=»>

<=> Q(A) П { Ы \ е R } - 0 .

Теорема I является аналогом критерия, относящегося к уравнению типа (0.1) с вгнеровским процессом.

. Доказательство теоремы I существенно опирается на спектральные методы теории операторов. С помощью теоремы I получаются такке следующие утверждения.

Пусть 'Э'т - класс всех Т - периодических W - злачных случайных процессов j зс : t е ÎR J f согласованных с потоком i'Tii , имеюидах сильно непрерывные траектории на R , исключая точки скачков процесса N , в которых траектории имеет пределы справа и непрерывны слепа. Кроме того, т

j м nnnd i <* .

a

Теорема 2. УТ>0 Vi € 9T Э!

X - решение уравнения (0.1) ¿»о

С { Я I Re А < 0}

Теорема 3. Предположим, что

Ш) с {X | fteX * 0}

и ссеЗ^4 - единственное решение уравнения (0.1) дай f 6<?Т о некоторым Т>0 . Тогда единственное решенлз fi); t^toj задачи Коши

dx(t) = At(i)cU + J(i)dit(i) , -¿-^о; cr(W =» ас О е H

асимптотически периодично в том смысле, что

м II yUí-íMIl* —«- О ,

и с вероятностью I

Ii ytt) -сг<4)11 —0, + .

В п.3.2 исследуются периодические решения уравнения

dxítí = MDxMdi + S(i)dHa) , i* IR ю.з)

с функцией

AeC(R,X(H))

такой, что Пусть

и 6 С4(Ш, Х(И))

решение следующего операторного уравнения

Ufo) = £

Для решений уравнения (0.3) получены следующие утверждения.

Теорема 4. Пусть fe C(R,H),

VteR- £(i + T

и выполнено условие

б(ит) л {в 1<г » (¡¿^¿¿я-} - ф .

Тогда уравнение (0.3) имеет единственное решение асе 9,.

Раздел 4 "Устойчивость решений однородного уравнения" посвящена изучению устойчивости решений следующей задачи Коши

с1х(1) = Ат(Ш * ЪтШН(-Ь), 4»0 ,

хСО) = еН (0'4)-

о фиксированными операторами {А, В | с . рассматриваемая задача устойчивости аналогична такой задаче для диффузионных процессов, которую в конечномэр-_____

ном случае исследовал ^.з.Ласьмянский, И.И.Гкхман, А.В.Ско-

__роход, а также задаче для процессов со скачками статьи.___

Е!апкеплЫр.'2 ситуации настоящей диссертации основой для исследования устойчивости решений задачи (0.4) является описание поведения произведений случайных операторов.

Для формулировки основного-результата раздела 4 введем следузопдаэ обозначения. Пусть У[1у + ... , у-г*»г+ 4 ^п,'" ~ последовательные скачки процесса.

N на СО, и ¿к - номмр процесса из и , который имеет скачок в момент 4 • • • + 7 къ 1 . При этом ш пренебрегаем событием вероятности 0, приводящем к одновременному скачку обоих процессов. Легко проверить, что

[ ь,

£к\ к*1} ~

- последовательность независимых одинаково распределенных двумерных величин, причем ^ тлеет показательное распределение с параметром Я/ ■» , а

' -А- } ■

¿I4

Положим также

0Г. = Б - Ъ,

Теорема I. Предположим, что ЭУ - В и Т> = ¿Е . Существует конечный предел

- Ьп м А Н>пеа*1Он.1е("п-\..Р1е(1П

Если г- < 0 , то решение задачи (0.4) асимптотически устойчиво о вероятностью I, если г>0 , то решение задачи (0.4) неустойчиво.

Вычисление числа из теоремы I не является простым делом даже в простейших случаях. Поэтому представляют интерес достаточные условия, основанные на - оценках величины .

Следствие I. Предположим, что операторы А и В коммутируют, душ положительного числа V

Ке в(А - и^а^Ъ) < V

и выполнено условие

к,Ьх ЦЕ+Ш Ьх\Е + ¿011 * ->> •

Тогда р < 0 .

Б разделе 5 "Периодические решения нелинейных уравнений" изучается задача о существовании периодических решений уравнения

dxU) = AxU)dt * Hi, arfi))dN(0,t«R (0>5)

в п.5.1 с фиксированным оператором АсХ(Н) и уравнения

dxU) (0.6) с Функцией А € C(R, X (И)) и ?ако!1, что

Vie ft-. All*?) ~ А(*) .

При этом предполагается, что

а) /б C(R*H, И);

б) VI € R : ; (ii т, .) = f(i) ;

в) 3L>0 Vie R V с Н

< L О*,-*« II

Основными результатами являются следующие утверждения.

Теорема I. Пус"> А - фиксированный

оператор такой, что Tie &(А)< 0 , при этом

$е АН « се"н, i»0

о некоторыми числами С * О и tf * 0 . Пусть / -Функция, удовлетворяющая условиям а), б), в). Предположим, что выполнено неравенство

C'L'l < 2i>.

Тогда уравнение (0.5) и?.:эет единственное ранение {*it)s-tejR} <?<?Tst.

Следствие. Пусть А - оператор, удовлетворяющий условиям теорема I и С • IR—» Х(Н) - Тункция такая, что

С* C(R,X(H)); VieJR; с (ИТ)* СИ) ■ Пологим

L: « max II С (Oil ■

[о, Т1

Если выполнено неравенство

СЧ'Я < 2 v ,

то уравнение

¿xii) = AxLDdi * №x(t)dfi(i\ ieR

имеет единственное Т - периодическое ремение в смысле определения I.

Теооема 2. Пусть функция

АеС(ГЛН))

периодична

с периодом Т . на К такова, что отвечающий ей оператор U(T) имеет спектр, расположенный внутри единичного круга с центром в 0 в С . Предположим, что выполнено неравенство

£Л11Тее(Т) (+ег(т)иг(т)) <

где

е{Т) : ехр( J HA(s)Us), Uf!j:-f 1ШТ)'| •

о j.-o

а> 3t

Тогда уравнение (0.6) имеет единственное в классе W решение R} , дяя которого

sup 4

О f-t'T

За*. 13,тир. 100.УЧ.ТИП. КГУ,1902г Кмев-17 .Бульвар Шевченко,14.