Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Начально-краевая задача для системы быстрого уравнения второго порядка и медленного уравнения первого порядка

1.1 Постановка задачи. Требования.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Построение предельного решения.

1.1.3 Понятие нижнего и верхнего решений.

1.2 Существование и асимптотика решения

1.2.1 Формулировка теоремы.

1.2.2 Сглаживание функции й(х).

1.2.3 Построение нижнего и верхнего решений в 5— окрестности точки жо.

1.2.4 Построение нижнего и верхнего решений на отрезках [0, жо — 25, ] и [жо + 25,1].

1.2.5 Построение нижнего и верхнего решений на отрезках [жо — 25, жо — 5] и [жо + жо + 25].

1.2.6 Доказательство теоремы.

2 Краевая задача для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка.

2.1 Постановка задачи. Требования.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Построение составного решения вырожденной задачи

2.1.3 Понятие нижнего и верхнего решений.

2.2 Существование и асимптотика решения.

2.2.1 Формулировка теоремы и схема доказательства

2.2.2 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [0, я?о — 2<5]

2.2.3 Сглаживание функции й(х).

2.2.4 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [жд — жо + 5].

2.2.5 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [®о — 2 5, жо — £].

2.2.6 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [жо + 2<5,1].

2.2.7 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [жо + 5, жо + 25].

2.2.8 Завершение доказательства теоремы.

3 Сингулярно возмущенная параболическая задача в случае пересечения корней вырожденного уравнения.

3.1 Постановка задачи и основной результат.

3.2 Доказательство теоремы.

3.2.1 Первый этап.

3.2.2 Второй этап. Нижнее и верхнее решения.

3.2.3 Построение нижнего решения.

3.2.4 Построение верхнего решения. Завершение доказательства теоремы.

Хорошо известно, что математическими моделями многих физических процессов являются дифференциальные уравнения, содержащие параметры. Входящие в уравнение параметры служат количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса; если некоторый фактор незначительно влияет на процесс, то соответствующий параметр будет малым. В таких случаях естественно положить малый параметр равным нулю и получить более простую задачу, которая называется невозмущенной. При этом можно надеяться, что решение исходной (возмущенной) задачи при достаточно малых значениях параметра будет мало отличаться от решения невозмущенной задачи.

Однако в сингулярно возмущенных задачах близость малого параметра к нулю не обеспечивает равномерную близость решений невозмущенной (ее в этом случае называют вырожденной) и возмущенной задач. К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. При переходе к вырожденной задаче порядок такого уравнения понижается; поэтому решение вырожденного уравнения, вообще говоря, не может удовлетворить всем дополнительным условиям, заданным для исходного уравнения, и от некоторых из дополнительных условий приходится отказаться. В результате в окрестности той части границы рассматриваемой области, где дополнительные условия оказались отброшенными, решение вырожденной задачи заведомо не будет приближать решение исходной задачи.

Исследование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений сформировалось в большое направление на основе работ А.Н.Тихонова [1]-[3]. Эти работы посвящены системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых часть уравнений содержит малый параметр при старшей производной. Решение такой системы имеет "быстрые" и "медленные" компоненты (указанные системы называются теперь системами тихоновского типа).

А.Н.Тихонов установил условия, при которых решение начальной задачи для сингулярно возмущенной системы стремится к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю (теорема о предельном переходе). Исследования А. Н. Тихонова получили дальнейшее развитие в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников (см. [4]). В этих работах для широких классов сингулярно возмущенных задач с обыкновенными и частными производными разработаны погранслойные методы, позволяющие строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений. Другие подходы к исследованию сингулярно возмущенных задач развиты в известных работах A.M. Ильлина, С.М. Ломова, В.П. Маслова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова (см. [6]-[21]) и ряде других (перечислить их не представляется возможным).

Одним из важных условий теоремы А. Н. Тихонова является требование существования изолированного корня вырожденного уравнения. Более сложная ситуация возникает тогда, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни. В теории сингулярных возмущений задачи с пересечением корней вырожденного уравнения получили название сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости, так как в точках на линиях пересечения корней вырожденного уравнения происходит изменения типа точек покоя соответствующей присоединенной системы [4] (точки покоя претерпевают переход от устойчивых к неустойчивым и наоборот). Классическая тихоновская теория не позволяет дать ответ на вопрос о поведении решений сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости. Предметом исследования данной работы является асимптотическое поведение решения при стремлении малого параметра к нулю сингулярно возмущенных задач как раз в случае пересечения корней вырожденного уравнения.

Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости возникают в качестве математических моделей во многих прикладных задачах. В частности, в задачах химической кинетики они описывают быстрые бимолекулярные реакции. Как выяснилось, пересечение корней вырожденного уравнения позволяет объяснить явление скачка скоростей реакций, наблюдаемое на опыте.

Некоторые классы начальных задач в случае смены устойчивости изучались в [22]. Отметим, что использовавшийся в [22] метод специфичен именно для начальных задач и не пригоден для краевых задач. Исследование краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае смены устойчивости началось лишь в самое последнее время. Этому вопросу посвящены работы [23]-[45], в которых в основу исследования поведения решения при стремлении малого параметра к нулю положен асимптотический метод дифференциальных неравенств, базирующийся на известных теоремах Чаплыгина [46]. Следует заметить, что в теории дифференциальных уравнений метод дифференциальных неравенств известен давно. Впервые он был сформулирован для начальных задач С. А. Чаплыгиным [46]. Впоследствии М. Нагумо перенес его на краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений [48], а П. Файф, Д. X. Саттингер и Г. Аманн распространили на краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных [49]-[52]. Суть асимптотического метода дифференциальных неравенств состоит в том, что для построения нижнего и верхнего решений используется формальная асимптотика, которая модифицируется соответствующим образом [53]-[54]).

Использование асимптотического метода дифференциальных неравенств при исследовании сингулярно возмущенных уравнений позволило значателъно упростить обоснование асимптотических разложений сингулярно возмущенных задач, доказать ряд теорем существования решений для новых классов сингулярно возмущенных задач, обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность решений сингулярно возмущенных задач [56-61].

В работе активно используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Показано, что он может с успехом применяться ко многим сингулярно возмущенным задачам в случае смены устойчивости.

Краткое содержание работы:

Диссертация состоит из 3-х глав.

В главе 1 рассмотрена система уравнений тихоновского типа, состоящая из быстрого уравнения второго порядка е2и" = д(и,у,х), (0.1) и медленного уравнения первого порядка г/= /(«,17,®) (0.2)

Здесь е > 0 - малый параметр, и и г> - скалярные функции. Уравнения рассматриваются на отрезке 0 < х < 1 с краевыми условиями для функции и и начальным условием для функции гг: и/(0) = г4,(1) = 0, (0.3)

0)=?;0. (0.4)

В отличие классического тихоновского случая, система (0.1), (0.2) рассмотрена при условии, что вырожденное уравнение д(и,ь,х) = 0 (0.5) имеет два корня и = и и = пересекающихся на некоторой кривой V — но (ж), 0 < х < 1.

Такой случай для задачи (0.1), (0.2) рассматривался в [24] при условии, что правая часть д уравнения (0.1) зависит от е. Эта зависимость от е играет существенную роль. Как показано в [24], принципиальное значение имеет знак производной де на кривой V = Теорема о предельном переходе доказана в [24] при условии де < 0 на этой кривой. Случай, когда функция д не зависит от е, оказывается более сложным.

В главе 1 доказано, что при определенных условиях решение и(х, £), г»(ж, ¿) задачи (0.1)-(0.4) существует при достаточно малых е и стремится при £ —У 0 к решению вырожденной задачи й(х), £(ж), где %{х) - решение начальной задачи = /(^(■у(ж),ж),'0,ж), •О(О) = г/°, ^ ] ^О,®), V <щ(х), „ р(у,х) = < - составной корень уравнения (0.5), <Р2(и,х), У>У0(ж) й{х) = <р(г)[х),х). Для доказательства применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств. В отличие от [24] для построение нижнего и верхнего решений задачи (0.1), (0.2). отрезок [0,1] разбивается на 5 отрезков: [0, — 25], [жд—25, жо+25], [жц—5,ж0+5], [жо+25,1], где 5 > 0 - достаточно малое число. На этих отрезках определяются две пары дважды непрерывно дифференцируемых функций ]7, V и I/, V (нижнее и верхнее решения задачи (0.1), (0.2)) так, что они удовлетворяют определенным дифференциальным неравенствам. Кроме того, в точках жо — 25, жо — 5, жо + 5, жо + 25, жо — 25 эти функции являются непрерывными вместе со своими первыми производными. Для построения нижнего и верхнего решений использовано составное решение «(ж), ■у(ж) вырожденной задачи.

В главе 2 рассмотрена система уравнений тихоновского типа, в которой медленное уравнение, в отличие от (0.2), имеет второй порядок. е2и" = д(и, V, ж), (0.6) г/'= /(«,«, з) (0.7)

Уравнения рассматриваются на отрезке 0 < ж < 1 с краевыми условиями: и'(0) = м'(1) = 0, г;(0)=-у°, v(l) = v0. (0.8)

Снова рассматривается случай пересекающихся корней вырожденного уравнения (0.5). С помощью метода дифференциальных неравенств доказана теорема о предельном переходе, аналогичная теореме из главы 1.

Системы, рассмотренные в главах 1 и 2, возникают в качестве математических моделей во многих прикладных задачах, в частности, как уже отмечалось, они описывают быстрые бимолекулярные реакции [25]. Поэтому результаты глав 1 и 2 могут быть использованы для описания скачков скоростей химических реакций.

В главе 3 рассматривается начально-краевая задача для сингулярно-возмущенного параболического уравнения:

2{щ - ихх) = д(и, ж, £, ег), (ж,£) 6 Я = (0 < ж < 1) х (0 < £ < Г), (0.9) и(®,0) = ^ж(0,£) = их(1,Ь) = 0, где £ > 0 - малый параметр, и - скалярная функция.

Предполагается, что вырожденное уравнение имеет два корня и = 9?1(ж,£) и и — ^(х^), пересекающихся на кривой £ = ф(х), лежащей в области {(0 <ж<1)х(0<£< Г)}. Как и в случае Обыкновенных Дифференциальных Уравнений, принципиальное значение для поведения решения при малых е имеет знакпроизводной де на линии пересечения корней. В работе [37] доказана теорема о предельном переходе при условии дБ > 0 на указанной линии.

В главе 3, в отличие от работ [37], исследуется случай, когда функция д не зависит от е. Этот случай более сложен. Для доказательства теоремы о предельном переходе приходиться накладывать дополнительные требования на корни <р\ и <р2 вырожденного уравнения и на кривую £ = ф{х), 0 < х < 1. Установлено, что при определенных условиях решение и(х^,е) задачи (0.9) существует для достаточно малых е и ведет себя следующим образом: экспоненциально быстро изменяется на малом промежутке времени от начального значения ад0 (ж) до значений, близких к корню и = далее остается вблизи этого корня до тех пор, пока он остается устойчив. Но при переходе через кривую Ь ~ ф(х) происходит изменение устойчивости корней <р\ и <р2, и поэтому решение будет близко уже ко второму корню и = (р2(х,Ь). Таким образом, основной результат главы 3 состоит в доказательстве теоремы о предельном переходе при е —0 от решения задачи (0.9) к негладкому предельному решению. Получена также оценка разности между решением и(х, е) и предельным решением. Для доказательства применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Таким образом, основные результаты диссертации состоят в доказательстве теорем о существовании и асимптотическом поведении при стремлении малого параметра к нулю решений широкого класса сингулярно возмущенных начально-краевых задач для обыкновенных и параболических дифференциальных уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения (случае смены устойчивости).

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы.

Для сингулярно возмущенных систем уравнений тихоновского типа, содержащих быстрое уравнение второго порядка и медленное уравнение первого или второго порядка доказаны теоремы существования решения краевой задачи. В отличие от классического тихоновского случая рассмотрен случай пересечения корней вырожденного уравнения. Исследован вопрос асимптотического поведения решения при стремлении малого параметра к нулю. Получена оценка точности построенной асимптотики. Проведено построение составного устойчивого решения вырожденной задачи. Проведена процедура сглаживания негладких членов асимптотики.

Для доказательства теорем применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств, который предполагает построение нижнего и верхнего решения рассматриваемых задач. С помощью составного решения вырожденой задачи построены нижнее и верхнее решения рассматриваемых систем. Сформулированы условия, при которых существует решение рассматриваемых задач и имеет место предельный переход к составному устойчивому решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю.

Для сингулярно возмущенных параболических дифференциальных уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения доказана теорема о существовании решения начально-краевой задачи. Проведено построение устойчивого составного решения вырожденной задачи. Сформулированы условия, при которых имеет место предельный переход при стремлении малого параметра к нулю от решения задачи к соответствующему устойчивому решению вырожденного уравнения.

Показано, что асимптотический метод дифференциальных неравенств успешно применим к новому классу сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости.

В заключение я бы хотела выразить огромную благодарность научному руководителю Валентину Федоровичу Бутузову за неоценимую помощь в работе, а Также всем участникам научного семинара по сингулярно возмущенным задачам кафедры математики физического факультета МГУ за многочисленные обсуждения.

1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948. 22(64), 2. С. 193-204.

2. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950. 27(69), 1. С. 147-156.

3. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952. 31(73), 3. С. 575-586.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высш. школа. - 1990.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

6. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

7. Ломов С.А. Построение асимптотических разложений некоторых задач с параметрами. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 32, N4. — С. 884—913.

8. Ильин A.M., Горьков Ю.П., Леликова Е.Ф. О методе сращивания асимптотических разложений // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, 5. С. 1033-1036.

9. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

10. Ильин A.M. Об асимптотике решения одной задачи с малым параметром. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1989. — Т. 53, N2. — С. 258—275.

11. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Матем. заметки. — 1969. — Т. 6, Вып. 2. — С. 237—248.

12. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук. — 1962. — Т.17, N3. — С. 3—146.

13. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965. — 549 С.

14. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

15. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

16. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

17. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

18. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотическое решение краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. // Успехи матем. наук. — 1987. — Т. 42, N5. — С. 166.

19. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Решения с внутренним слоем сингулярно возмущенных разрывных уравнений. // Успехи матем. наук. — 1994. — Т.49, N4. — С. 141.

20. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 21, N5. — С. 605—626.

21. Lebowitz N.R. Shaar R.J. Exchenge of stsbilities in autonomous systems // Stud. Appl. Math. 1975. V. 54. N3. P. 229-259.

22. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения второго порядка в случае смены устойчивости // Матем. заметка. 1998. Т. 63. Вып. 3. с. 354-362.

23. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly pertubed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities // Preprint of WIAS, Berlin, 1998, no. 408.

24. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly pertubed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities // J. Diff. Eq. 1999. V. 159. P. 427-446.

25. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly pertubed boundary value problems in case of exchange of stabilities //J. Math. Anal. Appl. 229, 543-562 (1999).

26. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly pertubed reaction-diffusion systems in cases of exchange of stabilities // Nat. Resour. Model. 13, 247-269 (2000).

27. Butuzov V.F., Nefedov N.N.,Schneider K.R. Singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems in case of exchange of stabilities // Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 572, Berlin, 2000.

28. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed elliptic problems in the case of exchange of stabilities, J. Differ. Equations 169, 373-395 (2001).

29. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. On a class of singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems // WeierstraßInstitut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 646, Berlin, 2001.

30. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities // Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 21, Berlin, 2002.

31. Nefedov N.N., Schneider K.R. Delayed exchange of stabilities in singularly perturbed systems // Preprint 270 of the Weierstrass Institute for Applied Mathematics and Stochastics, Berlin 1996.

32. Nefedov N.N., Schneider K.R. Immediate exchange of stabilities in singularly perturbed systems // Diff. Int. Equs. 12, 583-599 (1999).

33. Nefedov N.N., Schneider K.R., Schuppert A.// Jumping behavior in singularly perturbed systems modelling bimolecular reactions, Weierstrass-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 137, 1994.

34. Nefedov N.N., Schneider K.R., Schuppert A. Jumping behavior of the reaction rate of fast bimolecular reactions. // Z. Angew. Math. Mech. 76, S2, 69-72 (1996).

35. Бутузов В.Ф., Нестеров А.В. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями // Докл. АН СССР. 1982. Т.263. N4. С. 786-789.

36. Butuzov V.F., Smurov I. Initial boundary value problem for singularly perturbed parabolic equation in case of exchange of stability //J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 234. P. 183-192.

37. Бутузов В.Ф., Громова E.A. Теорема о предельном переходе для системы уравнений тихоновского типа в случае пересечения корней вырожденного уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. N5. С. 703-713.

38. Бутузов В.Ф., Громова Е.А. О краевой задаче для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, N8, С.1165-1179.

39. Butuzov V.F., Gromova Е.А. Singularly Pertubed Parabolic Problem in the Case of Intersecting Roots of the Degenerate Equation //

40. Proceeding of Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S37-S44.

41. Е. А. Громова Сингулярно возмущенная параболическая задача в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Математические методы и приложения (Труды девятых математических чтений МГСУ 26-31 января 2001 года). М. 2002. С. 57-60.

42. Gromova Е.А. About limited passage for singularly perturbed parabolic problem in case of exchange of stability. bth International Congress on Mathematical Modelling, Dubna-2002, Books of Abstracts.

43. Громова Е.А. Сингулярно возмущенная система параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения / / Математические методы и приложения (Труды десятых математических чтений МГСУ 26-30 января 2002 года). М. 2003. С. 52-56.

44. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

45. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В. Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига. Зинанте. 1973.

46. Nagumo М. Uber die Diiferentialgleichung у" = /(ж, у, у'). // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. Vol. 19, P. 861-866.

47. Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion Systems: Irregular Comparision Functions and Application to Question of Stability and Speed of Propagation of Disturbances // J. Diff. Equations. 1981. V. 40. P. 168-185.

48. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. 11. P. 979-1001.

49. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations. In "Nonlinear Analysis: A Collection of Papers in Honor of Erich Rothe", Academic Press, 1978. P. 1-29.

50. Amann H. Existence and multiplicity theorems for semilinear elliptic boundary value problems // Math. Z. 1976. V. 150. P. 281-295.

51. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Диф. уравнения, 1995, Т. 31, 4, С. 719-722.

52. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

53. Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York and London: Plenum Press, 1992.

54. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями// Диф. уравнения, 2000, Т. 36, 2, С. 198-208.

55. Нефедов H.H., Никитин А.Г. Асимптотический метод дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений// Диф. уравнения, 2000, Т. 36, 10, С. 1398-1404.

56. Нефедов H.H., Никитин А.Г. Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для решений типа ступеньки в сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнениях// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, Т. 41, 7, С. 10571066.

57. Васильева А.Б., Омельченко O.E. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения в кольце // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т. 40, 1. С. 122-135.

58. Васильева А.Б., Омельченко O.E. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, 2. С. 198-208.т

59. Нефедов H.H., Омельченко O.E. Погранслойные решения в квазилинейных интегро-дифференциальных уравнениях второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2002. Т. 42, N4, С. 491-503.

60. Jackson, L.K., Subfunctions and Second-Order Ordinary Differential Inequalities, Adv, Math., 1968, vol. 2, pp. 308-386/

61. Тихонов A.H., Свешников А.Г., Васильева A.B. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998

62. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.