Асимптотическая теория сингулярно-возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

2 Й К(0Л ШЗ

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01. 93. 03.

На правах рукописи

КАКИШОВ К.

Асимптотическая теория сингулярно-возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения

01. 01. 02.—Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Бишкек-1993

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.93.08

На правах рукописи

КАКИШОВ КАНЫБЕК

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ-ТЕОРИЯ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, КОГДА ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ'

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Бщокек-1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Кыргызского госуниверситеха

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан

Защита состоится "19 " июля 1993 г. в 12 часов на заседании Спедиализорованного совета Д 01.Э3.08 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата наук в Институте математики АН Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться'-, в'научной библиотеке АН Кыргызской Республики.

Автореферат разослан ¿-{^/С/¿.i^.' 1993 г.

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу: 720071, г.Бишкек-71, Проспект Чуй, 265 "А", Институт математики АН KP, Специализированный совет Д 01.93.08.

профессор, член корр.HAH Республики Казахстан К.А.Касыыов,

доктор физико-математических наук, профессор С.Каримов,

.доктор физико-математических наук, с.н.с. А.Асанов

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-матеыатически: старший научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В настоящее время усилиями многих ученых разработаны вопросы теоши обыкновенных дифференциальных и интегро-диф-ференциальных уравнений с малыми параметрами при страпих производных паи условии, что выроненное уравнение имеет гладкие решения. Вместе с тем, слабо исследованы свойства таких систем при более общих предположениях о решениях вырожденных уравнений. В настоящей работе систематически изучены уравнения, полученные сингулярными Еозиущениями как одним, тан и несколькими малыми параметрами из алгебраических дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений имещих разрывные устойчивые решения. 0Е20Р МЕРАТУШ.

Интенсивное развитие теории сингулярных возцущении дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при страших производных, началось в начале 50-х годов после появления оеновополатавших пабот А.Н.Тихонова, где была установлена сходимость решения начальной задачи для векторно-матричного уравнения с малым параметром при производной вида.

с начальными данныгёи

. _ и)

где 2 малый положительный параметр; функции /с- ь), ¿с'=/,а) - непрерывны и удовлетворяют условии Липшица по ^ и г? в некоторой области в пространстве переменных (ОС , Ч ,2 )•

Системе (I) поставим г соответствие выролщеннуэ систему, получающуюся из (1)~(2), если положить параметр 2 равным нулю: \Г I Ь^М^иТС*)), (оь?с&0

О а ¡гМЫ) Съг)

с начальным условием

= . Су)

Предполагалось, что йункиионалъное уравнение (3^) относительно имеет в нетототэой огтаниченной замкнутой области пространства петюнен-тх(х,[ГМ)гсто?.тво9 реяениа игСх): ¥С-Х,ГС*}) . *.в. выполняется непэвенство п , ,„ ,л , >

^ Л С?1,1ГСтс), УС*,*)) ¿О. СГ)

При таком основном предположении доказано, ятЬ при достаточных малых <? решение задачи (1)-(2) существует на ¿0,1] и имеет место предельный переход

В работах А.Б.Васильевой, М.И.Иманалиева разработан метсд, позволяющий подучить при условипс виде (5) п достаточной гладкости заданных функций асимптотические разложения с любой степенью точности относительно малого параметра £ для дифференциальных и интегро-дифферен-циальных уравнений.

С.А.Ло^эвым разработан метод регуляризации сингулярных возьупений, применимый как к обыкновенным дифференциальным уравнениям, так и уравнениям с. частными производными.

В.Ф.Бутузовым бъ:л построен метод угловых пограничных функций для уравнений с частными производными. Многие результаты по дифференциальным уравнениям в частных производных, а также ряд результатов по дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве принадлежит В.А.Треногину. Переходим к работам, в которых рассматриваются сингулярные возмущения уравнений с некоторыми особенностями в решениях.

В работах М.И.Вишика и Л.А.Люстешика рассматривались начальные задачи, где начальные условия зависят от параметра нерегулярным образом:

= £ [->(, у с-лЬ ? (х)) , (б)

гЯе ^г^Н00 при £-¡>-0.

Предполагается, что м (*) ВЫ)) при растет как/?/ ,

где . Тогда решение Цстс/£) системы (6)-(7) при соответ-

ствующем выборе будет стремиться при £-}' о к решению \Г¿V)

отвечающей (6) вырожденной системы, причем [Г Сзс) будет при ОС—о принимать значение не , а некоторое значение lГí^x)t <ЫГСгс) -

Эти исследования были продолжены К.А.Касымовым для задач с начальным скачком при изучении сингулярно-во змущенных нелинейных систем обыкновенных и интегро-дифференциальных уравнений, а также для уравнений в частных производных.

В работах М.И.Иманалиева построены обобщенные решения для интегральных уравнений типа Волътерра, а также уравнений типа Фредгольма и их'аппроксимацию метолом сингулярного возмущения.

В работах А.М.Самойленко, Н.А.Перестюка исследованы вопросы бурно развиващейся в последние годы теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

В работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова показано, что для краевых задач при наличии нескольких корней иХОс)~

уравнения вида (3^ ) внутри промежутка могут возникать зоны, в которых- решение рассматриваемой задачи быстро переходит из окрестности вырожденного решения, определяемого одним.из корней^- в окрестность вырожденного решения, определяемого другим горнем у (явление внутреннего пограничного слоя).

В работах Л.С.Понтрягине, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова исследуется случай, когда решение вырожденного уравнения вида (3^ ),(3^),(4) имеет несколько гладких ветвой, переходящих одна в другую. У решения возмущенной задачи (1)-(2) могут возникать точки "Срыва".

В работах М.И.Иманалиева, П.С.Панкова рассматриваются еистемы более простого вида, чем (I):

С*) ф-х,%£*■))> (?)

(з)

при условии, что вырожденная система

имеет устойчуроэ решение (ГС*) с конечным числом разрывов первого рода. Доказана теорема гипа Тихонова о сходимости решений задачи Коши С8)—С9) для Х?0 к тмэпьгвному решении вырожденного уравнения. Настоящая работа является продолжением выше указанных работ на иес-ледование асимптотической теории сингулярно-возмущенных дифференциальных и интепро-дкфферекцкальных уравнений, когда вырожденное уразшенив имеет разрывные решения.

ЗЗШШЬ РАБОТЫ. Изучение асимптотического поведения решений задачи Ксшж жет -системы нелинейных дифференциальных и интегро-дифференгот-альныж ургшнетгай с малым параметром при страпих производных в случаях,, наяда ттрежденные системы имеют разрывные решения.

ШШЕШ. РЕЗУЛЬТАТЫ. В работе разработана теория асимптотических. сценок 'непрерывных решений систем дифференциальных и кнтегрс-да§?й*я?пциалън!к уравнений в случаях, когда вырожденные си с тега ииетгг рагаткзные решения первого рода в случаях как одного, так я касяоль-

ких малпх параметров. С этой целью предложен новый метод "правосторонний: остаточных ■членов". Впервые потужены достаточные условия суще-гтвования и асимптотика решений сингулярно-возмущенных уравнений несколькими малыми параметрами, имеющих •разрывные иешения, а также краевых задач. Методика настоящей работы может быть применена и для исследования других типов сингулярно-вовцущекных динамических систем.

АПРОБАЦИИ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики Кыргосуниверситета, шкслы-семинаре "Численные методы для высоко производительны:.« систем" (Фрунзе, 1988 г), на семинаре "Разрывные динамические системы" Киев (1989), семинаре Института математики АН Республики Кыргызстан, семинаре по асимптотическим методам при кафедре математики физического факультета МГУ (1990), нг, республиканской конференции "Дифференциальные уравнения и их применения" (Фрунзе, 1989), на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно постановленных задач" (Бишкек, 1991), семинаре. "Прикладной асимптотической анализ спектрально? зпдгчи центр прикладной математики и информатики при АН СССР и Туркменской ССР (1990), на Всесоюзном семинаре по качественной теоши дифференциальных уравнений МГУ (1990), на Четвертой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям Р^ссе (1989).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации отражены в публикациях а] - из .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАЮ ТЫ. Дкссеретациаонная работа изложена на 228 страницах машинописного текста, состоит из введения , четырех глав, объединяющих 14 параграфов и списка литературы, включающего 135 работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении дается анализ известных результатов по дифференциальным и интегро-дифференшальным уравнениям с малый параметром при етатигос производных.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена общим форг.улкровкам постановок задач, доказательству основных вспомогательных результатов и построение асимптотического решения задачи Коши для дифференциальных уравнений с малым параметром при производной.

В §1.1. рассматриваются постановки начальных задач для сингулярного зцусенных уравнений, записанных в общем виде

с начальным условием

ito¡-4t,

а также для уравнений с двумя малыми параметрами

WCx^EslytZ.U^) Ы) Cl3>

с начальными условиями

2-Со1^£Я) i . (in)

Здесь ^ ,2- if -соответственно п , w ? £ -мерные неизвестные вектогм|ункции; £¿ - заданные векторы соответствующей размерности, Ег Г5 - некоторые операторы, непрерывные в

пространстве. С i-] • Основннм предположением в работе является следующее: вырожденная система уравнений ( о ) для (II).

VrCx.}= ¡dt С тг, US, о) С*) ,

О - fá 2 ÍVtur, о) )

(Г(о)~ i, С/Г) имеет устойчивое решение с конечным числом разрывов первого рода втзтхЯ компоненты л/

\г -1гы): иг( л) = иг0 Ы) -t J&fP«)J}*. : (ti)

где = о < < эсг ^.. . < £ -точки

р.озрыга; векторы Jli^ - величины скачков в этих точках; О- -ступенчатая функция Хевисайда (непрерывная слева)

выи I ±? х?°'>

L ® ; X < о .

L VCiQ) uí€tc)J - непрерывно-дифференцируемые ввктор-^ункшта. Соответствен-о предполагается», что в«розданная S¡ = о} о еисте-ма утзавнений для (13).

V'C-x.)- £, fvtur,j>,o)C-}i)/ С°Z-X&4J

о = .Ft- fir, uf,j>, о) Со С) ? С 2,2)

iгсо)-^ Се 7)

имеет устойчиво« пеяение с разрывами по 2-й и 3-й компонентам rzirc-x.); urí-x.)-UToCtcH

у» ш -- ^ ы) ± х- СI?)

где СЬ~(>с)~ непр ерывно-дифференцируемые вектор-функшж. Предполагается также, что выполняются условия

А/у, Ь £) Ее (%, и, $) 0хк)- О, (¿--.¡Г"; 1=13). (Iз)

(Они близки к необходимым для (16) и (18)).

В §1.2 предложена общая схема асимптотического разложения решении

' Б шде А/

1Г сх) + С*, + ;

2 с*,а=иг.^ип.а) +7&СР«.)' С*о);

^А] = (ГСтс)+% Т^лЩ

где , - \2

у= , г* = У«=

ГЗо/1с; у.-Л/, С^'А',^). новыс неизвест-

ные, подлежащие определению финкции;

£По) ¿Ро7, (к-\Тм) - пока неизвестные функции типа правого пограничного слоя ^ ^

УИЧкЦит^ <*>). 0

Полагая ^ - ° в (20) и (21), а затем учитывая свойства функции и (20),(21) определяем начальные данные для неизвестных .

ГПс; По; 1

/7. Ы-- й-ил (о); Ь (о);

а- у о= о) (гз)

fc-Сь, Q^sC*. 4, bl-QC*, С(¿4)

Начальные данные для функции

задаются в ниде

^ n^ebt/U; (PttehBH'JvbbAvnKfa.tlst; * Сг5-)

?*rc(JCt,^¿Ьс*, &.] - 6Zr£-¿X*, г^с; {сыл; *-=/>j. Отметич, что в силу определения функции мы не будем рассмат-

ривать значения

Опипем процесс этого асимптотического разложения. Обозначим для

процесс краткости

v в0Ы)~ ujo U) +Г70 М ril^ с-*, С Л'

7 Л. £*)=. lie drMfyfrC*^),?« '¿^(Я^м-пм); Y/v^si. (zi)

Точкой будем обозначать производные на , Г«^ У и Ук не будем писать аргументы Or, "К? £ и ^г. во всех функ-

циях , кроме и E-j / (¿-ihiL; J-!,$, 3 ) •

Подставляя (20) в (II), а затем прибавим и отними!.? некоторые члены получаем v

ZttfJ t Я, ir«) ft) - is £ЛЛДЛКЫ и?+Ле/ c) to) +

-«• С £ % Ы «п., - ¿v, c>; ) +(Вг (Yoj e) -

- fa€>))CxH-.-t (l„-t%J Яо-tgi,

* ^^JFkCAL (щиг-п^о)-- Ыиг, - P^lUv,иг-Пкcc*)j О ) -

-AitCV^ojJCXel/ C29)

-10 -

Уравнения для 7*7, ^

возьмем в виде

t\oLz)~ ^¿¿тиГНЛоСс), е>)(°)} (о< . СЗ*)

~ Пк(.Ск.} fo LtS-n«, о) - ft/xCvicc, o)](x«)j [е>< Си и)

fy'^ffy/wn,,о)(к)-ЪгСытя.,fe Г

- кг Cv,unn„ С*)]- Га иГоС^с). СЩ

V= ¡i| Й+А^-Д [yù/ïo, sJJM];

a**,, Clo:h,i))uj] fruï-n,,o) -

$Uj=VC®, (7°t У* ; Z+Z^î)) С*] j

EjjbfeCiH), CW^Zib, £)-&ir.tr,-,; àÎ)]£*)]-

~ fjj/i o) ) С**]]; - {b^J Для квадратной ~l/J~(?~) матрицы будем использовать обозначение.

Требуется, чтобы -Л (¿¡4 °*-)Сц где pi - положительная постоянная,

¿ofx)= -n-i'H 1 Г #

i J

Здесь и ниже все положительные постоянные, «зависящие от £ , будем для краткости обозначать С и . На природу асимптотических оценок это не влияет.

Далее требуется показываем, что задачи Клши вида (22),(30),(25),(314.) при всех Т^/ о , Zt< о удовлетворяют неравенству

Игисгл/^гё^/ ИПксъс)\\£ cè^f* ^ьг,.«-) . СЗУ)

Ззедеы обозначения

)> Я., Ы = ¡Щ U* M s

y.J ; % д ^ f^)ïct] f&iP'rtïï fi, C*. e,, Q - Ht Ы); = ;

f\ & $ i); ^ Nitëi^r Q CkJ) /

2k., Wk ^ ( foyer Пс CCc)J ■

Рещение задатта (13) будем искать в виде (21). Формально подставляя

Ьл,) в)о)) Е,Къ^У; Ю1 ; а+&/+1/;

г,) - £/ ~

и^и^сь*, с*; ч се

к«-1: fCM.it, (Ч) ; д/

£, уг<> ? ^ ¡ЗГ ¿V ^ Ы -

- р9^¿^Ч«с? ^ о)[о)+((Е2

-% (щ тпо,р о)Со)) Ы (тг,тп0)р с*)+

е,}- Вг б^а», $7)с=с)+ (£г{у< ^гищи!,,*,)^ Шу,Г/ 3,+А,; Сыси>и £,))(■*) +

~ Ьъ-ь^Шт $)) Сх) •+

+ • (Рг С^Учьу^у^и) ;

£3 - ЕгНо + Уе, +>^,+55^, •

,1 "(^С^^/К^г, Сх) ^ ¿^СРн) Р^СЕги^иг-ПсСг,), о;-

&гщСеЬАр.)Сби.Ч^л! J-

- zWkJAc^' - f3 (v, ctf,f> t/p0 lv), o)(o)t(£± (v,ut-t%PtQ0) '

- EiCViMrfiQo, ojJ{*) + CEi(viiolj>tt5>0/o)Cx.)-£l faüT/J>t%o]Co)J-t t с Ei ty»' t в)) Ы) r C¿3 t4o+V»i) 3>*&,)

(ъ,üo,Oje*) ÍYciYvtTv; 2>-tа, -tb,; tel^itfl bifalUetCbt^J Ся.) i- "

-ßClbt4tl*% ¿.-tfatj«, Uctu^rtuu, f-f-fá (ш? +7/У/+ %*«) "Зо+^с й^чгу ^-/гv

iicttonitbftCbnjS)-

-JJX'*) К С OwP-Q^hEsífa^ 9, o)) Qt*c). 6rJ

Уравнения для С П„ Cf¿ijé,<>Zj,

Eixe, <nK¿} (c-l>2.'. л;) ,

возьмем в вЪде '

г|0СтЬE^VtUTtn», Р, о)Со) ) С°£

Фо'Мс ^(v^^tQÍ^Co), ч W

-Пк^ь (ííiiú-Пку ft О) o)J bu¿)} С ©с с

Um,^«,*}))съ) /о^-)/^). 07)

Для определения ГЬ,1 г,ñ)j, (к^,?,.,»} C=i,i) составляется цепочка нелинейных дифференциальных уравнений:

$,'= ¿£££ fcuTTClvp О) -£,Съиу,, [Cht%

~Ei(iríujtn.b, f-tQo,

- Е~2 Cf, Uf-i ¡rz4;j51 cpo, O))c*.)J - ]Щ urj Cx)J

+ (l'^^^-BiCv/UT-tn^ f>tá>0,°l)c*)].

Sz-jr-friifa^-t^ftQi z)~Et fourth,J, ]+ щГС£, & t

+?./ * ï ft,,; UotUotj ¿y,tu, ]j

Ы%ft®>, f-tCPe, o) iojJ f

^ Uotke,, Ü»,£)]&)]-

- p.'. J

^Ь-ЦСС&Ш^Чцу tutke/iUi/j ç(уь+ув, •

^ g j Wj- ^ ¿¿U er, о) fa*;p о)] fr) ;

ùuftu»,,£,)]с*)];

5г'г ¡f^ f(£/(7bW,ty,3) Ïc^i-Z,*^; U*tu»çtU,, tUn, <$;-

- UbtUvitt?,,; £,)]&)];

UTrf-Q.CrhV-ZpïCvictr^^Jfr,)]; . J t* ' JcOJ;

t&,t?í4lf Ze./¿%; Uottee, tUe.iltU&'l¡¡ ífjjcxjíl-СVtv-Пк,O) (Wfîo))^)] ;

ГС&Сг,&,]>-<!?*, (УГМф (39)

Уравнения Т3б),(37) с начальными данными (22),(25) определяем

гуН1<ши СПо, Гп*, О к],

и доказываем соотношения _о1 /

и По VII < С //<$>,<>;//*<ге ;

иПкСЫЧ ± сё**"; с С^Л!., „) ,

В §1.3 рассматриваются асимптотические оценки 'фундаментальных и интегральных уравнений с сингулярно-возмущенными ядрами, а также доказаны леммы, используемые в работе.

Глава II целиком посвящена общей асимптотической теории сингулярного ээдущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в еду- < чагх, когда вырожденные системы имеют разрывные решения. В §2.1 изучается уравнение (II), где я

Ъс (% г, ¿ЫМ, ммсънА'г ь&ы

с начальным условием л12). На сегменте £~Ь,13 матричные и векторные функции дважды куссо-но-непрешвно—диИереншруемые, кроме того полагаем

(Л Г [ъЛз 4 о, С* =.1,1,., л>): @ -ЬЯ) ■ Доказывается, что задачи Коши (40)(12) имеет единственное решение представтаюе в виде (20), причем при ¿->о это решение сходится к разшвноцу репешга вырожденной системы на полусегменте С®л] В §2.2 рассматривается системы сильно нелинейных диффренциальных уравнений вида (II), где

■ксъцы.гм) сс^л) Щ

с начальными даютки (12).

Вектотьфункпки (им г от нусочко-непрешвные пво-

изводные до третьего порядка, "кроме того ^ (кх^м) ■ •

/ ^

Доказывается, что задачи Коши (41), с начальными условием (12) имеет единственное решение, представимое в виде (20), причем при

£•$■0 это решение сходится к разрывному ре*ле:;ию вырожденной системы на полусегменте ^0,1J

В §2.3 рассматриваются системе слабо нелинейных дифференциальных урагкений вида (40), когда fx)s о > с краевыми условиями:

R¿ lyro), % W.^to), д.сО) = о, С ц} , C^J

гда Рс/ Сс =/> соответственно и - мерные вектор-

функции. В области Я) f-2h-y «г вектор-

функции Рс ('уЪ) £,) - непрерывны вместе со своими про-

изводными дс второго порядка. Вырожденная системы имеет вид

(ЩиУ, J S&s-xzJ.) со - , Счз)

где А С Vi bs, о) С ve) г <d¿7 6с) >ur СХ-) + Уз О* cj . Зададим начальное условие для системы (43) в виде WCo)~ 0~о ,

где (Го - пока неизвестный rt - мерный вектор, подлежащий определению.

Решение краевых'з^дач (42),(40) будем искать в виде

3ся, £)с 1гсос7+п fjcб*о+ ^оср,-)сос,ю);

N

гсэ<, £Л = LV~o Csc)-ff!o сг) -i-fl У)0 fr, <L) + (Jk ) +

Íin^t&CPj^CxiV, ***

ITí*) = V6*. (To-t b c*) ;

Л Ш - S1W -t ЛчШп Cs? l Cs)] Js.

c)

Начальные данные для искомых функции

; л/)

зададим в виде

где Pq - пока неизвестный уУ) - мерный вектор. Определим теперь неизвестные векторы (То , Ра • Подставляя (20) в ('К), получаем , _ , jU s

Л/ 21 s

w0c}+nJi) -ttJefyo Co tili* А (.)) =

^Mtr^CuicH^CUf^VO.ojJiTo +&0(at0)pr> + ßL Ldu>) i(ßCj, Idth Cdko)) VCh oj}ült

где uiftB {cb a)j U/h Co); Ufo СО+^Г^ь] J dt^fe)OtoC0-nj£ UTeCc); itfiftHlft faCh^H

-J teaf <

A ACOtifißFort.*) +jFf*Ci,e)J) Wo Co); «f0(i)i-Q0i70 C£) + Л a CloCne) i-ff^qj C^V)}, Co <

Введем обозначения . . i „ r t \ > .

Fc-Cvvpe)=PcC<rt>/po)-fRt^/A)i70Ci). (нг)

Имеют место оценки:

II Fcfap,)i1< llRCtro,po)ir+ll&l/U4)iniR0 d)l) <

Ч k cfca ¿*JIIP«-P.,IM}« ¡¡}s

tfP**~P»iUt\liroi~u*tlilj , .

(cUo/i tllRcl/ai)-$L{Ub)}/'

II №,0)11] ШИН KP№ Cfc OllTMPoll);

рде . ОЙг SG; CCsi*); »***{ect+ätjßcjif.

Тогда система нелинейных алгебраических уравнений (44) запишется в

виде ^ . ^

Cfic^(#*)-t^/^ro;е)}£Г0 i(JUo) fcCA)-В дальнейшем преполагается, что определитель линейной части система

(47) ß/^oJ-vR^i^^'^ ßiW^)

{ i/o, О) Rt'f^CMo)

s лине

Тогда система нел(шейных алгебраических уравнений (47) имеет неко-

торое решение .

ßs/u, cToElT™. С ¥2)

Таким образом мы полностью определим неизвестные вектор-функции иг сю о По cvj . Доказывается, что краевая задача (40),(42) имеет единственное решение, предстагимое в виде (20 j ), причем при ¿т"-о это решение сходится к вполне определенному разрывному решению соответствующей вырожденной задачи на полусегменте • Глава III посвящена ас,имптотичест:ой теории сингулярно-возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений со многими малыми параметрами при производных в случаях, когда вырожденное системы имеет разрывные решения.

В §3.1 изучается уравнение в виде (13), где £с. 2) U, ¿,j ~ (de, ЫJc\

-tPftejtZ $cC*>%tXhtC*)j UM), СсГ=!,?> 3) С го)

с начальными данными (14), где' векторные и матричные функции

¿) кусочно

дваждн непрерывно дифференцируеемн и их производные равномерно ограничен:, кроме того выполняются тождество (19). Доказывается , ето задачи (14) для нелинейной системы (50)' имеет единственное непрерывное решение, представимое в "виде (21), причем при' ¿¡-гт> , это решение сходится к разрывному решению -вырожденной системы на по^сегмент-е £o,lJ .

В §3.2 рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений в виде (13).

(у, 2, и) Ы)ч Ute)$ ЫЬЗгСте)) се Ы))} Сг*/л i) С

с начальным условием (14).

где 5-СЯ)}ЦС-х)) - заданные и с. -мер-

ные векторные функции. Предполагается, что вектор-функции ■fC-fe^^b) имеют кусочно-непрерывные ограниченные производные до третьего порядка, кроме того выполняются: условия (19). Предалагаетея макея-действительных частей собстгент-х знэчшйй кзадагаей и

ЩНЩ матрицы ^ ^бзз) Удовлетворяют неравенст-

ВЗМ I

-А (&»3С*)) <

гяе вг,ь тр); м^т^

С&СътигфУ^ Съкиг^) •

Доказывается, что задачи Кош (51),(14) имеют единственное непрерывное решение, представимое в виде (21), причем при ^тО, это решение сходится к разрывно^ решению вырожденной системы на полусегменте

В главе 1У разработанные выше способы в теории сингулярно-возиущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, когда вырожденные системы имеют разрывные решения, приненяются к исследованию систем интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при страших производных.

В §4.1 рассматривается система сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма вида (II) ^ / )

гс*;, «-)>мм/%

с начальными данными (12), . > .

Предполагается, что вектор-функции {с (к, у ос),

^¿•Ы) 5 I'К"сОх?!<*))имеют кусочно-непрерывные ограничешше производные до третьего порядка. Устанавливается существование решения этой задачи в виде (20), причем при это решение сходится к разрывному решению гырожденной системы на годуеегменте £0,1^ ,

В §4.2 изучается система сингулярно-возмущенных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра вида (II).

2-Сх), £ Л-/.О 6

с начальными условиями (12). д

Предполагается, что вектотэ-функпии

(^¿Ы) Е (^Ь^^))^' имеют кусочно-непрерывные про-

изводные до третьего порядка. Устанавливается существование решения этой задачи в виде (20), причем пря это решение сходится к разрывному решению вырожденной системы на полусегменте (.0,1^ Основные результаты диссертации опубликованы в следующим работах: I. Кэкишое К.К., Ажигулов М.А. Исследование нелинейного ин'.'егро-дкфференциального уравнения, когда вырожденное уравнение имеет раз-тзытное решение //Численные методы для высоко производительных систем: Тез.докл.III школы-семинараунэе, 1988.-С.30.

2. Какишов К.Н.Сингулярные возмущенные системы нелинейных ди&Ьерен-циальных уравнений со многими и алыми параметрами при производных в случаях, когда "вырожденное" уравнение имеет разрывные решения // Исслед-.по интегро-дифференц. уравнениям; -Фрунзе: Илим, 1938.-Вал. 21. -С. 222-239.

3. Кахишов К.К. Сингулярно-возмущенные системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма в случаях, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения //Исслец-. по -интегро-дифференц. з-равнениям. -Фрунзе:' Илим, 1989. -Вып. 22. - С. 22-31.

4. Какгслов К.К. Сингулярно-возмущенные системы нелинейных дифференциальных уравнений в случаях, когда "вырожденное" уравнение имеет разрывное решение // Изв. . АН Кырг. ССР. Физ.-техн., матем.

и горно-геол. науки. -1939. - И. -C.II-I7.

5. Какишов К.К. Разрывные решения сингулярно-возмущенных нелиней- • ных дифференциальных уравнений // Четвертая конф. по дифференц. уравнениям и их приложениям. Руссе, Болгария, авг. 1989 г.: Рез. докл. и сообщ. - Fycce, 1989. - С.138.

6. Какишов К.К., Раманкулов С.Т. Системы сингулярно-возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений со многими малыми параметрами при производных // Дифференц. уравнения и их приложения. -Фрунзе, сект. 1989г.: Тез. докл. республ. научн. конф.- Фрунзе, I939.-C.68.

7. Какишов К.К., Ажигулов М.А. Сингулярно-возмущенное дифференциальное уравнение в случае, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения //Иселед. по теории.,и приближенным методам решения дифференц. и интегро-дифференц. уравнений: Сб. научн. тр. -Фрунзе, 1989. -С.25-26.

8. Какишов К.К. Сингулярно-возмущенное нелинейное интегро-диффе-ренииальное уравнение в случаях, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения //Изв. АН Кырг.ССР. Физ.-техн., матем. и горно-геол. науки. -1990. -К. - С. 13-20.

9. Какишов К.К. Сингулярные возмущения уравнений, имеющих разрывные решения // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т.26, №12, -C.2I8I. ГО. Какишов К.К. Асимптотические оценки решений краевых задач для систем сингулярно-возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений в случаях, когда вырожденные системы имеют разрывные решения //Иселед. по интегро-дифференц. уравнения.!. - Бишкек: Илим, 1991. - С. I63-171.

II. Какишов К.К. Сингулярно-возмущения несколькими малыми парамет трами в случаях, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения // Тез. докл. Всесоюз. нонф. "Асимптотические методы теории сингулярно- возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач", Бишкек, сент. 1991г. - Бишкек: Илим, 1991. - С.54.

12. Какишов К.К. Сингулярно-возмущенные системы сильно нелинейных дифференциальных уравнений со многими малыми параметрами при производных в случаях, когда вырожденное уравнение имеет разрывные решения // Иселед. по интегро-дифференц. уравнений. - Бишкек: Илим, 1992. -Вып.24. -С. 93-104.

13. Какишов К.К. Системы сингулярно - во змутценных слабо нелинейных дифференциальных уравнений со многими параметрами при производных // Научн. конф. математиков,поев.. бО-летип образования Кыргосуни-версигета: Тез. докл. - Бишкек, 1993, -С.37-38.