Сингулярно возмущенные задачи в случае неизолированных корней вырожденного уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ТЕРЕНТЬЕВ Михаил Анатольевич

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ НЕИЗОЛИРОВАННЫХ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 МАР 2010

Москва - 2010

003493334

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. БУТУЗОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Г. Дмитриев

доктор физико-математических наук, профессор С.А. Кащенко

Ведущая организация: Обнинский государственный технический

университет атомной энергетики

Защита диссертации состоится <<(->■> ЛЛО-рТО^ 2010 г. в '_часов на заседании Диссертационного Совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр.2, физический факультет, ауд. № С^РЙ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 2ою г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук

Ю.В. Грац

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению ряда начальных и краевых задач с условием Неймана для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в случае, когда соответствующее вырожденное уравнение или система имеет неизолированные корни.

Актуальность темы

Хорошо известно, что математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, социологии, технике служат дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры. Входящие в уравнение параметры являются количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса. Естественное желание пренебречь малыми факторами приводит к более простым уравнениям, но не всегда решения таких уравнений правильно описывают наблюдаемые явления. В таком случае говорят, что исходная задача является сингулярно возмущенной — близость малого параметра к нулю не обеспечивает, вообще говоря, равномерную близость её решения к решению более простого вырожденного уравнения.

К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. Исследование таких задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников, где для широких классов сингулярно возмущенных задач с обыкновенными и частными производными разработаны погранслойные методы, позволяющие строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра. Альтернативные подходы к исследованию различных классов сингулярно возмущенных задач развиты в известных работах A.M. Ильина, С.М. Ломова, В.П. Маслова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Ро-

зова, В.А. Треногина и других учёных.

Одним из важных условий в классической теории Тихонова является требование существования изолированного корня вырожденного уравнения. Более сложная ситуация возникает тогда, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни или, в общем случае, неизолированный корень. Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций. Как выяснилось, пересечение корней вырожденного уравнения позволяет объяснить явление скачка скорости химической реакции, наблюдаемое на опыте.

Активное исследование задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае пересечения корней вырожденного уравнения началось лишь недавно и ведется последние 10 лет. За это время для широких классов дифференциальных уравнений и систем тихоновского типа, как с обыкновенными, так и с частными производными (задачи Неймана эллиптического и параболического типов), доказаны теоремы о существовании и предельном переходе от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Прогресс в исследовании данного типа задач (они называются также задачами в случае смены устойчивости) связан с разработкой H.H. Нефедовым и его последователями асимптотического метода дифференциальных неравенств, который позволяет обосновывать асимптотические разложения решений более простым способом, чем это делалось ранее.

Перед автором была поставлена задача исследовать существование и асимптотику решений для некоторых классов систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных эллиптического типа с разными степенями малого параметра при старших производных в ситуации, когда правые части уравнений зависят от малого параметра. В ходе исследования удалось решить

ряд проблем, касающихся рассматриваемого класса задач. Полученные результаты содержат:

• обобщение известных результатов на случаи произвольной размерности искомого решения и независимой переменной

• установление независимости поведения решения от структуры множества неизолированности корней вырожденного уравнения

• выяснение вопроса о том, насколько используемые достаточные условия существования решения являются необходимыми

• построение асимптотики произвольного порядка для решения возмущенной задачи

• разработку представлений о природе явлений в рассматриваемом классе задач

Результаты диссертации расширяют классическую теорию А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой на новый класс задач, в которых вырожденные уравнения имеют неизолированные корни, а также расширяют применения асимптотического метода дифференциальных неравенств.

Цель работы

Главной целью диссертационной работы является доказательство теорем о предельном переходе для систем сингулярно возмущенных ОДУ, а также для уравнений и систем уравнений в частных производных эллиптического типа с разными степенями малого параметра в случае, когда вырожденная задача имеет неизолированные корни.

Научная новизна

Как основной результат, в диссертации доказаны теоремы о предельном переходе и получены асимптотические оценки для решений ряда сингулярно возмущённых задач с разными степенями малого параметра при старших

производных в случае, когда вырожденные задачи имеют неизолированные корни.

Показано, что допустима произвольная структура множества, где нарушается изолированность корней, включая естественный случай пересекающихся корней у вырожденной задачи. Оказалось также, что в рассматриваемом классе задач результаты не зависят от размерностей искомого решения и независимой переменной.

Исследована роль достаточных условий, гарантирующих существование решения задач рассматриваемого типа. Впервые доказаны утверждения об отсутствии решения при невыполнении этих условий.

Существенно развиты представления о природе явлений в рассматриваемом классе задач. На их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики любого порядка для решения возмущенной задачи.

Практическая ценность

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы

• для исследования разрешимости и построения асимптотик решений ряда модельных задач химической кинетики

• для описания явления скачка скорости химической реакции бимолекулярного типа

• при исследовании новых классов сингулярно возмущенных задач в случае неизолированного корня вырожденного уравнения

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторых классов систем сингулярно возмущенных ОДУ, а также сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений в частных производных. Кроме того, на защиту выносится теорема об условиях отсутствия решения для сингулярно возмущенного уравнения эллиптического типа.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации, приводимые ниже, получены автором диссертации лично.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на X Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003» (Москва, 2003 г.), на II международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2004 г.), на Международной конференции к 100-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006 г.), на ежегодных Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 2007 г.), на ежегодных математических чтениях РГСУ «Математические методы и приложения» (Руза, 2003, 2008, 2009 гг.), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева и В.Ф. Бутузов).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, одного приложения, заключения и списка цитированной литературы (80 наименований). Общий объем диссертации составляет 127 страниц.

Содержание диссертации

Во Введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы, а также кратко изложено содержание глав.

В Главе 1 рассмотрены начальная и краевая задачи для систем сингулярно возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих два быстрых скалярных уравнения с разными степенями малого параметра при производных. Начальная задача имеет вид:

e2u' = g{u,v,x,e), epv' = f(u,v,x,e), u(0,e) = u°, w(0,e) = «°.

Здесь x £ [0,1], e > 0 — малый параметр, p — какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1 < р < 2. Краевая задача имеет вид:

e2u" = g(u,i>,х,е), e2pv" = /(и, v, х,е), и'( 0, е) = u'( 1, е) = 0, v'(0, s) = i/(l, e) = 0.

Здесь также x 6 [0,1], e > 0 — малый параметр, p — какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < p < 1.

Условие 1.1 Пусть целое число п таково, что п — 1 < ^ < п, и пусть функции g(u,v,x,£) и f(u,v,x,e) в задаче (1) являются п + 1 раз непрерывно дифференцируемыми, а в задаче (2) — дважды непрерывно дифференцируемыми в области (и, v, x, e) G Л X /2 х [0,1] х [0, Со], где 1\ и h — некоторые интервалы, sq > 0 — некоторое число.

При s = 0 из (1) и (2) получаем вырожденную систему

g(u,v,x,0) = 0, /(«, v, яг.О) = 0. (3)

Условие 1.2 Пусть уравнение g(u,v,x, 0) = 0 имеет относительно и решение (корень) и = <p(v,x), такое, что при (v,x) € h x [0,1] выполнены

6

соотношения: ф £ 1\ и

{< 0 в задаче (1),

(4)

> 0 в задаче (2).

Подставив и = <р(у, х) во второе уравнение (3), получим уравнение

Ну,х) = /(<р(у,х),у,х,0) = 0. (5)

Условие 1.3 Пусть уравнение (5) имеет относительно у два корня ь = г?1(г) и у = У2(ж), таких что у\ € Ь, С Ь при 2 € [0,1], и, кроме того, для некоторого хо € (0,1) выполняются соотношения

уг(х) > Уг{х), когда 0 < х < (ео) = «г(а;о), (6)

Уг{х) < иг(ж), когда хо < х < 1.

Соотношения (6) показывают, что корни У\(х) и У2(х) уравнения (5) пересекаются в точке хо. Это отличает изучаемые задачи от задач, рассматриваемых в классической теории Тихонова, где предполагается изолированность корней вырожденной системы.

"Условие 1.4 Пусть для начальной задачи (1) выполнены неравенства:

{<0, когда 0 < х < хо, I >0, когда 0 < х < х0,

аь(у2(х),х) <

>0, когда хо < х < 1, 1 <0, когда хо < х < 1,

а для краевой задачи (2) выполнены противоположные (строгие) неравенства.

Исходя из Условий 1.2-1.4 и понятия устойчивого изолированного корня естественно образовать следующее решение вырожденной системы (3):

(уг{х), когда 0 <я < хо, у{х) = < щх) — 1р(у(х),х). (7)

1 у2(х), когда х0<х<1,

Пару функций й(х), ь(х), определённых равенствами (7), назовём составным устойчивым решением вырожденной системы (3). Из Условий 1.2

и 1.4 следует, что для начальной задачи (краевой задачи) выполнены соотношения:

ди{х) < 0 (> 0) при х е [0,1],

< 0 (> 0) при х е [0, го) и х 6 (хо, 1]> = 0 при х = хо-

Здесь и далее значок * означает, что функция вычисляется на составном устойчивом решении, например, ди(х) = ди{й(х), ь(х), х, 0).

Для доказательства существования решения и предельного перехода при е 0 к составному устойчивому решению вырожденной системы в каждой из задач использован асимптотический метод дифференциальных неравенств с условием квазимонотонности вектор-функции (д, /), что обеспечивается следующим требованием.

Условие 1.5 Пусть производные ду и /„ функций д и / удовлетворяют в задаче (1) неравенствам

ду(и, у,х,е) > 0, ¡и{и,у,х,е) > 0 (8)

при |и - ы(х)| < 5о, — й(я)| < <$о> - £о| < <5о, 0 < £ < £о, где ¿о > О — некоторое число, такое что 0 < хо — ¿о, %о + ¿о < 1» а 6 задаче (2) — противоположным неравенствам

д„(и, v, х, е) < 0, /„(«, V, х, е) < 0

для тех же значений и, V, е, как и в (8), и для 0 < х < 1.

Далее задачи (1) и (2) рассматриваются раздельно. Поскольку на отрезке [0, хо — где 5 - некоторое положительное число, составное устойчивое решение системы (3) является изолированным и устойчивым, то к начальной задаче (1) на этом отрезке применима стандартная тихоновская теория, из которой следует, что при некоторых дополнительных требованиях (см. ниже Условия 1.6 и 1.7) для достаточно малых е существует единственное решение задачи (1), для которого справедливо

следующее асимптотическое представление:

п-1

и(х,е) = ü(x) + Р0и(О + IMO + Y,s{2~P)klPku(Z) + п*и(С)]+

к=1

+ е[йп(х) + Рпи{$ + Ппи(С)] + о(г),

(9)

v(x,a) = v(x) + P0v(O +^2£(2~Р)кШО + П*г/(0]+

к=i

+ еЫ®) + Pnv{£) + П„г>(0] + о(е). Здесь йп(х) и í¡n(x) — решение линейной системы уравнений

Su(х) й„ + gv(х) vn + де(х) = О, /и(х) йп + /„(х) vn + f£(x) = 0.

Функции Píu(£), Pív{£), n¿u(C), II¿v(C) — пограничные функции, зависящие от растянутых переменных £ = х/ер и £ = х/е2. Они определяются стандартным образом, в частности, Pqv(£) есть решение начальной задачи

= h(v(0) 4- P0v, 0), £>0, (10)

а?

Ро^(0) = — v(0). (И)

В силу Условий 1.3 и 1.4 Pqv — 0 является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (10). Появляется обычное для стандартной теории требование.

Условие 1.6 Пусть начальное значение v° — ú(0) принадлежит области влияния точки покоя Pqv = 0 уравнения (10).

Функция Рои(€) определяется равенством

Ро«(0 = Ф(0) + ñv(Z),0) - <Р(5(0), 0), а для Щи (С) имеем начальную задачу

■ = 0) + По«, Vo, 0,0), С > 0, (12)

d С

Пои(0) =и° — ¡p(v°, 0). (13)

Будем считать, что V0 6 /2, где /2 — интервал из Условий 1.1 и 1.2. Тогда ди{ч>№, 0), и0,0) < 0 и тем самым Пои = 0 является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (12). Для задачи (12), (13) появляется требование, аналогичное Условию 1.6.

Условие 1.7 Пусть начальное значение и0 — >р(у0,0) принадлежит области влияния точки покоя Пои = 0 уравнения (12).

На отрезке [хо — 5, хо + <5] составное устойчивое решение системы (3) не является изолированным и устойчивым в классическом смысле. Появляются дополнительные требования, обеспечивающие устойчивость составного решения в точке хо, а исследование задачи (1) удается провести при помощи метода дифференциальных неравенств.

Условие 1.8 Пусть куу(хо) < 0.

Условие 1.9 Пусть /и(х0)д£{хо) > Зи(хо) /Д^о)-

Согласно методу дифференциальных неравенств построены нижнее и верхнее решения задачи (1), из вида которых следует, что на отрезке [хо — 5, хо + <5] решение данной задачи существует и представимо в виде

и(х,е) = й(х) + 0(уД), ь(х,е) = Ъ{х) + 0(\/Ё). (14)

На отрезке [хо + й/2,1] составное устойчивое решение системы (3) вновь является изолированным и устойчивым, так что согласно стандартной теории система (1) имеет при достаточно малых е единственное решение с асимптотикой типа (9). В силу экспоненциального убывания погранфунк-ций это решение на отрезке [хо + 8,1] имеет представление

и(х, е) = й(х) + О(е), ь(х,е) = ь(х) + 0(е). (15)

Следующая теорема суммирует полученные результаты.1 Теорема 1.3 Если выполнены Условия 1.1-1.9, то при достаточно малых е существует и единственно решение и(х,е), и(х, е) начальной задачи (1), и для него на отрезке [0,хо — имеет место асимптотическое

'Здесь и далее применяется та же нумерация теорем, что и в диссертации, а используемые в диссертации формулировки вспомогательных утверждений и теорем в данном обзоре опускаются

представление (9), в 5-окрестности точки xq — представление (Ц) и на отрезке [хо+5,1] — представление (15), где 5 — любое достаточно малое и не зависящее от е положительное число.

Исследование краевой задачи (2) проведено согласно методу дифференциальных неравенств путем построения подходящих нижнего и верхнего решений на отрезке [0,1]. При этом для построения верхнего решения использована процедура сглаживания негладкого, вообще говоря, составного решения. Как и в случае задачи (1), здесь необходимы дополнительные требования, обеспечивающие устойчивость составного решения в точке xq.

Условие 1.10 Пусть hvv(xо) > 0.

Второе требование связано с зависимостью функций / и g от е и выражено Условием 1.9.

Теорема 1.4 Если выполнены Условия 1.1-1.5, 1.9, 1.10, то при достаточно малых е > 0 существует решение и(х,е), v(x,e) краевой задачи (2), такое, что для него имеет место асимптотическое представление:

и(х, е) = й(х) + wi(x, е), v(x, е) = v(x) + W2{x, е),

где при i = 1,2

0(ер) в 5-окрестностях точек х = 0 их — 1, Wi(x,e) = 0(еа) в 5-окрестности точки хо, а — min(2p/3,1/2), 0(e) на отрезках [<5, xq — S] и [xq + S, 1 — 5 — любое достаточно малое и не зависящее от е положительное число.

Глава 1 заканчивается обсуждением результатов, где рассмотрены возможные обобщения и даны пояснения относительно выбора параметра р.

В Главе 2 рассмотрена задача Неймана для сингулярно возмущённого эллиптического уравнения:

е2РД u = f(u,x,e), жеП,

ди (16)

-—(х,е) = 0, х € дО,.

опх

Здесь р > 3/4 — некоторое число, е > 0 — малый параметр, Г2 — ограниченная область в Rn, N > 1. Под пх подразумевается внутренняя нормаль к ÖO в точке х.

Условие 2.1 Пусть функция f(u, х,е) является дважды непрерывно дифференцируемой при (и,х,е) 6 Jxiix [0, £o]i где I — некоторый интервал, со > 0 — некоторое число. Пусть также в случае N > 2 граница dQ области П принадлежит классу гладкости С2.

При е = 0 из (16) получаем вырожденное уравнение:

f(u,x, 0)=0. (17)

Условие 2.2 Пусть уравнение (17) имеет непрерывный при х £ Q корень и = (р(х), причём 3 множество ГСП, такое, что

fu(<p(x),x, 0) > 0, если х € О, \ Г, fu((ß(x),x,0) = 0, если же Г.

Условие 2.2 означает, что вне некоторой окрестности Г корень ¡р(х) является изолированным (с учётом Условия 2.1 ещё и С2-гладким), а внутри этой окрестности свойство изолированности, как и гладкости, может быть нарушено. Указанное обстоятельство отличает рассматриваемый случай от классической теории, в связи с чем появляется ограничение на (р.

Условие 2.3 \<р(х) — у(£)| < L ■ \\х — £||дг при € fi для некоторого L > 0 (липшицевость ip). Здесь || • Цд- — евклидова норма в RN.

Другое отличие от классической теории состоит в том, что fu(ip(x),x, 0) не является строго положительной функцией для всех х € Q, и это не позволяет охарактеризовать ip(x) как устойчивый корень вырожденного уравнения; необходимы дополнительные требования, обеспечивающие устойчивость корня <р(х) в окрестности Г, где нарушается классическое условие устойчивости.

Условие 2.4 fuu{<p{x), х, 0) > 0 при х е Г.

Условие 2.5 /е(<р(х), х, 0) < 0 при геГ.

Из Условий 2.2 и 2.4 следует, что в некоторой окрестности Г вырожденное уравнение (17) имеет ещё один, и только один, корень, совпадающий с (р(х) при £ € Г и меньший <р(:г) при остальных х. Рассматриваемая ситуация возникает, в частности, в том случае, когда уравнение (17) имеет в и два непрерывных корня, пересекающихся при х £ Г.

Теорема 2.2 Пусть задача (16) в случае р > Ъ/Ь удовлетворяет Условиям 2.1-2.5. Тогда при достаточно малых е > 0 эта задача имеет решение и(х,е), такое, что для него справедливо асимптотическое представление:

и(х,е) = <р(х) + Ф(х,е),

где Ф(х,е) имеет порядок 0(е1/'2) в некоторой 8-окрестности Г, 0(е?) при д = пип(р, 1) в некоторой 8-окрестности дС1, но вне 8-окрестности Г, и, наконец, 0{е) в остальной части О.

Доказательство теоремы проведено с использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств. Нижнее и верхнее решения построены на основе сглаженного корня <р(х) вырожденного уравнения и некоторых специальным образом введенных срезающих и погранслойных функций. Впервые использованные при этом интегральные конструкции оказались удобными в многомерном случае.

Далее в Главе 2 исследована роль зависимости правой части / от е в связи с вопросом существования решения задачи (16). А именно, поставлен вопрос о последствиях замены Условия 2.5 на обратное ему

Условие 2.6 /е((р(хо),хо, 0) > 0 при некотором хо 6 Г П П.

Как оказалось, ответ зависит от наличия других корней у вырожденного уравнения и поведения / при и —» оо.

Условие 2.7 Уравнение ¡(и,хо, 0) = 0 не имеет других корней, кроме и = (р(хо), на промежутке [и, й] (и < у?(хо) < Ю-

Условие 2.8 Уравнение f(u,xо,0) = 0 не имеет других корней, кроме и = ¥>(а:о), на промежутке —со < и < +оо, причем в некоторой (гол/е)-окрестности точки xq справедлива оценка > const > 0 для всех

достаточно больших |u| it малых е > 0.

Теорема 2.3 Пусть задача (16) дляр > 3/4 удовлетворяет Условиям 2.12-4 и 2.6, а также 2.7 или 2.8. Тогда при достаточно малых е > 0 эта задача не может иметь решения и(х,е), такого, что и < и(х, е) < и в некоторой окрестности точки х$ в случае Условия 2.1, и вовсе не имеет решения в случае Условия 2.8.

Требование достаточной малости е существенно для отсутствия решения задачи (16), причём результат справедлив не только для краевых условий Неймана, но и для любого типа граничных условий. Доказательство теоремы основано на методе пробных функций, предложенном С.И. Похо-жаевым в качестве метода исследования отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных специального вида в неограниченных областях.

Глава 2 заканчивается обсуждением результатов, где приведены многочисленные примеры, иллюстрирующие теорию, рассмотрены возможные обобщения и даны пояснения относительно выбора параметра р, а также развиты представления о природе явлений в задачах со сменой устойчивости, в частности, предложен метод построения регулярной части асимптотики решения в данном классе задач.

В Главе 3 рассмотрена задача Неймана для системы уравнений эллиптического типа:

£2РАи = f(u,x,e), xeCl,

du (18)

~—(х,е) = 0, х&дй. V

опх

Здесь и = {и\ ..., ип), / = (/\ ...,/»), е2Р - diag(e2»,.. .,е2р») - диагональная матрица, причем pi > P2 > ■■■ > рп > 3/4 — некоторые числа, п > 1, е > 0 — малый параметр, Q — ограниченная область в RN, N > 1. Под пх подразумевается внутренняя нормаль к дй. в точке х, действие

оператора Лапласа и взятие производной по нормали производятся покомпонентно.

Условие 3.1 Пусть вектор-функция /(и, х, е) определена и дважды непрерывно дифференцируема при (и,х,е) е I х П х [0,£о], где I — некоторый прямоугольный параллелепипед в Д", £$> 0 — некоторое число. Пусть также в случае N > 2 граница <917 области О принадлежит классу гладкости С2.

По аналогии с Главой 1 вырожденная система

/(и, 1,0) = 0 (19)

решается методом последовательного исключения неизвестных в порядке, согласованном с порядком убывания степеней малого параметра. При этом появляются функции <рг(и1+1,..., ип, х), где г = 1, п — 1, и ип — <рп(х). Для удобства записи формул определим функции ... ,ип,х) как по-

лучающиеся путем последовательной подстановки функций ..., ^ в функцию </?' вместо переменных и'+1,..., (в указанном порядке). Аналогично, определим функции ... ,ип,х) как получающиеся путем последовательной подстановки функций ¡р1,...,^ в функцию /' вместо переменных и1,... ,и} (в указанном порядке). Условимся, что обозначает частную производную /*'-7 по соответствующему и*, к > ].

Условие 3.2 Пусть уравнение /1,0(и1,..., ип, х) = 0 имеет внутри области определения / непрерывный корень и1 — у1 (и2,..., ип, х), причем для всех допустимых значений переменных

Д1'V,х) = Д1'"(^(«Л ...,и\х),ч2,...!и\х)> 0.

Далее, пусть последовательно для г = 2,3,...,п — 1 уравнение

= V" V, • • •. «">*)> • • •.=0

имеет внутри области определения / непрерывный корень иг = /р'(и,+1,... ,ип, х), причем для всех допустимых значений переменных

Наконец, пусть уравнение /п,п_1(и",х) — /п'п~2((рп~1(ип,х),ип,х) = О имеет непрерывный при х € П корень ип = <рп(х), причем 3 множество ГСП такое, что

ЛГ{*) = /Г~Ч<Рп(х), х) > О, если геП\Г,

= О, если х 6 Г.

Вектор-функция и — <р(х) = (<р1,п(х),..., <рп'п(х)) является решением вырожденной системы (19).

Условие 3.2 означает, что, в отличие от у»1,..., корень 1рп априори является изолированным и С2-гладким лишь вне некоторой окрестности Г; внутри этой окрестности свойство изолированности и гладкости <рп может быть нарушено. Рассматриваемая ситуация возникает, в частности, в тех случаях, когда вырожденное уравнение имеет в £1 два непрерывных корня, пересекающихся на множестве Г.

Условие 3.3 \<рп{х) — уп(£)1 < ' И1 — пРи 6 ^ для некоторого Ь > 0 (липшицевость ц>п). Здесь || • ||дг — евклидова норма в .

Положительность производных в Условии 3.2 говорит об устойчивости соответствующих многообразий <р\ Однако для <рп необходимы дополнительные требования, обеспечивающие его устойчивость в окрестности Г, где нарушается требование > 0.

Условие 3.4 = /„А"-1^"^), х) > 0 при ж € Г.

Я " " /п-1 /г

Условие 3.5 I ■. • : <0 при и = <р(х), х £ Г, е = 0.

(п сп гп

/1 " ' /п-1 /Е

В связи с возможностью попадания множества Г на границу области П появляется следующее ограничение на степени малого параметра.

Условие 3.6 Рп-\ > 1, если Г П дО, ф 0.

Задача (18) изучается при условии квазимонотонности вектор-функции /, что обеспечивается следующим требованием.

Условие 3.7 Пусть производные компонент вектор-функции / удовлетворяют неравенствам

/•(и,х,е)< 0, эф г, ¿,¿ = 17п

для всех значений и, таких, что ||и — у?(а;)||п < <$0> где 5о — некоторое число, х 6 О, 0 < е < Со-

Теорема 3.2 Пусть задача (18) для Р > 3/4 удовлетворяет Условиям 3.1-3.7. Тогда при достаточно малых £ > 0 эта задача имеет решение и(х,£), такое, что для него справедливо асимптотическое представление:

и(х,е) = <р(х) + Ф(х,е),

где Ф(х,£) имеет порядок 0(е1/'2) в некоторой 6-окрестности Г, 0(ея) при 9 = тт(р„, 1) в некоторой 6-окрестности д£1, но вне ¿-окрестности Г, и, наконец, 0(е) в остальной части П.

Для доказательства теоремы применен асимптотический метод дифференциальных неравенств. При построении нижнего и верхнего решений комбинируются подходы, развитые в Главах 1 и 2.

Глава 3 заканчивается обсуждением результатов, где приведены примеры, иллюстрирующие теорию, рассмотрены возможные обобщения и даны пояснения относительно выбора параметра Р.

Рассмотренные в Главах 1-3 краевые задачи для эллиптических уравнений и систем важны тем, что они определяют стационарные решения соответствующих начально-краевых задач параболического типа, поэтому задачей на перспективу является исследование асимптотической устойчивости и области влияния этих стационарных решений.

В Приложении рассмотрен один из возможных примеров применения развитой теории к описанию явления скачка скорости бимолекулярной химической реакции. Как результат, получено описание контрастных (дисси-пативных) структур, возникающих в реакторе.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации:

• доказаны теоремы о предельном переходе для сингулярно возмущенных систем ОДУ, уравнения эллиптического типа и систем уравнений эллиптического типа с разными степенями малого параметра при производных в случае, когда вырожденная задача имеет неизолированный корень

• получены асимптотические оценки решений рассмотренных задач

• показано, что множество, в окрестности которого корень вырожденной задачи является не изолированным, может иметь произвольную размерность (точки, кривые, поверхности, тела)

• выяснена роль достаточных условий, гарантирующих существование решения: с использованием требований, в некотором смысле обратных этим достаточным условиям, для эллиптического уравнения доказаны утверждения об отсутствии решения, всюду близкого к неизолированному корню, и о полном отсутствии решения

• развиты представления о природе явлений в задачах с пересечением корней вырожденного уравнения, на их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики решения для некоторых классов сингулярно возмущенных эллиптических задач

• на основе построенной теории дано описание явления скачка скорости химической реакции бимолекулярного типа

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущённых уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2002. Т. 42. №11. С. 1686-1699.

2. Терентьев М.А. Сингулярно возмущённая система параболических уравнений с разными степенями малого параметра при операторах в случае пересечения корней вырожденной задачи (В кн. "Тр. XI матем. чтений МГСУ") М: Изд-во МГСУ, 2003. С. 47-50.

3. Терентьев М.А. Сингулярно возмущённая система уравнений в случае пересечения корней вырожденной задачи // Десятая Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003". Секция "Физика". Сборник тезисов. М: Физич. ф-т МГУ, 2003. С. 50-52.

4. Терентьев М.А. О сингулярно возмущённом уравнении эллиптического типа в случае неизолированного корня вырожденного уравнения при отсутствии зависимости правой части от малого параметра // II международная конференция "Матем. идеи П.Л. Чебышева и их прилож. к совр. пробл. естествознания". Тезисы докладов. Обнинск: ОГТУАЭ, 2004. С. 76-77.

5. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О сингулярно возмущенной эллиптической краевой задаче в случае неизолированного корня вырожденного уравнения // Матем. заметки, 2005. Т. 78. Вып. 1. С. 26-36.

6. Терентьев М.А. Об одной сингулярно возмущенной задаче в случае неизолированного корня вырожденного уравнения // Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ (31 января - 3 февраля 2008 года). Ч. 2 - М.: РГСУ, 2008. С. 124-126.

7. Терентьев М.А. О достаточных условиях отсутствия решения в сингулярно возмущенных задачах со сменой устойчивости // Математические методы и приложения: Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ (31 января - 4 февраля 2009 года). Ч. 1 - М.: РГСУ, 2009. С. 270-275.

Подписано к печати 45.02АО Тираж 106 Заказ 18

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

Краткое содержание работы.

Соглашения

1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае пересечения корней вырожденной задачи

1.1 Постановка задач

1.1.1 Постановка задач и требования.

1.1.2 Составное устойчивое решение.

1.1.3 Метод дифференциальных неравенств.

1.2 Существование и асимптотика решения начальной задачи.

1.2.1 Начальная задача на отрезке [0, хо — 5].

1.2.2 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [ж0 —

Хо + 5].

1.2.3 Начальная задача на отрезке [хо + 5/2,1] и формулировка теоремы.

1.3 Существование и асимптотика решения краевой задачи.

1.3.1 Дополнительные требования.

1.3.2 Построение нижнего решения.

1.3.3 Построение верхнего решения.

1.3.4 Завершение исследования и формулировка результата

1.4 Обсуждение результатов.

2 Эллиптическая краевая задача в случае неизолированного корня вырожденного уравнения

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Постановка задачи и требования.

2.1.2 Метод дифференциальных неравенств.

2.2 Существование и асимптотика решения.

2.2.1 Функция z(ж, 7)

2.2.2 Срезающие функции

2.2.3 Процедура сглаживания.

2.2.4 Верхнее решение.

2.2.5 Нижнее решение.

2.2.6 Формулировка теоремы.

2.3 Случай отсутствия решения.

2.4 Обсуждение результатов.

3 Системы эллиптических уравнений в случае неизолированного корня вырожденной задачи

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Постановка задачи и требования.

3.1.2 Метод дифференциальных неравенств.

3.2 Существование и асимптотика решения.

3.2.1 Некоторые построения и леммы.

3.2.2 Верхнее решение.

3.2.3 Нижнее решение.

3.2.4 Формулировка теоремы.

3.3 Обсуждение результатов.

Математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, социологии, технике часто служат дифференциальные уравнения, содержащие различные параметры. Входящие в уравнение параметры служат количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса; если некоторый фактор незначителен, то соответствующий параметр будет малым. В таких случаях естественно положить малый параметр равным нулю и получить более простую задачу, которая называется невозмущенной или вырожденной по отношению к исходной, возмущенной, задаче. При этом можно надеяться, что решение исходной задачи при достаточно малых значениях параметра будет мало отличаться от решения невозмущенной задачи. Если это действительно оказывается так, то соответствующая задача называется регулярно возмущенной.

Вместе с тем имеется немало важных задач, в которых близость малого параметра к нулю, вообще говоря, не обеспечивает равномерную близость решения исходной задачи к решению вырожденного уравнения. Такие задачи принято называть сингулярно возмущенными. К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. При переходе к вырожденной задаче порядок такого уравнения понижается; поэтому решение вырожденного уравнения, вообще говоря, не может удовлетворить всем дополнительным условиям, заданным для исходного уравнения, и от некоторых из дополнительных условий приходится отказаться. В результате в окрестности той части границы рассматриваемой области, где дополнительные условия оказались отброшенными, решение вырожденной задачи заведомо не будет приближать решение исходной задачи.

Исследование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений сформировалось в большое направление на основе работ А.Н.Тихонова [51]-[53]. Эти работы посвящены системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых часть уравнений содержит малый параметр при старшей производной. Решение такой системы имеет "быстрые" и "медленные" компоненты (указанные системы называются теперь системами тихоновского типа).

А.Н. Тихонов рассматривал начальную задачу (следуя оригиналу, обозначаем малый параметр буквой /х) у(0^) = у°. (2)

Здесь /1 > 0, 2 и у — вектор-функции произвольных размерностей. Как видим, часть уравнений системы (1) (для функции г) содержит малый параметр ц при производных, а другая часть (для функции у) не содержит его. Также А.Н. Тихоновым была исследована более общая система, содержащая разные по величине параметры в разных уравнениях, но мы рассмотрим именно задачу (1)-(2), как ставший уже классическим пример сингулярно возмущенной задачи.

Будем считать, что функции у, £) и /(г, у, ¿) определены и непрерывны вместе с производными в некоторой замкнутой области.

Обозначим решение задачи (1)-(2) через ;г(£, //). Точное решение, как правило, найти не удается, и проблема состоит в нахождении приближенного решения, используя малость параметра ¡л. Если положить /л = 0, то из (1) получим систему уравнений

О = ^ = /(*,&*), (3) которая называется вырожденной ввиду того, что первое уравнение уже не является дифференциальным. В этой системе начальное условие для % не требуется, а для у остается тем же, что и в (2).

Для решения системы (3) нужно сначала решить уравнение Р{2, у, ¿) = 0 и выразить I через у и £. Заметим, что эта операция может оказаться неоднозначной, так как данное уравнение может иметь несколько корней относительно 2. Но допустим, что корень каким-то образом выбран: 2 = (р(у, ¿). Подставляя этот корень во второе уравнение (3), получаем уравнение для функции у\

Решив это дифференциальное уравнение с учетом начального условия, найдем ?/(£), а значит, и г{€) —

Естественно поставить вопрос: будет ли у{€) асимптотическим приближением для у(Ь, //) при [г —^ 0? Заметим, что в общем случае не удовлетворяет начальному условию (2), т.е. ¿(0) ф г°, поэтому по крайней мере в некоторой окрестности точки £ = 0 функция не будет близка к

А.Н.Тихонов установил условия, дающие в целом положительный ответ на поставленный выше вопрос. Сформулируем эти условия.

I. Пусть уравнение у, ¿) — 0 имеет изолированный корень относительно г: г = <р(у, а уравнение (4) с начальным условием у = у0 имеет единственное решение на отрезке 0 < £ < Т.

Изолированность корня означает, что в некоторой его окрестности нет других корней уравнения. Вне этой окрестности могут быть и другие корни. Ответ на вопрос, какой корень следует выбирать, связан с так называемой присоединенной системой: для которой г = <р(у, ¿) является точкой покоя, а у и £ — параметры.

II. Пусть точка покоя 5 = <р{у, присоединенной системы (5) является асимптотически устойчивой по Ляпунову при г оо равномерно относительно у, £. =/ЫуЛУЛ

4) = о,

5)

Это означает, что для любого е > 0 существует 5 > 0 (одно и то же для всех у,t), такое, что если р(0) — (p(y,t)\\ < S, то \\z(t) — <p(y,t)|| < в при т > 0 и z(t) —> (р(у, t) при т —> оо.

На практике удобно наряду с присоединенной системой (5) рассматривать ее линеаризацию в окрестности точки покоя. В этом случае применима теорема об асимптотической устойчивости по первому приближению, которая позволяет заменить условие II на несколько более жесткое условие отрицательности вещественных частей собственных значений матрицы линеаризованной системы.

В частности, в случае одномерной функции F точка покоя z = (р(у, t) присоединенного уравнения (5) будет асимптотически устойчивой, если для всех у, t в замкнутой области

8F

-g^(<P{y,t),y,t) < 0. (6)

Неравенство (6) для краткости иногда называется условием устойчивости корня вырожденного уравнения ip(y,t). Поскольку из неравенства (6) автоматически следует изолированность <p(y,t), то условия I и II часто объединяются в одно.

Корней уравнения F{z, у, t) = 0, удовлетворяющих условию II, может быть несколько. Для окончательного выбора корня необходимо рассмотреть присоединенную систему (5) при начальных значениях функции z и параметров у, t: = F(z,y°,0), ¿(0) = z°. (7)

Вектор z°, вообще говоря, не является близким к точке покоя z = <р(г/°,0) системы (5). Поэтому требуется дополнительное условие, обеспечивающее стремление решения z(r) задачи (7) к точке покоя 0) при г оо.

III. Пусть решение z(r) задачи (7) существует при г > 0 и стремится к точке покоя <р(у°, 0) при т оо.

В таком случае говорят, что z° принадлежит области влияния точки покоя <£>(у°,0). Нахождение области влияния в общем случае представляет собой отдельную не до конца решенную проблему.

Справедлива следующая теорема, доказанная А.Н. Тихоновым и получившая в честь него свое имя.

Теорема Тихонова Если выполнены условия I—III, то при достаточно малых ß задача (1)-(2) имеет единственное решение z(t,ß), y(t,ß) и справедливы предельные равенства lim y(t, р) = y{t) при 0 <t <T, lim z(t, ß) = z(t) при 0 < t < Т.

Эти равенства показывают, что в пределе при ц —> О решение задачи (1)-(2) переходит в решение вырожденной системы (3), поэтому теорему Тихонова, как и другие теоремы данного типа, называют теоремой о предельном переходе. Для у этот предельный переход оказывается равномерным на всем отрезке 0 < t < Т, тогда как для z предельный переход будет равномерным только вне малой окрестности начальной точки. Эту окрестность называют пограничным слоем или просто погранслоем.

Внутри погранслоя компонента z претерпевает быстрое изменение от начального значения z° до решения вырожденной задачи z(t) (как говорят; притягивается к решению вырожденной задачи). По этой причине 2 часто называют быстрой, а у — медленной компонентами задачи (1)-(2). Иногда такая же терминология применяется к самим уравнениям для z и у.

Исследования А. Н. Тихонова получили дальнейшее развитие в работах

A.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников (см. [14]-[16] и др. работы). В этих работах для широких классов сингулярно возмущенных задач с обыкновенными и частными производными разработаны погранслойные методы, позволяющие строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра.

Альтернативные подходы к исследованию различных классов сингулярно возмущенных задач развиты в известных работах A.M. Ильина, С.М. Ломова,

B.П. Маслова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, JI.C. Понтрягина, Е.Ф.

Мищенко, Н.Х. Розова, В.А. Треногина, (см. [2], [23]-[33], [35]-[37], [43], [45], [55]) и ряде других (перечислить их не представляется возможным).

Одним из важных условий теоремы Тихонова является требование существования изолированного корня вырожденного уравнения. Более сложная ситуация возникает тогда, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни. В теории сингулярных возмущений задачи с пересечением корней вырожденного уравнения называют сингулярно возмущенными задачами в случае смены устойчивости, так как в точках пересечения корней вырожденного уравнения происходит изменение типа точек покоя соответствующей присоединенной системы (при прохождении через точку или линию пересечения устойчивый корень вырожденного уравнения становится неустойчивым и наоборот). Для уравнений в частных производных геометрия пересечения корней может быть достаточно произвольной, поэтому в общем случае естественно называть такие задачи сингулярно возмущенными задачами в случае неизолированного корня вырожденного уравнения, подразумевая существование корня, устойчивого всюду, кроме некоторого множества, в окрестности которого нарушается изолированность.

Классическая тихоновская теория не позволяет дать ответ на вопрос о поведении решений сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корней вырожденного уравнения. Предметом исследования данной работы является асимптотическое поведение решения при стремлении малого параметра к нулю сингулярно возмущенных задач как раз в случае пересечения корней и в более общем случае неизолированных корней вырожденного уравнения или системы.

Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости возникают в качестве математических моделей в ряде прикладных задач. В частности, в задачах химической кинетики они описывают быстрые бимолекулярные реакции. Как выяснилось, пересечение корней вырожденного уравнения позволяет объяснить явление скачка скоростей реакций, наблюдаемое на опыте.

Некоторые классы начальных задач в случае смены устойчивости изучались в [73]. Отметим, что использовавшийся в [73] метод специфичен именно для начальных задач и не пригоден для краевых задач. Исследование краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае смены устойчивости началось лишь недавно и ведется последние 10 лет, начиная с работы [11].

Основной проблемой при исследовании задач в случае смены устойчивости является невыполнение классического достаточного условия устойчивости II теоремы Тихонова в окрестности точки пересечения корней (в качестве корня вырожденного уравнения выбирается решение, составленное из устойчивых ветвей пересекающихся корней). На практике это выражается в том, что в указанной окрестности неравенство (6) становится нестрогим. Появляются дополнительные требования, компенсирующие потерю устойчивости корня в точке пересечения.

Асимптотика решения возмущенной задачи в случае смены устойчивости отличается от классической. Говоря вкратце, основная особенность асимптотики заключается в понижении порядка близости решения возмущенной задачи к устойчивому корню вырожденного уравнения в окрестности точки пересечения. Главная трудность заключается в отыскании регулярной части асимптотики, так как при ее построении классическим способом коэффициенты асимптотического ряда оказываются неограничены в окрестности точки пересечения.

Также представляет большой интерес открытое для начальных задач явление задержки смены устойчивости [75]. Это явление заключается в том, что решение возмущенной задачи остается близким некоторое конечное время к одному из корней вырожденного уравнения после прохождения точки пересечения, несмотря на то, что корень становится формально неустойчивым. По истечении некоторого времени происходит скачкообразный переход к другому, устойчивому, корню. Данную ситуацию естественно интерпретировать как задержку смены устойчивости корней относительно их пересечения.

Изучению задач в случае смены устойчивости посвящены также работы [5]

7], [19]-[21], [60]-[69], [71], [75]-[78]. Для широких классов дифференциальных уравнений и систем тихоновского типа как с обыкновенными, так и с частными производными (задачи Неймана эллиптического и параболического типов), доказаны теоремы о предельном переходе. Выяснилось, что для существования решения принципиальную роль играет характер зависимости правой части от малого параметра. В случае отсутствия зависимости правой части от малого параметра порядок асимптотики решения оказывается иным. Также рассмотрены вопросы устойчивости и области влияния стационарных решений параболических уравнений и систем [3, 4]. Во всех перечисленных выше работах в основу исследования поведения решения при стремлении малого параметра к нулю положен асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Следует заметить, что в теории дифференциальных уравнений метод дифференциальных неравенств известен давно. Впервые он был сформулирован для начальных задач С. А. Чаплыгиным [57]. Основная идея метода заключается в том, что для рассматриваемой задачи строятся две функции — так называемые нижнее и верхнее решения, которые удовлетворяют не самому уравнению, а соответствующим неравенствам на некотором промежутке. В случае, если начальное значение находится между нижним и верхним решениями, то решение исходного уравнения существует и оказывается заключено между нижним и верхним решениями на всем промежутке времени. В большинстве случаев эти функции легко строятся, позволяя составить представление о поведении решения задачи.

Впоследствии М. Нагумо перенес метод дифференциальных неравенств на краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений [74], а П. Файф, Д. X. Саттингер, Г. Аманн, и С. Пао распространили его на краевые и начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных [58, 59], [70], [79, 80]. Суть асимптотического метода дифференциальных неравенств состоит в том, что для построения нижнего и верхнего решений используется формальная асимптотика, которая модифицируется соответствующим образом [38]-[42].

Использование асимптотического метода дифференциальных неравенств при исследовании сингулярно возмущенных уравнений позволило значительно упростить обоснование асимптотических разложений, доказать ряд теорем существования решений для новых классов сингулярно возмущенных задач, обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность решений [9], [17, 18], [38]-[42]. В данной работе активно используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Показано, что он может с успехом применяться ко многим сингулярно возмущенным задачам в случае смены устойчивости.

Главной задачей настоящей диссертационной работы является доказательство теорем о предельном переходе и исследование асимптотики решений сингулярно возмущенных систем с разными степенями малого параметра при старших производных в случае неизолированных корней вырожденной системы. Рассмотрены задачи как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными эллиптического типа (задача Неймана). Задачи исследованы в предположении зависимости правой части от малого параметра.

Удалось обобщить результаты имеющихся работ на случаи векторных систем произвольной размерности и произвольной размерности независимой переменной. Показано, что характер нарушения изолированности корня вырожденной системы может быть достаточно произвольным и не влияет на асимптотику решения исходной задачи. Точнее, в качестве множества пересечения решений вырожденной системы может выступать любое допустимое задачей многообразие. Более того, это множество может выходить на границу области рассмотрения.

Впервые для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения в случае неизолированного корня вырожденного уравнения с общих позиций исследован вопрос роли достаточных условий, гарантирующих существование решения. С использованием требований, в некотором смысле обратных этим достаточным условиям, доказаны утверждения об отсутствии решения.

Развиты эвристические представления о природе явлений в задачах со сменой устойчивости. На их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики решения для некоторых классов сингулярно возмущенных эллиптических уравнений.

В качестве иллюстрации применения доказанных теорем рассмотрены многочисленные примеры.

Представленные результаты опубликованы в работах [12, 13], [46]-[50]. Всего библиография содержит 80 источников.

Диссертация состоит из 3-х глав.

В Главе 1 рассмотрены начальная и краевая задачи для систем сингулярно возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих два быстрых скалярных уравнения с разными степенями малого параметра при производных.

Начальная задача имеет вид:

Здесь х Е [0,1], е > 0 — малый параметр, р — какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1 < р < 2.

Краевая задача имеет вид:

Здесь также х Е [0,1], е > 0 — малый параметр, р — какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < р < 1.

Краткое содержание работы е2 и' = д(и,у,х,е), ер ь' — /(и,ь,х,е), и(0,£) = гЛ ?;(0,£) = гА

8) е2 и" — д(и,у,х,е), е2р у" = /(и,у,х,е), и'( 0, е) = и'(1, е) = 0, г/(0, е) = «'(1, е) = 0.

9)

В отличие от классического тихоновского случая задачи (8) и (9) рассмотрены в предположении, что первое уравнение вырожденной системы д(и, V, ж, 0) = 0 (10) имеет изолированный корень и — <р(у,х), тогда как второе уравнение вырожденной системы р{у,х),ь,х, 0) = 0 (11) имеет два корня у = У\{х) и у = ^(ж), пересекающихся в некоторой точке е (ОД).

Похожий случай рассматривался ранее в [62]-[64] для систем быстрого и медленного уравнений как первого, так и второго порядка.

В Главе 1 доказано, что при определенных условиях решения и(х,е),у(х,£) задач (8) и (9) существуют при достаточно малых е и стремятся при е —> 0 к решению вырожденной системы й(х),у(х), где й(х) = <р(у(х),х), а

Уг(х) при 0 < х < х0, У2(х) при Х0 < X < 1 составной устойчивый корень уравнения (11). Для доказательства применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Для начальной задачи (8) метод дифференциальных неравенств используется только в некоторой окрестности точки пересечения решений вырожденной системы, а вне этой окрестности применена стандартная теория [14]. С использованием составного решения й(х), у(х) вырожденной задачи построены нижние и верхние решения для задач (8) и (9), удовлетворяющие необходимым неравенствам, что и обеспечило существование решения, а также позволило оценить остаточные члены асимптотики. При построении верхнего решения в краевой задаче (9) применена известная [11] процедура сглаживания, вообще говоря, негладкого составного решения.

Рассмотренные системы возникают в качестве математических моделей в ряде прикладных задач, в частности, как уже отмечалось, они описывают быстрые бимолекулярные реакции [62]. Поэтому результаты Главы 1 могут быть использованы для описания скачков скоростей химических реакций.

В Главе 2 рассмотрена задача Неймана для сингулярно возмущённого эллиптического уравнения: е2рАи = f(u,x,e), х е ди (12)

-—(х,£)~0, х £ dVL. опх

Здесь р > 3/4 — некоторое число, е > 0 — малый параметр, — ограниченная область в RN, N > 1. Под пх подразумевается внутренняя нормаль к дП в точке х.

Предполагается, что вырожденное уравнение f(u, х, 0) = 0 имеет непрерывный корень и = <р(х), который является изолированным и устойчивым всюду, кроме окрестности некоторого множества ГСП, где этот корень может быть не изолированным и, вообще говоря, не гладким. В отношении множества Г не делается никаких дополнительных предположений.

Задача (12) ранее была исследована в [66] при р — 1,N = 2 в более простом случае пересечения корней вырожденного уравнения по гладкой замкнутой кривой без самопересечений, находящейся внутри Г2.

В Главе 2 доказано, что при определенных условиях решение и(х,е) задачи (12) существует для достаточно малых г и в пределе при г —> 0 переходит в решение р(х) вырожденного уравнения. Для доказательства вновь применен асимптотический метод дифференциальных неравенств. Нижнее и верхнее решения построены на основе сглаженного корня р(х) вырожденного уравнения и некоторых специальным образом введенных срезающих и погранслойных функций. Использованные при этом интегральные конструкции оказались удобными в многомерном случае. Показано, что необходимые неравенства для нижнего и верхнего решений выполняются; тем самым установлено существование решения задачи (12) и получены оценки асимптотики.

Также в Главе 2 исследована роль зависимости правой части / от е в связи с вопросом существования решения задачи (12). Для альтернативного случая доказаны утверждения об отсутствии решения. Доказательство основано на методе априорных оценок решения, впервые предложенном в [34] в качестве метода исследования отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных специального вида в неограниченных областях.

В конце Главы 2 приведены многочисленные примеры, иллюстрирующие теорию, а также развиты эвристические представления о природе явлений в задачах со сменой устойчивости.

В Главе 3 рассмотрена задача Неймана для системы уравнений эллиптического типа: е2РАu = f(u,x,e), х £ £1, du (13)

-—(х, г) — 0, х е дП. дпх

Здесь и = (и1,., ип), / = (Z1,., /"), е2Р = diag(£2pi,., е2рп) — диагональная матрица, причем р\ > рг > • • • > Рп > 3/4 — некоторые числа, п > 1, е > О — малый параметр, Q — ограниченная область в RN, N > 1. Под пх подразумевается внутренняя нормаль к дО, в точке х, действие оператора Лапласа и взятие производной по нормали производятся покомпонентно.

По аналогии с Главой 1 вырожденная система = 0 (14) решается методом последовательного исключения неизвестных в порядке, согласованном с порядком убывания степеней малого параметра. При этом появляются функции срг(иг+г,. ,ип,х), где г = 1, п — 1, и ип = ipn(x). Решение вырожденной системы (14) определяется рекуррентным образом: р*'п{х) = <р*{<р*+1'п{х),., <рп'п(х), х), i = п - 1, п - 2,., 1; ф) = {,р1'п(х)1.,<рп'п(х)).

Предполагается, что непрерывные функции (рг при г = 1, п — 1 являются изолированными и устойчивыми решениями системы (14) во всей области рассмотрения /, тогда как <рп(х) (тем самым и <р(х)) является изолированным и устойчивым всюду, кроме окрестности некоторого множества ГСП, где свойство изолированности может не иметь места. Как и в Главе 2, в отношении множества Г не делается никаких дополнительных предположений.

В Главе 3 доказано, что при определенных условиях решение и(х,е) задачи (13) существует для достаточно малых £ и в пределе при е —У 0 переходит в решение <£>(х) вырожденной системы. Для доказательства применен асимптотический метод дифференциальных неравенств. При построении нижнего и верхнего решений комбинируются подходы, развитые в Главах 1 и 2. Показано, что необходимые неравенства для нижнего и верхнего решений выполняются; тем самым установлено существование решения задачи (13) и получены оценки асимптотики.

Рассмотренные в Главах 2 и 3 краевые задачи для эллиптических уравнений и систем валены тем, что они определяют стационарные решения соответствующих начально-краевых задач параболического типа, поэтому задачей на перспективу является исследование асимптотической устойчивости и области влияния этих стационарных решений.

Результаты Глав 2 и 3 также могут быть использованы для описания скачков скоростей химических реакций бимолекулярного типа [66]. В Приложении рассмотрен один из возможных примеров такого описания.

Соглашения

Разделы глав используют двойную нумерацию с указанием номера главы и номера раздела в главе, а подразделы, называемые также параграфами, — тройную, где первые два числа указывают на раздел, а третье — на номер подраздела. Для определений, теорем, лемм, замечаний и формул используется двойная нумерация, где первое число указывает на главу, а второе — на порядковый номер данной структурной единицы в главе. Начало и окончание доказательств лемм отмечено знаками Д и А.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы.

Для сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных доказаны теоремы существования решения. Изучены как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных. В отличие от классического тихоновского случая рассмотрен случай пересечения корней вырожденного уравнения и более общий случай неизолированного корня. Исследован вопрос асимптотического поведения решения при стремлении малого параметра к нулю. Получена оценка точности построенной асимптотики. Теория продемонстрирована на многочисленных примерах.

Для доказательства теорем существования применен асимптотический метод дифференциальных неравенств, который предполагает построение нижнего и верхнего решений рассматриваемых задач. Введено понятие устойчивого решения вырожденного уравнения (системы). Произведена процедура сглаживания неизолированного и, вообще говоря, негладкого решения вырожденного уравнения. С помощью сглаженного решения вырожденной задачи и срезающих функций построены нижнее и верхнее решения рассматриваемых уравнений и систем. Сформулированы условия, при которых существует решение рассматриваемых задач и имеет место предельный переход к устойчивому решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Тем самым показано, что асимптотический метод дифференциальных неравенств успешно применим к новым классам сингулярно возмущенных задач в случае неизолированного корня вырожденного уравнения.

Отметим методические нововведения, использованные при построении нижнего и верхнего решений в задачах с частными производными.

Впервые в теории сингулярных возмущений применена процедура интегрального сглаживания негладких членов асимптотики. Интегральное сглаживание оказалось удобным в многомерных задачах, когда картина нарушения гладкости может быть достаточно произвольной. С целью повышения точности асимптотики решения в нулевом приближении введены так называемые срезающие функции. Использованные при этом интегральные соотношения позволяют применять эти функции в любых многомерных задачах, подчас упрощая рассмотрение. С помощью интегрального соотношения построена функция, необходимая для учета погранслойных эффектов в краевой задаче Неймана. Данная функция не требует введения локальных координат в окрестности границы области, что оказалось удобным в многомерном случае.

Для скалярного уравнения эллиптического типа показана роль достаточных условий, гарантирующих существование решения. С использованием требований, в некотором смысле обратных этим достаточным условиям, доказаны-утверждения об отсутствии решения, всюду близкого к неизолированному корню, и о полном отсутствии решения при достаточно малых значениях параметра. Теория продемонстрирована на примерах.

С использованием принципа максимума показано, при каких условиях доказанное ранее утверждение об асимптотическом представлении решения перестает быть верным. Теорема об отсутствии решения доказана с использованием метода априорных оценок решения.

Метод априорных оценок, применяющийся для доказательства отсутствия решений уравнений и систем специального вида в неограниченных областях, впервые применен для сингулярно возмущенного уравнения общего вида в асимптотически малой окрестности точки (локально). На примере показано, как, используя априорную оценку, получить информацию о критическом значении малого параметра, т.е. таком, что при меньших значениях параметра решение не существует.

Развиты эвристические представления о природе явлений в задачах со сменой устойчивости. На их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики решения для некоторых классов сингулярно возмущенных эллиптических задач указанного типа.

В заключение я хочу поблагодарить моего научного руководителя Валентина Федоровича Бутузова за неоценимую помощь в работе, а также коллег и участников научного семинара по сингулярно возмущенным задачам кафедры математики физического факультета МГУ за многочисленные обсуждения.

1. Бесов O.B, Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. Физматлит, 1996.

2. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.

3. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, Т. 46, №3, С. 433-444.

4. Бутузов В.Ф. Существование и асимптотическая устойчивость стационарного решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Диф. уравнения, 2006, Т. 42, №2, С. 198-208.

5. Бутузов В.Ф., Громова Е.А. О краевой задаче для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, №8, С.1165-1179.

6. Бутузов В.Ф., Громова Е.А. Теорема о предельном переходе для системы уравнений тихоновского типа в случае пересечения корней вырожденного уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. №5. С. 703-713.

7. Бутузов В.Ф., Калачев JI.B. Асимптотика решения краевой задачи для сингулярно возмущенной системы нелинейных уравнений параболического типа с разными степенями малого параметра. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 22.08.1984, № 5960-84-Деп.

8. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями// Диф. уравнения, 2000, Т. 36, №2, С. 198-208.

9. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями // Докл. АН СССР. 1982. Т.263. N4. С. 786-789.

10. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения второго порядка в случае смены устойчивости // Матем. заметки. 1998. Т. 63. Вып. 3. С. 354-362.

11. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущённых уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2002. Т. 42. №11. С. 1686-1699.

12. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О сингулярно возмущенной эллиптической краевой задаче в случае неизолированного корня вырожденного уравнения // Матем. заметки, 2005. Т. 78. Вып. 1. С. 26-36.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

15. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд. Моск. Ун-та, 1978.

16. Васильева А.Б., Омельченко O.E. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, 2. С. 198-208.

17. Васильева А.Б., Омельченко O.E. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения в кольце // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т. 40, 1. С. 122-135.

18. Громова Е.А. Сингулярно возмущенная параболическая задача в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Математические методы и приложения (Труды девятых математических чтений МГСУ 26-31 января 2001 года). М. 2002. С. 57-60.

19. Громова Е.А. Сингулярно возмущенная система параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Математические методы и приложения (Труды десятых математических чтений МГСУ 26-30 января 2002 года). М. 2003. С. 52-56.

20. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В. Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1973.

21. Ильин A.M. Об асимптотике решения одной задачи с малым параметром. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1989. - Т. 53, N2. - С. 258-275.

22. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Матем. заметки. — 1969. — Т. б, Вып. 2. — С. 237—248.

23. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

24. Ильин A.M., Горьков Ю.П., Леликова Е.Ф. О методе сращивания асимптотических разложений // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, 5. С. 1033-1036.

25. Ильин A.M., Калашников А.С, Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук. — 1962. — Т.17, N3. С. 3-146.

26. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

27. Ломов С.А. Построение асимптотических разложений некоторых задач с параметрами. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 32, N4. — С. 884-913.

28. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

29. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 С.

30. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

31. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. М.: Наука — МАИК Наука-интерпериодика, 2001. (Тр. МИАН; Т. 234)

32. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

33. Мищенко Е.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений. М.: Наука — МАИК Наука-интерпериодика, 1998. (Тр. МИАН; Т. 222)

34. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

35. Нефедов H.H., Никитин А.Г. Асимптотический метод дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений// Диф. уравнения, 2000, Т. 36, 10, С. 1398-1404.

36. Нефедов H.H., Никитин А.Г. Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для решений типа ступеньки в сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнениях// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, Т. 41, 7, С. 1057-1066.

37. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

38. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Диф. уравнения, 1995, Т. 31, 4, С. 719-722.

39. Нефедов H.H., Омельченко O.E. Погранслойные решения в квазилинейных интегро-дифференциальных уравнениях второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2002. Т. 42, N4, С. 491-503.

40. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 21, N5. — С. 605—626.

41. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотическое решение краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. // Успехи матем. наук.1987. — Т. 42, N5. — С. 166.

42. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Решения с внутренним слоем сингулярно возмущенных разрывных уравнений. // Успехи матем. наук. — 1994. — Т.49, N4.- С. 141.

43. Терентьев М.А. Сингулярно возмущённая система параболических уравнений с разными степенями малого параметра при операторах в случае пересечения корней вырожденной задачи (В кн. "Тр. XI матем. чтений МГСУ") М: Изд-во МГСУ, 2003. С. 47-50.

44. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948. 22(64), № 2. С. 193-204.

45. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950. 27(69), № 1. С. 147-156.

46. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952. 31(73), № 3. С. 575-586.

47. Тихонов А.Н., Свешников А.Г., Васильева А.Б. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.

48. В. А. Треногин, Развитие и приложение асимптотического метода Люстер-ника-Вишика, УМН, 1970, 25:4(154), 123-156.

49. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.

50. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

51. Amann Н. Existence and multiplicity theorems for semilinear elliptic boundary value problems // Math. Z. 1976. V. 150. P. 281-295.

52. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations. In "Nonlinear Analysis: A Collection of Papers in Honor of Erich Rothe", Academic Press, 1978. P. 1-29.

53. Butuzov V.F., Gromova E.A. Singularly Perturbed Parabolic Problem in the Case of Intersecting Roots of the Degenerate Equation // Proceeding of Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S37-S44.

54. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. On a class of singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems // Weierstrafi-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 646, Berlin, 2001.

55. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities // J. Diff. Eq. 1999. V. 159. P. 427-446.

56. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities // Preprint of WIAS, Berlin, 1998, no. 408.

57. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary value problems in case of exchange of stabilities //J. Math. Anal. Appl. 229,v 543-562 (1999).

58. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed reaction-diffusion systems in cases of exchange of stabilities // Nat. Resour. Model. 13, 247-269 (2000).

59. Butuzov V.F., Nefedov "N.N., Schneider K.R. Singularly Perturbed Elliptic Problems in the Case of Exchange of Stabilities // J. Diff. Equations. 2001. Vol. 169. PP. 373-395.

60. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities // Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 21, Berlin, 2002.

61. Butuzov V.F., Nefedov N.N.,Schneider K.R. Singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems in case of exchange of stabilities // Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 572, Berlin, 2000.

62. Butuzov V.F., Smurov I. Initial boundary value problem for singularly perturbed parabolic equation in case of exchange of stability //J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 234. P. 183-192.

63. Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion Systems: Irregular Comparision Functions and Application to Question of Stability and Speed of Propagation of Disturbances //J. Diff. Equations. 1981. V. 40. P. 168-185.

64. Gromova E.A. About limited passage for singularly perturbed parabolic problem in case of exchange of stability. 5th International Congress on Mathematical Modelling, Dubna-2002, Books of Abstracts.

65. Jackson L.K. Subfunctions and Second-Order Ordinary Differential Inequalities // Advances Math. 1968. V. 2. P. 308-363.

66. Lebowitz N.R., Shaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous systems // Stud. Appl. Math. 1975. V. 54. N3. P. 229-259.

67. Nagumo M. Über die Differentialgleichung y" = f(x,y,y'). // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. Vol. 19, P. 861-866.

68. Nefedov N.N., Schneider K.R. Delayed exchange of stabilities in singularly perturbed systems // Preprint 270 of the Weierstrass Institute for Applied Mathematics and Stochastics, Berlin 1996.

69. Nefedov N.N., Schneider K.R. Immediate exchange of stabilities in singularly perturbed systems // Diff. Int. Equs. 12, 583-599 (1999).

70. Nefedov N.N., Schneider K.R., Schuppert A. Jumping behavior of the reaction rate of fast bimolecular reactions. // Z. Angew. Math. Mech. 76, S2, 69-72 (1996).

71. Nefedov N.N., Schneider K.R., Schuppert A.// Jumping behavior in singularly perturbed systems modelling bimolecular reactions, Weierstrass-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 137, 1994.

72. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York/London,1992.

73. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. 11. P. 979-1001.