Задачи с пограничными и внутренними слоями для сингулярно возмущенных уравнений в частных производных первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

003464570

На правах рукописи

Деркунова Елена Анатольевна

УДК 517.956.226

ЗАДАЧИ С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 [.:/.? г:э

МОСКВА- 2009

003464570

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете на кафедре функционального анализа, Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на кафедре математики физического факультета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Бутузов Валентин Федорович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Нестеров Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, с.н.с. Петров Александр Пхоун-Чжо.

Ведущая организация - Ярославский государственный университет

им. П.Г. Демидова.

Защита состоится 8 апреля 2009 года, в 15 ч 30 мин, на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ВМиК МГУ.

Автореферат разослан пь1п 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор

Е.В. Захаров

Актуальность темы. В последние десятилетия ведется активное исследова-ие сингулярно возмущенных задач асимптотическими методами. Это вызвано отребностями физики, химии, биологии и других наук, с одной стороны, и внут-енними потребностями развития нелинейной теории дифференциальных урав-ний с другой. После основополагающих работ академика А.Н. Тихонова [1-3] последовавших за ними работ А.Б. Васильевой [4] сингулярно возмущенные дачи интенсивно изучаются. В рамках этого научного направления в последив годы ставится и решается ряд задач, связанных с построением асимптотик шений методом пограничных функций, и, в частности, рассматриваются зада-I, где нарушаются условия теоремы А.Н. Тихонова об изолированности корня 1рожденного уравнения.

В качестве примера первого типа задач можно указать, например, систему ух уравнений из статьи [5], в одном из которых малый параметр е входит ожителем при производной по времени, а в другом по пространственной пе-менной. При некоторых условиях в указанной работе построена асимптотика оизвольного порядка, содержащая наряду с регулярной частью два типа по-аничных функций. Другим примером может служить задача из статьи [10], имптотика решения которой обладает рядом особенностей, в частности, глав-1й член регулярной части асимптотики описывается уравнением, отличным от фожденного.

Проблема, связанная с задачами второго типа, состоит в том, что не вы-лнено одно из требований теоремы А.Н. Тихонова. Поясним это на примере чальной задачи в скалярном случае:

е^ = Г(и,Ье), 0<г<Т, и(0) = и0. (1)

си.

сть корни вырожденного уравнения

= 0 (2)

изолированы, например, корней два (и — <¿>1(2) и и — <р2(£)), и графики их ресекаются во внутренней точке рассматриваемого отрезка [0, Г]. Кроме то, пусть по прохождении точки пересечения корней они меняются ролями в

отношении устойчивости (происходит смена знака производной ¥и, взятой н каждом из корней, или, как говорят, происходит смена устойчивости). Возник ет вопрос: как будет вести себя решение нашей задачи при е —► О? В работе [6 а затем в работе [7] для тихоновской системы доказана при определенных уел виях теорема о предельном переходе при е -» 0 от решения исходной задачи решению вырожденной задачи, которое строится с использованием устойчивог составного (вообще говоря, негладкого) корня вырожденного уравнения. Дл доказательства существования решения и предельного перехода в работе [7] бы применен метод дифференциальных неравенств. В последующие годы этот м тод использовался для целого ряда других сингулярно возмущеннных задач, том числе задач со сменой устойчивости.

В последнее время возник еще один подход к исследованию уравнений с м лым параметром при производной в случае пересечения корней вырожденног уравнения. Суть его состоит в том, что вместо негладкого составного корня б рется гладкий корень так называемого регуляризованного вырожденного ура нения, имеющего для задачи (0.1) вид

Р(и, г, 0) + еР£(и, 0) = 0. (0.

Если функция Р£ такова, что уравнение (0.3) имеет решение (гладкое, в отличи от составного устойчивого корня уравнения (0.2)), то его можно использовать качестве нулевого приближения решения задачи. Такой подход был предложе в статьях [8], [9].

Цель работы. Исследование асимптотического поведения решений ряда си гулярно возмущенных задач для уравнений в частных производных первого п рядка, в том числе задач с разномасштабными пограничными слоями и задач внутренними слоями, обусловленными пересечением корней вырожденного ура нения.

Методы исследования. В диссертации к рассматриваемым задачам примен ется метод пограничных функций теории сингулярных возмущений; использ^ ются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теори

интегральных уравнений; для доказательства теорем существования применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Научная новизна. В работе получены новые результаты об асимптотическом поведении решений ряда задач для сингулярно возмущенных уравнений и систем в частных производных первого порядка, в частности, некоторых задач в случае смены устойчивости. Среди них следует выделить начальную задачу из §3 гл. 2, где рассмотрен случай (не имеющий аналога для ОДУ), когда линия пересечения корней вырожденного уравнения выходит на начальный отрезок.

Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Они могут служить основой для построения асимптотик решений произвольного порядка в рассматриваемых задачах.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на пятнадцатых математических чтениях РГСУ (Руза, 2006г.), на международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Москва, 2006г.), на 60-й юбилейной конференции ЮУрГУ (Челябинск, 2008г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета (руководитель академик A.M. Ильин), на семинаре по асимптотическим методам кафедры математики физического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10]-[17], список которых приводится в конце автореферата. Постановки задач принадлежат научному руководителю В.Ф. Бутузову.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 117 страниц, включая библиографический список из 57 наименований.

Содержание работы. Диссертация посвящена изучению сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка, решения которых обладают пограничными и внутренними слоями.

Во введении содержатся постановки задач, обоснование их актуальности,

сделан краткий обзор результатов, полученных другими авторами в данной ласти. Излагаются основные результаты диссертации и дается их сравнение известными результатами.

В первой главе построена асимптотика решения системы двух уравнений частных производных первого порядка, содержащих различные степени мало параметра е > 0 при производных:

0ди , . .ди . . , . , . .

ег-~ + еЬ1{х)~ =ац(х,Ь)и + а12{х, ф +/Дж.^е),

дь , дь .

Система решается в области С = (0 < х < А') х (0 < £ < Г) с начальн краевыми условиями

= и = V = V

(=0 х=0 «=0

Особенностями асимптотики решения этой задачи являются четыре типа обы новенных и три типа угловых пограничных функций с разными масштабами ра тянутых переменных. Установлено, что стандартный процесс построения асим тотики прерывается на пятом шаге. Для получения оценки остаточного чле порядка 0(е5) вводится модифицированная угловая пограничная функция, целом задача решается путем применения известных погранслойных методов, при доказательстве оценки остаточного члена используется принцип максимум Первый параграф начинается с постановки задачи и формулировки уел вий, достаточных для существования классического решения и построения аси тотики до четвертого порядка включительно.

Во втором параграфе приводится вид асимптотики решения задачи, вкл чающей регулярную и погранслойные части, и строятся ее главные члены.

В третьем параграфе построение асимптотики завершается. Здесь нар ду с постановками задач для пограничных функций и получением решений эти задач мы приводим доказательство некоторых соотношений (Лемма 1.1), св зывающих пограничные функции, с тем, чтобы использовать их при провер

условий согласования краевых данных. Для утверждения об экспоненциальных оценках угловых пограничных функций также потребовалось особое доказательство (Лемма 1.2).

В четвертом параграфе доказана теорема об остаточном члене, дающая обоснование построенного разложения.

Вторая глава посвящена рассмотрению трех задач Коши в случае смены устойчивости.

В первом параграфе дается определение нижнего и верхнего решений скалярной начальной задачи, формулируется и доказывается теорема о дифференциальных неравенствах для уравнений в частных производных первого порядка. Пусть рассматривается уравнение

(Ои ди\

^ + Л(ж, =/к (0-4)

с начальным условием

и(ж,0,е) = и°(х), 0 < х < 1, (0.5)

е > 0, г > 0. Решение ищется в области

Б = {(ж, Ь) : х0{г) <х<Х1 (*), 0 < £ < Т}, (0-6)

где х — и х = 21 (¿) - характеристики, выходящие соответственно из точек

(1х

(0,0) и (1,0) и определяемые уравнением — — Л(ж^). (считаем, что Л(а:,£) -гладкая функция и все характеристики, выходящие из точек начального отрезка

= 0, 0 < х < 1} существуют при 0 < Ь < Т). Определение 2.1. Функции У_(х,1,е) и II(х^,е) называются нижним и верхним решениями задачи (0.4), (0.5), если выполнены неравенства

1°. Ьеи = Щ + А(х,г) - №, Х,1,е)<0< 1,(0), (х, Ь) € Я; 2°. Ц(х, 0, е) < и°(а;) < Щх, 0, е), 0 < х < 1. Нижнее и верхнее решения называются упорядоченными, если

Ц{х,г,е) <й{х,г,е), {х,г)еО. 7

Доказывается следующее утверждение:

Теорема 2.1. Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения Ц_ и и задачи (4), (5), то эта задача имеет решение и{х,1,е), удовлетворяющее неравенствам

и(х,1,е) < и(х,Ь,е) < 11(х,1,е), (х^) е £>.

Во втором параграфе изучается задача

(О ди\

+ (7)

п(х,0,е) = и0(1), 0 < ж < 1. (8)

Решение задачи (7), (8) ищется в области вида (6). Основное условие, накладываемое на входные данные задачи, таково:

Условие В'2- Пусть уравнение

/(и,М,0) = 0 (9)

имеет относительно и два корня и = <-Р\{х, Ь),и — <р2{х,1), удовлетворяющих соотношениям

(¿ц(:М) = <РгОМ) при Ь = ф{х), где ф{х) - гладкая функция, 0 < ф{х) < Т;

4>1(х,{) > угОМ) при 0 <Ь<ф{х)\ (р\{х^) < при ф(х) < £ < Т.

И пусть

¡и((р1(х^),х^, 0)<0 /и((р2(х^),х,(,0) > 0 при 0 < £ < ф(х), /иЫхЛх,^о)>о ЛЫМ).М.0)<0 при ф{х)<ь<т.

С использованием корней <р\ и определяется составной устойчивый корень вырожденного уравнения (9):

й(х 0 = 1

\ Ф{х) <Т;

Вблизи начального отрезка асимптотика решения ищется в виде:

и(х, t, е) - й(х, t) + П0(х, т) + 0{е), (10)

где u(x,t) - функция регулярной части асимптотики, П0(х,т) - пограничная t

функция, г = — погранслойная переменная. При Условии В2, а также при некоторых дополнительных условиях, в малой окрестности кривой t — Ф{х) строятся нижнее и верхнее решения:

U = û{x,t)-Ae, ÏÏ-û(x,t) + Ау/Ё, (11)

постоянная А выбирается достаточно большой.

В результате доказана следующая Теорема 2.2. При достаточно малых е существует единственное решение u(x,t,e) задачи (7), (8), удовлетворяющее предельному равенству

lim и(х, t, е) — й(х, t)

для всех (x,t) G D, кроме начального отрезка {t = 0,0 < х < 1}.

Это утверждение основывается на теореме, которую можно доказать, исходя и представлений (10) и (11):

еорема 2.3. При достаточно малых е задача (7), (8) имеет единстве.ннное ешение u(x,t,e), и для него справедливо асимптотическое представление

u(x,t,e) = û(x,t) + n0(o;,i/e) + w(x,t,e),

de По(а;,т) - пограничная функция, w(x,t,e) = 0(у/е) в малой Ô-окрестности ривой t = ф(х), w(x,t,e) = 0(е) в остальной части области D. В третьем параграфе рассматривается уравнение

+ (12)

начальным условием (8), где р — 1 + q, q > 0. Решение ищется в области D да (6) при следующих требованиях

Условие Функция f{u,x,t,e) имеет вид

f{u,x,t, е) = -k{x,t) (и - <pi(x,f)) (u - if2{x,t)) + efi{u,x,t,e),

Условие £>2- Корни <pi и <рг уравнения (9) удовлетворяют соотношениям

<Pi(x,t) = <pi{x,t) при х—х¡}{t), 0 < i < Г,

где - гладкая функция, xo{t) < ip(t) < xi(t) ири 0 < £ < T;

ipi(x,t) > (p2(x,t) при xo(t) < х < О <t<T;

(pi(x,t) < ip2(x,t) при ip{t)<x<xi{t), 0 <t<T.

Это условие означает, что графики корней вырожденного уравнения (9) пересекаются, но, в отличие от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, где проекция линии пересечения корней на плоскость fx, t) лежала целиком выше начального отрезка, в данном случае проекция Г линии пересечения корней выходит на начальный отрезок. Это приводит к тому, что классическая теория здесь не применима даже в малой окрестности начального отрезка. Вместо уравнения (9) рассматриваем регуляризованное вырожденное уравнение

f(u,x,t, 0) + efe(u,x,t, 0) = 0,

которое в данном случае имеет вид

—к(х, t) (и - ifi(x,t)) (и - (p2(x,t)) + ef\(u,x,t,0) = 0, (13)

Условие Di.

fi(û(x,t),x,t,Q) > 0 при {х, t) 6 Г,

где

й{х t) = i Mх>t)> хoW ^ * ^ Ш 0 < i < Т;

При этом условии уравнение (13) имеет два гладких корня ip и tp*, причем

<р(х, t, е) = й(х, t) + \/д{й{х, t), х, t) ■ \fe + 0(e), (i,t) G Г,

<p*(x, t, е) = й(х, t) - у^Н^лУлЛ • х/ё + 0(e), (х, f) G Г, где з(и, ж, £) = k~l{x, t)fi(u, х, £, 0);

<p(x,t,e) = й(х,г) + 0(Ve),ip*(x,t,e) = u(z,i) + 0(\/е), (М) e Гл,

4>(x,t,e) = u(x,t) + 0(e),<p*(x,t,e) - u(x,t) + 0(e), (x,t) G D\TS, где Fj - сколь угодно малая, но не зависящая от е, ¿-окрестность кривой Г,

Условие 1)4. и°(х) > й(я,0) при 0 < х < 1. Доказана

Теорема 2.4. Если выполнены условия В\ - Пц, то для достаточно малых е существует единственное решение е) задачи (12), (8) и для него имеет место асимптотическое представление

в котором остаточный член w{x, t, е) имеет следующие асимптотические оценки при е -4- 0:

1) если р = 1 + g < то

w(x,t,e) = 0(е7) в S-окрестности кривой х = ip{t), где в качестве 7

можно взять любое число из интервала ~ < ^ < -r + Ч, а 6 > 0 - сколь угодно

£ £

малое, но фиксированное при s —ï 0 число;

3

2) если р> -, то

w(x,t,e) = 0(е) равномерно в области D. Фигурирующая в (14) пограничная функция По(ж,г, е) имеет оценки:

<P2{x,t), x0{t) < х < 7p(t), 0 <t<T; Pi{x, t), 4>(t) <x< xi(t), 0 <t<T.

(14)

|По(а;, r, e)\ < Сexp(-тп^/ет), \x - xoi < 6, r > 0,

|По(х, r, er)| < Cexp(-œr), , |ar - xq\ > ô, т > 0, где xo ~ ф{0), С, m, ге - положительные числа.

В четвертом параграфе снова рассматривается случай, когда проекция линии пересечения корней уравнения (9) (корни обозначим <p{x,t) и x(xit)) лежит выше начального отрезка, но поведение решения отличается от описанного в § 2. Установлены условия, при которых решение задачи (7), (8) притягивается к устойчивому корню <p(x,t) и остается вблизи него не только в области ниже кривой Г, но и после прохождения этой кривой, где корень ip(x,t} становится неустойчивым, и лишь спустя некоторый (конечный при е —> 0) промежуток времени (t — ф{х) > 6 > 0) происходит быстрый переход решения в окрестность корня устойчивого при t > ф(х). Доказана теорема о существовании и

асимптотике этого решения.

В третьей главе мы переходим к исследованию сингулярно возмущенных систем уравнений в случае смены устойчивости.

В первом параграфе дается теорема о нижнем и верхнем решениях применительно к системе двух уравнений в частных производных первого порядка.

Во втором параграфе рассматривается система быстрого и медленного уравнений:

дГ dvdxJ <15>

— + Л2(ж,г)~ = f {и,v,x,t,e), (x,t) e D, с начальными условиями

u(x,0,£) = u°{x), v(x, 0, s) = v°(x) при 0 < X < 1. (16)

Пусть Ai > Лг- Область D имеет вид (6), где х = хо(t) и х = Xi(t) ~ характеристики, выходящие соответственно из точек (0,0) и (1,0) и определяемые

d>x

соответственно уравнениями — = Лi(x,t), г = 1,2. Корни вырожденного уравнения

g{u,v,x,t,0) = 0 (17)

u = ipi{v,x, t) и u — ip2{v,x,t) пересекаются по некоторой поверхности, проекция которой в пространство (v, х, i) описывается уравнением v = Six, t). Знак производной gu> взятой на каждом из корней, изменяется на противоположный

при переходе через поверхность ь — В связи с этим условием вводится

составной устойчивый корень уравнения (17)

[ <Р2(у,х,$, V >

Этот корень подставляем во второе уравнение системы (15) при £ = 0:

ду ди

+ Л2(х, I)— = /(<р(у, х, ¿), г/, 0) (18)

Уравнение (18) решается с начальным условием у |(=о = у°(х), которое подчиняем следующему требованию: у°(х) < 5(а;,0). Пусть решение у(х, £) этой задачи пересекает поверхность V = по кривой, проекция которой на плоскость

(х, ¿) представляет собой гладкую кривую t = ф(х), лежащую выше начального отрезка {¿ = 0, 0<х < 1}. Таким образом, мы получили решение вырожденной задачи: (й(х,Ь),у(х,1)), где й{х,1) — (р(й(х^),х^).

В результате доказывается следующая Теорема 3.2. При достаточно малых е задача (15), (16) имеет решение, и для него справедливо асимптотическое представление:

, Гй(М) + П0 (х,Ь/е) + 0(е), 0<1<ф{х)-^,

\L\CC Ъ ^) — <

[ й(М,е) + 0(^, ф(х) - V < г < Т.

( Цх,Ье) + 0{е), 0<Ь<ф{х)-1>, = <

{у(х,г,е) + 0{^ё)> ф(х) - и < г < Т,

где и > 0 - достаточно малое, не зависящее от £ число.

Третий параграф посвящен анализу поведения решения системы двух быстрых уравнений:

}ду ду\ (19)

с начальными условиями (16), где р - какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1 <р < 2. Область В определяется, как в § 2.

Предполагаем, что уравнение д(и,ь,х^, 0) = 0 имеет изолированный корень и = 1р(у,х, который устойчив {ди{<р{у, £,£),г>,:г,£,0) < 0). После подстановки его во второе вырожденное уравнение системы получаем уравнение

И(ь,х,1) = /(</?(г/,х,<),г;, 0) = 0.

Корни последнего V -- и^х^) = и2(х, £) удовлетворяют условию

г>1(х,г) > г>2(х,£) при

иДхД) < 1>2(я,£) при 'ф(х)<1<Т,

ьх(х^) = «2(1,при 1 = ф{х),

где £ = ^(х) - гладкая кривая, не пересекающая начальный отрезок {£ = 0, 0<х<1}.

Составное устойчивое решение вырожденной системы имеет вид:

I ^гОМ), ^(я) <t<T,

Доказана

Теорема 3.3. Цри достаточно малых е существует и единственно решение задачи (19), (16), и для него справедливо следующее асимптотическое представление:

и{х, £, е) = й(х, £) + Р0и{х, в) + П0и(х, т) + £ е{2~Р* в)+

1=51

+П^и(х, т) + е [й2(х,£) + Р2и{х, 0) + П2и(х, г)] + то^х, £, е), у{х, е) = £) + Р0г>(х, (9) + ]Г е'2'^ [р^Цх, б) + П|°г»(®, т)1 +

1=1 (2-р)<<1

+£ [и2(а;, £) + Р2г>(х, в) + П2и(х, г)] + и)2(х, 4, в). где в = —, т = пограничные функции имеют экспоненциальные оценки, а

г^(х,£, е)

о(е) при 0 < £ < — <5, О(^) при ^(аг) - <5 < £ < ^О) + й О(е) при ^(х) + 6 < £ < Т,

где i — 1,2, S > 0 - сколь угодно малое, не зависящее от £ число.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.Ф. Вутузову за постановку задач и помощь в работе. Список цитированной литературы

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра//Матем. сб. 1948. 22(64), N 2. С. 193-204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих па-раметрьг//Матем. сб. 1950. 27(69). N 1. С. 147-156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры//Матем. сб. 1952. 31(73). N 3. С. 575-586.

4. Васильева A.B. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной//УМН. 1963. 18. N 3. С. 15-86.

5. Бутузов В.Ф., Карашук А.Ф. Об одной сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого порядка//Матем. заметки. 1995. Т. 57. N 3. С. 338-349.

6. Lebovitz N.R., Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous system - II. Vertical bifurcation// Stud. Appl. Math. 56, 1-50(1977).

7. Nefedov N.N., Schneider K.R.(1995) Singularly perturbed systems: Case of exchange of stability//Weierstraß - Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 158.

8. Бутузов В.Ф. Существование и асимптотическая устойчивость решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения//Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. N 2. С. 221-232

9. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического урав-нения//Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2006. Т. 46. N 3. С. 433-444.

Публикации по теме диссертации

10. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне //Журнал вычислит. математики и мат. физики, 1996. 36. N 6. С. 68-85.

11. Деркунова Е.А. Об одной системе уравнений с частными производными в неограниченной области//Известия Челяб. науч. центра, 2004. 4(26). С. 10-14.

12. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. О сингулярно возмущенной системе в частных производных первого порядка с разными степенями малого парамет-ра//Дифф. уравнения. 2006. 42. N 6. С. 775-790.

13. Деркунова Е.А. Сингулярно возмущенная система уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости //Математические методы и приложения: Труды пятнадцатых математических чтений РГСУ, М: Изд-во РГСУ, 2006. С. 51-56.

14. Деркунова Е.А. Сингулярно возмущенные уравнения в частных производных первого порядка. Смена устойчивости// Асимптотические методы. Тез. докл. Междун. конфер. "Тихонов и современная математика", М: Изд. отдел фак. ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. 2006. С. 25-26.

15. Деркунова Е.А. Об одной сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости// Известия Челяб. науч. центра, 2007. 1(35). С. 12-17.

16. Деркунова Е.А. Сингулярно возмущенные задачи для уравнений в частных производных первого порядка// Наука ЮУрГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук, Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. 1. С. 107-110.

17. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. О сингулярно возмущенном уравнении в частных производных первого порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения//Дифф. уравнения. 2009. 45. N 2. С. 180-190.

Деркунова Елена Анатольевна

ЗАДАЧИ С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 18.02.2009. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 56/74.

Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

Введение

Глава 1 Сингулярно возмущенная система уравнений в частных производных первого порядка с разными степенями малого параметра

§ 1 Постановка задачи и особенности ее решения

§ 2 Главные члены асимптотики.

§ 3 Построение членов асимптотики до четвертого порядка включительно.

§ 4 Обоснование асимптотики.

Глава 2. Сингулярно возмущенные уравнения в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости

§ 1 Метод дифференциальных неравенств для уравнений в частных производных первого порядка.

2.1.1 Лемма о дифференциальных неравенствах

2.1.2 Теорема о нижнем и верхнем решениях

§ 2 Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных.

2.2.1 Постановка задачи и условия.

2.2.2 Асимптотическое поведение решения

2.2.3 Пример.

§ 3 Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных в случае, когда линия пересечения корней выходит на начальное множество.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Построение асимптотики решения.

2.3.3 Нижнее и верхнее решения.

2.3.4 Основной результат.

§ 4 Начальная задача для уравнения с малым параметром при производных в случае задержки смены устойчивости

2.4.1 Постановка задачи и условия.

2.4.2 Основной результат.

Глава 3. Сингулярно возмущенные системы уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости

§ 1 Метод дифференциальных неравенств для систем уравнений в частных производных первого порядка

3.1.1 Теорема о нижнем и верхнем решениях

§ 2 Система быстрого и медленного уравнений

3.2.1 Постановка задачи и условия.

3.2.2 Составное устойчивое решение вырожденной задачи

3.2.3 Асимптотическое поведение решения

§ 3 Система двух быстрых уранений.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Составное устойчивое решение вырожденной системы.

3.3.3 Существование и асимптотика решения

В последние десятилетия ведется активное исследование сингулярно возмущенных задач асимптотическими методами. Это вызвано потребностями физики, химии, биологии и других наук, с одной стороны, и с внутренними потребностями развития нелинейной теории дифференциальных уравнений с другой. После основополагающих работ академика А.Н. Тихонова ([41],[42],[43]) и последовавших за ними работ A.B. Васильевой ([14]) сингулярно возмущенные задачи интенсивно изучаются. В разное время асимптотическими и численными методами, позволяющими строить приближенное решение в тех или иных сингулярно возмущенных задачах занимались Бабич В.М., Булдырев B.C. [1], Бахвалов Н.С. [2], [3], Панасенко Г.П. [3], Боглаев Ю.П. [4], Боголюбов H.H. [5], [26], Митропольский Ю.А. [5], [31], Ван-Дайк М. [13], Васильева А.Б. [15]-[17], Бутузов В.Ф. [6]-[12], [15]-[17], Люстерник JI.A., Вишик М.И. [19], Волосов В.М., Моргунов Б.И. [20], Дулан О., Миллер Дж., Милдерс У. [22], Ильин A.M. [23], [24], Коул Дж. [25], Крылов Н.М. [26], Ломов С.А. [29] Мас-лов В.П. [30], Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. [32], Моисеев H.H. [33], Найфе А.Х. [35], Нефедов H.H. [9]-[11], [36], Федорюк М.В. [46], Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. [47], Lebovitz N.R., Schaar R.J. [27], [28], O'Malley R.E. [38], Scheider K.R. [9]-[ll], [36], Smith D.R. [40], Чанг К., Хауэс Ф. [48] и другие.

В рамках научного направления, основанного академиком А.Н. Тихоновым, в последние годы ставится и решается ряд задач, связанных с построением асимптотик решений методом пограничных функций, и в частности, рассматриваются задачи, где нарушаются условия теоремы А.Н. Тихонова об изолированности корня вырож-деного уравнения.

В качестве примера первого типа задач можно указать, например, систему двух уравнений из статьи [8], в одном из которых малый параметр г входит множителем при производной по времени, а в другом по пространственной переменной. При некоторых условиях в указаной работе была простроена асимптотика произвольного порядка, содержащая наряду с регулярной частью, два типа пограничных функций. Другим примером может служить задача из статьи [50], асимптотика решения которой обладает рядом особенностей, в частности, главный член регулярной части асимптотики описывается уравнением, отличным от вырожденного.

Проблема, связанная с задачами второго типа, состоит в том, что не выполнено одно из требований теоремы А.Н. Тихонова. Поясним это на примере начальной задачи в скалярном случае: du = F(u,t,e), 0 <t<T, u(0)=u°. (0.1) cll

Пусть корни вырожденного уравнения

F(u,t, 0) = 0 (0.2) неизолированы, например, корней два (u — (pi(t) и и = ^{р))-, и графики их пересекаются в во внутренней точке рассматриваемого отрезка [0, Т]. Кроме того, пусть по прохождении точки пересечения корней они меняются ролями в отношении устойчивости (происходит смена знака производной Fu, взятой на каждом из корней, или, как говорят, происходит смена устойчивости). Возникает вопрос: как будет вести себя решение нашей задачи при е —> 0? В работах [27], [28] а затем в работе [36] для тихоновской системы доказана при определенных условиях теорема о предельном переходе при е —> 0 от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи, которое строится с использованием устойчивого составного (вообще говоря, негладкого) корня вырожденного уравнения. Для доказательства существования решения и предельного перехода в работе [36] был применен метод дифференциальных неравенств. В последующие годы этот метод использовался для целого ряда других сингулярно возмущеннных задач, в том числе задач со сменой устойчивости.

В последнее время возник еще один подход к исследованию уравнений с малым параметром при производной в случае пересечения корней вырожденного уравнения. Суть его состоит в том, что вместо негладкого составного корня берется гладкий корень так называемого регуляризованного вырожденного уравнения, имеющего для задачи (0.1) вид

Г(и, 0) + 0) = 0 (0.3)

Если функция Р£ такова, что уравнение (0.3) имеет решение (гладкое, в отличие от составного устойчивого корня уравнения (0.2)), то его можно использовать в качестве нулевого приближения решения задачи. Такой подход был предложен в статьях [6], [7].

Целью работы является исследование асимптотического поведения решений ряда сингулярно возмущенных задач для уравнений в частных производных первого порядка, в том числе задач с разномасштабными пограничными слоями и задач с внутренними слоями, обусловленными пересечением корней вырожденного уравнения.

Уравнения, изучаемые нами, относятся к классу гиперболических. Примером гиперболических уравнений, встречающихся в физике, могут служить телеграфные уравнения

Ы „дУ „лг дУ Тд1 С— + С?У, -— = Ь- + Ш, (0.4) дх дЬ дх дЬ которые описывают распространение электрических импульсов в проводах [45], [16]. Здесь I и V - ток и напряжение между проводом и землей, С, Ь, 6?, Я - физические параметры: емкость, индуктивность, утечка и сопротивление. Заменой переменных I = у/С(и+у), V = \/Х(—и + у) система (0.4) сводится к линейной однородной системе [16] ди 1 ди СЬ + ЛС вЬ-КС

- - -- ==--П! | -01 дЬ у/ЬСдх 2 ЬС 2 ЬС ' ((лкЛ ду 1 ду вЬ-ЯС ОЬ + ДС

- ( ------П! - -Ц ы у/ЬСдх 2 ЬС 2 ЬС

Как показано в [16], система (0.5) будет содержать малый параметр е при производных функций и и у по £ и ж, когда е > 0 войдет определенным образом в вид коэффициентов правых частей, наприт д мер, так: К = - и й = £ £

В диссертации к рассматриваемым задачам применяется метод пограничных функций теории сингулярных возмущений; используются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теории интегральных уравнений; для доказательства теорем существования применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

В работе получены новые результаты об асимптотическом поведении решений ряда задач для сингулярно возмущенных уравнений и систем в частных производных первого порядка, в частности, некоторых задач в случае смены устойчивости. Среди них следует выделить начальную задачу из § 3 гл. 2, где рассмотрен случай (не имеющий аналога для ОДУ), когда линия пересечения корней вырожденного уравнения выходит на начальный отрезок.

Диссертация посвящена изучению сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка, решения которых обладают пограничными и внутренними слоями.

В первой главе построена асимптотика решения системы двух уравнений в частных производных первого порядка, содержащих различные степени малого параметра е > 0 при производных:

9ди . .ди ч гГ— + £Ь1(х)— == ац(®,*)и + а12(а?,*)г7 + /1(я;1^е), ду п7 . .ду . е— + £ = агцж, ¿)гг + а22(ж, + /2(ж, е).

Система решается в области С = (0 < ж < Х)х (0 < t < Т) с начально-краевыми условиями и

-= и = V = у г=о х~0 ¿=0 0. х=0

Особенностями асимптотики решения этой задачи являются четыре типа обыкновенных и три типа угловых пограничных функций с разными масштабами растянутых переменных. Установлено, что стандартный процесс построения асимптотики прерывается на пятом шаге. Для получения оценки остаточного члена порядка 0(е5) вводится модифицированная угловая пограничная функция. В целом задача решается путем применения известных погранслойных методов, а при доказательстве оценки остаточного члена используется принцип максимума.

Первый параграф начинается с постановки задачи и формулировки условий, достаточных для существования классического решения и построения асимптотики до четвертого порядка включительно.

Во втором параграфе приводится вид асимптотики решения задачи, включающей регулярную и погранслойные части, и строятся ее главные члены.

В третьем параграфе построение асимптотики завершается. Здесь наряду с постановками задач для пограничных функций и получением решений этих задач мы приводим доказательство некоторых соотношений (Лемма 1.1), связывающих пограничные функции, с тем, чтобы использовать их при проверке условий согласования краевых данных. Для утверждения об экспоненциальных оценках угловых пограничных функций также потребовалось особое доказательство (Лемма 1.2).

В четвертом параграфе доказана теорема об остаточном члене, дающая обоснование построенного разложения.

Вторая глава посвящена рассмотрению трех задач Коши в случае смены устойчивости.

В первом параграфе дается определение нижнего и верхнего решений скалярной начальной задачи, формулируется и доказывается теорема о дифференциальных неравенствах для уравнений в частных производных первого порядка. Пусть рассматривается уравнение =/(»,*, *,<0, (0.6) с начальным условием и(х, 0, е) = 0 < х < 1, (0.7) е > 0, г > 0. Решение ищется в области

В = {(ж,Ь) : х0(Ь) < ж < Ж1СО,0 (0-8) где х = жо(£) и х = - характеристики, выходящие соответствен

Их но из точек (0,0) и (1,0) и определяемые уравнением — = Л(ж,£).

И>Ь считаем, что Л (ж, £) - гладкая функция и все характеристики, выходящие из точек начального отрезка {£ = 0, 0 < х < 1} существуют при 0 <Т).

Определение 2.1. Функции Щж, е) и е) называются нижним и верхним решениями задачи (0.6), (0.7), если выполнены неравенства

1°. Ьеи = ег 0= + - /(£/>,*, е) < 0 < Ье(Ц), (я,*) е Я;

2°. Щж,0,е) < и°(ж) <Щх,0,е), 0 < х < 1. Нижнее и верхнее решения называются упорядоченными, если и(х, е) < и(х, е), (ж, €

Доказывается следующее утверждение:

Теорема 2.1. Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения Ц и и задачи (0.6), (0.7), то эта задача имеет решение и(х^,е), удовлетворяющее неравенствам е) < и(х^,е) < 6

Во втором параграфе изучается задача ди . . ч ди\ , ^йИ) =/(«>*>*,£), (0.9) и(х, 0, е) = 0 < ж < 1. (0.10)

Решение задачи (0.9), (0.10) ищется в области вида (0.8). Основное условие, накладываемое на входные данные задачи, таково:

Условие £?2- Пусть уравнение и,х,г, 0) = 0 (0.11) имеет относительно и два корня и = </?х(ж,£), и = </?2(ж,£), удовлетворяющих соотношениям

Р1(х,{) = <р2{х^) при Ь = 'ф{х)1 где ф{х) - гладкая функция, 0 < ф(х) < Т;

Р1 (&,;£) > 1р2(х^) при 0 < ^ С (рг(х, ¿) < <Р2(Х1 ПРИ ,ф{х)<1<Т.

И пусть и(<Р1(ж, ж, 0) < 0 /и{(р2{х, £), х, 0) > 0 при 0 < Ь < ф(х), /и((Р1(х,г),х,г,о)>о ¡и(ср2(х,г):х^,о) < о при ф(х)<г<т.

С использованием корней и определяется составной устойчивый корень вырожденного уравнения (0.11):

Вблизи начального отрезка разложение ищется в виде: и(х^е) = +П0(ж,т) + 0(е), (0.12) где й(х,€) - функция регулярной части асимптотики, По(ж,т) - пограничная функция, т = — погранслойная переменная. При Усло вии В2, а также при некоторых дополнительных условиях, в малой окрестности кривой t = ф(х) строятся нижнее и верхнее решения: и = й(х^)-Ле, V = й(х,£) + Ау/е, (0.13) постоянная А выбирается достаточно большой.

В результате доказана следующая Теорема 2.2. Существует единственное решение и(х^,е) задачи (0.9), (0.10), удовлетворяющее предельному равенству й(хЛ) е->о 4 ' 4 ' для всех (х,£) Е И, кроме начального отрезка {£ = 0, 0 < х < 1}.

Это утверждение основывается на теореме, которую можно доказать, исходя из представлений (0.12), (0.13): Теорема 2.3. При достаточно малых е задача (0.9), (0.10) имеет единственное решение и(х^,е), и для него справедливо асимптотическое представление и(х^,е) = й(ж,£) + По(ж^/е) + е), где остаточный член ги(х^,£) = 0(у/е) в 5 - окрестности кривой Ь = ф(х), и и)(х^,е) = 0(е) в остальной части области И. В третьем параграфе рассматривается уравнение с начальным условием (0.10), где р = 1 + д, (? > 0. Решение ищется в области В вида (0.8) при следующих требованиях

Условие £>1- Функция /(п, е) имеет вид и,х,г,е) = -к(х,£) (и - ^ОМ)) (и - (а:, ) + е/х(гг, ят, *, е),

Условие Б2- Корни ц>\ и <¿>2 уравнения (0.11) удовлетворяют соотношениям ^гОМ) при ж = ■*/>(£), 0 < ^ < Т, где ф{Ь) - гладкая функция, ж0(£) < Ф{Ь) < ®1(£) при 0 < £ < Т; У2ОМ) при Хо(Ь) <х <ф({), 0 < £ < Т;

ОМ) < у^ОМ) при < ® < 0 < £ < Т.

Это условие означает, что графики корней вырожденного уравнения (0.11) пересекаются, но, в отличие от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, где проекция линии пересечения корней на плоскость (ж, £) лежала целиком выше начального отрезка, в данном случае проекция Г линии пересечения корней выходит на начальный отрезок. Это приводит к тому, что классическая теория здесь не применима даже в малой окрестности начального отрезка. Вместо уравнения (0.11) рассматриваем регуляризованное вырожденное уравнение и, X, £, 0) + Ж, £, 0) = 0, которое в данном случае имеет вид

0М) (и — </?х(#,;£)) (и — ОМ)) + е/1(и>^М,0) = 0, (0.15) Условие £>з. х(й(ж, £), х, £, 0) > 0 при ОМ) е Г, где

I ЫМ), ®о(*) < ® < 0 <£<Т; и(х о) — \

1 «ргОМ), < х < х^), о <£<т.

При этом условии уравнение (0.15) имеет два гладких корня <р и ср*, причем р*(х, е) = й(х, £) - у/д(й(х^),х,г) • л/е + О(е), (ж, €) е г, где д(и,х,£) = /г"1 (ж, г)/г(и, х, 0); р(гМ,е) = + = г) + 0(у/ё), (х, е Г*, р(х^,е) =й(х,$ +0(е),<р*(х^,е) = + О(е), (ж,£ где Г<$ - сколь угодно малая, но не зависящая от е, ¿'-окрестность кривой Г,

Условие и°(х) > й(ж,0) при 0 < х < 1. Доказана

Теорема 2.4. Если выполнены условия Их - то для достаточно малых е существует единственное решение и(х, е) задачи (0.14), (0.10) и для него имеет место асимптотическое представв котором остаточный член имеет следующие асимптотические оценки при £ —> 0: е) = 0{ег7) в 8-окрестности кривой х — ф{£), где в качестве 7 можно взять любое число из интервала — < 7 < - + <?, а 6 > 0 - сколь угодно малое, но фиксированное при е —> 0 число; и}(х^,е) = О (б) в остальной части области Б; р(х,^е) = й(ж,£) + у/д(й(х,€),х,г) • у/ё+0(е), (ж,£) 6 Г х0&) <х<ф(1), 0 < t < Т; (рг(х^), ф(1) < х < хг(€), 0 <*<Т. ление

1) если р = 1 + д < §, то

2) если р > то 0(е) равномерно в области О. Фигурирующая в (0.16) пограничная функция По(ж, т, е) имеет оценки:

По(ж, -г, £г)| < Сехр(—ту/ет), \х — жо| < т > 0, |По(ж,т,е)| < Сехр(—зет), — г > 0, где жо = "0(0), С, га, аэ - положительные числа.

В четвертом параграфе снова рассматривается случай, когда проекция линии пересечения корней уравнения (0.11) (корни обозначим <р(х,{) и х(ж>^)) лежит выше начального отрезка, но поведение решения отличается от описанного в § 2. Установлены условия, при которых решение задачи (0.9), (0.10) притягивается к устойчивому корню и остается вблизи него не только в области ниже кривой Г, но и после прохождения этой кривой, где корень становится неустойчивым, и лишь спустя некоторый (конечный при е —> 0) промежуток времени (£ — ф(х) > 8 > 0) происходит быстрый переход решения в окрестность корня устойчивого при £ > ф(х). Доказана теорема о существовании и асимптотике этого решения.

В третьей главе мы переходим к исследованию сингулярно возмущенных систем уравнений в случае смены устойчивости.

В первом параграфе дается теорема о нижнем и верхнем решениях применительно к системе двух уравнений в частных производных первого порядка.

Во втором параграфе рассматривается система быстрого и медленного уравнений: + Л2(ж, £)— = /(и, V, х, г, е) дЬ

Эх с начальными условиями u(x, 0,e) = u°(x), v(x,0 ,s) = v°(x) при 0 < х < 1. (0.18)

Пусть Ai > Л2. Область D имеет вид (0.8), где х = xq(t) и х = x\(t) - характеристики, выходящие соответственно из точек

0,0) и (1,0) и определяемые соответственно уравнениями dx Ai(x,t), г — 1, 2. Корни вырожденного уравнения

Jul/ g(u,v,x,t, 0) = 0 (0.19) u — cpi(v,x,t) и u = if>2{v,x,t) пересекаются по некоторой поверхности, проекция которой в пространство (г>,ж,2) описывается уравнением v = S(x, t). Знак производной gu, взятой на каждом из корней, изменяется на противоположный при переходе через поверхность v = S(x,t). В связи с этим условием вводится составной устойчивый корень уравнения (0.19) 4\ f v < S(x,t) p{v,x,t) = < (p2(v:x,t), v > S(x,t).

Этот корень подставляем во второе уравнение системы (0.17) при е = 0: dv dv + Л2(ж, t)— = f(ip(v, х, t), v, x, t, 0) (0.20)

Уравнение (0.20) решается с начальным условием v |i=o = которое подчиняем следующему требованию: г;0 (ж) < ¿>(£,0). Пусть решение v(x,t) этой задачи пересекает поверхность v = S(x,t) по кривой, проекция которой на плоскость (rr,i) представляет собой гладкую кривую t = ф(х), лежащую выше начального отрезка = о, 0 < х < 1}. Таким образом, мы получили решение вырожденной задачи: (u(x,t),v(x,t)), где u(x,t) = ip(v(x,t),x,t).

В результате доказывается следующая Теорема 3.2. При достаточно малых е задача (0.17), (0.18) имеет решение, и для него справедливо асимптотическое представление: где V > 0 - достаточно малое, не зависящее от е число.

Третий параграф посвящен анализу поведения решения системы двух быстрых уравнений: с начальными условиями (0.18), где р - какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1 < р < 2. Область Б определяется, как в

Предполагаем, что уравнение д(и,у,х^, 0) = 0 имеет изолированный корень и = (¿?(г>, ж, ¿), который устойчив (ди(уэ(у,:с,£),г>,:Е,£,0) < 0). После подстановки его во второе вырожденное уравнение системы получаем уравнение г(г>, ж, ¿) = V, х, 0) = 0.

Корни последнего V = У\{х^) и V = У2(х^) удовлетворяют условию

У\(х,Ь) > У2(х^) при 0 < £ < ф(х): У\(х, £) < У2(х, €) при ф(х) < г < т, у\(х, ¿) = г?2(ж, £) при t = ф(х), где t = ф{х) - гладкая кривая, не пересекающая начальный отрезок {* = 0,0 < х < 1}.

Составное устойчивое решение вырожденной системы имеет вид: й(х^) + По(ж,*/е) + 0{е), 0<t< ф(х) - г/, й{х^е) + 0(у/ё)1 ф{х) - V < г < Т. г)(ж, t, е) + О(е), 0 < £ < ф(х) - и, у(х,^е) + 0(у/ё), ф{х) — V <Т,

§2. й{х, ¿) = ¿), ж, £).

Доказана

Теорема 3.3. При достаточно малых е существует и единственно решение задачи (0.21), (0.18), и для него справедливо следующее асимптотическое представление: и(х, г, е) = й(х, + Р0и(х, 0) + ПоЦж, г) + £ [р^Ця, 0)+ г=1 Ь

2-р)г<1

П ^и(х,т) + Р2и{х,0) + П2и(ж,г)] Wl(x,t,£), у{х, г, е) = у(х, *) + Р0у{х, в) + £ И'Ч®, О) + г) 1 + г=1 I

2-р)»<1 г7г(:Е, ¿) + Р2п(х, в) + Щи (ж, т)] + и)2(х, е). t t

Р £ оценки, а где 0 — —, т = пограничные функции имеют экспоненциальные о(е) при 0 < t < ф(х) — S, Wi(x,t,e)=< 0(у/е) при ф{х) - S < t < ф(х) + 6, ^ 0(e) при ф{х) + 6 <t<T, где i = 1,2, 5 > 0 - сколь угодно малое, не зависящее от £ число.

Основные результаты докладывались и обсуждались на пятнадцатых математических чтениях РГСУ (Руза, 2006г.), на международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Москва, 2006г.), на 60-й юбилейной конференции ЮУрГУ (Челябинск, 2008г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета (руководитель академик A.M. Ильин), на семинаре по асимптотическим методам кафедры математики физического факультета МГУ.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.Ф. Бутузову за постановку задач и помощь в работе.

1. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. - М.: Наука, 1972.

2. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. 9. № 4. С. 841 859.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

4. Боглаев Ю.П. О численных методах сингулярно возмущенных задач// Дифф. уравнения. 1985. 21. № 10 С. 1804 1806.

5. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

6. Бутузов В. Ф. Существование и асимптотическая устойчивость решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравне-ния//Дифф. уравнения. 2006. 42. № 2. С. 221-232.

7. Бутузов В. Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения//Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2006. 46. № 3. С. 433-444.

8. Бутузов В.Ф., Каращук А.Ф. Об одной сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого поряд-ка//Матем. заметки. 1995. 57. № 3. С. 338-349.

9. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider ¿Т.Д. (1998) Singularly perturbed boundary value problems for systems of Tikhonov's type in case of exchange of stabilities //Weierstrafi- Institut fiir Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 408.

10. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R.{2000) Singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems in case of exchange of stabilities //Weierstrafi- Institut fiir Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 572.

11. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H., Шнайдер К.P. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости//Итоги науки и техники. Сер.Соврем, матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 109. Дифференц. уравнения. Сингулярные возмущения. М.: ВИНИТИ. 2002.

12. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущенных уравнений в случае пересечения корней вырожденного системы//Вычисл. матем. и матем. физ. 2002. 42. № 11. С. 16861699.

13. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

14. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной//УМН. 1963. 18. № 3. С. 15-86.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

16. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

17. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978. -106 с.

18. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160 с.

19. Вышик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// УМН. 1957. 12. № 5. С. 3 122. '

20. Волосов В.М., Моргунов Б. И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.

21. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Ленин А.Я., Пономарев В.Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1973. - 135 с.

22. Дулан Э.; Миллер Дж., Милдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

23. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной//Матем. заметки. 1969. 6. № 2. С. 237 248.

24. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

25. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

26. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

27. Lebovitz N.R., Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous system// Stud. Appl. Math. 54(3), 229-260(1975).

28. Lebovitz N.R., Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous system II. Vertical bifurcation// Stud. Appl. Math. 56, 1-50(1977).

29. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений М.: Наука, 1981.

30. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

31. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

32. Мищенко Е. Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

33. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1981.

34. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М. Мир, 1976.

35. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М. Мир, 1984.

36. Nefedov N.N., Schneider K.R.(1995) Singularly perturbed systems: Case of exchange of stability//'Weierstrafi- Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 158.

37. Олейиик O.A. Лекции об уравениях с частными производными. Часть 1.-М.: Изд-во МГУ, 1976. 112 с.

38. O'Malley R.E. Introduction to Singular Perturbation. Academic Press, N.J., 1983

39. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

40. Smith D. R. Singular-Perturbation Theory. An Introduction with Applications уравнений. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985

41. Тихонов A.H. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра//Матем. сб. 1948. 22(64), № 2. С. 193-204.

42. Тихонов А.Н.О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры//Матем. сб. 1950. 27(69). № 1. С. 147-156.

43. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры//Матем. сб. 1952. 31(73). № 3. С. 575586.

44. Тихонов A.B., Васильева A.B., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998. - 232 с.

45. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

46. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983

47. Фещенко С.Ф., Шкиль H.H., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. -Киев: Наукова думка, 1966

48. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988

49. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостеориздат, 1950.

50. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне //Журнал вычислит, математики и мат. физики, 1996. 36. № 6. С. 68-85

51. Деркунова Е.А. Об одной системе уравнений с частными производными в неограниченнойобласти//Известия Челяб. науч. центра, 2004. 4(26). С. 10-14

52. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. О сингулярно возмущенной системе в частных производных первого порядка с разными степенями малого параметра//Дифф. уравнения. 2006. 42. № 6. С. 775-790

53. Деркунова Е.А. Сингулярно возмущенная система уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости //Математические методы и приложения: Труды пятнадцатых математических чтений РГСУ, М: Изд-во РГСУ, 2006. С. 51-56

54. Деркунова Е.А. Об одной сингулярно возмущенной системе уравнений в частных производных первого порядка в случае смены устойчивости// Известия Челяб. науч. центра, 2007. 1(35). С. 12-17

55. Деркунова Е.А. Сингулярно возмущенные задачи для уравнений в частных производных первого порядка// Наука ЮУр-ГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук, Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. 1. С. 107-110

56. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. О сингулярно возмущенном уравнении в частных производных первого порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения//Дифф. уравнения. 2009. 45. № 2. С. 180-190