Равномерные численные методы для некоторых сингулярно возмущенных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА_

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Жемухов Умар Хазреталиевич

РАВНОМЕРНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

Москва-2013

005542014

005542014

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительных методов факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Андреев Владимир Борисович.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики Физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова Нефедов Николай Николаевич,

кандидат физико-математических наук Коптева Наталья Викторовна, Department of Mathematics and Statistics University of Strathclyde, Glasgow, Scotland, UK.

Институт математики и механики имени Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН.

Защита диссертации состоится 25 декабря 2013 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ломоносовский проспект, д. 27. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМК МГУ http://cs.msu.ru/.

Автореферат разослан 2Л ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, ✓

профессор З-^гу-у Е в Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При исследовании многих процессов в физике, химии, биологии, технике и других областях науки, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим, часто возникают задачи, описываемые сингулярно возмущенными уравнениями, т.е. уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Характерной чертой сингулярно возмущенных уравнений является то, что их решения имеют в областях, где они определены, особые пограничные зоны, в которых происходит резкий переход от одного устойчивого состояния к другому или к заданным граничным значениям. Такие ситуации возникают, например, в задачах гидродинамики, связанных с решением уравнений Навье-Стокса при малой вязкости или же в задачах газовой динамики, когда в окрестности ударных волн газ переходит из дозвукового в сверхзвуковое состояние.

Математическое обоснование явления пограничного слоя состоит в том, что при е -» 0 решение сингулярно возмущенной краевой задачи стремится к решению вырожденной (е=0) задачи на всем множестве определения, за исключением малой окрестности границы области, где происходит быстрый переход решения от значений внутри области к граничным значениям. Это объясняется тем, что порядок вырожденного уравнения ниже, чем порядок исходного уравнения, из-за чего часть граничных условий оказывается лишней применительно к вырожденной задаче и эти неиспользованные условия приводят к появлению в окрестности границы пограничных слоев. Достаточно много примеров, иллюстрирующих сказанное, содержится в работах Э. Дулана, Дж. Миллера и У. Шилдерса1, Дж. Миллера, Е. О'Риордана и Г. И. Шишкина2.

Из-за наличия пограничных слоев классические сеточные методы малоэффективны3 для численного решения сингулярно возмущенных краевых задач. Приближенные решения, полученные с помощью таких методов на равномерных сетках, плохо аппроксимируют4 при малых значениях параметра решения исходных задач или вовсе не сходятся к точному решению.

!Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

2Miller J.J.H., O'Riordan Е., Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods For Singular Perturbation Problems: Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions. World Scientific Co. be., Revised Edition, 2012

3Roos H.-G., Stynes M., Tbbiska L. Robust Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics. Vol. 24. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2008.

4Roos H.-G. Layer-adapted grids for singular perturbation problems. Z. Angew. Math. Mech. V. 78 (1998). №5. P. 291-309. г V"

Это объясняется тем, что производные, входящие в оценку погрешности аппроксимации, зависят от £ и не являются ограниченными5 при е —> О вблизи границы. Поэтому для сингулярно возмущенных краевых задач возникает проблема разработки специальных сеточных методов, обладающих свойством равномерной по параметру сходимости.

Для разрешения этой проблемы в работах Н. С. Бахвалова6 и Г. И. Шишкина7 были предложены численные методы, использующие сгущающиеся сетки, причем в первой из них этот метод впервые применен для решения сингулярно возмущенной задачи. Сетка Бахвалова устроена так, что внутри области погрансоя узлы сгущаются по логарифмическому закону, а вне ее сетка равномерная. В основе построения кусочно-равномерной сетки Шишкина лежит требование, чтобы погранслойная составляющая решения вне слоя была ограничена величиной N~a, где а — порядок точности разностной схемы. Отличие такой сетки от сетки Бахвалова состоит в том, что внутри пограничного слоя мелкий шаг сетки выбирается равномерным, а граница погранслоя задается явно и зависит от количества узлов сетки.

Известно8, что гладкость искомого решения дифференциальной задаг чи оказывает существенное влияние на точность приближенного решения, найденного конечно-разностным методом. Между тем, если граница области, в которой рассматривается сингулярно возмущенная задача, содержит угловые точки и не предполагается выполнение в этих точках условий согласования9, то кроме пограничных слоев, решение или (и) его производные имеют и угловые особенности. А это часто приводит к существенному усложнению анализа погрешности численного решения или же к снижению порядка точности приближенного метода. Однако есть случаи10, когда рост производных в окрестностях угловых точек не приводит к (существенному) ухудшению погрешности приближенного решения, но обоснование этого факта требует дополнительных специальных исследований или модифика-

5Linss Т. Layer-Adapted Meshes for Reaction-Convection-Diffusion Problems. Series: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1985. Springer, 2010.

^Бахвалов H. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. №4. С. 841-859.

7Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

8Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. M.: Наука, 1979.

'Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 77. С. 89-112.

10Андреев В.Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. №1. С. 90-114.

дии существующих методов. В этом направлении следует отметить работы В. Б. Андреева11 и Е. А. Волкова12.

Решения сингулярно возмущенных краевых задач для уравнений в частных производных в областях с угловыми точками могут иметь сложную структуру13, включающую регулярные, параболические (характеристические) и угловые пограничные слои вместе с угловыми особенностями. Для анализа погрешности аппроксимации дискретной задачи, как известно, важно иметь поточечные оценки производных искомого решения. Обычно, эти оценки в случае регулярных (без малого параметра) эллиптических и параболических уравнений получаются как следствие гельдеровых оценок14 вплоть до границы. Но в сингулярно возмущенном случае, чтобы в полной мере выявить характерные свойства решения и производных (в том числе и связанные с угловыми особенностями), целесообразно сначала строить декомпозицию искомого решения на регулярную, погранслойную и угловую составляющие, которая позволяет получить оценки решения и производных отдельно для каждой компоненты. Такое разложение впервые было построено в вышеупомянутой работе Н. С. Бахвалова для получения оценок производных решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи. Позже были предложены и другие варианты декомпозиции15,16 решения сингулярно возмущенных задач.

Таким образом можно заключить, что для сингулярно возмущенных задач с недостаточно гладкими решениями проблема разработки и обоснования численных методов, обладающих такой же точностью, что и в случае классической гладкости, является актуальной.

Целью диссертационной работы является исследование равномерной по малому параметру сходимости в равномерной метрике разностных схем на сгущающихся сетках, аппроксимирующих сингулярно возмущенные краевые задачи для двумерного эллиптического уравнения конвекции-диффузии и уравнения теплопроводности при наличии у производных ис-

11 Андреев В. Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в прямоугольнике // Дифференц. уравн. 2009. Т. 45. №7. С. 954-964.

"Волков Б. А. О дифференциальных свойствах решений уравнений Лапласа и Пуассона на параллелепипеде и эффективных оценках погрешности метода сеток// Тр. МИАН. 1969. Т. 105. С. 46-65.

"Kellogg R.B., Stynes М. Corner singularities and boundary layers in a simple convection-diffusion problem // J. Diff. Equ. 2005. V. 213. №1. P. 81-120.

"Ладыженская О. А., Уральцева H. H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. 2, М.: Наука, 1973.

"O'Riordan Е., ShisKkin G.I. A technique to provide parameter-uniform convergence for a singularly perturbed convection-diffusion equation // J. Comput. Appl. Math. 2007. V. 206. P. 136-145.

leO'RiordanE., ShishkinG.I Parameter uniform numerical methods for singularly perturbed elliptic problems with parabolic boundary layers // Appl. Numer. Math. 2008. V. 58. P. 1761-1772.

комых решений особенностей в угловых точках области из-за несогласованности входных данных.

Методы исследования. При выполнении диссертационного исследования использовались методы функции Грина для параболического уравнения, декомпозиции решений сингулярно возмущенных задач, теории разностных схем на сгущающихся сетках, а также метод барьерных функций получения априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации исследована равномерная по малому параметру е сходимость численных методов для ряда сингулярно возмущенных задач при существенно более слабых предположениях о гладкости искомых решений по сравнению с известными результатами. Именно, для сеточного решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи, входные данные которой в угловых точках прямоугольника удовлетворяют лишь условиям согласования нулевого порядка, получена равномерная по е оценка сходимости 0(N~3/2 In2 N) в сеточной норме L^ для всех г е (0,1]. Ранее такая оценка была получена для гладкого случая в предположении выполнения в угловых точках условий согласования до 2-го порядка и при условии, что s < CN~l. В случае параболического уравнения при тех же предположениях о согласованности входных данных, что и для эллиптической задачи получена поточечная оценка погрешности сеточного решения 0(t+N~2 In2 N) ln(j+l), отличающаяся лишь логарифмическим множителем от известной оценки, полученной при условии достаточной гладкости искомого решения.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов обусловлена строгостью математических доказательств, использованием апробированных научных методов и средств теории конечно-разностных методов, а также вычислительными экспериментами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретический характер. Некоторые из них могут быть использованы в качестве методологической основы при построении и обосновании сходимости сеточных аппроксимаций негладких решений для сингулярно возмущенных краевых и начально-краевых задач с угловыми особенностями и, возможно, с негладкими входными данными.

Апробация результатов. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на 4 конференциях: XVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов 2011» (Москва), Международная научная конференция «Fifth Conference on Numerical Analysis and Applications» (Болгария, 2012 г.), Научная конфе-

ренция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2012 г.), Научная конференция «Тихоновские чтения» (Москва, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата. Из них три статьи [1-3] в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 89 наименований. Общий объем диссертации составляет 75 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность темы исследования. В нём сформулирована цель диссертации, описана структура диссертации и перечислены основные результаты.

Первая глава посвящена построению разностной аппроксимации негладких решений (угловых особенностей) смешанной краевой задачи в прямоугольнике для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с характеристическими пограничными слоями.

В разделе 1.1 приводится постановка дифференциальной задачи и известное разложение17 решения этой задачи с оценками производных для каждой компоненты, а также анализируется структура решения.

В области Ü = (0,1)2 с границей dQ = dtio U Щ/v рассматривается смешанная краевая задача для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии:

ди

Lu = -еАи + а— + qu = f{x,у), {х,у) G ft, (1)

ди

— = <р(х,у), (x,y)edtlN, (2)

« = я(х,у), {x,y)ednD, (з)

где а = const > 0, q = const > 0, n — единичный вектор внешней нормали к dQjf, а е 6 (0,1] — малый параметр. Правая часть и граничные функции предполагаются достаточно гладкими.

Граница области состоит из частей дО,о = Ti U Гз, <9Г2дг = Гг U Г4, где Га — стороны квадрата П, пронумерованные против хода часовой стрелки,

17NaughtonA., StynesM., Regularity and derivative bounds for a convection-diffusion problem with Neumann boundary conditions on characteristic boundaries // Z. Anal. Anwend. 2010. V. 29. № 2. P. 163-181.

начиная с Г1 = {(х, у) € д(11 х = 0}. Положим, что

01 (у) = 5(0» У), 92{у) = 5(1, у) и <pi(x) = <р{х, 0), <р2(х) = <р(х, 1).

В угловых точках области предполагаются выполнеными только условия согласования нулевого порядка:

|(0) - -ЫО), - „(0), |(0) _ -й(1), _ *!). (4)

Решение задачи (1)-(4) имеет сложную структуру, включающую регулярный пограничный слой в окрестности правой границы Гз, два характеристических слоя в окрестностях Гг и Г4, угловые слои с угловыми особенностями в окрестностях вершин (1,0), (1,1) и угловые особенности в окрестностях вершин (0,0), (0,1). Все это создает определенные трудности при численном решении задачи (1)-(4). В частности, из-за наличия пограничных слоев, приходится использовать сгущающиеся сетки, а из-за угловых особенностей решение имеет ограниченную гладкость и это усложняет анализ погрешности приближенного решения, что требует дополнительных исследований при обосновании сходимости.

В разделе 1.2 ставится разностная задача на сетке fi =oJxx шу, являющейся тензорным произведением двух кусочно-равномерных одномерных сеток Шишкина на отрезке [0,1]. Сетка в направлении х сгущается вблизи правой границы и состоит из двух частей [0,1 — <jx] и [1 — ах, 1] с шагами Sj 1 = 2(1 — ax)N~1 и f)i = 2axN~l соответственно, а в направлении у сетка сгущается в окрестностях обоих концов отрезка и состоит и трех частей [0, av], [1 - cry, 1] и [оу, 1 — ау]с шагами fo = 4avN~l и Sj2 = 2(1 - 2ay)N~1 соответственно, где ах — min{l/2;celnN}, ау = min{l/4;c^JelnN}, N — число узлов сетки в каждом координатном направлении.

Разностная схема18, используемая для аппроксимации задачи (1)—(4), имеет повышенный порядок аппроксимации и является неоднородной в том смысле, что ее вид не одинаков в различных частях сеточной области и за^ висит от величины параметра е. Именно, при е < aSji/2 внутри регулярного погранслоя конвективный член аппроксимируется симметричной первой разностью 2-го порядка точности, а за его пределами применяется аппроксимация односторонней разностью в полуцелых узлах. Если же е > oJji/2, то схема однородная и первая производная в уравнении аппроксимируется на всей сетке симметричной первой разностью. В обоих случаях для аппроксимации оператора Лапласа используется классический пятиточечный

18ClaveroC., GraciaJ.L., LisbonaF., ShishkinG.I. A robust method of improved order for convection-diffusion problems in a domain with characteristic boundaries // ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. 2002. V. 82. №9. P. 631-647.

разностный оператор, а граничные условия Неймана аппроксимируются на четырехточечном шаблоне.

Основная теорема первой главы:

Теорема 1. Пусть и{х,у) - решение исходной задачи (1)-(4), а — Решение соответствующей разностной задачи (см. в диссертации (1-10)-(1.13)) на кусочно-равномерной сетке Шишкина. Тогда при г е (0,1] справедлива оценка сходимости

Iuixuvj) - <| < CN~Z!2In2N, (xi,yj) € Uh. (5)

Доказательство теоремы 1 получается путем объединения результатов теорем 2 и 3 из последующих двух разделов.

В разделе 1.3 исследуется проблема сходимости сеточного решения задачи (1)-(4) при малых значениях параметра (г < aS)i/2) и основное внимание концентрируется на изучении погрешности сеточных функций характеристического и углового слоев, содержащих также угловые особенности. Для этого проводится детальный анализ погрешности аппроксимации и с применением принципа максимума и специальной барьерной функции19 получаются новые оценки сходимости указнных погранслойных компонент численного решения. По итогам этого раздела сформулирована и доказана теорема о сходимости приближенного решения при малых значениях е.

Теорема 2. Пусть и{х,у) — решение задачи (1)~(4), а и§ — решение соответствующей разностной задачи (см. в диссертации (1.10)-(1.13)) при е < afti/2. Тогда при N > N0, где No — целое положительное число и не зависящее от £, верны оценки

( N-WtfN, nhWi\jQhWi>

I u(xh Vj) -u%\<c{ TV"2 In3 N, N/2 < i < N, N/4 <j< 3N/4, (6) I N~2, 0 < i < N/2, N/4 <j< 3N/4,

где

= {(xu y i) I (0 < i < N, 0 < j < £) U (0 < i < N, f < j < N)} .

В разделе 1.4 рассматривается случай s > aSj\/2 и используется разностная схема с аппроксимацией конвективного члена симметричной первой разностью. Для обоснования сходимости сеточного решения в этом случае применяется тот же подход, что и в предыдущем разделе, но при получении оценки погрешности приближенного решения гладкой составляющей

19Andreev V.B. Pointwise approximation of corner singularities for singularly perturbed elliptic problems with characteristic layers // Internat. J. of Num. Analysis and Modeling. 2010. V. 7. №3. P. 41G-428.

искомого решения требуются дополнительные исследования (применение обычной трапециевидной барьерной функции не дает нужного результа та).

Теорема 3. Пусть и(х,у) — решение задачи (1)-(4), о Ну — решение соответствующей разностной задачи (см. в диссертации (1.10)-(1.13)) при е > aSji/2. Тогда в П справедлива равномерная по параметру е оценка

( N~21n2 N, (xi,yj)€ilhWl UQhWi, Vj) ~4\<С\ N~2 In3 N, (xu Vj) € nhW2 U ilhW3l (7)

I ЛГ21п2 AT, 0 < i < N, N/4 < j < ЗАГ/4,

где

S^Ufi^ = { te, y,-) |(f < < < iV, 0 < j < £) U (f < г < AT, f < j < N)}

В разделе 1.5 приводятся результаты численного эксперимента.

Вторая глава посвящена численному решению на отрезке начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности, решение которой имеет ограниченную гладкость в окрестности одной из угловых точек.

В разделе 2.1 приводится постановка задачи и изучаются свойства искомого решения и его производных, а также из решения выделяется сингулярная часть, содержащая угловую особенность. Кроме того, в этом разделе формулируется основная теорема второй главы.

В области Qt— {(ж,t)\0 < х < 1,0 <t <Т} рассматривается первая начально-краевая задача

«(О, t) = fii{t), u(l, t) = ti2(t), t € [0,T], (9)

u(x,0) = <p(x), x€[0,l}, (10)

где а— постоянная, f(x, t), <p{x), fii{t), /хг(£) — заданные достаточно гладкие функции.

Известно, что при классическом подходе для построения приближенного метода решения задачи (8)—(10) с точностью 0{j+h2) требуется непрерывность производных d2u/dt2, diu/dxi вплоть до границы. А это, при условии достаточной гладкости входных функций, подразумевает выполнение, например в угловой точке (0,0), условий согласования:

(¿>(0) = /XI (0) — условие нулевого порядка, (11)

д ^

J4o) - = /(0,0) - условие 1-го порядка. (12)

Требование выполнения условий согласования не всегда является естественным и может быть слишком обременительным.

В точке (0,0) мы отказываемся от условия (12), а в (1,0), для простоты

изложения, предполагаем, что аналогичное условие выполнено.

20

Для искомого решения справедливо представление

и{х,г) = и{х,г) + У{х,г). (13)

Функции из (13) являются решениями следующих начально-краевых задач:

еи{х,$ 2д2и{х,г) .. .. и лап

и (о, I) = - ПО,«). *) = №»(*) - у(1> *). 71> ^(®,0) = 1р(®), ® 6 [о,/],

х 6 (0, оо), ^(0,П,

от ох1

(14)

(15)

П®,о) = о, ®е[0,оо),

у{о,г) = Аг, <€[о,т],

где А = - о2^хх(0) - /(0,0).

Регулярная составляющая решения 17(х, <) удовлетворяет в угловых точках условиям согласования до 1-го порядка и является достаточно гладкой. Решение задачи (15) выписывается в явном виде:

... 4Ч Ах /те^. Г/ х2 V . х . хуДе

(16)

где ег£с(г) = 1 — ет1(г) — дополнительная функция ошибок. Чтобы изучить характер угловой особенности, из этого представления находятся производные функции У(х, ¿) :

^(¡М) = а2У^{х,£) = Ае1&(х/2ауД), Э2У. , 494У. ^ Л®

20Бюканова Г. И. Решение в пространствах Гельдера краевых задач для параболических уравнений при рассогласовании начальных и граничных данных // Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. Т. 36. С. 12-23.

Как видно из второго выражения, производные, входящие в погрешность аппроксимации разностной задачи, имеют угловую особенность и при приближении к угловой точке неограниченно возрастают.

Для численного решения задачи (8)—(10) используется неявная четырехточечная разностная схема на равномерной сетке йhr = йл х где Щ = {Хтп - mh, h : l/N, тп = 0,..., N} и Шт = {tj = jr, т = T/M, j = 0,..., M}. Множество внутренних узлов обозначается через шит = шд х wT = {(®го, tj) : m = 1,..., N-l,j = l,..., М}.

В соответствие (8)—(10) ставится разностная задача

¿dl '■= 4m ~ <**vL,m = iL {Xm, tj) 6 Шкт,

Уо = ßife). VN = Mtj), tj e wr, (17)

- ¥>(arm), zm 6 Wft,

гДе lim = (yL - yfc1)/!-, Hlx.m = {vL+1 ~ 2У1п + vL-Pra = /От, ij). Основной результат второй главы:

Теорема 4. Пусть у3т — решение разностной задачи (17), а u(x,t) — решение дифференциальной задачи (8)-(10), (11). Тогда справедлива оценка погрешности

\Ут

tj) | <C{r + h2) In (7 + 1), (xm, tj) G a}hT.

Доказательство данной теоремы приводится в следующих разделах.

В разделе 2.2, используя свойства сеточной функции Грина, получаем априорную оценку. Для этого на полупрямой вводится сетка

{(жт, tj) : хт = mh, tj = jr, h = l/N, r = T/M, m € N, j = 1,..., M}

и рассматривается вспомогательная разностная задача

4,т ~ «2i,m = ?L meN,l<j<M, 4 = 0, 1 <j<M, (18)

t>ra = 0, m 6 N.

Функция Грина этой задачи и ее разностное отношение представляются в виде следующих выражений:

2

G(xm,xp,tj) = —J^ ^'(C)sin(mC)sin(pC)C

и

I* д*(0 яп(С/2) 8Ш(П» с) соз((р + 1/2) С) ¿С.

где (?«) = (1 + (4та2//г2) 8Ш2(С/2))_1, 1 < э < М, т,р 6 N. Решение разностной задачи (18) представляется в виде

3 оо

^ = Л С(®т, (19)

Лг=1 Р=1

Справедливы оценки

|С?(®т, «у, <л-1-к)| < 2Л"1, 1 < к < з < М, т,р € N.

з

^2ттах\С{хт,хр+1,и) - С(хт,хр,и)\к~1 < С1п(; + 1), 1 <з<М. 1/=1 р

Из (19), используя последнее неравенство, получим априорную оценку.

Теорема 5. Пусть Р^ — сеточная функция, убывающая на бесконечности. Тогда для решения задачи (18) справедлива поточечная оценка

00 00

|<| <С1пО' + 1)тах^/г| ^ Л^* , 1 < Л < 3 < М, т 6 N.

р=0 п=р+\

В разделе 2.3 строится дискретный аналог декомпозиции (13) и для соответствующих разностных схем, аппроксимирующих задачи (14) и (15), доказываются оценки сходимости.

В частности, погрешность численного решения г3т — у3т—и(хт) представляется в виде суммы

= Рт + 4 = VI - У(хт, + Е& - и(хт,

Первое слагаемое этой суммы предствляет собой решение разностной заг дачи, аналогичной (18), с правой частью ^ = ЬУ(хт— где С — разностный оператор из (17). А второе слагаемое есть решение разностной схемы

Ц - = Мт (хт, ъ) € ШНг,

4 = 0, 4 = У^ - У(зд, Ь), Ъ € ыт, (20)

¿т = е ^А,

где погрешность аппроксимации ф^ = Ы1(хт, —

Такое разложение позволяет провести анализ погрешности приближенного решения отдельно для каждой компоненты.

Для сингулярной составляющей погрешности справедливо представление

3 оо _

Чг = т h ХР> Ь+1-к) 711 6 N> 1 - 3 ^ M> k=1 p=1

из которого, используя результат теоремы 5, получаем оценку сходимости сингулярной составляющей численного решения к решению соответствующей дифференциальной задачи.

Теорема 6. Пусть V{x,t)— решение дифференциальной задачи (15) на отрезке [О, Z], aV^— решение соответствующей разностной схемы (см. в диссертации (2.20)). Тогда справедлива оценка

Ш = №-У(хт,Ъ)\ < C(h2 + T)Mj + l), (хт,ъ)ейнТ.

Оценка для z3m — гладкой компоненты погрешности численного решения получается при помощи стандартных рассуждений с применением принципа максимума.

В разделе 2-4 приводятся результаты численных расчетов.

Третья глава посвящена исследованию равномерной сходимости четырехточечной неявной разностной схемы, аппроксимирующей начально-краевую задачу из предыдущей главы, в случае сингулярного возмущения и наличия угловых особенностей в окрестностях двух угловых точек.

В разделе 3.1 даются постановки дифференциальной и разностной задач, обсуждаются предположения о гладкости входных данных и их согласованности в угловых точках.

В области Qt рассматривается начально-краевая задача (8)—(10) с малым параметром е2 (е е (0,1]) перед старшей производной, вместо коэффициента а2. Правая часть и граничные функции предполагаются достаточно гладкими, последние удовлетворяют только условиям согласования нулевого порядка:

¥>(0) = /ц(0), v>(0 = Ma( 0). (21)

Решение обсуждаемой задачи при е->0 имеет вдоль границ х = 0 и х = I параболические пограничные слои, где решение быстро меняется, а старшие производные имеют в угловых точках особенности порядка et'1.

Для численного решения указанной задачи используется четырехточечная неявная схема на равномерной по времени и кусочно-равномерной по пространству сетке: = Qh х Пт, где Пт = {tj = jr, т = T/M, j =

О,..., М} равномерная сетка по временной переменной, а Пд - кусочно равномерная сетка Шишкина с шагами Ь, = 4сгЛГ-1 на отрезках [0, <т], [7 - а, и Н = 2(1 - 2а)Ы"1 на [а, I - а], где а = шт{//4,2£1пЛг}. Множество внутренних узлов обознчается через Плт = Пд х Г2Г = П^ П <5г.

В разделе 3.2 для детального изучения угловой особенности и погранс-лойных составляющих строится декомпозиция решения:

и(х,г) = и(х,г) + у(х,г) + й(х,г), и = щ{х,г) + е2их{х, г),

У = У1(х,1) + У2(хЛ

где 1/(х, £) - регулярная составляющая, У(х, £) - сингулярная часть, состоящая из суммы двух погранслойных функций VI(ж, Ь) и ^(х, которые, в свою очередь, включают в себя угловые особенности в точках (0,0) и (,1,0) соответственно, а й(х, Ь) - остаточный член, являющийся достаточно гладким, без угловых особенностей и пограничных слоев.

Для всех компонент этого разложения получены поточечные оценки самих функций и их производных.

Теорема 7. Для функций 11(х,1), У(х, <) и и(х, ¿) из вышеприведенного разложения, определенных в <3т, при а > 1, 0 < п 4- 2тп <4, п, т, € 2, п, тп > 0 справедливы оценки

9П+ти < С( 1 + е2""),

1—х\

+ е~ г

<Эг2 I

= £

1<Э41Л

< с(1 +

хе

-1

е Ш + ±—^—е 4?Г

I ах4 I - ~ V* ' ¿3/2 * ¿3/2

При доказательстве данной теоремы пользуемся принципом максимума, методом расширения области, а также мотодом функции Грина.

Для остаточного члена справедливы следующие оценки:

р _

|и(аг,е)| < Се Ш,

дп+ти

< С( 1 + е~пе-Щ, {х,г)еЯТ,

дхпдгт

Полученные оценки для компонент разложения играют существенную роль при исследовании погрешности численного решения.

В разделе 3.3 строится дискретный аналог декомпозиции из раздела 3.2

и для каждого ее элемента получаются оценки погрешности, равномерные относительно малого параметра.

В частности, для погрешности регулярной составляющей сеточного решения получена оценка

р( - U{xu t})| < СТ(т + N~2 InN), (xh tj) G QhT. (22)

Аналогичная оценка справедлива и для сеточной аппроксимации остаточного члена.

А для компоненты сеточного решения, отвечающей сингулярной составляющей декомпозиции искомого решения, оценка погрешности получается в два этапа — отдельно в областях пограничных слоев и вне этих областей. Приведем эти оценки для дискретной функции Vfif аппроксимирующей по-гранслойную функцию Vi(xi,tj), содержащую также угловую особенность в точке (0,0).

Лемма 1. Пусть V/,- — решение разностной задачи (см. в диссертации (33) при к — I), a Vi(x,t) — есть решение соответствующей дифференциальной задачи. Тогда вне области пограничного слоя при а > 2, N> No справедлива оценка погрешности

\vli ~ *j)l < C(1 - атГ'АГ2, N/A <i<N, 0 <j < M. (23)

При доказательстве этой леммы используется оценка для Vi(xj, tj) из теоремы 7 и специальная сеточная барьерная функция, учитывающая поведение погранслойной функции.

Лемма 2. Пусть V^ — решение разностной задачи (см. в диссертации (33) при k = 1), a V\ (x,t) — есть решение соответствующей дифференциальной задачи. Тогда в области пограничного слоя справедлива оценка погрешности

|V&- V^xu tj)\ < C(r + N~2ln2 N) ln(j +1), 0 < i < £, 0 < j < M. (24)

Доказательство леммы 2 получается путем разбиения погрешности аппроксимации схемы на две части, одна из которых характерезует поведение погрешности вблизи угловой точки, а другая вне конечной окрестности этой точки.

Таким образом, объединяя оценки (22)—(24), получим основной результат третьей главы:

Теорема 8. Пусть у\ — решение исходной разностной задачи, а и(х, t) — решения сингулярно возмущенного варианта дифференциальной задачи (8)-(10), (21). Тогда справедлива оценка погрешности

Н ~ и(хи tj)| <C(t + N~2 In2 N) ln(j + 1), (xi, tj) E ÜhT.

В разделе 3-4 проводится анализ результатов численного эксперимента.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения, вырождающегося при е = 0 в уравнение первого порядка по одной из переменных, со смешанными краевыми условиями на сторонах прямоугольника и негладким в окрестностях угловых точек решением доказано, что решение неоднородной монотонной разностной схемы на кусочно-равномерной сетке Шишкина сходится в норме L^ равномерно относительно малого параметра со скоростью 0(N~3/2 In2 N) для всех £ е (0,1], где N — количество узлов сетки в каждом направлении.

2. Доказано, что решение четырехточечной неявной разностной схемы, аппроксимирующей на отрезке начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности при наличии угловой особенности у производных решения, сходится на равномерной сетке к точному решению со скоростью 0(т + h2) ln(j +1), где h— шаг сетки по пространственной переменной, а tj = jr — узлы сетки по временной переменной.

3. Для решения четырехточечной неявной разностной схемы, аппроксимирующей на равномерной по времени и кусочно-равномерной по пространственной переменной сетке Шишкина начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности на отрезке при условии, что входные данные удовлетворяют в угловых точках только условиям согласования нулевого порядка, получена равномерная по малому параметру поточечная оценка погрешности 0(t+N~2 In2 N) ln(j+l), где N — количество узлов пространственной сетки, а tj — jr — узлы сетки в направлении временной переменной.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю, профессору Андрееву Владимиру Борисовичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Жемухов У. X. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений с улучшенной сходимостью для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с характеристическими слоями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. №9. С. 1633-1654.

2. Жемухов У. X. О сходимости численного решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности при наличии угловой особенности у производных решения // Вестн. Моск. ун-та., Серия 15. Вычисл. матем. и киберн., 2013. №4. С. 9-18.

3. Zhemukhov U. Kh. Uniform Grid Approximation of Nonsmooth Solutions of a Singularly Perturbed Convection - Diffusion Equation with Characteristic Layers // Numerical Analysis and Its Applications ( Series: Lecture Notes in Computer Science), V. 8236, P. 562-570, Springer Berlin Heidelberg, 2013.

4. Жемухов У. X. Равномерная по параметру оценка погрешности неявной четырехточечной разностной схемы для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с угловыми особенностями // Препринт, ISBN 978-5-317-04584-5, М.: МАКС Пресс 2013, 20 с.

5. Жемухов У. X. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений с улучшенной сходимостью для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с характеристическими слоями // Сборник тезисов XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученных «Ломоносов-2011», секция «Вычислительная математика и кибернетика». М., 2011, С. 123-124.

6. Zhemukhov U. Kh. Uniform grid approximation of nonsmooth solutions to singularly perturbed convection-diffusion equation with characteristic layers // The Abstracts of NAA'12: Fifth Conference on Numerical Analysis and Applications, Lozenetz, Bulgaria, Organized by University of Rousse, June 15-20, 2012, P. 59.

7. Жемухов У. X. Об оценке погрешности численного решения сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с угловыми особенностями // Сборник тезисов ежегодной научной конференции «Тихоновские чтения», секция «Математическое моделирование и вычислительные методы». М.: МАКС Пресс 2013, С. 42-43.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 19.11.2013 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 390.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. Тел./факс 8(495)939-3891.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА_

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи 04201451638 ,гл .

ш

УДК 519.63

Жемухов Умар Хазреталиевич

РАВНОМЕРНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

Диссертация на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В. Б. Андреев

Москва—2013

Оглавление

стр.

Введение 3

Глава 1. Сеточная аппроксимация смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с характеристическими слоями и угловыми особенностями 13

1.1. Постановка дифференциальной задачи.............. 13

1.2. Разностная схема на кусочно-равномерной сетке......... 16

1.3. Оценка погрешности при малых значениях параметра...... 21

1.4. Оценка погрешности при не слишком малых значениях параметра 29

1.5. Численные результаты........................ 36

Глава 2. Оценка сходимости численного решения для уравнения теплопроводности на отрезке при ограниченной гладкости решения в окрестности угловой точки 39

2.1. Свойства решения и производных дифференциальной задачи . 39

2.2. Сеточная функция Грина и ее оценки..............................42

2.3. Оценка погрешности аппроксимации и сходимость................45

2.4. Численные результаты................................................50

Глава 3. Равномерная оценка погрешности неявной четырехточечной разностной схемы для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с угловыми особенностями 52

3.1. Постановки дифференциальной и разностной задач....... 52

3.2. Декомпозиция решения и оценки производных.......... 54

3.3. Оценка погрешности сеточного решения.............. 59

3.4. Численные результаты........................ 66

Список литературы 69

Введение

При исследовании многих процессов в физике, химии, биологии, технике и других областях науки, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим, часто возникают задачи, описываемые сингулярно возмущенными уравнениями, т.е. уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Характерной чертой сингулярно возмущенных уравнений является то, что их решения имеют в областях, где они определены, особые узкие зоны (пограничные слои), в которых происходит резкий переход от одного устойчивого состояния к другому или к заданным граничным значениям. Такие ситуации возникают, например, в задачах гидродинамики, связанных с решением уравнений Навье-Стокса при малой вязкости или же в задачах газовой динамики, когда в окрестности ударных волн газ переходит из дозвукового в сверхзвуковое состояние. Для химических реакций также типичен быстрый переход из одного состояния в другое. В биологиии подобные резкие изменения происходят в популяционной генетике. Примером, где малый параметр естественным образом входит при главной части дифференциального оператора, является уравнение Шредингера, в котором в роли малого параметра выступает величина кванта действия. Если эту величину устремить к нулю, то некоторые законы квантовой механики переходят в законы классической механики.

Основоположником теории пограничного слоя считается немецкий физик и механик Людвиг Прандтль (Ludwig Prandtl), который в 1904 г. в своем докладе "'О движении жидкости при очень малом трении,'- прочитанном на Международном математическом конгрессе в г. Гейдельберге, дал объяснение тому, каким образом малые силы вязкости оказывают существенное влияние на характер движения жидкости и показал, что течение в окрестности тела можно разделить па две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебрегать. Впоследствии эта гипотеза дала мощный толчок к дальнейшему развитию теоретических исследований.

Математическое обоснование явления пограничного слоя состоит в том, что при е —> 0 решение сингулярно возмущенной краевой задачи стремится к решению вырожденной (г=0) задачи на всем множестве определения, за исключением малой окрестности границы области. Так как порядок вырожденного уравнения ниже, как минимум, на единицу, чем порядок исходного уравнения, то часть граничных условий оказывается лишней применительно к вырожденной задаче и эти неиспользованные условия приводят к быстрому переходу решения от значений внутри области к граничным значениям, что способствует появлению в окрестности границы так называемых пограничных слоев, где производные решения сингулярно возмущенного уравнения не являются

ограниченными равномерно по малому параметру. Достаточно много примеров, иллюстрирующих сказанное, можно найти в работах [23, 63, 76, 79].

На ранних стадиях исследования сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, когда численные методы еще не имели такого развития, как в последние годы, существенную роль в построении приближенных решений, а также в изучении структуры решения играли асимптотические методы. Эти методы и в настоящее время не утратили своей роли и продолжают оставаться важным аппаратом для исследования свойств решений уравнений с малыми параметрами. Существуют разновидности асимптотических методов, такие как метод Люстерника-Вишика и основанные на нем [13, 14, 15, 16], а также его обобщение [47], метод внутренних и внешних разложений [31, 32] и метод, изложенный в [37], основанный на регуляризации исходной задачи. Кроме перечисленных, также отметим серию работ [66, 86, 87, 88] по асимптотическим разложениям для параболических уравнений с угловыми особенностями, появившихся относительно недавно.

Теории пограничного слоя посвящено большое количеству работ, среди которых отметим, ставшие уже классическими, работы [12, 39, 40, 50]. Достаточно подробный обзор, посвященный сингулярно возмущенным уравнениям в частных производных, охватывающий период 1980 — 2000 гг. дается в [69], а в работах [70, 81] приводится обзор по вычислительным методам для различных классов сингулярно возмущенных задач.

Из-за наличия пограничных слоев классические сеточные методы малоэффективны для численного решения сингулярно возмущенных краевых задач. Это объясняется тем, что производные, входящие в оценку погрешности аппроксимации, зависят от малого параметра и не являются ограниченными при г —> 0 вблизи границы. Приближенные решения, полученные с помощью таких методов на равномерных сетках, плохо аппроксимируют (см. [23, 74, 76, 81]) при малых значениях параметра решения исходных задач или вовсе не сходятся к точному решению.

Поэтому для сингулярно возмущенных краевых задач возникает проблема разработки специальных сеточных методов, обладающих свойством равномерной по параметру сходимости. На пути создания таких методов сложились два направления: использование так называеемых подгоночных схем на равномерных сетках и построение специальным образом сгущающихся в области погранслоя сеток. В первом случае равномерная сходимость обеспечивается за счет выбора коэффициентов (они подгоняются, с учетом информации о погранслойных составляющих решения дифференциальной задачи) разностных уравнений. Такая схема была предложена независимо в работах [31] и [58], причем в первой из них было дано строгое обоснование схемы. Подгоночные методы широко применяются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [11, 23, 72]). В работах [24, 25, 52, 53] с помощью метода подгонки

строились разностные схемы для уравнений в частных производных с регулярными пограничными слоями.

В методах, использующих сгущающиеся сетки, на выбор разностных уравнений ограничений не накладываются — сетка выбирается из условия равномерной по параметру аппроксимации точного решения. Этот метод был предложен в знаменитой работе Н. С. Бахвалова [9] и впервые применен для численного решения сингулярно возмущенной задачи. В указанной работе была построена, сгущающаяся внутри области погрансоя по логарифмическому закону, сетка в прямоугольнике и для приближенного решения эллиптического уравнения с малым параметром при части старших производных получена равномерная оценка точности 1п/V).

Другой важный класс сгущающихся сеток образуют так называемые кусочно-равномерные сетки Шишкина, разработанные спустя некоторое время после появления сетки Бахвалова. В основе построения кусочно-равномерной сетки Шишкина лежит требование, чтобы погранслойная составляющая решения вне слоя была ограничена величиной М~а, где о — порядок точности разностной схемы. Отличие таких сеток от сеток Бахвалова состоит в том, что внутри пограничного слоя мелкий шаг сетки выбирается равномерным, а граница погранслоя задается явно и зависит от количества узлов сетки. Этот подход используется в монографии [51] при построении, равномерных по параметру, численных методов для достаточно общих классов сингулярно возмущенных уравнений в частных производных.

Подробное изложение численных методов решения сингулярно возмущенных задач на сгущающихся сетках дается в работах [74, 76, 81], а в [68] содержится краткий обзор некоторых важных результатов в этой области к настоящему времени.

В данной работе основное внимание будет уделено анализу равномерной по параметру сходимости конечно-разностных методов решения краевых и начально-краевых задач для сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений при наличии угловых особенностей у производных решений. В связи с этим остановимся на этой проблеме и дадим некоторый обзор.

Хорошо известно [38, 43, 44], что гладкость искомого решения дифференциальной задачи оказывает существенное влияние на точность приближенного решения, найденного конечно-разностным методом. В вычислительной практике часто встречаются задачи (см. [5, 33, 64] и цитированную в этих работах литературу), решения которых имеют ограниченную гладкость из-за особенностей в отдельных точках у самого решения или у его производных. Примерами таких задач являются задачи в областях с негладкой границей [34], задачи с сосредоточенными источниками, задачи с разрывными граничными условиями, смешанные задачи и т.д. В случае задач в областях с угловыми точками особенности возникают из-за не выполнения условий согласования (см. [17, 21, 67]) в угловых точках, в следствие чего производные решения неограни-

ченно возрастают вблизи этих точек. А это часто становится причиной существенного усложнения анализа погрешности численного решения или же снижения порядка точности приближенного метода. Однако есть случаи (см., например, [1, 2, 3]), когда рост производных в окрестностях угловых точек не приводит к (существенному) ухудшению погрешности приближенного решения, но обоснование этого факта требует дополнительных специальных исследований. Поэтому при изучении сходимости численных методов решения задач с негладкими данными возникает необходимость более детального исследования известных методов или создание их модификаций.

Численные методы решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона с угловыми особенностями и разрывными граничными условиями рассматривались, например, в работах [8, 19, 20, 22]. В первой из них исследуются сеточные аппроксимации задачи Дирихле в верхней полуплоскости с разрывным граничным условием г>(а;,0) = в1§п(а;), решение которой ограничено, а первые производные имеют особенности типа полюса первого порядка. В этой работе доказывается единственность сеточного решения, найденного в интегральной форме, а также строится асимптотическое разложение решения в дали от точки разрыва, с помощью которого для решения пятиточечной разностной схемы получена оценка погрешности 0(Н2) вне конечной окрестности точки разрыва.

В работе Е. А. Волкова [19] изучались разностные методы решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнке и некоторых треугольниках при различных предположениях о гладкости входных данных и их согласованности в угловых точках. Так для уравнения Лапласа в прямоугольнке с краевыми условиями Дирихле было доказано, что при минимальных требованиях на согласованность граничных функций в угловых точках решение пятиточечной разностной схемы на равномерной сетке имеет точность 0(1г21п /г-1). Эта оценка обобщена в работе [20] на случай трехмерной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольном параллелепипеде. А в [22] исследуется задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде с разрывными на ребрах граничными функциями и устанавливается, что максимальная погрешность разностного решения, найденного по обычной семиточечной разностной схеме, ограничена снизу положительной постоянной при достаточно малом шаге сетки Н, т.е., вообще говоря, не сходится в равномерной метрике. Но при дважды непрерывно дифференцируемых на замкнутых гранях граничных значениях погрешность разностного решения на конечном расстоянии от ближайшего ребра оценивается величиной 0(Н2\ 1п Н\).

Известно (см. [61, 71, 75, 85]), что решения сингулярно возмущенных краевых задач для уравнений в частных производных могут иметь сложную структуру, включающую регулярные, параболические (характеристические) [59, 80] и угловые пограничные слои. Если, кроме того, решения таких задач или их производные имеют угловые осо-

бенности, то при построении равномерных по параметру численных методов решения возникают дополнительные сложности, связанные с исследованием погрешности. А с другой стороны, как известно, для анализа погрешности аппроксимации дискретной задачи важно иметь поточечные оценки производных искомого решения. Эти оценки для регулярных (без малого параметра) эллиптических и параболических уравнений, обычно, получаются как следствие гельдеровых оценок (см. [35, 36]) вплоть до границы. Но в сингулярно возмущенном случае, чтобы в полной мере выявить характерные свойства решения и производных, целесообразно сначала строить декомпозицию [51] искомого решения на регулярную, погранслойную и угловую составляющие, которая позволяет получить оценки решения и производных отдельно для каждой компоненты. Такое разложение впервые было построено в работе Н. С. Бахвалова [9] для получения оценок производных решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи. Позже разными авторами были предложены [71, 78, 82, 83] и другие варианты декомпозиции решения сингулярно возмущенных задач. В последних двух из этих работ при построении декомпозиции точного решения частично использовался подход, основанный на асимптотических методах.

Отметим работы [1, 2, 3, 4, 6], где изучались конечно-разностные методы решения краевых задач для сингулярно возмущенных двумерных эллиптических уравнений с угловыми особенностями. Так в [4] рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в единичном квадрате в предположении, что коэффициент уравнения, его правая часть и граничные значения принадлежат классу С4'А, А 6 (0,1), а в угловых точках выполнены только условия непрерывности, из-за чего решение принадлежит в замкнутом квадрате только классу С1'^, ¡л 6 (0,1). В указанной работе при этих предположениях получена равномерная по е оценка погрешности 0(Ы~2 1п4 /V) в сеточной норме Ь^ для решения классической пятиточечной разностной схемы на кусочно-равномерной сетке Шишкина, аналогичная оценке из [60], которая была получена для гладкого случая, предполагающего выполнение в угловых точках условий согласования, обеспечивающих принадлежность решения в замкнутой области классу С4,А. Этот результат в [4] получен с помощью новой априорной оценки через Ь^-норму правой части, примененной в окрестностях угловых точек. Задача из [4] была рассмотрена в [26] на сетке Бахвалова и при тех же предположениях о входных данных доказана оценка погрешности 0(ЛГ-2).

В работе [6] исследуется та же задача, что и в [4] с теми же предположениями о гладкости входных данных и об условиях согласования в угловых точках, но в ¿-образной области, одна из вершин которой образует угол 3-7г/2. В окрестности этого угла решение принадлежит только классу С2/3 и повысить порядок гладкости за счет выполнения локальных условий согласования в отдельной точке не возможно, для этого требуются некоторые интегральные соотношения [18] на всей границе области, проверить кото-

рые можно только зная точное решение. В этих предположениях построена классическая пятиточечная разностная аппроксимация на видоизмененной сетке Шишкина со степенным кубическим сгущением узлов в окрестности вершины, имеющей величину угла 37г/2 и доказано, что приближенное решение имеет равномерную по е точность 0(А'-21п2 А') в сеточной норме Ь

В [3] рассматривалась смешанная краевая задача в квадратной области для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии с усло�