Асимптотика решений краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ол . 3 М»

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕШ1ЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ У1НШЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи Шарипова Жанат Умирсеитовна

УДК 517.9

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертащш на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ 1996

Работа выполнена в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби.

Научный руководитель: член-корреспондент ПАН РК, доктор физико-математических наук, профессор К.А. КАШЮВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М.И. РАХШБЕРДИЕВ, кандидат физико-математических наук, профессор Е.Ы. БИДАШЕКОВ.

Ведущая организация: Кыргызский государственный университет.

Защита состоится "_"_ 1996 г. в_часов на заседании специализированного совета К 14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алматы, ул.Масанчи,39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

Ученый секретарь спецсовета, кандидат физико-математиче- \ ,

ских наук, доцент / ^ Б.М. КАДЫКЕНОВ

Актуальность теш. Важность асимлтоттесккх методов в теории дифференциальных уравнений Сила ясно осознана математиками во второй половине девятнадцатого столетия. Однако только в последние пятьдесят лот стало ясно, насколько вапш асимптотические рады для понимания структур« репеиий дифференциальных уравнений, п что они неизбежно возникают во многих вопросах прикладной математики. Число задач, при ренегата которых такие ряда могут бить использованы, весьма велико и непрерывно возрастает.

Начало новому направлению в области дифференциальных уравнений и математической физики - теории сингулярных возмущений - положили работы академика РАН Л.Н. Тихонова.

Сингулярно возмущенные уравнения, т.е. уравнения с малыми параметрами при старших производных, являются важным классом дифференциальных уравнений. Это связано с большой прикладной значимостью этих уравнений. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов з физике, механике, химии, биология, технике. Так некоторые прикладные задачи химической кинетики и горения, физики полупроводников, задачи о распостракепгл тепла в тонких телах, задачи об акустических колебаниях в среде с малой вязкостью, задачи оптимального управления, а также задачи биохимии и биофизики приводятся к сингулярно возмущенным уравнениям.

В вышеуказанных работах А.Н. Тихонова была дата общая постановка задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старлей проаз-водной, и доказана футзд&ментзльная теорема о предельном-переходе от репения сингулярно возмущенней задачи п реаенив невоз-мущешюй задачи.

Существенный вклад в развитие теории сингулярно £С2."Упен-!шх дифференциальных уравнений внесли работы М.И. Brsnna, Л.А. Люстернииа, U.C. -Градагейна, 0.'Вазова, К. Ван-Дайка, Л.С.Пои-трягина, F,Л. î.'nseimo, Н,Х. Розова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Кутузова, W.11. Кманалкева, С.А. Ломова, В.А. Трекопша, В.Л. Тупчнева, К.А. Касимова, М.М.' Хапаева, Дя. Коула, А.Х. ИаРф, К. Чанга, Ф. Хауэса и др. .

Особнй интерес в теории сингулярных возмущений представ-

ляют так называемые задочи с начальным скачком. Впервые М.И. Бшпиком, Л.А. Люстертаком и К.А. Касымовым било отмечено следующее явление: решение сингулярно возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю стремится к решению невозмущенного уравнения, но уже с измененным условием. Это явление принято называть явлением начального скачка. Причем характерной особенностью этого явления является то, что производные решений этих задач неограничены в точке начального скачка при стремлении малого параметра к нулю. Кроме того, оказывается, что некоторые краевые задачи для сингулярно возмущенных уравнений эквивалентны задаче Коли с начальным скачком.

Построение асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач является ванной задачей как с теоретической, так я с прикладной точек зрения.

11члью работы являются получение оценок решений ::раевых задач с начальным скачком для линейного дифференциального уравнения третьего порядка с малым параметром при двух старших производных с невозмущенными и возмущенными краевыми условиями, получение оценок разностей между решениями сингулярно возмущенных и невозмущенных задач, выяснение характера поведения решений сингулярно возмущенных краевых задач и их производных в точке начального скачка, а также построение асимптотических разложений решений с оценкой остаточного члена с любой степенью точности по малому параметру.

Научная новизна. Во многих работах, посвященных исследовании краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и систем, в основном изучались такие задачи, в которых наличие начального скачка т -го порядка решения было обосновано соответствующим характером поведения решения и его производных в точке начального скачка. В частности, явление начального скачка нулевого порядка имело место там, где наблюдался неограниченный рост первой производной решения при стремлении малого параметра к гулю. Оказывается, что при определенных условиях такая взаимосвязь монет нарушаться. Изучению этого явления и посвящена настоящая диссертационная работа. Проведенные исследования показали, что наличие малого параметра при нескольких старших производных качественно меняет свойст-

ва решений сингулярно возмущенных краевых задач. Для обеих рассмотренных сингулярно возмущенных краевых задач имеет место /тление начального скачка нулевого порядка, но решения в начальный момент времен'/, при стремлении иалого параметра к нули имеют различный характер поведения, т.е. необходимо различать степень начального скачка нулевого порядка. Впервые вводятся понятия начального скачка нулевого порядка первой п второй степени.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации г-'огут быть применены при качественном исследовании и при практическом решении некоторых задач фдзшш', механики и других областей науки. Полученные асимптотические разложения решений пригодны в качество началышх приближений для реализации численных методов.

Сплзь хама днссо.ртя'гат; р. щщщш ДИЖЯЛЛ И8ХКЗ- Диссертационная работа выполнена с соответствии с темой (^ндамента-льных исследований КааГУ или Лль-Фарабт» "Асимптотические методы сингулярно возмущенных уравнений".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедр механико-математического факультета КазГУ км. Аль-Фараби / руководители семинаров: профессору К.А, Игзсы'.'ов, Д. 1,5. Мнрзалпсв, 11!.С. О/агулов, С.II. 'Го-штрбулатов, 13.Т. Темиргалиев, А.Б. Тунгатаров /, на яполе-со~' минаре по математике п механике, посвященном БО-летяв члока-корр. НАН РК, профессора К.Л. Каснмова /Алиаты, 1995/, на научно-методической конференции КаэГАУ /1995/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых призеден в конце автореферата,

стпуктуст д объем жйазвзашш. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разделенных на параграф, п списка литературы пз 54 наименований. Обгздй объем диссертации -136 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОЗЫ

Во введении приводится краткий обзор истории развития асимптотических методов решети сингулярно возмущенных задач, формулируются задачи, обосновывается практическая и теоретическая ценность изучаемых задач, излагается основное содержание диссертация.

В первой главе рассматривается сингулярно возмущенное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка:

LAy*6yu4£J,(i)y"*JI,(i)y,+JI,(t)y' F(t) (I) со следующими краевыми условиями • i¿(o,e)-do , = у(, (2)

где £>0 - мадий параметр, o¿«, , d, , J30 - известные постоянные. Предполагаете;!, что:

I, 'Функции F(i) , te0,2 являете.« достаточно гла-

дкими на отрезке [0, -fJ .

íi. Функции Jo(^) и Л,ft) на отрезке [0,{j удовлетворяют условиям:

s cowat>0 , Л,it) г 0 , 0¿tá1 .

¡li. функции JJi(-) и J<¡(*) на отрезке [о, 1] удовлетворяют условиям:

где J^i ft) являются действитeльш;ми корнями уравнения:

jü'ft) + Jo(i)JU*) +Jl.ít) = 0 . (3)

1У. Функции J^(t) , Л2Ш и постоянные Л, , В0 такие,

что справедливо неравенство:

¿л,(о ^¿^с*) }

При £=0 из (I) получаем невозмущенное дифференциальное уравнение

идзА^д'+АФу*™)- (4)

В §1 дано определение:

Будем говорить, что решение уСМ) сингулярно возмущенной краевой задачи (I) , (2) в точке i = 0 отрезка [О, -I] обладает ямашзаа шшдьши скаака шжашз пшшз степени, если решение удовлетворяет следующий усло-

виям:

I/ значение у(0,£) решения при £-*0 не со-

впадает со значением у (о) решения , т.е.

у(0,£)у(о) при £ -г 0 ,

где у С'Ь) - решение такой невозмущенной задачи, что к этому решению стремится решение у(Ь^) сингулярно возмущенной правой задачи (I) , (2) на ,

2/ значение у'(0,£) превой производной решения у(Ь,е) ограничено при б -*0 , и значение второй производ-

ной решения неограннчено растет порядка 1/ег при £~*0 , т.е.

11'(о,е)* 0(0 , $ (о,*) = О (£) . *.

В §2 для однородного уравнения, соответствущего уравне-• нию (I) , получены асимптотические представления корней характеристического уравнения при £ -»0 , построена фундамекталь-

ная система решений.

Для определения вида точного решения сингулярно возмущенной краевой задачи (I) , (2) построены функция Коши (§3), специальное функция краевых задач (§4), функция Грина (§5), получены их асимптотический представления и оценки по малому параметру.

В §6 доказана следующая

ТЕОРЕМА 1.1. Если выполнены условия 1-Ш, то при достаточно малых С решение усингулярно возмущенной краевой задачи (I),(2) на отрезке [0,1] существует, единственно и имеет оценки:

+ ^¿гй,1 + '

где. С>0 - некоторая постоянная, не зависящая от ^ и £ , О - постоянная, Фигурирующая в условии П.

На основании теоремы 1.1 получено, что решение у(*>£) сингулярно возмущенной краевой задачи (I) ,(2) на всем отрезке [о, V] при стремлении малого параметра к нулю не будет стремиться к решения некозмущенного уравнения (4) с начальным условием в левой точке рассматриваемого отрезка.

Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнены условия 1-Ш. Тогда при достаточно малых € для разности между решением сингулярно возмущенней краевой задач» (I) , (2) и

решением у (*) невозмущенного уравнения (4) с начальным условием

(5)

на отрезке О^ + Я справедлив« следующие-оценки:

где С > О , у > О ~ постоянные, не зависящие о? i и £ .

Таким образом, пз теоремы 1.2 непосредственно следует, что решение у (Ч,«) сингулярно возмущенной краевой задачи (I) ,(2) стремится к решении ^(Ь) невозмуцениой задачи (4), (5), причем это предельнее стремление является равномерным не на всем отрезке , а на отрезке 0< , где

■10 - достаточно малое фиксированное при <£ -+0 число.

Далее получено, что решение у(1;,£) сишулярно возму-' щенной краевой задачи (I) ,(2) при £-*0 в точке Ъ- 0 кле-ет следующий характер поведения:

= . (6)

Тогда по определению при выполнении условия

I У «>,е)1 «о/, * а (о), ■

сингулярно возмущенная краевая задача (I) , (2) обладает явлением начального скачка нулевого порядка второй степени.

Яда построения асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной краевой задачи (I), (2) в §7 рассматривается задача Коти с начальным скачком нулевого' порядка второй степени, задаваемая с учетом (6) в точке *в виде: .

где С(6) - некоторая неизвестная величина, зависящая от € ре^лярно: С(€) = Со + + £*Са-г... , а неизвестные постоянные Ск определятся однозчачно при построении асимптотики так, чтобы решение задачи Коши с начальны?/ скачком (I) ,(7) удовлетворяло краевому условию (2) при „

Методом пограничных функций асимптотическое разложение решения задачи Коши с начальным скачком (I), (7) построено в виде

N ЛЧ2

и(М) = Г5'СН<(*)+2Г£,: , (8)

О с»0 У К*>0

где Т=*/е - по.гранслойная независимая переменная, -

регулярные члены асимптотики, - погранслойные при Т>0

члени асимптотики, причем коэффициенты Ук.0) , к-677? на отрезке однозначно определяются из начальных задач

для линейных дифференциальных уравнений первого порядка и ограничены, а коэффициенты 1Уе (т) , при Т>0 однозначно определяются из начальных задач для линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с постоянными коэффициентами и являются функциями типа пограничного слоя /соответст- • вуицие оценки доказана в §8/, и остаточный член тлеет оценку:

Се"*1 ,

где С>0 - некоторая постоянная, не зависящая от "Ь и С , А'г-О - лвЗое.целее неотрицательное число. Так сформулирована и доказана теорема 1.3 (§9).

Далее в §10 последовательно найдены постоянные Ск , к г о, л-+2 , и доказана следующая

ТЕОРША 1.4. Пусть выполнены условия 1-1У, Тогда при достаточно малых £ в некоторой малой, но не зависящей от £ окрестности значения СЬ ^ О существует единственное значение с= с(е) такое, что решение задачи Кояи с начальный

скачком Ш ,(?) является решением y(t,£) сингулярно возмущенной краевой задачи (I), (2) на отрезке [0, -)] , и оно допускает асимптотическое представление (8).

Отметим, что значение G> можно определить непосредственно из представления для у"(0,£), записанного d §6:

" [ 77" е*р ([ ~~ dx) ds] .

¿Ató ' J

Это se самое выражение для Со получается при построении асимптотики, причем С. ¡¿О в силу условия 1У.

Во второй главе рассматривается сингулярно возмущенное уравнение (I), но уже с возмущенными краевыми условиями следующего вида:

<50 уÓ, (9)

где об ,<Ja , S , <50 , J5 ,j}c - известные постоянные.

Потребуем выполнения условий 1,П, Ш главы I, нроме того, предполагается, что:

IV. Функции J¡((t) , Л, (i) и постоянные do , 5., jJ„ , такие, что выполняются неравенства:

alo* у Jl,(<)fo -ACVfl 3е 0 .

V. Функции «Я« (У, Jt(-t) , F(-t) и постоянные J0 , , Se , <S , J> , такие, что справедливо неравенство:

¿o.

JJ.U) r «*,(*) ; .

Невозмущенное уравнение, получающееся из уравнения (I) при £ -О , также имеет вид (4). * В §1 дано следующее определение:

•Будем говорить, что решение y(t,£) сингулярно возмущенной краевой задачи (I) , (9) в точке t=0 отрезка [0,-i] обладает явлением начального скачка нулевого порядка первой степени:

I/ значение ц(0,£) решения при £-»0 не сов-

падает со значением ^(о) решения , т.е.

у (0,0 * g (О) , £-0 ,

где у(*} - решение такой невозмущенной задачи, что к этому решению стремится решение сингулярно возмущенной кра-

евой задачи (I) ,(9) на 0 ¿té Y ,

2/ значения ij'(0>ej первой производной и ц"(С,£) второй производной решения y(t,£) неограничено растут порядка Vfi и соответственно при £-*О , т.е.

Я'(ол)- 0(j) , ¡¡■■(o,£)-û(jl) .

Также, как и в главе I, для определения вида точного решения сингулярно возмущенной краевой задачи (I),(9) построены специальные функции краевых задач (§2), функция Грина (§3), получены их асимптотические представления и оценки по малому параметру.

В §4 при выполнении условий 1-1У доказаны существование . и единственность решения сингулярно возмущенной краевой задачи (I) , (9) , получены оценки решения /теорема 2.1/:

iij(U)U C[(laM6l) + W + *™*fIF(i)l] >

|y'{t,Ö|i ~[(lol+iei)e*p(-j|) +(|j?| + ma* IFiOl) a

+1^1 (с2 + еур | Р(*)| {& + ехр

где

<=¿-5 „ с(06-оС80

а- , 6 =

<=4—£0 с^о — 5 0 г

С>0 1 ^ > О _ постоянные, не зависящие от í и £

Для сингулярно возмущенной краевой задачи (I) ,(9) на основании теоремы 2.1 получено, что решение у«>£) на всем отрезке [0,-1] при отрешении малого параметра к нулю не будет стремиться к решению невозмущенного уравнения (4> с начальным условием в левой точке рассматриваемого отрезка, а стремится при выполнении условий 1-1У к решению у ("О невозмущенного уравнения (4) с начальным условием:

+ > <10)

но не всем отрезке О*!^ , а на отрезке \ % гдв

и - достаточно малое фиксированное при <5 ■+ 0 число /теорема 2.2/.

Получено, что репение сингулярно возмущенной

краевой задачи (1),(9) при ¿->0 в точке "Ь=0 имеет следующий характер поведения:

jjio.fi)-О(0 , ОС^-), ¡¡"М-О^). (п)

Тогда по определению при выполнении условия

сингулярно возмущенная краевая.задача (I), (9) обладает явлением начального скачка нулевого порядка первой степени.

Исходя из характера поведения (II) решения син-

гулярно-возмущенной краевой задачи (1),(9) в точке 1=0 , в

§5 для построения асимптотики рассматривается задача Коти с начальным скачком нулевого порядка первой степени:

■y(0,i)=û(e) , ijW)^ , у'(О.с)*^ , (12)

где а(£) , , С СО - неизвестные пока величины, зависящие от £ регулярно:

а(е)= QP + <£Q4+-&гаг + ••• ,

С(е) = Со + <£С< + <?*-сг + ... ,

а Ок. , , С*. - неизвестные пока постоянные, подлекащи< определению. Причем постоянные ût , , О О в отличие о-постоянных С к , кг-û определяются сразу из краевых условий (9) при t =0 однозначно, а постоянные Ct определяются однозначно-при построении асимптотики последовательно так, чтобы решение задачи Коли с начальным скачком (I) ,(12) удовлетворяло краевому условию (9) при t-И ,

Асимптотическое разложение решения задачи Коти с начальным скачком (I) , (12) строится также в виде (8).

В §5 записаны начальные задачи для однозначного определения коэффициентов разлокения (8}, в §6 получены соответствующие оценки, доказано /теорема 2.3/, что остаточный член имеет порядок 0(е"*4) (§7). В §8 после нахождения значений СР , £¿0 доказано, что на отрезке [0,-1] решение задачи Коши с начальным скачког, (I) , (12) является единственным решением сингулярно возмущенной краевой задачи,(I),(9) /теорема 2.4/.

Подчеркнем, что для значения Со из представления для §4 и при построении асимптотики получено одно и то ке выражение :

J}0(o){Jo8-JLSo) + J{,(o)(°(>-S) ft =----- *

+

В конце каждой главы приведены примеру, иллзстриружцие полученные результаты.

В заключение отметим, что для сингулярно возмущенного уравнения (I) мо^но рассмотреть краевые условия более общего вида, например:

При определенных дополнительна условиях с помощью гораздо более громоздких вычислений иояно доказать, что сингу- ■ лярно возмущенная краевая задача (1) , (13) будет обладать яз-.. лением начального скачка нулевого порядка первой степени. Для построения асимптотического разложения решена5! этой задачи мояно также использовать задачу Копш с начальным скачком (I), (12)' с той только разницей, что в этом случае определение .постоянных С1 х , Ь.А , С с будет иметь свои технически сложные особенности.

Автор внракает глубокую благодарность научному руководи- . телю профессору Каскмову Кулжабаю Абдыкалыковичу за постановку задач и неоценимую помощь в научных разработках.

о/о у(0,б)'+£Л< 1/(0,&) + у»(0,£) =с!, 6с у(0,£) & б, £) +£1 Ц*10.£)=-6,

(13)

Оспотте результаты диссертации опубликованы в. работах :

1. Каснмов К.ЛШарапова К.У. Асимптотические оценки ре-еоикя краевой задачи для спнгулярпо возмущенных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка //Вестник КазГУ. Сор. матем. Алматы, 1993, М, с.146-150.

2. Шарипова Е,У. Построение асимптотического решения краевой задачи с начальным скачком для линейного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения третьего порядка без возмущения краевых условий. - Рукоп. деп. в КазгосШГШ 28.08. 95, №6346-Ка95, 23 с.

3. Шарипова л'.У. Асимптотика решения краевой задачи с начальным скачком для линейного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения третьего порядка с возмущением краевых условий. - Рукой, деп. в КазгосШГШ 20.03.95, Я6347-Ка95, 21с.

4. Шарипова Ж.У. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для дифференциального уравнения третьего порядка с возыупанием краевых условий// Материалы юколы-семинара но математике и механике, посвященного 60-лети» чл.-корр. ПАИ РК К.Л. Касымова. Алматы, 1995,с.159

5. Каскмов К.А., Шарипова Ж.У. Оценки решений сингулярно возмущённых краевых задач с невозмущенными краевыми условиями для линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. -Рукой, дсп. в КазгосШГШ 20.02. 96, Къ73Э-Ка96, 19 с.

Личный вклад диссертанта. Все научные результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены диссертантом самостоятельно, а соавтору принадлежат постановка задачи и обсуждение работы.

- 17 -

Hlcplrrosa Жзизт Oulpcetir дша/

Сызыкзык, дифференциал тсшеулер ушш бастапкы уз™СГСР* iiieicriK есептер шгтшмдершщ асхп.штотикасы

Днсссртахшялык, жумыста ушштш жопе екЬпш туьпщшгары алдьпща jdnii параметр бар yniiimxi psni сызьпешк дифференциал тецдеу yxuiii бастагпда у-ь'пстср! бар си. турт шектпе сссптер карастырылгагl Шекпк шартгардык 6ip Typi xinri параиетрт, «I екЬпш турццц курамына Kimi параметр енпзшмегеи. К^растырылгап есептерд» зерггсу штскелерк

1) ешцуляр ауыткыган шгкггк eceirrep шешЬ.едср1 Сагала!ггаа,

2) еппгуляр ауыткыган жопе ауьпхымаган есептсрдщ шешшдгрцвд айырмалары багаланган,

3) бастапкы уз uric нуетеспие ссептердщ шешз>1дер1 мен олардьщ тушгдыларшгыц касие-rrepi зертгелген,

4) стггуляр ауыткыган шектпе есептсрдщ шешшдерпш]; асимптотшсасы курылган,

5) ас11мптот11калардьщ калдыц мушелср1 Kintl параметр аркылы хкз келген дэгдпшен багаланган.

Shzripova J&nat Umirseitems

Asymptotic solutions of boundary value problem with initial jumps for linear

differential equations

In this investigation the boundary value problems witli initial jump for 'bird order linear differentia! equations with small parameter before two oldest derivatives have been researched . Tliis equation have been considered with perturbed and noupeitubed boundary conditions. The main results are:

1) obtaining of solutions estimates for singularly pertubed boundary value problem;

2) receiving of estimate of differences between solutions of singularly pertubed and Honperlubed problem;

3) learnin.;; of solutions and their derivatives beliaviour in the point of initial jump; "; .

4) constructing of this problem asimptotic decomposition;

5) receiving of asimptotic residual members estimates with any degree of correctness for small paramctr.