Асимптотические решения краевых задач с начальными скачками для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ШАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - " ;; р. 1 имени АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

ЕСИМОВА Алма Тельмановна

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАШ ДЯЯ СИНШЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматн - 1996

Работа выполнена в Агша-Атпнском государственном университете имени Абая.

Научный руководитель - член-корреспондент HAH PK, доктор

фчэико-математических наук, профессор К. А. Касымов Официальный оппоненти: доктор $язико-математических

наук М. Т. Днёнапиев, кандидат фазико-математических наук, доцент Н. Б. Биадилов Ведущая оргеинзаиия - Институт математики АН Республики Кыргызстан

Зашита состоится " 996 г. в часов

на заседании спегаалпзнрованного совета К 14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата фазико-математических наук при Казахском государственном нащонпльном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/4?.

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке КаэГУ тт. Аль-Фараби.

• Автореферат разослан

»Л-»(^ejfiausL-1996 г, -

Ученый секретарь специализированного совета К 14/А.01.05 при КазГУ, кандидат фагико-катвиатичоских паук, доцент • б. М. Каднкенов

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Под влиянием стремительного развития таких областей науки, как теория автоматического регулирования, теория нелинейных колебаний, газодинамика, гидродинамика, квантовал механика, химическая кинетика и др., на протяжении примерно последних сорока лет поддерживается постоянный интерес многих исследователей к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям.

Исследование дифференциальных уравнений с малыш параметрами при производных началось с работ А. Н. Тихонова, посвященных проблеме о зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра, доказательству фундаментальной теоремы о предельном переходе для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие теории сингулярных возмущений происходило по нескольким направлениям.

В начале 50-х годов Н. Левинсоном и 0. А. Олейником били доказаны первые теоремы о предельном переходе для сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Алгоритм построения равномерного асимптотического разложения начальной задачи, рассмотренной А. Н. Тихоновым, а также ряда сингулярно возмущенных краевых задач создан А.-Б. Васильевой. Общий подход к построению асимптотики решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных бил формулирован впервые М. И. Впвиком и Л. А, Люстерником. Метод построения асимптотического разложения решений нач^тьных а краезых сингулярно возмущенных задач для интегро-дифференпи-альных уравнений предложен М. И. Иманалиевым. В последующей метод построения асимптотики, разработанный в работах А. Б. Васильевой, И. йгаика и Л. А. Люстерника, М. И. Иманаляева,

стал называться методом пограничных фунюнй. В настоящее время существуют разные модификации этого метода. Например, можно отметить, что для построения асимптотики реиекий дифференциальных уравнений в частных производных в областях, границы которых содержат угловые точки, В. Ф. Бутузовым был введен новый тип пограничных функций - угловые пограничные функции.

Работы Л. С. Понгрягина, Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова оказали решающее влияние на развитие теории релаксационных колебаний - крупного направле.'гкя в теории сингулярных возмущений. Рдд направлений связан с работами следующих математиков: С. А. Ломова/метод регуляризации/, А. Ы. Ильина я его ученике в/метод сращивания/, В. П. Маслова и ого учеников/ методы ВКБ/. В монографиях В. Вазова, Дк. Коула, А. X. Найфэ, К. Чан-га и Ф. Хауэса изложены различные подходы к изучения сингулярно возмущенных задач. Имеется огромное множество других важных работ по теории сингулярных возмущений и ее приложений.

С обнаружением явления начального скачка для нелинейных дифференциальных уравнений М, И. Ешшюм и Л. А. Лгосторнкком связано возникновение направления, которое впоследствии получило развитие в работах К. А, Касымова и его учеников. В них исслодованы разнообразные начальные и краевые задачи с начальными скачками для обыкновенных дифференциальных и интегро-днф$бренцкальяых .уравнений, для уравнений в частных производных гиперболического типа, а татао для систем каждого из них. Продолжению изуч; яя сингулярно возмущенных задач с начальными скачками посвящена и данная диссертационная работа. ■

Цель работы. Исследование при двух разных случаях вхождения.малого параметра в краевые условия поведений реаений линейных.и квазилинейных сингулярно, возмущенных краевых задач

с начальными скачками; построение и обоснование асимптотических представлений для решений этих задач.

Научная новизна. В диссертации сингулярно возтлущенные дифференциальные уравнения впервые рассматриваются с краевыми условиями, содержали.>/и малый параметр. Полученные новые результаты состоят в следующем. Задано обыкновенное линейное сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя краевыми условиями, отличающиеся друг от друга разной расстановкой малого параметра. Для таких линейных краевых задач получены опенки решений, опенки разности между решениями сингулярно возмущенных задач я соответствующих невозмущенных задач и выявлено наличие начального скачка. Построены с произвольной степенью точности относительно малого параметра асимптотические приближения для решений изучаемых линейных задач, а также для решений двух квазилинейных уравнений с теми ке краевыми условиями, которые определены и решения линейного уравнения.

Апробация работы. Результаты диссерташи докладывались на научных семинарах кафедр механико-математического факультета КазГУ им. Аль-Фараби/руководители семинаров: профессора К. А. Каснмов, Д. М. Мырзалиев, Ш.-С. Смагулов, С. И. Темир-булатов, Н. Т. Темиргалиев, А. Б. Тунгатаров/, па пколе-семя-наре по математике и механике, посвященной 60-летии чл.-корр. НАН РК К. А. Касымова/г. Алматн, 1995 г./.

Публикации. Основные результаты диссерташи опубликованы 1 »

в семи работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 52 наименований. Общий объем диссертации - 125 стр.

, - 5

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дана справка об истории развития теории сингулярных возмущений, приведены постановки задач и сформулированы основные результаты диссертации.

В перво^ главе рассматривается линейное сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение третьего порядка

с краевыми условиями

' Замечание. Здесь и в остальных главах работы: т!гб£о,/]. ¿>0-малый параметр, Ы^ , 01 , ^ , - некоторые известные постоянные, причем 01ьф О •

Коэффициенты и правая часть ураанэиля ) предполагаются достаточно гладкими н требуется, чтобы функция Де (-/г) ' удовлетворяла неравенству

При нулевом значении малого параметра £. краевая задача

(У). (Л)

превращается в следующую невозмущенную начальную задачу:

Вводятся еше два условия. Укажем их вместе:

V. а^А.Ш^К^^ФО, О10у(о)фы..

Определено, что решение краевой задачи , (¿С)

удовлетворяет неравенствам

I с (

| Ь)|А С «ср (-*■!о + о.

а С- и У здесь и в дальнейшем есть некоторые разные в разных неравенствах положительные числа, не зависящие от ~Ь и £. , причем у > у . Эти оценки позволяют выяснить то, как™ образом ведут себя вблизи точке "Ь — 0 решение краевой задачи (V) . и его производные А именно, для них справедливы асимптотические представления

Следовательно, при £.-»¿7 решение сингулярно возму-

щенной краевой задачи

СО, со

обладает явлением начального скачка нулевого порядка.

Для разности между решениями сингулярно возмущенной задачи 60» и невозмуиенной задачи получены опенки

I С (1 ^ I £)>

, Б -

01- (<*. £(0)+г (Я, У(0)+¿х

Асимптотические представления (4) даят возможность искать решение краевой задачи , (&) как решение вспо-

могательной начальной задачи

9.(0, ь> (а- (V, а (О - оц^г)), г

г '- ' х г-

где

ОО

К—О

Ковффяшганты рядов и ^ заранее не известны. Впо-

следствии они будут определены из системы алгебраических уравнений, которую получим, подставляя в краевые условия (»О при "¿Г —аскыптотЕческоа разложение решения вспомогательной задачи

со, (5-;.

Методом пограничных функций асимптотическое разложение решения начальной задачи ( О» (построено в виде

где остаточный член (£,£.) имеет порядок ОСЬ*1**^) равномерно на ^ , - регулярные члены асимптотики, 'Wk.Cc) "" погРанслойЯ11е члены асимптотики.

После пкхондепия значений £{&) до1сазано, что

на отрезке [OtiJ решение начальной задачи ("/) , (5"") будет одновременно единственным решением исходной краевой задачи (У). (<&)•

Подчеркнем, что для значения <йе получено выражение

а =

причем (Х0фО в силу условия U . Тем самым, найдена величина начального скачка &о/&о(Р) для решения

Во второй главе скова рассматривается уравнение С i), но уже с другими краеэш-.гл условиям. Теперь его решение будет отвечать краепым условиям

o¿0 у (О,О + rf, + £0^ ¥"(0,

Невозмупенная задача, которая получается из (•/.), при S — Ot тоже имеет вид (З)' Относительно фулкпий

ДF(-t)

остаются справедливыми требования из главы 1, за исключением условия U , которое заменяется на

Для краевой задачи

получены следующие опенки решения и его производных первого и второго порядков:

i jet, ¿ с 01* ¡^(-^-т)+ /усыМ* с (кгН-г)* О, I я^^И с-гО,

где £ - введенное выше обозначение. Исходя из этих опенок, vo»ho определить характер поведения п его производ-

ных в окрестности точки ¿'=0:

fío^Oíi), у'Со^ОЮ, 0({ ). W

Такие асимптотические представления означают, что краевая

- 1.0 -

задача (0 » есть задача с начальным скачком первого

порядка.

Разность между решениями сингулярно возмущенной задачи (О . сю и невозмущенной задачи (3) удовлетворяет неравенствам

lytt.tj-jflo | ¿ С. (¿I т> О,

где

=ел- (a, 5/(0) -Yioi^X о))

Асимптотические представления С^} позволяют предварительно подчинить решение уравнения ¿0 начальным условиям

Э«(о,£.> ^ (oí-tf, a(t)- oí^Tfto),

где g €(&) такие, как

re;

, регулярные ряды по степеням £ , но только здесь & Ф О, Следует подчеркнуть, чтс в нахождении коэффициентов &< и ~éK в каждой из глав 1 и 2 имеются свои особенности.

Очевидно, асимптотическое разложение решения начальной задачи CSO) отличается от ( 7") :

^ ft, 4KL±, ас, ¿0+

К—о

- 11 -

где остаточный член имеет порядок ) ,

Л Регулярные функции, а ШЦг)

- погранслойные функции.

Доказывается теорема, что существуют единственные значения О. (¿.~) , [Ь) в некоторой малой окрестности значений Л» я , при которых решение начальной задачи (О является единственным решение» и паевой задачи (1) , (§)• Значение ^в определен как

р __ ЛДо) (<*- [¿'$(0)+У>Щ)

Условие уУ обеспечивает О . Значит, ямееи начальный скачок -£0/Ао (&) для у*' а для О началь-

ный скачок пе существует.

Третья глава посвящена изучении двух сингулярно юзмуцен-

ннх квазклинейннх кр^-^рнх 39д£ч# пор2—ч 1!3 ссть

которой соответствует новозмуиеппая задача Второй из рассыатриваемызс задач является

М^а гАв(-Ь^^А№ ыМо>£) 1-0/, О* £ ^

(О

- 12 -

с соответствующей ей новозмущенной задачей

Считается, что ко&ф£яшенты и правые части уравнений

Ш)

ш (4есть достаточно гладкпе функции и, что невоз-ктущенныо задача Ш) и СЮ соответственно имеют единственные решения jjT('t) и на отрезке [О, ï'J . Допускается такжо справедливость соотношений

Ato^F, A*(t>F> t

где для каждого из уравнений своя.

Реаемш задач ,(f<t) и (М), С/5") аналогично

тоглу, как s то было сделано в главе 1, сводятся к решениям начальных задач: уравнение Cfi~) будет рассматриваться с начальными условиями

Jto,± (d.-а, а (6) - -¿Y«),

yio.ЯШ-Ц2-. }

а уравнение (fty) - с начальными условиями

Мо.ь^и-чШ-*^), 0

Доказано, что существуют единственные решения tyl^ft) и начальных задач (/О • и С^Л При

атом был использован метод последовательных приближений. Поиск значений

ait) и €(t),

от которых зависит решение начальной задачи (11), требует введения условий

Для начальной задачи (iJ0 , (48) роль таккх уодоааА играют

А Olt^io^d^toï^cl.

Значения $>¿0), г(0) В этих условиях аеть решения при t*Q задач (13) и (16) соответственно.

Доказывается, что при определенных условиях одинствэшшо решения начальных задач и ( 14), (4$) явля-

ются такло и единственными реаениями !фаевых задач (11 ) , (М) и (М), (1S)

соответственно. Возникает вопрос: почему в диссертационной работе для рассматриваемых линейных и квазилинейных уравнений выбрани именно краевые условия

d0ylo,t) -V е-Ы, уШу^'е^уСи)**,

где 9Z- О или Для заданных уравнений можно взять

и краевые условия болов общего вида, например,

схЛе) V) t cL'(t)y'(o, ь) +d4e) 0, t) fit) fit) y Ш) £■)=• /(¿i цф

^ЩЬЬ)^Чъ)Ъ)+ f(ty/(M>>i4à).

Здесь величию» db(V), , ^(b) имеют одинаковую

структуру: они зависят от £ регулярным образом, В частности, сi ь (о") имеет вэд

¿40 = 5: tKdi ( C¿¡¿ «

í4tsO '■ •

Ориентируясь на простойияо примеры, можно, во-первых, вилснять, что существование начального скачка зависит только' от величин C¿c(t) (L-fyZ), а хоэдегаиоито cL&(t), fiL (t).

__-14-

не оказывают при атом никакого влияния и могут быть произвольными, во-вторых, прийти к гипотезе о том, что при значениях

о6°(ь> 0(0> 0(О,

краевая задача будет задачей с начальным скачком нулевого порядка, при значениях

эта задача будет иметь начальный скачок первого порядка, а если положить

то начальный скачок будет отсутствовать. Результаты глав 1 и 2 показывает справедливость сделанной гипотезы, она становится утверждением. Очевидно, начальный скачок может быть или не быть и при других вариантах значений Ыс (б/). С пелыо избежания громоздких вычислений и сокращения записи достаточно выделить из краевые условия (УЗ) , так как осталь-

ные возможные случаи включения малого параметра в краевые условия исследуются совершенно аналогично.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Кулжабаю Абдыкалыковичу Касымову за постановки задач, полезные обсуждения и внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Есимова А. Т., Касымов А. Об опенках решений сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком нулевого поряд-ка//Вестник КазГУ. Сер. матем. Алматы, 1993. А 1. С. 140-145.

2« Есимова А. Т., Касымов А. Об оценках решений краевой задачи с начальным скачком первого порядка для линейных диф-

- 15 -

ферешшальных уравнений третьего порядка//Изв. ЙАН РК. Сор. Физ.-матем. Алматы, 1995. й 1. С. 16-21.

3. Есимова А. Т. Построение асимптотического разложения решения краевой задачи с начальным скачком нулевого порядка . Для линейного дифференциального уравнения. - Рукоп. деп. з КаэгосИНТИ 12.04.95, Per. Л 6025-Ка95.

4. Есимова А. Т. Асимптотическое представление решрчия одной краевой задачи для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения. - Рукоп. деп. в КаэгосИНТИ 12.04.95, Per. * 6026-Ка95.

5. Есимова А. Т., Касымов А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальный скачком первого порядка. - Рукоп. деп. в КаэгосИНТИ 16.05.95, Per. й 6128-Ка95.

6. Есимова А. Т. Об одной краевой задаче для квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка с малш параметром при старшей производной. - Рукоп. деп. з КаэгосИНТИ 16.05.95, Per. Л 6129-Ка95.

7. Еспмова А. Т. Об асимптотике решения некоторой краевой задачи для квазилинейного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения. Материалы школы-семинара по математике и механике, посвященного 60-летгоо чл.-корр. НАЛ РК

К. А. Касимова. Алматы, 1995. С. 63,

16

Ес^мова А.Т.

Сингулярлы цобалжыган дифференциалдыц тецдеулер ушн бастапцы секгргстг шеттгк есептердгн асикп-тотикалщ шеипмдерх.

Тужырывдама. Диссертация уш белхмнен турады. Оныц бхргншг жене ек1нш1 белгмшде кесхндШнде

РМ СО

сызыцтыц сингулярлы цобалжыган дифференциалдьщ тецле,у1 к;арас-тырылган. Бул тецдеу шеши»! гынадай шеттгк шарттарды цанагат-тандырады:

$ (0, ь) * £', у 7 о, е.) V г*"уи (о, €)=а

мундагы параметр, (Ы^О), - бергл-

ген белгглг турацтылар, 3£ = / / бгргншг бэл!ыде / нэмесе 32»0/ екгкшг белхмде /.

^арасткрылгаы есептердгн эрцайсысы ушгн кслосг нэтижелер алынды: I/ (1),(.2) шеттгк есептщ шэипмг багаланды; 2/ (Д,), (,2)шзттгк есептщ шзшгмх мен оньщ туындыларыньщ ~Онук-тесг айналасында езгеру тарт1бх зерттелдг жане бастапцы се-кIрIс цубылысы аньщталды; 3/ сингулярлы цобаллсыган (1^,(2^) шеттгк есеп пен сойкес кобалжыма^ан есеп шепш.'дерг арасын-дагы айырым багаланды; 4/ (.1), 12 ) шеттгк есеп шешЬингц асигатотикаса 0(Е**,)р,елдгкпен цу^ылды.

Ушгншг белгмде ек1 квазисызицтык; сингулярлы цоба^вдган шеттгк есеп кешп'дершщ асимптотикалы^ жгктеулерг щгрылда. Б-/л есептерде (2) шеттгк шарттарды / жа^дайында

теедеугнщ шетп'Г, ал е&О жагдайында

ьуы+К*(Л> О' С-Ь, я

тецдеу гнщ шешгмг цанагаттандырады. CI.GI.02 - дифференциалдыц тецдеулер

01.01.02. - differential equations ESiMOVA A.T.

Asymptotic solutions of boundary value problems with a initial jump for singularly perturbed differential equations

Summary. The dissertation consists of the three chapters. In the first and the second chapters the linear singularly perturbed differential equation

ey" + A0(t)y" + Ax{i)y + A2{t)y = F(t) K<±1)

is considered with the boundary conditions

a0y(0, e) + «"aiy (0, e) + £Jt+1a2y"( 0, c) = a, (0.2)

y(l,c) = /3, y'(l,e)-r}, where e > 0 is a small parameter, t S [0,1], o,,«:,/?, J? are some known constants, n = 1 (in the first chapter) or k — 0 (in the second chapter).

For each investigated problems following results are obtained :

1) the solution of the boundary problem (1), (2) is estimated;

2) the behaviors of the sohitions ef tie boundary problem (1), (2) and their derivatives in the neighborhood t — 0 are determined and the phenomenon of a initial jump ia discovered;

3) the difference between the solutions of the singularly perturbed boundary problem (1), (2) and the corresponding unperturbed problem is estimated;

4) the asymptotic expansion of the solution of the boundary problem (1), (2) to within 0(cn+1) is constructed.

In the third chapter the asymptotic expansions of the solutions of the two cjuasiiinear singularly perturbed boundary problems with the initial jumps are constructed. First of these problems is the equation

«if + A{t)y + B[t,y)y = F{t,y) - ■ with boundary conditions (2) for x - 1 and the second one is the equation

eym + A0(l, y)y + At(t, y)y = A2(t, y) with the boundary conditions (2) for x = 0.