Асимптотическое интегрирование одного класса сингулярно возмущенных линейных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Равномерная ограниченность и существование решений сингулярно возмущенной краевой задачи

§ 1. Подпространства Е(А),Е0 (А),Е+ (А).

§ 2. Равномерная ограниченность решений.

§ 3. Существование решения.

§ 4. Функция Грина краевой задачи.

Глава 2. Асимптотическое интегрирование

§ 5. Линейная краевая задача с диагнолизуемой обратимой матрицей.

§ 6. Линейная краевая задача с диагнолизуемой необратимой матрицей.

§ 7. Асимптотика функции Грина : случай диагонализуемой обратимой матрицы.

§ 8. Асимптотика функции Грина: случай диагонализуемой необратимой матрицы.

§ 9. Построения асимптотики функции Грина сингулярно возмущенного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Диссертационная работа посвящена исследованию задачи об асимптотическом интегрировании одного класса сингулярно возмущённых линейных краевых задач вида

Иг

Ь £(А)х=е=—А{!)х = к(!)9 0<(<\,хеСп, £>0, т

2)Р0*(0) = л0, /^хО) =

Исследование сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений начинается с работ Лиувилля [39], Хорна [60], Прандтла [54], Шлезингера [61], Биркгофа [2],. Эти работы положили начало появлению теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений связано с фундаментальными работами А. Н. Тихонова [59], В. Вазова [9], М. Лайтхилла [38], Н. Н. Боголюбова [1], Ю. А. Митропольского [48, 49],

A.Б. Васильевой [12-14], М. И. Вишика и Люстерника [15-18], В. Ф. Бутузова [5-7], М. И. Иманалиева [26-28], С. А. Ломова [40-45], В. П. Маслова [46, 47]. В настоящее время разработаны различные методы асимптотического интегрирования линейных и нелинейных сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений.

Общие вопросы теории сингулярно возмущенных задач и обзор современного состояния этой теории приведены в статье [45], где излагается метод регуляризации Ломова, развитый на основе уточнения понятия асимптотического ряда и являющийся основой теории асимптотического интегрирования широкого класса сингулярно возмущенных задач. Метод регуляризации Ломова является одним из вариантов развития метода Вишика-Люстерника, «объединенный с двумя новыми идеями: 1)с идеей перехода в пространство большого числа переменных, позволяющей описать аргументы существенно особых сингулярностей; 2)с идеей использования спектральной теории переменных операторов, позволяющей точно описать сингулярную зависимость решения от малого параметра» [45].

В дальнейшем метод регуляризации Ломова применительно к различным сингулярно возмущённым задачам развит в работах С. А. Ломова [40-45],

B. И. Прохоренко [55], В. Ф. Сафонова [56, 57], А. Г. Елисеева [21-25], М. А. Валиева [10, 11], М. П. Мягковой [53], А. А. Коняева [32, 33], В. А. Стрижкова [58], А. А. Бободжанова [3, 4], В. И. Качалова [31]. Наиболее полное изложение метода приведено в монографии Ломова С. А. [43].

В настоящей диссертационной работе исследованы условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для асимптотического интегрирования краевых задач вида (1 )-(2) и нахождения асимптотики функции Грина этих задач.

Вопросы нахождения асимптотики решений сингулярно возмущённых краевых задач исследованы в работах С. А. Ломова [40-45], Н. А. Ивановой [29], А. А. Кбняева [32 ,33]. В монографии С. А. Ломова [43] рассматривая систему (1) ¿'краевыми условиями вида:

3) ?х(0)+(}х(1)=хо ■ . в условиях так называемого стабильного спектра матрицы-функции А(Ч) путём замены переменных и выделения основных диагональных слагаемых в преобразованной системе находится асимптотика функции Грина данной краевой задачи в следующем виде: где х, е) =

ГГиАГ2] чг22ЛГ 2|

ГиАГи \Г21ЛГп г]2 аг22л Г22 ^22 у

0<Х<5<1

0 < 5 < л: < 1 ехр

Л(/;.у ,е) = ехр

- (а0</г о с з

Л0 = ¿¿^¡Л, .,Лк 0\£')}

Г{!,е) =

Г„М ГхЖ,е)

А&) В22(<);

5М(/) - блок размера к х к Я22(/) - блок размера(п-к)*{п-к) Но, задача нахождения асимптотического ряда функции Грина краевой задачи непосредственным применением метода регуляризации Ломова не была изучена. По этому в середине 80-х годов профессором С. А. Ломовым автору было предложено исследовать условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики функции Грина какого - нибудь класса краевых задач.

В методе регуляризации Ломова разработан общий подход для нахождения асимптотики решений широкого класса сингулярно возмущённых задач. Возможность применения данного метода обусловлена решением следующих трёх взаимосвязанных задач:

1) выбор основных сингулярностей, участвующих в уточнённом асимптотическом ряде ;

2) однозначная разрешимость итерационных задач;

3) оценка остаточного члена.

Решение этих задач применительно к системе (1) с начальным и условиями к сингулярно возмущённым задачам некоторых типов при определённых условиях позволяет найти асимптотику решения в виде асимптотического ряда. Имеющиеся способы решения трёх выше указанных задач относительно краевой задачи (1)-(2) непосредственно не применимы. Основная трудность связана согласованием краевых условий (2) с выбором основных сингулярностей и дальнейшим обеспечением однозначной разрешимости итерационных задач, а также и ограниченности приближённых решений при 8-»0. В связи с этим представляет интерес находить условия существования решений краевой задачи (1)-(2) при малых в и их ограниченность при е—»0.

Вопросы разрешимости краевых задач для систем (1) с краевыми условиями вида (3) исследованы в работах A.A. Коняева [32, 33]. Им исследованы так же асимптотика решений данной краевой задачи непосредственно не применяя метод регуляризации Ломова, а используя методику нахождения асимптотики функции Грина, изложенную в монографии [43].

В работе Н. А. Ивановой [29], используя понятия функции типа пограничного слоя, введёное М. И. Вишиком и Л:А. Люстерником находится асимптотика функции Грина краевой задачи j^esak+s(x)yik+s)(x)+j^aJ(x)yiJ\x) = 0, хх <х<х2, j=l 7=0 y(i\x]) = 0, 0<i<k„ о, 0<у<*2, №+*,=/+*).

Представляет интерес находить асимптотику функции Грина краевой задачи (1 )-(2) методом регуляризации Ломова.

В вопросах разрешимости и ограниченности (при малых г) решений краевой задачи (1)-(2) имеет важное значение наличие одной из оценок

4) d\y\\<\\LJA)y\\^PQy(0)\ + \PM\)\; ■

5) d\\y\\ < -\Le(A)y\ + \РоУ(0)\ + \P,y(\)[ где ||-норма вектора, |||-норма в пространстве c([0,l],c") v е C'([ö,l]),C".

Оценки (4), (5), иногда называемые коэрцитивными оценками, не встречаются в теории сингулярно возмущенных задач. Исследование наличия таких оценок актуально тем, что:

1) процесс получения этих оценок идейно близок с идеями предельного перехода в сингулярно возмущённых задачах;

2) позволяют исследовать разрешимость краевой задачи и легко оценивать остаточный член асимптотического ряда.

Коэрцитивные оценки для определённых классов дифференциальных операторов и различных функциональных пространствах исследованы в работах Э.М. Мухамадиева [50-52], и их учеников. В настоящей работе применительно к оператору LE(A) в основном применяется и развивается методика получения оценок вида (4), . изложенная в работах Э.М. Мухаммадиева, где исследуются ограниченные и полуограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными ограниченными коэффициентами.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации. Первая глава диссертации посвящена исследованию условий равномерной по £ ограниченности решений краевой задачи (1)-(2) и выяснению условий существования решения и функции Грина этой задачи.

В перЕом параграфе введены под пространства Е(А),Е0(А),Е+(А) являющиеся прямой суммой корневых подпространств матрицы А соответствующие собственным значениям с отрицательной, нулевой и положительной вещественной частью. Изучены некоторые свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений связанные с подпространствами Е(А),Е+(А). Результаты этого параграфа являются общеизвестными и применяются в последующих параграфах.

Во втором параграфе изучаются условия существования положительных d ,£0, для которых, при s е (0,s0) и любой вектор-функции y{t) е С1 ([ОД]; С") имеет место неравенство

4) d\\y\\ < \\LJA)y\\ + \Роу(0)\ + \Р,у(\)\ или неравенство

5) d\\y\\ < — \Le(Â)y\ + \PQy(fij[ + \P;Х1)|, где 11-евклидовая норма в С" , ||.||-норма пространства C([0,l]/C"). Наличие неравенства (4) означает равномерную по G ограниченность решений краевой задачи (1) - (2). А неравенство (5) показывает, что решения краевой задачи (1)-(2) относительно £ при £—> 0 имеют порядок не выше £ \ Неравенства (4), (5) являются первым шагом к нахождению асимптотики решений краевых задач вида (1)-(2). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для того чтобы неравенство (4) выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы матрица-функция A(t) и матрицы Р0, Р] удовлетворяли следующим условиям:

6) V/ е [од] a(A(t)) rsiR = 0,

7) Е(л(о))п КегР0 = (О), Е+ (4l))n KerPt = {о}, где cr(A(tJ) -спектр оператора A(t).

Теорема 2.2. Пусть матрица A(t) непрерывно дифференцируема и имеет п взаимно различных собственных значений X,(/),.,Л;|(/), которые также непрерывно дифференцируемы. Пусть соответствующие соответственные векторы b](t),.,bn(t) непрерывно дифференцируемы и выполнены условия:

1) Р0ЬЛ(0), i=lp -базис ЬРпС

2) Р}Ь;(1), j = p + \,n -базис ЬР{С",

3) Re А (/) < 0, i = lp, KeX(t)> 0, г = р + 1,п

4) либо а) < Ь*, Ъ't >= 0, i = \,p, j = p + l,n либо б) < b',b* >= 0, i = \,р, j = р + \,п либо в) Re Я, (г) < -а0 < 0 i = \,p, ie[0,l] . либо г) Re Х/ (/) > Д > 0 j = р + 1,п, t е [0,1] 5) для любого j = р + \,п, либо ReA (0)> 0, либо Р0Ь1(0)=0 для любого i-\,p, либо ReX, (о) < 0, либо Pibi (l) = О Тогда ч существует числа d > 0, £0 > 0 такие, что для любой С1 ([0,1], С) при е е (О,^) имеет место оценка о

Существенная роль этих теорем состоит в том, что

1) утверждают наличие так называемых коэрцитивных оценок для^' рассматриваемого класса сингулярно возмущенных дифференциальных операторов

2) являются первым этапом к исследованию условий существования решения и функции Грина краевой задачи (1)-(2);

3) позволяют легко оценить остаточный член асимптотики решения краевой задачи (1)-(2), построенный методом регуляризации Ломова.

Теоремы 2.1, 2.2 доказываются методом, часто используемым в исследованиях [50,51, 52]. Доказательство теоремы в какой-то мере связано с задачей предельного перехода в сингулярно возмущенном дифференциальном уравнении.

В третьем параграфе изучены условия существования единственного решения краевой задачи (1)-(2) при малых положительных значениях £. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия

8) n iR = 0> v> е [0» 1]

9) KerP0 п £ (Л(0)) = {0}, KerP, п £ (/i(l)) = {0} ;

10) х0еР0Са,

11) . Р0Е(А(0))=Р0С\ РЛШ)=Ф

Тогда задача {3.1)- (3.2.) имеет единственное решение. Теорема 3.2. Пусть

12) х0еР0С", ххеРхС* и выполнены условия теоремы 2.2. Тогда существует единственное решение задачи (1)- (2) при £g(0,£0).

Условия теорем 3.1, 3.2 обеспечивают существование единственной функции Грина краевой задачи (1)-(2) при достаточно малых положительных £. Это доказывается в теоремах 4.1, 4.2, составляющих основное содержание четвертого параграфа.

Результаты первой главы являются основополагающими при исследовании условий, обеспечивающих возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики решения и функции Грина краевой задачи ( 1 )-(2).

Вторая глава диссертации посвящена исследованию асимптотики решения и функции Грина краевой задачи (1)-(2) и состоит из §§ 5-9.

В пятом параграфе изучается асимптотическое интегрирование краевой задачи (1)-(2) методом регуляризации Ломова в случае, когда выполнены условия (6), (7) и условия

13) РйЕ (А(0)) = Р0С", Р,£+ (41)) = P{Ç", х0 е Р0С", х, е РХС",

14) ( матрица-функция A(t) и вектор-функция h(t) бесконечно ( дифференцируемы на отрезке [0,l];

15) ( при каждом t [ОД] собственные значения Я|{t),.,À (/) ( матрицы A (t) различные и

ЯеЯу(/)<0,у = \,р, Re4(i)>0,/ = р + \,пгде р не зависит от t.

В теореме 5.1, составляющей основной результат пятого параграфа, доказано, что при этих условиях методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2), в виде

JU

16) <Pi(t,£\-~>PH(t,£)\ где j t t pj (t, s)=~ Jàj (s)ds, j = 1, p, 0

J ' p, (t, s) = — Г Я, (s^s, l = p +1, n. с J J l

При оценке остаточного члена асимптотики используется неравенство (4). Далее, доказана следующая теорема

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия

1) матрица-функция A(t) и вектор-функция h(t) бесконечно дифференцируемы;

2) существует п взаимно различных (при каждом t ) собственных значений ., матрицы A(t);

3) Vf €[0,1], /^ГЯ

4) ReЛ,(t)< 0, г = \,р; ReA >0, j = p + \,n.

А также предположим, что соответствующие собственные функции матрицы A{t) бесконечно дифференцируемые и удовлетворяют условиям:

5) векторы Р0^(0), / = 1, р образуют базис в Р0С" векторы Pfb^l), j = р + \,п образуют базис в Р{С",

6) либо а) Р0Ь/ (О) =0, j = р + 1,п; либо б) ReA(/)> 0, j = p + \,n, te[0,1]/

7) либо a) Ppt(l) = 0, i = 1,р ; либо б) Re Ài (t)< 0, i = 1, p, te [0,1] /

8) Vi = hp, <^,b](t)>=0, J = p+l,n, /€[0,1] ut

- db (t) —

Vj = p + \,n, <—b,(t)>= 0, / = 1, p, t e [0,1]. dt

Тогда методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2) имеющий вид к=о где (p (t,£)--'\Xis)ds, j = \,p, '

В шестом параграфе доказана теорема 6.1, в которой утверждается, что если выполнены условия теоремы 3.2, /1,(/) = 0, то методом регуляризации

Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1 )-(2), имеющий вид

О7)

Оказывается, как в случае задачи Коши [43], наличие слагаемого с множителем £ ' в ряде (17) обусловлено необратимостью матрицы А{{) т.е. существованием нулевого собственного значения 4(0 = 0). Оценка остаточного члена проводится с помощью неравенства (5). А таю*'~ имеет место у

Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.2, а вместо условия 3) выполняется условие

Зу) 4(0 = 0, 4(0*0, V/e[0,l], / = 7~п

Тогда методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2) имеющий вид оо •

2 ('> 4 • • • > <Р'„ €)\ к=-1 где р, £) = - /Л у = 2, р, £ " р1 (/, £•) = - - {4 I - р + 1, п. >

В седьмом параграфе методом регуляризации Ломова с,троится асимптотика функции Грина краевой задачи (1)-(2). Доказана теорема 7.1 утверждающая о том, что если выполнены условия теоремы 5.1, то методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функции Грина краевой задачи (1)-(2) в виде

00

2 £кгк (г, я, д>х {г, е\., <р2п {и 5, е )), к=-1

I '

I / X 1

I I рп+/г,8,е) = - 4у = 1,р, £

2 |

Рп+1(1,з>£) = —1 = Р + 1п.

На основе теорем 5.2, 7.1 вводится селующая теорема.

18) где

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия 1) -8') теоремы 5.2, но условия 6), 7) выполняются в следующем варианте 6) Р0ф)=О, j = p + l,n f) PfiXl)=0, i = l,p

Тогда, методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функцию Грина краевой задачи (1)-(2) вида оо Фх {t> s,e\.9 (p2n (t, s,£))) с оценкой остаточного члена N sup\G(t, S, £) - 2£kzk (t, S, <p} (/, S, £),.,ф2п (t, s, £))| < Dn+]£N+> , 0<j,i<li k=-1 !

При построении асимптотики функции Грина самым важным и существенным является подходящий выбор основных сингулярностей рг у = 1,2л. Выбор этих сингулярностей был предложен автору С.А.

Ломовым. Оценка остаточного члена доказывается как при выводе неравенств (5), используя то, что функция Грина краевой задачи и матрицы-функции удовлетворяют краевым условиям и в точке t = S имеют разрыв.

Результаты седьмого параграфа в восьмом параграфе переносятся на случай, когда выполнены условия теорем 6Л, 6.2. Доказывается, что методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функции Грина краевой задачи (1)-(2), имеющий вид со

19) Xе>kZk{*>s><Р\(''s>e)>■ ■ •'<Рп(t.s>e),<p„+l(t,s,£),.,(p2n(it,s,e)\ k=-1

При выводе асимптотики (19) модифицированы процедуры однозначного построения матриц-функций Z^ и оценке остаточного члена ряда, имеющиеся в доказательстве теорем 7.1, 7.2 предыдущего параграфа.

Доказанные в параграфах 7, 8 теоремы являются основными результатами диссертационной работы.

В девятом параграфе в качестве примера построена асимптотика функции Грина сингулярно возмущённой краевой задачи

20) s2y-a2(t)y = h(t)

21) у(0,£) = у(1,е) = О где a(t) непрерывно и положительно. Приводится алгоритм метода регуляризации Ломова применительно к этой задаче. Доказаны теоремы 9.1, 9.2, которые обосновывают корректность предложенного алгоритма.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9]. Отдельные части диссертации докладывались на международных конференции проходившей в городе Москве (1993), Худжанде (2003) на международных, республиканских и областных конференциях проходивших в городах Душанбе (1998-2000), Курган-Тюбе (1991-1997) Худжанде (19902002), в ряде выступлений на семинарах профессора С.А. Ломова (Москва, МЭИ 1987),профессора В.Ф. Сафонова ( Москва, МЭИ 1987 ), профессора Э.М. Мухамадиева (Худжанд, 1994-2002).

В заключении выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям член корреспонденту АН РТ, профессору Э.М. Мухамадиеву, доктору физико-математических наук А. А. Бободжанову за руководство над работой, за помощь и поддержку, оказанную ими на протяжении многих лет работы.

1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. -504с.

2. Бободжанов А. А., Ломов А. Асимптотического интегрирование задачи Коши со счетно кратным спектром. Мат. заметки , 1984 , Т. 35 . вып. 1. -С. 63-82

3. Бутузов В.А. Асимптотика решения уравнения и Аи-к (x,y)u=f(x,y) в прямоугольной области \\ Дифференциальные уравнения . 1973 , Т.9 , № 9.-С.1654-1650 .

4. Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задач химической кинетики с учетом диффузии \\ ДАН СССР ,1978,Т.242,№2.- 268-271.

5. Бутузов В.А. Угловой пофанслой в смешанных задачах для гиперболических уравнений.//Матем.сб. 1977.Т. 104.№3 .с.460-485.

6. Валиев М.А.Метод регуляризации сингулярно возмущенных дифференциальных операторных уравнений \\ ДАН СССР,1974,Т.220„№5.-С.1008 - 1012.

7. Валиев М.А., Ломов А. Асимптотическое интефирование сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве \\ Диф.уравнения, 1981,Т. 17, №10.-С. 1792-1805.

8. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной \\ УМН, 1963,Т.18,вьш.З ( 111 )- - 3-86.

9. ВасильеваА.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - М. :Наука ,1973. И.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях .- М.: Изд. МГУ , 1978.

10. Вишик М.И., Люстерник- Асимптотические решения некоторых краевых задач с осциллирующими фаничными условиями \\ ДАН СССР,1958, Т.120, №1 с. 13-16.

11. Вишик М.И., Люстерник Л.А. О начальном скачке для линейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр \\ ДАН СССР ,1960, Т.132, №6 .-С.1242 - 1245'

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука.-550с.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.:Наука, 1967.

14. Елисеев А.Г., Ломов А. Теория возмущений в банаховом пространстве \\ ДАН СССР, 1982, Т.264, №1 - 34-38.

15. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных i^ уравнений в случае кратного спектра предельного оператора . 1.2. Изв. АН СССР , Сер математики. 1984 Т.48, №5-С.999-1042.

16. Елисеев А.Г. 3. \\ Изв. АН СССР , Серия математики, 1984, Т.48 ,№6.-С.1171- 1196.

17. Елисеев А.Г., Ломов А.С. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора \\ Мат.сборник ,1986 Т. 131 (173),№4-С.544-557.

18. Елисеев А.Г., Сафонов В.Ф. Методы асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений. М.:Изд-во МЭИ. 1990.-60с.

19. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем.-Фрунзе : Илим , 1972.

20. Иманалиев М.И. Колебание и устойчивость решений сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем. -Фрунзе ; Илим .1974.-350 с.

21. Качалов В.И., Ломов А. Глг^дкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру \\ ДАН СССР. 1988,Т.299, № 4.

22. Коняев А. А. Прохоренко В. И., Федоров Ю. Анализ сингулярно возмущённых задач на полуоси с неограниченным спектром предельного оператора. Матем. методы и приложения. МГСУ,25-30.01.96.

23. Коняев А. А. Анализ сингулярно возмущённых краевых задач для полуоси. Матем. методы и приложения. МГСУ, 26-31.01.97.

24. Коняев Ю. А. Теория возмущений в прикладных задач. Москва, МЭИ, 1990.

25. Замонов М. 3., Каримов О., Коэрцитивные оценки решение нелинейного оператора Штурма -Лиувилля с матричным сингулярным потенциалом на полуось. В сб. Вестник педаг. университета №5, Душанбе, 1999.

26. Lighthill M.G. А techigul for rendering approximate solutions to phgsiai problems uniformly valid W Phil. Mag., 1949 ,V.7 № 40. - P. 1179 - 1201.

27. Liouville F.Ser le developpement des fonetions on parties en series dont les divers termes sont assuiettes a satisfaire a unt mene equation difflrtntielle du second orde contenant une parametre variabbe W F.Math.Pure Appl ,1837, V.2 - P/ 16-35.

28. Ломов C.A. Метод возмущений для сингулярных задач \\ Изв. АН СССР, Сер. Математики , 1972 , Т.36.- 635-651. 41 . Ломов А Формализм неклассической теории возмущений \\ Дан СССР, 1973, ^ Т.212, Ко 1-С.ЗЗ-36.

29. Ломов А., Стрижков В.А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спекгра\\ ДАН СССР, 1983, Т. 271, Х» 6.- 1317-1320.

30. Ломов А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений М. :Наука , 1981.

31. Ломов А. Аналитические рещения сингулярно возмущенных задач \\ ДАН СССР, 1982 . Т.265 . № 3 - 529 - 532 .

32. Ломов А., Елисеев А. Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущениохх задач \\ УМН, Т. 43, вып.2(361), 1988. - С . 3 - 53.

33. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд.-во МГУ, 1965.

34. Мухамадиев Э. М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций \\ ДАН СССР, Т. 196, №1, 1971.-С.47-49.

35. Мухамадиев Э. М. К теории ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений \\Дифференциальные уравнения, Т. 10, №4, 1974. -С.63 5-646.

36. Мухамадиев Э. М. Об ограниченных решения обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и их применения. Душанбе, 25-26.09.98.

37. Мягкова М. П. Асимптотическое решение краевой задачи \\Труды МЭИ, 1971, вып. 89 - 83-86.

38. Prandtl L.Uber Flussigkeitsbervegung ber sehr kleiner Reibung W Verk. d. Ill, Int. Math. Kongr., Heidellerg, 1904, Teubner. - S . 484 - 494

39. Сафонов В. Ф., Румянцева М. А. Асимптотические решения сенгулярно возмущенных задач с нарушением стабильности спектра на множествах положительной меры \\ Сб. науч. трудов, №141, МЭИ, 1987.

40. Стрижков В. А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно - возмущенных нелинейных задач \\ Мат. заметки, 1985, Т. 37, вып. 6.-С.857-868. h

41. Тихонов A. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра \\ Мат. сб., 1948,1.22(64).- 193-204.

42. Нот J. Uber eine lineare Difierentialgleichhung zweiter Ordnung mit einem willkurlichen Paameter W Math. Ann, 1899, Bd. 52.-S. 340-362.