Численные методы расчета асимптотических разложений решений некоторых сингулярно возмущенных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

РГБ ОД На правах рукописи

УДК 519.62

ПЕТУХОВА НАТАЛЬЯ ЮРЬЕВНА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата'физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре Математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ

Научные руководители: кандидат физико-математических наук, доцент Б.И. Березин,"кандидат физико-математических наук,, старший научный сотрудник А.Ю. Захаров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математическик наук Поспелов В.В., кандидат физико-математических наук Булычева О.Н.

Ведущая организация: Институт Математического Моделирования РАН

Защита состоится " 1995 года в час.

на заседании специализированного совета Д 053.05.37 при Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы. МГУ. факультет Вычислительной математики и кибернетики, 2-ой учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ. Автореферат разослан " " 199 года.

Ученый секретарь Совета доктор физ.-мат. наук,

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Глубокое изучение начальных и краевых задач для ОДУ второго порядка с малым параметром е при старшей производной стало возможным после появления и развития теории асимптотических методов, позволяющих строить асимптотические приближения к решениям таких задач и таким образом исследовать поведение решений при е - 0. Теоретические основы исследования поведения решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производной при i помощи асимптотических методов были заложены в работах Е. Коддингто-на. Н. Левинсона, А.Н. Тихонова. В дальнейшем теория асимптотических методов получила широкое развитие в работах В.Ф. Буту-зова. А.Б. Васильевой. В.Вазова, М. И. Вишика, Л.А. Люстерника,' Ф. Хауэса и др. В настоящее время асимптотические методы получили широкое распространение. Их применение позволяет не только определить характер поведения решения исследуемой задачи при е - 0 . но и получить априорные оценки области, где лежит искомое решение и его производные. Именно' эти оценки наиболее ччсто попользуются при построении численного решения сингулярно возмущенных задач. Исследования, начатые в работах Н. С. Бахва-лова. Э. Дулана. A.M. Ильина, Дж. Миллера. У. Шилдерса и продолженные многими другими авторами, позволяют во многих случаях построить равномерно сходящийся численный метод для решения задач с малым параметром. Если функция, являющаяся асимптотическим приближением для решения сингулярно возмущенной задачи, вычислена каким-либо численным методом, то в результате будет получено численное решение этой задачи, погрешность которого зависит от величины параметра е. Различные численные методы для

вычисления асимптотических приближений предложены во многих работах, но, как правило, вычисляются грубые асимптотические приближения: точность получаемого численного решения исходной задачи обычно имеет вид 5 + 0( е ), реже - 5 + 0( 1г ). где 5 - точность, с которой вычислена функция, являющаяся асимптотическим приближением; величина б также может зависеть от е.

Цель работы состоит в следующем:

- построить численный метод, позволяющий вычислять с заданной точностью асимптотические приближения к решениям краевых задач для ОДУ- второго порядка с мальм параметром при старшей производной;

- построить численный метод решения краевых задач для ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной, основанный на использовании расчитанных с заданной точностью асимптотических приближений;

- осуществить програмную реализацию этого численного метода и его практическое применение для численного решения ряда краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Построен численный метод расчета асимптотических разложений решений широкого класса сингулярно возмущенных краевых задач. Предложен метод получения численных решений краевых задач для линейных и нелинейных ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной. Условия применимости этого численного метода отличаются от условий применимости методов, традиционно используемых при численном решении рассмотренного класса задач. Кроме того, построен численный метод решения краевых задач для ОДУ второго порядка, поставленных на полубесконечной прямой.

Практическая ценность. В работе получена оценка числа арифметических действий, которое необходимо затратить, чтобы получить численное решение рассмотренного класса краевых задач с заданной точностью. Анализ этой величины показывает, что численное решение может быть получено с высокой точностью без больших вычислительных затрат: эти затраты существенно меньше, „ чем при использовании традиционных равномерно сходящихся численных методов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством д. ф. м. н. Поспелова В.В., на семинаре физического факультета МГУ под руководством проф. Бутузова В.Ф. и проф. Васильевой А.Б., на семинарах кафедры математической физики под руководством проф. Денисова A.M. и кафедры вычислительных методов под руководством проф. Андреева В. Б. < факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. а также на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущённых уравнений и некорректно поставленных задач", г. Бишкек.. 19Э1.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 170 страницах машинописного текста и состоит из' введения, трех глав, заключения и приложения. Приложение состоит из 20 таблиц, в которых приведены полученные с различной точностью численные решения ряда краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, точные решения этих задач, а также результаты вычисления всех функций, необходимых при построении асимптотических приближений к решениям этих задач.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении дается краткое описание различных методов построения численных решений начальных и краевых задач для ОДУ второго порядка с малым параметром е при старшей производной, подробно излагается цель работы, дается краткое содержание работы по главам.

Первая глава, состоящая из 5 параграфов, посвящена ■ построению численного метода вычисления асимптотических приближений решений краевых задач для линейных дифференциальных уравнений и численного .метода для решения таких краевых задач. Рассматриваются задачи, решения которых имеют асимптотические приближения одного типа, а именно:

1^ек(ик(х) + + ик(т)), п > 0, где ик(х) - гладкие функции

на всем отрезке интегрирования, уки), «гк (т) - функции пограничного слоя экспоненциального типа. В §1-§4 рассматривается краевая задача для линейного уравнения без точек поворота: ЕУ" + р(Х)у' Ч (Х)у = Их). О < X < 1. |р(х)| > Ро > о (1) с краевыми условиями первого рода: у(0) = А, у(1) = В (2)

или третьего рода:

*1У(0) - ЪуЧО) = А. К3У(1) + ТГ«/(1) = В. (3)

имеющая решение у(х,Б),для которого справедливо асимптотическое разложение по малому параметру вида

££к(ик(х) + ук(Ш, Ъ = Х/Е или I = (1- X)/Е . (4)

При этом для остаточного члена асимптотического ряда справедлива оценка: шах | у(х, £) - Бп(х, с)| < С„ЕП+1, (5)

где (х, е) = ^Ек(ик(х) + укШ), С„ не зависит от е.

В §1 излагается общий подход к предлагаемому методу пост-

роения численного решения задачи (1),(2) или (1).(3). Чтобы получить с точностью 5 численное решение этой задачи - функцию yh(x.с), такую, что max | у(х, е) - yh(x. е) | < 5, надо определить число N: минимальное целое, при котором CHeNM <5 (6) и вычислить с заданной точностью 5 асимптотическое приближение SH(x.е) : построить функцию S„h(х.е), такую, что т^к | SH(x. E) - SHh(x. е) | < 5. Тогда yh.(x. е) - S„h (х. с). Чтобы получить функцию S/fx. е) предлагается численно решать задачи для составляющих ее регулярных и пограничных функций асимптотического ряда, т.е. вычислять функцию SHh(x.E) по формуле: SHh(x.E) = I V(ukh(x) + vkh(t)). (7) где ukh(x) - численные решения задач для регулярных функций асимптотического ряда, удовлетворяющие условию: шах | uk(x) - ukh(х) | < 5v. k = 0.....N, (8)

OiXif • N

vkn(t) - численные решения задач для пограничных функций, удовлетворяющие условию:

mapj v„(t) - vkh(t) | < 5k. k - 0.....N: 6/ek. (9)

•Здесь же поставлены задачи для регулярных и пограничных функция асимптотического ряда.

Главную трудность при построении функции S„h(x.е) представляет собой численное решение задач для пограничных функций, поэтому в §2 рассмотрена следующая краевая задача: у"(х) + а(х)у'(х) + b(х)у(х) = g(x). О < х < « У(0) = у0 . у(х) 0, (10)

где функции а(х), b(x). g(x) удовлетворяют условиям:

1) а(х), b(x), g(x) £ С2(0 < х < «);

2) а(х) ) а0> 0, 0 < х <

3) Ь(х) ( 0, 0 ( х (

4) |©(х)| < сехр(-ух). * > 0, с > О.

Предложен численный метод, позволяющий найти численное решение такой краевой задачи с любой наперед заданной точностью 5, т.е. построить функцию у11 (х), удовлетворяющую условию: тах ( у(х) - уп(х) | < б.

0£Х* о» '

В третьем параграфе рассмотрены различные методы вычисления регулярных функций асимптотического ряда, и на основе результатов §2 построен численный метод решения задач для пограничных функций.

В §4 доказана сходимость предложенного численного метода расчета асимптотических приближений. Сходимость означает, что при любом N > 0 выполнено условие: шах | Б» (х, е ) - 5„ь(х, е) | 0, где Д = шах 8к, т. е. численный метод позволяет вычислять асимптотические приближения к решению краевой задачи (1),(2) или (1),(3) с любой "наперед заданной точностью. Далее исследован вопрос использования функции Бц11 (х, е) в качестве численного решения краевой задачи для уравнения (1). Доказана следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (1) удовлетворяют условиям:

1) р(х), ч(х), Г(х)£ С°"[0; 1],

2) |,р(х) | > р0 > 0, 0 < х < 1. (11)

3) краевые значения (3) удовлетворяют условиям: Узр(1) - ЪяЦ) * 0. если р(х) > 0 и

*1Р.(0) + УгЯ(О) * 0, если р(х) <0; ' (12)

у(х,е) - решение задачи (1),(2) или (1),(3), асимптотическое разложение которого имеет вид (4). Тогда функция Бм11(х,е), построенная по формуле (7) со значением N. определяемым из

условия (6). является численным решением задачи (1),(2) или

(1),(3) и удовлетворяет условию: шах | у(х.с) - SHh(х.е) | < 5.

oiX*f

В §5 рассмотрена краевая задача для линейного уравнения с точкой поворота

ty" = р(х)у' + q(x)y + f(x). -1 < х с 1. р(0) = 0 (13)

с краевыми условиями (2) или (3), поставленными в точках х = -1 и х = 1. Задача рассматривается при условиях, когда у нее существует решение, имеющее асимптотические приближения вида Sn (X, с) = iVtUfcfx) + vk((x+l)/t) +■ wK ( (1-Х) /Е) ). О < n < N0. Предложен численный метод, позволяющий вычислять с заданной точностью асимптотические приближения к решению этой задачи -строить Функции Snh(x,e), 0 < n < N0, удовлетворяющие условию: max | Sn (х, е) - Snh (х, е) | < 5.

Главную трудность при реализации этого численного метода представляет собой вычисление регулярных функций асимптотического ряда, являющихся ограниченными решениями дифференциального уравнения первого порядка, содержащего при производной Функции, кпюрля может обращаться в ноль. Предложен численный метод решения таких уравнений. Построенный алгоритм расчета асимптотических приближений одновременно позволяет ' получать численные решения краевой задачи (13),(2) или (13),(3) у"(X.е) = Snй(х,е), удовлетворяющие условию: max | у(X,е) - yh(x,E) | < 5. если число N. определяемое по формуле (6), не превосходит N0 или условию: max | у(х,е) - yh(x,е)| < Cn£n+1, 0 < п < М0, если N > N0 .

-fiXil 'II и и

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, рассмотрены

краевые задачи для нелинейных ОДУ второго порядка с малым параметром при,старшей производной. Исследованы-краевые задачи для квазилинейного уравнения:

еу" + Ф(х,у)у' + 1|)(х,у) =0. О < х < 1 (14)

с краевыми условиями (2) или (3), у которых существует решение, имеющее асимптотическое разложение вида (4).

В §1 сформулированы условия, при которых краевая задача для уравнения (14) относится к исследуемому классу и изложены основные детали численного метода вычисления асимптотических приближений к решению этой задачи. Асимптотические приближения по-прежнему вычисляются по формуле (7). Сформулированы задачи для регулярных и пограничных функций асимптотического ряда, предложен численный метод решения этих задач, позволяющий построить функции икЛ(х). удовлетворяющие условию (8) и функции ■ укп(1;). удовлетворяющие условию (9).

Второй параграф, в первую очередь, посвящен доказательству сходимости численного метода вычисления асимптотических приближений к решению краевой задачи для уравнения (14). Далее рассмотрен вопрос использования функции БцМх. е) при построении численного решения задачи (14),(2) и (14).(3). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (14) и краевые значения (2) удовлетворяют условиям:

1) ф(х,у), 1|)(х,у)£ с°°( (х,у)£ б ); ' (15)

2) ф(х.у) ) ф0 > 0 ( (х,у)<= 0 ), (16) где Ю = { (х,у): 0 < х < 1, усБ(у) ), Б(у) - область изменения переменной у и условию:

3) "Эф/5у(0, у) (А - и0 (0)) <0, у £ [А; и0(0)], где (17)

и0(х) - решение задачи: ' (х) +■ ip(x. u0) =0. 0 < х < 1

у(х,е) - решение краевой задачи (14).(2), имеющее асимптотическое разложение (4) с г = х/е. Тогда функция Бн'1(х,е), построенная по формуле (7) со значением N. определенным из условия (6), является численным решением краевой задачи (14).(2) и удовлетворяет условию: шах | у(х, е ) - 5я'1(х, с) | < 5.

Теорема 2.2. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (14) и краевые значения (3) удовлетворяют условиям (15). (16) и условиям:

1) существует В0 - вещественный корень'алгебраического уравнения: тгзв0фс 1.в0) - МП. в„) = В1/?(т;Во),

2) Узр(1) - у4q(1) * 0. где р(х) = <р(х. И0(х)), (18) q(x) = с>ф/г?у(х. u0(x))u0'(x) +Э1|)/Эу(х. и„(х)).

и0(х) - решение задачи: * с) + \{i(x.u0) =0. О < х < 1

у(х.е) - ргмп'-'нио краевой задачи (14). (3), имеющее асимптотическое разложение (4) с Ь = х/е. Тогда Функция Б/(х. е). построенная по Формуле (7) со значением N. определенным из условия (6). является численным решением краевой задачи (14),(3) и удовлетворяет условию:, шах | у(х,е) - 3„п(х,Е) | < 5. Здесь же показано, как можно построить численное решение задачи (14),(2). не требуя выполнения условия (17), но наложив ограничение на величину N. В заключении этого параграфа рассмотрены некоторые краевые задачи для квазилинейного уравнения с точкой поворота. Показано, как можно использовать идеи, изложенные в §5 первой главы и во второй главе, для получения численных ре-

OiXii

шений таких задач.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, обсуждаются вопросы практической реализации построенного численного метода решения сингулярно возмущенных задач.

В §1 анализируются условия применимости численного метода, исследуется его эффективность. Предложен алгоритм построения области D(t) = (е: 0 < е < Етах} равномерной сходимости метода. Об эффективности численного метода можно судить по числу арифметических действий, которое необходимо затратить для получения численного решения с заданной точностью . Получена оценка этой величины для рассмотренных краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений. Проведен сравнительный анализ построенного численного метода и других численных методов решения краевых задач для ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной. Проведено сравнение с тремя классами численных методов: разностными, проекционными и итерационными.

В §2 описано применение численного метода для решения.ряда конкретных краевых задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Показано, как практически осуществлялось вычисление регулярных и пограничных функций асимптотического ряда; исследовано поведение погрешности численного решения -величины | у(х,е) - yh(x,е) | в различных точках отрезка интегрирования и при различных значениях параметра е.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты. К основным результатам диссертационной работы можно отнести следующие:

1) Построен, численный метод, позволяющий вычислять с любой на-

перед заданной точностью асимптотические приближения к решениям краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений:

2) Построен численный метод решения краевых задач для линейных и квазилинейных ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной. Условия его применимости рассмотрены в сравнении с условиями применимости традиционных численных методов решения этих задач; указаны ситуации, когда предложенный численный метод может быть применен, тогда как другие численные методы не являются сходящимися, а также ситуации, когда этот численный метод'оказывается более прост в реализации:

3) Построенный численный метод был применен при решении краевых задач для линейных и нелинейных уравнений. Определено число арифметических действий, которое необходимо затратить, чтобы получить численное решение этих задач с заданной точностью. Сравнение полученных численных решений с 'точными решениями этих задач показывает, что метод позволяет получать численные решения с рмопкоЛ точностью без больших вычислительных затрат:

•I) Поптрпрц численный метод решения начальных н краевых задач для ОЛУ второго порядка, поставленных на полубесконечной прямой. позволяющий вычислять численные решения таких задач в любой точке полубесконечной прямой с наперед заданной точностью; 5) Рассмотрены линейные дифференциальные уравнения первого порядка. содержащие при производной функцию, которая может обращаться в ноль на отрезке интегрирования. При условиях, когда существует хотя бы одно ограниченное решение такого уравнения, построен численный метод, позволяющий вычислить это решение или оешить начальную задачу для такого дифференциального уравнения з заданной точностью.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Петухова Н.Ю. Об одном численном методе решения сингулярно возмущенной краевой задачи. - Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. Москва. 1991, N 61.

2. Петухова Н.Ю. Вычисление пограничных функций в решении сингулярно возмущенной краевой задачи. - Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1992, N 63. 1

3. Петухова Н.Ю. Метод прближенного решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи. - Рукоп. деп. в ВИНИТИ

19. 03.93 N 664В93.

4. Петухова Н.Ю. Решение сингулярно возмущенной краевой задачи с использованием асимптотических и численных методов.- Тезисы докл. Всесоюзн. ксшф. "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач", Бишкек, 1991.