Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями

Хачай, Олег Юрьевич

Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Хачай, Олег Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями"

Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Б.Н.Ельцина

На правах рукописи

005539283

Хачай Олег Юрьевич

Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 1 ноя 2013

Екатеринбург - 2013

005539283

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Уральского федерального университета имени первого Президента России

Б.Н.Ельцина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН | Ильин Арлен Михайлович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Сулейманов Булат Ирекович, кандидат физико-математических наук, доцент

Глебов Сергей Геннадьевич Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук

Защита состоится 13 декабря 2013 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д-002.057.01 при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, расположенном по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан 12 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-матшатических наук

Попенов С. В.

Общая характеристика работы

Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докладом Л. Прандтля, в котором впервые было введено понятие пограничного слоя. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова, стали отправной точкой для последующего глубокого развития теории таких задач. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпуновым, в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Град-штейном. Начиная с 1950-х годов основные направления развития этой теории связаны с применением метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов, М. В. Федорюк и др.), асимптотических методов теории релаксационных колебаний (Л. С. Понтря-гик, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль, М. И. Вишик, Л. А. Лю-стерник, А. Б. Васильева и др.), метода согласования асимптотических разложений (Л. Прандтль, С. Каплун, М. Ван-Дайк, А. М. Ильин и др.).

Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений. Исходное его название — метод двух асимптотических разложе-

ний. Метод использовался в 1940-е и 1950-е годы К. О. Фридрихсом, В. Р. Вазовым, С. Каплуном, П. А. Лагерстромом и др. Начиная с 1960-х годов метод согласования стал применяться очень широко, не только в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других уравнений математической физики. По мере усложнения рассматриваемых сингулярных задач возрастала роль и сложность процесса соединения получаемых отдельно внутреннего и внешнего разложений, важнейшей части метода, связанной с обоснованием построенных разложений. Большое количество конкретных примеров, иллюстрирующих процесс согласования, содержит книга М. Ван-Дайка1.

Получение и обоснование с помощью этого метода составных асимптотических разложений с доказательством равномерных оценок приближения с точностью до произвольной степени малого параметра для широких классов задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных были получены А. М. Ильиным и его учениками: А. Р. Данилиным, Л. А. Калякиным, Р. Р. Гадылыпиным и др.. Большое внимание в рамках научной школы А. М. Ильина уделяется исследованию особых сингулярных задач, для которых коэффициенты внешнего разложения имеют нарастающие особенности во внутреннем слое, такие задачи называются бисингулярными. Хотя исследования асимптотическими методами в основном сосредоточились на уравнениях в частных производных, некоторые новые сложные эффекты, в том числе вызванные нелинейностью уравнений, исследовались и для ОДУ с малыми параметрами и их систем.

В монографии А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова2 исследована асимптотика решения задачи Коши для системы ОДУ в случае, когда для выбираемой определенным образом неподвижной точки так называемой присоединенной системы выполнены условия теоремы о равномерной асимптотической устойчивости по первому приближению. В задачах, рассмотренных в диссертации это условие не выполняется, более того, в последнем разделе главы 1 рассмотрен частный случай задачи, при котором эта неподвижная точка становится неустойчивой.

В работах А. М. Ильина и В. И. Сулейманова при построении согласованных разложений преодолена с помощью логарифмического сдвига независимой переменной внутреннего слоя проблема, состоящая в том, что стандартный подход приводит к неограниченному множеству показателей логарифмов малого параметра при фиксированном показателе степени этого параметра. Для этой же цели в монографии А. М. Ильина3 применяется замена степенно-логарифмических калибровочных функций рациональными функциями. В диссертации сформулированы условия, при которых указанной проблемы можно избежать для степенно-логарифмической системы функций с

1 Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 2967. С. 296

2 Васильева А- Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. С. 208

3 Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. С. 336.

линейным ростом максимальных степеней логарифмов переменной с изменением степени переменной.

Кроме того, для рассмотренных в диссертации задач может нарушаться стандартное условие согласования, заключающееся в равенстве частичных сумм специальных формальных рядов. Это препятствие преодолевается доказательством приближенного асимптотического соотношения, заменяющего указанное точное равенство, и последующим доказательством теоремы о равномерном приближении решения составным разложением.

А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева исследовали поведение решения задачи Коши в случае, когда ветви многозначной функции, являющейся решением предельного уравнения, пересекаются. Для задач, исследуемых в данной диссертации также возможны частные случаи, когда ветви этой функции имеют общую точку, но не точку пересечения, а точку касания.

Задачи, исследованные в диссертации, являются естественными обобщениями рассмотренных ранее задач и представляют важное направление в теоретических исследованиях, что и обеспечивает ее актуальность.

Цель диссертационной работы. Построение и обоснование асимптотики решения сингулярной начальной задачи для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Для достижения поставленной цели были использованы следующие методы: метод согласования асимптотических разложений, асимптотические методы анализа, классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Теоретические результаты диссертации позволяют находить равномерные асимптотические приближения решений бисингулярных задач Коши для систем ОДУ с малым параметром. Такие задачи возникают, в том числе, при анализе нелинейных задач математической физики.

На защиту выносятся основные результаты и положения:

1. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, правая часть которого имеет в начальной точке нуль высокого порядка малости по искомой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

2. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит малый параметр при старшей производной и правую часть, имеющую в начальной точке нуль высокого порядка малости по иско-

мой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

3. Получен новый вид соотношения согласования для степенно-логарифмических формальных асимптотических разложений по малому параметру в двух смежных асимптотических слоях решения задачи Коши для системы конечного числа ОДУ с различными степенями малого параметра при производных, это новое соотношение позволяет получить равномерное приближение для классов сингулярных задач Коши, рассмотренных в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, УрО РАН, 2009) [6], на Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, УНЦ РАН, 2013) [7], на Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, УрО РАН, 2013) [8), на конференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007), а также на научных семинарах в ИММ УрО РАН, УрФУ, ИМВЦ УНЦ РАН и ЧелГУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [1-5], входящих в перечень ВАК, и 3 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Полностью самостоятельно выполнены работы [5], ¡7]. В работах [2, 4], {9] научному руководителю А. М. Ильину принадлежит постановка задачи, им же предложена методика исследования, однако все результаты этих работ получены диссертантом самостоятельно. Работы [1], [6] выполнены совместно с научным руководителем А. М. Ильиным, а статья [3] — с А. М. Ильиным и Ю. А. Леонычевым. Результаты, опубликованные в совместных работах и включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно. Автор благодарен научному руководителю А. М. Ильину за предложенную постановку задачи и помощь в работе над диссертацией.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, списка используемых обозначений, 3 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объем диссертации 171 страница, из них 145 страниц текста, 26 страниц приложений, включая 4 рисунка и 4 таблицы. Библиография включает 112 наименований на 10 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В главе 1 рассматривается задача Коши для нелинейного ОДУ первого порядка с малым параметром при производной, правая часть которого имеет неположительную вторую производную во всей рассматриваемой области и нуль но искомой функции порядка х > 3 в начале координат. Вариант этой задачи при х = 2 рассмотрен в монографии А. М. Ильина.

В вводном §1.1 кратко характеризуется порядок распределения материала диссертации по главам.

В §1.2 производится постановка задачи Коши

e~ = f(t,U), U(0,e) = A, (1)

где t G [0, d], е > 0 — малый параметр, А — положительная постоянная. Пусть функция f(t, U) — бесконечно дифференцируема для всех (t, U) €

€ М] х R, /(0,0) = 0(0,0) = 0 при к = 1,2,... у х — 1; ^(0,0) = 1,

d*f a2 f

оф{0,0) = f(t, 0) > 0 при t > 0, g+(t,U) < 0 при (t,U) € [0,d]x

ОС

х(0, +оо), J тЦ(t,U)dU = -оо. В малой окрестности нуля функция f{t,U) о

имеет асимптотику: f(t, U) = t-U" + 0(t2 + \tU\ + \U*+l\), где jî € IN \ {1}.

Далее отмечается, что данная задача является частным случаем задачи Коши для системы (15) двух уравнений, рассмотренной в главе 2. Однако строение асимптотики задачи (1) имеет некоторые частные отличительные черты по сравнению общим классом решений систем вида (15). Одним из важнейших отличий является то, что для задачи (1) оказывается возможным построить правильное внешнее разложение в виде степенного ряда по £, причем выполнить это построение независимо от промежуточного и внутреннего разложений и начальных условий задачи.

В §1.3 строится внешнее разложение в стандартном виде:

¿7(î,£) = £>*Î4(Î). (2)

Для этого записывается рекуррентная система уравнений:

Ж U0(t)) = 0, (3)

= + £ Т[ия,к>1. (4)

)=2 + ¿=1 1 < И < * - 1

Доказывается существование функции Uo{t) > 0, однозначно определяемой из конечного уравнения (3) в каждой точке t € [0, d\, и асимптотическое

оо

разложение для нее: U0(t) = \ft + £ cj о^* при t -»■ +0.

J=2

Затем находятся асимптотики решений уравнений (4):

£/*(£) = при 4 +0,

1=0

которые имеют нарастающие особенности в нуле, поэтому задача (1) является бисингулярной.

В §1.4 строится внутреннее разложение. Делается замена переменных I = £т, и(ет,Е) = IV(т, е), вводятся в рассмотрение ряды

оо

IV(т, е) = при £Г —> 0. (5)

г=0

Рекуррентная система для коэффициентов ряда (5) имеет вид: $ = (6)

+ Е Е ГК- «

2<9 + т<> у, + ...+ р„ = 1-д ¡ = 1

т > 1 р, > 1

Из (1) естественным образом получаются начальные данные:

шо(0) = А, №¿(0) = 0приг>0. (8)

Доказывается, что решение гио(т) задачи Коши (6), (8) существует и единственно при т > 0, может быть продолжено на луч г € [0, +оо) и разлагается в асимптотический ряд

00 \кЦх-1)]

(Г) = г-1/(*-1) £ су(1пт)', т^+оо,

к=0 1=0

где со,о = {я — причем это решение гио(г) строго убывает на луче

" г € [0, +оо). Находятся асимптотики решений задач (7), (8) при т —> +оо.

В §1.5 строится промежуточное разложение. Выполняется замена переменных I — С/е) = Находятся формальные ряды, получаемые преразложением рядов (5) в переменную г)

оо [кКх-1)]

й{г1,£)=£^^£к'(2"~1) Е ^Шпе)', (9)

к=0 1=0 -к__I

00 х-1 1

йкЛ'П) = Е ({пГ1УВи,0:кМг,з- (10)

г—0 «=0

Записывается рекуррентная система уравнения

¿що

-^- + «0,0 = '?. (11) ^ + (12)

Доказывается существование и единственность решения «о.о(г/) 6 уравнения (11), удовлетворяющего асимптотике и0,о = а-!?/-1/^"1' + о(1) при т] —> 0; причем это решение раскладывается в асимптотические ряды

оо

НО,о = (X - 1)-1/(«-1)„-1/(-1) + £ при ч ^ +0

¿=1

оо

«о,о = + Сзг1~^'с при Г) -> +оо.

Далее доказывается теорема о существовании решения системы (11)—(12) такого, что каждая из функций ик^{г}) при г) +0 разлагается в асимптотический ряд йк<1 (т/), задаваемый формулой (10). Для построенных функций ик,1{'п) обосновываются асимптотические соотношения:

Щ,а = г^ И*, при г] +оо, причем /г0,0 = 1, з=о

¿в

-пикл{г]) < мехр(-гр1*^!*) при I > 0,л ->• +оо. аг)"

В §1.6 доказывается согласованность построенного независимо внешнего разложения с промежуточным. Ряды (9), после перехода к переменной £ внешнего слоя, образуют формальные ряды

и(1,е) = ^е^ик(Ь), (13)

к=0

£/*(«) = »Г^ ^^е*,,.. (14)

г=0

Доказывается, что существуют решения уравнений (3)-(4), которые принадлежат С°°(0, £о] для некоторого ¿о > 0 и имеют асимптотические разложения (14) при г —)■ 0, такие, что ряды (13) и (9) согласованы. Доказывается, что в ряде (13) коэффициенты при нецелых степенях е тождественно равны нулю и ряды (13) и (2) в точности совпадают.

В §1.7 определяется составное асимптотическое разложение е) =

—Ам,т№{т,е), где лг = 1/(2х— 1), и доказывается оценка:

ЭЛЬ: VN>N0 \и(г,е)-г^,е)\ = 0(е^) V* 6 [0,й], при е -> 0, где £/(£, е) — решение исходной задачи (1), 7 > 0.

В §1.8 для двух частных случаев задачи (1) построены графики главных членов трех асимптотических разложений и составного разложения.

Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [2],[9] и доложены на конференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007).

В главе 2 рассматривается бисингулярная начальная задача для системы ОДУ с одним малым параметром, асимптотика решения которой может быть построена в виде степенно-логарифмических рядов на двух пограничных слоях и внешнем слое.

В §2.1 приведена постановка задачи Коши.

e^=f(t,U,V),

U(0,e) = Л > 0, V(0,e)=0,

где е > 0 — малый параметр и выполнены следующие условия.

1. Функции f(t, U, V) и g(t, С/, V) бесконечно дифференцируемы на множестве D = {t, U, V : 0 ^ t < Т, 0 < U < В,\V\ В}, 0 < А < В.

2. На множестве D при t > 0, U > 0 справедливо неравенство

%it,U,V)< 0.

3. /(0,0,0) = О, § (0,0,0) > 0,^(0,0,0) = 0,... 1^(0,0,0) = о, где х > 2, целое число. Кроме того, 0, 0) < 0, причем без ограничения общности будем считать, что |^(0,0,0) = — >с\. 4. д(0,0,0) = 0.

В §2.2 строится внутреннее разложение решения. В окрестности начальной точки вводятся новая растянутая переменная г = e-1i и обозначения для неизвестных функций: 1/(ет, е) = W(г, е), V(et, е) = Z(r,e). Уравнения для функций W, Z имеют вид

^ = /(£т,1ВД, ^=eg(er,W,Z), (16)

W(0, е) = Л > 0, Z(0,e)=0.

Асимптотические ряды функций W и Z ищутся в виде

ОО 00

W(T,s) = Z(T'£) = (17)

к=0 к=1

После разложения функции f(t, U, V) и g(t, U, V) в ряды Тейлора в переменной точке Q = (0, гио(г), 0), подстановки формальных рядов (17) в систему (16) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е получается система рекуррентных соотношений

^ = /(0,щ,0), щ(0) = А, 0,ша,0), zi(0) = 0, (18)

^ = |Î(Q)Wk + гк(т), wk(0) =0, ^ = sjfe(r), z*+1(0) = 0, (19)

где функции т>(т) и Si:-i(r) зависят от Wi и с индексами, меньшими, чем к. В теореме 2.2.1 диссертации доказано, что решения задач Коши (18) — (19) существуют, единственны и продолжимы на весь луч т € [0, оо), а также найдены их асимптотические разложения при т —У оо.

В §2.3 построено промежуточное разложение решения. Для этого произведена замена переменных t — Exxrj, и(т],£) = U(t,e), v{t],e) = V(t,e), где ус — — 1). Применив замечание 3.3.1 получим вид асимптотических

рядов промежуточного слоя:

оо [(т-1)/(*-1)]

= £ ^v^Xlne)",

т=1 „=0 , ,

оо [(т-«-1)/(^-1)]

v(V,e) = v2x-U1e^2»-V\ne+ Y^ с™ £ Ут,лШпеГ,

т=х+1 п=0

ОС 2 _ [?#]"»

ÜmAv) = V"^1 Cuim.n.wilni;)1, (21)

Ы0 l-о

= &2, «-<+1,0 (v) = bilnr) + Y^ V*-* 4С„;2)г-1,0,к,0,

fc=0

00 NH- (22)

= Т]2"*-'™ ^T)2?-'k £ C„;m,nife,,(lnj?)' при m 2>f-l.

A=0 ¡=0

Уравнения для функций и, v имеют вид: uix-i.iC1?) = w2*-u(0) = 62, w'l.oCv) - V + <0(л) = о, - = 0, (23)

+ ^o'vn - Gm,n(v) = 0, v'm+Xi„ - Hm+x,n{o) = 0. (24)

Далее в диссертации приводится теорема о существовании функций ит>„(г?) и vm,n(v)i являющихся решениями системы уравнений (23)-(24) для которых, соответственно, ряды (21) и (22) являются асимптотическими представлениями при г) —у 0. Таким образом, согласованные между собой ряды (20) и (17) полностью построены. Далее доказываются асимптотические представления для коэффициентов рядов (20) при г] —> оо :

оо min{m— п— l,j}

UmAv) J! V2„-hi(v) = &2,

j= 0 (=0

с» min{m-n-lj} Vm+x,n(v) = rf^ (ln 7?)' + Cm,n(ln 7?)"'"".

j=0 ¡=0

В §2.4 производится переразложение рядов (20) в исходную переменную t — £**г}. В результате образуются ряды внешнего разложения

00 i СЮ !

D(t,e) = E(lne)J' им nt,e) = ^(t),

t=0 j=0 i=0 j=0

для коэффициентов которых записываются формальные ряды

00 оо

J2 Vij{t)= t" Pi-j(lnt) (25)

k=l-i k=l+x-i

и записывается система уравнений

f(t, U0(t), Voit)) =0, ^ - î/0(i), V&(i)) = 0, (26)

- Kjmtmj - ^(тт, - FiJ(t) = o,

ir ~ ~ w{Po{tWKl ~ Gi'j{t) = 0> (27)

где г > 0 и 0 < j < г; функции Fjj(f) и G,j(i) зависят от Uiujl и с индексами ¿i и ¿2, меньшими, чем г.

Далее доказывается теорема о существовании решений уравнений (26)-(27), которые принадлежат С°°(0, ¿о] Для некоторого îq > 0 и имеют асимптотические разложения (25) при t —> 0. Ряды (25) имеют нарастающие особенности в нуле, поэтому задача (15) является бисингулярной.

В §2.5 с помощью определения 3.3.2 определяется составное разложение XN(t,£) = AN,eî/(t,e) + AN,eW(r,e) + Ааг+ъсЯСч, е) - _

н-1 H ''

YN(t, е) = AN,eV(t, е) + AN,eZ(r, е) + AN+i„+l)z<ev{ri, е) - _

Теорема 2.5.1. При достаточно малых значениях параметра е решение u(t,e), v(t,e) задачи (15) существует на отрезке [0, ¿о]-

Существуют числа 7 > 0 и Nq > 1 такие, что на всем отрезке [0, io] для функции EN(t,e) = (Xj\'(t, s) - u(t,s),YN(t,£) - v(t,e))T справедлива оценка ||£at(î, е)|| = 0(e7iv) при е О, N е IN, N > N0.

В §2.6 для частного случая задачи (15) построены графики главных членов трех асимптотических разложений и составного разложения.

Основные результаты главы 2 опубликованы в работе [4] и доложены на конференции [б]. Для частного случая, когда порядок вырождения правой части уравнения, содержащего малый параметр, по искомой функции равен 2, исследование этой задачи в кратком виде было опубликовано в статье [1] и с подробными доказательствами — в работе [3].

В главе 3 для сингулярной начальной задачи с одним малым параметром, различные степени которого являются коэффициентами при производных системы обыкновенных дифференциальных уравнений, обосновывается возможность осуществить переход между любыми смежными асимптотическими слоями в рамках метода согласования асимптотических разложений.

В §3.1 осуществляется постановка задачи в целом. Пусть заданы система ОДУ, вообще говоря, нелинейных, и начальные условия:

О, (28)

Щ0,е) = ит, (29)

где £ е (0, со) — малый параметр, е0 6 (0,1), /, = /¡(г, 17и..., 17к) - гладкие функции в некоторой области В = [0, 4 ] х Як, в тексте главы индекс г е {1,..., К]. Показатели ь\ параметра е удовлетворяют условиям

Щ 6 «2, у1> 0, тгофь ..., ук} = 1. (30)

Пусть, также, {/¿0 ф 0, если уг = 1; в остальных случаях Що = 0.

Требуется построить асимптотическое разложение решения данной задачи, обеспечивающее равномерное по Ь из некоторого промежутка [0, ¿0] приближение решения при е —> 0 с точностью до произвольной степени е. Значение ¿о € (0,0 таково, что отрезок [0, ¿0] вложен в область определения коэффициентов асимптотического разложения в наиболее внешнем слое.

Задача (28), (29) является сингулярной, поскольку из условия (30) следует, что хотя бы в одном из уравнений системы (28) малый параметр является коэффициентом при производной. Применение к ней метода согласования асимптотических разложений заключается в построении цепочки согласованных асимптотических разложений, хорошо приближающих точное решение задачи в соответствующих слоях, объединение которых включает упомянутый выше отрезок [0, ¿о], и в преобразовании этой цепочки в единое составное разложение, для которого доказывается теорема о равномерном приближении решения на всем отрезке [0, ¿о].

Каждый асимптотический слой имеет характерный масштаб по независимой переменной, определяемый заменой гц — е~хЧ, разложение в ^'-м слое будем строить в виде рядов

оо

Фн(тЬ,е) = еа>*»'£ге?™т (Ые)пУ>ытМ при г->0, (31)

т=0 п=0

используя обозначения ^¡¡(^.е) = 17г{ех'гц,е) для искомых функций и подразумевая выполненными следующие неравенства:

аш > 0, /Зш и ,%а > 0. (32)

Везде в диссертации предполагается,что в качестве верхнего предела суммирования берется целая часть записанного значения.

На предварительном этапе нужно построить цепочку показателей

1 = Аг > ... > А, > А^+1 > ... > Хь = 0 (33)

таких, чтобы \/7 £ {1,..., Ь — 1} соответствующие значениям А^- и главные члены асимптотик коэффициентов «^¡^„(т^) и Wj+l■¿■tm,n(r]j+l) рядов (31) были согласованы между собой при ^ -» оо и —> 0 соответственно. В цепочке (33) наиболее внутреннему разложению отвечает Лг = 1, для самого внешнего слоя А £ = 0.

В §3.2 ставится задачи о переходе между асимптотическими слоями. Рассматриваются два произвольных смежных асимптотических слоя, соответствующих цепочке (33), определяемых заменами независимой переменной % = и соответственно. Предполагается, что искомое ФАР

решения задачи (28), (29) обладает структурой ряда (31). Далее применяется следующая стандартная процедура. Переменная г]3 и ряды е) подстав-

ляются в исходную систему (28):

- ■ ■ ■ ,Й= 0. (34)

Функция /, (г, И],..., и и) заменяется ее формальным рядом Тейлора Т/, в точке С^^) = Ит (ех'г]}, ..., , е)), существование и ко-

нечность которой вытекают из соотношений (32) и (33), и в таком виде подставляется в левую часть уравнения (34). В полученном выражении

- Т/ДеЧА (»&,е),.. е)) (35)

формально приводятся подобные и производится упорядочивание по степеням е и 1пе. Коэффициенты при этих степенях приравниваются к нулю и получается рекуррентная система ОДУ для коэффициентов ряда (31).

Поскольку везде ниже в главе 3 рассматриваются и Л7+1 для одного фиксированного значения вводятся обозначения без индекса

^ А2 = А,- + 1, Ч £ = е~Ч (36)

Щл, е) = Щ-ЛЛ}, £). е) =

тогда выполняются соотношения O<A2<A1<I, оо Д;«т+Д;0

= £ (1п£)Хт,„(»7) ПрИЕ^О. (37)

т=0 п=0

Пусть набор функций и^т.п^) является решением найденной рекуррентной системы ОДУ и подставлен в ряды (37). Ряды (37) заменяются их частичными суммами

М Ддт+Д. о

£«,;о £ (1п£)Чдл(ч), (38)"

т=0 п=0

в выражении (35). Коэффициенты при некотором числе старших из степеней е и 1пе равны нулю. Предполагается, что существует взаимосвязь между верхним пределом суммирования М частичной суммы (38) и минимальным показателем Рг степени е, при которой остаются ненулевые коэффициенты:

ЩМ) > Ри1М + Рг.о, Р1;1>0. (39)

Предполагаются известными асимптотические разложения функций ^¡„,,„(77):

ОО +

Щ-.тЛч) = Щ.,т,п(17) = £ ^ £ (1п (40)

к=0 1=0

при т) оо, допускающие почленное дифференцирование. Вводятся обозначения: А = Лх - Л2, Л = ДА"1 - 1 > 0, = тт{0,«£ - А;}. Коэффициенты сну, т¿;г, <5,-.; е Q при всех г = 1... к предполагаются удовлетворяющими следующим условиям, среди которых находятся все условия (32):

«¿;1 > 0, > 0, 7;;2 > 0, > 0; «¿;0, А;о, ¿¡;о и > 0, (41) «¿¡1 - А7г;1 = О, - А7^о > 0, если б,-0 > 0, то а;;0 - > 0,

если > О, то аг;0 > 0, - А7;;0 > 0. (42)

Если Рф = Д.д = 0, то полагаем 7^2 = 7г,з-

В §3.3 производится оценка невязки, создаваемой переразложенной асимптотикой в системе уравнений следующего слоя.

Обозначим через И;г{г],с) формальные ряды, возникающие при подстановке асимптотик (40) в ряды (37):

ОО

Wi(^1,£) = £n-^>J2£aІ■lm £ (1пе)ПХ

т~0 п-0

ОО

Х^т-^п+Т^^з* £ (\ПГ1)1С,^ПМ. (43) к=0 /=0

Определение 3.3.1. Зададим на множестве всех пар рациональных чисел функцию Н(дьд2) по следующему правилу:

Утьщ € ЪУт2,п2 е N = НОДК"2.™»"1)

4 7712 «2 7712712

где знак НОД обозначает операцию нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Обозначим = А Я(7,;2,7г;з).

О пределен и е 3.3.2. Следующим сочетанием символов: А^ £Нф р будем обозначать операцию выделения частичной суммы формального ряда, составленной из слагаемых вида СеЛ1(1пг)Лг£В1(1п£)В2, показатели степеней

в которых удовлетворяют неравенствам < В1 < Ф. причем величина Ф может быть некоторой функцией от и Лг, аналогично, запись зададим неравенствами А\ < ^р \\ В\ > Ф.

Обозначим частичные суммы рядов (43): М А;1»п+А; О К Ь-лМко

т=0 п=0 к=0 г=0

= Щм.к = ^м^.еВ^^^.^^^^^г!,е). (44) Лемма 3.3.1. Существует формальный ряд

ос

р=0 9=0

£ (ЬО'^г,. (45)

Г=0 5=0

такой, что замена переменной г) = в произвольной частичной сумме (44) ряда (43) приводит к следующему результату:

Фцы,к{е-хЬ е) = г^мМЬ £) + £)> (46)

= £а^о-Л7цо ^2 е™ ^2 (1пе)Т0_А"1'2рх (47)

р=0 9=0.

*£Г*1Г Е (48)

Г=0 8=0

Для остаточного члена 11г;М,к(£>£) выполняется оценка

хО^'Г"^-1 + е^'в^^+А,«) р;1м-7<1а(А,.м+А1о)^ пргг £ < ! (49)

Замечание 3.3.1. Если /3^ = = 0, то

К ЬлР+Ь.о м ¿•лР+Ь.о-Я

р=0 9=0 г=0 «=0

и соотношение (46) с учетом обозначения (45) принимает вид

Асчл+Ч-ПЛК-ъ,о), S A*i;1M+ai;0, rWi{rl, е) = Аа^м+а,л,г1 (Zi(£>£) пРи ßi;l = ßifi = 0. (50)

В общем случае тождество вида (50) не имеет места потому, что результирующая сумма (48) не является частью формального ряда Zi((,,e).

Используя сведения о пределах суммирования и шаге изменения показателя е в формальном ряде (45), зададим эти параметры для ФАР вида (31),

указанного в замене обозначений (36).

Положим aj+= aj-i-o - А7^;0, a,-+i;i;i = ßu ßj+ui-a = Зш, ßj+i;i-,i = Aii5j;i;i(A-yJ;i;3)—1 и, таким образом, получим формальный ряд

ос

р=О <7=0

с коэффициентами которого свяжем формальные ряды

Е (In0'<W..- (52)

г=0 s=0

Соотношение (46) с оценкой (49) дают новый вид условия согласования асимптотических разложений в двух смежных слоях — рядов (43) и (51).

Получим систему уравнений для функций Zi-p— коэффициентов рядов (51). Подстановка переменной £ = £~x*t и формальных рядов Zi(^,s) в исходную систему (28), приводит к системе уравнений

^-ЬщШе) - fi(eX4, Ше),..., Zh((,e)) = 0.

Пусть функции г;;р,,(£) удовлетворяют системе уравнений, полученной по стандартной схеме: функция fi(t,Ui,..., Uu) заменяется ее формальным рядом Тейлора Tf.ti в точке QJ+1(£) = lim (£Ä2£, e),..., Zh(£, e)) и в таком виде подставляется в левую часть уравнения (34). Пусть в полученном выражении £V'-X2—Zi(£,£) - Tf-i^^Z^t, £),..., Zh(£,£)) формально приведены подобные и произведено упорядочивание по степеням е и Ine:

ОО

k=0 л=0

где 5;;о, 5,-;i, ßi-о, ßi-1 — рациональные числа, причем äi;i > 0, Д;о > 0, ßi; 1 > 0. Предположим, ЧТО В Выражение Gi-к,п{£) могут входить

функции только с индексами р, удовлетворяющими условию р < к,

тогда систему уравнений

= 0 (53)

можно будет рекуррентно решать относительно функций 2{;Р19(£), такая ситуация обычно имеет место на практике (например, в главах 1 и 2, а также, в монографии А. М. Ильина и работе [3]).

Теорема 3.3.2. Пусть ФАР системы уравнений (34), полученной из системы (28) подстановкой Т) = е~хЧ, представляет собой ряды (37), чьи коэффициенты имеют асимптотические разложения (40), для которых выполнены условия (39), (41)-(42). Пусть формальные ряды (45) получены переразложением формальных рядов (43) из переменной г] в переменную £ = е^Ч. Пусть рекуррентная система уравнений (53) для нахождения функций — коэффициентов рядов (51) — построена стандартным

образом.

Тогда невязки, возникающие при подстановке частичных сумм -®7,1л/-7,1Р+"у1о,^;м(0 формальных рядов (52) — коэффициентов рядов (45) — в систему (53) вместо функций -г*;р.д(£), будут удовлетворять оценке

Сг-кМ) = 0(екМ) при £ 6 (0,6), 6 > 0, кк > 0. (54)

Доказательство теоремы 3.3.2 основывается на применении следующей

Лемма 3.3.2. Пусть при любых значениях натуральных величин 5 ир выполнено равенство

Я А*+А>

^£а1к+аа ^ (]П£)П °к.п,р{0 = 0(СЛР+'<2 + е^+^-Ч^+Ч»)

Л'=0 п=0

при всех е € (0, £о) и £ е (е\ £о), где < 1- Пусть справедлива оценка

Ок,п,Р(0 = О(е°~^к), к — 0. ..Б, при£е(е\Ь),

где «1,73, ¿1 и А — положительные, /За и Д — неотрицательные, а ао,7о,7ъ72,<Ь>0о и их — произвольные вещественные числа. Тогда

УК 6 N ЗР € М, 6 6 (0, £о) ■' Чк<К Зик > 0: Vр> Р

верна оценка СкМ{& = 0(£"*р) при £ 6 (0, ¿л)-

Благодаря оценке (54), во-первых, на практике обычно удается доказать существование и продолжимость на весь асимптотический слой точных решений рекуррентной системы ОДУ, для которых они являются настоящими асимптотическими разложениями, и, во-вторых, ряд (51) при подстановке в него полученных точных решений оказывается ФАР по £ —0 согласующимся с рядом (37). В некоторых случаях ФАР системы уравнений (34) не удается записать в виде единой системы рядов, удовлетворяющих условиям (41)-(42). Оказывается, заключение теоремы 3.3.2 остается верным в случае, когда условия (41)-(42) выполняются не для самих рядов (40), а для их составляющих.

Теорема 3.3.3. Пусть частичные суммы (38) рядов (37) могут быть раз-

в Мр к 1 т +0,:р-я

ложены на в составляющих: ^ еа';р:0 ^ £а'-р-1 т ^ (1п £)пи)1-Р1т<п(1]) и

р—1 п=О

при г) -4 оо имеет место соотношение вида (40)

ос О

«Ъ.-т.пМ = £ £ (1П

)с=0 /=0

Пусть при каждом фиксированном значении р — 1,..., в коэффициенты построенных по аналогии с рядами (43) формальных рядов \¥1#{г1,е) удовлетворяют всем условиям (41)-(42) и при подстановке рядов (37) в систему уравнений системы уравнений (34) выполняется условие (39). Тогда заключение теоремы 3.3.2 будет верно.

В §3.4 приведены некоторые вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений, используемые в главах 1 и 2.

Основные результаты главы 3 опубликованы в работе [5]. Краткая схема доказательства леммы 3.3.2 опубликована в статье [3]. Также, результаты глав 2 и 3 доложены на конференциях [7, 8].

В Заключении автор кратко резюмирует результаты диссертации. В Приложении А определены формальные ряды с неопределенными коэффициентами, используемые в диссертации, и приведены их свойства. В Приложении В подробно анализируется пример из §2.0.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах

1. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Сингулярная начальная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Доклады РАН. 2008. Т. 422, № 4. С. 1-4.

2. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения начальной задачи для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения /,/ Дифф. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 270-272.

3. Ильин А. М., Леонычев Ю. А., Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы дифференциальных уравнений с малым параметром и с особой начальной точкой // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 1. С. 81-102.

4. Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47, № 4. С. 605-608.

5. Хачай О. Ю. О согласовании степенно-логарифмических асимптотических разложений решения сингулярной задачи Коши для системы ОДУ //' Труды ИММ УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 300-315.

Другие публикации

6. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Асимптотика решения вырожденной системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления: Тез. докл. Междунар. конф. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2009. С. 79-81.

7. Хачай О. Ю. Matching of power-logarithmic asymptotic expansions of singular Cauchy problem for system of ODEs // Нелинейные уравнения и комплексный анализ. Тез. докл. Междунар. конф. / Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: 2013.-3. С. 54.

8. Хачай О. Ю. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром // Современные проблемы математики. Тез. докл. Междунар. школы-конф. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2013. С. 157-159.

9. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения одной бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного уравнения первого порядка // Деп. в ВИНИТИ. 2005. Т. 16, № 174-В2005. С. 1-46.

Подписано в печать 11.11.2013. Формат 60*84 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 110 экз. Заказ Отпечатано с готового оригинал-макета в издательстве «Архитектон» при ФГБОУ ВПО «Уральская государственная архитектурно-художественная академия», 620075, г. Екатеринбург, ул. Карла Либкнехта, 23.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Хачай, Олег Юрьевич, Екатеринбург

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

На правах рукописи

Хачай Олег Юрьевич

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., академик РАН

Ильин Арлен Михайлович

Екатеринбург - 2013

Содержание

Введение ........................................................................................4

Список используемых обозначений и сокращений..................................16

Глава 1. Бисингулярная задача Коши для ОДУ с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка правой части в начальной точке 18

1.1. Введение................................................................................18

1.2. Постановка задачи. Схема решения..................................................19

1.3. Построение внешнего разложения ..................................................20

1.4. Внутреннее разложение ..............................................................25

1.5. Промежуточное разложение..........................................................27

1.6. Согласованность промежуточного и внешнего разложений......................33

1.7. Равномерное асимптотическое разложение решения..............................37

1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения для двух частных случаев ......................................................38

Глава 2. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром, правая часть одного из которых вырождается в начальной точке . . 43

2.1. Постановка задачи....................................................................43

2.2. Внутреннее разложение ..............................................................44

2.3. Промежуточное разложение..........................................................49

2.4. Внешнее разложение..................................................................58

2.5. Составное разложение. Равномерная оценка приближения......................75

2.6. Пример задачи для системы. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения..................................................81

Глава 3. Согласование степенно-логарифмических асимптотических разложений ........................................................................................85

3.1. Постановка задачи в целом ..........................................................85

3.2. Постановка задачи о переходе между асимптотическими слоями................86

3.3. Процесс согласования асимптотических разложений..............................90

3.4. Вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений 116

Заключение ....................................................................................134

Литература......................................................................................136

Приложение А. Некоторые вспомогательные утверждения ....................146

А.1. Операции со степенно-логарифмическими рядами с неопределенными коэффициентами ............................................................................146

А.2. Некоторые свойства степенных и степенно-логарифмических рядов с неопределенными коэффициентами ........................................................156

Приложение Б. Пример применения результатов второй главы ..............161

Б.1. Формальный анализ асимптотических разложений................................161

Б.2. Получение явных формул для первых членов внешнего разложения............168

Введение

Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так называемыми малыми параметрами, т.е. величинами, очень малыми по отношению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после того, как произведено их обезразмеривание; подробное описание методики обезразмеривания содержится, например, в монографии Л. И. Седова [1]). Такие уравнения используются для описания гироскопических систем [2], систем с автоматическим регулированием, в том числе при расчетах управления дорожным движением [3-6], применяются они и в динамике плазмы [7], газа и жидкости [1; 8-19], в термодинамических задачах с обострением [20]. Уравнения с малыми параметрами часто называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохранить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возмущениями уравнений) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозмущенной задаче) изменит поведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю равномерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невозмущенной) задачи. Но поскольку на практике малые параметры являются конечными, отличными от нуля величинами, то даже для регулярных задач высока актуальность обоснования полученных приближенных решений, оценивание погрешности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество важных, необходимых на практике задач, в которых равномерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Это происходит тогда, когда порядки некоторых или всех дифференциальных уравнений предельной системы отличаются (в меньшую сторону) от порядков соответствующих уравнений исходной системы, например, когда малый параметр является коэффициентом при старшей производной в уравнении, в таких случаях предельная система уравнений не оставляет достаточной свободы, чтобы удовлетворить всем начальным или краевым условиям. Также сингулярность может быть привнесена в задачу за счет рассмотрения бесконечной области изменения независимых

переменных, непостоянства типа дифференциального уравнения в частных производных на рассматриваемой области, наличия особенностей у получаемых разложений, которых нет у точного решения. В некоторых задачах эти источники сингулярности комбинируются друг с другом. Большому количеству сингулярно возмущенных задач свойственно быстрое изменение решения в некоторых узких областях — пограничных и переходных слоях.

Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докладом Л. Прандтля [8] на 3-м Международном математическом конгрессе в Гейдельберге. В докладе [8] рассматривалась задача обтекания твердого тела жидкостью с очень малой вязкостью, впервые было введено понятие пограничного слоя, его характерной толщины, также являющейся малым параметром. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова [21-23], в которых выявляются особенности предельного перехода решения сингулярной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с малыми параметрами при производных к решению невозмущенной задачи, выписываются общие условия осуществимости такого перехода, обосновывается равномерность этого перехода на множестве точек, не включающем как угодно малую окрестность начальной точки, стали отправной вехой для последующего развития теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпуновым [24], в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Градштейном [25; 26]. Начиная с 1950-х годов основные направления развития этой теории в нашей стране и за ее пределами связаны с применением следующих методов: метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский [27-30], В. М. Волосов [31; 32] и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов [33], М. В. Федорюк [34] и др.), асимптотических методов теории релаксационных колебаний (задач с точками срыва) (Л. С. Понтрягин [35], Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов [36] и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов [37] и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль [8; 9; 38], М. И. Вишик, Л. А. Люстерник [39-42], В. А. Треногин [43], А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. X. Багирова [44-50] и др.), метода согласования асимптотических разложений(Л. Прандтль [8; 9; 38], К. О. Фридрихе, В. Р. Вазов [51; 52], С. Каплун, П. А. Лагерстром, Дж. Коул, [53-57], М. Ван-Дайк [10], А. М. Ильин, Р. Р. Гадылынин, А. Р. Данилин, Л. А. Калякин, Б. И. Сулейманов [19; 58-65] и др.).

Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений, который входит в семейство асимптотических методов. Основными достоинствами асимптотических методов являются, в частности следующие:

1. упрощение решения, сведение сложной задачи к цепочкам более простых, зачастую не зависящих малого параметра задач; запись приближенного решения в элементарных функциях в случае, когда точное решение не имеет такого представления;

2. интегрированность асимптотических методов с алгебраическим, вариационным, численным и другими математическими подходами;

3. применение асимптотических методов сродни физическому моделированию, демонстрирует физическую суть задачи.

Начало современной теории асимптотических разложений принято связывать с опубликованной в 1886 г. работой А. Пуанкаре [66], в которой было дано определение асимптотического ряда. Асимптотическое приближение решения для многих задач теории возмущений строится именно в виде рядов, для которых доказывается не сходимость, а асимптотический характер. Однако из асимптотического характера ряда следует лишь, что погрешность частичной суммы такого ряда меньше некоторого элемента асимптотической последовательности [67, С. 17-24] функций малого параметра (например, некоторой его степени), умноженного на постоянную величину, которая не известна. Если рассматривать малый параметр, как бесконечно малую величину, то этого результата достаточно. На практике же необходимо знать эту величину, для построения оценки решения. Тем не менее, методы обоснования асимптотичности разложений в виде рядов обычно позволяют установить оценки и для этих неизвестных постоянных.

Существует два основных определения асимптотического разложения функции в ряд. Рассмотрим их различия применительно к вещественнозначным функциям. Согласно определению, носящему имя Эрдейи, ряд

называется асимптотическим разложением функции /(ж) при х —> х0, если существует некоторая асимптотическая при х —> хо последовательность функций

оо

У^ Ск<рк(х): с^ 6 К, /г 6

такая, что

(0.1)

Другое определение, носящее имя Пуанкаре, отличается от определения по Эрдейи следующими дополнительными требованиями:

1. последовательность {<Рк{х): к £ Z+} должна быть асимптотической при х —> х0;

2. соотношение (0.1) должно выполняться, если в качестве функций г) будут взяты функции (рк+1(х), к е ТЛ.

В главах 1 и 2 сначала строятся послойные асимптотические разложения решения в смысле Пуанкаре, из которых затем получается составное асимптотическое разложение в смысле Эрдейи, равномерно приближающее решение на всем рассматриваемом отрезке.

Обычно, выбирая подход к решению научной задачи, приходится сталкиваться с тем, что простота получения приближенного решения и точность этого приближения антагонич-ны друг другу. Стремясь получить более точное решение, приходится пожертвовать высокой точностью и наоборот. Однако принцип локализации, используемый в асимптотических методах, позволяет одновременно получить и высокую точность, и значительное упрощение процесса решения при достаточном сужении области рассматриваемых значений параметров. Во многих случаях даже нахождение одних только главных членов асимптотического разложения дает почти всю основную информацию о решении, а знание нескольких первых членов (обычно, первых двух) позволяет находить решение с достаточной точностью. Но, зачастую провести обоснование только нескольких первых членов асимптотики так же сложно, как и обоснование бесконечного асимптотического ряда целиком, поэтому во многих научных трудах и в данной диссертации производится обоснование бесконечных асимптотических рядов.

Очень удобной в силу своей простоты является степенная последовательность с постоянным шагом показателя. В некоторых задачах оказывается необходимым рассматривать степенно-логарифмические асимптотические последовательности, вводя логарифмические сомножители при степенных функциях, именно такие асимптотические разложения строятся в данной диссертации. Кроме простоты этих последовательностей некоторая стандартизация выбора асимптотических последовательностей для построения приближенных решений, когда во многих научных работах используются именно степенные и степенно-логарифмические последовательности, связана с возможностью удобно производить над такими асимптотическими разложениями операции умножения, возведения в степень, почленного дифференцирования и почленного интегрирования. Произвольная асимптотическая последовательность, вообще говоря, не обеспечивает возможность производить эти операции с сохранением

асимптотического характера результирующих формальных рядов. Возможность осуществления таких действий подробно исследовалась Й. Ван-дер-Корпутом, А. Эрдейи и Г. де Брей-ном [67-69]. Умножение асимптотических рядов может быть определено только если результаты попарного перемножения всех членов исходной асимптотической последовательности могут быть упорядочены в единую асимптотическую последовательность. Особенно удобно, когда результирующая асимптотическая последовательность не выходит за рамки исходной, и это выполняется для степенных с постоянным шагом показателя и соответствующих степенно-логарифмических последовательностей. Кроме того, среди всех дифференцируемых функций одной переменной только степенные функции обладают свойством масштабной инвариантности, если предположить гладкую зависимость масштабирующего коэффициента при зависимой переменной от соответствующего коэффициента при независимой переменной.

На различных этапах асимптотического исследования возникают вопросы о существовании и возможности произвести оценки решений некоторых начальных или краевых задач. Существенную роль в исследовании таких вопросов для уравнений с частными производными играют теоремы о существовании, единственности и устойчивости решения и о принципе максимума, доказанные в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонниковым и Н. Н. Ураль-цевой [70-72].

Остановимся подробнее на истории метода согласования (сращивания, matching) асимптотических разложений. Исходное название этого метода — метод внутреннего и внешнего разложений, метод двух асимптотических разложений, который является развитием и обобщением теории пограничного слоя, начало которой связывается с работами Л. Прандт-ля [8; 9; 38]. Этот метод использовался в 1940-е и 1950-е годы американскими учеными для описания течений вязкой жидкости и газа за эти годы выкристаллизовалась техническая и алгоритмическая основы метода. Так, К. О. Фридрихсом, В. Р. Вазовым [51; 52] были получены результаты по описанию течения жидкости в каналах малой глубины, способы расчета возникновения ударной волны из обычной волны сжатия в газе. С. Каплун в работе [53] ввел в теорию пограничного слоя формальные внутренний и внешний предельные переходы и понятия внутреннего и внешнего разложений. Изучение процесса согласования асимптотических разложений было подробно произведено в совместной работе С. Каплуна и П. А. Лагерстрома [55]. Применяя идеи этого метода, С. Каплун [54] и независимо от него И. Праудман and Дж. Пирсон [73], используя разложение Озеена [74], построили равно-

мерное приближение для неограниченно простирающегося течения несжимаемой жидкости, при малых числах Рейнольдса обтекающего тело цилиндрической формы (так называемый парадокс Стокса). В отличие от такого обтекания в условиях больших чисел Рейнольдса (парадокс Даламбера), рассмотренного Л. Прандтлем [38], при котором область неоднородности имеет вид тонкого пограничного слоя у поверхности обтекаемого тела, в задаче о парадоксе Стокса область неравномерности представляет собой окрестность бесконечно удаленной точки. С. Гольдштейн [75; 76] и И. Имаи [77] получили асимптотическое разложение решения задачи Блазиуса для пограничного слоя на полубесконечной пластине. Л. Тингом [78] была решена задача о вязком сдвиговом слое между двумя соприкасающимся, движущимися с разной скоростью, потоками вязкой жидкости. И. Д. Чжан [79] исследовал асимптотическое разложение при больших удалениях от объекта решения двумерной задачи обтекания тела, сечение которого координатной плоскостью есть конечная область, ограниченная гладкой замкнутой кривой. Б. М. Булах [15] применил этот метод для исправления линеаризованных сверхзвуковых конических течений и получения приближений высших порядков в окрестности головной ударной волны.

Начиная с 1960-х годов метод согласования стал использоваться очень широко, не только в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других эл