Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ии3456424 На правах рукописи

Коврижных Ольга Олеговна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург-2008

05'ей Оц

003456424

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте математики и механики УрО РАН в отделе прикладных зад

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, А.Р. Данилин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Т.Ф. Филиппова

кандидат физико-математических наук, Д.И. Борисов

Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова"

Защита диссертации состоится 10 декабря 2008 г. в 10 часов на за дании диссертационного совета Д 004.006.01 при Институте математик механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института мате тики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук . Н.Ю. Лукоян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях - пограничных и переходных слоях.

Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова, в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.

Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Л.А. Люстерник, М.И. Вишик, М.И. Иманалиев), метод усреднения (Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов, ЮА. Митропольский), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понт-рягин, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов), метод сращивания асимптотических разложений (Л. Прандтль, A.M. Ильин), методы типа ВКБ (В.П. Маслов) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены

также в монографиях В. Вазова, Дж. Коула, J, Kevorkian, А.Х. Найфэ, М.В. Федорюка и работах многих других авторов.

Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова и И.С. Градштейна, в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах A.B. Васильевой. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах H.A. Сотниченко, С.Ф. Фещенко. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы H.A. Косиченко. В работах Р.П. Кузьминой исследуется задача Конга для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O'Malley, jr. строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для

краевой задачи Г.И. Шишкиным.

Тем не менее, остается ряд невыясненных вопросов, связанных, прежде всего, с построением и обоснованием асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач с несколькими малыми параметрами в случае, когда не предполагается никакой зависимости между параметрами при стремлении их к нулю. В диссертации исследуется задача Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами при производных. Изучается поведение решения задачи на конечном промежутке времени. Новизна проблематики настоящего исследования заключается в том, что малые параметры, стоящие в уравнениях системы каждый при своей производной, стремятся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, речь идет о построении асимптотики решения, равномерно пригодной при любых соотношениях между малыми параметрами.

Цель работы. Построение и обоснование асимптотики решения начальных задач для линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами при производных.

Методы исследования. При исследовании сингулярно возмущенных задач с малыми параметрами использованы асимптотические методы анализа, 1слассические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Приведем основные из них.

1. Исследована сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Построено равномерное на отрезке времени асимптотическое разложение решения задачи.

2. Получены рекуррентные формулы для членов внутреннего разложения, позволяющие находить их только через алгебраические операции.

3. Разработан алгоритм построения формального асимптотического ре-

шения начальной задачи для сингулярно возмущенной системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами. Найден класс нелинейных систем, для которых этот алгоритм дает асимптотическое разложение решения рассматриваемой начальной задачи.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач. Развитый в работе математический аппарат и полученные результаты позволяют исследовать асимптотику решений задач, сингулярным образом зависящих от двух малых параметров.

Апробация работы. Материалы по теме диссертации были представлены на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённой памяти И.Г.Петровского (Москва, 2004), Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), IV Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2003), 35-ой, 37-ой Региональных и 39-ой Всероссийской молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004, 2006, 2008), а также на научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН и Уральском государственном университете им. A.M. Горького.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-Ю], список которых приведен в конце автореферата. Работы [1-4] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. В совместной работе [1] A.M. Ильину принадлежит постановка задачи, в совместной работе [4] научным руководителем А.Р. Данилиным предложена методика исследования. Все результаты этих работ получены диссертантом самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы. Объем диссертации составляет 103 страницы, включая библиографический список из 75 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава посвящена построению и обоснованию асимптотики решения следующей сингулярно возмущенной начальной задачи:

e^ = a(t)x + b{t)y + m, fi— — c(t)x + d(t)y + g(t), (1)

я|«=о = x°, y|i=0 = y°, (2)

где a(t), 6(i), c(£), d(t), f(t), g(t) - бесконечно дифференцируемые вещественные функции на [0, Г], удовлетворяющие условиям

o(t) < 0, ii(f) < 0, D{t) = a(f)rf(t) - b(t)c{t) >0, te [0,T], (3)

s > 0, ц > 0 - малые параметры. Обозначим

ЧЭ-

Строится асимптотическое разложение решения задачи (1), (2) в предположении, что е, fx независимо стремятся к нулю. Под асимптотическим разложением понимается ряд

00 Jt=0

TV-я частичная сумма которого является асимптотическим приближением с точностью 0(eN+1 -f ¡J.N+l) равномерно по t G [О, Т] к решению рассматриваемой задачи. При этом члены асимптотики должны определяться из более простых задач по сравнению с исходной задачей.

Асимптотическое разложение решения будем искать в виде

«(É, е, = е, а*) + Ф(т, е, д), (5)

где Ф(т,£,/г) - так называемое внутреннее разложение, зависящее кроме параметров от новой растянутой переменной

е, /х) - внешнее разложение, приближающее решение задачи равномерно на множестве ¿о < 4 ^ Т, где ¿о > 0 как угодно близко к 0, но фиксировано при £ —>■ 0, ц —► 0.

Сами разложения имеют структуру двойных рядов по степеням малых параметров. Так, ищем в виде

оо

гц,е,11)= (7)

т,п=0

Подставляя разложение (7) в систему (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ет^п, последовательно определим коэффициенты ряда (7) из систем линейных алгебраических уравнений с матрицей

Vе» <*«>;

В частности, главный член внешнего разложения го,о(£) = (хо,а(1), !/о,о(0)Т является решением вырожденной системы, соответствующей исходной системе (1) (при £ = ¡л = 0).

Внутреннее разложение представим в виде

оо

Щт,е,ц)= £ (8)

т,п=0

Для определения членов этого ряда разложим функции а{Ь), Ь{Ь), с(£), ¿(Ь) в степенные ряды в окрестности точки í = 0 с коэффициентами а^ Ь^ с», с/;, (г — 0, оо) соответственно и перейдем к новой переменной т (6). Вез ограничения общности в силу условий (3) можно считать ао = ¿о = — 1. Будем искать Фтд1(т,£,/х) как решения следующих систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с1

^ Фт,п = А) (е, ц) Фт,„ + Ст,„ (т,е,ц), т = 0,оо, п = 0,оо, (9)

здесь

_ . . .£ тМ{(е,/г)Фт_<1П_<, г„ > 0, С'т.пС'Г, е, = \ ¿=1 г* = тт(т, п),

0, и = 0,

= ^V ¿ = 0755, (Ю)

\£Ci edij удовлетворяющие начальным условиям

Фо,о(0,£,аО = г°-го,о(0),

Фт,п(0, е, ц) = -zm,n(0), т + п > 1.

При этом частичная сумма построенного ряда (5) удовлетворяет начальным условиям задачи.

Обозначим через а\{е,[х), a-¡{e,n) собственные значения матрицы Л0(е,м) (10), тогда

ак(е, ц)=(-е-ц- (-1) V(e + ¿>2 ~ 4e/iA>) /2 =

= (-1)-У(£-/х)2 + 4^Ь0Со) /2, к = 1,2, (11)

здесь Do = D(0) = 1 — 6qсо > 0. Из соотношения (11) непосредственно вытекает, что вещественные части а\{е,ц), о^е, у) отрицательны и удовлетворяют оценке

Re(ak(e, ¿¿)) < -7р(е, ц), к = 1,2,

где

р = (12) с. ¡J,

а 7 > 0 - некоторая постоянная, не зависящая от £, ¡л.

Далее приводится оценка нормы фундаментальной матрицы системы (9) для нахождения членов внутреннего разложения - матричной экспоненты, зависящей от малых параметров.

Лемма 1.1. Для матричной экспоненты ехр(Ло(е, ц)т) справедлива оценка

||ехр(Л0(е,р)т)|| ^ Соехр(-кр(е,ц)т), т > 0, (13)

где р(е, ¡л) — ец/(е 4- /i); Со, к - некоторые положительные постоянные, не зависящие от т, е, ц. Символом || • || обозначена норма, равная сумме модулей всех элементов матрицы.

На основе неравенства (13) получены оценки членов внутреннего разложения, которые являются ключевыми для обоснования построенной асимптотики.

Лемма 1.3. Для функций Фт,п(т, м) (тп = 0,1,..п = 0,1,...) справедливы оценки

С

||Фш,п(т, е, /х)|| < ехр(-сг^(е, ц)т), т О,

где г» = тт(т, п); С > 0 и а > 0 не зависят от е, ц, т, а а достаточно мало.

В частности, в силу леммы 1.3., определений (6) и (12) выполняются соотношения

||Фо,о(т,<г,м)|| < Сехр(-ар(е,ц)т) = Сехр , * > О,

т.е. главный член внутреннего разложения при любом фиксированном 4 е (О, Т] и е —* 0, у, —> 0 экспоненциально стремится к нулю.

Теорема 1.2. При выполнении условий (3) найдутся постоянные £о > О, цо > 0 и С > 0 такие, что при 0 < е < ео, 0 < р < до решение е, (х) задачи (1), (2) удовлетворяет неравенству

+ при 0 < « < Т,

где е, ц) определяется формулой

N

гдг(«,е,ц) = 2 £т^п(гт^) + Фт,„(т,е,н)).

т,п=0

Отметим, что члены ряда (4) выражаются через гт,п(<) и Фт,п(т, е, ¡л) следующим образом

¥>о = го,о{1) + Ф0,0(г,е,^),

>=о

+еУ + Фм(т, е, ц)), к = 1,2,...

Во второй главе выводятся рекуррентные формулы для членов внутреннего разложения, позволяющие находить их с использованием только алгебраических операций.

Теорема 2.1. Если собственные значения а^е,^) (к = 1,2) матрицы Ло(е,р) различны, то для функций Фт>п(т,£, (т. — 0,..., И, п = О,..., И) справедливы формулы

Фт,п(г,е, А) = ехр(а1(е,^)т)В^п(т,е,^)+

+ ехр(а2(е,е,м), т ^ 0, (14)

где В{А]п(т,е,ц) (; = 1,2) - вектор-функции, координаты которых представляют собой многочлены от т, степени не выше 2г» (г* = тт(т, п)) с коэффициентами, зависящими от е, ц, то есть

¡=о

здесь [ (е,/х) - рекуррентно вычисляемые вектор-функции.

Замечание. В случае комплексно-сопряженных собственных значений оск(е,(х) (к = 1,2) матрицы Л о (г, р) формулы (14) определяют веществен-нозначные функции.

Теорема 2.2. Если собственные значения матрицы Ао(£, ц) совпадают: ах{£,р.) = а2(еф) — аа(е,р,), то для функций Ч/т>п(т,е,р.) (тп = 0,..., ТУ, п = 0,..., И) справедливы формулы

$т,п(т,£,ц) = ехр{а0{£,/л)т)Вт1п(т,е,р,) = 1+3«.

= ехр(а0(гг, ц)т) т'/Зт,п,г(е, ¿0, ^ > 0, (15)

1=0

где Рт>п,1(£,ц) - рекуррентно вычисляемые вектор-функции.

И

Проиллюстрируем далее процесс вычисления величин /и), запи-

сывая явные формулы для нескольких первых элементов. Обозначим

. А0(е,1х)-а2(е,(1)Е , А0(е,ц) - оц^^Е

- а1(е,„)-а2(е,ц) ' ' а2(е,„) - а1{е,ц) '

В случае различных собственных значений матрицы вычисляем

при з~1

/4»0 = го.о(0)),

А = ~В1(е,мМ0), Ро1о = -^(6,^.1(0), , В1(£,1х)А1(е,у)В2(е,ц) - В2(е,»)А1(е,ц)В1(е,1х) л (16)

1--—;-;-р-гто-~ ¿оДО)),

А = \ В1(е,ц)А1(е,ц)В1(е,ц) (г° - г0,0(0)),...

Здесь матрица Л^е./х) определяется формулой (10). Для 3=2 формулы имеют схожую структуру. Отметим, что в (16) от неоднородностей /(¿), д(£) в правых частях исходной системы (1) и от начальных условий 2° зависят только величины 2° — 2о,о(0), 2т?п(0), (т, п = 0,1,...), входящие множителями при матрицах, зависящих только от малых параметров и коэффициентов исходной системы. Далее формируются члены внутреннего разложения Фт1Г1(т,£,р) (т, п — 0,1,...) согласно представлениям (14), (15). При а\ —> а2 формулы (14) переходят в (15). Таким образом, отпадает необходимость интегрировать систему (9) на бесконечном по г промежутке. Подставляя полученные формулы в ряды (8), мы можем выделить агрегаты, зависящие только от параметров и коэффициентов системы, получить таким образом структуру рядов для задачи с двумя малыми параметрами.

В последнем разделе главы 2 приводятся иллюстрирующие примеры

численной реализации алгоритма построения асимптотики с использованием пакета аналитических вычислений Maple 10.

В третьей главе исследуется сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных:

*|.=о = у|(=о = У°, (18)

где £ > 0, ц > 0. Исследуем решение задачи (17), (18) на отрезке [0, Т]. Предполагаем, что выполняются следующие условия.

I. Функции f(t,x,y), g(t,x,y) непрерывно дифференцируемы достаточное число раз в некоторой области Г пространства переменных (t,x,y).

II. Вырожденная система

0 = f(t,x,y), 0 = g(t, х, у), (19)

определяет на отрезке [0,Т] решение х = ip(t), у — ip(t) такое, что

(a) функции х — tp(t), у = ip(t) непрерывны на [0,Т];

(b) точки (i, <p(t), ip{t)) G Г при t е [0, Т];

(c) корень х = <p(t), у = r¡>(t) изолирован на [0, Т], т. е. существует т) > 0 такое, что f{t,x,y) ф 0, g(t,x,y) ф 0 при ¡x - <p{t)\ < r¡, \у - < т/,

(х,у)ФШ,т), Í6[0,r],

III. Введем вспомогательную систему уравнений

dx е + р, dy £ + ц--

в которой t рассматривается как параметр. В силу условия II г — (х, у)т = (<р(£), t/>(í))r является изолированной точкой покоя системы (20) при любом t. Матрица первого приближения для системы (20)

+ I1/). <2»

\ф)/ц d[t)/nj

где

„п\ - д/М'У) - х>у)

ду

i/=m

dg{t,x,y) _ dg(t, x, y)

i*=v>(0 i-W

c(t) = du\ =

"v".' x-vto » qy

x=v(0 '

dx

имеет собственные значения

ï ^ , a{t)n + d{t)s - (-1) V(g(t)M + d{t)ef - 4e/xZ3(Q ak(t,e,iJ,) = [е + ц)--'

к = 1,2. Здесь, как и ранее, £>(i) = a(t)d(t) - b(t)c(t). Из результатов главы 1 вытекает, что при выполнении условий (3) справедливы неравенства

Reâk{t,e,fi) < -а < О, (Л = 1,2, £>0, ¿и > 0, i€[0,T]),

где а > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от е, ¡л, t.

IV. Начальное значение z(0) = = (х°, для вспомогательной системы (20) достаточно близко к z(0) = (уз(0). ф(0))т. В работе это условие уточняется при доказательстве леммы 3.2.

Приведенные выше условия по своей структуре являются аналогами условий 1 , поставленных для задачи с одним малым параметром.

Строится асимптотическое разложение решения задачи (17), (18), при условии, что /х независимо стремятся к нулю. Асимптотическое разложение решения представляет собой сумму внешнего разложения и внутреннего разложения:

x(t, е, ft) = X(t, е, ц) + П(0, е, ц), y{U е, ц) = У(i, е, ц) + Ф(0, е, ц), (22) где

0= Ь

- растянутая переменная. В свою очередь, ряды Х(1,£,р), У(4, е,ц) и Ф(в,£,ц) имеют вид

ОО оо

£ Ет11пхт,п(Ь), Е

т,п=0 т,п=0

оо

п(0, £,//)= Е етМпПт,„(б,£,м), (23)

т,п=0 оо

т,п=О

1 Васильева Л.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

Подставляя разложения (22) в систему (17), получим

¿У U ¿Ф \ г. /л \

мdT+F+m'т=+ (

где

/(¿, С, /л) = /(i, X(i, /Д Y(i, Е, (l)),

ад, e,/i) =

= /((£+Ж ^((e + ^.e.^ + n^.e.Ai), + /г)^, + е, м))-

-f{{e + ii)9, Х{{е + ц)9,е,ц), Y{(e +ц)в,е,ц)).

Подставляя в эту систему разложения (23) и приравнивая члены одного порядка малости по е и ц сначала для t, а затем и для 0, учитывая ограниченность величин и получим системы уравнений для определения членов разложений (23).

Для внешнего разложения в нулевом приближении имеем

| f(t, xofl, 2/о,о) = 0, ^

\ g(t, Хо.0. З/о,о) = 0.

Система (24) совпадает с вырожденной системой (19), а значит, в силу условий I—III, обладает достаточное число раз непрерывно дифференцируемым изолированным решением 2о,о = Уо,о — Ф{Ь) на отрезке [0,Т]. Остальные коэффициенты разложения (7) последовательно находятся из систем линейных алгебраических уравнений.

Главный член внутреннего разложения удовлетворяет нелинейной, но уже автономной системе, зависящей от комбинации параметров:

¿По,о _ е + А d9 ~ е

(25)

(¿Фо.о £ + Р

¿в

/(0, 2:0,0(0) + По,о, Уо,о(0) + Фо.о), 5(0, 20,0 (0) + По,о, г/о,о(0) + Фо,о),

и начальным условиям:

По,о(0,£,м) = - х0,о(0), Фо,о(0,е,^) = уй - ?/о,о(0). (26) Примем обозначение

у")/'

Лемма 3.2. Решение задачи (25), (26) существует при в ^ 0, единственно и удовлетворяет неравенству

ИФоЖе.^Н ^Лехр(-аб), 9^0,

где Я > 0 и а > 0 не зависят от е, р., 9, а а достаточно мало.

Остальные члены внутреннего разложения с номерами т, п (т + п > 0) последовательно определяются кз систем линейных дифференциальных уравнений

сШт.п = е + |Ц <Ю £

¿Фт,п = £ + р сШ р.

+ — Ст,п(9-,е,1х),

Фт,п( 0,е,ц) = -2т,п(0).

Здесь через §¿(<9;ег, /х), §|(0;е,/х), обозначены соот-

ветственно производные вычисленные в точке (0, £о,о(0) +

Уо,о(0) + Фо,о(0>£|м))> а функции Ет>п{в-,е,р), От>п(0;£, д) выражаются через Пм и Фр,9, где р 4- я < т + п.

Лемма 3.3. Справедливы неравенства

||Фт,п(0>е.м)И ехр(-сг1е), в^О,

где г > 0 и а\ > 0 не зависят от е, ц, 6.

Теорема 3.1. Построенные ряды (22) являются формальным асимптотическим решением задачи (17), (18).

Обоснование асимптотики проводится для класса правых частей системы (17), имеющих следующий вид

/(i, х, у) = (ä(t)x + Щу + fo(t)) (1 + if(t, x, у)),

(27)

g{t, x, у) = (c(i)x + d(t)y + g0{t)) (1 +1 g(t, x, y)),

где функции ä(t), b(t), c(t), d(t), /o(i), ga(t) - непрерывно дифференцируемы достаточное число раз при 0 ^ t ^ Т, f(t, x, у), g(t, х, у) - непрерывно дифференцируемы достаточное число раз в области Г пространства переменных (t,x,y).

Считаем, что функции x = <p(t), у = ip(t) (t е [О, Т]) являются решением системы

О = ä(t)x + b(t)y + fo(t), 0 = c(t)x + d(t)y + go(t). (28)

В силу условий (27) и (28) главный член внутреннего разложения находится из линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными по в коэффициентами:

' ^ = £±£ (а(0)п0>о + б(о)Фо,о),

<

^ = ^(с(0)По,о + 3(0)Фо,о).

Ûu fl

Системы уравнений для определения членов внутреннего разложения с номерами m, п (m + п > 0) преобразуются к виду

—^ = î±if (â(0)nm,„ + 6(0)Фт,„ + Fm,n(ff;e,ri), au £

<

= £±£ (с(0)пт,„ + 3(0)Фт,„ 4- Gm,„(0; £,//)) •

„ au fi

Таким образом, члены асимптотического разложения (23) определяются из более простых систем по сравнению с исходной (17), (27).

Теорема 3.2. Найдутся постоянные £о > 0, ¿¿о > 0 и С > 0 такие, что при 0<£<£о;0 < № ^ fM> решение z(t,e,n) = (x(t,£yfi),y(t,£,(j,))T задачи (17), (27), (18) существует на отрезке 0 ^ t < Г, единственно и удовлетворяет неравенству

||z(t,e,n) - zN(t,e,ii)|| < C(£N+1 + 0 ^ t < Г,

где Ztf(t,e,fi) определяется формулой

N i

zN = zN{t, £, ц) = Yl + е,ц)).

i=О к=О

В последнем разделе главы 3 приводится пример численной реализации алгоритма построения асимптотики.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах:

1. Ильин A.M., Коврижных О.О. Асимптотика решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Докл. РАН. — 2004.

- Т. 396, № 1. - С. 23-24.

2. Коврижных О.О. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной системы линейных уравнений // Дифференц. уравнения.

- 2005. - Т. 41, № 10. - С. 1322-1331.

3. Коврижных О. О. Об асимптотическом решении сингулярно возмущенной системы с двумя малыми параметрами // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2007. - Т. 13, № 2. - С. 124-134.

4. Данилин А.Р., Коврижных О.О. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 6. - С. 738-747.

Другие публикации:

5. Коврижных 0.0. Построение асимптотического решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 35-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2004. — С. 144-146.

6. Коврижных О. О. Асимптотическое разложение решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского. Москва, 2004. — С.115-116.

7. Коврижных О.О. Построение асимптотического решения сингулярно возмущенной системы уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 37-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург; УрО РАН, 2006. — С. 210-213.

8. Коврижных О.О. Об асимптотическом разложении решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Тезисы докладов секции "Асимптотические методы" Международной конференции 'Тихонов и современная математика", Москва, 2006. — С. 66.

9. Коврижных О. О. Асимптотические формулы для решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург: УрО РАН, 2008. — С. 133-137.

10. Коврижных О.О. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной начальной задачи с независимыми малыми параметрами // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова, Екатеринбург: УрО РАН, 2008. - С. 29-30.

Подписано в печать 1.11.2008 г. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Заказ № 498. Тираж 100.

Отпечатано в ООО "Палитра", г. Екатеринбург, ул. Вайнера, 12.

Введение

Глава 1. Асимптотику решения начальной задачи для линейной системы с двумя малыми параметрами при производных

1.1. Постановка задачи.

1.2. Построение формальных рядов для решения задачи.

1.3. Оценки членов внутреннего разложения.

1.4. Обоснование асимптотики.

Глава 2. Вычисление членов асимптотики

2.1. Формулы для членов внутреннего разложения в случае различных собственных значений.

2.2. Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения.

2.3. Примеры.

Глава 3. Асимптотика решения начальной задачи для нелинейной системы с двумя малыми параметрами при производных

3.1. Постановка задачи.

3.2. Построение формального решения.

3.3. Внутреннее разложение и оценки его членов.

3.4. Обоснование асимптотики.

3.5. Пример.

Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях - пограничных и переходных слоях.

Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова [50-52], в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.

Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева [6,9-14], В.Ф. Бутузов [6,7,12,13], JI.A. Люстерннк [15], М.И. Вишик [15], М.И. Иманалиев [31]), метод усреднения (Н.М. Крылов [35], Н.Н. Боголюбов [3], Ю.А. Митропольский [3,41]), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов [39]), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [46,47], Е.Ф. Мищенко [42], Н.Х. Розов [42]), метод сращивания асимптотических разложений

Л. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27-30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А.Х. Найфэ [44,45], М.В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24-26,37,43,54-56,58,62,63,65]).

Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова [51,52] и И.С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А.Б. Васильевой [9-11]. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н.А. Сотниченко, С.Ф. Фегценко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р.П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O'Malley, jr. [62, 63] строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для краевой задачи Г.И. Шишкиным [57].

В диссертации рассматривается следующая сингулярно возмущенная задача. Исследуется задача Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами при производных. Изучается поведение решения задачи на конечном промежутке времени. Новизна проблематики настоящего исследования заключается в том, что малые параметры, стоящие в уравнениях системы каждый при своей производной, стремятся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, речь идет о построении асимптотики решения, равномерно пригодной при любых соотношениях между малыми параметрами.

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.

1. Боглаев Ю.П. О двухточечной задаче для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1970. — Т. 10, № 4. - С. 958-968.

2. Боглаев Ю.П. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, № 10. — С. 18041806.

3. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.

4. Борисов Д. И. О сингулярно возмущенной краевой задаче для Лапласиана в цилиндре // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 8. — С. 1071-1078.

5. Борисов Д. И. О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор. мат. физ. 2007. — Т. 151, № 2. - С. 207-218.

6. Бутузов Б.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений // "Итоги науки. Матем. анализ, 1967". ВИНИТИ АН СССР. М., 1969.

7. Бутузов В. Ф. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, справедливые на бесконечном промежутке // Вестн. МГУ. 1963. - № 4.

8. Базов В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968.

9. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // Докл. АН СССР. — 1959. — Т. 128, № 6. С. 1110-1113.

10. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 4. С. 611-642.

11. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной// УМН. — 1963. — Т. 18, № 3. — С. 15-86.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

13. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

14. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым множителем при старшей производной, справедливые на бесконечном промежутке // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 142, № 4. - С. 709-712.

15. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. - Т. 12, № 5. - С. 3-122.

16. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. — М.: Изд. МГУ, 1971.

17. Град штейн PI. С. Дифференциальные уравнения, в которых множителями при производных входят различные степени малого параметра // Докл. АН СССР. 1952. - Т. 82. № 1. - С. 5-8.

18. Градштейн И. С. Применение теории устойчивости A.M. Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953. - Т. 32 (74), № 2. - С. 263-286.

19. Градштейн И. С. О решениях на временной полупрямой дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных j j Матем. сб. 1953. - Т. 32 (74), № 3. - С. 533-544.

20. Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: Учебн. пособие. Т. 1. Краевые задачи. — Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1994.

21. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в регулярном случае // Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, № 11. — С. 1473-1480.

22. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2006. Т. 46, № 12. - С. 2166-2177.

23. Долбеева С.Ф., Ильин A.M. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром при условии пересечения линий устойчивости предельного решения // Докл. РАН. — 2006. — Т. 408, № 4. С. 443-445.

24. Дифференциальные уравнения с малым параметром. — Свердловск. УНЦ АН СССР, 1980.

25. Дифференциальные уравнения с малым параметром. — Свердловск. УНЦ АН СССР, 1984.

26. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. — М.: Мир, 1983.

27. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. — 1969. Т. 6, № 2. - С. 237-248.

28. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989.

29. Ильин A.M. Асимптотические методы в анализе. — Челябинск: Изд.ЧелГУ, 2007.

30. Ильин A.M., Долбеева С. Ф. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром в случае двух решений предельного уравнения // Труды ИММ УрО РАН. 2006. - Т. 12, № 1. - С. 98-108.

31. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем. — Фрунзе, Илим, 1972.

32. Косиченко Н.А. О системах с переменными малыми параметрами при старших производных. — М., 1999. — 42 с. — Деп. в ВИНИТИ 9.04.99. № 1072-В99.

33. Косиченко Н.А. Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами. — М., 1999. — 56 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.04.99. № 1337-В99.

34. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972.

35. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

36. Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2003.

37. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений // Докл. АН СССР. — 1991. Т. 321. № 3. - С. 454-459.

38. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1957.

39. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.

40. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.

41. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1971.

42. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975.

43. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981.

44. Найфэ А.Х. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.

45. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984.

46. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1970.

47. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв.АН СССР. Сер. мат. 1957. - Т. 21, № 5. - С. 605-626.

48. Сотниченко Н.А., Фещенко С.Ф. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений. — Препринт Института математики АН УССР, Киев, 1980.

49. Сотниченко Н.А.К вопросу расщепления систем дифференциальных уравнений, зависящих от двух параметров // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 9. - С. 1640-1642.

50. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. — 1948. — Т. 22 (64), № 2. — С. 193204.

51. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Мат. сб. 1950. - Т. 27 (69), № 1. - С. 147-156.

52. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. — 1952. — Т. 31 (73), № 3. С. 575-586.

53. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983.

54. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. — Киев: Нау-кова думка, 1966.

55. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.

56. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. теория и приложения. — М.: Мир, 1988.

57. Шишкин Г. И. Первая краевая задача для уравнения второго порядка с малыми параметрами при производных // Дифференц. уравнения.- 1977. — Т. 13, № 2. С. 376-378.

58. Шпиль Н.И., Ста,рун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с вырождением. — Киев, 1991.

59. Яковец В.П. Асимптотика общего решения линейной сингулярно возмущенной системы с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, № 2. - С. 256-266.

60. Yakovets' V.P., Strel'nikov М.А. Construction of Asymptotic Solutions of Linear Systems of Differential Equations with Two Small Parameters // Ukrainian Mathematical Journal. 2003. - Vol. 55, № 7. - P. 1163-1180.

61. Kevorkian JCole J.D. Multiple Scale and Singular Perturbation Methods. Springer-Verlag, N.Y. 1996.

62. O'Malley R.E., jr Two-Parameter Singular Perturbation Problems for Second-Order Equations // J. Math, and Mech. — 1967. — Vol. 16, № 10.- P. 1143-1164.

63. O'Malley R.E., jr Introduction to Singular Perturbation. — Academic Press, N.Y., 1974.

64. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbcwegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig. — 1905. S. 484-491.

65. Smith D.R. Singular-Perturbation Theory. An Introduction with Applications. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.

66. Ильин A.M., Коврижных O.O. Асимптотика решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Докл. РАН. — 2004.- Т. 396, № 1. С. 23-24.

67. Коврижных, О. О. Построение асимптотического решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 35-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2004. — С. 144-146.

68. Коврижных О.О. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной системы линейных уравнений // Дифференц. уравнения.- 2005. Т. 41, № 10. - С. 1322-1331.

69. Коврижных О.О. Об асимптотическом разложении решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Тезисы докладов секции "Асимптотические методы" Международной конференции "Тихонов и современная математика", Москва, 2006. — С. 66.

70. Коврижных О.О. Об асимптотическом решении сингулярно возмущенной системы с двумя малыми параметрами // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2007. — Т. 13, № 2. — С. 124-134.

71. Данилин А.Р., Коврижных О.О. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44, № 6. - С. 738-747.

72. Коврижных О.О. Асимптотические формулы для решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург: УрО РАН, 2008. — С. 133— 137.