Асимптотическое решение сингулярно возмущённых линейно - квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

004616878

На правах рукописи

Шшь? _

НГУЕН ТХИ ХОДИ

Асимптотическое решение сингулярно возмущённых линейно -квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ЛЕНт

Воронеж 2010

004616878

Работа, выполнена на кафедре математики Воронежской государственной лес.отехннчеекой акадсм 1111

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Тамбовский государственный ушшерситст имени Г. Р. Державина

Защита состоится 21 декабря 2010 года в 15 час. 10 мни. па заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете но адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " $ " ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

профессор Курина Галина Алексеевна

профессор Дмитриев Михаил Геннадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

доктор физ.-мат. паук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Разрывные системы часто используются для моделирования сложных систем управления. Условия оптимальности управления для различных классов таких систем получены, например и работах Захарова Г. К. (1981), Лсллена Я. (1981), Ащенкова Л. Т. (1987), Дмитрука А. В. и Кагановича А. М. (2008). Полученные условия применялись для решения многих содержательных инженерно технических задач, формулируемых в терминах разрывных систем.

В течение второй половины прошлого века не ослабевает интерес математиков, занимающихся асимптотическими методами, к дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной, так называемым сингулярно возмущенным уравнениям. Этот интерес вызван потребностями практики, где возникают подобного рода уравнения. Основополагающие результаты для таких уравнений были получены А. II. Тихоновым и А. Б. Васильевой.

Методы теории сингулярно возмущенных уравнений естественным образом используются для сингулярно возмущенных задач оптимального управления путем асимптотического анализа, краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления (см., например, обзоры Кокотовича П. В. (Kokotovic Р. V.), О'Мэлли Р. Е. (O'Mallcy R. Ё. Jr.), Счнпути II. (Saimuti Р.) (1976), Васильевой А. В., Дмитриева М. Г. (1982), Куриной Г. А. (1992), Нэйди Д. С. (Naidu D. S.) (2002), Дмитриева М. Г., Куриной Г. А. (2006)).

Для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправлясмыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств Чериоусько Ф. Л. (1968) использовал непосредственную подстановку в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения. Этот подход получил развитие в работах Белокопыто-ва С. В. и Дмитриева М. Г. (1986, 1989), посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление, и был назван ими прямой схемой. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления и использовать пакеты программ для решения задач оптимального управления, чтобы найти члены аснмпто-

тичсского разложения. Обзор работ, посвященных применению прямой схемы в различных задачах, приведен в статье Дмитриева М. Г. и Куриной Г. А. (Сингулярные возмущения в задачах управления. Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3 51).

Для построения асимптотики решения сингулярно возмущенной линейно - квадратичной задачи управления без ограничений па управление может быть использован вид оптимального управления в форме обратной связи и асимптотика решения матричного дифференциального уравнения Риккати, с помощью которого строится оптимальное управление в форме обратной связи. При этом нет необходимости решать двухточечные краевые задачи (см. например, работы Кокотовнча II. В. (Ко1«йоу1с Р. V.) и Джэкела Р. А. (Уаске1 Г!.. А.) (1972, 1973), Глизера В. Я. н Дмитриева М. Г. (1978)).

Отметим, что ранее асимптотический анализ сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач проводился только в случае непрерывных коэффициентов.

Цель работы. Цслыо диссертационной работы является построение асимптотики решений сингулярно возмущенных линейно квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами двумя способами: используя прямую схему и вид оптимального управления в форме обратной связи.

Методика исследований. Для построения асимптотического решения сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления в диссертации используются прямая схема и вид оптимального управления в форме обратной связи. Также применяются классические методы дифференциального исчисления функций многих переменных и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Двумя способами при разных условиях впервые построено асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления с разрывными в промежуточной точке коэффициентами. В обоих случаях получены оценки близости приближенного асимптотического решения к точному решению возмущенной задачи по управлению, траектории и функционалу.

Решение, построенное при помощи прямой схемы, содержит функции по-грапелоя четырёх типов. Найдены задачи оптимального управления, которым удовлетворяют коэффициенты асимптотического разложения решения. Для этих задач получены необходимые п достаточные условия оптимально-

сти управления н доказана однозначная разрешимость. Установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании следующего асимптотического приближения оптимального управления.

Получен вид оптимального управления в форме обратной связи для рассматриваемого класса задач. Построена асимптотика непрерывного решения возникающей при этом задачи для сингулярно возмущенного матричного дифференциального уравнения Рпккати с разрывными в промежуточной точке коэффициентами. Используя эту асимптотику, строится асимптотика оптимального управления в форме обратной связи.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть применены для асимптотического анализа, конкретных математических моделей оптимального управления с малым параметром. Они также могут быть использованы о учебном процессе при чтении спецкурсов и в научных исследованиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па следующих семинарах и конференциях: семинары в ВГЛТА. ВГУ под руководством Куриной Г. Л. (Воронеж, 2008 - 2010); Воронежская весенняя математическая школа "Поптряпшекие чтения" (Воронеж. 2010): Воронежская зимняя математическая школа (Воронеж. 2009, 2010); научные чтения Российского государственного социального университета (Руза, 2009, 2010), международная конференция "Control and Optimization with Differential - Algebraic Constraints" (Банфе}». 2010).

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах |1] - [С]. Из совместной работы [1] в диссертацию вошли только полученные а,втором результаты. Работа |1| опубликована и издании.

соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации 125 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (9 рисунков), выполненной при помощи вычислительно программного комплекса Maple.

Краткое содержание работы

Диссертация посвящена асимптотическому решению задачи Рс. заключа-

гощейся б минимизации функционала

+ l2 t е)) + s), ife, s At, s))) di ' ^

lia траекториях системы

= A(t,e)(z(t,e) -I В(í,e)u(t,e), í 6 [iM,í,], j = 1,2, (2)

"W) = *'\ = (3)

Здесь 0 ~ to < t\ < ¿2 T, значения t¡(j ~ 0,1,2) фиксированы; E(e) = diag(I,el), / - единичная матрица, г = (х',у'У, штрих означает транс-

\ ПП U) и)/, \ m» W <j)/« \ or

полирование, х х{1,£) £ К", У — y{t,e) € R", и = u(í,s) 6 К , угловые скобки означают скалярное произведение в соответствующих пространствах,

е > 0 - малый параметр, точка сверху означает дифференцирование по Í.

' ч U) „ U), ч (./), ч (Л, , соответствующих размеров матрицы IF(e-), W{t,£j, K(í,£J, A(í,e), B(í,£j являются достаточно гладкими при всех t. G [í,_i,íy] и е > 0, матрицы F(e),

W(í,e) и ¡R(M) симметричны. F(e) — ( ] > 0 при достаточно

\£F2{£)' £F:í(£)J

малых е, W(í,0) > 0, M(í,0) > 0 при всех t е [íy-i, j = 1.2.

В качестве допустимых управлений u(í,e) выбираются кусочно - непрерывные функции, состоящие из непрерывных функций u\t,e), t G [ío>¿i], (2)

il u(t,£), i 6 [¿i, £2]- При этом для £ > 0 рассматривается непрерывная соответствующая траектория z(t,e), составленная из непрерывных функций z(t. е), V(í, е), которые являются решением задачи (2) - (3).

Если положить в уравнении состояния значение параметра равным пулю, то порядок уравнения понижается и решение упрощенного таким образом уравнения не может удовлетворить веем дополнительным условиям, поставленным для исходного уравнения. Кроме этого, быстрая составляющая траектории состояния вырожденного уравнения является в общем случае разрывной функцией, хотя траектории состояния возмущенной задачи непрерывны.

Далее через Dk(t) будем обозначать коэффициент при £к в разложении некоторой матрицы D(t, s) по степеням е, я. через с - не зависящую от t,s положительную постоянную.

G

Во введении представлен краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и дано краткое описание диссертации но главам.

В первой главе для построения асимптотики решения задачи (1) - (3)

при F(e) = 0 используется прямая схема .

<->> * N U) U)

Представим A(t,£), B(i,e), W (t,e) соответственно в виде

i°Ai(t,s) A2(t,e)\ (Bi(t,e)\ flVi(t,s) W2(t,e)) nr

( , у , ( . Обозначим 40-

V£■) Ai(t,£)/ \B2(t,e)/ {WiO^Y Wa&e)/

рез Xi{t) собственные значения матриц A|(f.,0).

В этой главе предполагается, что выполнено условие

1". RcXiW < 0, г -= I~rn, t € tj], j = 1,2.

Приводятся условия оптимальности управления и доказывается однозначная разрешимость задачи Рс. Оптимальное управление для этой задачи при достаточно малых е > 0 имеет следующий вид:

u^(i,e) = R(i,e)-,B(i,e),cV»E)) ' С !/., j - 1,2, (4)

U)

где С('>£) - решение задачи

U) (./) (;) U) ,0)

Е(£)'C(i,f) = w{i,£)z.[t,£) - A(t,e)'((t,£), I € \tj-ulj], j = 1,2, (5)

(2) (1) (2)

C(T,e) =0, C(<i,e), (6)

(./) , V ,„, 0) (j)

2»(•,£•) - гпраектория системы (2), (i), соответствующая и = и,.

Далее выводятся необходимые и достаточные условия оптимальности управления л доказывается однозначная разрешимость четырёх типов линейно - квадратичных задач, возникающих при построении методом прямой схемы асимптотики решения задачи I'-.

По сравнению со стандартной линейно - квадратичной задачей имеются три особенности в задаче первого типа. Во - первых, траектория системы задается двумя разными уравнениями на двух промежутках. Во - вторых, критерий качества зависит от значений траектории состояния справа и слева от промежуточной точки. В третьих, перед производной в уравнении состояния стоит необратимый оператор.

Путем решения задач второго, третьего и четвертого типов будут находиться функции пограислоя, входящие в асимптотическое разложение решения задачи Рс. Аргумент в задаче второго типа изменяется на промежутке

[О, -l-oo), и задаче третьего тина па (-оо,+оо) и в задало четвёртого типа на (-оо,0).

Асимптотика решения задачи Рс ищется в виде рядов

'¿V) = ХУ'Й (М) = £>'$(*) + inUrj-,) + QATj)), j = 1,2, (7) i>() >>()

где v --- (u',z')', символы П означают функции пограислоя эксионсициаль-

(Л

ного тина вблизи левых концов промежутков [0,^] и [¿i,T], а Q - функции

пограислоя экспоненциального типа вблизи правых концов этих же нромс-

t t~t i t~т

жутков, Т() = Г1 •= Т2 =

Разложения (7) подставляются в (1) - (3), подынтегральная функция в (1) и правые части в (2) представляются в виде асимптотической суммы слагаемых, зависящих от t, т», Затем в (2), (3) приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е, отдельно зависящие от t, То, ri, т?. Получаются соотношения для коэффициентов рядов (7). Минимизируемый функционал (1) представляется в виде

ос

■Ци) £>'./, (8)

Ы)

Далее для разложения произвольной функции h = h(e) в ряд но степеням е через [Л]„ обозначается коэффициент при е", а через {/i}„-i - сумма первых членов разложения до номерап— 1 включительно. Через vv{t,s) обозначается функция, составленная из {г>'(£,е)}„, t е [0,ij] и f е [й,Т]. Также

используются обозначения

U) . " (j) U) " (у) (Л " (j)

v„(t,c) = ^c'iJ; (£), П„и(7)_ь<т) = ¡v(Tj-i),Q,,v(Tj,e) « ^e'QMrj),

. •и . i: . (i

f(z, u,t,e) = A(t,e)z -[■ B(t.e)u, g(u,w,t,e) = R(t,e)u - B(f,e) w>

q(z,w,t,£) = W(t,e)z - A(t,£) w . Для коэффициентов регулярных и ногранслойных рядов в разложении (7) имеем уравнения

Ш U) U) (Л (Л ,

1 Е(с) г (/,,г)]; = kn{t)zi + В»(0«(- + \fi-i\i, t 6 \tj-utjl j = 1,2, (9)

С) CI С) С) ''' '''

^ = E2(L(h-i)(hz + Bn(ii-i)ni« + [fl,-!/],) + £,[lVi/],:--i, (10)

do-z и) и) и) и) У

—¡r = Bhik^tiiQiZ + Вa(tj)Q,u -I ,/!,) l EilQj-i/1,-1, (11)

У U) U) <2>

где /¡_i является значением функции f при (■ = с, i (/,;'). /?i -----diaq(l, 0),

(i> <i> ' ' (./) £2 — diag(Q,I), 11, _ 1 / и являются значениями функции / соответ-

(.;) ~! (Л ~

ствсппо при v= Yli_iv(Tj-i,e), I. Ч - fr,-.. 1 н г Q^ iV(Tj,s), t — tj-\-ST-,.

U)

Пусть функции -у» находятся из задачи

_ _ 4 i* ['■ (/и) и) u)\ /0) t.') (J)\\ Pu: Л(мц) = 2^7, ^ V"'f J (Л min ,

in (■-•)

(¡in. »о)

(.Л (.;) !/! (,/) (./) £4 -« - А<|(фо 1- В(1(0й(|, / £ [/;-1,//], ./' - 1,2,

(1) „ (2) (Ч

(0) -- Е^г , /?!?„(/.)= £,?„(/,).

Задача принадлежит к классу задач первого тшт, рассматривавшихся

в начале главы. Она однозначно разрешима, её сопряженную переменную (Л

обозначим через и)ц, ] = 1,2.

Выражение для после преобразования с использованием условия оптимальности управления для задачи Рп и отбрасывания известных после решения задачи Рп слагаемых примет вид суммы 111 ./о + 112^ I 113^/«, где

пи(1 = пи.

(1) 1 /•+«• //(1) (1) (!) \ /(1) (1) (1) \\ ,(Пии) = - I 1 (ihz,Wo{0)lhzj I Mio«, К«(0)П(|М )) drlh

(!) (2) (1) (1) (2) (2) II2J„ = n2Jo(Qnti,IIntt) = (Oos(0),ß2W„(/.,)> - <llo~(0), E2Mh)) +

'(i) (l) (i) \ /(О (i) (i) \\ QnZ,Vfa(h)Q0z) + ( Qau, Ra(h)Qnu) I dn t

+ao//(2) (2) (2) \ /(2) (2) (2) \\

П<,~, Wo(/i)iIo' ) + Uhu, Ra(h)Ua»)jdT,,

(2) (2) (2) 1Щ, = 113J„(Q0u) = <g„2(0),ß2W«(T)> I-

1 f ( f (2) (2) (2) \ /(2) (2) (2)

+ 2 J ( ( Qn-. W«,(T)QU: > + ( Q0u, MT)Q„u ) | dr2.

1 ["

2 J-c

■4

2 Ja

Уравнения для определения коэффициентов иогранслоЛных рядов в разложении (7) содержат функции нограпелоя только одного из четырёх рас-

сматрпваемых типов. Поэтому коэффициенты иогранелойпых рядов в нулевом приближении могут бьгп. найдены путем решения следующих трёх задач:

(О

ПЩ: IUJnillou) min, <u n„«

drin* С) (i) (i) (i)

®o(0) Ild'ti), r(, > О,

(IT, |

Ei П„г(+оо) = О, E2Пог(О) - Щг° - 1,(0)), (1) (2)

П2Л,: II2./(i(Q()ii, По«) -> min ,

(О <»> (QniiMnu)

(1)

dO,,z (D <l> (И П)

~~ = £г(Аа(Шог + Bu(ti)Q„u), П < 0,

(2)

drfnS <2> <2) (2> (2)

■V- = ^(Ao(ti)noÄ + Bu(ii)n0u), n > 0,

(IT\

О (2) (2) (1) (1) (2)

Qnz(-oo) = 0, Ei Ilo~(4-oo) = 0, ^2ri„2(0) = E2{zn{U) + Q„Ф) - Mh)),

(2)

Ш/о: ПЗЛ((?()ы) min,

Qu"

(2)

Es(hn(T)Qnz 4 Bn(T)Q„«), t2 < 0,

dQv~ IT ,-тлй .. , $ /ггЛ^

йт-1

(2)

д0г(-сю) = 0.

Вводом рекуррентным образом задачи для определения членов разложения (7) с положительными номерами. Пусть задачи Р{. ПЩ, П2Р«, ПЗ

0 < г < п - 1, уже решены. Сопряженные переменные для этих задач обозна-

(Л (П (1) (2) (2)

чнм соответственно через и;(£), з - 1,2, Цш(т»), (<2^(г1), Цц;(т1)),

Для определения !»„(!), < € |0,Т], рассматривается задача Рп, которая

заключается в минимизации функционала

(1) (О (2) (2)

МЪ,) - {гЛк),Е1Я„-М0)> - (Зп^О.ЯШп-^О)) +

(2) (2) Д [Г, //(.,') 1(./) (Л

+ <5„(Т), £^„.^(0)) 4 £^ (Д г„(/,), +

о» ,U> \ /(j) 1 (Л (./) и) \\

+ [ qn-1]„ - £jaJH_,(i) } -h ( Й,,(/■),-R(.(/)w..(/) + [fl,.- 1],. ) I dt

на траекториях системы (9) при г -- п с условиями

(1) , ч (1) (2) (!) (1) (2) ЯА,(0) =-EiП„с(0), №(/,)-2„(/i))---.= ВДиг(0) - П„г(0)).

У к' , о) а» (/) ^

Здесь символы q„l[, д„-1 означают значения функций Ч, 9 при v— (.,)

Ш- U)„-i.

(1)

Для определения llnw(r«), ц, € [0, Нею), рассматривается задача 111/',. которая заключается в минимизации функционала

(1) ч /•,х//<1) К1) (1) \

П1Л(П„И) = J I ( nn5(T,,),-W.i(0)llH5(ro) I- [Г1„.-1</]/| ) +

/о) Id) (О U* \\

+ ( ri„w(r„),-R,,(0)II„u(r„) I [1I„ .iff],, ) dr„

па траекториях системы (10) при j -= 1, i ~= n с условиями

0) 0) (i) Ex П„г(Н-оо) - 0, Я2П,.г(0) - ~Е2 z„ (0).

(1) (2) Для определения Quv(ti) при тх G (—оо, 0] и H„v(ri) при ту £ [0,+оо)

ра.сс.ма,тривается задача II2Р„, которая заключается в минимизации функци-

онала

(1) (2) (1) (1) (2) (2) mJn{Q„u,nnu) = (Q„z(0),E2iD„(h)) - (и,,=(0),^2o7„(íi)> +

/■"//(i) id) ID \ /(i) i(D ID

+j ( ( Q,An), ^Wo{h)Q,An) I [Qn-M I ( Q,An), r¿^(h)Q,An) +

01 \\ f+x- í /(2) 1(2) (2) \ + {Qv-\0l ) 1 dn + í / n„-(7-j),-Wo(<i)ll„í(ri) I- |fl„-ig]„U

/(2) 1(2) (2) (1> \\ + ( n„ti(Ti), -R„(íi)n„w(Ti) I- [11„-1.9]и ) I dn

на траекториях системы (10) при j -- 2, i - n n (11) при j = 1. i ----- n с условиями

(1) (2) (2) О) (1) (2)

Q„z{~оо) = о, Е,п„г(+оо) = 0,^(П„г(0) - д„г(0)) •= Я2(г„(*1) - M'-i))-

Для определения (}„у(т2), Тг € (-оо,0], рассматривается задача ПЗР„, которая заключается в минимизации функционала

(2) (2) (2) /•» / /(2) 1(2) (2) ПЗЛ(д„и) = (С1,г(0), Е&„ (Т)) + у I / д„г(т2), ^в(Т)д„г(г2) +

(3> \ /(2) 1(2) (2) (?) \\ + ) + ( Ф„и(Т2), ¿»«(Л + [С,,-!®]» ) I (1т2

па траекториях системы (11) при ^ - 2, г = п, тч 6 (—оо, 0| с условием

(2)

д„г(-оо) = 0.

(Л (Л

В задачах П1 Рг,. 02Р„. ПЗР„ символы Г1П„^д означают зна-

(;') (Л а) (У)

чепия функций 7, <7 при Ь- 11 „ 11;, ш— (еЕ\ + Т^П,,.-^, а ^„^д,

У (;) У (/) У

Яп~\У ' значения этих функций при Ь= (еЕ\ + Ег^^ш-,

0) Ш

Пп-Мъ-ие) = Е^пМ^-О, = Е^^М^,), - 1,2.

Задачи Р„, П1Р„, П2Р„, Г13Р„ (п > 0) принадлежат к классам задач первого, второго, третьего и четвертого типов соответственно, рассматривавшимся в начале главы. Эти задачи однозначно разрешимы и их решения можно найти из условий оптимальности управления.

Доказаны сформулированные ниже две теоремы, из которых вытекает обоснование вида задач для нахождения членов асимптотического разложения решения задачи Рг.

Подставим в (2). (3), (4) - (0) (переобозиачаем и1(£,гг) = вместо V? их

(Л

разложения вида (7) и вместо ((/,£) разложения

(./) ^ . /У (./) 0) \

С (М) =-■ [(, (0 + П;С(т,-_,) + , 3 = 1, 2. (12)

Выражения, входящие н рассматриваемую систему, представим в виде асимптотической суммы слагаемых, зависящих от ¿,То,Т1,Т2. Затем во всех равенствах системы приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е, отдельно зависящие от I, г», т\,тъ.

Теорема 1. Задачи, полученные, ш условий оптимальности управления для задач Р„, И1Р„, П2Р„ и ПЗР„, совпадают соответственно с. задачами

(./■) (1) (1) (1) (1) (1) (1) для {у„, Сп),.7 - 1,2,- (П„и, ^1И„+1С Н Е2ипО, (д„и, Е{С^нЛС, -(- £2<3„С (2) (2) (2) (2) (2) (2)

п„/и,Яш,,+](-!- £^2П„С)> {(¿„и,Е1(111+1(,~\-ЕгЯиО ш асимптотики (7), (12) решения задачи (2), (3), (4) - (а), вытекающей из условия оптимальности управления для задачи Рс.

Теорема 2. Критерий качества Зп получается в результате преобразования коэффициента 3%,, из разложения (8), а сумма критериев качества III >/„+П2,/71| 113,/,, получается в результате преобразования коэффициента 32,,+1 из разложения (8).

Далее доказаны оценки приближенного асимптотического решения и невозрастание значений критерия качества при каждом новом приближении оптимального управления.

Для упрощения доказательства следующей теоремы предположим, что

выполнено условие

(./) (Л (./) О) (./) (Л

2". т = 1; Л1(£,0), £¡(¿,0) =- В2{Ц))и{1,0у~1 1 0, И<^,0): j -

1,2, - постоянные величины.

Теорема 3. Для всех I € [0, Т] и достаточно малых £ > 0 для решения задачи Р- функции у,(.,£) имеют место оценки

р„(г,£) - „.(*,£)|| < .1(ип) - Ми,) <

где ?„(/,,£') - приближенное решение задачи Р:.

Теорема 4. При достаточно малых £ > 0 справедливы нещвенетва

МЪ) < МЪ-\).

Во второй глапе для построения асимптотики решения задачи (1) - (3) используется вид оптимального управления в форме обратной связи из следующей теоремы

Теорема 5. Пусть К(-,с) - решение задачи

,(л (Л,и) (<>тл и) (Л (Л(л . Щ

Е(е)'к = - К А - А К + К'§К - Ш, 8 = В® В',

/ 6 и ,,/,1, ] ■ 1.2, (13)

,(2) (1) (2) Е(е)'К(Т,е) = ¥(е), =

- решение задачи.

Е(£)г! = (а - SK) I 6 [lj-i,tj], j = 1,2, (D/n \ о <2>/, л ID/, %

г, (0, г) - z.(tue) =-. zt{Lue).

Тогда функция «*(•,£"), составленная из функций

Г rtfe / С [// 1,/jj, j — 1,2, (15)

является оптимальным управлением для задачи (1) - (3). При этом оптимальная траектория ~»(-,е) составлена из функций zi (•,£), и минимальное значение критерия качества (1) равно

Л-М = \ .

Предполатстея, что выполнено одно из следующих двух условий:

3°. Пары (/U(i,0), Вг('',0)), I 6 'я- j = 1,2, полностью управляемы.

BiO, 0) == 0, матрицы Ai(i,0) устойчивы, t g [/,(_i,£j], j = 1,2.

При этих условиях для решений задач (13), (14) построены разложения в виде рядов по целым неотрицательным степеням е вида.

U) (\'Л (/) \

К(М) ■= кk(i) + QkK{Tj) , (16)

*:">() V /

%,е) = I + QArj)] ■ (17)

*■>() \ /

Последние разложения дают возможность для оптимального управления (15) построить разложение вида (17).

У и)

Через K„(f, е), v„(t,s) (и (и', ~')') обозначим сумму членов построенных разложений с номерами до п включительно.

Доказана

Теорема 6. Для решений задач (13), (14) и оптимального управления (15) можно построить разложения в ряд по целым неотрицательным степеням £ вида (16), (17) соответственно. При этом остаточные члены удовлетворяют оценкам

U) I ) U)

II K(U) - KH(i,£)|| < се»*1, II vl(t,e) - «„(i,e)|| < ce"+1.

0} ш V)

Через гп обозначим решение задачи (14) при К = К„. т. е.

Я> (ы

Е(ф,, = А -

(1) (2) (1) ?„ (О, е) г , ?„ (¿1, е) %, , е) .

Ц) и) 0) о) У

Через и71 обозначим правую часть выражения (15) при г* л,, , К = К», т. с.

(.;) (■') (Л (¿> (.;>

и„=--К'1 В'К,,г,, . (19)

Теорема 7. Для оптимального управления задачи (1) - (3) м«(-,£), составленного из и\{-,е) вида (15), можно построить, используя асимптотические разложения решений задач (13) и (14), приблиэюение и„, сосгпав-Ц) и>

ленное из ип вида (19), где %, является решением задач,и (18). При этом для всех £ € [О, Т] и достаточно малых с > 0 справедливы оценки

||г5|(*,г) - «,',(£,£■)|| < с£"+1, ■} = 1,2, ^(щ) - Л(ц.) < се2(" + 1'.

В конце глав приведены результаты численных экспериментов.

Список публикаций но теме диссертации

[1] Нгуеи Тхи Хоай. Приближение нулевого порядка асимптотики решения сингулярно возмущенной линейно - квадратичной задачи управления с разрывными коэффициентами / Г. А. Курина, Нгуеи Тхи Хоай // Моделирование и анализ информационных систем. - 2010. - Т. 17. - № 1. - С. 93 -116.

[2] Нгуеи Тхи Хоай. Асимптотическое решение сингулярно возмущенной слабоунравляемой задачи оптимального управления в случае пересечения корней вырожденного уравнения состояния (формализм)/ Пгусп Тхи Хоай // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВорГУ, 2009. - С. 121 - 122.

[3] Нгуеи Тхи Хоай. Асимптотическое решение сингулярно возмущенной линейно - квадратичной задачи оптимального управления с разрывными коэффициентами / Нгуеи Тхи Хоай // Воронежская зимняя математическая

школа С.Г. Крсйна- 2010. Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С. 110 -111.

[4] Нгуен Тхи Хоай. О нулевом приближении метода прямой схемы построения асимптотики решения линейно - квадратичной задачи управления с разрывными коэффициентами / Нгуеп Тхи Хоай // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крсйна - 2010. Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С. 111 - 112.

[5] Нгуен Тхи Хоай. Управление в форме обратной связи для линейно - квадратичной сингулярно возмущенной задачи управления с разрывными коэффициентами / Пгуеп Тхи Хоай // Современные методы теории краевых задач: материалы конференции Воронежской весенней математической школы " Понтрягииские чтения - XXI". - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С. 155 -158.

[6] Нгуен Тхи Хоай. О нулевом приближении метода прямой схемы построения асимптотики решения линейно - квадратичной задачи управления с разрывными коэффициентами / Нгуен Тхи Хоай // - 2010. - Дсн. в ВИНИТИ 16.03.2010. - № 166 - В2010. - 21с.

Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подчиснии к печати 10. 11. 20И). (}*>|шэт (М)хУО/Ш <*Уы;м 4.20 н. л. Усл. нем. л. 4,25. Уч.-юд. л. 4,28. Тираж Ш1 экх .такая

ГОУ ВГК) " 11п;кик'Ж<'кли т-.улнретм'.тмм лпешчхтгнткля академии" РИО ГОУ ВПО "ВГЛТА". 394(187. г. Ворик-ж, ул. Тимирхшиа. 8 Отпечатано « У OIT ГОУ НПО "ВГЛТА". 3!МН87. г. В.цхшсж. ул. Дпкучаопа, 11)

Введение.

1 Асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно — квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами

1.1 Постановка задачи.

1.2 Условия оптимальности управления и разрешимость задачи Р£

1.3 Вспомогательные утверждения.

1.4 Формализм построения нулевого и первого порядков асимптотики решения задачи Р£.

1.5 Приближения высших порядков.

1.6 Оценки приближенного решения.

1.7 Иллюстративный пример.

2 Асимптотика оптимального управления в форме обратной связи для сингулярно возмущенной линейно — квадратичной задачи с разрывными коэффициентами

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оптимальное управление в форме обратной связи.

2.3 Асимптотика решения.

2.4 Оценки асимптотического решения.

Иллюстративный пример Литература.

• Разрывные системы часто используются для моделирования сложных систем управления. Условия оптимальности управления для различных классов таких систем получены, например в работах [2, 10, 11, 14]. Полученные условия применялись для решения многих содержательных инженерно - технических задач, формулируемых в терминах разрывных систем.

В течение второй половины прошлого века не ослабевает интерес математиков, занимающихся асимптотическими методами, к дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной, так называемым сингулярно возмущенным уравнениям. Этот интерес вызван потребностями практики, где возникают подобного рода уравнения. Основополагающие результаты для таких уравнений были получены А. Н. Тихоновым и А. Б. Васильевой (см., например, [4, 20]).

Методы теории сингулярно возмущенных уравнений естественным образом используются для сингулярно возмущенных задач оптимального управления путем асимптотического анализа краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления (см., например, обзоры [5, 9, 13, 26, 28]).

Для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств Черноусько Ф. Л. (см., например, [24] ) использовал непосредственную подстановку в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения. Этот подход получил развитие в работах Белокопытова С. В. и Дмитриева М. Г. (см. [3, 25]), посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление, и был назван ими прямой схемой. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления и использовать пакеты программ для решения задач оптимального управления, чтобы найти члены асимптотического разложения. Обзор работ, посвященных применению прямой схемы в различных задачах, приведен в статье [9]).

Для построения асимптотики решения сингулярно возмущенной линейно - квадратичной задачи управления без ограничений на управление может быть использован вид оптимального управления в форме обратной связи и асимптотика решения матричного дифференциального уравнения Риккати, с помощью которого строится оптимальное управление в форме обратной связи. При этом нет необходимости решать двухточечные краевые задачи (см. например, работы [6, 27, 29]).

Целью диссертационной работы является построение асимптотики решений сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами двумя способами: используя прямую схему и вид оптимального управления в форме обратной связи.

Отметим, что асимптотика решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, когда вырожденное уравнение имеет разрывное решение, была построена в [12, 18, 16].

Ранее сингулярно возмущенные линейно - квадратичные задачи исследовались только в случае непрерывных коэффициентов. При наших условиях на внеинтегральный член в критерии качества поведение при стремлении малого параметра к нулю решения задачи Коши для сингулярно возмущенного матричного дифференциального уравнения Риккати, возникающего при построении оптимального управления в форме обратной связи, изучалось в [27]. Общая форма внеинтегрального члена приводит к более сложной зависимости от малого параметра решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения Риккати (см., например, [6]).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации - 125 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (9 рисунков), выполненной при помощи вычислительно - программного комплекса Maple.

1. Андреев, Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. / Ю. Н. Андреев. - М.: Наука, главная редакция физико - математической литературы. - 1976. - 424с.

2. Ащепков, Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами / Л. Т. Ащепков. -Новосибирск: Наука, 1987. 225с.

3. Белокопытов, С. В. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. -1989. № 7. - С. 71 - 82.

4. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973. - 272с.

5. Васильева, А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. -1982. Т. 20. - С. 3 - 78.

6. Глизер, В. Я. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи Коши, возникающей в теории оптимального управления / В. Я. Глизер, М. Г. Дмитриев // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14. - № 4. - С. 601 - 612.

7. Далецкий, Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, главная редакция физико - математической литературы, 1970. - 536с.

8. Дмитриев, М. Г. Об одном классе сингулярно возмущенных задач оптимального управления / М. Г. Дмитриев // Прикладная математика и механика. - 1978. - Т. 42. Вып. 2. - С. 228 - 232.

9. Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. -2006. № 1. - С. 3-51.

10. Дмитрук, А. В. Прицип максимума для задач оптимального управления с промежуточными точками / А. В. Дмитрук, А. М. Каганович // Нелинейная динамика и управление (Ред. С. В. Емельянов, С. К. Коровин), вып. 6. М: Физматлит, 2008. - С. 101 - 136.

11. Захаров, Г. К. Оптимизация ступенчатых систем управления / Г. К. Захаров // Автоматика и телемеханика. 1981. - № 8. - С. 5 - 9.

12. Какишов, К. К. Исследование по интегро дифференциальным уравнениям / Фрунзе: Илим, 1988. Вып. 21.

13. Курина, Г. А. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Дисс. . док. физ. мат. наук. Воронеж. - 1992.

14. Леллеп, Я. Основы математической теории оптимального управления / Я. Леллеп. Тарту: Тартуский государственный университет. - 1981. -87с.

15. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, - 1972. - 576 с.

16. Мельник, Т. А. Асимптотика решений разрывных сингулярно возмущенных краевых задач / Т. А. Мельник // Украинский математический журнал. 1999. - Т. 51. - № 6. - С. 861 - 864.

17. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1981. - 400 с.

18. Покорная, И. Ю. Метод коллокации решения сингулярно возмущенных краевых задач с помощью кубических сплайнов минимального дефекта / И. Ю. Покорная. Дисс. . канд. физ. мат. наук, Воронеж. - 1996.

19. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. 4-е изд. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 392 с.

20. Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при произвоных / А. Н. Тихонов // Математический сборник. 1952. - Т. 31. - № 3. - С. 575 - 586.

21. Соболев, В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления / В. А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1991. - № 2. - С. 53 - 64.

22. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985.

23. Черноусько, Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром / Ф. Л. Черноусько // Прикладная математика и1 механика. 1968. - Т. 32, вып. 1. - С. 15 - 26.

24. Черноусько, Ф. Л. Управления колебаниями. / Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. М.: Наука, 1980. - 384 с.

25. Belokopytov, S. V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S. V. Belokopytov, M. G. Dmitriev // Systems and Control Letters. -1986. 8, N. 2. - P. 129 - 135.

26. Naidu, D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D. S. Naidu // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications and Algorithms. 2002. - V. 9. - P. 233 - 278.

27. Kokotovic, P. V. Singular perturbation of linear regulators: baisc theorem / P. V. Kokotovic, R. A. Jackel // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. - V. 17, - N 1. - P. 29 - 37.

28. Kokotovic, P. V. Singular perturbation and order reduction in control theory an overview. / P. V. Kokotovic, R. E. O'Malley, Jr. P. Sannuti // Automatica. - 1976. - V. 12, - № 3. - P. 123 - 132.

29. Yackel, R. A. A boundary layer method for the matrix Riccati equations. / R.A. Yackel, P.V. Kokotovic // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. -V.AC 18, - N 1. - P. 17 - 24.

30. Нгуен Тхи Хоай. О нулевом приближении метода прямой схемы построения асимптотики решения линейно квадратичной задачи управления с разрывными коэффициентами / Нгуен Тхи Хоай // - 2010. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.2010. - № 166 - В2010. - 21с.