Конструктивные методы оптимизации линейных возмущенных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЩЕНИЕ

ГЛАВА I. ОПТИМИЗАЦИЯ В КЛАССЕ ИМПУЛЬСНЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ.

§ I. Адаптивный метод

§ 2. Метод возмущений для регулярно возмущенных задач

1. Постановка задачи

2. Некоторые асимптотические разложения

3. Малая коррекция

Ц-. Корректирующие задачи

5. Пример .4.;.

§ 3. Слабоуправляемые системы

1. Постановка задачи

2. Базовая задача

3. Некоторые асимптотические разложения

Малая коррекция

5. Корректирующие задачи

§ 4. Метод возмущений для сингулярно возмущенных задач

1. Постановка задачи

2. Вспомогательные асимптотические разложения

3. Базовая задача

4-. Малая коррекция

5. Пример

ГЛАВА II. ОПТИМИЗАЦИЯ ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В КЛАССЕ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ УПРАВЛЕНИЙ.

§ I. Прямой опорный метод

§ 2. Алгоритм приближенного решения регулярно возмущенных задач

1. Постановка задачи. Базовая задача.

2. Анализ возмущенной задачи. Малая коррекция

3. Пример

§ 3. Приближенная оптимизация слабоуправляемых систем

1. Постановка задачи. Базовая задача

2. Анализ возмущенной задачи. Малая корреция

3. Пример

§ Приближенная оптимизация сингулярно возмущенных систем

1. Постановка задачи

2. Вспомогательные асимптотические разложения

3. Базовая задача

Малая коррекция при отсутствии точек переключения вблизи терминального момента

5. Малая коррекция при наличии точек переключения вблизи терминального момента.

6. Пример

Многие задачи динамики полета £5, 27, 55, 79, 83, Юб] управления работой ядерных реакторов f^oj » электротехники ["illj , управления экономическими системами £"36, 65J и др.

48, 62-64, 76, 96J приводят к дифференциальным, интегро-дифференциальным, разностным уравнениям, содержащим некоторые малые (или большие) параметры. Соответствующие малые параметры порождаются малыми индуктивностями, моментами инерции, малыми массами, малой тягой двигателя; в дискретных задачах - малым шагом.

Одним из главных инструментов решения задач, содержащих малые параметры (возмущенных задач) является метод возмущений. Основная идея его заключается в разделении описания возмущенной системы на основную, "каркасную" структуру и детализирующую,"тонкую" структуру. При этом детализация рассматривается как возмущение основной, порождающей схемы, а полная картина поведения системы приближенно оценивается путем определенной коррекции результата анализа порождающей системы, т.е. наложения на этот результат некоторых поправок, вычисление которых значительно проще непосредственного исследования сложной системы.

Применение метода возмущений (метода малого параметра) традиционно для теории дифференциальных уравнений. Понятно, что и в теорию оптимального управления метод возмущений проник достаточно быстро и естественно. Однако наиболее серьезный интерес к нему возник лишь в последнее время в связи с постановкой задач, опи-вывающих действительно сложные системы. Как отмечено в [l^J, применение метода малого параметра асимптотических методов в теории оптимального управления полезно по целому ряду причин, из которых отметим, например, следующие : а) теория возмущений позволяет установить соответствие между идеализированной, упрощенной и исходной сложной, возмущенной моделями; б) с помощью асимптотического анализа удается получить качественную картину решения, и на ее основе предложить эффективные вычислительные процедуры для приближенного решения исходных задач; в) малые параметры в задачах оптимального управления могут быть введены искусственно, и тогда теория возмущений выступает в качестве метода исследования исходной, в каком-либо смысле "плохой" (например, некорректной) задачи.

В зависимости от характера возмущений соответствующие задачи оптимального управления могут оказаться регулярно возмущенными, т.е. непрерывными возмущениями некоторой задачи, или сингулярно возмущенными. В отличие от регулярных возмущений сингулярные характеризуются следующим свойством: при наличии отличного от нуля возмущения-тип системы меняется так, что для определения решения возмущенной задачи требуется большее число дополнительных условий, нежели для определения решения невозмущенной. Применение методов теории возмущений (асимптотических методов) в задачах оптимального управления сингулярно возмущенными системами оказывается особенно полезным в связи с тем, что прямое решение сингуляно возмущенных задач затруднено или практически невозможно из-за вычислительной неустойчивости вследствие "жесткости" [б9, 74, 75, 127]

Регулярно возмущенные задачи оптимального управления изучались широко по двум основным направлениям. Первое связано с построением асимптотики решения, в частности, с вопросами предельного перехода и чувствительности решения (первый член разложения в ряд Тейлора по малому параметру) в случае открытой области управления, Второе направление посвящено построению асимптотики решения, воп

- б росам предельного перехода и др. в том случае, когда область значений управляющих воздействий есть замкнутое ограниченное множество, и управления могут быть разрывными функциями временного аргумента.

В первом случае [lt 64, 65, 78J возможно применение классической техники Пуанкаре для построения асимптотики решения краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Первые результаты по исследованию регулярных возмущений и предельному переходу в задачах оптимального управления с ограничениями на область значений управляющих воздействий в виде неравенств были получены Ф.М. Кирилловой £*44, 45]. В указанных работах приведены условия, при которых для оптимального управления в возмущенной задаче быстродействия имеет место непрерывная зависимость как от начальных данных, так и от параметров возмущения. В дальнейшем такие задачи исследовали Каллам [в?] , Ю.Н. Киселев [т] , В.Б. Колмановский ^46, 47J , Черноусько Ф.Л.

7б] , H.H. Красовский [49] , Е.С. Левитин 56,57j и другие авторы [3, 59, 60, 64-67, 78, 81, 113, 122].

Ю.Н. Киселев £40-42] первым рассмотрел проблему построения асимптотического решения задачи оптимального управления при ограничениях uHhl^l, ie[0,T], i=I/t, (I) на компоненты управляющей вектор-функции. Он исследовал квазилинейную задачу быстродействия с возмущенными начальными условиями при ограничениях (I). С точностью 0(&) Ю.Н. Киселев построил асимптотические приближения к оптимальному управлению и экстремали Л.С. Понтрягина, указал условия [ 43J , при которых в линейной задаче быстродействия имеет место аналитическая зависимость минимального значения критерия качества и точек переключения оптимального управления от начальных условий, получил разложения по малому параметру минимального значения критерия качества и точек переключения оптимального управления.

Обобщению результатов Ю.Н. Киселева посвящена работа В.А. Плотникова, А.й. Третьяка [*67] ,где рассмотрена существенно нелинейная задача быстродействия.

A.A. Белолипецкий ["3J изучал некоторые линейные задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.

В £81, 99J предложен метод построения асимптотики решения возмущенной задачи оптимального управления с ограничениями, идея которого заключается в нелинейной замене независимой переменной f , "замораживающей" точки переключения оптимального управления невозмущенной задачи. При этом используются интерполяционные полиномы Лагранжа.

Приближенный метод синтеза управления, оптимального по быстродействию, для линейных задач с малым параметром изложен в работе В.Н. Калинина

Среди регулярно возмущенных задач оптимального управления большое внимание исследователей привлекают задачи оптимизации так называемых слабоуправляемых систем. Эти системы характеризуются тем свойством, что соответствующие невозмущенные системы (формально получаемые из возмущенных при нулевом значении параметра) не зависят от управления. Такие системы изучались в целом ряде работ в связи с управлением движением летательных аппаратов, в том числе и космических - в книгах Г.Л. Гродзовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева [*27j , В.Н, Лебедева [55] , H.H. Моисеева ["б2-б^] , Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколова [??] в работе Ф.Л. Черноусько [?б] ; в связи с управлением экономическими системами - A.A. Первозванским, В.Г. Гайцгори [65J.

Наличие малого параметра в слабоуправляемых системах характеризует малость отношения управляющих воздействий, например, силы тяги аппарата, к неуправляемым величинам, например, к силе веса. Исследование слаботправляемых систем при ограничениях типа (I) содержится в работах A.A. Любушина [59] , H.H. Моисеева, Ф.Л. Черноусько [l22j , A.A. Первозванского, В.Г. Гайцгори [б5] , Ф.Л. Черноусько [76 J , Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановского [78 J.

Изучение сингулярно возмущенных задач оптимального управления имеет ряд специфических сложностей по сравнению с регулярно возмущенными задачами. Например, в сингулярном случае порядок вырожденной задачи (получаемой из исходной, если положить малый параметр равным нулю), как правило, понижается, что существенно затрудняет изучение асимптотики оптимальных решений [l3, 110, 116, 117, 126 J . Указанный факт в то же время характеризует важное свойство сингулярно возмущенных задач: понижение порядка систем является актуальным вопросом в численной реализации решений в силу ограниченности памяти ЭВМ и того, что численные методы решения систем невысокого порядка на современных ЭВМ разработаны достаточно полно.

Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается многими авторами, ей посвящено большое количество монографий и обзоров - В. Вазова [б] , А.Б. Васильевой ["в] , А.Б. Васильевой, В.М. Волосова [il] , А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова [9, loj , А.Б. Васильевой, М.Г. Дмитриева [l3] ,Кокотовича, О1 Молли, Сэн-нути [по] , С.А. Ломова [58] , Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова [öl], 0* Мол ли [П6, 117] и др. [34, 35, 88, 90, 94, 95, 97, 102, 119, 122, 12б].

Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова [70-72] . Он рассмотрел начальную задачу для системы дифференциальных уравнений с малым параметром £ при части производных:

2) zi-ftyi.ilzt/C, КО)=10,

При S -D получается невозмущенная система уравнений

А.Н. Тихонов дал ответ на вопрос о том, к какому из решений системы (3) и при каких условиях стремится решение %&£)} задачи (2) при £ 0.

Эффективным методом решения сингулярно возмущенных задач является метод пограничных функций, который развит на основе результатов А.Н. Тихонова. Детальную разработку метод пограничных функций получил в работах А.Б. Васильевой [7] , А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова £9, ioj . Идея метода заключается в том, что асимптотическое разложение решения системы (2) ищется в виде xd,t)=zd,i)+flx(t,t) w

Здесь под X(i, i) понимается пара [U(i,£J,Z(l,£)J ). где есть так называемый регулярный ряд с коэффициентами, зависящими от г а и >

Пх (г, Ц^ПоХЮ+Щ z(t) +. есть пограничный ряд - степенной ряд по £, коэффициенты которого зависят от"быстрой переменной"' Эти коэффициенты называются пограничными функциями или пограничными членами; они описывают поведение решения в малой окрестности точки i~0 (так называемой "зоне пограничного слоя"), а вне пограничного слоя экспоненциально затухают. В книге [9~J подробно изложен алгоритм получения произвольного члена разложения (4). Метод пограничных функций удалось распространить и на решение краевых задач дифференциальных уравнений, а также других классов задач [2, 9, 10, 38, 73, 119] .

Метод пограничных функций является мощным аппаратом решения краевых задач, вытекающих из необходимых условий оптимальности для целого ряда задач оптимального управления. Хотя этот метод предполагает, как правило, достаточную гладкость управляющих функций, он получил широкое применение при решении таких важных классов задач, как, например, задачи аналитического конструирования регулятора [85, 93, 109, 112, 114, 115J .

Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления при отсутствии ограничений на значения управляющих воздействий, исследование предельного перехода и построение асимптотики решения в таких задачах рассматривались в работах [12, 29, 97, 98, 105, III, 119, 124, 125J (помимо вышеупомянутых работ, посвященных задачам аналитического конструирования регулятора). Названные задачи в случае нефиксированного времени исследованы в £7, 9, 123J . Построение предельной задачи в отмеченных работах производится с помощью асимптотического анализа краевой задачи принципа максимума для возмущенной задачи. Существенно при этом, что получение предельной задачи из исходной возмущенной, если положить в последней £=0, возможно не всегда; формулировка алгоритма построения предельной задачи представляет собой самостоятельную задачу.

Среди сингулярно возмущенных задач оптимального управления без ограничений на значения управляющих функций относительно более глубоко изучены задачи управления линейными системами с квадратичным критерием качества. С учетом специфики задач здесь удает ся довести решение до получения синтеза. Асимтотическое решение линейно-квадратичных задач изучается, главным образом, с помощью двух подходов. Первый основан на рассмотрении краевой задачи, получаемой из необходимых условий оптимальности. Этому направлению посвящены работы [30, 84, 103, 109, 118, 119, 128]. Другой подход основан на изучении матричного дифференциального уравнения Риккати, соответствующего исходной линейно-квадратичной задаче [23-26, 92, 95, 109, II8-I2l].

В работах Т.Р. Гичева, А.Л. Дончева [89, 100, IOl] изучен, в частности, предельный переход при Е~*0 в решениях задач оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества при линейных сингулярно возмущенных дифференциальных связях.

Принципиальное усложнение исследования решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления происходит, если на значения управляющих воздействий наложены ограничения иЩй1,1-Тл, n.l. t*[0J], (5) где ¡¿L(i) есть компоненты вектора управления. Ограничения (5) приводят к появлению негладких решений и асимптотическое решение таких задач, вообще говоря, не удается проводить по традиционной схеме путем исследования соответствующих краевых задач принципа максимума.

Одними из первых сингулярно возмущенных задач с ограничениями вида (5) были исследованы задачи оптимального быстродействия. При некоторых предположениях Коллинз [86J провел анализ точек переключения оптимального управления в следующей линейной задаче: на траекториях системы с помощью скалярных ( ) измеримых вектор-функций, удовлетворяющих условию (5), минимизировать время перехода Т из начального состояния

2(0) в начало координат у(Т)=0} г(7)=О.

8)

Коллинз установил, в частности, что точки переключения оптимального управления задачи (5)-(8) делятся на три группы. Точки из первой группы расположены вблизи начальной точки. Вторая группа содержит точки, близкие к точкам переключения оптимального управления соответствующей предельной задачи. Наконец, третья группа содержит точки, расположенные в некоторой малой окрестности конечного момента времени.

Кокотович и Хаддад в £107, 108] продолжили исследование Коллинза для случая многомерных управляющих воздействий (т. е. 7^-1 )• Дальнейшее изучение возмущенных задач быстродействия проводилось в ^21, 104-3 . Для простого случая скалярных управляющего воздействия, быстрой и медленной переменных В.А. Есиповой £373 удалось применить метод пограничных функций при построении асимптотики решения задачи.

Важным классом задач, которым посвящено большое число публикаций [2, 22, 23, 28, 30-33, 50-54, 68, 88, 91^, являются задачи терминального управления сингулярно возмущенными системами. В работах М.Г. Дмитриева [30-323 рассматривалась следующая задача оптимального управления типа Майера: при ограничениях на управление (5). В предположении, что матрица рЛ&у+Л^Ш+ВА Ю,

С9) зстойчивая (т. е. вое ее собственные числа имеют отрицательные вещественные части) и при некоторых дополнительных требованиях установлена сходимость оптимальных управления и траектории задачи ^ при £ +0 к оптимальным управлению и траектории некоторой специальной (вырожденной) задачи Р0 ; причем имеет место ванное явление скачка в функционале вырожденной задачи. Впервые явление скачка в функционале было отмечено в работе [зё].

Анализ точек переключения в задаче (9), (5) выполнен в [2]; линейному случаю этой задачи посвящена работа [бв]. В |~22, 2з] исследована задача (9), (5) в случае, если ¿/=£0^, а быстрые переменные - компоненты вектора 2 - могут быть быстро осциллирующими функциями. Предельный переход по малому параметру в задачах типа Майера с дифференциальными связями, не разрешенными при = 0 относительно производных, изучался в [51~] . Задача Майера для систем сингулярно возмущенных интегро-дифференциаль-ных уравнений исследована в [¿в] . Некоторым более общим по сравнению с (9), (5) задачам Майера посвящены работы £¡32, 88, 9х|. А.Л. Дончев в [вв] изучил устойчивость по критерию качества в сингулярно возмущенной задаче Майера, построив функционал предельной задачи так, чтобы наряду с близостью траекторий и управлений в задачах и р имелась бы и близость критериев.

Из приведенного краткого обзора видно, что до настоящего времени как в регулярно, так и в сингулярно возмущенных задачах оптимального управления типа Майера с ограничениями на значения управляющих воздействий исследованы лишь некоторые аспекты поведения решений : сходимость метода малого параметра в оптимизации слабоуправляемых систем, непрерывность решения по сингулярным возмущениям, построение предельной задачи, учет скачков в функционале для сингулярно возмущенных задач и некоторые другие. Причем эти результаты относятся к задачам со свободным или закрепленным правым концом траекторий.

Отсутствуют результаты,касающиеся решения указанных задач в классе ограниченных кусочно-постоянных функций с заданными равноудаленными (на некоторую постоянную величину ^ ) точками, в которые возможны переключения (такие управления мы в дальнейшем будем называть импульсными).

В последние годы белорусской школой математиков, занимающихся проблемами оптимизации (Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, О.И. Костюкова и др.) предложен конструктивный подход [14-16, 19, 2о] к решению линейных задач оптимального управления. Данный подход, основанный на результатах [15, 17, 18] , развивается в направлении максимального учета краевых условий, ограничений на управляющие воздействия и других особенностей задач оптимального управления; он позволяет решать задачи как в классе импульсных управлений, так и в классе кусочно-постоянных. В рамках конструктивного подхода получены, в частности, результаты, относящиеся к оптимизации возмущенных систем. Настоящая диссертационная работа примыкает к этому подходу. Она посвящена изучению возмущенных линейных задач оптимального управления типа Майера с ограничениями на значения управляющих воздействий и с терминальными условиями, построению асимптотических приближений к решениям таких задач. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем. - Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 3, с. 430442.

2. Аникеева (Есипова) В.А. Условно устойчивые сингулярно возмущенные системы и некоторые задачи оптимального управления. Дис. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1973.

3. Белолипецкий A.A. Возмущенные линейные задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1978, т. 18, Ш I, с. 35-48.

4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

5. Борзов В.И. Задача о разделении движений в динамике полета. -Изв. АН СССР. Механ. тв. тела, 1981, № 5, с. 3-II.

6. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

7. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Успехи мат. наук, 1963, т. 18, К» 3, с. 15-86.

8. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 гг. Успехи мат. наук, 1976, т. 31, 1й 6, с. 102-122.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. -242 с.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: МГУ, 1978. - 106 с.

11. Васильева А.Б., Волосов В.М. О работах А.Н. Тихонова и его учеников по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр. Успехи мат. наук, 1967, т. 22, № 2, с. 149-168.

12. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Определение структуры обобщенного решения нелинейной задачи оптимального управления. -Докл. АН СССР, 1980, т. 250, № 3, с. 525-528.

13. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. В сб. Мат. анализ (Итоги науки и техники. Т. 20)/ ВИНИТИ АН СССР. - M., 1982, с. 3-77.

14. Габасов Р., Гневко C.B., Кириллова Ф.М. Прямой точный алгоритм построения оптимального управления в линейной задаче. -Автоматика и телемеханика, 1983, К? 8, с. 30-38.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.З. Специальные задачи. Минск : Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1980. - 368 с.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. 4.2. Задачи управления. Минск : Изд-во Университетское, 1984. - 207 с.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Метод решения общей задачи линейного программирования. Докл. АН БССР, 1979, т. 23, Ш 3, с. 197-200.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Конечный двойственный точный алгоритм линейного программирования. Докл. АН БССР, 1981, т. 25, № 7, с. 586-589.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Прямой точный алгоритм решения линейной задачи оптимального управления. -Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1982, !Й I, с. 68-75.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Алгоритмы решения линейной задачи оптимального управления. Докл. АН СССР, 1984, т. 274, № 5, с. 1048-1052.

21. Гичев Т.Р., Дончев А.Л. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия. Прикл. математика и механика, 1979, т. 43, № 3, с. 466-474.

22. Глизер В.Я. Об одной сингулярно возмущенной задаче Майера. -В сб. Дифференц. уравнения. Вып. 3. Днепропетровск : Дне-пропетр. ун-т, 1975, с. 53-56.

23. Глизер В.Я. Асимптотические методы решения некоторых сингулярно возмущенных задач математической теории оптимального управления. Дис. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1980.

24. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом. -Докл. АН СССР, 1975, т. 225, Ш 5, с. 997-1000.

25. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. О непрерывности решения задачи аналитического конструирования регулятора по сингулярным возмущениям. Прикл. математика и механика, 1977, т. 41, № 3, с. 573-576.

26. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи Коши, возникающей в теории оптимального управления. Дифференц. уравнения, 1979, т. 14, № 4,с. 601-612.

27. Гродзовский Г.Л., Иванов 10.Н., Токарев Б.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, I966. 679 с.

28. Гусейнов Т.Г. Об асимптотике и некоторых ее особенностях решения задачи оптимального управления для сингулярно возмущенной системы интегро-дифференциальных уравнений. Дис. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук. Баку: АзПГ, 1981.

29. Дмитриев М.Г. Об асимптотическом решении одной задачи оптимального управления. В сб. Дифференц. уравнения и их прил. - Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1971, с. 21-29.

30. Дмитриев М.Г. Исследование сингулярных возмущений задач оптимального управления. Дис. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук. Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1972.

31. Дмитриев М.Г. Одно свойство сингулярно возмущенных линейных систем. В сб. Математика и механика. - Днепропетровск, 1972, с. 202-206.

32. Дмитриев М.Г. О непрерывности решения задачи Майера по сингулярным возмущениям. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, т. 12, N2 3, с 788-791.

33. Дмитриев М.Г. Непрерывность решения нелинейных оптимальных задач Майера по сингулярным возмущениям. В сб. Дифференц. уравнения и их прил. Вып. 2. - Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1973, с. 34-40.

34. Дмитриев М.Г. Итерационное решение задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями. Докл. АН СССР, 1983, т. 272, № 2, с. 281-284.

35. Дмитриев М.Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1983, К» 4, с.63-69.

36. Дюкалов А.Н., Илютович А.Е. Асимптотические свойства оптимальных траекторий экономической динамики. Автоматика и телемеханика, 1973, №3, с. 97-107.

37. Есипова В.А. Асимптотическое решение линейной задачи оптимального быстродействия. В сб. Дифференц. уравнения и их прил. Вып. 2. - Днепропетровск : Днепропетр. ун-т, 1973, с. 50-59.

38. Есипова В.А. Асимптотика решения общей краевой задачи для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений условно устойчивого типа. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, Jfi II, с. 1956-1966.

39. Калинин В.Н. К теории приближенного синтеза оптимальных управлений. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1964, № 5, с. 39-44.

40. Киселев Ю.Н. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для систем управления, близких к линейным. -Докл. АН СССР, 1968, т. 182, P. I, с. 31-34.

41. Киселев Ю.Н. Асимптотическое,решение задачи оптимального быстродействия для систем управления, близких к линейным. Дис. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук. М.: Ма-тем. ин-т АН СССР, 1968.

42. Киселев Ю.Н. Асимптотическое решение одной задачи, возникающей в теории оптимальных процессов. В сб. Теория оптимальных решений. Тр. семинара. Вып. I. - К.: 1969, с. 26-35.

43. Киселев Ю.Н. Линейная задача оптимального быстродействия при аналитических возмущениях начальных условий. Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, Ш 12, с. 2I5I-2I60.

44. Кириллова Ф.М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования. Изв. вузов. Сер. Математика, 1958, № 4, с. II3-I26.

45. Кириллова Ф.М. О непрерывной зависимости решений одной задачи оптимального регулирования от начальных данных и параметров. Успехи мат. наук, 1962, т. 17, № 4, с. I4I-I46.

46. Колмановский В.Б. Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления. Прикл. математика и механика, 1975, т. 39, № 5, с. 788-797.

47. Колмановский В.Б. Оптимальное управление некоторыми нелинейными системами с малым параметром. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, N2 9, с. 1584-1595.

48. Коул Дж.Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 274 с.

49. Красовский H.H. Теория управления движением : Линейные системы. М.: Наука, 1968. - 476 с.

50. Крейн С.Г., Курина Г.А. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления. В сб. Устойчивость движения. Ана-литич. механика. Управление движением. - М.: Наука, 1981, с. 170-178.

51. Курина Г.А. Некоторые сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Дис. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук. М.: Моск. ин-т электрон, машиностроения, 1977.

52. Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. В сб. Теория операторных уравнений. - Воронеж, 1979, с. 52-61.

53. Курина Г.А. Асимптотическое решение одного класса сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Прикл. математика и механика, 1983, т. 47, № 3, с. 363-371.

54. Курина Г.А. Об одной классической сингулярно возмущенной задаче оптимального управления. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 4, с. 7I0-7II.

55. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М.: ВЦ АН СССР, 1967. - 108 с.

56. Левитин Е.С. О корректности ограничений и устойчивости в экстремальных задачах. I. Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика, 1968, № I, с. 24-34.

57. Левитин Е.С. О корректности ограничений и устойчивости в экстремальных задачах. II. Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика, 1968, № 2, с. 8-22.

58. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. 398 с.

59. Любуншн A.A. Сходимость метода малого параметра для слабоуп-равляемых оптимальных систем. Прикл. математика и механика, 1978, ш. 42, № 3, с. 569-573.

60. Любушин A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1983, № 2, с. 147-159.

61. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. -247 с.

62. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971. 424 с.

63. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. - 528 с.

64. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики.- но М.: Наука, 1981. 400 с.

65. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. - 379 с.

66. Плотников В.А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. Одесса: Одес. ун-т, 1976. - 102 с.

67. Плотников В.А., Третьяк А.И. Асимптотическое решение одного класса задач оптимального управления. Кибернетика, 1974, № 4, с. II8-I22.

68. Плотников В.А., Яценко Т.П. Асимптотическое приближение уравнений движения сингулярно возмущенных управляемых систем. -Одесса, 1977. 26 с. - Рукопись представлена Одес. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 27 дек. 1977 г., № 4541- 77Деп.

69. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208 с.

70. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. Мат. сб., 1948, т. 22 (64), N2 2, с. 193-204.

71. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. Мат. сб., 1950, т. 27(69), Кз 2, с. 147-156.

72. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. Мат. сб., 1952, т. 31 (73), № 3, с. 575-586.

73. Фаминская М.В. Сингулярно возмущенная слабо нелинейная задача с присоединенными векторами, отвечающими нулевому характеристическому числу. Дифференц. уравнения, 1981, т. 17,Ш 8, с. I4II-I425.

74. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

75. Федоренко Р.П. О регулярных жестких системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1983, т. 273, 1й б, с. 1318-1322.

76. Черноусько Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. Прикл. математика и механика, 1968, т. 32, 1й I, с. 15-26.

77. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д,, Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М: Наука, 1980. - 384 с.

78. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. В сб. Мат. анализ (Итоги науки и техники. Т. 14)/ВИНИТИ АН СССР. - М., 1977, с. I0I-I66.

79. C&fae Л.^. Л jo¿<tíu,iécu6to<n> cLttafyscs о^ Optimal aetoc/tpttamtc, and thzuslемьбъоб. ISíí Ttcuuí. Jluécmtaí. Ccmétœl,U По. S, pp. ?Z0-?30.

80. Munt? J.H. Л o^ sinpuéabty rwnêcKjeat, Jc)ce<¿- eptd po¿trí сеп/ъ^p^Jemgr 7. Optùmùi. Ùmp сшЛМрР., /979, if. ¿3,720.2, pp. ¿3/- ¿Si. ^ ¡

81. Cfotrffi H, JtokoíoifCC Р. К J cfecompostùon- MüZ opümwm, гелссбфгз Jot, svç-iemç ¿JM S¿OKS ¿HUÍ MU yvbocfog. -Lbtí ncaMsg. ámШ, if. ¿I, /lo. 5, pp 70Í-70S,

82. Uf.t). Súit^uátb pez¿u%¿a¿¿cn4 o^ £ил&г> optima/- соп4гс>£ ргс^^епь^, - ЦесеиЛTriait, fàetfelop. ¿и, -h.-ft-U: Jeacte-mie,, Í9?3f pp /23-/36.87. Äfc fi. pe^t/aú'OHS qf oàtcma? ^WW pw- sum / ¿ww, fmef /lo. з, мm-43?.

83. DOTVÍCAAIJ J/.L. PcUuté&ícoK'Z, appwY.c?pta>-¿to*tscutafysts o/- opécmœé eotdteé st/sfe-mf. -bed. tloííA ¿W* cuù Infi. Sc¿.} ¿9S3, ir. /То. -/57 pp.

84. Юга^ш- Lf; Ha&uuüp У?. Sutíoptcmaé еси4ъ>£ ёег ^ siuffu&x jbitéubédk&vt' ¿ecAni^ues. ЯесГ. гоияп< su. iectwL., set-. e¿6, if. ¿I, По. рр m-59i.

85. DtagûJb If., На.&1иАр J. PpùwU sfaftfaaJton ctfufa% s?*tA¿£ ¿¿me m^fe -ßetf. гогсгъ. su. ¿ес/ыг., e&kézoíeeA. e¿ mi, if По. ¿, pp 99-m.

86. Tuednutn, M.I.,duinc0 в. <Гогта£ as^thjoüÚc Soàticovb о^ ¿L pxtéuz¿e¿¿ /иы&пеаг oñ-¿t<Htd¿ cwvfoot pwé^ewt. -0p¿tnu*a¿. 7~&еоыW Jpp¿, /9Н, ¿f. ¿3, По. pp. 3Û/-32S.

87. О'ШаШх Я. î.fa ScHAueai terminations OJtdeo7t>éto€. Lec¿. №¿es 7H<ïffg, ¿s. £gD, pp t?í-¿tS.120. 0'ma.Mey L î.fc, JCuttg £ (ht tAe ÜCccaíí аьргоасА -¿о a ¿¿tt^uâiify petturtkdte, По. з, pp ш-ш.

88. О'ТПаЩр я. Жип^ еж ZAe, çiitpu&itfy,- 3i л m f быШ, i/, /з, По. г., рр33?.

89. VloLseevr Ï1. 17., £Абшои$4,о JTЬ. J/s^mpüitcfäock ¿и, í&e ¿¿бегу opte mag l£í£Тглив. A/W /ЗВ/, a ¿6, По. 5~, pp933 -¿ООО.ггъ.ЦеМр Р в, JtstpmpMfe Slices So&alcOb оА gulaify petiurfsd ¿сягеptoflcmS. Ргос. ¿and-. Ое&всотьГек. : /£££ S^. Soc.,ррзг-te.

90. Калинин А.И., Романюк Г.А. Метод возмущений в одной задаче оптимального управления линейной сингулярно возмущенной системой. Мн., 1982. - 26 с. - Рукопись представлена ред. ж. Вестн. Белорус, ун-та. Деп. в ВИНИТИ 28 дек. 1982 г., № 6409-82Деп.

91. Калинин А.И., Романюк Г.А. Метод возмущений в одной линейной задаче оптимального управления. В кн.: Международная конференция по математическим методам в исследовании операций : Тез. докл. - София, НРБ, 1983, с. МН,

92. Романюк Г.А. Приближенное решение одной линейной задачи оптимального управления, зависящей от малого параметра. Мн.,1983. 15 с. - Рукопись представлена ред. ж. Вестн. Белорус. ун-та. Деп. в БелНИИНТИ 2 авг. 1983 г., № 749Бе-Д83.

93. Романюк Г.А. Алгоритм приближенного решения одной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления. В кн.: XII Всесоюзная школа-семинар по адаптивным системам : Тез. докл. - Мн., 1984, с. 84.

94. Романюк Г.А. Приближенная оптимизация линейных сингулярно возмущенных систем. В кн.: Всесоюзная школа молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование": Тез. лекций и докл. - М ., 1984, с. 254.

95. Калинин А.И., Романюк Г.А. Метод возмущений для решения одной линейной задачи оптимального управления. Докл. АН БССР, 1984, т. 28, № б, с. 502-505.

96. Романюк Г.А. Приближенное решение одной задачи оптимального управления линейной сингулярно возмущенной системой. Мн.,1984. 17 с. - Рукопись представлена ред. ж. Изв. АН БССР. Деп. в ВИНИТИ 14 июня 1984 г., № 3959-84Деп.

97. Романюк Г.А. Метод возмущений в оптимизации слабоуправляе-мых линейных систем. Мн,, 1984. - 9 с. - Рукопись представлена ред. ж. Изв. АН БССР. Деп. в ВИНИТИ II сент. 1984 г., № 6162-84Деп.

98. Калинин А.И., Романюк Г.А. Метод малого параметра в одной линейной сингулярно возмущенной задаче оптимального управления. В кн.: У Всесоюзное совещание "Управление многосвязными системами": Тез. докл. - М., 1984, с. 151-15*2.

99. Калинин А.И., Романюк Г.А. Оптимизация линейных сингулярновозмущенных систем. Б сб.: Конструктивная теория экстре мальных задач. - Мн»; Университетское, 1984, с. 100*113.