Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем, содержащих при производных параметры различных порядков малости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

_ ;< ,- ^ Белорусский государственный университет

УДК 617.9

Грибковская Ирина Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАМЕТРЫ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ МАЛОСТИ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1997

Работа выполнена в Белорусском государственном университете t

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Калинин А.И. Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор В.Л.Плотников

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник Т.Б.Копейкина

Оппонирующая организация Институт программных систем РАН

Защита состоится-^. 9? г. в 10.00 на заседании Совета по защите диссертаций Д. 02.01.07 в Белорусском государственном университете (220050, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4, Белгосуниверситет, главный корпус, к. 206)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета.

Автореферат разослан м " ff 199Л-.

Ученый секретарь Совета по защите диссертаций доктор физико-математических наук,

профессор

Килбас Л.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические модели многих прикладных задач включают в себя системы дифференциальных уравнений, которые содержат переменные с существенно различными скоростями изменения. Такие системы, которые принято называть жесткими, возникают, например, при математическом моделировании нелинейных колебаний, электрических цепей и устройств электроники, силовых систем, биологических популяций, задач динамики полета, химической и физической кинетики (например, в радиационной химии), астрофизики, медицины, теории расписаний, управления ядерными реакторами и экономическими системами. Как известно, численное интегрирование жестких систем встречает серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. Жесткими, в частности, являются сингулярно возмущенные системы, в которых быстрые и медленные переменные явно выделены, что позволяет обойти упомянутые трудности с помощью асимптотического подхода.

Основы теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений были заложены А.Н.Тнхоновым и Л.С.Понтрягиным. В дальнейшем эта теория получила свое развитие в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, М.И.Вишика, Л.А.Люстерника, С.А.Ломова, А.М.Ильина, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова и других. Следует особо выделить метод асимптотического разложения решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, который получил название метод пограничных функций (А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов, М.И.Вишик, Л.А.Люстер-ник).

С появлением теории оптимальных процессов асимптотические методы исследования возмущенных систем проникли в новую область через краевую задачу принципа максимума Л.С.Понтрягина довольно быстро и естественно. Задачам оптимизации сингулярно возмущенных систем уде-

ляется достаточно большое внимание (Э.Г.Альбрехт, А.Б.Васильева, В.Я.Глизер, М.Г.Дмитриев, А.И.Калинин, А.Г.Кремлев, Г.А.Курина, Н.Н.Моисеев, В.А.Плотников, Ф.Л.Черноусько, М.О.Агс1ета, Р.ВЫт^, Ш.О.СоШпб, А.Ь.Ооп1сЬеу, Т.ОИсЬеу, А.Н.НаскЫ, Р.У.КоМоук, И.О'МаПеу, Р.БаппиК, У.М.УеПоу и др.). Наиболее распространенный подход к исследованию таких задач состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений к краевой задаче принципа максимума. Эта методика позволяет строить асимптотику решения задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, то есть задач классического вариационного типа. В задачах с замкнутой областью управления (а именно такие задачи, как правило, встречаются на практике), реализация указанного подхода встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают в этом случае необходимой для применения асимптотических методов гладкостью. Наверное, поэтому в задачах с замкнутым множеством допустимых значений управляющих воздействий исследования, в основном, носили качественный характер, и, как правило, сводились лишь к выяснению вопроса о предельной задаче, к решению которой в той или иной топологии сходится решение возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Что касается построения асимптотики решения задач с замкнутой областью управления, то этот вопрос изучен недостаточно хорошо, хотя и здесь имеется ряд интересных результатов. В частности, в работах А.И.Калинина были впервые разработаны алгоритмы асимптотического решения линейных сингулярно возмущенных задач.

Данная работа посвящена построению асимптотики решения задач оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра. Динамические системы, содержащие при производных параметры различных порядков малости, исследуются с момента зарождения теории сингулярных возмущений

(А.Н.Тихонов, А.Б.Васнльева). Однако задачи управления такими системами до последнего времени практически не были изучены, хотя они и встречаются в приложениях (например, задача об устойчивости установившегося движения системы гироскопической стабилизации с большими собственными кинетическими моментами гироскопа, задача плоскостного перехвата ).

Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования выполнялись в рамках "Республиканской программы по развитию фундаментальных и прикладных исследований в области математики, широкому применению методов математического моделирования в отраслях народного хозяйства республики на период до 2000 года", утвержденной постановлением Президиума АН БССР № 2 от 02.06.89 г.(раздел 1, шифр 1.1.16, тема "Качественная и конструктивная теории оптимизации статических и динамических систем", основной исполнитель • Белго-суниверситет, в плане госбюджетных НИР БГУ на 1991—1995 г.г., номер госрегистрации - 01910056832 и тема "Качественные, асимптотические и численные методы исследования и оптимизации динамических систем", основной исполнитель - Белгосуниверситет, в плане госбюджетных НИР БГУ на 1996-1998 г.г.), в рамках темы Министерства образования и науки РБ на 1995-1996 г.г. "Оптимизация непрерывных и дискретных процессов в режиме реального времени", выполняемой по распоряжению Министерства образования и науки РБ от 23.02.95, а также в рамках темы Фонда фундаментальных исследований РБ на 1992-1994 г.г. "Асимптотическая оптимизация возмущенных динамических систем управления", номер госрегистрации - 19941339.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка конструктивных алгоритмов асимптотического решения задач оптимального управления линейными сингулярно возмущенными системами, содержащими при производных параметры различных порядков малости.

Научная новизна полученных результатов. Разработанные алгоритмы являются новыми, поскольку рассматриваемые в диссертации задачи ранее не исследовались. В то же время они развивают известные результаты, полученные другими авторами для задач оптимизации сингулярно возмущенных систем с одной группой быстрых переменных.

Практическая зна .лмость результатов. Разработанные в диссертации алгоритмы и предваряющие их результаты качественного анализа могут найти непосредственное применение при решении прикладных задач оптимального управления динамическими системами, в которых имеется несколько групп переменных с существенно различными скоростями. Асимптотические приближения, полученные при помощи разработанных алгоритмов, можно использовать для точного решения рассматриваемых задач при заданном значении малого параметра. Для этого предложены соответствующие вычислительные процедуры. <

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Алгоритм асимптотического решения задачи оптимального быстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра.

2. Алгоритм асимптотического решения линейной задачи-терминального управления сингулярно возмущенной системой, содержащей при производных параметры различных порядков малости, с функциональными ограничениями типа равенства на правый конец траектории.

3. Алгоритм асимптотического решения линейной задачи оптимального управления сингулярно возмущенной системой с большой длительностью процесса.

4. Теоремы существования оптимальных управлений определенной структуры в указанных выше задачах.' - .

5. Алгоритм работы регулятора, строящего асимптотически оптимальные управления типа обратной связи в задаче терминального управления ли-

неинои сингулярно возмущенной системой, содержащей при производных параметры различных порядков малости. ... ,

Личный вклад соискателя. Результаты, представленные в диссертации, получены лично соискателем под руководством научного руководителя.

Апробация результатов диссертации. По теме диссертации сделаны доклады на Крымской математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (г. Алушта, 1993), Межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (г. Минск, 1993), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 1994 - 1997), Белорусском Конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика - 95й (г.г. Минск - Гомель, 1995), Ш Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (г. Санкт-Петербург, 1995), VII Белорусской математической конференции (г. Минск, 1996).

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях в научных журналах и в 9 тезисах докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, перечня условных обозначений, общей характеристики работы, основной части из 4 глав, выводов, списка использованных источников, включающего 121 наименование. Общий объем диссертации составляет 93 страницы.

Содержание диссертации.

Во введении дается краткая характеристика направления исследований, к которому относится данная работа.

В первой главе диссертации приводится обзор литературы с анализом основных результатов по теории сингулярно возмущенных задач оптимального управления, обсуждается актуальность проблематики, а также излагаются цель работы и методика исследования.

Вторая глава посвящена построению асимптотики решения задачи оптимального быстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости:

i = Д» + Вху + С,г + Ь,и, х(0) = х°,х(Т) = О, цу = А,х + В„у + С2г + Ь2и, у(0) = у\у(Т) = 0, (1)

ц32 - А,х + В3у + С3г + Ь3и, z(0) = z°, г(Т) «= О, J(u) = Г -> min,

где ц - малый положительный параметр, и - скаляр, х - «[-вектор, у -л2-вектор, г - Лз-вектор, а остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры.

Вектор х обычно называют медленной переменной, а векторы у, г -быстрыми. Предполагается, что

а) матрицы С,, С = Вг - С2С3'В3 - устойчивые, т.е. действительные части всех их собственных значений отрицательны;

б) rank (V4A.....К'^о) = «„ rank ( Ь, СЬ,.... C"*~lb ) = п2,

rank (b3,CA.....C^'fr,) = п3, где Л0 = Л, - С&'А, - (В, - C.q'ß,) х ,

х - ВДЧ>. Ь0 = й, - C,q V<ß, - С.С^Ю-'й, * = Ьг -

Определение. Кусочно-непрерывное управление un(t, ц), ie(0, rn(n)], значения которого не превосходят по модулю единицы, назовем асимптотически «-оптимальным в задаче (1), если оно переводит систему в состояние 0(ця+|), причем время перехода ^«(й) отличается от времени быстродействия оптимального управления на величину порядка ця+'.

С помощью методики, предложенной в работах А.И.Калинина, в основе которой лежит идея специальной конечномерной параметризации оптимальных управлений, разработан и обоснован конструктивный алгоритм, позволяющий для заданного натурального числа п построить асимптотически л-оптимальное управление в задаче (1).

Алгоритм опирается на решение трех невозмущенных задач оптимального управления меньшей размерности, чем исходная (так называемых базовых задач). Первой из них является вырожденная задача:

х = А0х + Ь0и, *(0) . х(Т) = О, |Ы(<)| S I, /0(и) - Т min, (2)

Вторая базовая задача имеет вид

^ = Су + Ьи, sZO, y(st) » С-'Ь, у(0) ш О, ds

| u(s)| £ 1, 7,(u)i=}Ms) + l)ds-»min. (3)

В ней длительность процесса не фиксируется. Эта задача обладает одной интересной особенностью: начальное состояние является положением равновесия динамической системы при управлении, тождественно равном -1. С другой стороны, такое управление обращает в нуль подынтегральное выражение в критерии качества. Поэтому множество оптимальных начальных моментов во второй базовой задаче представляет собой бесконечный полуинтервал ]-°о, s0l], и соответственно задача (3) сводится к следующей задаче с фиксированной, но достаточно большой длительностью процесса:

— = Ci/ + bu, s й 0, i/(s*) = C"'&, i/(0) = О, ds

о

| u(s) /¡(и) = f u(s)ds min, (4)

Первая точка переключения оптимального управления в задаче (4) является наибольшим оптимальным начальным моментом в задаче (3).

Третья базовая задача имеет вид

^ = т <;0, г(t,) = C3-V z(0) = О,

о

| и(т) | £ 1 • /2(и) = J(u(t) + l)dt-> min. (5)

Эта задача того же типа, что и задача (3), и, соответственно, обладает всеми ее особенностями.

При выполнении условий а), б) и некоторых других достаточно общих предположений относительно решений базовых задач справедлив следующий результат. Пусть 7"0, <„,,...,/„, - момент быстродействия и точки переключения оптимального управления в вырожденной задаче (2)»

soi> \ ~ наибольший оптимальный начальный момент и точ-

ки переключения соответствующего оптимального управления в задаче (3), тв|»тм> -->гоя ~ наибольший оптимальный начальный момент и точки переключения соответствующего оптимального управления в задаче (5). Тогда, если Т(ц) - момент оптимального быстродействия в задаче (1), то оптимальное управление в этой задаче при достаточно малом ц имеет / + р + т точек переключения вида

Ф).....<,(и),7*(ц)+ .....Г(ц) + ц5,(ц),Г(ц)+ц\(ц).....Г(ц) + ц2 тя(ц

при этом справедливы асимптотические разложения

Т(\1)~Т0 + ±ц%, к-1

</(и) ~ 'оу+iA,. / = й; (6)

во

- so i + ЕмЧ/. i-UP;

A-1

■o _

~ to, + EnV, r = l,m. t-i

В диссертации предложен конструктивный алгоритм вычисления коэффициентов разложений (6). Определив эти коэффициенты, можно сформировать полиномы

Ш - r0 + inkrM;

i-i

4-1 я

*ч00 - «01 + ' = lp:

k-i

я

= t0f + 2>*т»,, ГШ l,т.

Релейное управление цД/.ц), t é[0, 7*,,(ц)], переключающееся в точках

'..(ц).....^(ц).т;(м)+

(в первой точке переключение такое же, как у оптимального управления в вырожденной задаче), будет асимптотически л-оптимальным управлением в задаче (1). Заметим, что асимптотически О-оптимальное управление может быть построено непосредственно после решения базовых задач.

Предложенный алгоритм является развитием результатов, полученных для сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия, в которой имеется только две группы переменных с существенно различными скоростями (W.D.Collins, P.V.Kokotovic, A.H.Haddad, S.M.Javid, T.Gitchev, L.Dontchev, А.И.Калинин).

Третья глава посвящена построению асимптотики решения линейной задачи терминального управления с подвижным правым концом траекторий:

/(«) = с;х{1,)+цс^((,) + тах,

х = А,х + В,у + С,г + Ь,и, х(0) = х", цу = Агх + В2у + Сгг + Ьги, у(0) = у°, (7)

ц'е = А,х + В3у + С,г + Ь3и, г(0) = г", <е[0,/.] = А. = Я3*(/.) =

где ц - как и прежде, малый положительный параметр, - заданный момент времени, и - скаляр, х, у, г - векторы размерности л,, л2, п3 соответственно, £3 - векторы размерности т\, т2, т3 (т, < тг £ й п2, т3 й п3), а остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры. По-прежнему считаются выполненными условия а), 6). Определения. Кусочно-непрерывное управление со значениями, не превосходящими по модулю единицы, назовем асимптотически к-допустимым, если порожденная им траектория удовлетворяет терминальным ограничениям с точностью Асимптотически ¿-допустимое

или допустимое управление будем называть асимптотически л-оптимальным, если оно отклоняется по критерию качества от оптимального управления на величину

На основе качественного анализа решения задачи (7) разработан алгоритм, с помощью которого для заданного натурального числа л можно

построить релейное асимптотически л-допустимое л-оптимальное управление. Суть алгоритма, который в идейном плане близок к предыдущему, состоит в построении асимптотики точек переключения оптимального управления в виде разложений по целым степеням малого параметра ц. Одни из этих точек близки к соответствующим точкам переключения в вырожденной задаче

с, x(t.) -> max, х = AqX + b0u, *(0) = jc°, (8)

\u(t^l, /е [О,*.], H,x(t.) = g„

а другие, появление которых вызвано наличием терминальных ограничений на траектории, отстоят от конечного момента /. на величины порядка ц и ц2 соответственно. Для описания двух последних групп точек вводятся следующие две задачи с нефиксированной длительностью процесса:

, о

с'у(0) - (Я.0 Я, - с, )ba f (u(s) + 1) ds max, dy_

ds

y{st) = -c~'bu°(t,), н2у(o) = -HtAx°{t.) +

ds Cy-bu°(t.)u, sSfl, |h(s)| <; 1, (9)

a'z{0) - |(v04 - c')biU°(t,) - |[xe'//, - с,') J f(u(r) + l) dx -> max.

^ = C3z-b3u0(t.)u'(0)u, т 5 0, \u(xj Z1, (10)

z( t.) = C^by(t.)u'(0), H3z( 0) = -H3Bx°(t.) + H3C;{B3y'{0) + g3,

где c = с, - D'{c, -//,*.„), a = c3+ (C2C3_I) (c2 - H2 v0) +

1к

+(С,Сз') ^с, - Н, , м°(/), - оптимальное управление и траектория в задаче (8), Х0 - соответствующий им вектор множителей Лагран-жа, "'(з), ¿/"(з) - оптимальное управление и траектория в задаче (9), у0 - соответствующий им вектор множителей Лагранжа.

Задачи (9), (10) обладают теми же особенностями, что и задачи (3), (5). Их решения вместе с решением вырожденной задачи полностью определяют структуру оптимального управления в исходной задаче (7) с достаточно малым ц (в данном случае имеет место результат, подобный тому, который сформулирован для задачи оптимального быстродействия).

Наличие малых параметров при быстрых переменных в критерии качества задачи (7) существенно влияет на асимптотику решения. В случае их отсутствия, как показывают примеры, точки переключения оптимального управления, вообще говоря, не раскладываются в асимптотические ряды по целым степеням ц. Более того, в этом случае структура оптимального управления может изменяться при стремлении малого параметра к нулю. В частности, число точек переключения может стремиться к бесконечности.

Предлагаемый алгоритм развивает результаты, полученные для линейной задачи терминального управления сингулярно возмущенной системой, в которой имеется одна группа быстрых переменных (М.Г.Дмитриев, В.Я.Глизер, Р.ВшсНпд, Г.А.Курина, Ь.Ооп1сЬеу, У.М.УеПоу, А.И.Калинин).

На базе разработанного алгоритма предложена процедура асимптотического решения линейной задачи оптимального управления сингулярно возмущенной системой с большой длительностью процесса:

/(и) = | (£,'</(/) + + /Ц/)}// -> тах,

о

у = Д</+ Л2г + ¿>,и, 1/(0)= у",

(И)

цг = А.3у + А4г + Ь3и, г(0) = г°,

]«(/)) ^ 1. Г е[0,/./М],

где ц - малый положительный параметр, и - скаляр, у, г - векторы размерности пи п2 ; ~ векторы размерности ти т2 соответственно (т, й л,, т2 <. п2), а остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры. Предполагается, что матрицы ¿44,С = Д - А2А?А, являются устойчивыми, а векторы Ь = Ь, - А1А^1Ьг, Ь0 = Л - -

с, - с, А^'А^С'Ь отличны от нуля. Задача (11) сводится к задаче (7)

путем перехода к "медленному времени" т = ц/.

Численная реализация изложенных во второй и третьей главе алгоритмов включает в себя решение базовых задач, интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений и нахождение решений линейных алгебраических систем. Вычислительные процедуры алгоритмов ориентированы на конкретный численный метод решения базовых задач -прямой опорный метод, разработанный Р.Габасовым, Ф.М.Кирилловой. Этот метод выбран не случайно. Во-первых, помимо оптимального управления он дает дополнительную информацию, необходимую для построения асимптотики, во-вторых, указанные алгоритмы и прямой опорный метод реализуемы почти при одних и тех же предположениях относительно базовых задач. Впрочем, построение асимптотики по изложенной схеме может сочетаться и с любым другим методом решения базовых задач.

Асимптотические приближения, полученные при помощи разработанных во второй и третьей главах алгоритмов, можно использовать для точного решения задач (1), (7), (11) при заданном значении малого па-

раметра. Для этого предлагаются соответствующие вычислительные процедуры.

В четвертой главе рассматривается задача терминального управления (7), в которой динамическая система на промежутке времени [о, /°<

< А,, подвержена действию неизвестных помех. Считается, что априорная информация о помехах отсутствует, однако в любой момент времени т е можно замерять значение медленной переменной х(т).

Устройство, способное в каждом конкретном процессе вычислять в режиме реального времени асимптотически О-допустимое О-оптимальное управление для любой реализовавшейся начальной позиции (т, л(т),

[9

О, <°], назовем асимптотически оптимальным регулятором.

Асимптотически О-допустимое О-оптимальное управление определено для модели, не учитывающей помехи. Соответственно с <>тим асимптотически оптимальный регулятор парирует только те возмущения, которые реализовались к текущему моменту. Информация о них заложена в текущем состоянии системы, которое рассматривается как начальное. Регулятор не учитывает возмущения, которые реализуются в дальнейшем, поскольку никакой информации о них не имеется. В главе предлагается алгоритм построения асимптотически оптимального регулятора, разработанный на основе метода синтеза позиционных оптимальных управлений (Р.Габасов, Ф.М.Кириллова, О.Н.Костюкова) и изложенного в третьей главе алгоритма построения программных асимптотически оптимальных управлений. Предложенный алгоритм обобщает результаты, полученные А.И.Калининым для сингулярно возмущенной системы, в которой имеется только одна группа быстрых переменных.

Следует отметить, что для всех возмущенных задач, рассмотренных в работе, доказаны теоремы существования оптимальных управлений опре-

деленной структуры при предположениях, сделанных относительно решений базовых задач. На теоремы существования опираются алгоритмы построения асимптотики. Однако, значение теорем состоит не только в этом. Они, например, могут использоваться при численном решении задач оптимального управления с разномасштабными по скорости переменными.

Применяемый подход позволяет исследовать задачи, в которых имеются несколько групп быстрых переменных с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра. Такое обобщение вносит в алгоритмы непринципиальные изменения, которые легко прослеживаются на примере рассмотренных задач. В то же время оно приводит к громоздким формулам. Поэтому с целью упрощения изложения в диссертации исследуются задачи с двумя группами быстрых переменных.

Отметим также, что развитие всех предложенных в диссертации алгоритмов на нестационарные системы с достаточно гладкими коэффициентами не встречает принципиальных трудностей.

Разработанные алгоритмы апробированы на некоторых конкретных задачах управления движением.

ВЫВОДЫ

В предложенной диссертационной работе разработаны и обоснованы конструктивные алгоритмы асимптотического решения (с произвольной степенью точности) следующих задач:

1) задачи оптимального быстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра;

2) линейной задачи терминального управления сингулярно возмущенной системой, содержащей при производных параметры различных порядков

малости;

3) линейной задачи оптимального управления сингулярно возмущенной системой с большой длительностью процесса.

Для всех возмущенных задач, рассмотренных в работе, доказаны теоремы существования оптимальных управлений определенной структуры.

Наряду с алгоритмами построения программных управлений разработан регулятор, позволяющий строить позиционные асимптотически оптимальные управления типа обратной связи в задаче терминального управления линейной сингулярно возмущенной системой с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра, подверженной действию неизвестных помех.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическое решение задачи быстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы с иерархией скоростей // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тезисы докладов Крымской математической школы.- Алушта, 1993.- С. 24.

2. Грибковская И.В. Асимптотика решения задачи терминального управления линейной сингулярно возмущенной системой с иерархией скоростей / / Тезисы докладов Межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация".- Минск, 1993.- С. 92.

3. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотика решения линейной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с большой длительностью процесса // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем".-Киев, 1994 - С. 52-53.

4. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотически оптимальный регулятор для линейной сингулярно возмущенной системы с иерархией скоростей // Тезисы докладов Белорусского Конгресса по теоретической и прикладной механике "Механика - 95".- Минск (Гомель), 1995-С. 76-77.

5. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическое решение задачи быстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости // Дифференц. уравнения.- 1995.- Т. 31.- № 8.- С. 1275-1284.

6. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости / /Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1995,- Т. 35.- № 9,- С. 1299-1312.

7. Грибковская И.В. Асимптотически оптимальный регулятор для линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости / / Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем (Моделирование систем).- Киев, 1995.- С. 32.

8. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем, содержащих при производных параметры различных порядков малости // Тезисы докладов Ш Международного Семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Ч. 1.- Санкт-Петербург, 1995. С. 52-53.

9. Грибковская И.В. Астмптотическая оптимизация линейных динамических систем с иерархией скоростей / / Тезисы докладов VII Белорусской Математической конференции. Ч. 2.- Минск, 1996. С. 160-161.

10. Грибковская И.В. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем с иерархией скоростей / / Тезисы докладов Украин-

ской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем (Исследование систем)".- Киев, 1996,- С. 40.

11. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем, содержащих при производных параметры различных порядков малости / / Вестник Белорус, ун-та. Сер. физ., мат., информ.- 1996,- № 3.- С. 52-55.

12. Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотически оптимальный регулятор для линейной динамической системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости / / Известия РДН. Теория и системы управления,- 1997. - № 4. С. 68-72.

13. Грибковская И.В. Асимптотическая оптимизация линейных сингулярно возмущенных динамических систем, содержащих при производных параметры различных порядков малости / / International Conference "Modelling and Investigation of Systems Stability (Systems Investigation)". Thesis of Conference Reports.- Kiev, 1997.- P. 31.

РЕЗЮМЕ

Грибковская Ирина Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАМЕТРЫ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ МАЛОСТИ

Ключевые слова: оптимальное управление, сингулярные возмущения, малый параметр, линейные системы, алгоритм, асимптотическое приближение, регулятор.

В диссертации исследуются задачи оптимального управления линейными сингулярно возмущенными системами, содержащими при производных параметры различных порядков малости (задача оптимального быстродействия, задача терминального управления с подвижным правым концом траекторий).

Для рассмотренных задач доказаны теоремы существования оптимальных управлений определенной структуры и на их основе предложены алгоритмы построения асимптотических приближений (с любой наперед заданной точностью) к оптимальным управлениям.

На базе алгоритма, разработанного для задачи терминального управления, построен асимптотически оптимальный регулятор для линейной сингулярно возмущенной системы, подверженной действию неизвестных помех.

РЭЗЮМЭ

Грыбкоуская 1рына Уладз'шрауиа

Ключавыя словы: аптымальнае кфаванне, сжгулярныя узбурэнн1, малы параметр, лшейныя астэмы, алгарытм, аамптатычнае прыбл1жэнне, рэгулятар.

У дысертацьл даследаюцца задачы аптымальнага мравання лшейным1 сжгулярна узбуранным1 истэмам1, трымаючым1 пры вытворных параметры розных парадкау маласщ (задача аптымальнага хуткадзеннмя, задача тэрмшальнага кфавання з рухомым правым канцом траекторий).

Для разгледжаных задач даказаны тэарэмы ¡снавання аптымальных кфаванняу азначанай структуры i на ¡х аснове прапаноуваны алгарытмы пабудавання аамптатычных прыбл1жэнняу (з любой наперад зададзенай дакладнасцю) да аптымальных кфаванняу.

На базе алгарытма, распрацаванага для задачы тэрмшальнага Kipa-вання, пабудаван асшптатычна аптымальны рэгулятар для лшейнай сингулярна узбураннай Ыстэмы, падвержанай уздзеянню невядомых пе-рашкод.

SUMMARY Irina V. Gribkovskaya

ASYMPTOTIC OPTIMIZATION OF LINEAR DINAMIC SYSTEMS CONTAINING PARAMETERS

OF DIFFERENT ORDERS OF SMALLNESS IN THE DERIVATIVES

Keywords: optimal control, singular perturbations, small parameter, linear systems, algorithm, asymptotic approximation, regulator.

The problems of optimal control of linear singularly perturbed systems containing parameters of different orders of smallness in the derivatives are investigated in dissertation (a problem of time-optimal control, a problem of terminal control with moving right extreme point of trajectory).

Existence theorems of defined structures optimal controls are proved for considered problems and on their foundation algorithms of construction of asymptotic approximations (with any predetermined accuracy) to optimal controls are proposed.

On the basis of the developed algorithm for the problem of terminal control asymptotically optimal regulator for a linear singularly perturbed system susceptible to unknown disturbance effect is constructed.