Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД 2 5 ДПР 2000

•Российская Академия Наук Уральское отделение Институт математики и механики

На правах рукописи УДК 517.9

Данилин Алексей Руфимович

Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления

01.01.02 - - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2000

Работа ныполиеиа и Институте математики и механики УрО РАН

Научный консультант:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Ильин Арлен Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Калякин Леонид Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Короткий Александр Илларионович

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор КряжимскиИ Аркадий Викторович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится " 5 " 2000 г. в /У

часов на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН но адресу, 620006, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики "Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан «ЗА " сргМ^^к 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук, *

старший научный сотрудник ^ у М.И. Гусев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из направлений современного математического анализа является изучение малых возмущений различных задач. При этом, особое внимание уделяется сингулярным возмущениям, при которых свойства допредельных задач качественно отличают-' ся от свойств предельных.

Отметим, что малое возмущение некоторой задачи чаще всего обусловлено одной из следующих причин: погрешность исходных данных или малость тех или иных компонент в математической модели. Тип малого возмущения определяет и основные цели исследования и роль предельной задачи.

Для возмущений первого типа предельная задача самоценна, а ее возмущение - неизбежное зло, с которым надо бороться различными способами, возможно и далекими от методов, характерных для исходной задачи. Здесь главное - построить приближение исходной задачи в том или ином смысле. При этом решение вспомогательной задачи может качественно отличаться о г искомого, и, в любом случае, нет не-' обходимости находить приближенные решения точнее, чем тот уровень погрешности, который гарантируется теорией. Сингулярно возмущенные задачи такого рода характерны для теории некорректно поставленных задач.

При возмущениях второго тина, наоборот, "возмущенная" задача является исходной, требующей решения, а ее предельная - лишь удобный способ для нахождения приближенного решения исходной задачи. Поэтому здесь вопросы сходимости решений возмущенной задачи к решениям предельной - лишь первый этап, этап определения "нулевого" члена приближения, за которым следует задача нахождения следующих поправок, по возможности дающих приближение исходной задачи с наперед заданной точностью. Сингулярно возмущенные задачи тако-' го типа характерны для асимптотической теории.

В диссертационной работе исследуются сингулярно возмущенные задачи оптимального управления обоих типов.

Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах JI.C. Понтрягина, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкре.гшдзе, Р. Беллманан теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, Р. Лат-тес и Ж.-Л. Лионе, появившись почти одновременно, развивались во

взаимном влиянии и проникновении методов и понятий обеих теорий.

Например, основные регуляризаторы, такие как регуляризатор

A.Н. Тихонова, квазирешения В.К. Иванова, метод невязки, являются абстрактными задачами оптимального управления. А с другой стороны, многие задачи оптимального управления неустойчивы относительно возмущений данных и, тем самым, являются некорректными в смысле Адамара. Особенно это относится к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами. Поэтому работы, посвященные некорректным задачам теории управления, принадлежат представителям обеих теорий. Особенно заметно это взаимовлияние в работах уральских математиков, где существуют сильные научные школы обоих указанных направлений.

Абстрактные некорректные задачи теории управления рассматривались уже в работах А.Н. Тихонова.

В работах Ю.С. Осипова, A.B. Кряжимского, В.И. Максимова, А.И. Короткого исследована корректность некоторых задач оптимального управления и построены динамические регуляризующие алгоритмы восстановления динамики управляемого процесса в реальном масштабе времени.

Построению алгоритмов решения задач управления и наблюдения в условиях неопределенности, многие из которых неустойчивы и требуют той или иной регуляризации, посвящены работы A.B. Куржанского,

B.И. Ананьева, М.И. Гусева, И.Я. Каца, А.Г. Кремлева, И.О. Никонова, И.Ф. Сиверпшой, Т.Ф. Филипповой.

Конкретные регуляризаторы для решений дифференциальных уравнений и задач управления в банаховых пространствах строились И.В. Мельниковой.

Различные аспекты теории некорректных задач разрабатывались в работах А.Л. Агеева, В.Я. Арсенина, A.B. Бакушинского, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, A.B. Гончарского, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, А.Г. Яголы и др.

Асимптотические методы анализа, появившиеся значительно раньше, в развитие которых существенный вклад внесли работы H.H. Боголюбова и Ю.А. Митронольского, А.Н. Тихонова и A.B. Васильевой, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова, O.A. Олейник, М.И. Ви-шика и Л.А. Люстерннка, O.A. Ладыженской, В.П. Маслова и др.,с созданием теории оптимального управления получили новый импульс к дальнейшему развитию и новую сферу прложения.

Одним ни основных способов применения метода малого параметра к задачам управления является построение асимптотических: разложений решсниН систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтря-пша и его обобщений на задачи управления системами с распределенными параметрами. Задачи управления системами с распределенными параметрами активно разрабатывались в работах А.Г. Бундовского, Ф.П. Васильева, А.И. Егорова, В.Г. Литвинова, К.А. Лурье, Ж.-Л. Лионса, В.И. Плотникова, У.Е. Райтума и др.

Сингулярные возмущения задач управления часго связаны с наличием малого параметра при старшей производной в уравнениях, определяющих динамику процесса. В этом случае у решений соответствующих систем могут появиться функции пограничного слоя. Теория экспоненциально убывающих функций пограничного слоя, развитая в работах А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузоиа и их учеников, была успешно применена и для исследования задач управления. Другой подход к задаче с быстрыми и медленными переменными основан на прямом опорном методе и развит » работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, А.И. Калинина и др.

Однако, в ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких шелей и тел и т.п. В последнее время они получили название бисингулярных задач.

Одним из мощных методов построения равномерных асимптотик бисингулярных задач является метод согласования асимптотических разложений. И. хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году, а процедура согласования использовалась Ван-Дайком. Л. Френкелем и В. Экхаузом, однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича, A.M. Ильина. P.P. Гадылыпииа. Л.А. Калинина. Е.Ф. Леликовой, Б.И. Сулеймапова и др.

Несколько иными методами исследовались бпепнгулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорю-ка.

Проблемам оптимального управления возмущенными системами в последние годы посвящено много работ. Так регулярные возмущения исследовались и работах Л.Д. Акулепко. Э.Г. Альбрехта. УЗ.Б. Кол-

мановского, Н.Н Моисеева, В.А. Плотникова, Ф.Л. Черноусько и др. Сингулярно возмущенные задачи, чаще всего в постановке "быстрые - медленные неременные", изучались в работах A.A. Белолипецкого, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Дончсва, А.И. Калинина, Ю.Н. Киселева, А.Г. Кремлева, П.В. Кокатовича, Г.А. Куриной, А.Ю. Рябова и др.

Бисингулярно возмущенные задачи оптимального управления исследованы существенно хуже. Здесь следует отметить работы В.Е. Капу стяна.

Работа посвящена развитию методов регуляризации и согласования асимптотических разложений для исследования сингулярно возмущенных задач оптимального управления.

Методы регуляризации разрабатываются для задач, в которых в качестве исходных данных выступают некоторые множества. Такие задачи характерны для управляемых систем, функционирующих в условиях неопределенности. При этом операторы решения соответствующих задач неограничены либо определены на замкнутых множествах. В этих случаях, как правило, нельзя получить приближенное решения возмущенной задачи путем применения оператора решения к ногым данным.

Здесь используются два различных подхода. Первый связан с использованием того или иного регуляризатора обратного оператора, порождаемого динамикой процесса, что приводит к подобной же задаче управления с новой системой. Второй подход связан лишь с корректировкой ограничений, оставляя динамику процесса без изменений. Для построенных регуляризаторов рассмотрены также вопросы оптимальности и сходимости конечномерных аппроксимаций (включая дискретную сходимость)

Метод согласования применен как для исследования сингулярно возмущенной задачи быстродействия, так и для задач управления решениями краевых задач для эллиптического уравнения.

При этом в задаче быстродействия для линейной системы с постоянными коэффициентами возмущению подвергается вектор начальных условий. Сингулярность задачи проистекает из-за различных качественных характеристик оптимального управления, которое разрывно в предельной задаче и гладкое во всех допредельных. В этом случае оказывается, что ни время быстродействия, ни вектор начальных условий сопряженной задачи не раскладываются по рациональным функ-

циям малого параметра и логарифма от него. Здесь метод согласования применяется для получения асимптотики некоторого итеграла, входящего в систему, определяющую конечное число рассматриваемых, скалярных параметров.

В построении асимптотических разложений решений задач оптимального управления системами с распределенными параметрами именно метод согласования разложений, как и для краевых задач уравнений в частных производных, позволяет однозначно определить асимптотические разложения в пограничных слоях степенного роста и, тем самым, построить равномерное асимптотическое разложение. При этом, в отличие от случая одного уравнения, здесь возникает система уравнений. Таким образом возникает необходимость рассмотрения различных систем с распределенными параметрами, описывающих члены асимптотических рядов в различных подобластях, обоснование их разрешимости в тех или иных классах функций, нахождение вида асимптотики получившихся разложений в пересечениях соседних подобластей.

Отдельной проблемой, возникающей здесь в связи с наличием интегральных соотношений на решения, является получение асимптотики интегралов от произведения функций, зависящих от разномасштабных аргументов.

Цель работы - разработка и теоретическое обоснование методов регуляризации задач оптимального управления в условиях неопределенности относительно возмущения множества исходных данных или множества ограничений; построение и обоснование асимптотических разложений решения линейной задачи быстродействия в случае качественного изменения оптимального управления у предельной зада-, чи, приводящего к бисингулярности; применение метода согласования (сращивания) асимптотических разложений для построения и обоснования равномерного асимптотического разложения решений бисингу-лярных задач оптимального управления, описываемых краевыми задачами для уравнений эллиптического типа; разработка методов нахождения асимптотики интегралов от произведения функций, зависящих от разномасштабных аргументов.

Методы исследования. Методы исследования опираются на концепции и подходы теорий оптимального управления, некорректных задач и асимптотических методов. Систематически используются понятия и методы функционального анализа, теории обыкновенных диф-

ференциальных уравнений и уравнений в мастных производных, метод согласования (сращивания) асимптотических разложений, методы теории экстремальных задач и методы оптимизации, методы теории оценивания (априорные оценки, оценки интегралов) и др.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми и дополняют существующие теории оптимального управления, некорректных задач и асимптотических разложений решений бисингулярных задач. Среди полученных результатов отметим следующие.

1. Для абстрактной линейной задачи оптимального управления в условиях неопределенности, неустойчивой относительно возмущения множества исходных данных, предложен и обоснован метод регуляризации, обобщающий метод регуляризации А.Н. Тихонова. Показана устойчивость этого метода относительно конечномерных аппроксимаций, включая дискретную аппроксимацию.

2. Для абстрактной нелинейной задачи оптимального управления, неустойчивой относительно возмущения множества ограничений, предложен и обоснован метод регуляризации, обобщающий метод невязки. Исследована оптимальность предложенного метода.

3. Для линейной задачи быстродействия с гладкими ограничениями и малым возмущением начального вектора, приводящим к качественному изменению оптимального управления, найдена и обоснована асимптотика времени быстродействия и начального вектора сопряженной системы. Показано, что указанные величины не могут быть разложены в ряд по рациональным функциям малого параметра и логарифма от него.

4. Исследованы Два класса задач оптимального управления решениями задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа, бисингу-лярно зависящих от малого параметра. Построены равномерные асимптотики оптимального управления и состояния в этих задачах.

5. Доказана разрешимость нетрадиционных задач для систем уравнений в частных производных, возникающих при описании членов составных разложений в пограничных слоях и в окрестностях угловых точек. Введены специальные классы функций, позволяющие описать асимптотическое поведение членов составного разложения.

Теоретическая и практическая ценность. Изложенные в диссертации методы и установленные результаты имеют теоретическое и практическое значение для математической теории оптимальных

управляемых процессов, общей теории дифференциальных уравнений с малым параметром, теории некорректных задач, теории построения асимптотических разложений бисингулярных задач. Работа носит конструктивный характер. Разработанные в ней методы алгоритмичны и допускают численную реализацию. Результаты качественного анализа, на которые опираются алгоритмы, имеют и самостоятельное значение.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференциях и семинарах: Воронежской зимней математической школе (1990), Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения" (Кемерово 1990, Воронеж 1993), международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках (Москва 1991), Всероссийских научных конференциях, посвященных памяти В.К.Иванова '.Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" (Екатеринбург 1995) и "Алгоритмический анализ некорректных задач" (Екатеринбург 1998), Втором международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск 1993), международной научной конференции "ДИУ-99" (Челябинск 1999), семинаре отдела уравнений математической физики ИММ УрО РАН, (руководитель чл.-корр. РАН проф. А.М.Ильин), семинаре отдела динамических систем ИММ УрО РАН (руководитель проф. В.Н.Ушаков), на семинаре кафедры математического анализа УрГУ (руководитель проф. И.В.Мельникова), на семинарах в ПОМИ (руководитель проф. Бабич В.М.) и МГУ (руководитель чл.-корр. РАН проф. Кряжимский A.B.) и др.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1 - 23]

Работы [18 - 22] написаны совместно с научным консультантом А.М. Ильиным, а работа [23] - с Л.Г. Корзуниным. Результаты этих работ получены совместно с указанными соавторами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих 19 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 303 страниц; список литературы насчитывает 239 наименований.

Автор выражает свою глубокую признательность научному консультанту чл.-корр. РАН А.М.Ильину за внимание к работе, поддержку и обсуждение полученных результатов.

Автор благодарен д.ф.-м.н. проф. Е.Ф.Леликовой за полезные заме-

чания и обсуждение результатов четвертой главы.

Автор благодарит всех участников научного семинара отдела уравнений математической физики ИММ УрО РАН за благожелательность и конструктивность при обсуждении данной работы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается общая характеристика рассматриваемого в диссертации круга вопросов, определяется цель работы, даются историко-библиографические справки, приводятся ссылки на основные работы и дается краткий обзор основных направлений, к которым примыкает диссертация, сообщаются сведения о публикациях и апробации работы. Кратко характеризуется основное содержание работы, описываются подходы к решению задач.

Первая глава (п.1 - п.4) посвящена построению регуляризаторов для задач оптимального управления в условиях неопределенности, исследованию оптимальности этих регуляризаторов и их устойчивости относительно конечномерных аппроксимаций, включая дискретные аппроксимации. Основные постановки таких задач и условия их разрешимости принадлежат представителям уральской школы оптимального управления (A.B. Куржанский, Б.И. Ананьев, М,И, Гусев, И.Я. Кац, А.Г. Кремлев, И.О. Никонов, И.Ф. Сивергина, Т.Ф. Филиппова).

Здесь рассматривается абстрактная (операторная) постановка таких задач с оператором обработки множества исходных данных неустойчивым относительно возмущения этого множества. Такая ситуация имеет место как для задач, описывающихся с помощью дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, когда соответствующий оператор неограничен, так и для задач, в которых ресурсные ограничения являются существенными для разрешимости задачи управления без учета оптимальности.

В п.1 рассматривается следующая задача оптимального управления 1

Uq := Arg inf sup <p{Gu + Tf), (1.1)

ueu fefо

где

1 Нумерация формул, лемм, теорем и т.п. соответствует нумерации этих формул, лемм, теорем и основном тексте диссертации.

G - замкнутый линейный оператор из Е -пространства управлений. U в некоторое рефлексивное банахово пространство Z,

U С D(G) - слабо замкнутое множество допустимых управлений,

Т - линейный неограниченный оператор из линейного нормированного пространства исходных данных F в Z,

Fq С D(T) - множество исходных данных, такое, что T{Fq) ограничено,

<р - неотрицательный выпуклый равномерно непрерывный на Z функционал такой, что

lim*?(z) = +oo. (1.2)

Напомним, что банахово пространство U называется Е-пространстп-вом, если оно рефлексивно(строго выпукло и в нем выполнено условие Ефимова-Стечкина:

эс„-^х0к ||х„||—► ||хо|| —>х0.

Предполагается, что

Fq есть множество линейной равномерной регуляризации для оператора Т, то есть существует семейство линейных ограниченных операторов {Та : 0 < а < ао}, таких что

-foc > т]{а) := sup \\Tf-Taf\\ —>0при а—►О. (1.4)

/е/'о

Пусть задача (1.1) разрешима, то есть Uq ф 0, но вместо Fq нам известно множество Fs, такое что

d(F,Fs).<6, где d(-, •) - псевдометрика Хаусдорфа, то есть

+ + (1.5)

Здесь В[0,6] - замкнутый шар радиуса 6 с центром в точке 0.

Требуется по Ft и <5 построить приближенное решение задачи (1.1), а каком-то смысле близкое к множеству точных решений Щ.

Приближенное решение задачи ищется как решение следующей задачи оптимального управления

U(a, 6) := Arg inf sup tp(Gu + Tafs) (l.C)-

u£U heFt

при некоторой связи параметров а и 8.

Показывается, что если Ы ограничено, то задачи (1.1) и (1.6) разрешимы и задача (1.6) регуляризует задачу (1.1) в слабой топологии:

Теорема 1.1. Если Ы ограничено, а параметры а и 6 связаны а = а(6) так, что

а{6)—>0 иб-||Тв(5)||—+0 при 6—>0, (1.11)

то для любой последовательности {<5„ } : 0 < 6п —> 0 произвольная последовательность

{ип} : ип еИ(а(бп),8п)

слабо предкомпактна и все ее слабые частичные пределы лежат в В частности, если 11$ — {щ }, то ип щ.

При этом показано (пример 1.1), что в общем случае задача (1.6) не регуляризирует задачу (1.1) в сильной топологии.

Введя еще один параметр регуляризации, строится задача, аналогичная задаче (1.6),

Ща,р,6) := А^шШНиН + вир у(Си + Г0/«)) = иег/ дел

(1.13)

= Аг6ШФ(<?«,М) + /?|М|),

и£М

где 0 < /3, которая регуляризирует задачу (1.1) уже в сильной топологии пространства II :

Теорема 1.2. Если параметры а, ¡3 и 8 связаны соотношениями а — а(6),/3 = (3{8) так, что

Нта(6) - 0, Нт/3(6) = 0, Нт = 0, (1.14)

¿¡_0 х ' «-о к ' б—>о ¡3(8)

то для, любой последовательности { 6„ } : 0 < 8п —> 0 произвольная последовательность {и„} : и„ £ Ы(а(8п),[3(8п),8п) предкомпактна и все ее частичные пределы лежат в Ыа-

В частности, если Ы^ = { щ }, то ип —► щ.

Здесь Ф(а, <5) := ш(6 ■ ||Та ||) + а;(г/(а)), а и -модуль непрерывности функционала либо его монотонная бесконечно малая в нуле оценке.

В случае гильбертого пространства и самосопряженности оператора Г для трех стандартных регуляризаторов оператора Т найдены явные

соотношения вида а = 6" и ¡3 — 6Ь, обеспечивающие выполнения соответствующих условий теорем 1.1 и 1.2.

В случае, когда задача (1.1) порождена динамическим управляемым процессом, описываемым следующей линейной системой в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н :

[ х = Ах + Ви, 0 < t < 1, и(-) е U,

(1.31)

( х(0) = хо,

где В - линейный ограниченный оператор из гильбертова пространства U в Н, а линейный оператор А, действующий в Н, порождает компактную самосопряженную полугруппу { S(t) : t > 0 }, и требуется найти множество всех переводимых под действием некоторого (одного для всех) управления и{-) £ U в множество Fq в момент времени t = 1 : х(1) := f £ Fq, регуляризаторы этой задачи, построенные при помощи стандартных регуляризаторов оператора Т, выписываются в виде соответствующих задач управления для новых "регуляризован-ных" систем.

Например, если Та = Т(Е + а ■ Т)-1, то регуляризованная задача (1.6) имеет вид задачи управления

1х = Ах + Ваи, 0 < t < 1, и(-) € И,

х(1) + а®(0) = / eFs. с функционалом качества

J(u(.),a,6) = sup ||i(O;/,u(-))-ar0||, (1.44)

f€F,

где BQ — В + aS(—l)B.

В п.2 рассмотрены конечномерные аппроксимации задач (1.6), (1.13) как внутренние (типа проекционных), так и внешние (в терминах дискретной сходимости). Исследования конечномерных и дискретных аппроксимаций регуляризующих алгоритмов для операторных уравнений проводились в работах В.В. Васина, В.П. Тананы и автора диссертации. В этих работах получены условия аппроксимаций, обеспечивающие сходимость решений аппроксимирующих задач к решениям исходных. В настоящем исследовании эти условия дополняются условиями аппроксимации как множества исходных данных, так и множества допустимых управлений.

Условия внутренней аппроксимации взяты в следующем виде: заданы последовательность замкнутых линейных операторов { Gn } из U в Z, последовательность ограниченных линейных операторов { Г„ } из F в Z, последовательность слабо замкнутых множеств {Un } такая, что Un С D(Gn), и последовательность множеств { Fst„ } из F такие, что

V/ € F6 3{ /„ } /„ € & Tnfn —»Taf, (2.4)

V{/„}:/„ € FM3{7„} С ii ||Г„/П-Г07П||—►О, (2.5)

\/uGU3{u„} u„ 6 W„&u„—>ukG„un—>Gu, (2.G)

пара ((¿/,G),(Un,Gn)) слабо секвенциально замкнута, то есть

и„ eUnkun -^nScGnu„ =Ф- й £ U¿¿z = Gu. (2.7)'

В качестве приближений задач (1.6) и (1.13) рассматриваются решения следующих задач:

Un :=Arg inf sup ip{Gnu + Tn/), (2.1)

ием„ /ei's.n

M„ :=Arg inf (/3|| u ||+ sup ip{Gnu + Tnf)), (2.2).

neu„ /6 П,„

соответственно.

1 2 Показано, что Un аппроксимирует U(a,6) в слабом смысле, a Un

аппроксимирует И(а,8,/3) в сильном. Здесь же приведены достаточные условия, обеспечивающие выполнение условий аппроксимации.

Общие теоремы о внутренней аппроксимации задач (1.6) и ((1-13) конкретизируются на случай проекционных методов.

Поскольку доказательство сходимости аппроксимаций существенно опирается на свойства слабой сходимости и так называемое условие Ефимова-Стечкина, то рассмотрение дискретных аппроксимаций предваряется доказательством аналогов соответствующих фактов о слабой дискретной сходимости.

Эти результаты для общего случая двойственности дискретных аппроксимаций получены автором совместно со своим учеником Л.Г. Кор-зуниным. Отметим, что определение слабой дискретной сходимост.' для гильбертовых пространств было дано В. Маргелем и Г. Вайник-ко, а результаты, близкие к изложенным в этом пункте диссертации, получены также В.В. Васиным.

В п.З рассматривается регуляризация задачи оптимального управления, некорректность которой проистекает из-за возмущения множества ограничений. В абстрактной постановке она имеет вид: в задаче оптимального управления

¿/0(F0):=Argmf{ J(u) : u 6 W, Gu € F0 }, . (3.1)

где G - секвенциально слабо замкнутый оператор из рефлексивного банахова пространства управлений U в некоторое рефлексивное банахово пространство F, Ы С D(G) С U - слабо компактное множество допустимых управлений, Fq С F - слабо компактное множество ограничений на состояния, такое, что G{U) П Fo ф 0, а J ~ слабо полу-, непрерывный снизу и ограниченный снизу на некоторой окрестности множества U функционал качества, вместо Fo известно другое слабо ломпактное множество Fi, такое, что d{F(, Fq) < 6, где d(-, •) - псевдометрика Хаусдорфа, и требуется по (F,s,<5) построить некоторое приближение решения задачи (3.1). Поскольку задача

Un(F6) Arginfj J(u) : u6U, GueFs},

пообще говоря, не приближает задачу (3.1) даже по функционалу (пример 3.1), то имеет место некорректность задачи (3.1).

В качестве задачи, регуляризующей задачу (3.1) относительно возмущения множества Fo, рассматривается следующая задача оптималь-. ного управления

U(6) := Arginf{ J{u) : и & U,Gu€ F6 + В[0,6] }. (3.4)

Показано, что эта задача регуляризует исходную по функционалу (теорема 3.1), а в случае, когда функционал J обладает на U Е -свойством (например, J(u) = ||u|| на Е -пространстве), то имеет место I? сильная регуляризация

Теорема 3.2. Если функционал J обладает на U Е-свойством, то .мдача (3.4) регуляризует задачу (3.1) в сильной топологи , то есть \гя любой последовательности {¿(п)} : 0 < <5(п)—>0 произвольная последовательность { и„ } : ип 6 U(6(n)) предкомпактна и все ее предельные точки лежат в Uo(Fq).

Далее здесь же рассмотрен вопрос об оптимальности рассматриваемого метода и найдено множество задач, на котором этот метод будет оптимальным по порядку.

Отметим, что вопросам оптимальности методов регуляризации для операторных уравнений посвящены исследования многих авторов (A.JI. Агеев, В.В. Васин, В.К. Иванов, В.Н. Страхов, В.П. Такана и ДР-)-

Завершает эту главу (п.4) построение регуляризатора задачи управления, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений с ограничениями па состояние, идейно примыкающее к п.З, но отличающееся от него некоторыми условиями.

В главе 2 (п.5 - п.7) рассматривается асимптотика решения задачи быстродействия для линейной автономной системы относительно возмущения начальных данных или целевого множества.

Задаче быстродействия посвящено значительное количество работ включая работы основоположников теории оптимального управлен:ы. В этой задаче для линейной автономной вполне управляемой системы-принцип максимума Л.С. Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности. При этом, если множество ограничений на управление есть выпуклый многоугольник, то оптимальное управление кусочно постоянно.

Возмущения этой задачи рассматривалось либо в постановке "быстрые" - "медленные" переменные, либо при возмущении начальных условий при оганичении на управление в виде многогранника (A.A. Бе-лолипецкий, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриев, А. Дончев, А.И. Калят-:;:. Ю.Н. Киселев, А.Г. Кремлев, П.В. Кокатович, Г.А. Курина, А.Ю. Рябов и др.), что не меняет качественного вида оптимального управления. Ситуация, когда множество ограничений гладкое, а предельные начальные условия порождают разрывное управление, не изучалась.

В п.5 построено асимптотическое разложение времени быстродействия и оптимального управления в задаче, когда управлением служит сила, ограниченная по величине:

f ¿1 = хз,хг = хА,хъ = iii,ij = их uf + u2 < 1, \ x{t0) = (0,1, e, v)\ x{d) = 0, (t? - fo) —► min,

и для предельной задачи Ц < 0 < i30p<,o- При этом в точке 0 оптимальное управление предельной задачи разрывно.

Здесь и в дальнейшем символом * обозначается операция mvaucn: ■ нирования матриц и операция сопряжения линейных операторов.

Поиск асимптотики оптимального управления в этом случае сводится к нахождению асимптотики вектора начальных условий для сопря-

женной системы. Координаты этого вектора и время быстродействия удовлетворяют системе уравнений, зависящей от е, которая сводится к одному уравнению вида

г = (5.21)

Показано, что координаты искомого вектора и время быстродействия раскладываются в асимптотические ряды вида (теорема 5.1)

оо к=2

где функции сгк имеют вид

Р2к-7(е,\У(е))

IV(е) := \Уа(£а Р„ - многочлен степени п. Р-2

Следует отметить, что функция Т'Уо(^) не может быть представлена с точностью 0(62~7) рациональной функцией от <5 и 1п<5, где 7 € (0; 1).

В п.6 рассматривается общий случай нахождения асимптотики решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. В отличие от предыдущего пункта здесь не удается найти соответствующие интегралы в явном виде. В связи с чем для нахождения асимптотик подынтегральные выражения раскладываются в равномерные асимптотические ряды с помощью метода согласования разложений. Невозмущенная задача имеет вид

i = Ax + Bu, х € R", и € Rm, (6.1)

x(t0)=xQ, (6.2)

IMI<1, (6.3).

x(i9) = 0, (■в - tQ)—> min. (6.4)

При этом считается, что система (6.1) вполне управляема, задача (6.1) - (6.4) разрешима,

rank(i?) = m € [2, п — 1] (6.5)

и л;о таково, что оптимальное управление имеет единственную точку разрыва при 1 = 0 € (¿о; $о).

Исследуется асимптотика возмущенной задачи

хс = Ахс + Вщ, ||и|| < 1, (6.12)

х€((0) = х0 + еу, хс{дс)-0, - <0—»ПИП. (6.13)

Система уравнений для координат вектора /о + г(ё) начальных условий сопряженной системы и времени быстродействия имеет вид

у С(0(/о + г(е))

(о

где х0 :— -ехр(-Аг0)х0, у := -ехр(-АЦ)у, г(е) := /(е) - /0, а С(*) := ехр(-Аг)ВВ*ехр(-АЧ).

При этом, С(1) - аналитическая матрицезначная функция, при всех < матрица С(<) неотрицательная самосопряженная и коэффициенты разложения подынтегрального выражения по степеням <5 ||г|| имеют нарастающие непнтегрируемые особенности ь нуле. Для построения равномерного асимптотического разложен ял подынтегрального выражения применяется метод согласован!!;:, с- результате приходим к систем-"

- - *°М*)С(*)Г - {г'Ст)С№ Яг - (г,?о)Го\ _

£У ~ I ( Щ ) (П+

+ 2(^7)7+^Д^гЬ-^ (6-36)

с ' ($о) q{r)

+ Я,(г,Д0)+Я2(г)

9(г)

где д{р):=р'Яр - {р*ЯАЧй)\ 10:=<2А*10, - 0„, 7 - 4т0|*0|,

(¿:=ВВ*, а Н1(г,Ав) и Яг(г) - аналитические функции своих аргументов, имеющие в нуле второй порядок малости.

К этой системе, с учетом однородности относительно вектора Цо+г),-добавляется еще одно равенство

грусть _ п ' г« чт^

На следующем этапе возникает проблема разрешимости системы нулевого приближения. При некоторых дополнительных условиях на матрицы системы, а именно

[ если В*11 - B*h = 0 и В*е-А'Ч1\\В*е~А'% < при каждом t из некоторого промежутка, (6.42)

[ содержащего 0, то и /1Ц/2,

показывается разрешимость как системы нулевого приближения, так и общей задачи и находятся асимптотические разложения изучаемых величин, имеющие вид (теорема 6.1)

¿-=о w (,£)

где Rk ~ рациональные вектор-функции своих аргуменов и

Rk(e,W(e),ln-±-) = 0(ek). Здесь W(e) - решение уравнения

m—1 -г'2

Л у 1'____1 — П

к ~ '

где г,- и 7,- однозначно определяются параметрами системы и векторами хо, /о-

Завершается п.6 примерами, показывающими существенность сделанных предположений.

Результаты пп. 5 и 6 получены автором совместно с научным консультантом A.M. Ильиным.

В последнем п.7 этой главы рассмотрена асимптотика решения задачи быстродействия при малом возмущении целевого множества

х = Ах + Ви, х € R", и е Rm, I] u II < 1, (7.1)

x(t0) = х0, (7.2)

х(г>) €£-B[y,l],(ti-t0) —>min. (7.3)

в предположении, что система (7.1) вполне управляема, а задача (7.1) - (7.3) разрешима при г = 0 и оптимальное управление для предельной задачи имеет единственную точку разрыва t.

Показано, что в этом случае асимптотические разложения имеют вид, аналогичный виду разложений рассмотренных ранее задач.

В третьей и четвертой главах метод согласования асимптотических разложений применяется для построения равномерных асимптотических разложений решений задач оптимального управления ре-

шениями задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа с управлением, распределенным в области, и квадратичным критерием качества. Для таких задач Ж.-Л. Лионсом получены необходимые и достаточные условия оптимальности, которые, при выбранном виде ограничений на управление, приводят к задаче Дирихле для системы двух уравнений эллиптического типа, зависящей от одного скалярного параметра, с дополнительным интегральным соотношением. Асимптотика таких задач почти не изучалась. Здесь можно отметить работы В.Е. Капустяна, в которых рассмотрены задачи, аналогичные задачам из четвертой главы, но в областях с гладкой границей и иным множеством допустимых управлений.

В третьей главе (п.8 - п.11) рассмотрена задача, сингулярность которой проистекает из-за наличия в рассматриваемой области малой полости. Уже для краевых задач эллиптического типа это приводит к необходимости рассмотрения пограничных слоев степенного роста. Рассматриваемая в этой главе задача имеет следующий вид:

[ Сус{х) = f{x) - щ(х), х е пе, уе е Щ(пе),

I Jr.{ue) := j(y}c(x) + i;-u2c{x))dx—>inf, u£€Ue.

Здесь П С It.3 ограниченная область с гладкой границей (класса С°°) 0Q, содержащая начало координат О; Slc := Q \ е ■ со, где е > 0 - малый параметр; и> аналогичную область такая, что О G ш и R3 \ ш связно;' ij > 0, Hq(Qc) - соболевское пространство функций, равных нулю на границе <9Г2С,

C-vt ^ ("''^f^) ~ ' Уеу ^aij = aji^ /, aij, а0 G С°°(П), а0(х) > щ > О при х eft,

£ аф) ■ 6 ■ 0 > т{(1 + $ + й) при всех £ (т)2 > 0), .'¿=1

Ut :={ «е(.) € ь2(Пе) : / и2е(х) dx < R2 }. я.

В п.8 показано, что данная задача эквивалентна следующей задаче-Дирихле для системы двух уравнений, зависящей от скалярного параметра Хс :

í Cye + uf = /, Cuf - \e ■ yc = O, ye, uf €

j (I _ л£) • (R - |\uf ||e) = O, ||uf ||e < i?, O < Л£ < \¡v. (8'9)

и

A£ —> A0, ye —► yo, U°£vi —► u0 при £ —»Ó, Hl(0) НЦП)

где Л o, у о и и o - решение предельной задачи

I Суо + но = /, ~ А0 • yo - 0, 2/о, Щ €

) - А0) ■ (Я - |Ы1) = 0, || «о II < Д, 0 < А0 < 1/и. (8Л0)

Здесь

|| и || :=(и, и)1?2, (u,v):=J u(x)v{x)dx.

n

В лальнейшем предполагается, что Aq < 1 ]v и, тем самым, 11 ис 11 = R при псех достаточно малых е.

Здесь же показывается, что формальное асимптотическое разложение решения указанной задачи Дирихле, действительно является равномерных асимптотическим разложением.

Теорема 8.2. Пусть для некоторого а > 0 функции у(х),и(х) G С°°{Пе) и А(е) удовлетворяют следующим соотношениям

Су+ и- / = о(е°), хеПс (8.24)

Си - \{е)у = о(е°), (8.25)

у(х) = о(е°), и{х) = о{еа), х g dP.t (8.26)

/ u2(x)dx - R2 = о(еа) ' (8.27)

при £—»0 в смысле метрики пространств C2(Qe), C2(dQç), соответственно, а

А(с) - А0 = о(1), у(х) - у0(х) = о(1), и(х) - и0(х) = о(1) (8.28)

при г —>0 в смысле метрики Тогда

\{е)-\ с=о(£а), у(х)-уе(х) = о(£а), u{x)-uf(x) = o(£°) при с -—> О а метрике пространства С(С1£).

В следующем п.9 рассмотрены структуры внешнего и внутреннего (в окрестности малой полости) разложений при фиксированном А(г), найдены асимптотические поведения этих разложений в общих подобластях и методом согласования построено равномерное в области асимптотическое разложение решений рассматриваемой системы. Отметим, что хотя задачи для нахождения коэффициентов обоих разложений подобны случаю краевой задачи для одного уравнения, однако, при рассмотрении краевой задачи для системы уравнений класс коэффициентов меняется в связи с попаданием на спектр стандартной задачи.

Таким образом, в этом случае асимптотика коэффициентов разложения имеет логарифмические составляющие, что приводит и к ал; не асимптотической последовательности - вместе со степенями малого параметра здесь появляются и логарифмические члены: внешнее разложение ищется в виде

оо к-2

У(х) = Е^ЕюМЬ'е (9.1)

к=0 /=0 оо к-1

ОД = £ г* !>,,(*) ln'e (9.2)

к=0 1=0

со к-2

Л(е) - (9.3)

к=0 1--0

а внутреннее разложение для функций z(£) :=у{е£) и и(£) :—и(е£), где £ (2: = - внутренняя переменная, - в виде

оо ¡-2

2(0 = £ г,>(ОЬте (9.4) '

¡=0 т=0

V(í) = (9.5)

¿=0 ш=0

Функции уо,о(х), UQfi(x) и число Ао,о - это решение предельной задачи (8.10) - уо{х), щ(х) и А0. При этом в силу сделанных предположений у0(х), и0(х) е С°°(П).

Функции ykj(x), uiij(x) и числа А^; есть решение задач

СукЛх) + иК1{х) - 0, X G гг \ {О}, ytj,utj е С°°(П\ {О}), CukJ{x) - А0Ук,1{х) = \к0о{х) + gkj(x), (9.6)

УкЛх) = 0 = Ukj(х), X е дп,

где

к-г

9кЛх) = £ Ц К<гУк->,1-Ах) -

5=1 с

полностью определяется предыдущими уравнениями, а функции 2,- т и

■<Л\т -

Дго,о(0 = 0, Дзд.оЮ = о, С 2 ш (9.9)

\ Ду,.0(|) = И) + £>)Но(£) ' * * ^ ;

(9.11)

+ - "¿-2,т(0 + /.-2,т(0»

5 = 1

¿-2

+ Ф«-2,о(ОМ-*,т(0 + Е Е ' 2.-2-«,т-г(0> £ £ ^

с граничными условиями

*,>(£) = о = «,>(£). при £ 6 и. (9.2)

Здесь - многочлены от х = (ж1,Х2,.тз) и £> =

однородные степени г по £ и степени j по О (при этом оператор И действует раньше умножения).

Показано, что у этих систем имеются согласованные решения, рас-складывающиеся в асимптотические ряды при х —► 0 и при £ —» оо соответственно по функциям вида \х\~к Рь+а(х) 1пт |а:|, где коэффициент при 1пт |:г| есть однородная функция порядка а.

Для нахождения коэффициентов разложения функции А(е) используется условие связи ||м£|| = Я. В п. 10, учитывая структуру равномерного асимптотического разложения функции ис, удается найти вид асимптотического разложения величины || ис ||2, который порождает систему уравнений для определения коэффициентов разложения функции Х(е) :

E'eVfc + 0(ea) = 2 £ / u0(x)Uk(x)dx+

1=3 4=1^

N

+ 2£ / uo(x)Vk{x/e)dx+ (10.6)

ь=0п,

+ / (V0(x/e) + £(№) + VkUe)fdx. a, ь=1

Основная трудность здесь заключается в нахождении асимптотического разложения интегралов по области [}£ от произведения функций, зависящих от разномасштабных аргументов х и х/е.

Для построения соответствующих разложений применяется метод введения вспомогательного параметра, разработанный автором на основе следующего утверждения:

к

Лемма 10.4. Пусть F(e,fi) = £ a6/ia'£6' lne' /ilnd' e,

5=1

где cs, ds G N U {0}, a] + с2 ф 0 при всех s.

Если /(e) такова, что /(e) = F(z,n(e)) +o(ea) для всех

fi{e) G {ер+Яо-,£р-ч°), то /(e) = o(ea).

В п. 11 завершается построение равномерных асимптотических разложений решения исходной задачи. Определение коэффициентов разложений идет последовательно: на каждом этапе сначала по предыдущим коэффициентам определяется Aj.;, а затем соответствующие коэффициенты внешнего и внутреннего разложения функций ие и ус.

В четвертой главе (п.12 - п.19) рассматривается следу ющая задача оптимального управления:

i Ссг(х,у) - f(x,y) - и{х,у), (х,у) € Q, z G

| Je(u) := J (z2(x, у) + v ■ и2(х, у)) dx dy —> inf, u6W,

l Q

где и > 0, Г2 = (0; 1)х(0; 1), Hq(Q) - соболевское пространство функций, равных нулю на границе ОН,

dz

C.tz := е2Дг - 6(xW--а(х, у)z,

_ оу

/, а € C°°(fï), а(х, у) > А > 0 при (х, у) G iï, .

b G C°°([0; 1]), b(x) > В > 0 при x G [0; 1],

W:={u(')£L2(il) : || u ||2 := / i/2(x, y) dxdy < R2 }.

В п.12 показано, что данная задача эквивалентна следующей краевой задаче, зависящей от скалярного параметра:

(12.2)) (12.3)

Coz:=-b{x)^- - a(x,y)z - f - и, z(x,0) = 0, cly du

■ £gu:=b(x)---a(x,y)u = Xz, u(x, 1) = 0. (12.4)

.(д-||и||) = 0,||«г|| <R, 0 < Л < 1/f.

Если ресурсные ограничения по существу, то имеет место следую-, щая теорема

Теорема Хс —» Ло, z€ —zq, ut —-+ щ при e —» 0, где Aq, ло

ищ - единственное peuiemie задачи (12.4) с таким Ло, что || щ || = R. При этом || и€ || = R для всех достаточно малых £ > 0.

Здесь же доказывается теорема, аналогичная теореме 8.2 о том, что формальное асимптотическое разложение решения указанной задачи Дирихле, действительно является равномерным асимптотическим разложением.

Теорема 12.2. Пусть выполнены условия Теоремы 12.1 и для некоторого а > 0 функции ze,üc G C°°(fi) и Хе удовлетворяют следующим соотношениям

' Cze + ûe-f = 0(£а), С*йе - Xtzc = о(еа), (i,у) G О, - ге{х,у) = 0(£а), щ(х,у) = о(£а), (х,у) 6 дП, (12.29)

. ||йе|| = R + 0(£°)

при £—►О в смысле метрики пространств С2(П), С2(сШ), соответственно, a Ае — Ад = о(1), zc(x) — zq(x) = 0(1)1 йЕ{х) — щ(х) = о(1) при s—>0е £а(П).

+ ис = /, С*и€ - Хс ■ = 0, г£, щ £ Н0(П), 1Ы1<Л. (^-Ле).(Л-||ие||) = 0, 0<Ае<1/^, -

где ^

С*и :— £2Аи + --а(х1 У)и-

Предельная задача в этом случае имеет вид

Тогда Лг - Л£ = о(<г°), =с - ze = о^"1), uf - щ = о^0"1) при £' —> О в С(П).

В п.13 строится внешнее разложение указанной системы. В отличие от случая одного уравнения (A.M. Ильин, Е.Ф. Леликова), здесь возникают два экспонециально убывающих слоя, примыкающие к горизонтальным границам:

out

U

оо к-2

*=0 1=0 out °° i*-2

"■(я. г/) = Е^ + + (13Л)

к=0 1=0 оо ¿—2

А, = Е £ £ At.fln'e, ¿=о /=о

где т?_ := у/е2, 7?+ :=(1 - у)/е2, a 20i0 := z0, u0,q := щ, А0,о := А0.

Аналогичная ситуация встречалась в работах Л.А. Калякина.

В окрестности вертикальных границ возникают так называемые "параболические" пограничные слои, в которых коэффициенты разложения определяются из уравнений параболического типа. Однако, в отличие от случая одного уравнения, здесь возникает система двух уравнений, каждое из которых (по главному символу) являются параболическим, но сама система таковой не является ("времена" в этих уравнениях направлены в разные стороны). При этом и здесь появляются свои экспоненциальные пограничные слои вблизи горизонтальных границ:

2 д2 гк,1 д гк,1 . , , % 2 . тр /> \ V ги := -д^---д-1- - л0(у) гк,1= - ик,1 с, у),

2 2

V* := ^^ + ^ - МУ) ии= Ао к,, +С*,,«,у),

2 2 У 2 (14.3)

Здесь П :=(0; +оо) х (0; 1), ^,/(С,2/), ^/(С,у) и С^(С,2/) од-

позначно определяются предыдущими членами и все системы связаны

общими условиями

(о)3/)+ (о, у) М+и1У (о,у), о =1*., (С, о)+ (С, о) =гк,1 (С, 1)+ ¿£, (С, о), (14-5>

О (С,о)+ £?ь", (С, о) =ии (С, 1)+ М).

Здесь - общее обозначение для и . Аналогичные обозна-

чения применяются и в дальнейшем.

Используя энергетические оценки и аппроксимацию задачи в неограниченной области задачами в ограниченных областях, показывается разрешимость следующей стандартной задачи

РУГ + У = Еи Г*У - \q-\V = [С,У) 6 П 0 = ИЧО.у) = 7(0 ,у) = Щ<,0) = У( С, 1),

(14.9)

-К

где Рий 1 6 С°°(П) П С^П) и |С?г| < К\ ■ е

в С«(П) :={ г(С,у) 6 С(П) : вир тах |е*с • Я(С,у)| < +<х> } при

(>0 0<У<!

6 < ¿о :=тт{ -у, л/А }/2. (теорема 14.1).

Поскольку коэффициенты этого внутреннего разложения имеют особенности в угловых точках и однозначно не определяются, необходимо изучить поведение решения исходной системы и в окрестностях этих точек.

Изучение вида решений исходной системы в окрестности угловых' точек проводится в п.15 - п.17.

В п. 15 рассматриваются общие свойства систем уравнений, описывающих коэффициенты разложений в окрестностях угловых точек. Например, в окрестности точки (0; 0) асимптотика функций

«Г(£, г]) := г;£(е2е, е2г]), 77) := е2т])

ищется в виде

00 к *~2 1 и' = £ £ £ / 1п' V

оо к-2

(15.2)

к=0 /=0

¿=0 ;=о

и система для коэффициентов разложения имеет следующий вид

щД, л) = ч) = о, (£, г/) е д<*>.

(15.3)

где и :=(0; оо) х (0; оо),

ОТ]

Рк,1 = Е + Е V) ■ Щ-2-2*:,1 -

- ь~к — 2,1 + /¿",

5=1 «=0

«,<т=0

{ Ьа } - коэффициенты ряда Тейлора функции Ь(х) при х —> 0, { г])} - однородные многочлены - дифференциалы соответствующего порядка в точке (0;0) функции а(х,у),

{1'7т } ~ однородные многочлены степени тп - дифференциалы порядка ш в точке (0; 0) функции /(а:, у), а /¿^+1 — 0-

Здесь снова, по сравнению со случаем одного уравнения, возникает затруднение, связанное с тем, что у задачи

Ь+у(£,т}) = 0, (£,77) € «, ь>{£,г,) = 0, € ди (15.7)

в классе медленно растущих функций имеется бесконечно много решений. Ядро соответствующего линейного оператора состоит из функций вида + /?(£,г}) • е~'1, где (¿{£,т]) и Я(£,т}) согласованные друг с

другом многочлены.

В следующем п.16 находится вид решений задач Ь~ы — р, Ь+1> — д с правыми частями, порождаемыми решениями подобных задач. Сначала получен вид решений для правых частей вида Р + ф • е"ц. Эти решения уже для первого уравнения кроме слагаемых такого же вида и экспоненциально убывающих членов содержат слагаемые с асимптоги-

оо

кой вида ги = £ ?/<т-8)/2-Ф5(0), при г/ —> оо, где в = а Ф8 е С°°[0; со]

5=0 ^

И |Ф.(0)| < Ке-е

Затем вводятся и изучаются три класса функций, призванные обеспечить решение системы (15.3) с правыми частями указанного вида. И опять, в отличие от случая одного уравнения, появляются логарифмические множители.

о

Классы В и его расширение ВТ:к предназначены для удовлетворения граничных условий вида т]г 1п* ц при £ = 0.

Функции из этих классов связаны с решениями задачи

где щ, Ц := ^ + При этом функции из Вг,к имеют вид

г?г/2 • Е • ЬЧ

Решение уравнения Ь+ь = / € Вгд. из класса Вг+2,к при £ = 0 име-

о

ет вид т]г/21п г]. Функции классов В+ и призваны убрать невязку такого вида на границе £ = 0.

Эти функции связаны с задачей — 0, У(0,т]) = гV- медленного роста. При этом, если п нечетно, то у рассматриваемой задачи нет решения вида т}"/20(в), и необходимо рассматривать функции

к

более сложного вида т]г!2 £ в) 1п5 т].

«=0

о

Функции классов В+ и В*к ликвидируют невязку на границе £ = 0,

о

но привносят свою степенную невязку при 7? = 0. Классы В* и его расширение В* призваны ликвидировать эту новую невязку. Они связаны с решениями задачи

= 0, 1У(0,77) = 0, 0) = Г1П* ^, £ > 0,

С помощью построенных классов функций в п.17 получен вид асимптотики коэффициентов разложений в угловых точках на основе следующей теоремы

Теорема 17.2. Пусть Г £ С°°(и) и имеет при £ + ц —► +оо асимптотическое разложение вида

оо оо оо оо

F=Y,fs+ е /; + Л 6 В-,,к, Л+ е и /;,<?; е в*_я<к, а

ос оо оо оо

£ «/,+ Е Е < +

«=а+2 1=а+-+2 г=а-+2 $=0

где 7оь £ В^^ь, ги^ £ к, и Е ВЦв к, - ф.а.р. задачи

Ь+ю = Г, г^а, = 0 (17.2)

при £ + г] —> + оо, в следующем смысле

£"( Е О- = +

ь-{ Е Е Л+ = о((£ + чГ'Ч

«=ог++2 5=л+

е «о - Е /; = г?)-^), «=£>•+2 1=0'

£"( Е «С) - Е<?1 = 0((£+

00 со

( Е Е Е + = +

«=а+2 5=а++2 5=а"+2 «=/?

Тогда существует IV - решение задачи (17.2), имеющее при £ + т] —► +оо следующее асимптотическое разложение

оо оо оо оо оо

и> = Е + Е + Е + е~п £ ¡К + Е

«=о+2 5=О++2 (=аМ2 5=/3 5=0

где £ В-3,к-

Общий вид решений системы (15.3) со степенными особенностями на бесконечности дает следующая

Теорема 17.3. У системы (15.3) при фиксированном наборе { А^; }' существуют решения { } и { vk¡} со следующей асимптотикой при

£ + т) —► :

1. Если к — 4т + 2п + 6, то

+ =+(■; к - 1 - 25, я) + Н*(-; к - 1 - 2а, *) + + е~чЕ*(-\(к- 4 - 4в, Л - 3 - 2в), в)), = Щ-,(к,к)) + е-"3(-,(к-2 + 36<к)) +

т

+ 2(-;М)+ £(£(•;*-2-2«,в) +

5=1

+ Н+(-; ^ — 1 — в) + + 1 -4вД:- 1 -2в),в)) +

т-1

+ Е 1-2^,5),

5=1

т е N0,«,^' 6 {0,1}, к — 6т + Зп, Х- = 4т7г + 2п. 30

Здесь через к, в) обозначены функции класса Сю(ы) с асим-

птотикой при £ + г]—>+оо вида /с, я) = £ /с-, /<т С й!^1*-',

а——к '

-•(-,(к,р),8)= £ л, /„ 6 Ог^(Л) < р.

а=—к

2. Функции имеют вид, аналогичный функциям 2_;0, а и^Г; аналогичны 0.

Яр« этом функции и 0 определены с точностью до

слагаемых вида ./?(•; (2& + 1,2&+1)) +е-,,5(-; (2к+1,2к + 1)), однозначно определяемых многочленом степени к от переменной т).

Аналогичную структуру имеют коэффициенты разложений искомых функций и в окрестностях остальных угловых точек.

В следующем п. 18 методом согласования строится равномерное в исходной области асимптотическое разложение функций ге и и€ при фиксированном разложении функции \с.

В заключительном п. 19, подобно тому, как это было сделано в п. 10 и п.11, выписываются асимптотические соотношения, порождаемые последним уравнением связи ||ы£|| = Л, что позволяет итерационно построить коэффициенты всех разложений и, тем самым, завершить построение асимптотики решения исходной задачи.

Публикации по теме диссертации

1. Данилин А.Р. Об условиях сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки. // Изв. вузов. Математика, 1980, № И, с.38-' 40.

2. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т.22, № 4, с.994-997.

3. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1985, т.25, № 8, с.1123-1130.

4. Данилин А.Р. Регуляризация задач управления в условиях неопределенности. //В кн.: Некоторые вопросы теории операторов, Свердловск: Изд-во УрГУ, 1987, с.20-28.

5. Данилин А.Р. Об устойчивости методов регуляризации задач управления относительно конечномерных аппроксимаций. // В кн.: Исследования по функциональному анализу и топологии (сборник

научных труден)- Свердловск: Изд-во УрГУ. 1990, с.34-43.

С. Данилин А.Р. Метод регуляризации задачи управления с фазовыми ограничениями. // Некорректно поставленные задачи и естественных пауках. Тезисы докладов Международной конференции (Москва. 19-25 августа 1991 г.). М: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1991, с. 122.

7. Данилин А.Р. Регуляризация задачи управления с ограничениями на состояние. // Изв. вузов. Математика, 1992, № 2, с.24-28.

8. Данилин А.Р. О регуляризации нелинейных задач управления при возмущении ограничений. // Поптрягинские чтения - IV: Тезисы докладов школы. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1993, с.63.

9. Данилин А.Р. Регуляризация задачи управления динамической системой в гильбертовом пространстве в условиях неопределенности. // Дифференц. уравнения. 1994, т.ЗО, № 1, с.172-174.

10. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального управления решением задачи Дирихле в шаре с малым отверстием. // Алгоритмический и численный анагшз некорректных задач: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К.Иванова, 27 февра!я - 3 марта 1995 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1995, с.55.

11. Данилин А.Р. Регуляризация нелинейных задач управления при возмущении ограничений. // Изв. вузов. Математика, 1996. № 8, с.34-38.

12. Данилин А.Р. Асимптотика времени быстродействия при возмущении целевого множества. // Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном э тане: Материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции, 19-21 мая 1997 г. Часть 2. Уфа: Изд-во Башк.ГПИ. 1997, с.39-40.

13. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для эллиптических задач в области с малой полостью. // Алгоритмический

анализ некорректных задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К.Иванова 2-6 февраля 1998 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1998, с.79-80.

14. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингу--лярной эллиптической задачи в области с мапой полостью. // Ма-тем. сб., 1998, т. 189, № 11, с.27-60.

15. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи в прямоугольнике. /Рукопись депонирована в ВИНИТИ 31.05.99 № 1738-В99, 79 с,

16. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи управления. // Дифференициальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной научной конференции 22-26 июня 1999 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999, с.37.

17. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллипти-. ческой задачи. // Доклады академии наук, 1999, т.369, № 3, с.305-308.

18. Данилин А.Р., Ильин A.M. О малом возмущении решения линейной задачи быстродействия. // Второй международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации", Челябинск, 24-30 мая 1993 г.: Тезисы докладов. Челябинск: Изд-во ЧГУ, 1993, с.47.

19. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн., 1994, № 3, с.96-103.

20. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Доклады академии наук, 1996, т.350, № 2, с.155-157.

21. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения одной задачи оптимального управления. //В кн.: Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и их приложения. III. Дифференциальные уравнения (сборник научных трудов). Уфа: Изд-во ИМ с ВЦ РАН, 1996, с.57-67.

22. Данилин А.Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, № 3, с.905-926.

23. Данилин А.Р., Корзунин Л.Г. О двойственности дискретных аппроксимаций. //В кн.: Исследование операторных уравнений м функциональных пространствах. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1983, с.39-45.

Введение

Глава I. Регуляризация некорректных задач управления в условиях неопределенности

1. Методы регуляризации задач управления, основанные на равномерных регуляризаторах оператора динамики системы

1.1. Общий случай.

1.2. Случай гильбертовых пространств.

1.3. Регуляризация задачи управления динамической системой в гильбертовом пространстве

2. Конечномерные аппроксимации регуляризованных задач управления.

2.1. Внутренняя аппроксимация.

2.2. Проекционные методы.

2.3. Дискретная аппроксимация

3. Регуляризация задачи управления с ограничениями на состояние.

4. Регуляризация нелинейных задач управления при возмущении ограничений

Глава II. Асимптотика сингулярно возмущенных задач быстродействия

5. Управление движением материальной точки ограниченной силой.

6. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий

7. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении целевого множества.

Глава III. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах в областях с малой полостью

8. Постановка задачи и определяющие соотношения

9. Асимптотика у£ и и£ при фиксированном Л£.

10. Определяющие соотношения для А.

11. Построение асимптотик у£(х) и и£{х).

Глава IV. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных сингулярных эллиптических задачах

12. Постановка задачи и основные соотношения.

13. Внешнее разложение.

14. Первая внутренняя задача.

15. Вторая внутренняя задача.

16. Решение задач Ь~ц] — р, Ь+у = д сри д специального вида

16.1. р и д вида Р +ф • е"'7.

16.2. р и д из классов функций Б и Вг^

16.3. р и д из классов функций В+ и

16.4. р и д из классов функций В* и В* к.

17. Вид решений второй внутренней задачи.

18. Равномерная в О, асимптотика функций г(х,у) и и(х,у) при фиксированном наборе { А^/ }

19. Равномерная в асимптотика функций и£ ж Х£

Сингулярно возмущенные задачи управления

Одним из направлений современного математического анализа является изучение малых возмущений различных задач. При этом, особое внимание уделяется сингулярным возмущениям, при которых свойства допредельных задач качественно отличаются от свойств предельных.

Отметим, что малое возмущение некоторой задачи чаще всего обусловлено одной из следующих причин: погрешность исходных данных или малость тех или иных компонент в математической модели. Тип малого возмущения определяет и основные цели исследования и роль предельной задачи.

Для возмущений первого типа предельная задача самоценна, а ее возмущение - неизбежное зло, с которым надо бороться различными способами, возможно и далекими от методов, характерных для исходной задачи. Здесь главное - построить приближение исходной задачи в том или ином смысле. При этом решение вспомогательной задачи может качественно отличаться от искомого, и, в любом случае, нет необходимости находить приближенные решения точнее, чем тот уровень погрешности, который гарантируется теорией. Сингулярно возмущенные задачи такого рода характерны для теории некорректно поставленных задач.

При возмущениях второго типа, наоборот, "возмущенная" задача является исходной, требующей решения, а ее предельная - лишь удобный способ для нахождения приближенного решения исходной задачи. Поэтому здесь вопросы сходимости решений возмущенной задачи к ре-, шениям предельной - лишь первый этап, этап определения "нулевого" члена приближения, за которым следует задача нахождения следующих поправок, по возможности дающих приближение исходной задачи с наперед заданной точностью. Сингулярно возмущенные задачи такого типа характерны для асимптотической теории.

В диссертационной работе исследуются сингулярно возмущенные задачи оптимального управления обоих типов.

Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах JI.C. Понтрягина, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана ([16], [46], [183], [119], [12], [184], [120], [15]), и теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, Р. Латтес и Ж.-Л. Лионе ([199], [200], [201], [83], [84], [133], [202], [137], [87]), появившись почти одновременно, развивались во взаимном влиянии и проникновении методов и понятий обеих теорий.

Например, основные регуляризаторы, такие как регуляризатор А.Н. Тихонова ([199]), квазирешения В.К. Иванова ([83]), метод невязки ([236], [86]), являются абстрактными задачами оптимального управления. С другой стороны, многие задачи оптимального управления неустойчивы относительно возмущений данных и, тем самым, являются некорректными в смысле Адамара ([227]). Особенно это относится к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами ([18], [81], [142], [230], [231], [144], [147], [149], [185], [188]). Поэтому работы, посвященные некорректным задачам теории управления, принадлежат представителям обеих теорий. Особенно заметно это взаимовлияние в работах уральских математиков, где существуют сильные научные школы обоих указанных направлений.

Абстрактные некорректные задачи теории управления рассматривались уже в работах основоположников теории некорретных задач ([201]).

В работах Ю.С. Осипова и его учеников исследована корректность некоторых задач оптимального управления и построены динамические регуляризующие алгоритмы восстановления динамики управляемого процесса в реальном масштабе времени ([178], [124], [125], [179], [177], [112], [116], [117], [154]).

Построению алгоритмов решения задач управления и наблюдения в условиях неопределенности, многие из которых неустойчивы и требуют той или иной регуляризации, посвящены работы A.B. Куржанского и его учеников ([128], [129], [130], [131], [132], [49], [5], [4], [40], [123], [172],' [187], [210]) и И.Я. Каца ([111], [110]).

Конкретные регуляризаторы для решений дифференциальных уравнений и задач управления в банаховых пространствах строились в [221], [220].

Асимптотические методы анализа, появившиеся значительно раньше, в развитие которых существенный вклад внесли работы H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского ([17]), А.Н. Тихонова и A.B. Васильевой ([198], [28]), JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова ([183],[160]), O.A. Олейник ([174]), М.И. Вишика и JI.A. Люстерника ([38], [39]), O.A. Ладыженской ([134]), В.П. Маслова ([155], [156], [157], [158]) и др. (см. [21], [22], [24], [29], [148], [159], [161], [169], [180], [206], [213]), с созданием теории оптимального управления получили новый импульс к дальнейшему развитию и новую сферу прложения.

Одним из основных способов применения метода малого параметра к задачам управления является построение асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина и его обобщений на задачи управления системами с распределенными параметрами ([32], [181], [215], [228], [235], [25], [26], [81], [82], [147], [185], [191], [230], [144], [231], [162]).

Сингулярные возмущения задач управления часто связаны с наличием малого параметра при старшей производной в уравнениях, определяющих динамику прцесса. В этом случае у решений соответствующих систем могут появиться функции пограничного слоя. Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев, развитая в работах A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников ([29], [30], [31], [20], [19], [1]), была успешно применена и для исследования задач управления ([2], [32], [47], [48], [77], [78], [79], [114], [121], [126], [223]). Другой подход к задаче с быстрыми и медленными переменными основан на прямом опорном методе и развит в работах [49], [99], [100], [101].

Однако, в ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. В последнее время они получили название бисингулярных задач.

Одним из мощных методов построения равномерных асимптотик бисингулярных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году ([237]), а процедура согласования использовалась Ван-Дайком ([24]), Л. Френкелем ([225]) и В. Экхаузом ([224]), однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича, A.M. Ильина и их учеников ([7], [8], [9], [42], [43], [44], [88], [89], [90], [91], [92], [94], [95], [96], [97], [102], [103], [104], [139], [140], [170], [171], [173]).

Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорю-ка ([6], [152], [153], [163], [164], [165], [166], [167], [168], [208], [209]).

Трудности исследования бисингулярных задач оптимального управления решениями краевых задач для уравнений с распределенными параметрами связаны с необходимостью рассмотрения краевых задач для систем таких уравнений. Поэтому работ, посвященных таким задачам, не так много ([105], [106], [107], [108]).

Цель работы

Работа посвящена развитию методов регуляризации и согласования асимптотических разложений для исследования сингулярно возмущенных задач оптимального управления.

Методы регуляризации разрабатываются для задач в случае возмущения множества исходных данных, когда оператор невозмущенной задачи неприменим к множеству исходных данных возмущенной зда-чи. Такие задачи характерны для управляемых систем, функционирующих в условиях неопределенности ([129]).

Метод согласования в форме [92] развивается как для задач управления решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для задач управления решениями краевых задач эллиптического типа. При этом сингулярность проистекает из-за существенных качественных отличий допредельной и предельной задач.

Существенной особенностью последнего класса задач является то, что оптимальное управление и соответствующее ему состояние, описываются краевой задачей для системы уравнений с распределенными параметрами, зависящей от скалярного параметра, с дополнительным интегральным соотношением.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих 19 пунктов (нумерация пунктов сквозная) и списка литературы.

1. Агранович M.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. // Успехи матем. наук, 1964, т.19, № 3, с.153-160.

2. Акуленко JI. Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987, 368 с.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979, 429 с.

4. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. О выборе наихудших сигналов в многошаговых задачах гарантированного оценивания. //В кн.: Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности. Свердловск: УрО АН СССР, 1989, с.11-20.

5. Аникин С.А., Гусев М.И. Оценивание возмущающих сил по измерениям параметров движения. //В кн.: Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УрО АН СССР, 1986, с.19-30.

6. Аргатов И.И., Назаров С.А. Асимптотическое решение задачи Си-ньорини с малыми участками свободной границы. // Сибирский матем. журнал, 1994, т.35. № 2, с.258-277.

7. Бабич В.М. Об асимптотике функций Грина некоторых волновых задач. II. // Матем. сб., 1972, т.87, вып.1, с.44-51.

8. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.

9. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Д.: Изд-во ЛГУ, 1974, 125 с.

10. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризую-щих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1967, т.7, № 3, с.672-677.

11. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Мир, 1980, 383 с.

12. Беллман Р. Динамическое программирование. М: ИЛ, 1960, 400 с.

13. Белолипецкий A.A., Рябов А.Ю. О ветвлении решений линейной задачи оптимального быстродействия в нерегулярной точке. // Вестник МГУ, сер.15 Вычисл. матем. и киберн., 1984, № 4, с.29-34.

14. Белолипецкий A.A., Рябов А.Ю. Асимптотические оценки решений задачи оптимального быстродействия вблизи точек излома изохронной поверхности. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1986, т.26, № 4, с.521-534.

15. Болтянский В.Г. Математические методы теории оптимального управления. М.: Наука, 1969, 408 с.

16. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. К теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, т. 110, № 1, 1955, с.7-10.

17. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 501 с.

18. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, 568 с.

19. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах гиперболического типа с переходными слоями. //Дифференц. уравнения, 1986, т.22, № 10, с.1739-1744.

20. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, № 3, с.346-361.

21. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с.

22. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с.

23. Вайникко Г. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Изд-во ТГУ, 1976, 161 с.

24. Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967, 310 с.

25. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977, 623 с.

26. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981, 400 с.

27. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989, 143 с.

28. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 г.г. // Успехи матем. наук, 1976, т.31, вып.6, с.102-122.

29. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

30. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 106 с.

31. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

32. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. // Матем. анализ (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1982, т.20, с.3-77.

33. Васин В.В. Об одном проекционном методе решения некорректных задач. // Изв. вузов. Математика, 1971, № 11, с.26-32.

34. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1979, т.19, № 1, с.11-21.

35. Васин B.B. Дискретизация, итерационно-аппроксимационные алгоритмы решения неустойчивых задач и их приложения: Дис. д.ф.-м.н., Новосибирск, 1985.

36. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993, 266 с.

37. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач. // ДАН СССР, 1974, т.215, № 5, с.1032-1034.

38. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып.5, с.3-122.

39. Вишик М.М., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. // Успехи матем. наук, 1960, т.15, вып.4, с.3-95.

40. Водичев A.B. Оценка состояния линейной системы с запаздыванием при квадратичных ограничениях на возмущения. //В кн.: Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988, с.40-48.

41. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973, 256 с.

42. Гадылыпин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения, 1986, т.22, № 4, с.640-652.

43. Гадылыпин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки, 1992, т.52, № 4, с.42-55.

44. Гадылыпин P.P. Метод сращивания асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца. // Прикладная матем. и механ., 1992, т.56, вып.З, с.412-418.

45. Гайдгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука, 1991, 223 с.

46. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, сер. матем., т.22,' № 4, 1958, с.449-474.

47. Гичев Т.Р., Дончев A.JI. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия. // Прикладная матем. и механ., 1979, т.43, вып.З, с.466-474.

48. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом. // ДАН СССР, 1975, т.225, № 5, с.997-1000.

49. Гусев М.И., Куржанский A.B. Обратные задачи динамики управляемых систем. //В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т.1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987,. с.187-195.

50. Данилин А.Р. Устойчивость регуляризующих алгоритмов относительно конечномерных и дискретных аппроксимаций. // Рукопись деп. в ВИНИТИ, N 1632-78 Деп., 18 с.

51. Данилин А.Р. Об условиях сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки. // Изв. вузов. Математика, 1980, № 11, с.38-40.

52. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т.22, № 4, с.994-997.

53. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1985, т.25, № 8, с.1123-1130.

54. Данилин А.Р. Регуляризация задач управления в условиях неопределенности. //В кн.: Некоторые вопросы теории операторов, Свердловск: Изд-во УрГУ, 1987, с.20-28.

55. Данилин А.Р. Об устойчивости методов регуляризации задач управления относительно конечномерных аппроксимаций. //В кн.: Исследования по функциональному анализу и топологиисборник научных трудов). Свердловск: Изд-во УрГУ, 1990, с.34-43.

56. Данилин А.Р. Регуляризация задачи управления с ограничениями на состояние. // Изв. вузов. Математика, 1992, № 2, с.24-28.

57. Данилин А.Р. О регуляризации нелинейных задач управления при возмущении ограничений. // Понтрягинские чтения IV: Тезисы докладов школы. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1993, с.63.

58. Данилин А.Р. Регуляризация задачи управления динамической системой в гильбертовом пространстве в условиях неопределенности. // Дифференц. уравнения, 1994, т.ЗО, № 1, с.172-174.

59. Данилин А.Р. Регуляризация нелинейных задач управления при возмущении ограничений. // Изв. вузов. Математика, 1996, № 8, с.34-38.

60. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью. // Ма-тем. сб., 1998, т.189, № 11, с.27-60.

61. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи в прямоугольнике. /Рукопись депонирована в ВИНИТИ 31.05.99 № 1738-В99, 79 с,

62. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи управления. // Дифференициальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной научной конференции 22-26 июня 1999 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999, с.37.

63. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи. // Доклады академии наук, 1999, т.369, № 3, с.305-308.

64. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн., 1994, № 3, с.96-103.

65. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Доклады академии наук, 1996, т.350, № 2, с.155-157.

66. Данилин А.Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, № 3, с.905-926.

67. Данилин А.Р., Корзунин Л.Г. О двойственности дискретных аппроксимаций. //В кн.: Исследование операторных уравнений в функциональных пространствах. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1983, с.39-45.

68. Данилин А.Р., Танана В.П. О сходимости проекционных методов решения линейных некорректных задач. // Матем. записки Уральск, ун-та, 1975, т.9, № 4, с.3-13.

69. Данилин А.Р., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1984, т.24, № 5, с.633-639.

70. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М: ИЛ, 1962, 895 с.

71. Дмитриев М.Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления. // Изв. АН СССР. Техн. киберн., 1983, № 4, с.63-69.

72. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления: Дис. д.ф.-м.н., Красноярск: СО АН СССР, 1983.

73. Дмитриев М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифференц. уравнения, 1985, т.21, № 10, с.1693-1698.

74. Дончев А. Системы оптимального управления: возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987, 156 с.

75. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978, 463 с.

76. Иваненко В.М.Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1988, 288 с.

77. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. // ДАН СССР, 1962, т.145, № 2, с.270-272.

78. Иванов B.K. О некорректно поставленных задачах. // Матем.сб., 1963, т.61, № 2, с.211-223.

79. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач. // Сибирский матем. журнал, 1966, т.7, № 3, с.546-558.

80. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1966, т.6, № 6, с.1089-1094.

81. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, 206 с.

82. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Матем. сб., 1976, т.99, № 4, с.514-537.

83. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Матем. сб., 1977, т. 103, № 3, с.265-284.

84. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып.6, с.57-82.

85. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук, 1962, т.17, вып.З, с.3-146.

86. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнений £/\и — а(х, у)иу = /(х, у) в прямоугольнике. // Матем. сб., 1975, т.96, № 4, с.568-583.

87. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений в неограниченных областях. // Матем. сб., 1982, т.119, № 3, с.307-324.

88. Ильин A.M., Насиров К.Х. Метод согласования асимптотических разложений для одной эллиптической краевой задачи с малым параметром. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.8-15.

89. Ильин A.M., Сулейманов Б.И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка вблизи границы области. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, № 6, с.149-165.

90. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

91. Калинин А. И. Алгоритм асимптотического решения квазилинейной задачи оптимального быстродействия. // ДАН БССР, 1988, т.32, № 3, с.197-200.

92. Калинин А.И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1990, т. 30, № 3, с.366-378.

93. Калинин А.И., Романюк Г.А. Оптимизация линейных сингулярно возмущенных систем. //В кн.: Конструктивная теория экстремальных задач. Минск: Университетское, 1984, с. 100-113.

94. Калякин JI.A. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 4, с.668-680.

95. Калякин Л.А. Метод сращиваемых асимптотических разложений в эекоторых линейных задачах МГД с сингулярным возмущением. //В кн.: Уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.16-43.

96. Калякин Л.А. Асимптотика решения системы двух линейных уравнений МГД с сингулярным возмущением. I. Стандартная задача в эллиптическом слое. // Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 10, с.1724-1738.

97. Капустин В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах. // ДАН Украины, 1992, № 2, с.70-74.

98. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в опти-мальых билинейных эллиптических задачах. // ДАН Украины, 1992, № 9, с.35-39.

99. Капустян В.Е. Оптимальные бисингулярные эллиптические задачи с гграниченным управлением. // ДАН Украины, 1993, № 6, с.81-85.

100. Капустян В.Е. Асимптотика управлений в оптимальных сингулярно возмущенных параболических задачах. Глобальные ограничения на управление. // Доклады академии наук, 1993, т.ЗЗЗ, № 4, с.428-431.

101. Карлсроу Г.С. Теория теплопроводности. M.-JL: ГИТТЛ, 1947, 288 с.

102. Кац И.Я. Асимптотические свойства информационных множеств в задаче минимаксно-стохастической фильтрации. //В кн.: Эволюционный системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с.31-37.

103. Кац И.Я., Куржанский A.B. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. // ДАН СССР, 1975, т.221, № 3, с.535-538.

104. Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики параболических систем. // Прикладная матем. и механ., 1990, т.54, № 5, с.754-759.

105. Киселев Ю.Н. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для систем управления близких к линейным. // ДАН СССР, 1968, т.182, № 1, с.31-34.

106. Киселев Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. М.: Изд-во МГУ, 1986, 106 с.

107. Кондратьев В.А. Особенности решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра. // Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № И, с.2026-2032.

108. Короткий А.И. О корректности задач оптимального управления параболическими и гиперболическими системами. //В кн.: Задачи позиционного моделирования. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с.19-40.

109. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972, 274 с.

110. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика, 1957, т. 18, № 11, с.223-226.

111. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968, 476 с.

112. Крейн С.Г., Курина Г.А. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления. //В кн.: Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. М.: Наука, 1981, с.170-178.

113. Кремлев А.Г. Аппроксимация оптимального решения в минимкс-ной задаче управления сингулярно возмущенной квазилинейной системой. // Изв. РАН, сер: Техн. киберн., 1994, № 6, с.183-193.

114. Кремлев А.Г. О построении асимптотики информационных множеств для сингулярно возмущенных систем. // Автоматика и телемеханика, 1996, № 7, с.32-42.

115. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе. // Изв. АН СССР, сер: Техн. киберн., 1983, № 2, с.51-60.

116. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966, т.1, 594 с.

117. Курина Г.А. Асимптотическое решение одного класса сингулярно возмущенных задач оптимального управления. // Прикладная матем. и механ., 1983, т.47, вып.З, с.363-371.

118. Куржанский A.B. Программное управление по неполным данным. // Дифференц. уравнения, 1974, т.10, JY-» 12, с.2162-2172.

119. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977, 392 с.

120. Куржанский A.B., Кощеев A.C. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности. // Изв. АН СССР, сер: Техн. киберн., 1983, № 2, с.72-92.

121. Куржанский A.B., Никонов И.О. Оптимальное управление ансамблем траекторий. //В кн.: Игровые задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977, с.53-67.

122. Куржанский A.B., Филиппова Т.Ф. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений. // ДАН СССР, 1991, Т.321, № 3, с.454-459.

123. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962, 92 с.

124. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. // Вестник ЛГУ, 1957, т.7, № 2, с.104-120.

125. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

126. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964, 538 с.

127. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970, 336 с.

128. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физматгиз, 1963, 358 с.

129. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1852-1865.

130. Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнений аи2 — / в параллелепипеде. // Дифференц. уравнения, 1978, т.14, № 9, с.1638-1648.

131. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980, 384 с.

132. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972, 414 с.

133. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения, нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972, 587 с.

134. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987, 368 с.

135. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, 371 с.

136. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981, 343 с.

137. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987, 366 с.

138. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 400 с.

139. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 478 с.

140. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

141. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972, 574 с.

142. Мазья В.Г., Назаров O.A. Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981, 206 с.

143. Мазья В.Г., Назаров O.A. Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН ССОР, сер. матем., 1984, т.48, № 2, с.347-371.

144. Максимов В.И. О моделировании управлений в параболических вариационных неравенствах. // Дифференц. уравнения, 1991, т.27, № 9, с.1603-1609.

145. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Из-во МГУ, 1965, 549 с.

146. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987, 406 с.

147. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988, 309 с.

148. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с.

149. Митропольский Ю.А., Хома Г.П., Громяк М.И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наукова думка, 1991, 232 с.

150. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения и релаксационные коллебания. М.: Наука, 1975, 247 с.

151. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969, 400 с.

152. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений. //В кн.: Современные пробл. математики (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1976, т.6, с.207-271.

153. Назаров С. А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. I. Задача в конусе. // Сибирский матем. журнал, 1981, т.22, № 4, с. 142-163.

154. Назаров С.А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. II. Задача в ограниченной области. // Сибирский матем. журнал, 1984, т.25, К2 5, с.132-152.

155. Назаров С. А. Асимптотическое решение вариационных неравенств для линейного оператора с малым параметром при старших производных. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1990, т.54, № 4, с.754-773.

156. Назаров С.А. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения с быстро осцилирующими коэффициентами в прямоугольнике. // Матем. сб., 1991, т.182, № 5, с.672-722.

157. Назаров С.А. Асимптотические решения задачи с малыми препятствиями. // Дифференц. уравнения, 1995, т.31, № 6, с.1031-1041.

158. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991, 333 с.

159. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.•

160. Нестерова Т.Н. О решении параболического уравнения с малым парараметром в прямоугольнике. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.66-86.

161. Нестерова Т.Н. Метод сращиваемых асимптотических разложений для решения гиперболического уравнения с малым параметром. // Матем. сб, 1983, т.120(162), № 4, ¿546-555.

162. Никонов О.И. О структуре и алгоритмах решения обратных задач многокритериальной оптимизации. // В кн.: Оценивание и идентификация неопределенных систем. Екатеринбург: УрО РАН, ИММ, 1992, с.167-187.

163. Новокшенов В.Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1625-1637.

164. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. // Матем. сб., 1952, т.31, вып.1, с.104-117.

165. Олейник O.A., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстроменящимся типом граничных условий. // Успехи матем. наук, 1993, т.48, № 6, с.163-164.

166. Обен Ж.-П., Эк ланд М. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир. 1988, 510 с.

167. Осипов Ю.С., Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах. // Изв. АН СССР, сер: Техн. киберн., 1991, № 2, с.154-164.

168. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. О динамическом решении операторных уравнений. // ДАН СССР, 1983, т.269, № 3, с.552-556.

169. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. // Препринт, 1991. Свердловск: УрО АН СССР, ИММ, 104 с.

170. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1987, 375 с.

171. Плотников В.А. Метод усреднения в задачах оптимального управления. // Дифференц. уравнения, 1985, т.21, К2 10, с.1713-1717.

172. Понтрягин J1.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. // Изв. АН ССОР, сер. матем., 1957, т.21, с.605-626.

173. Понтрягин JI.C. Оптимальные процессы регулирования. // Успехи матем. наук, 1959, т. 14, вып.1, с.3-20.

174. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физ-матгиз, 1961, 391 с.

175. Райтум У. Б. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Рига: Зинатне, 1989, 274 с.

176. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир,1973, 244 с.

177. Сивергина И.Ф. Оценивание траекторий систем с неопределенными параметрами при обобщенном квадратичном ограничении. //В кн.: Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с.101-109.

178. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977, 479 с.

179. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950, 255 с.

180. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. // Дифференц. уравнения, 1970, т.6, № 8, с. 1490-1495.

181. Сумин В.М. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач. // Дифференц. уравнения, 1990, т.26, № 12, с.2097-2109.

182. Танана В.П. Обтимальные по порядку методы решения нелинейных некорректно поставленных задач. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1976, т.16, № 2, с.503-507.

183. Танана В.П. Об обтимальных алгоритмах решения нелинейных неустойчивых задач. // Сибирский матем. журнал, 1976, т. 17, № 5, с.1116-1128.

184. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981, 157 с.

185. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 7, с.1323-1326.

186. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений. // ДАН СССР, 1982, т.264, № 5, с.1094-1096.

187. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск: Из-во Уральск, унта, 1987, 198 с.

188. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. // Матем. сб., 1952, т. 31(73), № 3, с.575-586.

189. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. // ДАН СССР, 1963, т.151, № 3, с.501-504.

190. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. // ДАН СССР, 1963, т.153, № 1, с.49-52.

191. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. // ДАН СССР, 1965, т.162, № 4, с.763-765.

192. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974, 223 с.

193. Тихонов А.Н., Васильев Ф.П., Потапов М.М., Юрий А.Д. О регуляризации задач минимизации на множествах, заданных приближенно. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика, 1977, № 1, с.4-19.

194. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Асимтотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром. // ДАН СССР, 1959, т.12, № 1, с.26-29.

195. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966, 724 с.

196. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика. // Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.4, с.123-156.

197. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978, 488 с.

198. Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Гельмголъца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45, № 1, с.167-186.

199. Федорюк М.В. Уравнения с быстро осцилирующими решениями. //В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.34 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1988, с.5-56.

200. Филиппова Т.Ф. Об одном достаточном условии оптимальности в задаче управления ансамблем движений. //В кн.: Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988, с.111-118.

201. Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М: Мир, 1968, 427 с.

202. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.

203. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988, 247 с.

204. Черноусько Ф. JI. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. // Прикладная матем. и механ., 1968, т.32, вып. 1, с.15-26.

205. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. //В кн.: Матем. анализ (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1977, т.14, с.101-166.

206. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир,-1971, 359 с.

207. Melnikova I.V., Anufrieva U.A., Filinkov A.I. Laplace transfjrm of K-semigroups and well-posedness of the Cauchy problem. // J. Integral Transforms and Special Functions, 1999, v.8, №1-2, p.1-20.

208. Melnikova I.V., Anufrieva U.A., Ushlcov V.Yu. Degenerate distribution semigroups and well-posedness of the Cauchy problem. // J. Integral Transforms and Special Functions, 1998, v.6, № 1-4, p.228-237.

209. Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayor's problem for linear systems. // SIAM J. Control and Optimiz., 1983, v.21, № 4, p.566-581.

210. Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayor's problem for linear systems. // SIAM J. Control and Optimiz., 1983, v.21, № 4, p.566-581.

211. Eckhaus W. Boundary layers in linear elliptic singular perturbation problem. // SIAM Review, 1972, v.14, № 2, p.226-270.

212. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansion. Parts I-III. // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1969, v.65, p.209-231, 233-251, 263-284.

213. Grigorieff R.D. Zur Theorie Approximations regulärer Operatoren. 1. // Math. Nachr., 1973, bd.55, № 3, s.233-249.

214. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris, 1932.

215. Kokotovic P.V. Application of singular perturbation techniques to control problems. // SIAM Review, 1984, v.26, № 4, p.501-550.

216. Lions J.L. Perturbations singulières dans les problèmes aux limites eten controle optimal. // Lecture Notes In Math. 1973., № 323, Springer, 645 p.

217. Lions J.L. Asymptotic methods in the optimal control of distributed systems. // Automatica, 1978, v. 14, p. 199-211.

218. Lions J. L. Optimal control of well posed distributed systems snd related non linear partial differential equations. // Nonlinear iroblems: Present and future. Proc. 1 Conf. Los Alamos, March, 1982, p.3-16.

219. Lions J.L. Distributed systems with uncomplete data and Lagrange multipliers. // Lect. Notes. Math., 1986, № 1190, p.273-305.

220. O'Malley R.E.Jr. Singular perturbations and optimal control. // Lect. Notes Math., 1978, № 680, p.171-218.

221. Margel W. Eine allgemeine Storungstheorie fur Variationsangleichungen. // Frankfurt, 1971.

222. Moiseev N.N., Chernousko F.L. Asymptotic methods in the theory of optimal control. // IEEE Trans. Automat. Control, 1981, v.26, № 5, p.993-1000.

223. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. //J. Assoc. Comput. Mech., 1962, v.9, № 1, p.84-97.

224. Prandtl L. Uber Flussingkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig, 1905, s.484-491.

225. Singer I. Some remarks on approximative compactness. // Rev. roum. math, pures, et appl, 1964, v. 9, № 2, p.167-177.

226. Stummel F. Discrete Konvergenz Linearer Operatoren I. // Math.Ann., 1970, bd.190, s.745-95.