Асимптотические спектральные методы исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и квазилинейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Воркне Асмамау Зегейе

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

2 9 АПР 2015

Москва-2015 г.

005567855

005567855

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов»

Научный руководитель:

Безяев Владимир Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» Научный консультант: Коняев Юрий Александрович,

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО НИУ «МЭИ»

Официальные оппоненты:

Белолипецкий Александр Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий сектором математического моделирования технических систем ФГБУН Вычислительный центр им. А. А. Дородницына Российской академии наук

Нестеров Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной информатики Института математики, информатики и естественных наук ГБОУ ВПО г. Москвы «Московский городской педагогический университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова»

Защита состоится 10 июня 2015 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета ДМ212.157.17 при ФГБОУ ВПО НИУ «МЭИ» по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 13, ауд. М-508.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФБГОУ ВПО НИУ «МЭИ».

Автореферат разослан " 2015 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах с подписями, заверенными печатью учреждения, просим направлять по адрессу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый Совет ФГБОУ ВПО НИУ «МЭИ».

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.157.17

к.ф.-м.н.

Перескоков А.В.

Общая характеристика работы Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими, полиномиальными и нормальными определяющими матрицами.

Сингулярно возмущенные задачи первоначально возникли в физике и технике. Еще в 19 веке в работах Лапласа, Максвелла и Кирхгофа изучались конкретные сингулярные задачи. В дальнейшем выяснилось, что все области естествознания и техники богаты такими задачами.

Современная теория сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений основана на работах Боголюбова H.H. и Митропольского ЮЛ., Вазова В., Эрдейи А., Тихонова А.Н., Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф., Моисеева H.H., Мищенко Е.Ф. и Розова Н.Х., Нефедова H.H., Федорюка М.В., Шкиля Н.И. и многих других математиков.

Существенный вклад в теорию сингулярных возмущений внесли работы научной школы Ломова С. А. и его учеников Сафонова В.Ф., Бободжанова A.A., Качалова В.И., Елисеева А.Г. и других, создавших метод регуляризации для исследования различных классов сингулярно возмущенных задач.

Для уравнений с частными производными систематическое изучение сингулярно возмущенных задач началось с работ Левинсона Н., Олейник O.A., Ладыженской O.A., Вишика М.И. и Люстерника Л.А. и активно продолжается по настоящее время.

При решении прикладных задач важную роль играет не только создание адекватных математических моделей в виде систем ОДУ, достаточно хорошо отражающих основные параметры исходной задачи или процесса, но и разработка эффективных аналитических и асимптотических методов их исследования. В данной работе отдано предпочтение аналитическим,

спектральным и асимптотическим методам, так как они позволяют исследовать математические модели в более широком (по сравнению с численными методами) диапазоне исходных параметров, а также прогнозировать различные свойства изучаемого объекта.

В диссертации исследованы вопросы асимптотического представления и устойчивости решений сингулярно возмущенных задач на полуоси для систем ОДУ с периодическими, полиномиальными матрицами, а также с матрицами, являющимися суммами нормальных матриц.

Предложенные в работе методы являются развитием метода расщепления [1,4,12] и метода регуляризации Ломова С. А. [8.9,11], а также метода унитарных преобразований [5] (при изучении сингулярно возмущенных систем с нормальными или «почти нормальными» матрицами).

При решении сингулярно возмущенных начальных линейных и слабо нелинейных задач на полуоси возникают дополнительные трудности, связанные с описанием пограничного слоя в окрестности начальной точки t = t0 и с обоснованием нетривиальных условий устойчивости решений исследуемых задач, включая критические случаи.

Как известно, вопросам теории устойчивости посвящено очень большое количество работ, в первую очередь Ляпунова A.M. и Пуанкаре А., а также Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H., Меркина Д.Р., Хапаева М.М., Розо М. и многих других математиков, создавших фундамент теории устойчивости.

Цель работы. Основной целью диссертации является развитие спектральных и асимптотических методов исследования сингулярно возмущенных задач для линейных и слабо нелинейных систем ОДУ на полуоси с периодическими, полиномиальными и нормальными матрицами. В частности, ставятся задачи построения асимптотических представлений

решений и получение условий устойчивости для указанных систем при наличии определяющих матриц различной структуры.

Методы исследования. В данной работе использованы методы теории сингулярных возмущений, в первую очередь уточненные варианты метода расщепления для анализа сингулярно возмущенных задач с периодическими и полиномиальными матрицами. Системы с нормальными или «почти нормальными» матрицами исследуются с помощью метода унитарных преобразований. Научная новизна.

Предлагаемые в диссертации подходы представляют собой существенное развитие и обобщение методов расщепления и унитарных преобразований. Основные результаты состоят в следующем.

1. Разработан асимптотический метод исследования устойчивости решений сингулярно возмущенных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с периодическими или полиномиальными матрицами при наличии предельных матриц различной структуры.

2. Предложен алгоритм построения квазирегулярной асимптотики решений сингулярно возмущенных линейных систем ОДУ с периодическими или полиномиальными матрицами, при этом выделен пограничный слой в замкнутой аналитической форме.

3. Получены конструктивные условия устойчивости или асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ (равномерных по параметру), матрицы которых могут быть представлены в виде суммы нормальных матриц.

4. Для сингулярно возмущенных задач последнего класса показана возможность точного представления нормы решения и возникновения счетного числа пограничных слоев различной (экспоненциальной или

«радикальной») структуры при соответствующих ограничениях на спектр

определяющей матрицы.

Теоретическая и практическая ценность диссертации состоит в том, что разработанные диссертантом эффективные методы и конструктивные алгоритмы позволили решить ряд актуальных задач в теории сингулярных возмущений и являются основой для анализа некоторых прикладных математических моделей.

Достоверность полученных результатов подтверждена обоснованной и корректной постановкой изученных в диссертации теоретических и прикладных задач, сводящихся к изучению сингулярно возмущенных линейных и слабо нелинейных неавтономных систем ОДУ на полуоси с периодическими и полиномиальными матрицами, а также для систем, матрицы которых могут быть представлены в виде суммы нормальных (в частности, нелинейных) матриц.

Для доказательства полученных в работе теорем, асимптотических представлений и достаточных условий устойчивости были использованы строгие математические методы, как известные, так и являющие развитием метода расщепления и метода унитарных преобразований.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, были доложены на следующих семинарах:

• семинар "Теория сингулярных возмущений" кафедры высшей математики МЭИ под руководством проф. Сафонова В.Ф. и проф. Бободжанова A.A.

• семинар "Теория сингулярных возмущений" кафедры математики физфака МГУ под руководством проф. Бутузова В.Ф. и проф. Нефёдова H.H.

• семинар "Дифференциальные уравнения" кафедры математического моделирования МЭИ под руководством проф. Амосова A.A. и проф. Дубинского Ю.А.

• семинар "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" кафедры прикладной математики РУДН под руководством проф. Скубачевского А. Л.

Результаты работы были доложены в следующих научных конференциях:

• всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем», Москва, Российский университет дружбы народов, апрель 2012.

• международная конференция «Интеграционные процессы в естественнонаучном и с математическом образовании», Москва, Российский университет дружбы народов, февраль 2013.

Публикации., Результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 78 страницах и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 65 наименований.

Краткое содержание диссертации.

Во введении приведен краткий, но достаточно содержательный обзор научных работ, посвященных наиболее важным вопросам теории сингулярных возмущений, асимптотическим методам, некоторым разделам теории устойчивости, связанным с развитием спектрального метода исследования устойчивости.

В первой главе предложен спектральный метод исследования сингулярно возмущенных начальных задач на полуоси для линейных неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей вида

ex = A(t, е)х + h(t, е), х(0,е) = хо (1.1)

и аналогичных слабо нелинейных систем вида

ex = A(t,e)x + £f(x,t), х(0, г) = х0 (1.2)

(x,fERn, f(0,t) = 0, t>t0).

В отличие от [2,8,11,12] предложен метод исследования поведения решения указанных систем (1.1) и (1.2) на всей полуоси с описанием структуры экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t = 0. При этом всегда предполагается, что выполнено

Условие А. Слабо нелинейная система (1.2) разрешима на полуоси для достаточно малых начальных значений ||х0|| < Т] и её решение x(t,e) равномерно ограничено, т.е. l¡x(t,£)H < R0 V(t, е) 6 {t > 0} х (0, е0], £о > 0 — достаточно мало, R0 — постоянная, независящая от е 6 (0,£о].

Для всех встречающихся в работе слабо нелинейных систем будем предполагать выполненным условие А, не детализируя его по отношению к виду нелинейности. Для сингулярно возмущенных задач типа (1.2) при s -> +0, рассматриваемых на полуоси, это требование является обычным, хотя и довольно жёстким. Вопрос о том, когда оно выполняется, заслуживает отдельного рассмотрения, и не является предметом нашего исследования.

Для произвольной квадратной матрицы А = {а^}™ введём специальные обозначения Л.= diag{aíb. . .,апп), А = А - А.

Теорема 1.1 Пусть для сингулярно возмущенной задачи Коши (1.2), где матричный ряд A(t,e) =Z%Ak(t)ek из Г-периодических достаточно гладких матричных функций Ak(t) сходится абсолютно и равномерно по

некоторой норме при достаточно малых £ > 0 , спектр {Я0у (t)}"

Г-периодической матрицы Л0(С) простой структуры удовлетворяет неравенствам

O/fcCt) = Aoy(t) - Яок(0 Ф 0, |Я0ДО| Ф О ЦФ к, j,k = T~n, t> 0). Тогда существует невырожденная при достаточно малых е > 0 Г-периодическая замена x(t, г) = S0(t)tfiW)(t, s)z,

5,o~1Ct)i4oC05,o(t) = A0(t) = diag{X 01(t).....A0n(t)}.

Hm(.t,E) = E + ^Hk^Ek, приводящая систему (1.2) к эквивалентной системе

ez-Q (t, e)z + eg (z, t, e), z(Q,e) = z0, (1.3)

где Q(t, s) = Aw(t.e) + £N+1G(w+1)(t, e), A(w)(t,e) = Eo Afc(t)£fc, g{z, t, e) = H^Ct, s)So1(t)f(S0(t)Hw(t, e)z, t).

Замечание. Диагональные матрицы Л fe(t) и бездиагональные матрицы #fe(t) (к = 1.N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка ||G(w+i)(t<£)|| — С проверяется прямым вычислением.

Одним из основных результатов в первой главе является следующая теорема.

Теорема 1.2 Если в условиях теоремы 1.1 спектр е)}"

вспомогательной матрицы

A(W)(t,£) =lSfAfc(t)£fc = diagi^it.s).....^(t, £)}

удовлетворяет неравенствам

ReXj(t,£) < -ст0 + E<p(t), a(t) = £<p(s)ds < 0

((т0 > 0, у = lTn, t > 0)

и для векторной функции f(x, t) имеет место оценка

9

Il/C*. Oil < CI \x\\1+a (C,a>0, ||*|| < R, R0 < R , С 2 0), то при выполнении условия А тривиальное решение сингулярно возмущенной задачи (1.3) и эквивалентной ей задачи (1.2) при всех достаточно малых е (0 < е < е0) асимптотически устойчиво.

В следующем утверждении для сингулярно возмущенной линейной системы ОДУ с периодической матрицей построена квазирегулярная асимптотика решения в замкнутой аналитической форме.

Теорема 1.3 Пусть для сиетулярно возмущенной линейной задачи Коши (1.1), где матричный ' ряд i4(i,e) = 4fc(i)ek и векторный ряд

из ^-периодических достаточно гладких функций и Aft) сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно малых е > 0, спектр (Я0;(£)}" матрицы A0(t) удовлетворяет условиям

°jk(t) = ¿0j(.t) - Aok(t) * 0, |A0;(t)| Ф 0, ReXj(t,e) < -aQ (er0 >0, j Ф к, j,k = l~n, t 2: 0). Тогда асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши (1.1) представима в квазирегулярной форме

x(t, е) = S0(OHw(t, е) exp (i/¿Лw(s, e~)ds) z0 + wm(t, s) + 0(ew+1)

где W(N)(t, e) = Eo wk(t) ek частичная сумма асимптотического представления частного решения системы (1.1).

Замечание. Матричные функции Aw(t,£) и Hm(t,£) определяются однозначно методами теоремы 1.1.

Кроме того, в первой главе исследованы случаи, когда предельная матрица /l0(t) имеет полупростую структуру или когда она эквивалентна «блочно-треугольной» матрице.

Приведем пример случая, когда матрица /4о(0 имеет полупростую структуру.

Пример 1. В [13, с.189] рассмотрена сингулярно возмущенная задача о прохождении нервного импульса

ех = 040 + еА1)х + еЦх, е) , х(0, е) = х0 (1.4)

(-2 -1 -1\ / 0 0 0^ А0 = 0 0 0 , А1 = [-2 -2 0

V 0 0 0/ \ 0 -1 о

/—Зх±2 Х^Х2 ЕХ /(*,£> = О

\ о

где матрица А0 имеет полупростую структуру со спектром Лг = — 2, Я2>з = 0. С учетом невырожденной замены х = 50у,

/1 1 0\ /2 1 1\ 50 = 0 0 1 , = 2 0 _1 '

\0 -2 -1/ \0 2 О/

систему (1.4) можно упростить:

еу = (До + еВОу + еЛ(у). у(0, е) = у0 - (1-5)

(-2 0 0\ (-2 -2 -3

Л0 = 0 0 0 , В1=\ 2 2 3|. \ 0 0 0/ \—4 -4 -4,

Построим невырожденное при достаточно малых е > 0 преобразование у = Я(1)(£)г, Я(1)(е) = Е + е/?1(е) ( ^(е) - «блочно-бездиагональная матрица»), приводящее систему (1.5) к виду

£г = (А, + енг + 0(£2)) 2 + еЬ(?) , г(0, е) =

где матрица ^ имеет блочно-диагональную структуру = £ ( д а

матрица К = имеет простой спектр у1>2 = 1 ± £л/3) . Это

позволяет сделать вывод об асимптотической устойчивости тривиального решения сингулярно возмущенной системы (1.4).

Во второй главе разработан спектральный метод анализа линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с полиномиальными матрицами, предложен метод построения квазирегулярных асимптотик их решений, а также сформулированы достаточные условия устойчивости или асимптотический устойчивости тривиальных решений этих систем.

Теорема 2.1 Пусть для сингулярно возмущенной задачи Коши для слабо нелинейной системы ОДУ с полиномиальной матрицей вида

£* = гтА(€)х + £/(*, О, х(£0) = х0 (2.1)

(х,/еКп, t>t0>l, т>0), где матричный ряд ¿4(0 = сходится абсолютно и равномерно по

норме при некотором С ;> >, спектр {А0у}" матрицы А0 удовлетворяет неравенствам а}к = Я0у -ЛокФО (/ ф к, ), к = 17п). Тогда существует невырожденная при достаточно малых е > 0 полиномиальная замена х =

Бо^АоБо = Л0 = (Иад{101,. . .,Я0п} , Нт(р,е) = Е + 11Нк(£)Гк,

приводящая исходную систему к виду

ег = е)г + ад (г, £, £), е) = г0, (2.2)

где

<кО = е) + £), £) = Ео+тАк(е)Гк,

д(2,г,е) = Н^ (Ь, е^1 (0/($о (0Нт (£, е)г, 0.

Замечание. Матричные функции и Я(л,)({,£) определяются

однозначно методами теоремы 2.1.

Аналог теоремы 1.2 имеет место для слабо нелинейной системы ОДУ с полиномиальной матрицей. Это показано в следующей теореме.

Теорема 2.2 Если в условиях теоремы 2.1 спектр s)}™

вспомогательной матрицы tmA(m+1) (t, е) (A(m+1)(t,e) = 251+1Лк (e)t"fc) удовлетворяет неравенствам

ReXj(t, е) < -сг0 < 0 (<70 >0, j = lrn, t > t0 > 1) и для функции f{x,t) имеет место оценка

11/0,011 < С\\х\\1+а (С,а > 0, ||х|| < R, R0<R, t>t0> 1),

то при выполнении условия А тривиальное решение сингулярно возмущенной задачи (2.1) при всех достаточно малых е (0 < £ < £а) асимптотически устойчиво.

В следующей теореме построена квазирегулярная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши.

Теорема 2.3 Если для линейной сингулярно возмущенной задачи Коши ex = tmA(t)x + f(t), x(t0,e) = x0 (x,f e Kn, m 2: 0), (2.3) где матричный ряд A(t) = T,âAkt~k и векторный ряд /(t) = fkt~k сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно больших t > to > 1 > спектр матрицы А0 удовлетворяет неравенствам а]к = ^оJ ~ ^ок ^ 0 (j ^ к, j,k = 1 ,п) , то асимптотика решегая сингулярно возмущенной линейной задачи Коши (2.3) представима в квазирегулярной форме

x(t, £) = S0Hw(.t, £) ехр (¿/о smAm(s, s)ds) z0 + wm(t, e) + 0(.sN+1),

где W(W)(t,£) = 2o wk (f)£ft частичная сумма асимптотического представления частного решения системы (2.3).

Замечание. Матричные функции Л(W)(t,£) и H^(jt,e) определяются однозначно методами теоремы 2.1.

В третьей главе предложен метод исследования устойчивости класса сингулярно возмущенных систем, матрицы которых могут быть представлены в виде суммы нормальных (в частности, нелинейных) матриц.

Этот метод, являющийся обобщением метода унитарных преобразований [5], позволяет с новой точки зрения исследовать устойчивость решений в случае нестабильного спектра предельного оператора, включая и критические случае (когда спектр касается мнимой оси). Это позволило получить точные оценки норм решений рассматриваемых систем. Предложенный метод позволил также сформулировать условия для возникновения нового типа пограничного слоя — «радикального», а также счетного числа дополнительных пограничных слоёв. Основным в третьей главе является следующий результат. В третьей главе основным является следующий результат. Теорема 3.1 Если для сингулярно возмущенной неавтономной задачи Коши

ex = A(t)x, х(0, е) = х0 (pce 1йп, t > 0) (3.1)

с непрерывной, ограниченной и нормальной при t > 0 матрицей A(t),

спектр [Дл/О} удовлетворяет неравенствам

ДеЛЛу(с) < <p(t), a(t) = tfç(s)ds £ 0 (J = l~n, t 2: 0), то для нормы решения задачи (3.1) имеет оценка

(или точное равенство

£)11 = И*оII expiait)/е) при ReÀAj(t) = <p(t)). Это отражает наличие в решении экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t — 0. Полученные оценки гарантируют устойчивость тривиального решения при ait) < 0 (t> 0)

или асимптотическую устойчивость при

ait) -* -со (t -> +оо).

Замечание. Условие a(t) = f*cp(s)ds < 0 позволяет также сделать вывод о возможности появления счетного числа пограничных слоев в точках tk, если a(tfc) = 0, к = 1,2,...

Обобщение классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению дается в теореме 3.2.

Теорема 3.2 Если для сингулярно возмущенной слабо нелинейной неавтономной задачи вида

ex = A(t, е)х + ef{x, t), х(0, s) = х0 (3.2)

с непрерывной, ограниченной и нормальной матрицей A(t, е) (при (t,e) 6

{t > 0}х (0,е0], е0>0— достаточно мало) её спектр {я^(t,£)]

удовлетворяет неравенствам

RelAj(t, £) < -сг0 + e<p(t), а(0 = /0С<р (s)ds < 0

(сг0 >0, j = 1~п, t > 0) и для функции f (x, t) справедлива оценка

ИЯ*.ОН < С|М11+1Г (С,a > 0, IWI <R, R0<R,t> 0), то при выполнении условия А тривиальное решение задачи (3.2) при всех достаточно малых е (0 < £ < е0) асимптотически устойчиво.

Другие проблемы возникают при изучении сингулярно возмущенных задач, матрица которых является нелинейной нормальной матрицей или суммой нелинейных нормальных матриц.

Теорема 3.3 Если для сингулярно возмущённой задачи

ЕХ = А {х, t)x, х (0, £) = х0 (3.3)

с непрерывной, ограниченной и нормальной в области П = {||*|| < R, t > 0} матрицей А(х, С) ее спектр \лА](х, t)j удовлетворяет неравенствам

ReXAj(x,i) < -СНхЦ^ (C,/? > O, j = 1,n, 12> 0), и задача (3.3) разрешима на полуоси при t S О для всех достаточно малых IMI s <5, то для евклидовой нормы решения при ¡3 > 0 справедлива оценка

при ReXA(x, t) = -С\х\Р имеется точное равенство

а при /? = 0 справедлива оценка

||x(í,e)|| < llxollexp ^ 0 (t -» +оо),

или имеем точное равенство ll*(t»e)ll = Н*о11е*р(-^) при ReA.¡(x, t) — —С0, гарантирующие при всех достаточно малых £ (0 < £ < £0) асимптотическую устойчивость решения и наличие экспоненциального погранслоя (при /? = 0 ), или так называемого «радикального» погранслоя (при /? > 0) в окрестности точки t = 0.

В заключение приведем задачу из теории гироскопов, моделируемую сингулярно возмущенной системой с кососимметрической (нормальной) матрицей.

Пример 2. Малые колебания пространственного гирогоризонткомпаса определяется системой с периодической кососимметрической матрицей вида ex = A(t)x, х(0, £) = х0 (3.4)

0 w0 0 fí(t)\ ам-1 -wo 0 ПСО 0 \

,-íl(t) 0 Wq 0 /

где х = (xi,x2.*3/X4У. X1=S1^, х2 = s2, х3 = S3, х4 =

v(t) — абсолютная скорость точки подвеса, R — радиус земли, fi(t) — проекция абсолютного угловой скорости чувствительного элемента гирогоризонпсомпаса на направлени геоцентрической вертикали, w0 = yjg/R. Величины р, m, у — определяются конструкций прибора, Sj (J = 1,2,3,4) — углы ориентации осей чувствительного элемента в неподвижной системе координат (v2(t)«g/K) и £—малый параметр. Доказанная в работе [3] устойчивость системы (3.4) классическими методами сразу следует из теоремы 3.1, так как кососимметрическая матрица имеет чисто мнимый спектр. При этом lk(t,£)|| < ||x0ll (t ^ 0, 0 < £ « 1).

Список цитируемой литературы

1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968, 464с.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высшая школа, 1990, 208с.

3. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.

4. Коняев Ю.А. Анализ сингулярно возмущенных задач методом расщепления. //Матем. моделирование, 2001, №12, с.55-57.

5. Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // Изв. Вуз. Математика, 2002, №2, с.41-45.

6. Коняев Ю.А. О начальных и многоточечных краевых задачах для неавтономных систем с полиномиальной матрицей и их приложениях // Современная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 35, с.78-85.

7. Коняев ЮЛ., Безяев В.И., Филиппова О.Н. Асимптотический анализ регулярно и сингулярно возмущенных задач и их приложения в биологии // Современная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 37, с.16-28.

8. Ломов СЛ. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981,400с.

9. Ломов С. А., Бободжанов А. А. Асимптотическое интегрирование задач с кратными точками спектра // Дифференц. уравнения, 1984, т.20, №11, с.2003-2006.

10. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, Серия Математика, 1979, т. 43, №3, с. 628-653.

11. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983, 352с.

12. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем ОДУ. Киев, Вьпца школа, 1989, 288с.

13. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1989,248с.

Основные положения диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

Статьи в изданиях ВАК РФ:

1. Коняев Ю.А., Федоров Ю.С., Воркне А.З. О критериях устойчивости решения сингулярно возмущенных задач для неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей при наличии кратного спектра. «Вестник МЭИ», Москва, 2012, № 6, с.42-46.

2. Коняев Ю.А., Воркне А.З. Об оценке нормы решения сингулярно

возмущённых квазилинейных задач на полуоси для систем ОДУ с

18

нелинейной нормальной матрицей. «Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика». Москва, 2013, №4, с.3-8.

3. Воркне А. 3. Исследование методом расщепления сингулярно возмущенных начальных задач для неавтономных систем ОДУ. «Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика». Москва, 2012, №4, с.25-30.

Тезисы докладов научных конференций:

4. Воркне А. 3. Алгебраический метод анализа сингулярно возмущенных периодических неоднородных систем на полуоси. Москва, Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем, «Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием», РУДН, апрель 2012, с.248-249.

5. Воркне А. 3. Анализ устойчивости сингулярно возмущенных неавтономных квазилинейных систем ОДУ с Г-периодическоЙ матрицей. Москва, Интеграционные процессы в естественнонаучном и математическом образовании, «Сборник научных трудов участников международной конференции», РУДН, февраль 2013, с.354-358.

Воркне Асмамау Зегейе.

Асимптотические спектральные методы исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и квазилинейных систем.

Аннотация.

В диссертации с помощью метода расщепления с новой точки зрения изучены сингулярно возмущенных неавтономных линейных и квазилинейных систем ОДУ с периодическими и полиномиальными матрицами, что позволяет сформулировать условия устойчивости их решений на полуоси (равномерных по параметру), построить квазирегулярные асимптотики решений и определить структуры пограничных слоев в замкнутой аналитической форме.

Кроме того, в работе предложен метод исследования устойчивости решений сингулярно возмущенных задач для систем, матрицы которых могут быть представлены в виде суммы нормальных (в частности, нелинейных) матриц. Этот метод, являющийся обобщением метода унитарных преобразований, позволяет исследовать устойчивость решений при наличии нестабильного спектра определяющего оператора, включая и критические случая.

Workneh Asmamaw Zegeye.

Asymptotic spectral method for studying singularly perturbed linear and quasi-linear systems on the semiaxis.

Abstract

In the Dissertation with the help of splitting method from a new point of view studied singularly perturbed nonautonomous linear and quasi-linear systems of ODE with periodic and polynomial matrices, which allows us to formulate conditions for stability and construct a quasi-regular asymptotic solutions on the whole semiaxis (uniformly in the parameter) by describing boundary layer structure in a closed analytical form.

In this work we have also proposed a method for stability study of singularly perturbed systems with normal matrices, or a sum of normal matrices (in particular, non-linear). This method, which is a generalization of the unitary transformation, allows us study stability in the presence of unstable spectrum, including in critical cases.

Подписано в печать Ь0> 0$.Ю/Ь Зак. ¿Г/ - Пд .

Полиграфический центр МЭИ '

Красноказарменная ул., д. 13