Прямая схема исследования матрично сингулярно возмущенных задач оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи 0ВЕ30В ХАЖУХАМЕД АМАНМУХАМЕДОВИЧ

ПРЯМАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТРИЧНО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 1997

Работа выполнена в Институте Математики и Компьютерных Те: логай Академии наук Туркменистана и в Воронежской государстве! Лесотехнической академии.

Научные руководители:

доктор физико-математическ! наук,профессор Дмитриев МЛ доктор физико-математическ; наук, профессор Курина Г.^

Официальные оппоненты:

Ведущая организация - Ярославск:

доктор физико-математически наук, профессор Стрыгин В.Е кандидат физико-мвтематичр'"' наук, доцент Завгородний М.

государственный университет

Защита диссертации состоится иШИЯ 1997 глда,ауд.? в 15.20 на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по п суждению ученой степени кандидата физико-математических нау1< Во£. онежском государственном университете по адресу: 394С Воронеж, Университетская площадь I, ВГУ, математический факульт

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронеж'":;', государственного университета.

Автореферат разослан "3.з " _1997 года.

{'1 •>... •О'- "ИО ' :; ОДНОГО ____

~оэет£ л.м.н, (гр.-т.-.^с-'Ч)

£------ В.Г.8адор:>;;

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Интенсивное развитие теории оптимального управления обусловлено многочисленными ее приложениями в теоретических и прикладных дисциплинах. Большое внимание при этом уделялось построению асимптотических методов решения задач с малыми параметрами.

Исследование задач оптимального управления асимптотическими методами проводилось многими авторами. Имеющееся здесь большое количество публикаций условно соответствует следующим направлениям: -исследование задач с регулярным возмущением. Этому направлению посвящены работы Ф.М.Кирилловой, Н.Н.Красовского Н.Н.Моисеева, Ф.Л.Черноусько, Ю.Н.Киселева, А.А.Первозванского, В.Г.Гайцгори,

A.А.Белолипецкого,В.Б.Колмановского,А.Дончева, А.И.Калинина и др.; -направление, связанное с методом усреднения. Методам усреднения посвящены работы Н.Н.Моисеева, Ф.Л.Черноусько, Л.Д.Акуленко, Б.Н.Соколова, В.А.Плотникова и др.;

-направление,использущее методы теории сингулярных возмущений. Данная работа принадлежит к этому направлению.

Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается многими исследователями. Ее основы заложены А.Н.Тихоновым, А.Б.Васильевой,

B.Ф.Бутузовым, С.А.Ломовым и др.

Исследование сингулярно возмущенных задач оптимального управления с ограничениями на управление проводилось в работах М.Г.Дмитриева,Г.А.Куриной,А.И.Калинина, P.V.Kokotovic, A.H.Haddad, P.V.Binding и др.

Большое количество работ посвящено построению асимптотики

решения и синтеза в сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задачах (В.Я.Глизер, Ы.Г.Дмитриев, Г.А. Курина, P.V. Kokotovic, R.A.Yackel, R.E.Jr.O'Malley и др.}. Аналогичными методами исследуются линейно-квадратичные задачи с "дешевым" управлением. Возможность формулировки последних задач в терминах теории сингулярных возмущений иллюстрируется в работах V.Dragan, A.Halanay, R.E.Jr. O'Malley, A.Jameson, A.Saberl, P.Sannutl.

Методы сингулярных возмущений довольно широко применяются при изучении больших систем с точки зрения декомпозиции и построения эффективных методов решения. Хотя многие концепции теории управления справедливы для систем любой размерности, их практическое применение ограничивается моделями низкой размерности. Наличие быстрых и медленных движений в системах большой размерности приводит к "жестким" задачам, которые требуют дорогих вычислительных процедур.Декомпозиция на задачи меньшей размерности для сингулярно возмущенных задач оптимального управления иллюстрируется в работах J.H.Chow, P.Sannutl, R.R.Wilde, P.V.Kokotovic на примере задач, где уравнения системы линейные по быстрым переменным и управлению, а функционал квадратичен. Для нелинейных задач подобная декомпозиция была получена в работах М.Г.Дмитриева, С.В.Белокопытова,

A.Bensoussan, S.G.Peng. Отметим, что декомпозиция двухточечных краевых задач, вытекащих из необходимых условий отимальности управления в сингулярно возмущенных задачах, рассматривалась

B.А.Соболевым.

Обычно методы теории сингулярных возмущений применялись в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению задач, вытекающих из необходимых или

достаточных условий оптимальности* Однако при этом явно не раскрывается вариационный смысл асимптотических приближений и не учитывается вариационная природа исходной постановки.

В работах М.Г.Дмитриева, С.В.Еелокопытова рассматривается, так называемая, прямая схема применения метода пограничных функций А.Б.Васильевой, которой не присущи те недостатки, которые перечислены выше.Основная идея прямой схемы связана с прямой подстановкой постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи без перехода к необходимым условиям оптимальности и последовательным решением получающихся при этом задач оптимального управления.

Важный класс задач оптимизации представляют задачи управления линейными объектами с уравнением состояния

Fx(î) = Cx(t) + Du(t). (1)

Уравнение (1) является сингулярно возмущенным, если матрица F зависит от параметра е^О, причем при е>0 F(s) обратима, а при е=0 вырождена.

Другой вид сингулярно возмущенных задач появляется при рассмотрении минимизации функционала

т

J = <р(х(Т)) + | J (l'ftJWxW + u'ftWt,EMU]<tt (2;

о

на траекториях линейного уравнения для х путем выбора управления u(t). Матрица R(t,e) в (2) при е>0 обратима,а при е=С вырождена. В этом случае при е=0 управление является особым в смысле принципа максимума Понтрягина.

Задачи управления с уравне"нием состояния вида (1) представляют интерес в теории сингулярных возмущений, так как при пренебрежении

малым параметром дифференциальный порядок модели понижается возникает вопрос о корректности пренебрежения в смысле близост решений возмущенной и невозмущенной задач. Представляет интерес построение асимптотического разложения по малому параметру решени возмущенной задачи.

Во всех вышеуказанных работах М.Г.Дмитриева, С.В.Белокопытова

приходили к исследованию уравнений, в которых матрица А+еВ, стоящая перед производной, складывалась из следущих матриц:

^ ?]• -Ё 2]

(1-единичная матрица).

На практике встречаются задачи с более сложными видам возмущений, когда у матрицы А есть присоединенные элементы ; собственному элементу, отвечающему нулевому собственному числу, . на матрицу В накладывается единственное условие : беКА+гВНО. Такие матрично сингулярно возмущенные задачи исследованы в работа: Г.А.Куриной, где построены асимптотики по параметру е решени некоторых задач оптимального управления без ограничений на управ ление путем построения асимптотики решений двухточечных краевы: задач, получаемых из принципа максимума Понтрягина.

Наряду с известной задачей с "дешевым" управлением, в которой управление входит в минимизируемый функционал с малым параметром представляет интерес исследование подобной задачи в случае, когд. в критерии качества не все управления являются "дешевыми". Тага* задачи являются задачами, близкими к вырожденным, так как при е=) мы получаем вырожденную в смысле принципа максимума задач;

оптимального управления.

Цель работ. Развитие и обоснование прямой схемы применения метода пограничных функций в матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задачах оптимального управления и задачах оптимального управления, близких к вырожденным.

Методы исследования. В работе применяются методы теории оптимального управления и теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений.

Научная новизна работ определяется следующими основными результатами:

- построена и обоснована асимптотика решения матрично сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи оптимального управления со свободным правым концом (для этой задачи установлено свойство невозрастания значения функционала с каждым новым асимптотическим приближением и доказана теорема о субоптимальности);

- построено формальное асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления с закрепленными концами;

- построена асимптотика решения и доказана теорема о невозрастании значений функционала для линейно-квадратичной задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества;

- построена асимптотика решения и доказаны теоремы о невозрастании значений функционала и субоптимальности для линейно-квадратичной задачи оптимального управления с "дешевым" управлением;

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы при построении схем приближенной декомпозиции матрично

сингулярно возмущенных задач оптимального управления и за, оптимального управления, близких к вырожденным; при исследова: задач математической экономики и теории цепей, а также , развития соответствуодих численных методов, когда в качес начальных приближений берутся найденные в работе асимптотичес! разложения.

Апробация работ. Результаты работы докладывались на Всес юзном совещании "Прикладной асимптотический анализ и спектральв задачи" ("Ашхабад, 1990), Всесоюзной конференции "Дифференциальн уравнения и оптимальное управление" ("Ашхабад, 1990), Мевдународн конференции "Control system synthesis: tbeory and applicatlo. (■Новосибирск, 1991), Всесоюзной конференции "Асимптотические мето, теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставлена задач" ("Бишкек, 1991), научно-практической конференции "Диффере] циальные уравнения и их приложения" (Ашгабат, 1993), семинар* лаборатории функционального анализа ИМ и КТ АНТ, на семинаре пс руководством С.Г.Крейна в Воронежском ЛТИ, Международной конферев ции "Slngular solutions and perturbations in control systems ГПереславль-Залесский, 1993), семинарах ИМ и КТ АНТ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в шести работах список которых приведен в конце автореферата. В совместных работа: соавторам принадлежат постановки задач и схемы доказательств теорем.

Структура и объем работ. Работа состоит из введения, двр глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит 128 страниц, библиография - 67 названий.

СОДЕРЖАЩЕ ДИССЕРТАЦИЙ

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, указывается цель исследования, приводится обзор работ, связанных с темой диссертации,излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются задачи оптимального управления линейными объектами без ограничений на управление с матрично сингулярно возмущенными уравнениями состояния.

В §1.1 строится асимптотика решения матрично сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи оптимального управления со свободным правым концом

т

рв :.7е(и)ф' (т)рх(тн^ ' а )ха ни'а та М1тш, о) (А+евша = стхт + вами, (4)

х(О) = 1°, (5)

где 1^10,Т), причем допустимые управления и(1)

являются непрерывными функциями на интервале времени пере-

водящими фазовую точку из состояния, удовлетворяющего условию (5), в произвольную точку пространства /Г, ЯП.МУШ^О, R(t)-R^(1)>0, Р=Р'>0, (1еМ=0, (А+еВ)?0, все В-жордановы цепочки матрицы А имеют одинаковую длину р, штрих означает транспонирование.

Здесь строится асимптотика решения задачи Р , используя прямую схему, которая заключается в подстановке в условия задачи Ре постулируемого асимптотического разложения решения и получении серии задач оптимального управления для определения каждого приближения.

Следуя методу пограничных функций, решение задачи Р ищем в

виде

га,е)= I е1[г.(г)+П.г(1о)+0.г(11)], г'=(х',и')> (6)

где 1а=г/ер, ^l=(•í-2,^/ep, г^г), <Эг(\) - регулярные,

левые .и правые пограничные члены соответственно. Подставляя (6) в (3)-(5), мы получаем разложение критерия качества в степенной ряд по в для определения критериев оптимальности, уравнения состояния для приближенных задач декомпозиции и начальные условия для членов разложения (6).

Если А+еВ = сИаё(1,Е1), то прямая схема применялась для нелинейных задач со свободным правым концом С.В.Белокопытовым и М.Г.Дмитриевым.

Отметим, что при А+£В=сНав(1 ,е1) в работах С.В.Белокопытова, М.Г.Дмитриева, используя преобразованное значение коэффициента <1 при е1 в разложении функционала Je, при четном í получается задача для нахождения членов регулярного ряда г.^Ш, при нечетном С получаются задачи для нахождения членов

пограничных рядов соответственно.

В настоящей работе для задачи (3)~(5) получаем следующее: при 1=0,р-1 (все В-жордановы цепочки матрицы А имеют одинаковую длину р; если С - четное, то получаем задачу Р^2 для нахождения если С-нечетное, то преобразованное значение Ji является известнш, которое зависит от известных членов zj(,í^ - решений задач Р. при (1-1)/2. И только начиная с 1=р, появляются задачи П0Р и <2оР для нахождения Пог(%о) и Оог(ч1) соответственно.

В § 1.1 получены задачи Р., 1=0,1р/2), ПоР, <ЗоР [[а), как

обычно, означает целую часть числа а) и доказано утверждение о субоптимальности:

Теорема 1.1.3. Управление

й: р„, (* .е>=йс а (%)*... +ег 'й, , (X топ(1о Мои<\ )

является субоптимальным управлением порядка 2(1р/21+1) задачи (3)-(5), т.е.

и при зтом справедливы оценки

где и*-оптимальное управление, а ^-оптимальная траектория задачи (3)-(5), хгрЛ1-решение задачи (4),(5) при и(г)=й1р^Х]а,е), положительная постоянная с не зависит от 1, е.

При условии устойчивости некоторого оператора, определяемого по матрицам А, В, С из уравнения (4), установлено свойство невозрастания значений функционала в исходной задаче с каждым новым асимптотическим приближением, полученным по прямой схеме: Теорема 1.1.4.При достаточно малых е>0 имеют место неравенства

J (й № (й ),

е п-» е г»

^ № (й +(} и),

е г» -1 о ' е г» о '

JJйn_í-^Пou+Qou)2Je(йn+ПoшQou) при я=1,(р/2], J (й (й +П и) при п=0,[р/2},

С П 6 П О * *

п

где йп(г,е) = ^ е1й. (г) (п$[р/2]).

В конце параграфа приводится численный пример, иллюстрирующий

свойство невозрастания значений функционала с каядым новым асим-

птотическим приближением.

В §1.2 с помощью прямой схемы строится формальное асимптот

ческое решение матрично сингулярно возмущенной линейно-квадрати

ной задачи оптимального управления с закрепленными концами т

Ре: Jb(u) = | J [x'(t)W(t)x(t) + u'(t)R(t)u(t)]at —► min, о u

(A-heB)x(t) = G(t)x( t) + D(t)u(t),

x(0) = x°, x(T) = xr. Условия на матрицы W(t), R(t), A, B, C(t), D(t) здесь такие ж как в §1.1.

В случае, когда все матрицы являются постоянными и матрица имеет одномерное ядро, в работе Г.А.Куриной построена асимптота по параметру е решения последней задачи ?е путем построен асимптотики решения двухточечной краевой задачи, полученной принципа максимума Понтрягина.

Здесь асимптотика решения задачи Ре строится, используя прям схему.

В § 1.2 наряду с задачами Рк, i=0,(р/21, П0Р, Q0P удалось п лучить также задачи P1(jW)x2i, йР, QtP.

Заканчивается параграф примером построения асимптотики.

Глава II посвящена сингулярно возмущенным задачам оптимально управления, близким к вырозденным.

В §2.1 рассматривается линейно-квадратичная задача оптима/ ного управления с матричным сингулярным возмущением в критер качества

Ре: JJu)=± J \x'(t)W(t)x(t)+u'(t)(A+eB)'R(t)(A+eB)u(t)Jdt—»rain, о u

x(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t), x(0) = x°.

При D(t)=I, постоянных матрицах, W>0 и одномерном ядре матрицы А в работах Г.А.Куриной была построена асимптотика решения задачи Ре путем построения асимптотики решения двухточечной краевой задачи, полученной из принципа максимума Шнтрягина.

Очевидно,что при е=0 управление в этой задаче является особым, т.е. не определяется однозначно из принципа максимума Понтрягина. С помощью преобразований последняя задача приводится к задаче, аналогичной по форме записи рассмотренной в § 1.1. Здесь ситуация соответствует, так называемому, критическому случаю в теории сингулярно возмущенных задач. Используя управление в виде обратной связи, для этой задачи доказана теорема о невозрастании значений функционала с каждым новым асимптотическим приближением, построенным по прямой схеме (построены (р/2] регулярных членов и нулевые пограничные члены).

В § 2.2 строится асимптотика решения линейно-квадратичной задачи с "дешевым" управлением т

Ре: J \x'(t)W(t)x(t)+ezu'(t)R(t)u(t)]<it — min.

о u

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(0) = x°, которая является частным случаем задачи, рассмотренной в § 2.1, при А=0, В=1.

Эта* задача рассмотрена в работе R.E.Jr.O'Malley, A.Jameson,

где авторы преобразуют ее к другой задаче, для которой стро асимптотику решения методом пограничных функций,переходя к краев задаче принципа максимума Понтрягина.

Здесь, объединяя подход R.E.Jr.O'Malley, A.Jameson и прям схему, строится асимптотика, которая приводит к субоптимально управлению любого порядка, обладающему свойством невозрастан значений функционала с каждым новым членом приближения.

В заключение выражаю глубокую признательность своим научн руководителям Дмитриеву Михаилу Геннадьевичу и Куриной Гали Алексеевне за помощь в работе.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Белокопытов C.B., Дмитриев М.Г., Овезов Х.А. Построен субоптимялыгах управлений в линейно-квадрятичттх задачах, близк к вырожденным. // Информатика и системный анализ (Сборник статей Ашхабад, 1990. С. 4-19.

2. Овезов Х.А. Сингулярно возмущенные задачи управления критическом случав.//Тез. докл. Всесоюзной конф. "Дифференциалы уравнения и оптимальное управление". -Ашхабад, 1990. С.188.

3. Овезов Х.А.Прямая схема для матрично сингулярно возмущеш линейно-квадратичной задачи оптимального управления со свобод! правым концом. // Труды научно-практической конференции "Дифферх циальные уравнения и их приложения". Ашгабат, 1993. Ч.З. С.24-31

4. Дмитриев М.Г..Курина Г.А., Овезов Х.А. Использование пря! схемы для решения линейно-квадратичной задачи оптимального упрг ления с сингулярным возмущением. //Известия РАН. Теория и сист<

управления. 1996. N4. С.62-68.

5. Курина Г.А., Овезов хГа. Асимптотический анализ матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач отвального управления. //Известия высших учебных заведений. Математика. 1996. N12. С.63-74.

6. Ovezov Н.A.Direct scheme for a singularly perturbed optimal control problem with the open right side'. Singular solutions and perturbations in control systems. August 23-27, 1993. PereslaYl--Zalessky, Russia. Abstracts. P. 29-31.