Асимптотическое решение дискретных сингулярно возмущенных задач оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правшуэукоииси

НЕКРАСОВА НАТАЛЬЯ ВИКТОРОВНА

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01,02-дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воровеж-2006

Работа выполнена в Воронежской государственной лесотехнической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Курина Галина Алексеевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дмитриев Михаил Геннадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита диссертации состоится 26 декабря 2006 г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.03S.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «£ ■У » ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05,

доктор физико-математических наук, г п-м—

профессор Н-&Ч, - Гликлих Ю.Е

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интерес к сингулярно возмущенным задачам оптимального управления особенно возрос за последние тридцать, лет. Сингулярные возмущения связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т.п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.)- Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач появляются "жесткие" краевые задачи, численное решение которых вызывает серьезные трудности (большое время счета, неизбежное накопление вычислительных ошибок и др.). В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, так как их использование часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелннейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности,.

Большинство работ по этой тематике посвящено изучению непрерывных систем, в то время как множество задач экономики, социологии, биологии описывается дискретными моделями. Так, например, в монографии Gajie Z., Lim М. (2000) представлены дискретные сингулярно возмущенные задачи, возникающие при моделировании динамики самолетов F-8, F-15, а также при моделировании паровой турбины. Кроме того, дискретные задачи возникают при численной реализации непрерывных задач оптимального управления. Один из возможных способов перехода от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям описан в справочнике до теории автоматического управления под редакцией Красовского A.A. (1987). Общая теория дискретных задач оптимального управления представлена, например, в монографиях Пропоя АЛ (1973) и Болтянского В.Г. (1973).С начала 1980-х годов объектом интенсивного изучения становятся дискретные сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Различным классам таких задач посвящены монографии Naidu D.S. и Rao A.K. (1985), Naidu D.S. (1988), Gajic Z. и Lim M. (2000). Одной из особенностей дискретных задач оптимального управления является их большая размерность, поэтому использование асимптотических методов для их исследования особенно актуально.

В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, асимптотический анализ решений задач оптимального управления производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используется метод, пограничных функций Васильевой-Вишнка-Люстершка (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O'Malley R.E. Jr., Saimuti P. (1976), Васильева AX., Дмитриев М.Г. (1982), Saksena V.R., O'Reilly J., Kokotovic P.V, (1984), Курина Г. A. (1992), Naidu D.S. (2002), Дмитриев M. Г., Курина Г. A. (2006)). Широкое распространение получил также способ разделения движений при помощи метода интегральных многообразий (см., например, работы Соболева В.А. (1984,1991)).

В отличие от использования асимптотики решения краевой задачи, вытекающей из условий оптимальности управления для исходной задачи, второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, в литературе часто называемый «прямой схемой», заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.

Для непрерывных задач второй путь построения асимптотики использовался для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств в статье Черноусько Ф.Л. (1968) и без ограничений на управление в монографии Моисеева H.H. «Асимптотические методы нелинейной механики» (1981). Высшие приближения в последней задаче были построены Куриной Г.А. (1995). Заметим, что управление малыми воздействиями встречается в задачах управления космическими аппаратами с малой тягой (электроядерные двигатели, солнечный парус и т.д.), в разнообразных задачах коррекции и в задачах экономики.

Существенное развитие прямая схема получила в работах Еелокопытова C.B. и Дмитриева М.Г. (1985, 1986, 1989), посвященных исследованию сингулярн^ возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление. При этом было построено асимптотическое решение любого порядка точности, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а тахже установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения . оптимального управления. Асимптотическое разложение решения дня непрерывной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в уравнении состояния построено при помощи прямой схемы Куриной ПА, и Щекунских С.С. (2005).

Дня построения асимптотического разложения решения дискретных задач оптимального управления, также как и в непрерывном случае, используются два подхода: анализ решения на основе построения асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления, и прямая схема.

Первый подход использовался, например, в монографиях Naidu D.S. и Rao A.K. (1985), Naidu D.S. (1988), Gajic Z. и Lim M. (2000) для решения дискретных сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач с фиксированным левым концом и свободным правым.

Прямая схема применялась Дмитриевым М.Г., Белокопытовым C.B., Ганповым М.А. (1995) при построении асимптотики потранслойного типа для решения дискретных нелинейных задач управления с малым шагом. Куриной

Г.А. (2002) этим методом исследовались задачи оптимального управления дня одного класса дискретных слабоуправляемых систем.

Цель работы. Построить асимптотическое решение для следующих трех типов задач:

— нелинейная дискретная сингулярно возмущенная периодическая задача оптимального управления; ■

— нелинейная дискретная сингулярно возмущенная задача оптимального управления в случае, когда для части переменных состояния фиксирован левый конец, а на остальные переменные состояния накладывается условие периодичности;

— дискретная задача оптимального управления для одного класса слабоупрявляемых систем.

Методика исследований. Основным в диссертационной работе является асимптотический метод «прямая схема». В работе также используются методы общей теории оптимального управления и классические методы теории дифференциального исчисления функций многих неременных.

Научная новизна. Дня вышеперечисленных трех типов дискретных задач оптимального управления при помощи прямой схемы получены следующие результаты:

— доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи в окрестности решения вырожденной задачи;

— построено асимптотическое разложение решения;

— получены оценки близости приближенного решения к точному решению задачи по управлению, траектории и функционалу;

— доказано невозрастание значений минимизируемого функционала с каждым последующим асимптотическим приближением оптимального управления.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для построения приближенных решений конкретных дискретных сингулярно возмущенных задач оптимального управления и, в частности, дискретных задач управления слабоупраиляемыми системами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: на семинарах в В ГУ, ВГЛТА (под руководством В.Г. Задорожнего, А.И. Перова, ГЛ. Куриной); неоднократно в Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2003-2006 гг.); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004); на пятнадцатой Крымской осенней математической школе-симпозиуме «Spectral and Evolutionary Problems» (Simferopol, 2005); на 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference ECC 05 (Seville, Spain, 2005).

Проведенные в работе исследования выполнялись при частичной поддержке РФФИ (гранты № 02-01-00351, № 06-01-00296).

б

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации,

опубликованы в работах [1], [5]-[7], [9] автора и в совместных работах [2], [3], [4], [8], [10]. Работы [3], [4], [8], [10] написаны совместно с научным руководителем Г.А. Куриной, которой принадлежат постановки задач и схемы доказательств некоторых теорем. Из совместной работы [2] с А.И. Рудаковой в диссертацию вошли только полученные автором результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пятнадцать параграфов, и библиографического списка из 46 наименований. Общий объем диссертации составляет 112 страниц. Нумерация приводимых в автореферате теорем и условий совпадает с нумерацией, принятой в диссертации.

Краткое содержание работы

Во введении представлен краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и дано краткое описание диссертации по главам.

В первой главе строится асимптотическое разложение решения нелинейной дискретной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления.

§ 1.1 содержит постановку задачи. Рассматривается дискретная задача оптимального управления следующего вида

Ъ • Л («) = Х^л 0<*),®(*)>и <*)) ют, к-о " 1)=fkiyik),€z(k),u^k% __(1>

2{к +1) = 8к (>(£), £2(*>, «ш k = 0,N—í,

у(= г(0)=г<Х>, ___

где х(к) е Я"2 (к = оГлО, и(к) е Дг (* = 0,ЛГ-1), /¿-скалярные

функции, -функции со значениями в А'4, gt -функции со значениями в Я"2, £ > 0-малый параметр, число шагов N фиксировано, функции Рк, /к, предполагаются достаточное число раз непрерывно дифференцируем ымя по своим аргументам.

Особенность такой постановки задачи заключается в том, что условия периодичности для переменной состояния позволяют избежать появления погранфункций в асимптотике решения, тах как не происходит потери дополнительных условий при переходе к вырожденной задаче.

В § 1.2 исследуется вырожденная задача, соответствующая возмущенной задаче (1),

Р: Л 00 = ХЛ (У (*>>°*<*»■о™.

А-0 " _

Н*+1) = Л(Я*).0."<*0)> г(Аг + 1) = г(1О?(Л),0,ы(А)), *-0,ЛГ-1, К«)*(<>)«=

Из вырожденной задачи Р можно получить задачу оптимального

управления для переменной состояния у, которая имеет меньшую размерность, чем переменная состояния в исходной возмущенной задаче. Предполагается, что выполнено

Условие 1.1. Задача Р имеет единственное решение у0, В § 1J при помощи прямой схемы строится формальное асимптотическое разложение решения задачи (1) в виде ряда по целым неотрицательным степеням малого параметра

у(к) = TeJyjW> «(*)= (2)

JH) JZO j-гЯ ■

В результате подстановки разложений (2) в задачу (1) после некоторых преобразований получены соотношения для коэффициентов этих разложений и разложение минимизируемого функционала в виде ряда

Л(«)=2>Чм (3)

Для нахождения коэффициентов у0(к), z0(k), щ(к) разложения (2) используем задачу которая совпадает с вырожденной задачей Р.

Для нахождения коэффициентов уj (к), г j (к), Uj(k) при j £ I используем линейно-квадратичные задачи Pj вида

Pj:JJ(UJ} = ^ày\(kWtyj(^ + ^u)(k)Rkuj(k) + y)(k)Skuj(k) + a{zj(k) + к-0 ^ ^

+ b[y,(к) + с{и,(к)) min, "s

= 2j(0) = Zj(N)>

где штрих здесь и далее означает транспонирование, черта сверху означает, что значения соответствующих функций и их производных вычисляются при у(к) — у$(к), ez(k) = 0, и(к) = и0(к), волна сверху означает, что значения

функции вычисляются при ytk) = yj_i(k) = ^£lelyi{k)i z(k) = =^(А),

ÎH0 ï=0

и(к) = ïïj^(k) - ^е'и^к), [f{\,, [g* ] j -коэффициенты при e1 в разложении î-O

значений функций fk, gk в ряд по целым неотрицательным степеням малого параметра st коэффициенты Wk, Rk, а{, й/, с/, зависят от решений краевых задач, вытекающих из условия оптимальности управления в задачах Р/, i = 0,j — 1 (в диссертации для этих коэффициентов указан явный вид). Предполагается, что выполняются следующие условия.

Условие 1.2. f^* Sk j>0, Rk >0, jfc = 0,JV-l.

Условие 13.Матрица I обратима.

Условие 1.4. Матрица I — где Lk -(/*)„-R^Sj,

к = О, N -1, обратима.

Задача Pj может быть преобразована в задачу оптимального управления с переменной состояния yj и управлением Uj. При условиях 1.2-1.4 доказана однозначная разрешимость линейно-квадратичных задач Pj.

Краевая задача, вытекающая из условий оптимальности управления для задачи Pet имеет вид

** + !)- Л CK*), »(*),«(*)), z(k +1) = Sk «(*)},

pik)=-{Fk(y{k),G{k\u{my+ifk(yik),€z{k)Mm'ypik+1)+

+{в„<як)мь)мт'у ее**».

+ + l)(gk (у(к)Мк)Мк))\ = 0, к = О,JV -1,

мо)=хло, ^(о)=2(лг), т-р(ю.

В работе доказано, что если искать решение задачи (4) в виде рядов (2) и рядов |

./го JiO

то справедлива

Теорема 1.1. Уравнения системы для состояния, управления и сопряженной переменной, полученные с помощью необходимого условия оптимальности управления для задачи Р„, п £ 0, совпадают с уравнениями для у„, z„, и„, р„, q„ из асимптотики (2), (5) решения задачи (4), полученной из условия оптимальности управления для задачи (1).

В следующей теореме устанавливается вид коэффициентов из разложения (3), который позволяет определить задачи оптимального управления для нахождения коэффициентов из разложений (2).

Теорема 1.2. Коэффициент J2m~i и3 разложения (3) известен после

решения задач Pt (i = 0,m — 1, mäl), из которых находятся yjt zjt н,. Преобразованное выражение для коэффициента J2m после отбрасывания членов, известных после решения задач Я, (i = О, m—1, »»ä 1}, совпадает с критерием качества J„ (ым ) в задаче Рт.

В § 1.4 доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи (1) в

окрестности решения вырожденной задачи, получены оценки близости приближенного решения к точному решению задачи по управлению, траектории и функционалу, а также доказано невозрастание значений минимизируемого функционала с каждым последующим асимптотическим приближением оптимального управления. Эти результаты сформулированы в виде следующих двух теорем.

Теорема 13. При условиях 1.1-1.4 и достаточно малых г > 0 задача (1)

• *

однозначно разрешима в окрестности управления и0 и для ее решения и , у , г* справедливы следующие оценки

и(к)-ип{к) = СКе^), y(h)-yn(k)=Ü(e"*), /(*)-?„(A) = Q(sn+1),

Теорема 1.5. При условиях 1.1-1.4 и достаточно малых s>О справедливы неравенства

(6)

где н, = gl иj, при щ Ф 0 в (6) имеет место знак строгого неравенства, о

В § 1.5 рассматривается дискретная периодическая сингулярно возмущенная линейно-квадратичная задача, которая является частным случаем задачи (1). В § 1.6 содержатся численные примеры, иллюстрирующие предложенный метод.

Во второй главе строится асимптотическое разложение решения нелинейной дискретной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления в случае, когда для части переменных состояния фиксирован левый конец, а на остальные переменные состояния накладывается условие периодичности.

§ 2.1 содержит постановку задачи. Рассматривается дискретная задача следующего вида

Ps : Jc (и) = Fn (у(Ю) + OW.zWM*» min,

y(k +1 ) = fk CK*), «(*)), __(7)

sz(k +1) = CKi),r(fc),H{A)), * = 0,JV-1,

ЯО) = Л r(0) =>,z(JV), ____

где Xi)^"1, z(k) e R"2 (k = ÖJO, «(*) e Rr (* = 0,ЛГ-1), Fk - скалярные функции, fk — функции со значениями в R"1, gt— функции со значениями в R"2, £>0 — малый параметр, число шагов jV фиксировано, фиксированный вектор из пространства R"1. Функции Fk> fk, gt предполагаются достаточное число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам.

Условие периодичности для переменной г позволяет избежать появления погранфунхций в асимптотическом разложении решения возмущенной задачи, так как при переходе к вырожденной задаче не происходит потери дополнительных условий. В § 2.2 исследуется вырожденная задача

р ■ Л") = F„(ЯЛГ)) + s'ii(Як\2(к)Д(к))min,

А=0 " _

Я0)«/. z(0) = z(N).

Предполагается, что выполнены следующие условия. Условие 2.1. Система 0 = gk(у(к),г(к),й(к)), k = 0,N~lt однозначно разрешима относительно z(k) при любых й(к), у{к), к « 0,N — 1.

Условие 12.. Задача Р имеет единственное решение z0, и0. С учетом условия 2.1 задачу Р можно преобразовать в задачу оптимального управления о управлением и и состоянием у, то есть в задачу с переменной состояния меньшей размерности, чем в исходной возмущенной задаче.

В § 2.3 при помощи прямой схемы строится формальное асимптотическое решение задачи (7). Решение задачи (7) ищется в виде рядов (2), в результате подстановки которых в условия задачи после некоторых преобразований получены разложение минимизируемого функционала в виде ряда (3) и соотношения для коэффициентов разложения (2).

Для определения тройки функций (у0, z0, ы0) используем задачу Рй, которая совпадает с вырожденной задачей Р.

Для нахождения коэффициентов yj(к), zj(A), Uj(k) разложения (2) при

j £ 1 используем линейно-квадратичные задачи Pj вида

WWyjт+dJNyj(N) + £ ¿у)^Wrfj{k)+\z){k)VkZj(к)+ к-о z

U J (k)+y'j (k)NkUj{k')+y'j (k)LkZj (k)+z) (k)Mkuj (к) + aJtyj (k)+

+ b{zj(k)+c(uj(k)) min, "J

»^(ft+ij-sijy^ttj+ciij.^w+dij.eyw+iffiiy,

yj{Q) = OtZj{0) = Zj(N),

где черта сверху означает, что значения соответствующих функций и их производных вычисляются при ^(¿J-^oW» 2(k)-Zfi(k), и{к) = и0(к), волна

сверху означает, что значения функции вычисляются при № - Ул »)1= ?,_,{*) = £>'х,<*),и(*) = «,_,(*) = £>4 (А),

/•=0 (-0 М)

[Л1/( коэффициенты при в разложении значений функций Ук, ¿>к в

ряд по целым неотрицательным степеням малого параметра е, Р, Ык, Лд, Ук, 1*к, Мк, а(, Ъ{, с{ зависят от решений краевых задач, вытекающих из условия оптимальности управления в задачах 1 = 0,у — 1(в диссертации для этих коэффициентов указан явный вид).

Предполагается, что выполнены следующие условия.

(щ Ьк

А П Щ Л м\ лк)

Условие 2,3. Rk > 0,

£0, * = 0,ЛГ-1, F&0.

Условие 2.4.Матрицы (g^)г ~(gk)uRklMk, k = 0,N — l, невырождены. Условие2.5.Матрицы (gk)z> к = 0,N — ], невырождены. С учетом условия 2.5 задачу Ру можно преобразовать в задачу оптимального управления с управлением и у и состоянием у у, то есть в задачу с переменной состояния меньшей размерности, чем в исходной возмущенной задаче. Из условий 2.3-2.5 следует однозначная разрешимость линейно-квадратичных задач Ру.

Краевая задача, вытекающая из условия оптимальности управления в задаче (7), имеет вид

у{к +1) = Л <y(A),z(fc),"(*)), £z(* + l) = gt(y(*),z(*). «(*)), Pik) = ~iFk (yik),z(k)Mmy + ifk{Ak),z{k),u{k)% 1)+ +{gk CK*),.r(*),w(*)))>(*+D, (8)

eq(k) - +« (x*).

+ q\k + l)(_gk(y(,k),z(k)Mm« =0, fc = 0,JV-l,

А0) = у\ z(0) = z(N), p{N) = , 9(0)=?(JV).

Доказано, что если искать решение задачи (8) в виде рядов (2), (5), то справедлива

Теорема 2.1. Уравнения системы для состояния, управления и сопряженной переменной, полученные с помощью необходимого условия оптимальности управления для задачи Рп, п > 0, совпадают с уравнениями для у„, г„, и„, р„, д„ из асимптотики (2), (5) решения задачи (8), полученной из условия оптимальности управления для задачи Рг.

В следующей теореме устанавливается структура

коэффициентов из разложения (3), с учетом которой определяются задачи для нахождения коэффициентов разложения (2).

Теорема 2.2. Коэффициент Jim-\ в разложении (3) известен после

решения задач Р, (i = O.jw—1, «Ы), из которых находятся yjt zf, ut. Преобразованное выражение для коэффициента Jim после отбрасывания членов, известных после решения задач/} (i = 0,m-l, mil), совпадает с критерием качества Jт (ит ) в задаче Рт.

В § 2.4 доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи (7) в окрестности решения вырожденной задачи, получены оценки близости приближенного решения к точному решению по управлению, траектории и функционалу, установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании новых членов асимптотическою разложения оптимального управления. Эти результаты сформулированы в виде следующих двух теорем.

Теорема 23. При условиях 2.1-2.5 и достаточно малых е > 0 задача (7) однозначно разрешима в окрестности управления и0 и для её решения и*, у*, 2 справедливы следующие оценки и*(к) -«„(£)=), у* (к) -у„(Щ =С(£7Ы )„

Теорема 2.5. При условиях 2.1-2.5 и достаточно малых е>0 справедливы неравенства

< = (9)

где щ = j^s^uj, при w( * 0 в (9) имеет место знак строгого неравенства.

В § 2.5 содержатся численные расчеты, иллюстрирующие прямую схему для задачи вида (8).

В третьей главе строится асимптотическое разложение решения дискретной задачи оптимального управления для одного класса слабоуправляемых систем.

§ 3.1 содержит постановку задачи. Рассматривается дискретная задача следующего вида

^ S Fk (*(*))+i zW(*(*)> »(*)) min, t-0 О _"

. х(к +1) = fk(*(*)) + £pgt(*(*),«(*)), k = 0,N-l, (10)

*<0) = *°, _ _

где х(к) eRm(k — 0,N), u(k)eRr(k = 0,N — X), р> 2 — натуральное число, число шагов N фиксировано, Fit — скалярные функции, fk, gk — функции со значениями в Rm, фиксированный вектор из пространства Rm, £>0 —

малый параметр, функции Рк, /к, (?*, %к предполагаются достаточное число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам.

Формально положив в задаче Ре е-0, получим вырожденную задачу

Р_р вида + = ¿ = 0,7^-1, = решив которую найдем

невозмущенную траекторию х0. Заметим, что вырожденная система не является управляемой.

В § 3.2 при помощи прямой схемы построено формальное асимптотическое разложение решения задачи (10) в виде ряда по целым неотрицательным степеням малого параметра

*(*)- «(*>= (11) /го /го

В результате подстановки разложений (11) в условия задачи (10) получено разложение функционала в виде ряда (3) и соотношения для коэффициентов этих разложений:

*о (*+1) - Л. <*+1)=<Л)>1 (*),

[ (Л )ххАк) + \Ук 114 < 1 < Р> _

Здесь и далее черта сверху означает, 'Что значения функций вычисляются при *(£) = *„(£), и(А)=м0(£), волна сварку означает значения функций в

точках хЮ-глЮ-ё^*). и(к) = (к) ~ ^ £>и'{к)>

означает коэффициент при в разложении значения функции /к + в ряд по целым неотрицательным степеням малого параметра е

Для нахождения коэффициентов при ) - — р + 1,-1 используем

начальные задачи, которые имеют следующий вид:

Решениями задач Р} при У = -р +1,-1 являются нулевые функции. Для нахождения пары функций (и0, л^,) используем задачу вида Л1-'—

¿о т!п»

*=о «о _

Предполагается, что выполнены следующие условия.

Условие 3.1. Уравнение ((?*)„ =0 имеет единственное решение и0.

Условие 3.2. Матрицы Ик =(<34)1Ш, к = 0^—1, положительно определены.

Для нахождения пары функций при 0 <j< р-1 используем

задачи Pj вида — 1 .

JAuj} = ^ (k)RkujW min. * t=o иj

W 0)-0. _

Заметим, что задача Pj для j = О, р —2 сводится к задаче безусловной минимизации для нахождения и К начальной задаче для нахождения xp+j. Из вида задачи Pj и условия 3.2 следует, что при lüj<p — 1 и j{к) = 0,

Для; нахождения пары функций {Uj,xp+j) при ji р~\ используются линейно-квадратичные задачи Pj вида

2 (Фр+J(*) + bluj(k) + V,(кЩиJ(к))^ min, i=0 * /

где векторы cjjt aJk, к = О, JV —1, зависят от решения задач Pt, i = — p,j — Нв диссертации указан явный вид этих коэффициентов).

Из условия 3.1 следует однозначная разрешимость задач Pj при j £ р -1. Краевая задача, вытекающая из условий оптимальности управления для задачи Ре, имеет вид

*(* + » = /*(*(*)>+ spgk{x{k)Mk)),

Wik) = ~(Ft (x(i)) + еОк(х(к)Мт'х + (/* (*<*)) + spgk (х(*Хв(*)))>(* +1),

+ = = (12)

Доказано, что если искать решение задачи (12) в виде рядов (11) и ряда

2>V,(*), А = (13)

J* о

то справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1, Уравнения для переменной состояния в задачах Р„ при п £ —р, уравнения, вытекающие из необходимого условия минимума в задачах Р„ при п = 0,р-2, уравнения для управления и сопряженной переменной, вытекающие из необходимого условия оптимальности управления в задачах Рп при nZp-1, совпадают с уравнениями для хр+„(к), и „(к), из

асимптотики (11), (13) решения задачи (12), полученной с помощью необходимого условия оптимальности управления для задачи (10).

Теорема 3.2« Коэффициент J2nt в разложении (3) известен после решения задач Pit j = - p,m — l, wiäl. Преобразованное выражение коэффициента J2m+x после отбрасывания членов, известных после решения задач Р,, i = — р,т - 1, совпадает с критерием качества Jт в задаче Рт,

В § 3.3 доказана однозначная разрешимость возмущенной задачи (10) в окрестности управления и0, получены оценки близости приближенного решения к точному решению задачи, а также доказано невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании асимптотического приближения оптимального управления высшего порядка. Эти результаты сформулированы в виде следующих двух теорем.

Теорема 33 При условиях 3.1,3.2 и достаточно малых £ > 0 задача (10) однозначно разрешима в окрестности управления и0 и для её решения и', х* справедливы следующие оценки

и*(к)-и„(к) - 0(s"+>),*'(*)= OCs^1), J£(»') - (гя) = Oie2"^).

Теорема 3.4» При условиях 3.1, 3.2 и достаточно малых ^>0 справедливы неравенства

Js(ut)ZJs{uM\ i = 1,п, (14)

где uf = , при щ Ф 0 в (14) имеет место знак строгого неравенства.

J*о

В § 3.4 содержатся численные расчеты, иллюстрирующие предложенный метод дня решения задачи вида (10).

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Галине Алексеевне Куриной за постановку задач, полезные рекомендации и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Некрасова Н.В. Асимптотика решения одной дискретной задачи оптимального управления / Н.В. Некрасова // Труды молодых ученых В ГУ. Воронеж, 2001. - Вып. 2. - С. 5-11.

- 2. Некрасова Н.В. Прямая схема решения для одного класса дискретных задач оптимального управления. / Н.В. Некрасова, АЛ. Рудакова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтряпшские чтения-XIV». — Воронеж, 2003. — С. 97-98.

3. Nekrasova N.V. Asymptotic solution of discrete periodic singularly perturbed linear-quadratic problem / G.A. Kurina, N.V. Nekrasova // Generalized Solution in Control Problems. Proceedings of the IF AC Workshop GSCP-2004 and satellite events, Pereslavl-Zalessky, Russia, September 21-27, 2004. — Moscow Fizmatlit, 2004. — P, 169-175.

4. Nekrasova N.V. Asymptotic solution of discrete periodic singularly

perturbed optimal control problem / GA. Kurina, N.V. Nekrasova // Труды международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики». Moscow, 2004. -MMSED-2004.-Р. 171-174.

5. Некрасова ИВ. Формализм построения асимптотики решения линейно-квадратичной дискретной периодической задачи / Hi. Некрасова It Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XV». — Воронеж, 2004. — С. 155-156.

6. Некрасова НЗ. Формализм построения асимптотики решения дискретной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления / HJ3. Некрасова // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. — Воронеж, 2004. -14.1, Т. 2. - С. 378-380.

7. Некрасова Н.В. Формализм построения асимптотики решения нелинейной дискретной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления / Н.В. Некрасова // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XVl». — Воронеж, 2005. — С. 112.

8. Nekrasova N.V. Asymptotic solution of singularly perturbed nonlinear discrete periodic optimal control problem / G.A. Kurina, N.V. Nekrasova // Proceedings of the 44A IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference ECC 05. - Seville, 2005. - P. 3531-3536,

9. Некрасова Н.В. Формализм построения асимптотики решения одной нелинейной дискретной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления / HJ5. Некрасова И Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XVU». - Воронеж, 2006. - С. 121-122.

10. Некрасова Н.В. Асимптотика решения одного класса сингулярно возмущенных дискретных задач оптимального управления / Г.А. Курина, Н.В. Некрасова // Вестник ВГУ. Сер. Физика, математика. — 2006. — № 2. — С.188 — 195.

Работа [10] опубликована в ведущем рецензируемом издании, соответствующем перечню ВАК РФ.

Подписано в печать 22.11.2006. Формат 60x84/1 б. Усл. п. л. ),0. Тираж 100. Заказ 931. Издательско-полнграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.20$-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Введение

Глава 1. Асимптотика решения дискретной нелинейной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления

§1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Вырожденная задача

§ 1.3. Формализм построения асимптотики

§ 1.4. Оценки приближенного решения

§ 1.5. Линейно-квадратичная задача

§1.6. Примеры

Глава 2. Асимптотика решения дискретной нелинейной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с другими краевыми условиями на переменные состояния

§2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Вырожденная задача

§ 2.3. Формализм построения асимптотики

§ 2.4. Оценки приближенного решения

§2.5. Пример

Глава 3. Асимптотика решения дискретной задачи оптимального 86 управления для одного класса слабоуправляемых систем

§3.1. Постановка задачи

§ 3.2. Формализм построения асимптотики

§ 3.3. Оценки приближенного решения

§3.4. Пример

За последние тридцать лет усилился интерес к сингулярно возмущенным задачам оптимального управления (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O'Malley R.E., Sannuti Jr., P. [29], Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. [5], Naidu D.S. [33], Дмитриев М.Г., Курина Г.А. [8] и библиографический указатель [14], составленный Куриной Г. А., Долгополовой Е.Ю.). Указанные обзоры содержат ссылки на работы, в которых методы сингулярных возмущений использовались для решения практических задач. Сингулярные возмущения связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т.п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.). Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач появляются "жесткие" краевые задачи, численное решение которых вызывает серьезные трудности (большое время счета, неизбежное накопление вычислительных ошибок и др.). В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, так как их использование часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности.

Большинство работ по этой тематике посвящено изучению непрерывных систем, в то время как многие задачи экономики, экологии, социологии, биологии описываются дискретными моделями. Так, например, в монографии Gajic Z., Lim М. [28] исследованы сингулярно возмущенные дискретные модели самолетов F-8 из [27] и F-15 из [27], [36]. В [28] также представлен метод исследования дискретной сингулярно возмущенной задачи, возникающей при моделировании паровой турбины из [31]. Кроме того, дискретные задачи возникают при численной реализации непрерывных задач оптимального управления. Один из возможных способов перехода от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям представлен в справочнике по теории автоматического управления под редакцией Красовского А.А. [22]. Общая теория дискретных задач оптимального управления изложена, например, в монографиях Пропоя А.И. [20] и Болтянского В.Г. [3]. С начала 1980-х годов объектом интенсивного изучения становятся дискретные сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Различным классам таких задач посвящены монографии Naidu D.S. [32], Naidu D.S. и Rao А.К. [34], Gajic Z. и Lim M. [28]. Одной из особенностей дискретных задач оптимального управления является их большая размерность, поэтому использование асимптотических методов для их исследования особенно актуально.

В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, асимптотический анализ решений задач оптимального управления производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используется метод пограничных функций Васильевой-Вишика-Люстерника (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O'Malley R.E. Jr., Sannuti P. [29], Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. [5], Saksena V.R., O'Reilly J., Kokotovic P.V. [35], Курина Г. A. [9], Naidu D.S. [33], Дмитриев M. Г., Курина Г. A. [8]). Широкое распространение получил также способ разделения движений при помощи метода интегральных многообразий (см., например, работу Соболева В.А. [21])

В отличие от использования асимптотики решения краевой задачи, вытекающей из условий оптимальности управления для исходной задачи, второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, в литературе часто называемый прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.

Для непрерывных задач второй путь построения асимптотики использовался для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств в работах Черноусько Ф.Л. [23], Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколова Б.Н. [24], Любушина А.А. [16], Первозванского А.А., Гайцгори В.Г. [19] и без ограничений на управление в монографии Моисеева Н.Н. [17]. Высшие приближения в последней задаче были построены Куриной Г.А. [10]. Заметим, что управление малыми воздействиями встречается в задачах управления космическими аппаратами с малой тягой (электроядерные двигатели, солнечный парус и т.д.), в разнообразных задачах коррекции и в задачах экономики. Важные примеры задач управления малыми воздействиями приведены в [16, 23, 24].

Существенное развитие прямая схема получила в работах Белокопытова С.В., Дмитриева М.Г. [1], [2], [25], посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление вида т

Js(u) = G(x(T),y(T)) + \F(x,y,uJ)dt min, о dxl dt = f(x,y,u,t), x(0) = x°, sdyldt = g(x,y,u,t), y(0) = /> x = x{t)eRn, y = y{t)eRm, u = u{t)eRr.

Было построено асимптотическое решение погранслойного типа любого порядка точности, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.

При помощи прямой схемы в работе Куриной Г.А., Щекунских С.С. [15] (см. также [30]) построено асимптотическое разложение решения погранслойного типа для непрерывной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в уравнении состояния вида т

J s (и) = jF(x,u,t,s)dt min i и

A + sB)dx/dt = f(x,u,t,s), х(0) = х(Г), где функции F, f и управление и = u(t) являются Т-периодическими по t функциями, оператор А вырожден и В - жордановы цепочки оператора А имеют одинаковую длину.

Для построения асимптотического разложения решения дискретных задач оптимального управления, также как и в непрерывном случае, используются два подхода: анализ решения на основе построения асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления, и прямая схема.

Первый подход использовался, например, в монографиях Naidu D.S. и Rao А.К. [34], Naidu D.S. [32] для дискретной сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи вида

1 1 N~] Js(u) = -z(N)Fz(N) + - J] {z\k)Wz(k) + u{k)Ru{k)) -> min,

2 2 k=Q и

Гх(к + \)Л(А\ sA2^ y(k + l)J x(k) У(к)

B2 J u{k), x(0) = x°, y(0) = y°, i i i z (к) = (x (k),sy (к)) (здесь и далее штрих означает транспонирование).

Прямая схема применялась в работах Гаипова М.А. [6], Дмитриева М.Г., Белокопытова С.В., Гаипова М.А. [7] при построении асимптотики погранслойного типа для решения дискретной нелинейной задачи с малым шагом вида n-\

Je(u) = G(x(T)) + s ^Р(х(ке),и(к8),к£) -» min, с=0 м = f{x(t\u{t\t), x(0) = x°, где t g Te = {f: t = ks, k = Q,N-1}, T = Ns.

Куриной Г.А. при помощи прямой схемы в [13] исследовался дискретный аналог задачи оптимального управления для слабоуправляемых систем из [17].

Целью данной диссертационной работы является построение асимптотических разложений решений дискретных задач оптимального управления следующих трех типов:

- нелинейная дискретная сингулярно возмущенная периодическая задача оптимального управления;

- нелинейная дискретная сингулярно возмущенная задача оптимального управления в случае условия периодичности на одну из компонент переменной состояния и фиксированного левого конца для другой компоненты переменной состояния;

- дискретная задача оптимального управления для одного класса слабоуправляемых систем.

Прямая схема является основным методом в данной диссертационной работе. В работе также используются методы общей теории оптимального управления и классические методы теории дифференциального исчисления функций многих переменных.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 46 наименований.

1. Белокопытов С.В. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями / С.В. Белокопытов, М.Г. Дмитриев // Известия АН СССР. Техн. кибернет. -1985. - №3. - С.147-152.

2. Белокопытов С.В. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / С.В. Белокопытов, М.Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. 1989. - №7. - С. 71-82.

3. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами / В.Г. Болтянский . -М.: Наука, 1973. -446 с.

4. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Высш. шк., 1990. -208 с.

5. Васильева А.Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А.Б. Васильева, М.Г. Дмитриев // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. 1982. - Т. 20. - С. 3-78.

6. Гаипов М.А. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом без ограничений на управление (формализм)1 / М.А. Гаипов // Известия АН ТССР. Сер. ФТХ и ГН. 1990. - № 1. с. 9-16.

7. Дмитриев М.Г. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом без ограничений на управление (обоснование) И / М.Г. Дмитриев, С.В. Белокопытов, М.А. Гаипов // Изв. АН ТССР.Сер. ФТХ и ГН. 1990. - №2. - С. 10-18.

8. Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. 2006. - № 1. -С. 3-51.

9. Курина Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г.А.Курина // Известия РАН. Техн. кибернет. 1992. - №4. - С. 20-48.

10. Курина Г.А. Высшие приближения метода малого параметра для слабоуправляемых систем / Г.А. Курина // Доклады РАН. 1995. - Т. 343, №1.- С. 28-32.

11. Курина Г.А. Прямая схема построения асимптотики решения задач со слабым управлением / Г.А. Курина // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. - №6. - С. 162-167.

12. Курина Г.А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем / Г.А. Курина // Прикладная математика и механика 2002. - Т. 66, вып. 2. - С. 214-227.

13. Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления. Библиограф, указатель (1982-2002). / Г.А. Курина, Е.Ю. Долгополова (составители). Воронеж: издательство ВГЛТА, 2004.

14. Курина Г.А. Асимптотическое решение нелинейной периодической задачи оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния / Г.А. Курина, С.С. Щекунских // Дифференциальные уравнения. -2005. Т. 41, №10. - С. 1332-1344.

15. Любушин А. А. Сходимость метода малого параметра для слабоуправляемых оптимальных систем / А.А. Любушин // Прикладная математика и механика. 1978. - Т. 42, вып. 3. - С. 569-573.

16. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. / Н.Н. Моисеев. -М.: Наука, 1981.-400 с.

17. Моисеев Н.Н. Методы оптимизации / Н.Н. Моисеев, Ю.П. Иванилов, Е.М. Столярова. М.: Наука, 1978. - 352 с.

18. Первозванский А.А. Декомпозиция, агрегирование и приближеннаяоптимизация / А.А. Первозванский, В.Г. Гайцгори. М.: Наука, 1979. -344 с.

19. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А.И. Пропой. М.: Наука, 1973. - 255 с.

20. Соболев В.А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления / В.А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1991. -№2. - С. 53-64.

21. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

22. Черноусько Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1968. - Т. 32, вып. 1. - С. 15-26.

23. Черноусько Ф.Л. Управления колебаниями. / Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколов. М.: Наука, 1980. - 384 с.

24. Belokopytov S.V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S.V. Belokopytov, M.G. Dmitriev // Systems and Control Letters. 1986. - V. 8, N. 2. - P. 129-135.

25. Brumbaugh R. An aircraft model for the AIAA controls design challenge / R. Brumbaugh // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1994. -V. 17.-P. 747-752.

26. Elliott J. NASA's advanced control law program for the F-8 digital fly-by-wire aircraft / J. Elliott // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977.- AC-22. P. 753-757.

27. Gajic Z. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications. High-Accuracy techniques. / Z.Gajic, M. Lim. Marcel Dekker, 2000. Control Engineering series. - 309 p.

28. Kokotovic P.V. Singular perturbations and order reduction in control theory- an overview. / P.V. Kokotovic, R.E. O'Malley, Jr., P. Sannuti // Automatica. 1976. - V. 12, №3,-P. 123-132.

29. Mahmoud M. Order reduction and control of discrete systems / M. Mahmoud // IEE Proceedings, Part D. 1982. - V. 129. - P. 129-135.

30. Naidu D.S. Singular perturbation methodology in control systems / D.S. Naidu. IEE control engineering series, 34. 1988. - 287 p.

31. Naidu D.S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D.S. Naidu. // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications & Algorithms. 2002. - V. 9. -P. 233-278.

32. Naidu D.S. Singular perturbation analysis of discrete control systems / D.S. Naidu, A.K. Rao. // Lect. Notes Math, 1985. V. 1154. - 195 p.

33. Saksena V.R. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976-1983 / V.R. Saksena, J. O'Reilly, P.V.Kokotovic // Automatica.- 1984,- V. 20, № 3.-P. 273-293.

34. Schomig E. Mixed Я2/Я03 control of multimodel plants. / E. Schoming, M.Sznaier and U. Ly. // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. -1995.-V. 18.-P. 525-531.

35. Некрасова H.B. Асимптотика решения одной дискретной задачи оптимального управления / Н.В. Некрасова // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж, 2001.-Вып. 2.-С. 5-11.