Асимптотика решений некоторых ди...ых задач оптимального управления с си...но возмущеными связями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

'ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Гаипов Мухамедкули Акадович

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИГ \1А ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАМЕНШ С СИ1 НО ЮЗЩЫШЫ' связями

0I.0i.09 - ^тематическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических паук

ИРКУТСК - 1992

Работа выполнена в Туркменском исследовательском центре " НООСФЕРА " - Центре прикладной математики и аридной информатики

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук,профессор М.Г.Дмитриев

Официальные оппоненты -доктор физико-математических

наук,профессор В.А.Плотников

кандидат физико-математических наук,доцент Н.В.Тарасенко

• . 'Ведувдя организация -Белорусский государственный

университет

Защита состоится " И." <Лн 199Д. г. в_час.

на заседании специализированного совета К 063.32.06 по присуждению ученой степени кандидата наук при Иркутском государственном университете ( 664003, Иркутск, ул. К.Маркса I, ИГУ, математический ф-г,спецсовет К 063.32.06 ).

С диссертацией можно'ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета,-

Автореферат разослан Щ И 199 / г.

Учений секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.,доцент

П.Б.Бельтюков

?'' -! -з-

•Актуальность темы. fiHonie задачи экономики, планирования, автомагического управления сводятся к решению задач дискретного оптимального управления, причем шаг дискретности оказывается малым, либо число шагов велико, то есть поведение объектов описывается дискретными (разностными) сингулярно возмущенными уравнениями.

При решении дискрета« задач оптимального управления с уменьшением шага, при фиксированном отрезке существования решения, значительно увеличивается количество вычислений, найти точное решение этих задач очень трудно, иногда и невозможно из-за малости шага. Поэтому для решения дискретных садач оптимального управления с малым шагом целесообразно применять метод, учитывающий малость шага, в частности, строить радение разностной задачи оптимального управления в виде ряда по степеням шага.

Последние году в работах Дмитриева М.Г., Омолли P.E., :Джеймсона А., Кокотовича Р.В., Глизера Б.Я., Калинина А.11. и

др. авторов, интенсивно развивается направление, связанное с

«

, применением методов теории сингулярных возмущения к задачам оптимального управления. Основным методом исследования в этих работах был метод пограничных функций Васильевой А.Б. Обычно метод пограничных функций применяется для построения асимптотики решения краевой задачи принципа максимума. Тпкоп применение метода пограничных функций имеет некоторые недостатки: во-первых, теряется вариационный смысл каждого асимптотического приближения и накладываемых условий существования асимптотики; во-вторых, остается неясным вопрос существования оптимального управления в исходной задача и субоптимальности построенной асимптотики управления; в-третьих, затруднено применение традиционных методов оптимального управления и пакетов прикладных программ для

нахождения каждого асимптотического приближения; и наконец, в-четсертых, применение этого способа сужает класс рассматриваемых задач.

В роботе Дмитриева М.Г. (1933г.) был предложен другой путь применения метода пограничных функций для построения асимптотики решения задачи оптимального управления с быстрыми и медленными Движениями. Этот способ применения метода пограничных функций в дальнейшем получил название' прямая схема. Основная идея прямой схемы связана с прямым подставлением искомого разложения в условия задачи и в функционал, последующим разложением условий в постулируемый асимптотический ряд и последовательным решением получающихся при этом вариационных задач меньшей размерности.

Далее в работах Дмитриева М.Г. и Белокопытова C.B. прямая схема р.-;двигалась для различных классов непрерывных задач оптимального управления с сингулярно возмущенными связями.

Возникает вопрос о возможности применения прямой схемы для новьгх классов задач, в частности, для дискретных задач оптимального управления с сингулярно возмуцснными связями, где также проявляется эффекты пограничного слоя. Этот класс задач требует введения новой техники и приводит к появлении новых качествен-, них моментов.

Настоящая работа посвящается дискретным задачам оптимального управления с сингулярно возмущенными связями, то есть дискретным задачам оптимального управления с малым шагом и дискретноЁ сингулярно возмущенной задаче оптимального управления, возникающей при регуляризации дискретной задачи оптимального управления с особым управлением.

Цсль работы, заключается в развитии и обосновании прямой схемы применения метода пограничных функция в дискретных задачах оптимального управления с сингулярно во&мушонными связями

Научная новизна работы определяется следующими основными результатами:

I) предложен способ применения прямой схемы для построения асимптотики решения дискретных задач оптимального управления с сингулярно возмущенными связями; • 2) получен» оценки субоптимпльности асимптотики управления рассматриваемых задач;

3) установлено свойство релаксацнонности асимптотики, то есть уменьшение значения функционала исходной задачи с кандым новым асимптотическим приближением;

4) получено условие управляемости для дискретной линейной нестационарной системы с малым шагом в виде условия управляемости присоединенной системы; •

5-) предложен ноши способ построения допустимого управления с по' мощьг) асимптотических приближений к траекториям дискретной линейно- квадратичной задачи оптимального управления с мплим шагом с ограничением на правом конце траекторий, который приводит к субоптимальности допустимого управления;

б) предложен новый способ построения асимптотики решения дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления с "деловой" платой за управление в виде регулярного ряда.

Практически»: г теоретичная ценность. Работа теоретическая. Результаты работы могут быть использованы при: а) построении схем приближенной декомпозиции дискретных задач управления с большим числом шагов; <3) исследовании задач математической зкоко-

мики; в) исследовании управляемости систем с малым шагом; г) при получении более экономичных вычислительных алгоритмов решения некоторых дискретных задач оптимального управления.

Методы исследования. Использованы общие методы теории оптимального управления, методы теории сингулярных возмущений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на: Всесоюзном совещании "Прикладной асимптотический анализ и спектральные задачи" (Ашхабад, 1990), Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990), Рабочем совещании И'1АК "Сингулярные возмущения и асимптотические методы в системах управления" (Бостон, 1989), Международной конференции "Синтез систем управления: теория и применение" (Новосибирск, 1991), Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" СБишкек, 1991), городском математическом семинаре г. Ашхабада, семинарах Института математики, и механики АН ТССР, ТИЦ "Ноосферэ"-Центра прикладной математики и аридной информатики.

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, кз них три - совместные.

•КРАТКОЕ СОДЕШПИЕ РАБОТЫ

Во впепении обосновывается актуальность работа, указывается цель исследования, приводится обзор направлений в исследованиях задач оптимального управления асимптотическими методами, излагается,краткое содержание работы.

В первой главе рассматривается' нелинейная дискретная эпдччч оптимального управления с малым шагом в классической постановке.

В §1.1 приводится постановка рассматриваемой задачи и излагается формализм прямой схемы применения метода пограничных функций.

Рассмотрим задачу

min (I)

ilrO ' Ug

гс(о)-%\ (2)

где öLg (*t) - а-мерный, вектор фазовых координат, 11 ('fc ) - "ä -мерный вектор управления;'ЬбТе= {t: t = С

СТ= ffc: Os< tíT}/=T/£ , £ > О

- малый шаг, Т - фиксированное

положительное число.

С помощьв замены ye('t+£)-ye(t)«eF(?:£('t),U£('t)lt), ^(0)=0 исходную задачу (1),(2) приводим к задаче Майера : •

Ре: о (гц) - a (*е (Т)) + (Т) - rmn. , (г()

44 W £

* (4)

% (-U t)-j (i), l|€ (*),*), (о

\

Следуя прямой схеме применения метода пограничных функций при решении вариационных задач асимптотику решения задачи Р£ ицсм в виде разложения

a(t,e) = x(i,£> x(tf£)+n«(^,e>Gl«(<sr1,e)f (5) \ii(t,t)j ^ •

где С£ ('t, е) = S £ CD' (-t) - регулярный ряд 'с коэффициента-

оо •

ми, зависящими от ± ; Пч«^) - левый

пограничный ряд с коэффициентами, зависящими от ЯГ"о - t / £ ;

Q X ) = £ правый пограничный ряд с ко-

i = 0 -— зффициентами, зависящими or ^-i = (t-T )/£, , причем

l!xi(t)!«c, ftriix(яг«)l|^ се , цаго:(яг.)1*ее ;

Прямая схема было предложена /'применена в работах М.Г.Дмитриева и С.В.Белокопытова для построения асимптотики решения непрерывных задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями.

Итак, подставляя (5) п (4) и проводя обычные преобразования метода пограничных функций, то есть, разлагая левые и правые части системы (4) в ряды по степеням £ , приравнивая коэффициенты разложений при одинаковых степени: £ слева и справа, отдельно зависящие от i , ЧГ^ , ЯГ* , получаем уравнения состоянш для членов асимптотики. Затем, подставляя (5) в функционал (3) задачи Р£ , получаем следующее разложение

0«0о + е" Зет. (6)

п-па псц

Идея формализма прямой схемы заключается в последовательной минимизации коэффициентов разложения (6). с

Для определения членов нулевого равномерного приближения получаем следующие задачи:

т

о''

(1) «(<Ь), й0 (1), О, ^ = а^тга £ (£),

оэ

ЯГо

.Фо(о),о)- Н(10(о),гио),Ф0(°),0)] П01 (о)+п 0 ЭД ;а0 (о)+п0ад (ъ), о)-1 (Ш д(о),о)

,ПД(о)- (о),

о0ц

- $ (5. (т), ги (т) ,т), си (о) = (т),

где К (г.К.ЧМ:) = <*>(£< - (ЗЛОДК* К)) -

- ТТ (£(1), 1Д (1 ) - гамильтониан, а Ч> (-Ь) - множители Лагранжа задачи Рс .

Далее, для определения высших членов равномерного приближения получаются линейно-квадратичные задачи Ра , ПгР и

СиР , х - 1,2,... .

В §1.2 приводятся достаточные условия существования и единственности решения задач ПоР , ОоР и устанавливается экспоненциальные оценки для нулевых пограничных функций, то есть

ЦПоХ^о^М 1100^(^)11^Сеоср(асС'1))С,С1>0)с^0=

В §1.3 обосновывается.формализм прямой схемы. В результате решения задач Pi , ГкР и QгP г-О, и определяем следующие векторы

г-»О

где 0С^(1), ПгЖ^а), 0 г ОС (Я^.) - решения задач Рг , П;Р = , соответственно.

Кроме того, в результате минимизации коэффициентов , 1 =0,2 ц + I, разложения ( б ), определяем следующее разложение

Вводится, как и в работе С.В.Белокопытова, расширенный функционал Г £ (ОС), который облидает следующими свойствами: .

1) (X) = (1^) для допустимого решения задачи ;

2) + о

Введем следующие условия:

I 1а ,'Ь)) | <{ , где ЯК^}.) - собственные значения матрицы ^ , 1 =1,а. .

I Пара матриц п., "О» и (З-пА^)2 та билиз нруема при

Имеет место следующая

Теорема 3.1. Пусть выполняется условие I . Тогда для достаточно малых £>0 , имеют место неравенства

а а (гГО>... > О(Пп)'.

Теорема 3.2. Пусть функционал Те выпуклы»! по Д) и сильно выпуклый по И & Ь 2// и выполняется хотя бы одно из условий I или II . Тогда, для достаточно малых £ >0 решение задач;' Р £ существует к единственно» при этом

где ^с I Ир I ^Р ~ оптимальное решение задачи Рр ;3г.('11п)~ решение системы (4), соответствующее Иа ; - разностный ,

гнало г пространства .1*2. •

Вторая глава диссертации посвящается дискретной линейно- ■ квадратичной задаче оптимального управления с малым шагом и фазовым терминальным ограничением.

В §2.1 приводится постановка задачи и излагается формализм прямой схемы для задачи

}' ' '

тгп, и '

х(± + Е) « ¡АООхСО*В(1)г|(0, ос(0)«ос*, (с3)

п.

где Сс (1) е - состояние процесса, 1Д. (-Ь) € - управление процессом, -¿.еТе &£, Ь-О,!,...,^-!} С

С -I ¿1, А' = 1/£,£-малый шаг, ¿т - заданная постоянная

ГП*П. матрица, с1 - заданный т.- мерный вектор,

£ СО,О , ^ - положительно полуопределенная, а Я ('Ь) положительно определенная матрица на отрезке L0.ll.

Все матрицы, входящие в (7)-(9), достаточно гладкие на отрезке [0,1].

Отметимсущественное отличие задачи (7)-(9) от задачи рассмотренной в главе I. Здесь присутствуют ограничения на правом конце траекторий, которые усложняют построение асимптотики решения рассматриваемой задачи..

Далее, в данном параграфе строится П-е асимптотическое приближение

(ги) а (Ю)

задачи (7)-С9).

В 52.2 приводятся условия управляемости системы (8). . Справедлива

Теорема 2.2.1. Пус;п- выпогмяктся условия а) ]Х1(:А(1))<*,г = 1,п,

Тогда для достаточно май« £>0 система (<3) управляема. В §2.3 доказывается существование и единственность рассматриваемой задачи.

Теорема 2.3.1. Пусть выполняются условия теоремы 2.2.1. Тогда решение задачи (7)-(9) существует и единственно на множестве допустимых управлений.

Далее в третьем параграфе второй главы показывается близость полученного а -го асимптотического приближения»£ ) к точному решения задачи (7)-(9), о также устанавливается субоптимальность асимптотики управления. Следуя А.И.Калинину,введём

Определение Управление 1Д (1) будем называть 8 -допустимым управлением задачи (7)-(9) порядка , если выполняются неравенства

л» А

где X ( 1) - решение системы (3) соответствующее 11 (-Ь). , Приведем известное (М.Г.Дмитриев)

О прсделение_2^. Допустимое управление IX () будем называть субоитимплымм управлением задачи (7)-(9) порядка о4 если выполняется неравенство О (11) - ^ ^ С Е. ; где С >0 ( оптимальное значение критерия качества, а 0 (14) - ана-*

л

чение критерия качества, соответствующее И ("Ь), Справедлива следующая

Теорема 2.3.2, Пусть выполняются условия теоремн 2.2.1. Тогда 11а(»£) является £ - допустимым управлением порядка П.+1» обладает свойством субоптимальности порядка 2 а. + 2 и при этом справедливы оценки

IIа* еГII4 е£а+А,

4е8п+1, оо,

7. *

Я V

где СС. - оптимальная траектория, а И - оптимальное управление

...... 1-й

задачи <7)-(9),¡^ = 1-1 * - евкли-

г*о дова норма.

В §2.4 с помощью а -го асимптотического приближения траектории' для случая: строится допустимое управление, которое имеет следуюпдай вид

г,е *е оо'.

ч.,-ые коэффициенты разложения (10). • £

Теорема 2.4.1. Пусть выполняется условие

«^вф^О,^ е[од]

. Тогда справедливы следукщис утверждения:

—

I) пара (СС?£, и^) является допустимым решением задачи (7)-(9); . 2) для достаточна малых £ >0 справедливы оценки

3) допустимое управление Ч.) является субоптимальным управ-

лением порядка 2а +2 задачи (7)-(9), то есть справедлива оценка

о (и£) сегл4"2и при этом ,

¡^М-^Ш^С^1, где ОС*", К*, а"*"- оптимальнее решение рассматриваемой задачи.

В §2.5 основные результаты второй главы демонстрируются на конкретном примере.

Дискретной линейно-квадратичной задаче оптимального управле-

1ия с "дешевой" платой за управление посвящается третья глава заботы.

В §3.1 рассматривается следующая задача

mia , (II)

* *о *

ce (О) - acе , (12)

■\це "t = 0,I,...,yv-i , cc(-t ) - a -мерный вектор фазовых оординат,' V (t ) - п. -мерный вектор управления, матрицы ^ (t),

Ъ (t), (FMt), f> (¿ ) имеют соответствующие размерности, £>0 _ малый параметр, штрих означает транспонирование.

Подобного рода задача рассматривалась а работах O'MyRt.. torn с son только для непрерывного случая, в которых авторы реобразуют исходную задачу к сингулярно возмущенной задаче опти-ального управления. Далее строят асимптотику решения задачи, вызнающей из необходимых условий оптимальности.

В данной работе с помощью замены ll(t )= £V (t ) задача II),(12) сводится к эквивалентной задаче, то есть

-m , (13)

■ос (i. Ч) = £ i Ю x (i) + В (-t) Ц (-1) , зс (0) - ос°. (14)

Далее, используя прямую схему, строится асимптотика реше-1Я задачи (13),(14) в виде регулярного ряда, то есть

Для определения каждого чле-на рьзлояения (15) получаются ie задачи: задача безусловной минимизации и задача условной ми-1мизации функций многих переменных. Решая эти задачи, можем оп-¡делить равномерное a -ое асимптотическое приближение решения

задачи (13),(14), то есть

Да (t,e) = XL Ea3U (t).

ч.«о

Во втором параграфе третьей главы задача (13),(14) сводите! к эквивалентной минимаксной!-задаче, в которой независимыми переменными являвтся переменные управления и состояния. Далее, строится асимптотика решения минимаксной задачи, которая удовлеч воряет необходимым условиям оптимальности задачи (13),14) с точностью до 0 ) ,

В §3.3 устанавливается субоптимольность асимптотики управления.

Справедлива

Теорема 3.3.1. Пусть выполняются условия: .

а) cUt В ft)* О;

б) R(i)>0 nput = 0,JV4.

/— , . Тогда lUn(*b,£) является субоптимальным'управлением задачи

(13),(14) порядка ?, rt , то есть имеет место неравенство ' причем,

Ца*-Ха1ие£л, Ни*-ii-ft.il ^ cen+i,

где ОС , И , С/ - оптимальное решеьиз задачи (13),(14). Отметим здесь "грубый" характер оценок из-за неучега функций, от даленно напоминающих погранслой.

В §3.4 основной результат данной главы демонстрируете/, на конкретном примере.

В заключении кратко формулируются результаты работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах :

1. Гаипов.М.А. Пряная схема построения асимптотики в дискретных задачах оптимального управления с малым шагом. - Ашхабад: ТГУ, 1968 - 15 с. - Еиблиогр.: II назв. -'Рус. - Деп. в Турк-менШМГГИ, 22.09.8.3, № 96-ТУ-С8.'

2. . Гоипов IL А. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом б$з ограничений на управление (формализм) I. // Изв. АН ТССР, сер. ¿IX и Гн, 1990,

№ I, с. 9-16.

3. Дмитриев М.Г., Белокопытов C.B., Гашюв Ы.А. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом без ограничений на управление (обоснование) II. /,' !Ьв. АН ТССР, сер. 4ТХ и Гн., 1990, № 2, с. 10-18.

4. Ганпов М.А. Асимптотика, решения дискретной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с фазовым ограничением // В сб.: Информатика и системный анализ, Аихабад, 1990, с. 43-53.

5. Гаипов М.А. О построении асимптотики решения одной дискретной задачи оптимального управления с сингулярно чозмущенными связями //Тез. докл. Всесоюзной конференции-"Дифференциальные уравнения и оптима"ъное управление", Ашхабад, I9S0, с. 157-153.

6.mG.DfT)it-íieu, ¿UXBüfco, ТО. d.Gaipou , V. d.Oceaotf, i 'У. JcCèanov.

pestuîEed optimof! eontoof! p-?cEí?emj - nei¿ "sesuEti // ConitoC i^ôtern jyatfieiü: th'eoï^ on<l орр&соНоа.ФгосЕес^ср of i he 3iite?naiionaí! tów&ífícp' Uovo-iilbvlií 27 mog-

i june, 1991, р. 19-24.

7. Дмитриев М.Г., Битко A.B., Гаипов U.A., Овезов Х.А., Солта-нов С.Т. Некоторые результаты по асимптотике решений линейных сингулярно возмущенных систем управления. / Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач", - Бишкек. - 9-12 сентября, 199I, с.39.

Подписано к печати 12.12.91 года .формат бумаги 60x84 I/I6 обьем 1,1 п.л. уч - издат 0,6 Заказ 2256 тираж 100 экз

Отпечатано ООП ГВЦ Госкомстата Туркменистана г. Ашхабад - 91 г.