Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Парышева Юлия Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

8 НОЯ 2012

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2012

005054600

005054600

Работа выполнена в отделе уравнений математической физики Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Данилин Алексей Руфимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Курина Галина Алексеевна

кандидат физико-математических наук Коврижных Ольга Олеговна

Ведущая организация: Ипститут математики с ВЦ

Уфимского научного центра РАН

Защита состоится ноября 2012 года в 115. ч. 3.0 мин. на заседании

специализированного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан

-.16." октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

, Н.Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основы классической теории оптимального управления были заложены в 1955-1970 годах в работах Л.С. Понтрягина, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана. Были установлены условия оптимальности управления и описана структура оптимального управления.

Дальнейшее развитие теории оптимального управления и вопросы практического применения полученных результатов привели к появлению различных направлений в рамках теории оптимального управления, одним из которых является изучение малых возмущений в задачах оптимального управления.

В данном направлении особое внимание уделяется задачам оптимального управления с сингулярными возмущениями, в которых свойства возмущенных задач качественно отличаются от свойств вырожденных задач, получающихся из исходных при нулевых значениях параметров.

Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач как правило появляются "жесткие" краевые задачи, при численном решении которых возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. В связи с этим в данном классе задач возрастает роль асимптотических методов, которые дают возможность получить качественную картину решения, что может быть использовано в том числе и при построении и анализе численных алгоритмов решения таких задач.

В различной постановке сингулярно возмущенные задачи оптимального управления рассматриваются в работах многих авторов: Л.Д. Акуленко, А.Б. Васильевой, В.Г. Гайцгори, В.Я. Глизера, A.JI. Дончева, C.B. Белокопытова, М.Г. Дмитриева, А.И. Калинина, П.В. Кокотовича, Г.А. Куриной, D.S. Naidu, R.E. O'Malley и др.

Одним из классов сингулярно возмущенных задач управления являются задачи оптимального управления для систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных (уравнения с быстрыми и медленными переменными).

Общепризнанным методом описания асимптотики решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производных является метод пограничных функций (А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, JI.A. Люстерник, М.И. Вишик). Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев широко применяется для исследования задач управления с быстрыми и медленными переменными.

В большинстве работ метод пограничных функций используется для построения асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина. В этом направлении можно отметить исследования А.Б. Васильевой, Т.Р. Гичева, А.Л. Дончева, В.Я. Глизера и др. В работах C.B. Белокопытова, М.Г. Дмитриева применение метода пограничных функций к задачам оптимального управления основано на непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения в виде ряда с пограничными функциями и определении серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотики.

Предлагаемые подходы хорошо развиты и позволяют эффективно строить асимптотику решений для задач с открытой областью управления и гладкими

управляющими воздействиями, то есть задач классического вариационного типа. Для задач с замкнутой и ограниченной областью управления реализация указанных подходов встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают необходимой для применения асимптотических методов гладкостью. В связи с этим задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление исследованы менее полно.

В данном направлении можно отметить работы В.М. Вельова, Т.Р. Гичева, A.J1. Дончева, где изучается поведение множеств достижимости возмущенной системы и строится предельное множество, к которому сходятся множества достижимости в метрике Хаусдорфа. На основании этого для задач с выпуклым терминальным функционалом качества строится предельная задача оптимизации, к оптимальному значению функционала качества в которой сходится оптимальное значение функционала качества в возмущенной задаче.

В работах П.В Кокотовича для систем с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление в виде многогранника исследуются вопросы вполне управляемости и асимптотического поведения решения задач оптимального быстродействия.

Задачи быстродействия и терминального управления для систем с быстрыми и медленными переменными и ограничениями на управление в виде многогранника рассматриваются также в работах А.И. Калинина. Предлагается метод построения асимптотики точек переключения оптимального управления, а также построения субоптимальных управлений заданного порядка (отличающихся по функционалу качества от оптимальных на соответствующий порядок малости).

Существенным в данных работах является вид ограничений на управление. В случае выпуклого многогранника в качестве ограничивающего множества оптимальные управления как в возмущенной, так и в вырожденной задаче есть релейные функции со значениями в вершинах многогранника. Точки переключения оптимальных управлений полностью определяют структуру оптимальных управлений и используются для описания асимптотического поведения решений задачи.

Вместе с тем для многих прикладных задач характерно наличие гладких геометрических ограничений на управления в виде шара в соответствующем евклидовом пространстве. В первую очередь это относится к задачам управления механическими системами, в которых управляющими воздействиями, как правило, являются ограниченные по величине силы.

В отличие от ограничений на управление в виде многогранника, ограничения в виде шара не являются линейными. При этом изменяется вид оптимального управления, которое, вообще говоря, уже является непрерывной функцией с возможным конечным или счетным числом точек разрыва. Структура оптимального управления не описывается точками переключения, как в случае релейной функции. Эти обстоятельства вносят свою специфику в исследования. В работах A.M. Ильина, А.Р. Данилина было показано, что асимптотика времени быстродействия в таких задачах может иметь сложный характер.

Цель работы. Построение и обоснование полной асимптотики решения задачи оптимального управления на фиксированном временном промежутке для линейной системы с быстрыми и медленными переменными, выпуклым терминальным функционалом качества, зависящим от медленных переменных, и гладкими

геометрическими ограничениями на управление.

Методы исследования. В основе работы лежат асимптотические методы анализа, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и классической теории оптимального управления. Используются результаты выпуклого анализа, теории экстремальных задач и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Приведем основные из них:

1. Предложен подход к исследованию асимптотического поведения решения задачи терминального управления для системы с быстрыми и медленными переменными и гладкими геометрическими ограничениями на управление.

2. Найдены достаточные условия, при которых асимптотика решения задачи имеет степенной и нестепенной характер. Получена полная асимптотика решения с точностью до любого порядка малости в регулярном и сингулярном случае. Предложен алгоритм определения всех коэффициентов разложения.

3. Приведено обоснование того, что построенные асимптотические разложения являются истинными асимптотическими приближениями для решения задачи.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Развитый в работе математический аппарат может быть использован при вычислении асимптотических приближений с точностью до любого порядка малости для решений задач с быстрыми и медленными переменными и гладкими геометрическими ограничениями на управление, а также при изучении асимптотического поведения других сингулярно возмущенных задач оптимального управления с ограничениями на управление.

Апробация работы. Материалы по теме диссертации были представлены на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 2008), 41-ой, 42-ой Всероссийской конференции "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 2010, 2011), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2011), конференции "Асимптотические методы теории дифференциальных уравнений" (Челябинск, 2011), а также на научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [9], список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] - [5] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. В работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, А.Р. Данилину принадлежит постановка задачи и общая схема исследования. Все результаты этих работ получены диссертантом самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы. Объем диссертации составляет 145 страниц, включая библиографический список из 97 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор литературы, относящейся к рассматриваемым в диссертации вопросам, кратко излагается содержание работы.

Первая глава диссертации является подготовительной. В ней дается постановка исследуемой возмущенной задачи оптимального управления и приводятся определяющие соотношения, которые описывают структуру решения задачи через вектор множителей Лагранжа (вектор начальных условий сопряженных переменных принципа максимума).

В классе кусочно-непрерывных управлений рассмотрим задачу оптимального управления с быстрыми и медленными переменными:

xe(t) = Anxc(t) + Al2y£{t) + BlU{t),

eye(t) = A21xs(t) + A22ys(t) + B2u(t),

ie[0,T], И*)||<1, xE(0)=x°, y£(0) = y°, W

a{xe(T)) -J. min v(x.(T)) =: шс{Т, y°),

||И(')1|<1

где e > 0 - малый параметр; x 6 R", у G Rm; u(-) e Rr; А^,Ви i,j = 1,2 — постоянные действительнозначные матрицы соответствующей размерности,

Re sp (А22) ^ -а < 0 (sp (Л22) — спектр матрицы Л22), (2)

|| • || — евклидова норма в соответствующем конечномерном пространстве, а функция ст(-) — бесконечно дифференцируемая на К", строго выпуклая и кофинитная (то есть VzeR" lim A-ViAx) =+оо).

л-и-оо v ' '

При этих условиях функция <7*(-) также будет бесконечно дифференцируемой на М™, строго выпуклой и кофинитной. В частности, для матрицы £>2ст*(г) вторых производных функции а'(-) справедливо

D2a'(r) положительно определена при всех г. (3)

Обозначим

А:={1Х Ä )• B':=(i%)-

Рассмотрим задачу (1) при е = 0 (вырожденная задача):

х0 = А0х0 + Ваи, ie[0,T], ||и||<1, ж0(0) = х°

А0 := Ап- A12A2JA2U В0 := Bt — А12А22В2, ^

а(х0(Т)) inf а(х0(Т)) =: ш0(Т,х°).

11«11<1

Будем считать, что при всех достаточно малых е система в (1) вполне управляема, для чего в силу результатов П.В. Кокотовича достаточно вполне управляемости двух систем: системы из вырожденной задачи (4) и системы

У = А22у + В2и. (5)

Известно, что при этих условиях задачи (1), (4) разрешимы и принцип максимума является необходимым и достаточным условием оптимальности управления. Исследуем асимптотику оптимального управления u°pt(t) и оптимального значения функционала качества иг(Т,х°,у°) в задаче (1) при е 0 и фиксированных Т,х°,у°.

Далее оговариваются некоторые обозначения и определения, необходимые при исследовании асимптотики. Наряду с классическими определениями теории асимптотических методов вводится также класс функций 0*(sa), которн удобно использовать при описании асимптотик, содержащих Ine:

ip(e) = 0*(еа), если V/?<a ф) = 0(е").

Применяя принцип максимума к задачам (1) и (4), получаем определяющие соотношения для решения задач через вектор начальных условий сопряженных переменных:

Лемма 1.3. Пусть системы в (4) и (5) вполне управляемы. Тогда

ш£{Т, х\ у0) = (W* (г.), г.) - а*(г.), (6)

= U;(T-t)re W ||Е/»(Т- i)re|| ' где вектор ге является решением уравнения

т

W (г.) - {Z)W + 3W) + / dt = о. (7)

о Е

Лемма 1.4. Пусть система в (4) вполне управляема. Тогда

uo{T,x°) = (Vct* (ГО) , г0) — с*(го), (8)

\\Щ(Т — ¿)г0|| ' где вектор г0 является решением уравнения

«-"'/в'-' <»>

о

Здесь и далее

U0(t) := eAotB0, Ue(t) := + ^£12(i)ß2,

а через Z^(t), Z£2(t), Z21(t), Z^(t) обозначены блоки матричной экспоненты eAct с размерностями соответственно п х п, п х т, т х п, ш х ш, такие, что

/ z»(t) Z?(t) \ \Z?(t) Z?(t) )

Отметим, что выражения (6), (8) для оптимального значения функционала качества получены и без применения принципа максимума — путем минимизации функции сг(-) на множестве достижимости соответствующей системы к моменту Т. При этом нет необходимости использовать известные результаты о достаточности принципа

максимума. Существенно используется лишь выпуклость функции <т(-) и компактность множества достижимости, которые позволяют переходить от условного экстремума функции ст(-) на множестве достижимости к безусловному экстремуму на К" функции МО — линейной комбинации сопряженной функции а'(-) и опорной функции множества достижимости. Уравнения (7), (9) представляют собой необходимое условие экстремума /г(-) на К", которое в силу строгой выпуклости функции Л(-) является и достаточным.

Далее, следуя методу пограничных функций получим при условии (2) асимптотику блоков матричной экспоненты еА'1, а также функции {/,(*),

которые входят в определяющие соотношения и основное уравнение. Для имеем:

ОО

+ п ^М). <е[о,т], т:=-. (ю)

к=0 £

Пограничные функции 11кг^(т) экспоненциально убывают при е 0, если только т = 1/£ -> и, в частности, если г > ц, где ц = е", р е (0,1). Поэтому равномерно в области t € [ц, Т]

ОО

к—О

При г е [0,/х], переходя в (10) к переменной т, получаем:

ОО

Т е [о, -1,

к= 0 £

п—О п'

Соответствующая асимптотика матрицы ие{€) имеет вид:

оо оо

гу£(г) ~ г е [о, -1,

к=0 к=0 1 £]

где в частности

£/„(<) := еА°1В0, 30и(т) := В, + А12А£ (еА"т - В) В2.

Во второй главе диссертации исследуется асимптотика членов основного уравнения (7). Будем искать гс в виде те = г0 + Дг. Получим при малых Дг асимптотическое разложение всех слагаемых в (7), зависящих от е и г, в ряды по двум независимым малым параметрам е и Дг.

Прежде всего рассмотрим интегральный член

о

Для функции С/£(4), входящей в подынтегральное выражение в данном интеграле, справедливы различные асимптотические разложения в различных областях

промежутка интегрирования, в связи с чем естественно разбить интеграл на сумму интегралов по соответствующим промежуткам. Границы промежутков имеют вид р = £р, р G (0,1), то есть зависят от е в виде нецелой степени е. Между тем, асимптотика самого интеграла содержит только целые степени е. В этом удобнее всего убедиться, используя метод вспомогательного параметра, в основе которого лежит следующее утверждение

n

Лемма 2.2. Пусть Т(е, ц, г) = £ <pk{e)ipk{r) lndi ц, где для всех к

к=1

<pt(e) = О'^), фк(г) = 0'(\\г\\ь"), ак,Ьк,ск£Ъ, d*eNU{0}, с\ + d2k ^ 0. Если для всех р из некоторого промежутка (р\,р2) выполнено

f(e,r) = T(e,£",r) + 0(eM + \\r\\M) при некотором М > 0, то f{e,r) = 0(ем 4- ||г||м).

Утверждение леммы позволяет при получении асимптотики интегралов по соответствующим промежуткам не следить за конечным числом членов, содержащих степени и логарифмы вспомогательного параметра.

Далее рассматривается асимптотика подынтегральной функции на промежутках [ц, Т] и [0,4 Приводятся внешнее и внутреннее разложения, которые имеют структуру двойных рядов по степеням е и координатам вектора Дг с векторными коэффициентами, зависящими, соответственно, от переменных t и т. Рассматриваются условия, когда члены внешнего и внутреннего разложений не имеют особенностей в своих областях определения, а также условия, при которых члены внутреннего разложения имеют нарастающие особенности в некоторой точке f 6 [0, оо). Во втором случае внутренее разложение оказывается справедливым только для т вне окрестности радиуса v = е', q е (0,1) точки т. Для описания поведения функции в малой окрестности точки f вводится дополнительная внутренняя переменная rj = (т — т) /е и рассматривается асимптотика функции в переменных г]. Таким образом, наряду с параметром р, возникает дополнительный вспомогательный параметр v и новый масштаб переменных.

На основе полученного вида асимптотического разложения подынтегральной функции в различных областях отрезка [0, Г] строится асимптотика интеграла 1(е,ге). При этом используется лемма 2.2, и асимптотическое представление интегралов по соотвествующим промежуткам ищется с точностью до конечного числа слагаемых, содержащих степени и логарифмы параметров р и v.

В случае, когда коэффициенты внешнего и внутреннего разложений не имеют особенностей в своих областях определения, асимптотика интегралов имеет вид двойных рядов по степеням е и координатам вектора Дг. Если же коэффициенты внутреннего разложения имеют нарастающие особенности в некоторой точке г, то, применяя регуляризацию особенностей подынтегральной функции, получаем, что асимптотическое разложение интеграла по промежутку [0, р] содержит, помимо степеней е и координат вектора Дг, также и In е. В связи с наличием нестепенных асимптотик данный случай называется сингулярным.

Теорема 2.7. Пусть на векторе га, являющемся решением уравнения (9), выполнены условия

и№)г0фо, *е[0 ,Т], (И)

50£/*(т-)г0 ф О, т е [0, +оо). (12)

Тогда для интеграла 1(е,ге) справедливо следующее асимптотическое представление по параметрам е, Аг;

где

1(е,ге) = 10{г0)+А(га) (Дг) +е/1(г0) + ¿/*(е, Дг) + 61к(е,Аг),

к=2

/о{го)-у ||1/г(Ого|| л> (13) о

л(Го) (г) - УI шет---)(14)

о

+оо

, , [ (30и(т)30Ц'(т)г0 ВоЩгЛ 11Ы~11 пригон

[ + _ (УоУМЮго, г0)и0(г)и;(г)г0\ ,

I V ТОМ! ||^тг0||3 Г

(15)

о

все слагаемые 1к{е,Ат) для к ^ 2 представляют собой однородные многочлены степени к по £ и координатам вектора Дг, о й/иг остатка 51м(е, Дг) справедлива оценка

61„(£,Аг) = + \\Аг\\к+1).

Теорема 2.8. Пусть на векторе го выполнены условия

и;{г)г0фо, I е [о, г],

30и*{т)г0 = 0, 5о?7*'(т)го ф 0, 501/,*(г)г0 ф 0, г ф т. (16)

Пусть при этом

Дг = е(п+Д1г) (17)

и в точке т выполнено следующее условие на векторах т0, п':

{Б11Г{т)го + 501Г(г)п) ^ 5о{/*'(т)г0. (18)

ТогЛз для интеграла 1{е,ге) справедливо следующее асимптотическое представление по параметрам е, Дхг:

1{е,гс) = 70(г0) + еЛ(г0) (п + Д1Г) + £/1(г0)+

/ЧУ-2 ч

+£2 (/м(е>Д1г) + /м(е>Д1г)1пе) ,

где члены нулевого и первого порядка малости определяются соотношениями (13), (Ц), (15), все слагаемые /м(е, Д1Г), /м(е,Ajr) для к ^ 0 представляют собой однородные многочлены степени к по £ и координатам вектора Air, а для остатка справедлива оценка

(5/W-2(£, Air) = О* (е"-1 + ЦДц-Ц""1).

Отметим, что условие (11) соответствует непрерывности на [0,Т] оптимального управления «op!(í) в вырожденной задаче (4).

Поясним здесь также, что, в случае выполнения условия (16), вид (17) вектора Дг (то есть, что вектор Дг имеет первый порядок малости по е и главное слагаемое в разложении вектора Аг есть eri) существенно используется при получении асимптотики подынтегральной функции в окрестности точки f, при этом условие (18) обеспечивает отсутствие нарастающих особенностей у членов данного разложения. Явный вид вектора п приводится в третьей главе. Отметим, что приведенное в теореме 2.8. разложение интеграла /(е,гЕ) используется для получения полной асимптотики вектора г£ только после того, как доказана оценка порядка малости

||Дг|| = 0(е) (19)

для вектора Дг, и следовательно, без ограничения общности вектор Дг имеет вид (17).

Для доказательства оценки (19) достаточно использовать следующую оценку первого приближения для интеграла /(е,г£), справедливую как в случае отсутствия особенностей у членов внешнего и внутреннего разложения, так и в случае наличия особенностей у членов внутреннего разложения

Теорема 2.6. Пусть на векторе г0 'выполнены условие (11), а также условие (12) или (16). Тогда при ||Дг[| = 0(ет), 7 е (0,1) для интеграла 1{е,ге) справедливо следующее асимптотическое представление:

1{е, ге) = /0(г0) + А(г0) (Дг) + Shie, Аг), (20)

где

<5Д(е, Дг) = 0(е + || Дг]|).

Подставляя асимптотическое представление интеграла 1(е,гс) в (7) и учитывая асимптотику внеинтегральных членов, получаем асимптотику правой части основного уравнения (7). При этом в регулярном случае для единообразия перейдем всюду в разложении интеграла 1(е,Аг) и внеинтегральных членов к вектору А^г.

В полученном разложении для уравнения (7) слагаемые нулевого порядка малости совпадают с правой частью уравнения (9), соответствующего вырожденной задаче, и поэтому в соответствии с (9) эти слагаемые обращаются в ноль.

Теорема 2.9. Пусть на векторе г0 выполнены условие (11), а также условие (12) или (16). Тогда при ||Дг|| = 0(еу), 7 е (0,1) для уравнения (7) справедливо следующее асимптотическое представление:

B(r0)Ar + 5Hi(e, Дг) = 0, (21)

где

В(г„)(г) = (Л(г„) + £>2<7*(г0)) (г) , (22)

5Я1(£)Дг) = 0(е+||Аг||).

Теорема 2.10. Пусть на векторе г0 выполнены условия (11) и (12). Тогда для уравнения (7) справедливо следующее асимптотическое представление:

/N-2

еВ(г0) (п + Дхг) + еЯ^т, Т, х°, у0) + е2 ^ #*(<?, £цт) + 5Я„_2(£, Лхг)

где

н1(г0,т,х°,у0) = 11(г0)-(г11(т)х0 + г12(т)у°), (23)

все слагаемые Нк(е,Ахг) для к > О представляют собой однородные многочлены степени к по е и координатам вектора Ахг, а для остатка 5Нц{е, А^г) справедлива оценка

<5Я„_2(£, Д,г) = О [ем~1 + ЦАНГ"1).

Теорема 2.11. Пусть выполнены условия (11) и (16) на векторе г0, а также условие (18) на векторах г0, г1. Тогда для уравнения (7) справедливо следующее асимптотическое представление:

еВ(г0) (п + Д1Г) + еН^го, Т, х\ у°)+

(N-2

£ (Яад^Д^ + Ям^Д^Ые) +5Я^_2(£,Д1г)| =0, (24)

где члены первого порядка малости определяются определяются соотношениями (22), (23), все слагаемые Пк(е,Л1Г) для к ^ 0 представляют собой однородные многочлены степени к по е и координатам вектора Д^, а для остатка бЯ^е, Д^) справедлива оценка

&Нц_2(е, Д1Г) = О' (е""1 + НД^Н""1).

В дальнейшем будем использовать для уравнения (7) как в регулярном, так и в сингулярном случае разложение вида (24), имея в виду, что в случае регулярной асимптотики Я4д(е, Д^) = 0, к ^ 0.

Третья глава посвящена доказательству разрешимости основного уравнения, получению оценки порядка малости для решения уравнения, а также построению и обоснованию полной асимптотики решения с точностью до любой степени малого параметра в регулярном и сингулярном случае.

Сначала приводятся вспомогательные утверждения, на которых базируется все последующее обоснование асимптотики.

Лемма 3.1. Пусть выполнено (3). Тогда оператор В(г0)(-), определяемый соотношением (22), обратим.

Лемма 3.2. Пусть для любого е > 0 функция F(e,r) непрерывна по г в окрестности точки г = О и пусть при ||г|| = 0(е7) F(e,r) = 0(eN) + 0{eL\\r\\M) для некоторых N > 7, L > О, M ^ 1. Тогда существует такое R > О, что уравнение г = F(e, г) разрешимо в шаре В[0; R ■ eN] при всех достаточно малых е, то есть данное уравнение имеет решение вида ||г|| = 0(en).

Используя для уравнения (7) асимптотическое представление (21) и применяя к обеим частям равенства оператор (В(г0))-1 (•), получим

Ar = F(s,Ar), (25)

F(e, Дг) = - (В(го))"1 (¿Нг(е, Дг)) = 0(е+ ||Дг||).

Ввиду предположений о системе (1), интеграл I{s,re) при каждом фиксированном е есть непрерывная по ту функция, а поэтому, и функция, стоящая в правой части уравнения (25), непрерывна по Дг при каждом фиксированном е.

Следовательно, к уравнению (25) применима лемма 3.2., и данное уравнение разрешимо относительно Дг в шаре J3[0; R • е] при всех достаточно малых е, то есть уравнение (25) имеет решение вида ||Дт-|| = 0(e).

Таким образом, уравнение (7) разрешимо и его решение имеет вид

г£ = г0 + Дг, ||Дг|| = О(г).

Как отмечено в первой главе, если решение уравнения (7) существует, то оно единственно, в силу строгой выпуклости функции h(-), точку минимума которой определяет решение данного уравнения. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1. Условие (2) на спектр матрицы Л22;

2. Условие (3) положительной определенности матрицы D2o*(r0);

3. Условие вполне управляемости систем в (4) и (5); 4■ Условие (11) на векторе Гц;

5. Условие (12) или (16) на векторе г0.

Тогда уравнение (7) разрешимо единственным образом и его решение имеет вид:

re = r0 + Ar, ||Дг|| = 0(e).

Будем далее искать Дг в виде (17) и получим оценку порядка малости для вектора Д1Г. Используя для уравнения (7) асимптотическое представление (24) и сокращая обе части на е, получим

В(г„) (п + Агг) + Н1(г0,Т,х0,у°)+

/n-1 \

+£ (Xj + + ¿Я„_2(г,Д1Г)J =0.

Определим ri = ri(r0,T,x°,y°) таким образом, чтобы выполнялось условие B(r0)(r1) + Hl(r0,T,x°,y0) = 0,

ri = — (-®(го))-1 (Hi(ro, Т,х°,у0)). (26)

Тогда уравнение для принимает вид:

(лг-1 ч

^(ям(е,Д1г) + Ям(е,Д1г)1пе)+5Ялг_2(е,Д1г)| =0. (27)

При N = 2 будем иметь у

B(ro)A1r + SH(e,A1r) = 0,

5Я(е,Д1г) = 0*(£) + 0(£||Д1г||).

Применяя оператор (В(г0))-1 (•) запишем окончательно уравнение для определения Д1Г в виде

Air = F(e,Air), (28)

F(e, Д1Г) = - (Я(го)Г1 (6Ще, Дц-)) = 0*(е) + 0(е\\Д1Г||).

Применяя к уравнению (28) лемму 3.2., получаем, что при любом 5 > 0 данное уравнение разрешимо относительно Дхг в шаре В\0; R¡ • е1_г] при всех достаточно малых е, то есть уравнение (28) имеет решение вида ||Air|| = О'(е).

Получим далее полную асимптотику решения уравнения в регулярном и сингулярном случае.

Будем искать Д1Г в виде

Air = p1(e) + Ap1(e), (29)

где

||Л(е)11=0*(е), (30)

||ДР1(£)||=0*(£2). (31)

Подставим (29) в уравнение (27) при N = 2:

ВЫ (Р1(е)) + В (г о) (APl(s)) + е(я0,0(г0, rt) + Я0д(г0, п) 1пе) + + <5Я2(е,Л(£) + ДР1(£)) = 0,

SH2(e,Pl{e) + ДЛ(е)) = О (е2 + е||Л(е) + ДЛ(с)||). Определим pi(e) таким образом, чтобы выполнялось:

В (г о) (pi(e)) +е(я0,0(7-0,74) + Н0л(г0,г1) Ine) = 0,

Pi(£) = e(Pi,o + Pi,i Ine), р1,о = -(В(го))-1Яо,о(го,г1)) Pi.i = -(B(ro))-1ffo,i(ro,ri). (32)

Тогда для pi (g) будет выполняться оценка (30), с учетом которой будем иметь для остатка Api(e) уравнение

В(г0) (Api(e)) + SH2(e, ДЛ(е)) = 0,

г

6Н2(е, Api(e)) = О* (£2) + О (е|| ДЛ(е)||), которое согласно лемме 3.2. имеет решение вида (31).

Таким образом, соотношение (32) определяет первое приближение pi(e) для вектора Air. При этом, поскольку в регулярном случае Я^^е, г0) = 0, то и рм = 0.

Аналогичным образом определяются и высшие члены разложения для вектора Air. Асимптотическое разложение ищется в виде ряда

Air = n + pi(e) + ... + p„_i(e) + р„(е) + Др„(£),

члены которого определяются из условия обращения в ноль слагаемых соответствующего порядка малости при подстановке данного ряда в уравнение (27). В регулярном случае члены имеют вид

Рп(е) = е"Рп, о,

в сингулярном случае

рл(е) = е" (р„_0 + рпЛ Inе + ... + р„,„ In" е). Одновременно получается уравнение относительно остатка Ар„(е): В(го) (Дрп(е)) + SF„(e, Др„(г)) = 0,

ÄF„(e, Дрп(е)) = О* (£"+1) + О (£||ДРп(£)||"), которое согласно лемме 3.2. имеет решение вида

||Др„(е)|| = 0* (£"+1).

Тем самым проведено построение и обоснование полной асимптотики вектора Air с точностью до любого порядка малости. Переходя от вектора Air к вектору re — fo + £(ri + Air), получаем асимптотическое представление для вектора rc, а подставляя разложения для вектора гЕ в определяющее соотношение (6), получаем также соответствующую асимптотику оптимального значения функционала качества.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия:

1. Условие (2) на спектр матрицы А2г;

2. Условие (3) положительной определенности матрицы D2a*(ra);

3. Условие вполне управляелюсти систем в (4) и (5); 4■ Условие (11) и (12) на векторе г о.

Тогда вектор гс и величина ис(Т,х°,у°) раскладываются в степенные асимптотические ряды вида

оо

гс~г0 + ег1 + '^2екгк, к=2

оо к=2

где вектор г0 = г0(Г, а;0) есть решение уравнения (9), соответствующего вырожденной задаче (4), вектор 74 = гг(г0,Т, х°, у") определяется соотношением (26), ш0{Т,х°) есть оптимальное значение функционала качества в вырожденной задаче (4), коэффициенты Ь)к(Т,х°,у°) для к ^ 1 выражаются в силу формулы Тейлора через значения дифференциалов функции а'(-) в точке г0. В частности,

Ш1(Т,х9У) = (£»2<т'(го)го,г1>, ш2(Т,х°,У°) = <и2<7*(го)го,г2) + ^(/?2а*(го)г1,г1).

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия:

1. Условие (2) на спектр матрицы Л22;

2. Условие (3) положительной определенности матрицы Г>2<т*(г0);

3. Условие вполне управляемости систем в (4) и (5); 4■ Условие (11) и (16) на векторе г0;

5. Условие (18) на векторах Го, г^

Тогда вектор г£ и величина, и)с(Т, х°, у") раскладываются в асимптотические ряды вида

оо /к-1

" к=2 \п=0

оо /к-1 \

и>е(Т, х\ у0) ~ 0,0(т, х°) + (Г, * V) + £Шк„{Т, у°) 1п» е ,

к=2 \п=0 /

где вектор г0 = гй(Т,х°) есть решение уравнения (9), соответствующего вырожденной задаче (4), вектор г1 = г^Го.Т.х".!/0) определяется соотношением (26), и0(Т,х°) есть оптимальное значение функционала качества в вырожденной задаче (4), коэффициенты ^„(Г, я0, у0) для выражаются в

силу формулы Тейлора через значения дифференциалов функции ст*(-) в точке г0. В частности,

ш1(Т,х°,у°) = (О2а'(г0)г0,г1), а,2,о(7>°,2/°) = <£>2<7*(г0)г0, г2,0) + ~ (£»2<7*(г0)г1>г1) ,

<^2,1(Т, х°, у") = (О2<Т*(г0)г0, Г2>1) .

В завершении работы рассматриваются простые достаточные условия выполнения (12), а также пример построения асимптотики вектора гЕ с получением первых нескольких членов разложения для системы с конкретными числовыми коэффициентами в сингулярном случае.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. Алексею Руфимовичу Данилину, за постановку задач и помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах:

1. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2007. — Т. 13, № 2. — С. 55-65.

2. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. РАН. — 2009. — Т. 427, № 2. - С. 151-154.

3. Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального управления в задаче минимизации терминального функционала на траекториях системы с быстрыми и медленными переменными // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 2. - С. 186-198.

4. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Об асимптотике оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 563-573.

5. Парышева Ю.В. Асимптотика решения линейной задачи оптимального управления в сингулярном случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2011. - Т. 17, № 3. - С. 266-270.

Другие публикации:

6. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Степенная асимптотика оптимального значения функционала качества в сингулярно возмущенной линейной задаче оптимального управления // Тезисы докладов Международной конференции "Асимптотический анализ неустойчивых задач", посвящененой 100-летию со дня рождения В.К.Иванова. — Екатеринбург, 2008. — С. 196.

7. Парышева Ю.В. Об асимптотике решения задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными и терминальным функционалом качества // Тезисы 41-ой Всероссийской молодежной школы-конференции "Современные проблемы математики" — Екатеринбург: УрО РАН, 2010. — С. 367-371.

8. Парышева Ю.В. Асимптотика решения задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными в сингулярном случае // Тезисы 42-ой Всероссийской молодежной школы-конференции "Современные проблемы математики" — Екатеринбург: УрО РАН, 2011. — С. 49-50.

9. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. О виде асимптотического разложения выпуклого терминального функционала качества в линейной сингулярной задаче оптимального управления. // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского. Москва, 2011. — С. 187-188.

Копировальный центр "Таймер", г. Екатеринбург, ул. Луначарского, http://copytimer.ru, тел.: +7 (343) 350-39-03 тираж ЮС> экз. заказ № Ю088_

Введение

Глава 1. Определяющие соотношения для решения задачи

1.1. Постановка задачи.

1.2. Основное уравнение.

1.3. Асимптотика матричной экспоненты.

Глава 2. Построение асимптотики членов основного уравнения

2.1. Асимптотика внеинтегральных членов и вспомогательные утверждения.

2.2. Асимптотика подынтегральной функции.

2.3. Асимптотика интеграла 1\(е, г5, /1).

2.4. Асимптотика интеграла/2(5, г£,//).

2.4.1. Асимптотика интеграла ^(е, г£, ¡1) в регулярном случае

2.4.2. Асимптотика интеграла/2(6, ге, д) в сингулярном случае

2.5. Асимптотика интеграла /(г, г£) и функции (Не(Т, ,т°, у0)) (т£)

Глава 3. Построение и обоснование асимптотики решения основного уравнения

3.1. Вспомогательные утверждения.

3.2. Разрешимость уравнения и оценка для решения

3.3. Полная асимптотика решения уравнения в регулярном и сингулярном случаях

3.4. Пример.

Основы классической теории оптимального управления были заложены в 1955-1970 годах в работах Л.С. Поитрягииа, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана ([4], [20], [60], [53], [2], [Gl], |54], [3]). Были установлены условия оптимальности управления и описана структура оптимального управления.

Вопросы практического применения полученных результатов привели к появлению различных направлений в рамках теории оптимального управления, одним из которых является изучение малых возмущений в задачах оптимального управления.

Наличие малых возмущений в задачах оптимального управления может быть связано как с малостью тех или иных компонент в математической модели, описывающей динамику процессов (малые постоянные времени, моменты инерции, массы и др.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.).

При этом часто возникают задачи оптимального управления с сингулярными возмущениями, в которых свойства возмущенных задач качественно отличаются от свойств вырожденных задач, получающихся из исходных при нулевых значениях параметров.

Из условий оптимальности управления для сингулярио возмущенных задач как правило появляются "жесткие" краевые задачи, при численном решении которых возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. В связи с этим в данном классе задач возрастает роль асимптотических методов, которые дают возможность получить качественную картину решения, что может быть использовано в том числе и при построении и анализе численных алгоритмов решения таких задач.

В различной постановке сингулярно возмущенные задачи оптимального управления рассматриваются в работах многих авторов (см. обзоры [37], [78], [79], [80], [1С], [83], [74], [571, [76,77], [19], [38], [48], [70], [71], [81,82], [68[, [85], [84], [66], [86-88], [82]).

Одним из классов сингулярно возмущенных задач управления являются задачи оптимального управления для систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных (уравнения с быстрыми и медленными переменными).

Особенностью таких уравнений является то, что порядок вырожденного уравнения ниже порядка исходного возмущенного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. В малой окрестности задания начальных условий, теряющихся при вырождении, происходит быстрое изменение решений от начальных условий, заданных для возмущенной задачи, до значений, близких к решению вырожденной задачи.

Общепризнанным методом описания асимптотики решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производных является метод пограничных функций (А.Б. Васильева [9-15|, В.Ф. Бутузов [8,9,14,15], Л.А. Люстерник [18], М.И. Вишик [18]).

Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев широко применяется для исследования задач управления с быстрыми и медленными переменными ( [1], [16], [21], [22], [33,34,36], [52], [55], [73] и

ДР-)

В большинстве работ метод пограничных функций используется для построения асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина. (см., например, [16], [83], [35|, ]81]). Другое применение метода пограничных функций к задачам оптимального управления основано на непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения в виде ряда с пограничными функциями и определении серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотики (см., например, [6,7,07]).

Предлагаемые подходы хорошо развиты и позволяют эффективно строить асимптотику решений для задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, т.е. задач классического вариационного типа. Для задач с замкнутой и ограниченной областью управления реализация указанных подходов встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают необходимой для применения асимптотических методов гладкостью. В связи с этим задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление исследованы менее полно.

В данном направлении можно отметить работы А.Л. Дончева [17, 38, 72, 73], где изучается поведение множеств достижимости возмущенной системы и строится предельное множество, к которому сходятся множества достижимости в метрике Хаусдорфа. Проекция предельного множества на подпространство медленных переменных совпадает с множеством достижимости в вырожденной задаче. На основании этого для задач с выпуклым терминальным функционалом качества получена предельная задача оптимизации, к оптимальному значению функционала качества в которой сходится оптимальное значение функционала качества в возмущенной задаче. Показано, что предельная оптимизационная задача совпадает с вырожденной задачей оптимального управления только в случае независимости функционала качества от быстрых переменных.

В работах П.В. Кокотовича [75-77] для систем с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление в виде многогранника исследуются вопросы вполне управляемости и асимптотического поведения решения задач оптимального быстродействия.

Задачи быстродействия и терминального управления для систем с быстрыми и медленными переменными и ограничениями на управление в виде многогранника рассматриваются также в работах [41-49]. Предлагается метод построения асимптотики точек переключения оптимального управления, а также построения субоптимальных управлений заданного порядка (отличающихся по функционалу качества от оптимальных на соответствующий порядок малости).

Существенным в данных работах является вид ограничении на управление. В случае выпуклого многогранника в качестве ограничивающего множества оптимальные управления как в возмущенной, так и в вырожденной задаче есть релейные функции, со значениями в вершинах многогранника. Точки переключения оптимальных управлений полностью определяют структуру оптимальных управлений и используются для описания асимптотического поведения решений задачи.

Вместе с тем для многих прикладных задач характерно наличие гладких геометрических ограничений иа управления в виде шара в соответствующем евклидовом пространстве. В первую очередь это относится к задачам управления механическими системами, в которых управляющими воздействиями, как правило, являются ограниченные по величине силы.

В отличие от ограничений на управление в виде многогранника, в случае ограничений в виде шара усложняется вид оптимального управления, которое, уже не является кусочно-постоянной функцией, а становится, вообще говоря, произвольной непрерывной функцией с возможным конечным или счетным числом точек разрыва. Структура оптимального управления не описывается точками переключения, как в случае релейной функции. Эти обстоятельства вносят свою специфику в исследования. В работах A.M. Ильина, А.Р. Данилина [2G-30] было показано, что асимптотика времени быстродействия в таких задачах может иметь сложный характер.

В диссертации рассматривается задача оптимального управления на фиксированном временном промежутке [О, Т] для линейной системы с быстрыми и медленными переменными, выпуклым терминальным функционалом качества, зависящим от медленных переменных, и гладкими геометрическими ограничениями на управление. Целыо исследования является получение полного асимптотического разложения для решения задачи с точностью до любой степени е.

Структура оптимального управления и оптимального значения функционала качества в возмущенной задаче описывается через вектор множителей Лагранжа т£1 который удовлетворяет нелинейному уравнению, зависящему от малого параметра е.

В силу известных результатов A.JI. Дончева о предельной задаче решение г£ полученного уравнения ищется в виде суммы вектора Ту, соответствующего вырожденной задаче, и добавки Дг.

Предлагается подход к исследованию асимптотики решения уравнения через разложение уравнения в ряд по двум независимым малым параметрам е и Дг, который позволяет обосновать разрешимость уравнения, получить точную оценку порядка малости для вектора Дг, а также определить вид асимптотической последовательности, по которой происходит разложение решения в том или ином случае, найти все коэффициенты разложения и обосновать оценку остатка. Таким образом, удается получить оценку и асимптотику решения уравнения, которые естественным образом определяются накладываемыми условиями задачи, а не ограничиваться построением асимптотического представления решения по заранее взятой асимптотической последовательности (например, степенной) методом неопределенных коэффициентов.

В диссертации рассмотрены случаи, когда асимптотика решения задачи носит степенной характер, а также случай, когда асимптотическое разложение решения происходит по последовательности, содержащей степени и логарифмы е. Рассматриваемые случаи связаны с особенностями оптимального управления в возмущенной и вырожденной задаче.

Для оптимального управления u"pi(t) в возмущенной задаче характерно наличие пограничного слоя и малой окрестности конечного момента времени Т.

Оптимальное управление в вырожденной задаче предполагается непрерывным. Тогда вне области пограничного слоя оптимальное управление итакже непрерывно и сходится равномерно в этой области к

Однако, даже при условии хорошего поведения оптимального управления вне области пограничного слоя, особенности оптимального управления в малой области пограничного слоя дают интересные эффект],1.

Рассмотрены случаи, когда в области пограничного слоя сходимость и"р1{1) к у"!'1^) равномерная, а также случай, когда коэффициенты разложения оптимального управления в области пограничного слоя имеют нарастающие особенности в некоторой точке и следовательно, сходимость оптимального управления к и^^Ь) в этой области неравномерная.

В первом случае асимптотическое разложение решения происходит по степенной последовательности, во втором случае — по асимптотической последовательности, содержащей степени и логарифмы е.

Отметим, что случай, когда оптимальное управление в вырожденной задаче разрывно, рассмотрен в [25].

Для построенных формальных асимптотических рядов проведено обоснование оценки остатка. Таким образом, полученные асимптотики не просто удовлетворяют условиям задачи с нужной точностью, но и являются истинными асимптотическими приближениями для решения задачи.

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.

1. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. - М.: Наука, 1987.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. — М: ИЛ, i960.

3. Болтянский В.Г. Математические методы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

4. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л. С. К теории оптимальных процессов. // Докл. АН СССР. — 1955. — Т. 110, № 1. -- С. 7-10.

5. Васильева А.Б., Бутузов Б.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

6. Белокопытов C.B., Дмитриев М.Г. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. - №3. - С. 147-152.

7. Белокопытов C.B., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем // Автоматика и телемеханика. 1989. - №7. — С. 71-82.

8. Бутузов Б.Ф. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, справедливые па бесконечном промежутке // Вести. МГУ. 1963. - № 4.

9. Бутузов Б.Ф., Васильева А.Б., Федорюк M.B. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений // "Итоги науки. Матем. анализ, 1967". ВИНИТИ АН СССР. М., 1969.

10. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 128, № 6. - С. 1110-1113.

11. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым множителем при старшей производной, справедливые на бесконечном промежутке // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 142, № 4. - С. 709-712.

12. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 4. С. 611-642.

13. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной// УМН. — 1963. — Т. 18, № 3. С. 15-86.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

16. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мат. анализ. 1982 - Т.20 - С. 3-77.

17. Вельов В.М., Дончев А.Л. Непрерывность семейства траекторий линейных систем управления по сингулярным возмущениям // Докл. АН СССР. 1987. - Т.293, №2. - С. 274-278.

18. Вишик М.И., Люстерпик Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. — Т. 12, № 5. - С. 3-122.

19. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. — М.: Наука, 1991.

20. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1958. — Т.22, № 4 с. 449-474.

21. Гичев Т.Р., Дончев А.Л. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия. // Прикладная матем. и механ.- 1979. Т.43, Вып.З. - С. 466-474.

22. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом. // Докл. АН СССР. 1975. - Т.225, № 5. - С.997-1000.

23. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью. // Мат. сб. 1998. - Т.189, № И. - С. 27-60.

24. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в регулярном случае// Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, №11.- С. 1473-1480.

25. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2006. Т. 46, № 12. - С. 2166-2177.

26. Данилин А.Р., Ильин A.M. О малом возмущении решения линейной задачи быстродействия. // Тезисы докладов II международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" — Челябинск: Изд-во ЧГУ, 1993.

27. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн. 1994. - № 3. С.96-103.

28. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения за,дачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Докл. РАН. 1996. - Т. 350, № 2. - С.155-157.

29. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения одной задачи оптимального управления. // В кн.: Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и их приложения.- Уфа: Изд-во ИМ с ВЦ РАН, 1996.

30. Данилин А.Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. / / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. - Т. 4, № 3. - С.905-926.

31. Данилин А.Р., Коврижных 0.0. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифферепц. уравнения. 2008. - Т. 44, № 6. - С. 738-747.

32. Данилин А.Р., Коврижных О.О. О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров. // Вестник Челябинского Государственного Университета. — 2011.- Т. 242, № 27. С. 46-60.

33. Дмитриев М.Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления. // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. - № 4. - С.63-69.

34. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. // Дис. д.ф.-м.н. — Красноярск: СО АН СССР, 1983.

35. Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. // Автореферат дисс. д-ра физ.-мат. наук. — М.: Изд-во МГУ, 1984.

36. Дмитриев М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифференц. уравнения. — 1985. Т.21, № 10. - С. 1693-1698.

37. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления. // Автоматика и телемеханика. — 2006. № 1. - С. 3 -51.

38. Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. — М.: Мир, 1987.

39. Ильин A.M., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. — М.: Физматлит, 2009.

40. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.

41. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия // Прикл. математика и механика. — 1989. — Т.53, Вып. 6. С. 880889.

42. Калинин А.И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления // Жури, вычисл. математики и мат. физики. — 1990. — Т. 30, № 3. — С. 366-378.

43. Калинин А.И. Асимптотическое решение линейной задачи оптимального управления с большой длительностью процесса // Докл. АН БССР. 1991. - Т. 35, № 6. - С. 488-491.

44. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной нелинейной задачи оптимального быстродействия // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, № 4. - С. 585-596.

45. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения задачи терминального управления нелинейной сингулярно возмущенной системой // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1993.Т. 33, № 12. С. 1762-1775.

46. Калинин А.И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. -1994. № 3. - С. 104-114.

47. Калинин А.И. Асимптотический метод решения сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1998. Т. 38, № 9. - С. 1473-1483.

48. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. — Минск.: Экоперспектива, 2000.

49. Калинин А.И. Асимптотическая минимизация квадратичных функционалов на траекториях линейных сингулярно возмущенных систем // Весщ HAH Беларусь Сер. ф1з.-мат. н. — 2001. № 1. -С. 51-56.

50. Калинин А.И. Оптимизация возмущенных систем управления // Тр. Ин-та математики HAH Беларуси. — 2001. Т. 7. — С. 61-70.

51. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1977.

52. Киселев Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

53. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика. — 1957 — Т. 18, № 11. — с.223-226.

54. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

55. Крейи С.Г., Курина Г.А. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления. // В кн.: Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. — М.: Наука. 1981.

56. Куржаиский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Физматлит, 1977.

57. Курята Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор. // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. - № 4. С. 20-48.

58. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.

59. Найфэ А. X. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.

60. Поптрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования. // УМН. — 1959. Т. 14, Вып.1. С. 3-20.

61. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Физматгиз, 1961.

62. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.СЗ. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. — 1952. Т. 31 (73), № 3. С. 575-586.

63. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.

64. Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М.: Физматгиз, 1962.66. 11th IFAC World Congr. Preprints. V. 6. - Tallinn, Estonia, USSR, 1990.

65. Belokopytov S. V., Dmitriev M.G. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions // Syst. Control Lett. — 1986. V. 8, № 2.- P.129-135.

66. Bensoussan A. Perturbation Methods in Optimal Control Problems. — New York, John Wiley, 1989.

67. Fan Ky Minimax theorems. // Proc. Nat. Acade. Sei. USA. — 1953. — V. 39. P. 42-47.

68. Gajic Z., Lim M. Optimal Control of Singularly Perturbed Linear Systems and Applications. High-Accuracy Techniques. — Marcel Dekker, 2000. Control Engineering series.

69. Gajic Z., Petkovski D., Shen X. Singularly Perturbed and Weakly Coupled Linear Control Systems: a Recursive Approach. — Berlin et al. Springer, 1990 VII, Lect. Notes Control Inform. Sei. - No.140.

70. Dontchev A.b., Veliov V.M. A singularly perturbed optimal control problem with fixed final state and constrained control // Contr. Cyber. — 1982. V. 11, № 1-2. - P.19-28.

71. Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayor's problem for linear systems. // SIAM J. Control and Optimiz. — 1983 -V. 21, № 4.- P. 566-581.

72. Kokotovic P. V. Application of singular perturbation techniques to control problems // SIAM Review. 1984. - V. 26, № 4. - P. 501-550.

73. Kokotovic P. V., Haddad A.H. // IEEE Trans. Automat. Control. 1975.- V. 20, iss. 1. P. 111-113.

74. Kokotovic P. V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. — London etc.: Academic Press, 1986.

75. Kokotovic P. V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. — SIAM, 1999.

76. Kokotovic P. V., O'Malley R.E. Jr., Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory. An overview // Automatica. — 1976. V.12, № 2. P.123-132.

77. O'Malley R.E. Jr. Singular perturbations and optimal control // Lect. Notes Math. 1978. - V. 680. - P.171-218.

78. Moiseev N.N., Chernousko F.L. Asymptotic methods in the theory of optimal control // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. - V. 26, № 5. - P.993-1000.

79. Naidu D.S. Singular Perturbation Methodology in Control Systems. // IEE Control Eng. ser. 1988. 34.

80. Naidu D.S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview // Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. Algorithm. 2002. - V. 9. - P.233-278.

81. Saksena V.R., O'Reilly J., Kokotovic P.V. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976-1983 // Automatica. 1984. - V. 20, № 3. - P. 273-293.

82. Singular Perturbations in Systems and Control / Edited by M.D. Arde-ma. International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures. № 280. Wien-New York. Springer-Verlag. 1983.

83. Singular Perturbations and Asymptotic Analysis in Control Systems / Ed. P. Kokotovic, A. Bensoussan, G. Blankenship. Lect. Notes Control Inform. Sci. Berlin etc. Springer-Verlag. 1987.

84. Singular Solutions and Perturbations in Control Systems. Proc. of Int. Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". — Pereslavl-Zalessky, 1993.

85. Singular Solutions and Perturbations in Control Systems. Proc. of Int. Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". Pereslavl-Zalessky, 1995.

86. Singular Solutions and Perturbations in Control Systems. Proc. of Int. Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". — Pereslavl-Zalessky, 1997.

87. Данилин A.P., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2007. - Т. 13, № 2. - С. 55-65.

88. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. РАН. 2009. - Т. 427, № 2. - С. 151-154.

89. Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального управления в задаче минимизации терминального функционала на траекториях системы с быстрыми и медленными переменными // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. - Т. 16, № 2. - С. 186-198.

90. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Об асимптотике оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 563573.

91. Парышева Ю.В. Асимптотика решения линейной задачи оптимального управления в сингулярном случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. - Т. 17, № 3. - С. 266-270.