Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Саню -ПеторГ>у р1 ский 1осударсч воин ый \'ни в'-реи ге г

На правах рукописи

Проскуриикои Антон Викторович

Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания.

специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой сюиени кандидата физико-ма тематических наук

Сяикг-11е< ерб ур1 2000 г.

Работ выполнена на кафедре -гсорешчоской кибертч н ки ма к>чач ико-MfXfimi'KCKOio факучмем Сатжг-ПстерОургскою iосударелценного ушшерсигега

Научный руководитель доктор фтико-чачематических наук. профессор

член-корреспонден i Российской Академии Наук Якубович В 1Ллимир Андреевич

Официальные оииош'нгы. доктор фиигко-мягематпческих шцк. лонснг

Чурнлов A wk<апдр Николаевич

кандидат ф 11 i и ко- м а темат и ческ их наук, допоит Гуесв Сергей Влагшмщчшич

Ведущая организация' Иткч и ту í Проблем Машштолеления

Российской Академии Наук

Защита состоится » .... .... . 2005г. в часов им, ¡а-

еедаиии диш'рташмишп о сошча Л 212 232.29 но laiuim' дисс-ергадий на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском госу-тярственном университете по адресу: 198501, Петродвореи. Университетский пр.. д. 28. маючагнко-мехаиический факульнт.

С диссертацией \гожпп отпакимигься в научной бибшогеке Санкт-Пегербурккою lot'yдарственною универси-ieia но адрсс\: Санк (-Петербур!, Унинерситсчская наб., 7'.9.

Автореферат разослан * 2-4- > ./f&J.ty.-S.... 2005г Ученый секретарь

лиссернщиошюю concia Д 212 232.29

доктор фич.-мат. ыа\к, профессор " ' В. М. Нежинский

2Z43/76

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачам управления в условиях неопределенности посвящена обширная литература. В диссертационной работе рассматриваются случаи, когда такая задача допускает решение в виде универсального регулятора, то есть оператора обратной связи, не зависящего от неизвестных параметров системы, но при любых их значениях обеспечивающего достижение цели управления. Вопрос о построении такого регулятора в одной из первых задач управления при неизвестных внешних воздействиях на систему - задаче инвариантности - был в течение нескольких десятилетий предметом дискуссии, в которой принимали участие известные ученые (Ф.Р.Гантмахер, А.Ю.Ишлинский, В.С.Кулебакин, А.И.Кухтенко, Н.Н.Лузин, М.В.Мееров, Е.Л.Николаи, Б.Н.Петров, С.А.Христианович и др.) Полное решение этой задачи, а также близкой задачи отслеживания неизвестного сигнала и более общих задач оптимального управления и составляет содержание диссертации.

Целью работы является получение условий существования универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания, и их конструктивное описание.

Методы исследовании включают теорию дифференциально-разностных уравнений, частотную теорему для операторных полугрупп, а также результаты М.Г.Крейна из теории аппроксимации.

Научную новизну работы составляют следующие результаты. Получены условия существования и полное описание регуляторов, решающих задачу об инвариантности системы управления, то есть обеспечивающих независимость выхода системы от неизвестного внешнего воздействия. В случае, когда инвариантность недостижима, решается задача о приближенной инвариантности Получены условия существования и полное описание регуляторов, решающих задачу отслеживания произвольного неизвестного сигнала. Построены универсальные регуляторы, решающие линейно-квадратичную задачу оптимального отслеживания полигармонического сигнала при наличии полигармонической помехи в условиях, когда известны лишь спектры указанных сигналов, но неизвестны амплитуды. Построены универсальные регуляторы в близкой задаче для стохастических сигналов с неизвестной быстро убывающей спектральной плотностью.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер, однако могут найти применение при создании реальных систем управления и решении конкретных технических задач (задачи управления автономными транспортными средствами и системами автопилотирования, создание средств защиты от вибраций, расчет гироскопических приборов и др.) Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики и двух конференциях: Всероссийском конкурсе работ молодых ученых, посвященном 100-летию со дня рождения А.И.Лурье (Санкт-Петербург, 2001) и научной секции Международной (Балтийской) Олимпиады по автоматическому управлению ВОАС-2004 (С.-Петербург, май 2004)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].

Структура и объем работы. Диссертация объемом 110 страниц состоит из введения, 4 глав, приложения, заключения и списка литературы (98 наименований).

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся цели исследования и приводится краткое содержание работы по главам.

Первая глава посвящена описанию основных задач и обзору известных результатов. Раздел 1.1 посвящен истории задач инвариантности и отслеживания, изложены, в частности, основные тезисы дискуссии вокруг работ Г.В.Щипанова [1]. Раздел 1.2 посвящен задачам линейно-квадратичной оптимизации при неизвестных внешних сигналах. Описана связь результатов диссертации с результатами более ранних работ.

Во второй главе приводится параметризация стабилизирующих регуляторов, более удобная, чем известные ранее. Обсуждаются условия физической реализуемости регуляторов. В разделе 2.1 вводятся основные понятия и обозначения. Квазиполиномом степени п называется функция вида /(А) = акз , где 0 < го < 7"1 < ... тт и а.к] - вещественные постоянные, причем хотя бы при одном ] имеем ак} ф 0. Квазирациональной назовем функцию вида /(А) = а(А)/6(А), где а,Ь - квазиполиномы. Матрицу-функцию М(А) = (М1}(\)) с квазиполиномиальными (полиномиальными) компонентами М1} будем называть матричным квазиполиномом (соответственно матричным полиномом), при этом положим с^ М — шах deg М%].

Квадратный матричный квазиполином Р(А) имеет строго запаздывающий тип, если Р(А) = /'¿А'' + Р(А), где матрица P<¿ постоянна, det P<¿ ф 0 и deg Р < d. Матрицу Ра будем называть при этом старшим коэффициентом Р. Для матричного квазиполинома Т(А) — ^TfcjA*e~Ar-' и вектор-функции /(£) соответствующих размерностей положим по определению T(¿j^)/(t) = — г,).

Рассматривается объект управления вида

а(р)У(«) = В(РИ*) + ^(РМ«) (i)

где р = £, y(t) € R" - выход системы, м(<) € Rm - управление, (p{t) 6 R' - внешний сигнал, матричные квазиполиномы А(А), В{А), F(A) имеют размеры п х п, п х m, ti х I соответственно, det А ф. 0. Рассматриваемые регуляторы имеют аналогичный вид

D(p)4(t) = C(j>Mt) + G(j>Mt) (2)

где D(А), С(А), G(A) - матричные квазиполиномы размеров m х т, тпхп, mxl соответственно. Регулятор (2) называется стабилизирующим для объекта (1), если det D ф 0 и матричный квазиполином Е(А) = ] гурвицев, то есть найдется е > 0, такое что

det Н(А) ф 0 при Re А > —е. Если существует хотя бы один стабилизирующий регулятор, то говорят, что пара (А, В) стабилизируема.

Два регулятора вида (2) Diu = Ci у + Gi<¿> и D2u = С-¿у + Gi<p называются Н-эквивалентными, если найдутся гурвицевы матричные квазиполиномы Hi, такие что H^1Ci = Н2 1 С2, D\ = H¿lD2, H^Gi = HîlG2. Очевидно, что Н-эквивалентные регуляторы одновременно стабилизирующие или нет.

В разделе 2.2 приводятся утверждения о параметризации регуляторов (2), стабилизирующих заданный объект (1). Доказывается, что любой стабилизирующий регулятор Н-эквивалентен некоторому регулятору "канонического" вида, который во многих важных случаях оказывается проще для изучения.

В разделе 2.3 вводятся понятия строгой и структурной реализуемости регулятора. Будем говорить, что заданная на [0; +оо) знакопеременная мера ß имеет экспоненциальный рост, если для ее полной вариации |/¿| имеем |^|([0; £]) = 0(е7') при t +оо, где 7 > 0 - некоторая постоянная. Пусть S обозначает класс матричных функций /(А), все компоненты которых являются преобразованиями Лапласа от некоторых мер экспоненциального роста на [0; +оо). Рациональная функция /(А) лежит в S тогда и

только тогда, когда она ограничена на бесконечности. Стабилизирующий регулятор (2) строго реализуем, если D~lC, D~lG € 5 и передаточные функции замкнутой системы (1),(2) от ip к у, и лежат в Н°°. Регулятор (2) структурно реализуем, если для любого набора начальных условий, позволяющего однозначно разрешить уравнение (1) относительно у(-), и любого набора начальных условий, позволяющего однозначно выразить «(•) из (2), найдется решение замкнутой системы (1),(2), всем этим начальным условиям удовлетворяющее. Приводятся условия строгой и структурной реализуемости для регуляторов специального вида, используемых в последующих раздела«. Наиболее важное значение имеет следующая лемма. Лемма 2.3.4 Пусть m < п и для некоторой m х п-матрици К матричный квазиполином М(А) = гурвицев. Пусть А

- матричный квазиполином строго запаздывающего типа степени d со старшим коэффициентом Ad, s = deg В < d и выполнено одно из следующих условий: 1) матричный квазиполином В имеет строго запаздывающий тип и такой старший коэффициент Bs, что det(КА^^В») ф 0; 2) п = m и для некоторого числа Q > 0 имеем В~1(А) = 0(|А|°) при |А| -> +оо, ЯеА > 0. Пусть N >2d— 1 — s в первом случае uN>2d—l + Q во втором и р( А) -скалярный гурвицев квазиполином запаздывающего типа степени N. Тогда условиями deg(rA — рК) < d, deg г = N — d, однозначно определяется матричный квазиполином г(А), и регулятор (Z), для которого С(А) = г(Х)А(Х) — р(Х)К, D{А) = г(Х)В(Х), является стабилизирующим и структурно реализуемым для объекта (1). При deg F < deg А и deg G < deg D такой регулятор строго реализуем.

Глава 3 посвящена решению задач об инвариантности системы управления и об асимптотическом отслеживании. Раздел 3.1 содержит постановки задач и некоторые обозначения. Рассматривается линейный объект управления

A(p)y(t) = B(p)u{t) + F(p)v>(t), z(t) = Ky{t) (3)

Здесь p = £t, y(t) e Rn, z(t) e Rk, u(t) e Rm, vit) € R' - полный выход системы, регулируемый выход, управление и внешний сигнал, .А(А), В(A), F(А) - матричные квазиполиномы и К - постоянная матрица размеров пхп, пхт, nxlukxn. На протяжение главы предполагается, что строки К линейно независимы.

В задаче инвариантности требуется построить стабилизирующий регулятор

2>(р)«(0 = С{р)у{1) + С(рЫЬ) (4)

(Ю, С, б - матричные квазиполиномы соответствующих размеров), такой что при любом <£(•) для решений системы (3),(4) выполнено |г(<)| —> 0 при < —> + оо. Будем, следуя [2], называть такой регулятор 1-универсальным (универсальным по свойству инвариантности). В задаче отслеживания требуется построить стабилизирующий регулятор (4), такой что при любом у>(-) для решений системы (3),(4) имеем \я{Ь) — <£>(£)| —> 0 при Ь —> +оо. Следуя [2], назовем такой регулятор Т-универсальным (универсальным по свойству отслеживания).

Назовем объект (3) обобщенно-минимальнофазовым, если для некоторого е > 0 и

М( А) =

А( А) -В(А) К О

(5)

имеем гк М{А) = п + к при Re А > 0. Если при этом к = т (т.е. М{ А) -квадратный гурвицев матричный квазиполином), то объект называется минималънофазовым. При к < т назовем гурвицевым расширением для М(А) любой матричный квазиполином М+(А) размера (т — к) х (тп + п), такой что матрица Mi (А) = [ ] является ГУР~ вицевым матричным квазиполиномом. Из существования гурвицева расширения для М(А) следует, очевидно, обобщенная минимально-фазовость объекта. Если А(\),В(Х) - матричные полиномы, то верно и обратное.

В разделе 3.2 приводится полное решение задачи инвариантности-описывается множество всех I-универсальных по z регуляторов (4) для заданного объекта (3). Следующая теорема дает критерий существования таких регуляторов.

Теорема 3.2.1 Для существования I-универсального по выходу z регулятора (4) необходимо и достаточно, чтобы пара (А,В) была стабилизируема и для некоторого гурвицева скалярного квазиполинома v(X) существовал (п + т) х l-матричный квазиполином Z(А), такой что M(X)Z{\) — t>(A)[F^A'] (где М определяется в (5)). Стабилизирующий регулятор (4) I-универсален по выходу z тогда и только тогда, когда vG = [—C,D]Z, где v,Z удовлетворяют указанным выше условиям. Такой регулятор строго реализуем тогда и только тогда, когда v~1Z € Н°° и D-1C Е S.

Из теоремы 3.2.1 следует, что для разрешимости задачи инвариантности в общем случае "почти" необходима обобщенная мини-мальнофазовость объекта (и в частности, неравенство к < т). Для разрешимости задачи инвариантности достаточно минимальнофа-зовости объекта (при к = т) или наличия для М гурвицева расширения при к < т (поэтому если А(А), В(\) - матричные полиномы, то достаточно обобщенной минимальнофазовости объекта). Это видно из двух лемм, дающих при указанных условиях конструктивное описание 1-универсальных регуляторов:

Лемма 3.2.2 Пусть к = тп и матричный квазиполином (5) гур-вицев. Если г[А) - матричный размера т х п и р(А) - скалярный гурвицев квазиполиномы , причем Ле±(гВ) ф 0, то регулятор (4) с коэффициентами вида

С(А) = г(А)Л(А) + р(\)К, £>(А) = г(А)В(А), С(А) = -г(А)Р(А) (6)

1-универсален по выходу г. Любой 1-универсальный по г регулятор (4) ^-эквивалентен одному из регуляторов вида (6). Строго реализуемый 1-универсальный по г регулятор может существовать лишь при М~1 [о] € Н°°. При выполнении этого условия строго реализуем любой 1-универсальный по г регулятор (4), для которого И~1С 6 5. Если выполнены условия леммы 2.3.4 и ТгР выбраны как в лемме 2.3.4, то регулятор (б) строго и структурно реализуем. Лемма 3.2.3 Пусть к < т и М имеет гурвицево расширение М+ = [Л/1+, М*], где М1+(А), М+(А) - матричные квазиполиномы размеров (т — к) х п, (т — к) х т. Если г (А), С (А) - матричные размеров т х п, (т — к) х I и р(А) - скалярный гурвицев квазиполиномы, причем <1е1 (гВ 4- р [м/(А)]) ^ 0» то регулятор (4), для которого

""'¿Г] (Ч

является 1-универсальным по выходу г. Любой 1-универсальный по г регулятор (4) Н-эквивалентен одному из регуляторов вида (7).

Важным является вопрос о существовании 1-универсального по г регулятора, не измеряющего внешнее воздействие (в (4) имеем (7 = 0). Для существования такого регулятора необходимо, чтобы з = гк Р < п — к (ранг берется над полем квазирациональных функций). Более того, если .РХ(А) - квазирациональная (п — з) х п-матрица ранга п — з, такая что Р^-Р = 0, то либо гк Р^В > к, либо гк М < п + к, где М определяется из (5). В частности, при Р ^ 0

С = гА + р

К М+

, Г> = г В + р

м+

регулятор (4) с <7 = 0 не может быть 1-универсальным по полному выходу у. В основных случаях, когда выполнены условия леммы 3.2.2 или 3.2.3, указанные условия и достаточны. Теорема 3.2.2Пусть выполнено одно из следующих условий: 1) к = т и М(А) из (5) - гурвицев матричный квазиполином; 2) к < т и М(А) имеет гурвицево расширение. Тогда не измеряющий внешнее воздействие (С = 0) 1-универсальный по г регулятор (4) существует тогда и только тогда, когда гкР^В > к, где - квазирациональная (п — гкР)х п-матрица ранга п — гкР, такая что F-LF = 0.

Помимо перечисленных результатов, приводятся условия существования строго и структурно реализуемых 1-универсальных регуляторов, а также описание класса 1-универсальных по г регуляторов в случае устойчивого объекта.

В разделе 3.3 изучается возможность приближенного решения задачи инвариантности без измерения внешнего воздействия Зависящий от параметра е > 0 регулятор

2?,(р)и(«) = С.(рЖ0 (8)

назовем приближенно 1-универсальным по выходу для объекта (3) в классе внешних воздействий Ф = {</>(•)}, если при малых е > 0 он стабилизирующий и найдется постоянная к > 0, такая что при всех ¥>(•) € Ф все решения замкнутой системы удовлетворяют неравенству Иш8ир|г(<)| < кг. В качестве класса Ф всюду в разделе

£—►+оо

выступает класс Ф^, (где число д > 0 - целое, М > 0), состоящий из функций ¥>(•)> Для которых почти всюду — М • Решается

задача построения приближенно 1-универсального по 2 в классе Ф'м регулятора (8) для данного объекта (3).

Основными результатами раздела являются следующие теоремы, дающие решение задачи для распространенных случаев минималь-нофазового и устойчивого обобщенно-минимальнофазового объекта без запаздываний.

Вводятся специальные классы полиномов с коэффициентами, зависящими от е. Полином р(А,е) принадлежит классу «К*, к > 1, если р(А,е) = екап(е)А" + е*-1ап_ 1(е)Ап_1 + ... + еап-к+1(е)Ап-*+1 + ап-к{е)\п~к + ап-к- 1(е)А"-*"1 + ... + а0(е) где все а3(-) - функции, непрерывные при е = 0, а„(0) ф 0 и полиномы р(А,0) = ап-к(0)\п~к + ... + ах(0)А + ао(0), ап-к(0) + а„_к+1(0)А + ... + ап(0)\к гурвицевы.

Класс £Яо состоит из полиномов вида р(А, е) = ап(е)А" + an-i(e)An_1-l-.. . + ао(е), где «,(•) непрерывны в 0, а„(0) ф 0 и/>(А,0) - гурвицев полином.

Теорема 3.3.1 Предположим, что для объекта (3) выполнены условия леммы 2.3.4 v d = deg А > deg F — q. Выберем число N как в лемме 2.3-4 и полином р(Х,е) степени N + q из класса fHw-d+i. Из условия deg(eA,f(A, г)А(А) — р(Х, е)К) < d + q — 1 однозначно определяется квазиполином г(А, е) степени N — d. Регулятор (8), где

Сс{Х) = еХчг(Х,ё)А{Х)~ р{Х,е)К, De(X) = еХчг(Х,е)В{Х) (9)

при любом М> 0 приближенно I-универсален по z в классе Фчм, а также строго и структурно реализуем.

Если объект (3) обобщенно-минимальнофазовый, А(А) и В(А) -матричные полиномы и ¿(A) = detA(A) - гурвицев полином, то найдутся матричный полином г (А) и скалярный гурвицев полином ф(Х), такие что 6(Х)КА~1(Х)В(Х)г(Х) = ф(\)Ь- В этом случае приближенно I-универсальный регулятор строится особенно просто Теорема 3.3.2 Пусть А(А), В{Х) - матричные полиномы, причем 5(А) = detA(A) - гурвицев полином и объект (3) обобщенно-минимальнофазовый. Пусть также deg(KA~1F) < q. Выберем полиномы г(Х),ф(Х) указанным выше образом и пусть N > degf+ deg<5 + max(deg(A_1B) + 1,0). Возьмем полином р{А, е) степени N из класса £Нлг—такой что р(А,0) = —ф(А). При любом М > 0 регулятор (8), где Се(А) = 6(X)r(X)K, De(А) = 6(Х)г(Х)КА~1(Х)В(Х) + р{Х,е)1т приближенно I-универсален по z в классе Фям, а также строго и структурно реализуем.

Близкие результаты для скалярных объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, впервые были предложены В.М.Мееровым [3].

В разделе 3.4 решается задача отслеживания: описывается все множество Т-универсальных по z регуляторов (4) для заданного объекта (3). Критерий существования Т-универсальных регуляторов (теорема 3.4.1) аналогичен теореме 3.2.1. Из него следует, что для разрешимости задачи отслеживания почти необходима, а в основном случай F = 0 - необходима обобщенная минимальнофазовость объекта.

Для разрешимости задачи отслеживания достаточно минималь-нофазовости объекта (при к = т) или наличия для М гурвицева расширения при к < т (если А, В - матричные полиномы, то достаточно обобщенной минимальнофазовости). Утверждения об описании класса Т-универсальных регуляторов в этих основных

случаях аналогичны леммам 3.2.2, 3.2.3. Приводятся также некоторые условия существования строго реализуемых и структурно реализуемых Т-универсальных регуляторов.

Четвёртая глава посвящена вопросу о существовании универсальных регуляторов в задачах линейно-квадратичной оптимизации при неизвестных внешних сигналах. Эти задачи естественно обобщают задачи инвариантности и отслеживания на случай, когда условия разрешимости последних нарушены. В подобных задачах обычно не удается построить универсальный регулятор, дающий решение задачи в классе всевозможных внешних сигналов. Однако для более узких классов внешних сигналов, рассматриваемых ниже, такие регуляторы существуют.

В разделе 4.1 приведены основные обозначения и постановки задач. Рассматривается объект управления, описываемый уравнениями в пространстве состояний

*(<) = СгХ{Ь) + 1 '

Здесь х(£) € М9 ,и(<) 6 Кт, ^>(£) 6 К' - состояние системы, управление и внешнее воздействие. Числа 0 = то < л < .. < та и вещественные матрицы А}, В3 (где 0 < ] < Л), С:, И., соответствующих размеров заданы. Для объекта (10) полагаем ниже А{А) = XIА3е~Хт',В{Х) = В,е_Аг'. Выход гЦ) 6 К* должен быть близок (в определенном ниже смысле) к задающему внешнему сигналу г(<) 6 Оба сигнала г(<) неизвестны, известно лишь, что они лежат в определенном классе (уточняемом ниже). Решение уравнения (10) определяется начальными условиями:

х(0 + 0) = ^Нт = а, х{€) = х0(*),и(4) = и0(*) V* € [-та;0]

(П)

(Здесь хо( ),мо( ) -некоторые функции, |жо( )|, |ио()| 6 ¿2[-га; 0]). Начальные данные а,хо(-))Ио() не предполагаются известными. Пару функций [х(-),и(-)], такую что справедливо (10), назовем процессом. Предполагается, что качество процессов оценивается квадратичным функционалом, подлежащим минимизации. При этом естественно ограничиться некоторым классом "медленно растущих" процессов. Приведем точное описание рассматриваемых задач.

Предполагаются заданными квадратичная форма Р(х,и) = х*(?х + 2х'ди + и" Гц переменных х € Ж4, и € Кт, где 5 = £*, Г = Г* и д - матрицы соответствующих размеров и матрица Л = Я* размера к х к.

Введем эрмитову форму Fi(x,u) = x'Çx + 2Rex'gû + й*Гй + (Czx + Dzù)*R(Czx + Dzü) переменных х е С,й € С\ При det A(ílü) ф 0 определим матрицу П(гш) = n(tw)* соотношением û*n(iw)w = Fi(A~l(iui)B(iw)û,û). Если найдется число е > 0, такое что

Fi(x,ü)>e(\x\2+ \й\2) при А(ш)х = В{ш)й, wëR (12)

то будем говорить, что выполнено частотное условие. Если частотное условие "сильно" нарушено, то есть для некоторых u, х, ü имеем А(ш)х = B(iui)ü и Fi (х, и) < 0, то в рассматриваемых ниже задачах инфимум функционала равен —оо.

Первая из рассматриваемых задач относится к случаю полигармонических внешних сигналов: [y>(t),t(í)] = JZ^Lit^j > хз\е'"'' (гармоники входят сопряженными парами). Спектр ,u¡n задан, однако амплитуды <р3 € С1 ,г} 6 С неизвестны Предполагается, что "качество" процесса оценивается функционалом вида т

Ф = lim sup i [[(z(t) - r(t))'R(z(t) - t(í)) + F(x(t),u(t)))dt (13) T-t+oo i J 0

При различном выборе F, R получаются содержательно разные цели управления: оптимальное отслеживание (F{x,u) = и'Ги и Г > О,R > 0), подавление колебаний (R = 0) и др. Будем называть процесс допустимым, если ^lim ^|х(Т)|2 = 0 и в случае, если

при каком-либо j ф 0 имеем B-¡ ф 0 (есть члены с запаздыванием в управлении), также ^lim ^|м(Т)|2 = 0 Множество таких процессов обозначим 91.

Требуется минимизировать функционал (13) на множестве 91.

Вторая задача относится к аналогичному случаю стохастических сигналов. Пусть 9(t) = ~ случайный процесс, задаваемый сто-

хастическим интегралом

/+оо

elu:tQ(iw)duu, в(гш)в(ги>)' < a(ui)h+k (14)

'ОО

Здесь e(iuj) - неизвестная матрица-функция размера (l+k) х (1+к), иы Ç Ri+<t - случайный процесс с некоррелированными приращениями, Edvu = 0, Edvll!1duZ2 = 5(a>i — u¡7)Ii+kdui\dui2, и сг(ш) > 0 -известная скалярная функция, такая что +00 +00

/ тЙ^ = _00' / (1 + М^М«")*" < +оо WV > 0 (15)

—оо —оо

(например, a(lj) = е-7'"', 7 > 0). Уравнения (10) понимаются в смысле теории обобщенных случайных процессов. Начальные данные а, хо(-), tio(-) ~ случайные элементы соответствующих пространств с конечными вторыми моментами. Отметим, что хотя процессы с быстро убывающей спектральной плотностью и могут быть точно спрогнозированы по некоторому начальному интервалу, в данной ситуации такой прогноз невозможен, так как требует точного знания спектральной плотности.

Качество процесса оценивается функционалом, аналогичным функционалу (13):

т

Ф, = lim sup ^Е [[(z(i) - t(t))'R(z(t) - т(t)) + F(x(t),u(t))]dt (16) T—f+oo i J 0

Процесс fr(')iw(")] будем называть допустимым, если lim hE\x(T)\2 = 0 и в случае, если при каком-либо j ф 0

т—*+ оо

имеем В j ф 0 (есть члены с запаздыванием в управлении), также ^lim ±Е\и(Т)\2 = 0. Множество таких процессов обозначим 9tä.

Требуется минимизировать функционал (16) на множестве 9IS.

Поскольку внешние сигналы в обеих задачах неизвестны, то явно найти оптимальный процесс невозможно. Цель главы - построение для указанных задач универсальных оптимальных линейных стаби- -лизирующих регуляторов вида

D(p)u(t) = C(p)x(t) + Gv(p)<p(t) + Gr(p)t(i) (17)

где p = С, Gt - матричные квазиполиномы соответствующих размеров (для стохастического случая дифференцирование понимается в смысле теории обобщенных случайных процессов). Такие регуляторы порождают при любых значениях неизвестных параметров оптимальный или "почти оптимальный" среди всех допустимых процесс в задаче (точные определения см. ниже). Наиболее интересна при этом ситуация, когда внешнее воздействие <р не измеряется (в (17) должно быть = 0).

В разделе 4.2 при помощи теории полугрупп исследуются вспомогательные задачи линейно-квадратичной оптимизации в гильбертовом пространстве.

Раздел 4.3 посвящен решению первой из поставленных задач. Введем класс £ С 9t процессов, порождаемых стабилизирующими регуляторами (17). Назовем стабилизирующий регулятор (17) универсальным оптимальным на УI (на £), если при любых амплитудах <pj, tj он порождает оптимальный на (соответственно на £) процесс.

Если выполнено (12) и пара (А, В) стабилизируема, то ппп Ф = 1шпФ, таким образом, универсальные оптимальные на £ регуляторы оптимальны и на 91 (обратное, очевидно, тоже верно). Отсюда вытекает основной результат раздела 4.3. Положим

Ф, = -П (iU])-1{B*(iu))(A(iu>}yr1(G + C;RCz)+g + D;Ra]A( Kj = Щш,)'1^ +CzA(iwJ)~1B(iojJ))'R

Теорема 4.3.1 Пусть пара матричных квазиполиномов Со (Л), Do (Л) такова, что матричный квазиполином ^ -с^а) Do(\) ] гурвицев (А(Х),В(Х) определены выше). Предположим также, что det A(iujj) ф 0 tí выполнено частотное условие (12). Пусть матричные квазиполиномы г(Л), Gv(A), Gr(A) размеров т х п, т у. I, т х к и скалярный гурвицев квазиполином р( А) таковы, что det (г В + pDo) ф 0 и выполнены условия Gv(iüjj) = p(¿Wj)^j — r(iwj)f°, Gt(iuij) = /j(íwj)7Jj. Тогда регулятор (17), где С(А) = г(А)А(А)+р(А)С0(А) и D(А) = r(A)B(A)+p(A)D0(A), является универсальным оптимальным на Щ. Любой универсальный оптимальный на £ регулятор (17) Н-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида и оптимален на 91.

Для устойчивого объекта описание универсальных регуляторов наиболее просто.

Теорема 4.3.2. Пусть 8(А) = det .4(А) - гурвицев квазиполином и при всех и € R имеем П{гш) > slm, где е > О - некоторое число. Пусть C(A),D(A) имеют вид D(А) = <5(А)г(А)А_1(А)В(А) + р(Х)1т, С(А) = S(\)r(\), где матричный размера т х п и скалярный гурвицев квазиполиномы г,р таковы, что detD ~ф. 0. Пусть матричные квазиполиномы Gv,Gz таковы, что Gv(iuij) = p(iui})Ф., —S{wJ)r{isjj:¡)A~l{iujJ)}(>, Gt(iuij) = p(iujj)Hj. Тогда регулятор (17) с указанными С, D, GV,G¡ - универсальный оптимальный на 91. Если р имеет запаздывающий тип и deg р > max(degr + deg 5, deg G^, deg Gc), то такой регулятор строго и структурно реализуем. Любой универсальный оптимальный на £ регулятор (17) Н-эквивалентен регулятору указанного вида. Универсальный оптимальный на 91 регулятор вида D{p)u = С(р)у + Gr(p)r, где y(t) = Cvx(t), Cv - некоторая матрица, существует тогда и только тогда, когда для некоторых матриц Z3,j ~ 1,... ,N, имеем Z]CyA~1(iujJ)f0 = Ф, .

Раздел 4.4 посвящен решению второй из поставленных выше задач (об оптимальном отслеживании стохастических сигналов). Введем класс £3 С Ns процессов системы, порождаемых стабилизирующими регуляторами вида (17) (дифференцирование понимается, например, в смысле обобщенных случайных процессов).

Для произвольной матрицы M пусть ||М|| = VtrM'M. Символом же \М\ будем обозначать стандартную евклидову норму матрицы. Для произвольной функции <т(ш) > 0 и матричной функции /(гш) положим по определению ||/(-)||2 = ||/(iw)||2£T(w)dw.

Из результатов М.Г.Крейна j4] следует, что если функция а(ш) удовлетворяет (15), то для любых е > 0, целого числа M и функции Z0{iu), такой что \Z0(iw)\ < С{ 1 + М"), где С > О, N > 0 - постоянные, найдется аналитичная при Re А > 0 рациональная функция Z{А), такая что ||Z - Z01|<, < £ и Z{\) = 0(Х~М) при А -> +оо.

Этот результат позволяет установить, что если выполнено (12) и существует хотя бы один стабилизирующий регулятор (17), то inf Ф1 = min Ф» (инфимум в левой части может не достигаться). Отсюда вытекает основное утверждение раздела. Положим

Ф м = -пм-Мв*(»а»)(л((ы)т1(е + с;лс,) + в + о;лс,]Ам-1/0,

Щш) = U{iw)-\DZ +CzA(iu>y1B(w))'R

Теорема 4.4.1 Пусть существует пара матричных квазиполиномов Со, Do, такая, что матричный квазиполином J £>о(А) ] гурвицев. Предположим, что det у!(гш) /Ou выполнено (12). Тогда для любого е > 0 найдется стабилизирующий регулятор (17), универсальный в том смысле, что он обеспечивает при любом сигнале 9{t) — [y(i),r(i)] вида (14) неравенство Фв < inf#s +£■ Еслиг, G,?, Gc - матричные размеров тпхп, mxl,mxkup- скалярный гурвицев квазиполиномы, det(rB + pDo) £ О,

Gv{iw) = p(iw)Zv{iui) - r(iui)f°, Gr(iu) = p(iui)Zr(iu) (18)

u тах|П(ги))|(||2„(*ш) - Ф(ги))||* + \\Zr{iuj) - H(iw)\\î) < s, mo yno-

ui

мянутым свойством обладает регулятор (17) при С = г А + рСо и D — г В + pDo и указанных Gv,Gt.

Если в условиях теоремы 4.4.1 det А(А) - гурвицев квазиполином и матрица Су такова, что для функции т{ги>) = CyA(iu)~l выполнены условия det(m(ta>)*m(iw)) ф 0 и |(m(iu>)*m(iu;))-1| < С(1 + где C,N > 0 - постоянные, то найдется регулятор вида D(p)u = С(р)у + Gc(p)r, где y(t) = Cyx(t), обеспечивающий при любом сигнале 6(t) = [y>(i), t(i)] вида (14) неравенство Ф, < inf Ф» + е.

fij

В заключении сформулированы основные результаты работы. Приложение содержит оценки для выхода линейной стационарной системы, используемые в решении задачи о приближенной инвариантности.

Цитируемая литература

1. Г.В.Щипаное и теория инвариантности (сост. Лезина З.М., Лезин В.И.), М., Физматлит, 2004

2. Якубович В.А., Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания, Доклады РАН, 1995, т.343, N 2, с. 172-175

3. Мееров В.М. Синтез структур автоматического регулирования высокой точности, М., Физматгиз, 1959

4. Крейн М.Г. Об одном обобщении исследований Г.Сегё, В.И.Смирнова и А.Н.Колмогорова//Доклады АН СССР, 1945, т.46, с.95-98

Работы автора по теме диссертации

1. Проскурников А. В., О построении регуляторов, обеспечивающих почти инвариантность системы управления. Вестник СПбГУ, сер. 1, 2002, вып. 4, стр. 37-43.

2. Проскурников А. В., О свойствах системы управления, обеспечивающих малость установившегося выхода. Вестник СПбГУ, сер. 1, 2004, вып. 1, стр. 43-49.

3 Проскурников А В., Якубович В.А., Задача об инвариантности системы управления. Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742-746

4 Проскурников А. В., Якубович В.А., Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления. Доклады РАН, 2003, т.392, N6, с.750-754

5. Проскурников А. В., Якубович В.А., Задача об инвариантности для систем управления с запаздыванием. Доклады РАН, 2004, т.397, N5, с.610-614

6. Проскурников А В., Якубович В.А., Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания. Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-325

7. Proskurnikov A.V., Universal regulators for optimal tracking of polyharmonic signals m delay systems.Preprints of 10th International Students Olympiade on Automatic Control (Baltic Olympiade), pp.7-11, St.-Petersburg, May 2004.

ЛР №040815 от 22.05.97 Подписано к печати 07.11.2005г. Формат бумаги 60X84 1/16.Бумага

офсетная

Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3737 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ

с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, 28

/

î I

!

(d *

¿j

¡

( I

/

í ¡

I

I

I

4

i

!

?

i

!

! t

s * Л 440

РНБ Русский фонд

2006-4 25864

Введение.

1 Основные задачи и обзор известных результатов.

1.1 Задачи инвариантности и асимптотического отслеживания

1.2 Универсальные регуляторы в задачах линейно-квадратичной оптимизации.

2 Параметризация стабилизирующих регуляторов.

2.1 Основные понятия и обозначения.

2.2 Общий вид стабилизирующего регулятора.

2.3 Реализуемость стабилизирующих регуляторов.

3 Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и асимптотического отслеживания.

3.1 Некоторые понятия и обозначения.

3.2 Решение задачи об инвариантности системы управления.

3.3 Приближенное решение задачи инвариантности без измерения внешнего воздействия.

3.4 Задача асимптотического отслеживания.

4 Универсальные регуляторы в линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания.

4.1 Введение.

4.2 Вспомогательные бесконечномерные задачи оптимизации.

4.3 Универсальные регуляторы для отслеживания полигармонических внешних сигналов.

4.4 Универсальные регуляторы в линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания стохастических сигналов.

Задачи управления неопределенными системами имеют чрезвычайно большое практическое значение, поскольку параметры и внешние условия функционирования любой реальной системы, как правило, неизвестны или известны неточно. Вопросы управления в условиях неопределенности послужили стимулом к развитию целого ряда разделов современной теории управления, в том числе минимаксной оптимизации, стохастического управления, адаптивного управления, теории абсолютной устойчивости и др.

Процессы неопределенной системы, удовлетворяющие цели управления, обычно зависят от неизвестных параметров и явно быть найдены не могут. Тем не менее, в некоторых задачах управления неопределенными системами существуют регуляторы (операторы обратной связи, формирующие управление по выходу системы), не зависящие от неизвестных параметров системы, но при этом обеспечивающие достижение цели управления при любых значениях этих параметров. Такой регулятор, решающий по сути одновременно целое семейство задач управления, будем следуя [72,97] называть универсальным (в данной задаче для данного класса неизвестных параметров).

Несмотря на то, что существование универсальных регуляторов кажется "исключительным" свойством, такие регуляторы удается построить для целого ряда важных задач. Большинство примеров регуляторов такого рода дает теория адаптивного управления. Применяя методы данной теории, удается построить универсальные регуляторы специальной структуры (содержащие контур "подстройки параметров"), называемые адаптивными, в целом ряде задач стабилизации, минимаксного и стохастического оптимального управления, фильтрации и др. с неопределенным объектом управления.

Точные постановки подобных задач, а также определение адаптивного регулятора могут быть найдены, например, в работах [59,61,94] и многих других (см. ссылки в указанных источниках).

Вместе с тем, существуют и другие примеры универсальных регуляторов. Один из самых простых примеров такого регулятора - стандартный линейный регулятор, порождающий оптимальный процесс в задаче линейно-квадратичной оптимизации при произвольных неизвестных начальных данных объекта управления. Задолго до формирования теории адаптивного управления, в 1939 г. Г.В.Щипановым был поставлен вопрос о существовании универсального 1 регулятора, обеспечивающего асимптотическую стабилизацию выхода системы при наличии в системе неизвестного внешнего возмущения. В этой задаче, получившей позже название задачи инвариантности, в роли неизвестного параметра выступает внешнее воздействие, то есть элемент бесконечномерного пространства.

Проблема инвариантности практически сразу привлекла к себе внимание специалистов и стала предметом серьезной дискуссии, продолжавшейся в течение нескольких десятилетий. Однако, несмотря на значительное число работ по этой проблематике, полного решения задачи инвариантности, которое включало бы условия разрешимости и полное описание множества универсальных регуляторов, решающих задачу, получено не было.

Получение полного описания универсальных регуляторов в задаче инвариантности, близкой к ней задаче асимптотического отслеживания и некоторых естественно обобщающих указанные проблемы линейно-квадратичных задачах оптимального управления и является целью настоящего диссертационного исследования.

1по терминологии Г.В.Щипанова [67] - "идеального универсального"

Опишем содержание диссертационной работы. Первая глава является вводной, посвящена историческому обзору известных результатов и описанию рассматриваемых в дальнейшем задач. Раздел 1.1 посвящен истории задач инвариантности и асимптотического отслеживания, раздел 1.2 - линейно-квадратичным задачам оптимизации при неизвестных внешних сигналах.

В главе 2 приводятся вспомогательные утверждения о параметризации множества стабилизирующих линейного регуляторов для данного линейного объекта. Данная параметризация были установлена для основных случаев в работах В.А.Якубовича и несколько более удобна для применения в рассматриваемых задачах, нежели стандартные параметризации регуляторов. В параграфе 2.1 вводятся основные понятия и обозначения. Основным является раздел 2.2, где доказываются утверждения об общем виде стабилизирующего регулятора. Наконец, раздел 2.3 посвящен изучению вопроса о реализуемости (в различных смыслах) стабилизирующих регуляторов.

Глава 3 посвящена решению задач об инвариантности системы управления и асимптотическом отслеживании. В разделе 3.1 приводятся постановки задач и используемые в дальнейшем обозначения. В разделе 3.2 приводится полное решение задачи об инвариантности системы управления. В разделе

3.3 рассматривается вопрос о возможности приближенного решения задачи инвариантности в ситуации, когда точное решение невозможно. Раздел

3.4 посвящен задаче синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего отслеживание произвольного (заранее неизвестного) задающего сигнала.

Глава 4 посвящена исследованию некоторые линейно-квадратичные задачи оптимального управления при наличии в системе внешних сигналов. Эти задачи естественно обобщают задачи инвариантности и отслеживания на случай, когда условия их разрешимости не выполнены. Универсальный регулятор в классе всевозможных внешних сигналов в подобных задачах оптимизации, как правило, не существует, однако сохраняется возможность построения универсального регулятора в более узком классе внешних сигналов. Раздел 4.1 содержит постановки двух таких задач: задачи об оптимальном отслеживании (с одновременным подавлением вынужденных колебаний) полигармонического сигнала с известным спектром, но с неизвестными амплитудами, и аналогичной задачи для стохастических стационарных сигналов с неизвестной, но быстро убывающей спектральной плотностью. Первая из этих задач решена в разделе 4.3, а вторая - в разделе 4.4. В разделе 4.2 исследуются вспомогательные задачи оптимизации в гильбертовом пространстве.

В Приложение вынесены некоторые критерии равномерной малости выхода линейной системы на установившемся режиме при произвольном ограниченном внешнем входе, которые используются при решении задачи о приближенной инвариантности.

Заключение.

Как правило, в задачах управления неопределенными системами невозможно явно найти процесс системы, который удовлетворял бы целевым условиям, невозможно, поскольку такой процесс определяется неизвестными параметрами системы. Однако известны ситуации, когда задача управления в условиях неопределенности имеет решение в виде универсального регулятора. Так называются операторы обратной связи, которые не зависят от неизвестных параметров, и вместе с тем для любых значений этих параметров обеспечивают выполнение цели управления. По сути дела такой регулятор одновременно решает целое семейство задач управления.

Диссертационная работа посвящена изучению вопроса о существовании универсальных регуляторов в классических задачах инвариантности и асимптотического отслеживания (в обеих задачах неизвестным параметром является функция, поступающая на вход системы, в первом случае имеющая смысл "нежелательного" внешнего воздействия, а во втором - задающего сигнала). Несмотря на длинную историю этих задач, полного их решения до сих пор получено не было. Кроме того, строятся универсальные регуляторы в некоторых линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания и подавления вынужденных колебаний при неизвестных внешних сигналах.

Перечислим основные результаты работы:

1) Получено полное описание регуляторов, решающих задачу об инвариантности системы управления (показывается, в том числе, что для разрешимости задачи необходимо выполнение условия, близкого к минимальнофазо-вости объекта). Изучается важный вопрос о достижимости инвариантности в условиях, когда внешнее воздействие не измеряется.

2) Изучен вопрос о приближенном решении задачи инвариантности, когда точное решение без измерения внешнего воздействия невозможно. Показано, что если объект минимальнофазовый (или удовлевторяет близкому условию) и неизмеряемое внешнее воздействие ограничено или имеет ограниченную производную какого-либо порядка, то задачу инвариантности можно решить приближенно с произвольной точностью. Формулы для соответствующих регуляторов близки к формулам, предложенным М.В.Мееровым [35], однако в отличие от этой и других работ по приближенной инвариантности, доказывается равномерная малость "установившегося" выхода системы. Это свойство не следует из равномерной малости передаточной функции.

3) Получено полное описание регуляторов, решающих задачу об отслеживании неизвестного заранее задающего сигнала.

4) Изучена общая задача линейно-квадратичной оптимизации при наличии в системе полигармонических внешних сигналов с известным спектром, но неизвестными амплитудами. Данная задача включает в качестве частных случаев задачи оптимального отслеживания и оптимального подавления колебаний и является естественным обобщением задач инвариантности и отслеживания на случай, когда необходимые условия их разрешимости не выполнены. Доказано существование линейных универсальных регуляторов, которые при любых внешних сигналах из указанного класса порождют оптимальный (на очень широком множестве) процесс в задаче.

5) Рассмотрена аналогичная линейно-квадратичная задача для случая, когда внешние сигналы есть стационарные случайные процессы с неизвестной спектральной плотностью, для которой задана лишь мажорирующая ее быстро (например, экспоненциально) убывающая функция. Построен линейный регулятор, который при любой спектральной плотности из указанного класса порождает субоптимальный (на широком множестве) с заданным уровнем оптимальности процесс в задаче.

Отметим, что в отличие от предшествующих результатов, указанные в пунктах 1-3 задачи рассмотрены не только для обыкновенных дифференциальных уравнений, но и для систем с запаздываниями.

При решении упомянутых задач использованы, в частности, частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) для однопараметрических Со-полугрупп, некоторые результаты М.Г.Крейна об аппроксимации функций, а также параметризация стабилизирующих регуляторов, предложенная для основных случаев В.А.Якубовичем и более удобная для рассматриваемых задач, чем стандартные параметризации.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем, М., Изд-во АН СССР, 1963

2. Андронов А.Л., Витт А.А., Хайкин С.Э.Теория колебаний, Физматлитиз-дат, 1959

3. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ, М., Наука, 1980

4. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов, СПб, Изд-во СПб-ГУ, 1996

5. Беллман Р., Кук К.Дифференциально-разностные уравнения, М., Мир, 1967

6. Вознесенский И.Н. К вопросу о выборе схемы регулирования теплофикационных турбин//За советское энергооборудование, 1934, вып.6, с.58-65

7. Вознесенский И.Н. О причинах и схемах автоматического регулирования/ /Прикладная математика и механика, 1942, т.6, с.101-110

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Наука, 1971

9. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович, В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия, М., Наука, 1978

10. Гельфанд И.М., Виленкин Я.Н. Обобщенные функции, вып.4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., Физматгиз, 1961

11. Данфорд Н., Шварц Дж.Т.Линейные операторы (общая теория), М., ИЛ, 1962

12. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения, М.,Наука, 1983

13. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К. Комбинированные следящие системы, Киев, Техника, 1976

14. Ивахненко А.Г. Техническая кибернетика, Киев, Гостехиздат, 1959

15. Иосида К. Функциональный анализ, М., Мир, 1967

16. Ишлинский А.Ю. О компенсации внешних возмущений, вызванных маневрированием в гироскопических системах// В кн.: Тр. Всесоюз. со-вещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 81-92.

17. Красовский А.А.(ред.) Справочник по теории автоматического управления, М., Наука, 1987

18. Крейн М.Г. Об одном обобщении исследований Г.Сегё, В.И.Смирнова и А.Е.Колмогорова! J Доклады АН СССР, 1945, т.46, с.95-98

19. Кулебакин B.C. О применимости принципа абсолютной инвариантности в физически реальных системах//ДАН СССР, 1948, т.60, N2, с.231-234

20. Кулебакин B.C. Об основных задачах и методах повышения качества автоматических регулируемых систем// В сб.:Тр. 2-го Всесоюз. совещ. по теории автоматического регулирования, т.2, Изд-во АН СССР, 1955

21. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы регулирования// В сб.:Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959

22. Кулебакин В.С .Теория инвариантности автоматически регулируемых и управляемых системI/ В сб.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961

23. Кулебакин B.C., Ларичев О.И. О полиинвариантности в системах автоматического регулирования//Известия ОТН, серия "Энергетика и автоматика", 1961, N5

24. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике, Киев: Техника, 1963, 270с.

25. Кухтенко А.И. Основные этапы формирования терии инвариантности//Автоматика, 1984, N2, с.3-13; 1985, N2, с.3-14; 1985, N6, с.3-14

26. Лакота Н.А.(ред.) Основы проектирования следящих систем, М. Машиностроение, 1978

27. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных схем с обратной связью, Киев, 1971

28. ЛезинаЗ.М., Лезин В.И.(сост.) Г.В.Щипаное и теория инвариантности, М., Физматлит, 2004

29. Линдквист А., Якубович В.А. Универсальные регуляторы для оптимального отслеживания сигналов в линейных дискретных системах.// Доклады РАН, 1998, т.361, N 2, с.177-180.

30. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем, М., Го-стехиздат, 1955

31. Лихтарников A.JI., Якубович В.А. Частотная теорема для однопара-метрических полугрупп// Известия АН СССР, серия "Математика", N4, 1977, с.895-911

32. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, М., Гостехиздат, 1951

33. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений/ / Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.3-66

34. Лузин Н.Н., Кузнецов П.И. К абсолютной инвариантоности и инвариантности до е в теории дифференциальных уравнений, ч.1,2 //ДАН СССР, 1946, Т.51, N4, С.247-250 и N5, с.331-334.

35. Мееров М.В., Синтез структур автоматического регулирования высокой точности, М., Физматгиз, 1959

36. Мееров М.В., Системы многосвязного регулирования, М., Наука, 1985

37. Михайлов А.В. О методе проектирования регуляторов, предложенном Г.В.Щипановым //Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.129-143.

38. Михайлов Л.Н. Некоторые замечания относительно теории полной компенсации возмущений//Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.145-154

39. Нелепин Р.А. Методы исследования нелинейных систем, М., Наука, 1975

40. Николаи Е.Л. О работе Г.В.Щипанова//Прикладная математика и механика, 1942, Т.6, вып.1, с.11-23.

41. Первозванский А.А .Курс теории автоматического управления, М., Наука, 1986

42. Петров Б.Н. О реализуемости условий инвариантности //В кн.: Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 59-80.

43. Петров Б.Н .Принцип инвариантности и его применимость при расчете линейных и нелинейных систем//В кн.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961

44. Петров Ю.П.Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения, М.Судостроение, 1973

45. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования// Автоматика и телемеханика, 1961, т.22, N8

46. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем, М., Наука, 1970

47. Проскурников А.В. О построении регуляторов, обеспечивающих почти инвариантность системы управления//Вестник СПбГУ, 2002, вып.4, с.37-43

48. Проскурников А.В. О свойствах системы управления, обеспечивающих малость установившегося выхода//Вестник СПбГУ, 2004, вып.1, с.43-49

49. Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742-746

50. Проскурников А.В., Якубович В.А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.392 N6 с. 750-754

51. Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об абсолютной инвариантности для систем управления с запаздываниями/fj\оклады РАН, 2004, т.397, N5, с.610-614

52. Проскурников А.В., Якубович В.А. Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-325

53. Ройтенберг Я.Н.Автоматическое управление, М., Наука, 1978

54. Рябов Б.А .Автоматическое регулирование постоянства подачи воздуха при подземной газификации углей//Автоматика и телемеханика, 1939, N4, с.26-35

55. Рябов Б.А. Возникновение, развитие и состояние теории инвариантности/ / В сб. "Теория инвариантности в системах автоматического управления", М., Наука, 1964, с.10-18

56. Уланов Г.М.Регулирование по возмущению, М., Госэнергоиздат, 1960

57. Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления, М., Наука, 1980

58. Фельдбаум А.А. Вычислительные устройства в автоматических системах, М., Физматгиз, 1959

59. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация, Изд-во ЛГУ, 1972

60. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами, Изд-во ЛГУ, 1985

61. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981

62. Фрадков A.JI. Адаптивная стабилизация минималънофазового объекта с векторным входом без измерения производных выхода//Доклады РАН, 1994, т.337, N5, с.592-594

63. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений, М., Мир, 1984

64. Христианович С.А., Гантмахер Ф.Р. Анализ основных положений работы Г.В.Щипанова "Теория и методы построения автоматических регуляторов " //Автоматика и телемеханика,1940, N5, с.41-49.

65. Ширяев А.С., Якубович В.А. Оптимальное отслеоюивание гармонических сигналов в линейных системах при наличии помех в измерениях.// ДАН, 1997, т.353, N 1, с.29-33

66. Щипанов Г.В. Гироскопические приборы слепого полета, Оборониз, 1938

67. Щипанов Г.В. Теория и методы построения автоматических регуляторов //Автоматика и телемеханика, 1939, N1, с.4-37.

68. Якубович В.А. К теории адаптивных систем.//ДАН СССР, т.182, N 3, с.518-522

69. Якубович В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления//Автоматика и телемеханика, 1984, N8, с.5-44

70. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии.// Доклады РАН. т.332, N2, 1993, с. 170-172.

71. Якубович В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы.// Доклады РАН, т.337., N 3, 1994, с.323-327

72. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в стохастических задачах управления линейными стационарными объектами.// Автоматика и телемеханика, 1997, N6, с. 170-182

73. Якубович В.А. Задача об оптимальном отслеживании детерминированных гармонических сигналов с известным спектром.// Доклады РАН, т.337, N 4, 1994, с.463-466.

74. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания// Доклады РАН, 1995, том 343, N 2, с.172-175

75. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичной задаче оптимального отслеживания.// Докл. РАН, 1996, т.348, N3, 313317

76. Якубович В.А. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных колебаний в линейных системах с запаздыванием.// Докл. РАН, 1996, т.346, N 3, с.319-323.

77. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия.// Докл. РАН, т.380, N 1, 2001, с. 27-30

78. Astrom K.J. Introduction to Stochastic Control Theory Lund;N.Y.: Academic Press, 1970

79. Brockett R. New Issues in the Mathematics of Control, In: Mathematics Unlimited 2001 and Beyond, Engquist B. and Schmid W. (Eds.), Springer, 2001, pp. 189-220

80. Cruz J.В., Perkins W.R. Conditions for Signal and Parametrical Invariance in Dynamical Systems// IEEE Transactions on Automatic Control, 1966, pp.614-615

81. E.J.Davison and A.Goldenberg,Robust control of a general servomechanism problem:The servo compensator//Automatica 11 (1975),461 -471.

82. E.J.Davison and B.M.Scherzinger,Perfect control of the robust servomechanism problem, IEEE Transactions on Automatic Control AC-32 (1987),689 -702.

83. Desoer C.A., Liu R.W., Murray J., Saeks R. Feedback system design: the fractional representation approach//IEEE Transactions on Automatic Control, AC-25, 1980, pp.399-412

84. Desoer C.A., Vidyasagar M. Feedback systems: input-output properties, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1975

85. Francis B.A. Linear Multivariable Regulator Problem //SIAM J. Contr. and Opt., 1977, v.15, N3, pp.486-504

86. Francis B.A. Course in H^ control theory, Springer-Verlag, New York, Berlin, Tokyo, 1988

87. B.A.Francis and W.M.Wonham, The internal model principle of control theory Automatica 12 (1977),457-465.

88. Hoagg J.В., Bernstein D.S. Direct Adaptive Dynamic Compensation for Minimum Phase Systems with Unknown Relative Degree//Proceedings of 43rd IEEE Conference on Decision and Control, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 2004, pp. 183-188

89. Lindquist A., Yakubovich V.A. Optimal Damping of Forced Oscillations in Discrete-Time Systems.// IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, v.42, N 6, pp.786-802.

90. Lindquist A., Yakubovich V.A. Universal Regulators for Optimal Tracking in Discrete-Time Systems Affected by Harmonic Disturbances./] IEEE Transactions on Automatic Control, AC-44, No 9, 1999, pp. 1688-1704.

91. Makarov I.A., Zuber I.E., Yakubovich V.A. Trajectory Tracking Problem for Automatic Steering and Related Topics.// Transactions of French-Russian A.M.Liapunov Institute for Applied and Computer Science, Moscow, Russia, v.2, 2001, pp.5-19.

92. Minorsky N. Directional Stability of Automatically Steering Bodies// J.Amer.Soc. Naval Eng., 1922, v.34, N2, pp.280-309

93. Proskurnikov A.V. Universal regulators for optimal tracking of poly harmonic signals in delay systems, Preprints of 10th International Students Olympiade on Automatic Control (Baltic Olympiade), pp.7-11, St.-Petersburg, May 2004

94. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness, Prentice Hall, New Jersey, 1989

95. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse Singularer Integral Gleichun-#en//Sitz.Acad.Bull., 1931, s.696-706

96. Wonham W.M. Linear Multivariable Control: a Geometric Approach, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1980

97. Yakubovich V.A. Universal Regulators in Linear-Quadratic Optimization Problem. In "Trends in Control: a European Perspective", Alberto Isidori (Ed.), 1995, pp.53-67.

98. Youla D.C., Jabr H.A., Bongiorno, J.J. Modern Wiener-Hopf Design of Optimal Controllers, Part II j j IEEE Transactions on Automatic Control, AC-21, No 3, 1976, pp.319-338