Стабилизация и устойчивость нелинейных импульсных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Муранов Виталий Арсеньевич

Стабилизация и устойчивость нелинейных импульсных

систем.

специальность 01 01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ии^1741ЭО

Санкт-Петербург 2007 г

003174190

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-\геханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Гслиг Аркадий Хаймович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, доцент

Чурилов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, доцент Смирнова Вера Борисовна

Ведущая организация Институт Проблем Машиноведения

Российской Академии Наук

Защита состоится « 3/ » <£>(¿¿¿£^<3 2007г в ^ часов на

заседании диссертационного совета Д 212 232 29 по защите диссертаций па соискание ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу 198504, Петродворец, Университетский пр, д. 28, математико-механическяй факультет

Зашита будет проходить в Санкт-Петербургском отделении Матемагического Института им Стеклова РАН по адресу г Санкт-Петербург, паб р Фонтанки, д 27, луд 311

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб 7/9

Автореферат разослан « ъ ¿ё^ьГ&^Л 2007г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 232 29 доктор физ -маг наук, профессор

В М Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется не только тем обстоятельством что некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами но и благодаря тому, что импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости Поэтому математическая теория импульсных систем привлекала внимание многих исследователей (Н Е Жуковский, Я 3 Цыпкин, В А Якубович, В М Кунцевич, Ю Н Чеховой, Е Н Розенвассер, А Д Мышкис, А М Самойленко, М Gouy, ЕI Jury, V Lakshmikantham, D D Bainov, P S Simeonov, П Видаль, ГА Леонов, AX Гелиг, АН Чурилов и др), в работах которых исследовались динамические свойства этих систем

Целью работы является получение условий устойчивости нелинейных импульсных систем, а также синтез стабилизирующих их управлений Методы исследований включают теорию функционально-дифференциальных уравнений, частотную теорему, а также метод усреднения Научную новизну работы составляют следующие результаты Получены частотные условия устойчивости нелинейной импульсной системы с монотонной эквивалентной нелинейностью, а также разработаны алгоритмы синтеза робастных стабилизирующих управлений, в том числе обеспечивающих инвариантность к внешнему воздействию Теоретическая и практическая ценность. Результаты данной работы работы носят теоретический характер, однако могут найти применение в технике при разработке импульсных регуляторов

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на IX международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е С Пятницкого (Москва, 2006) Международной конференции "Dynamical Modelling of Computer Systems" (Санкг-Пегербур1, 2004), а также на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4]

В работах [1-3] А X Гелигу принадлежат постановка задачи и метод усреднения В работе [4] А X Гелигу принадлежат только постановка задачи В работах [1-4] В А Муранову принадлежат формулировка теорем и их доказательства

Структура и объем работы. Диссертация объемом 80 страниц состоит из 4 глав, приложения, заключения и списка литературы (72 наименования)

Содержание диссертации

В первой главе излагаются свойства нелинейного разрывного оператора М ("G-модулятора"), описывающего различные виды импульсной модуляции Оператор М отображает каждую непрерывною па [0 +оо) функцию C(t) в функцию и последовательность {tn} (я = 0 1,2, ,to = 0), обладающие < ледуюшими свой< твами

1) существуют такие положительные постоянные Т и So что для всех я верна оценка

SqT íí fn+i — t-n ^Т

2) функция £(í) кусочно непрерывна на каждом промежутке [í m t'fi+1) и не меняет знака на нем,

3) £(£) зависит только от значений С(т) при т < t, tn зависит только от значений ((г) при г < tn,

4) Для каждого п существует tn G [tn íK+i) такое, что среднее значение ге-ого импульса

'"П -[-I

Vn = -—^-г- [ mdt

tr,

удовлетворяет равенству

«n = <P(C(ín))-

где <p(C) — непрерывная и монотонно возрастающая на (—оо,+оо) функция, называемая эквивалентной нелинейностью

Простейшим примером импульсной модуляции является широтпо-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1), при которой tn+1 = tn + Т,

signcr(nT), пТ < i <пТ + т„,

Ф) = пТ < i < пТ + тп, <х(пТ) ф О, (X)

О, nT^t< (п + 1)Т, сг(пТ) = О, а ширина имггульса тп определяется формулой

rn = F(\<r(nT)\) (2)

где F непрерывная функция, определенная на [0, +оо), удовлетворяющая условиям

F(0) = 0 0 < F < Т

В случае широтно-импульсной модуляции второго рода (ШИМ-2) f(t) определяется также по формуле (1). а тп является первым положительным корнем уравнения

тп = Р(\а(пТ + тп)\),

если таковой существует на интервале [пТ, (п + 1)Г), и тп = Т в противном случае

Очевидно, что в случае ШИМ-1 оператор М действующий из С в Li непрерывен, а в случае ШИМ-2 он этим свойством не обладает, поскольку корень уравнения (2) тп, вообще говоря, не является непрерывным функционалом от a(t) Для этих обоих видов импульсной модуляции эквивалентная нелинейность имеет вид

!F{\a\)signa -НГ-.

0 (7 = 0

В этом же параграфе описаны и другие виды импульсной модуляции (АИМ, ЧИМ-1, ЧИМ-2 комбинированная модуляция) вместе с их эквивалентными нелинейностями. Приведен обзор литературы по устойчивости и стабилизации нелинейных импульсных систем

В параграфе 1 2 изложены основные результаты диссертации Во второй главе решается задача об устойчивости в целом импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением

х = Ах + а = с*х, Ç = Ma, (3)

где А - постоянная m х тп-матрица, b и с - постоянные m-мерпые столбцы, * -знак транспонирования (все величины вещественные), М. — G-модулятор

Наряду с уравнением (3) рассматривается "эквивалентпая"пепрерывная система

х = Ах + btp(cr) а = с*х, (4)

где 9?(сг) - эквивалентная нелинейность модулятора Предполагается что <p(v) обладает следующими свойствами

sup \<р(о)\ < оо сен1

и для некоторого числа к е (0, +ос) при всех о-', er" € R выполняются неравенства

О < &(</) - <р(о"))(</ - <т") < к(<т' - a"f

Для уравнения (4) H Е Барабановым были получены условия устойчивости в целом, которые обобщают критерии, полученные Brockett R.W., Williams J L , Zarnes G , O'Shea R P , Narendra К S , Neuman Ch P , Cho Y S , Falb P Z , Sundareshan M К , Thathachar MAL, Freedman M I, Вороновым A A , Якубовичем В A

В параграфе 2 1 условия H Е Варабанова потученные для непрерывной системы (3) распространены на импульсную систему (1) Доказана следующая теорема

Теорема 2.2. Предположим, что матрица А гурвицева и выполнены следующие условия

1) Существует такая дробно-рациональная функция L(p), что Ь(гш) (ш 6 R) является преобразованием Фурье от некоторой вещественной функции

l(t) € Li(—oo,+oc), удовлетворяющей условию

l|Z||z,i(-oo,+oo) < 1

2) При некоторых â > 0 и 0 при всех w > О выполнено частотное условие

Re |(1 + гшв + Цы)) (ш{гш) + i j j > ô\W(iu)\2 + 2кТ\(А - галГГ1^2 (5)

где W(p) = с*(А — а для к = к(||А|| ||Ь|| ||с||,Т) получена явная

форм>ла, при этом к —» 0 при Т —> О

3) Либо функция <р(ст) нечетна, либо l(t) ^ О при всех t € R Тогда x(t) —> 0 при í —> +оо и всех ж(0) е Rm

Если, кроме того, в некоторой окрестности точки а = 0 фу нкция <р(а) имеет непрерывную вторую производную и \ф'{о)\ \<р"(сг)\ ограничены, матрица А + Ьс*<р'(0) гурвицева и Т удовлетворяет верхней оценке

2 + T'WlAfWbf) + 2 Л2«2) T2 < 1

где к = с*Ъ то состояние равновесия x(t) = 0 системы (3) устойчиво в целом

При Т —0 условие (5) переходит в частотное условие устойчивости, полученное H Е Варабановым для системы обыкновенных дифференциальных уравнении (4)

Доказательство основано на методе расширения пространства состояний, втором методе Ляпунова, частотной теореме и методе усреднения, использующем установленные А H 4} рюговым интегральные квадратичные связи

В третьей главе рассматривается задача синтеза стабилизирующего управления нелинейной импульсной системы, описанной функционально-дифференциальным уравнением

x = A(t x(t),x(t-r))x(t) + b(t x(t),x(t — т))£, (6)

£ = С = ХИ, a(x) = s'x (7)

где г > О,А е 6 е Н.тх1,£ е И1,С € € К"1, * - знак

транспонирования все величины вещественные М - нелинейный оператор, являющийся (}-модулятором, А и Ъ- непрерывные функции своих аргументов Ставится задача определения вектора 8 и функции х> при которых состояние равновесия х{1) = 0 устойчиво в целом

Рассматривается два класса этих систем В первом, классе

А() =

1

ат( )

0 0

«i() «2() л выход модулятора обладает свойством

т = мы),

Ь() =

0i() Рш{)

(8)

(9)

при < 4 < <п+1 Здесь и далее используется обозначение ( ) = (4 ж(4),а-(<; — г))

Синтез стабилизирующих управлений основал на функции Ляпунова

где Н — Н11 я Hi

V(x) = х*Нх,

трехполосная матрица вида

(10)

я,

hi 2 h2 0 /1,2 3

0 /»2 3

Аз

о 0 0

0 0 0

hm—2 т— 1 hm-l h"m— 1 ,m

о о о

о

hm

Здесь Н,3 = — | Кг — положительные числа

Спедуя методу И Е Зубер, вектор в определяется в виде « = ЛЯет, где Л и Ьг] подбираются так, чтобы для эквивалентной нелинейной системы

х = Ах + Ь(х)<р(сг)

(11)

было выполнено неравенство

V + /ЗУ < О

где в - заданный положительный параметр, а V — производная от функции Ляпунова (10), взятая в силу эквивалентной системы (11)

Введем обозначения дг - 1-й столбец матрицы Нх, //._ - минимальное собственное число матрицы Н, матрица

<2^) = А( )#! + НгА*{) + /3#1

Обозначим через <2о постоянную (т — 1) х (т — 1) матрицу, состоящую из элементов матрицы <21, расположенных в первых т — 1 строках и столбцах Представим 6() в виде

Ь*0 = || Ь*(),Рт() |

где Ь( ) е И"1-1 Обозначим

«10 ат( )

а"( )дт-з

т—2 • "го—1,т

а*( )дт-1 + +/ЗЛт_1,

Ргп{) = а'( )дт+-1гт,

сг() = -Ь*( )Яо1Ь(), са() = Цт{) - <?*( )ЯогЧ ) сз() = 2Рт( )-<?*( )<Зо19( ), £>( ) = 4( )-а( )с3(),

-Ы )±угщ

Ы) =

Доказана следующая теорема

Теорема 3.1. Предположим, что выполнено свойство 1) оператора М и соотношение (9), а также неравенства

sup (Р()|| + ||6()||)<ос,

()e[t0,+oc)xR2»»

sup А_()< mf Л+()

Ое[«0,+0о)хН.2т ( )€[io,+Oo)xR2m

mf D() > О, T< Аь

( )6[i0,+oo)xR2">

где для Ai = Ai(sup()e[i0;+oo)xR.^ [Hll,sup( )e[i0i+oo)xR2m \\b\\,T) получена явная формула Пусть вектор s и функция х определяются формулами s = AНет, х = f"1 Тогда состояние равновесия x(t) = 0 системы (6-8) устойчиво в целом Во втором классе

«i,i() 1 О

a2i() «2,2() 1

А{)

am-i,i() am_i2() Ож-нО ami() ат 2( ) am,j( )

О

0

1

ь()

(12)

а оператор Л4 обладает свойствами 1) - 4), то есть является G-модулятором Как и в первом случае используется синтез стабилизирующих управлений основанный на исследовании функции Ляпунова (10) и методе усреднения Доказана следующая теорема

Теорема 3.2. Пусть функция х = 4>~Xi а векюр s определяется формулой a = АНет Тогда при выполнении оценки Т < А-д, где для Да = Дг(8ир( )g[t0,+oo)xR2"» 1И11 SUP( )6[t„ +œ)xR2m Pll>r) получена явная формула, состояние равновесия x(t) = 0 системы (6), (7), (12) устойчиво в целом

Четвёртая глава посвящена синтезу управлений, осуществляющих инвариантную стабилизацию при которой выход системы стреми!ся к нулю при t —> +схз независимо от постоянно действующего возмущения, а вектор состояния системы остается ограниченным

Рассматривается система, описываемая функционально-

дифференциальным у равнением

х = A(t x(t),x(t - т))х + bi(t, x{t),x(t - т))£+

+b2(t,v(t),x(t - т))и + g(t,x(t),x(t - r))é(t), (13)

£ = MÇ a(x) = c*x

где r 0,A 6 Rmxm,c,6b62,5 e Rm Ф € R1,a- G R"\ * - знак транспонирования все величины вещественные Элементы матриц A,bi,b2 непрерывны по всем аргументам и равномерно ограничены в [i0! +оо) х R2m, с - постоянный вектор Величина с*х является выходом системы, a %b(t) постояно действующим внешним возмущением

Задача заключается в выборе v и С таким образом, чтобы a(t) —> О при t —» ос независимо от ф и вектор т (t) был равномерно ограничен Предполагается, что задача нетривиальна, то есть с*д( ) / 0 при ( ) € [io,+oo) х R2m Для решения этой задачи потребуем, чтобы функция a(t) удовлетворяла условию

а + /3с7 = 0, (14)

где ,0 — положительное число

Выбрав управление и по формуле

" = ) + + + )# (15)

с о2( )

удовлетворим соотношению (14) При этом система (13) примет вид

x = A1()x + b()Ç + f() Ç = MÇ, (16)

где

bo = {i-m ). я )=ял )m, ii

Положим в системе (16)

с = <p"V*) (17)

Будем искать такой вектор s, чтобы ||a(i)|| была равномерно ограничена С этой целыо рассмотрим два класса систем В первом классе матрица А\ ( ) и вектор 6( ) имеют вид (8), а оператор M обладает свойствами 1), (9) Доказана следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть система (16) при /( ) = 0 удовлетворяет условиям теоремы 3 1 и выполняется неравенство

mf |е*Ь2()|>0, (18)

t )б[«о,+оо)хЛ2™

оператор M обладает свойствами 1) и (9), управления v и £ определяются формулами (15), (17), а Т удовлетворяет оценке Т < Дз, где для Аз = A-î(sUP( )6[ÉCb+oo)xR2'" HII.SUP{ )6[É0i+oc)xR2m ||6i||,SUP( )e(to +oo))<R2» ИМ supç )€[t0)+oo)xR2«' lli/lb IHI.T) получена явная формула Тогда любое решение системы (13) обладает свойствами

a(t) = c*x(to)exp[-(3{t - i0)], (19)

hmjx(t)\\^4thfxmt)\, (20)

где /3 - заданное положительное число а 7 - положительная константа, не зависящая от x(to)

Во втором класс систем вектор Ь(х) является последним единичным ортом, а матрица A-¡ является треугольной вида (12) Относительно оператора М предполагается, что он является G-модулятором, то есть обладает свойствами 1)-4) Доказана след» ющая теорема

Теорема 4.2. Пусть выполнено неравенство (18), матрица Aj и столбец b имеет вид (12), оператор М. обладает свойствами 1)-4), управления и и ( определяются формулами (15), (17) и Т удовлетворяет оценке Т < Д4, где для Д4 = A4(sup( )6[to,+oo)xR*» Pll.suP( )e[í0,+oo)xR2»* l|bi||,sup( )6[ío +00)XR2'" P2II,

aup( )S[(s,+oo)xR2« Hill; ||c|| T) получена явная формула Тогда любое решение системы (13) обладает свойствами (19), (20)

Доказательство основано на методе усреднения При этом новым моментом явилась необходимость оценки приращения функции Ляпунова не только сверху, но и снизу

В приложении для конкретной нелинейной импульсной системы, рассмотренного в главе 3 типа с комбинированной широтно-амплитудной модуляцией с помощью теоремы 3 2 построено робастное стабилизирующее управление В заключении сформулированы основные результаты работы

Работы автора по теме диссертации

1 Гелиг А X, Муранов В А Стабилизация нелинейных импульсных систем с запаздывающим аргументом Международная конференция "Dynamical modelling of Control Systems", С-Петербург Июнь 2004, http / /www iieva ru 'ds>2004/cm-ds2004 htm

2 Гелиг А X , Муранов В А, Стабилизация двух классов нелинейных импульсных систем с последействием Вестник СПбГУ, сер 1, 2005, вып 3, стр 3-15

3 Гелиг А X , Муранов В А , Инвариантная стабилизация импульсных систем с нелинейной непрерывной импульсной частью Вестник СПбГУ, сер 1, 2007, вып 3, стр 100-110

4 Гелиг А X, Муранов В А Абсолютная устойчивость нелинейных импульсных систем с монотонной статической характеристикой модулятора IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"им Е С Пятницкого Москва, 2006 http / /www ipu ru/semm 'stab06/stab06 htm

Глава

Введение

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

1.2. Основные результаты диссертации.

Глава

Устойчивость нелинейных импульсных систем с монотонной эквивалентной нелинейностью модулятора

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Формулировка результата.

Глава

Стабилизация нелинейных импульсных систем с последействием

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи

3.3. Формулировка результата для первого класса систем

3.4. Формулировка результата для второго класса систем

Глава

Инвариантная стабилизация импульсных систем с нелинейной непрерывной частью

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

3.3. Формулировка результата для первого класса систем

3.4. Формулировка результата для второго класса систем

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

По-видимому, первыми работами по исследованию систем с импульсной модуляцией были статья 1897 года [1], а также спецкурс Н.Е. Жуковского [2], читавшийся в 1908-1909 гг. В первой работе рассматривался регулятор температуры, который с помощью широтно-импульсной модуляции позволял поддерживать постоянную температуру в котле. Н.Е. Жуковский исследовал систему управления скоростью вращения турбины методом отсечки пара, в которой была реализована широтно-импульсная модуляция.

Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется не только тем обстоятельством, что некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами, но и благодаря тому, что импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости.

Поэтому естесственно, что исследование динамических свойств импульсных систем превлекало внимание многих ученых (Н.Е. Жуковский, Я.З. Цыгжин, В.А. Якубович, В.М. Кунцевич, Ю.Н. Чеховой, Е.Н.

Розенвассер, А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, М. Gouy, E.I. Jury, V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P.S. Simeonov, П. Видаль, Г.А. Леонов, A.X. Гелиг, A.H. Чурилов и др.). Развитию импульсных систем посвящены обзоры

И, [4], [5]).

С математической точки зрения системы с импульсной модуляцией представляют собой особый класс функционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.

Основным элементом импульсной системы класса, рассматриваемого в диссертации, является импульсный модулятор, который описывается нелинейным оператором, в дальнейшем называемом G-модулятором [48], отображающим входной сигнал сг (t) в выходной сигнал (обе функции определены при t > 0). Конкретный вид оператора зависит от типа модуляции и принятой математической модели. Наиболее общее свойство модулятора состоит в том, что он генерирует возрастающую последовательность моментов импульсации to = 0 < < h < • • •; интервал [£n, tn+1) называется n-м тактовым интервалом.

Для описания G-модулятора введем понятие эквивалентной нелинейности. Функция (р(сг) называется эквивалентной нелинейностью модулятора, если на любом тактовом интервале [tn, tn+1) существует такое tn £ [tn, tn+1), что среднее значение n-го импульса

1 ftn+l vn = --- / №<Н tn+l ~1П J tn удовлетворяет соотношению vn = <f{v{tn))

Для описания импульсного модулятора, вырабатывающего импульсы конечной длительности, используют G-оператор, описывающий импульсный модулятор. Он определен на множестве непрерывных входных функций cr(t), каждой из которых он сопоставляет кусочно-непрерывную функцию £(£). При t п t < tn+i функция £(t) описывает форму п-го импульса (обычно £(£) не меняет знак на тактовом интервале). Чаще всего встречаются импульсы прямоугольной формы, когда

Здесь t'n, тп, Хп — некоторые числа, tn < t'n < t'n + тп < tn+г. Числа Ап и тп называются амплитудой и шириной импульса соответственно. Встречаются случаи, когда форма импульса является существенно более сложной. Например, импульсы на выходе тиристорного преобразователя обычно являются кусками синусоиды [6]. Некоторые из параметров функции считаются известными и постоянными, в то время как другие являются функционалами от функции a(t). Последние параметры называются модулированными. Например, если tn является функционалом от сг(£), то имеем частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ). Если tn не модулируется, то tn = пТ, где Т — заданное положительное число (период импульсации). Аналогично можно рассмотреть амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и фазо-импульсную модуляцию (ФИМ). Иногда несколько параметров импульсного сигнала модулируются одновременно. Такая модуляция называется комбинированной.

Опишем наиболее часто встречающиеся виды импульсной модуляции £ ^ + тп),

О, t G [tn,Q U [t!n + Tn,tn+i).

И, М, [9].

Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1)

Она описывается уравнениями

Isigncr(nT), nT<t<nT + tn,

1.1)

О, пТ + тп < t < (п + 1 )Т, тп = Тф{\а{пТ)\). (1.2)

В этом случае tn = пТ, п = 0,1,2,., где Т — положительное постоянное число, sign 0 = 0, ф(сг) — непрерывная функция, определенная при а е [0, +оо), ф(0) = 0, 0 < ф(<т) < 1.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2)

Здесь £(t) определяется формулой (1.1), а тп — минимальный неотрицательный корень уравнения тп = Тф(\а(пТ + тп)\), (1.3) если таковой найдется на интервале [0,Т), и тп = Т в противном случае. Здесь функция ф(а) — такая же, что и при ШИМ-1.

Если рассмотреть оператор М, отображающий сигнал a(t) G С[0,Р) в ф) е L[0,P), то очевидно, что в случае ШИМ-1 он будет непрерывным, ввиду непрерывности функции ф в равенстве (1.2). В случае же ШИМ-2 этот оператор будет, вообще говоря, разрывным, поскольку корень уравнения (1.3) не является непрерывным функционалом от функции a(t), сколь бы гладкой она не была. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

В этом случае

00 t(t) = £*nSe(t-nT), (1.4) п=О где \п = ф(а(пТ — 0)). Функция ф(а) — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная при а Е (—оо,+оо), 0(0) = 0.

Частотно-импульсная модуляция первого рода (ЧИМ-1)

Здесь входной сигнал преобразуется в последовательность мгновенных импульсов, которые описываются с помощью ^-функций Дирака:

00 п=0 где моменты импульсации tn и коэффициенты А„ могут быть функционалами от <т(£).

Isigna(tn - 0) при \a(tn - 0)| > Д,

1.6)

О при \cr(tn — 0)| < Д, tn+i = tn + Tn, Тп = F(\a(tn — 0)|). (1.7)

Функция F(a) непрерывна и монотонно убывает при а Е [0,+оо), F(+oo) = Т* > О, Д — некоторая неотрицательная константа (порог нечувствительности).

Частотно-импульсная модуляция второго рода (ЧИМ-2)

Здесь £(£), \п и F(a) — такие же, как в в случае ЧИМ-1, Тп — минимальный положительный корень уравнения

Тп = F(\a(tn + Тп — 0)|).

Комбинированная модуляция

Например, широтно-амплитудная модуляция, при которой tn = пТ, ап, при пТ <t < пТ + тп f (t)

О, при пТ + rn<t <(п + 1 )Т signa(nT), при \<т{пТ) \ < 1 <т(пТ), при \сг{пТ)\ > 1

TF\a(nT)\, при \а(пТ)\ < 1 Т, при \а(пТ)\ > 1.

Среди систем с импульсной модуляцией лучше всего изучены системы с АИМ. Это объясняется тем фактом, что в случае стационарной непрерывной линейной части они легко могут быть сведены к дискретным системам с постоянными коэффициентами (разностным схемам).

Методы исследования дискретных систем хорошо известны (см.,

Изучение поведения системы между тактами в большинстве случаев также не встречает серьезных трудностей.

Если применить описанную выше схему к системам с ШИМ или ЧИМ, то также получаем дискретные уравнения, но уже не с постоянными, а с переменными коэффициентами (которые, к тому же, являются функционалами от вектора состояний x(t)). Единственное исключение представляют системы с ШИМ-1, для которых в работе [15] был предложен оригинальный метод сведения к дискретному случаю со многими нелинейностями.

Для исследования устойчивости дискретных систем с нелинейными коэффициентами В.М. Кунчевичем и Ю.Н. Чехавым в [8], [16] был предложен вариант второго метода Ляпунова, который приводит к трансцендентным неравенствам, зависящим от коэффициентов квадратичной формы, выбранной в качестве функции Ляпунова.

Для исследования устойчивости импульсных систем описываемых например, [7], [10], [11], [12], [13], [14], [9]). функционально-интегральными уравнениями использовался метод, основанный на свойствах положительных ядер интегральных операторов [17], метод прямых интегральных оценок [18] и предложенный В.А. Якубовичем метод интегрально-квадратичных связей [19], [20], [21]. Несколько иной подход, также основанный на втором методе Ляпунова, был развит в работе [22].

В работе [23], [24] было предложено при теоретическом исследовании широтно-импульсной системы заменить ее на амплитудно-импульсную с теми же площадями импульсов. При этом эвристически предполагалось, что если частота импульсации лежит вне полосы пропускания линейного фильтра, то такая замена оправдана. Этот способ получил название принцип "эквивалентных площадей" и долгое время применялся при расчете динамики импульсных систем без строгого математического обоснования.

В работе А.Х. Гелига [25] этот же принцип был применен для систем у которых модулироваться может и частота импульсации. С помощью метода усреднения и априорных интегральных оценок были получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности превращались в известные частотные условия абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. Таким образом, в рамках использованного метода было получено теоретическое обоснование принципа эквивалентных площадей для широкого класса законов модуляции.

Другой подход к обоснованию принципа эквивалентных площадей был предложен А.Н. Чуриловым в [26]. Он был основан на методе усреднения и новых интегральных квадратичных связях, с помощью которых удалось для исследования устойчивости импульсной системы в целом непосредственно применить второй метод Ляпунова и частотную теорему

В. А. Якубовича. Полученные на этом пути частотные критерии оказались менее ограничительными, чем критерии, полученные в [25].

В дальнейшем эти интегральные квадратичные связи использовались и при исследовании устойчивости импульсных систем с помощью метода априорных интегральных оценок [27], а также при решении других задач: исследовании автоколебательности нелинейных импульсных систем (в смысле В. А. Якубовича) [28], [29], [30], исследовании широтно-импульсных систем фазовой синхронизации [31], исследовании устойчивости нелинейных импульсных систем, при стохастических возмущениях коэффициентов [32], [33], [34], [35], стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием [36], при синтезе стабилизирующего управления в нестационарных импульсных системах [37], [38], [39].

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Исследована абсолютная устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением с разрывным нелинейным оператором в правой части. При предположении о монотонности эквивалентной нелинейности получено частотное условие устойчивости в целом состояния равновесия, которое распространяют на импульсные системы частотный критерий Н.Е. Барабанова.

2. Для двух классов нелинейных импульсных систем синтезированы робастные стабилизирующие управления, при которых состояние равновесия устойчиво в целом.

3. Для нелинейной импульсной системы с постоянно действующим внешним воздействием синтезированы управления, которые стабилизируют выход системы независимо от внешнего воздействия, а вектор состояния системы оставляют ограниченным.

1. Gouy М. Sur une etuve a temperature constante // J. Physique, Ser. 3. 1897. V.6. P.497-483.

2. Жуковский H.E. Теория регулирования хода машин // Собрание сочинений. Т. III. Гидравлика. Прикладная математика. М.; JL; ГИТТЛ, 1949.

3. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Pulse-Modulated Systems: a Review of Mathematical Approach // Functional Differential Equations, 1996. v.3. e3-4.

4. Гелиг A.X., Чурилов A.H. Динамика систем с импульсной модуляцией // Сб. "Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация". Москва, 2001, с.314-341.

5. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Частотные методы в теории устойчивости систем управления с импульсной модуляцией. // Автоматика и Телемеханика. 2006, ell, стр.60-76.

6. Моргоновский Ю.Я. Импульсные системы управляемой структуры с тиристорными преобразователями. М.: Энергия, 1976. 248 с.

7. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М: Энергия, 1974. 336 с.

8. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наука, 1970, 340с.

9. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 414 с.

10. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией. // С.-Петербург, ун-та, Cep.l), Bbin.l(Nl), 2003.

11. И. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963. 456 с.

12. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М: Наука, 1983, 334с.

13. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964, 703 с.

14. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 310 с.

15. Delfelcl F.R., Murphy G.J. Analysis of pulse-width-modulated control systems// IRE Trans. Autom. Control. 1961. Vol. 6, N3, P. 35-44.

16. Kuntsevich V.M., Chekhovoi Yu.N. Fundamentals of non-linear control systems with pulse-frequency and pulse-width modulation. Automatica (IFAC journal), (7): 7-81, 1971.

17. Гелиг A.X. Динамика импульсных систем и нейронных сетей Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 192 с.

18. Gulcur И.О., Meyer A.U. Finit-pulse stability of interconnected systems with complete-reset pulse frequency modulators // IEEE Trans. Autom. Control. 1973. Vol. 18, N4, P. 387-392.

19. Шепелявый А.И. Частотные условия абсолютной устойчивости и неустойчивости широтно-импульсных систем управления// Вестник Ленингр. ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1972. Вып. 3.N 13. С. 77-85.

20. Якубович В.А. Об импульсных системах управления с широтной модуляцией // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180 N2, С. 290-293.

21. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости (специальные случаи) В кн.: Нелепин Р.А. (ред.) Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 120-180.

22. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием.// Дифференциальные уравнения (Минск), 1997, N6, С. 748-753.

23. Andeen R.E. Analysis of pulse duration sampled-data system with linear elements // IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5, N4, P. 306-313.

24. Andeen R.E. The principle of equivalent areas. Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. Vol. 79. P. 332-336.

25. Gelig A.Ch. Frequency criteria for nonlinear pulse systems stability // Systems and Control Letters, 1982. Vol. 1, N 6

26. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и Телемеханика, 1991. N 6, с. 95-194

27. Айвазян Э.Ю., Гелиг А.Х. Устойчивость асинхронных импульсных систем с комбинированной модуляцией// Автоматика и Телемеханика, 1993. N 4, с. 108-114

28. Гелиг А.Х. Автоколебания в нелинейных импульсных системах // Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1983. Вып. 13.

29. Гелиг А.Х. Автоколебания в импульсных системах с высокой тактовой частотой // Автоматика и Телемеханика, 1984. N 10.

30. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Условия автоколебательности нелинейных систем// Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1985. Вып. 1.

31. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993. 266 с.

32. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость функционально-дифференциального уравнения Ито с монотонной нелинейной характеристикой // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1995. Вып. 4.

33. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость нелинейных импульсных систем при случайных возмущениях параметров // Автоматика и Телемеханика, 1995. N 11.

34. Гелиг А.Х., Санкина Н.А. Устойчивость первого класса функционально-дифференциальных уравнений Ито в критическом случае одного нулевого корня // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1998. Вып. 2, с. 19-23.

35. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В., Чурилов А.Н. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений Ито // Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 1994. Вып. 2. с. 3-9.

36. Гелиг А.Х., Чурилова М.Ю. Стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием // Сборник "Анализ и управлениенелинейными колебательными системами" С.-Петербург: Наука, 1998, с. 5-21.

37. Гелиг А.Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем. // Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 2004. Вып. 2.

38. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация импульсных систем с нестационарной линейной частью. // Вестник С.-Петербург, ун-та, Cep.l, bbin.l(Nl), 2003.

39. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и Телемеханика, 2004. N 5.

40. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. 2003. Выи. 2.

41. Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня. / / Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68 -81.

42. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсных систем управления // ДАН, Т 324, N2, 1992.

43. Гелиг А.Х., Михеева Н.Н. Устойчивость одного класса функционально дифференциальных уравнений в простейшем критическом случае // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2000. el. http://www.neva.ru/journal.

44. Kuznetsov N.V. On the stability of nonlinear systems with monotonic dif-ferentiable characteristics // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2000. el. http://www.neva.ru/journal.

45. Гелиг А.Х., Кузнецов Н.В., Михеева Н.Н. Устойчивость импульсных систем управления // Труды 6-го С.-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем. СПб., 1999, 7-9 сент. Т.2. С.50-53.

46. Барабанов Н.Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью. // Сибирский мат. журнал, T.XXVIII, е2, 1987.

47. А.Х. Гелиг, И.Е. Зубер, А.Н. Чурилов. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. // СПб: Изд-во СПбГУ, 2006.

48. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. // Birkhauser, Boston, 1998

49. Yakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A.Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities // World Scientific, New Jersey-London-Singapore. 2004

50. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 62. е8. С.231-238.

51. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Springer Verlag. Berlin, 1989. P.587.

52. Khalil H. Nonlinear Systems. Printers Hall. Jersey, 1996. P.460.

53. Zak S.H., Maccarley C.A. State-feedback control of nonlinear systems.// Int.J.Control, 1986, v.43, e5, P. 1497-1514.

54. Зубер И.Е. Квази-канонические преобразования подобия и стабилизируемость нелинейных систем управления.// Вестник СПбГУ. Сер.1.

55. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и телемеханика, 2004, е5, с.29-37

56. Гелиг А.Х., Муранов В.А. Стабилизация нелинейных импульсных систем с запаздывающим аргументом. // Международная конференция "Dynamical modelling of Control Systems.", S.-Petersburg, Jule 2004, www.neva.ru / ds2004/cm-ds2004.htm

57. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998. P.360

58. Зубер И.Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для линейных нестационарных систем с одним выходом. // Автоматика и телемеханика, 1995, е8, с.25-33.

59. Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов. // Автоматика и телемеханика. 1939. N 1. С.4-37.

60. Левина З.М., Левин В.И. Г.В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит. 2004.

61. Кухтенко А.И. Обзор по теории инвариантности. // Автоматика. 1984. N 2. С. 3-13. 1985. N 2. С. 3-14. N 6. С. 3-14

62. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания. // ДАН СССР. 1995. Т. 343. N 2, С. 172-175.

63. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия. // Докл. РАН. 2001. Т. 380. N 1, С. 25-30.

64. Якубович В.А., Проскурников А.В. Задача об инвариантности системы управления. // Докл. РАН. 2003. Т. 343. N 6. С. 742-746.

65. Зубер И.Е. Инвариантная стабилизация и задача слежения. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2006.

66. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Инвариантная стабилизация нестационарных систем управления с внешним воздействием. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2005 Вып. 2. С. 27-35.

67. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд. СПбГУ. 1998.

68. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser. 1998.

69. Гелиг A.X., Муранов В.А. Стабилизация двух классов нелинейных импульсных систем с последействием. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 3. С.3-15.

70. Гелиг А. X., Муранов В. А., Инвариантная стабилизация импульсных систем с нелинейной непрерывной импульсной частью. // Вестник СПбГУ, сер. 1, 2007, вып. 3, стр. 100-110.