Устойчивость нелинейных импульсных систем с нестационарной линейной частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ЕЛХИМОВА Юлия Владимировна

Устойчивость нелинейных импульсных систем с нестационарной линейной частью.

Специальность 01.01.09 —математическая кибернетика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико—матемапгческизс наук

Санкт—Петербург 1995

-/-

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико—механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических

наук, профессор Гелиг А. X. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико - математических

наук, ст. в. с. Пеаев Г. Д.

кандидат физико-математических наук доцент Смирнова В. Б.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургский государ-

ственный технический универ -ситет.

Защита состоится 1995 г. „ часов на

заседании диссертационного совета К 063.57,49 по присуждению ученой степени кандидата физико—математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете ро адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д. 2, математике-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико — математических наук,

доцент А. И. Шепелявый

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Интерес к динамике нелинейных импульсных систем управления определяется как широким применением таких систем в современной технике, так и содержательностью математичзских задач, возникающих при анализе математических моделей этих систем. Широкий класс импульсных систем описывается функционально—дифференциальными уравнениями с разрывными операторами, качественная теория которых мало развита. Поэтому изучение асимптотики решений таких уравнений, ках в детерминированной, так и в стохастической постановке, является актуальной задачей.

Цель работы состоит в получении достаточных частотных критериев стохастической устойчивости при любых начальных возмущениях нелинейных импульсных систем с мультипликативными белошумными помехами, а также достаточных частотных условий устойчивости в целом детерминированных нелинейных импульсных систем с периодически нестационариой линейной частью.

Метод исследования. В работе используется второй метод Ляпунова (в детерминированной и стохастической постановке), метод усреднения и частотная теорема Якубовича—Калмава.

Научная повпзпа. В диссертации впервые

1) получены частотные критерии стохастической устойчивости при любых начальных возмущениях широкого класса нелинейных импульсных систем с белошумнымв мультипликативными помехами, как в некритическом случае, так н в критическом случае одного нулевого корня;

2) результаты теории абсолютной устойчивости для нестационарных нелинейных систем управления перенесены на случай импульсных систем с периодически нестационарной линейной частью;

3) исследована задача устойчивости периодических решений для импульсных систем с переменной структурой линейной части и периодическим внешним воздействием.

Теоретическая и практическая ценность работы. Внесен вклад в развитие качественной теории класса функционально—дифференциальных уравнений с разрывными операторами н теорию устойчивости нелинейных импульсных систем. Получены достаточные критерии устойчивости в удобной для применения частотной форме.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалась на конференциях:

- VI Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением.". Казань, 21-24 января 1992 г.

- Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления.". Москва, 17—18 июня 1992 г.

а также на научпых семинарах кафедры теоретической кибер -нетики Санкт-Петербургского государственного университета.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, включающего 60 наименований, изложена на 90 страницах машинописного текста.

Публикации. По теме диссертации опубликовано и находится в печати б работ [1—61.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сделав библиографический обзор работ по устойчивости нелинейных импульсных систем и приведено краткое описание содержания диссертации.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости нелинейных стохастических импульсных систем.

В §1.1 приведено описание рассматриваемого класса импульсных систем в вида функционально —Дифференциальных уравнений Ито:

<Ьс «(Ах 4 Ы1<И + Ьх'йЛ», о « с'х, (1)

где А—постоянная mхm— матрица, Ь, с — постоянные m —мерные столбцы, R—постоянная m х t —матрица, vr — I —мерный винеровский процесс со структурной матрицей В, <т — сигнал на входе импульсного элемента, f —сигнал на его выходе.

В случае, когда система (1) не импульсная, а непрерывная и f(t) » <p(l,o(t)), где q>— непрерывная функция и <p{t,0) = 0, M. В. Левитом1 и П. В. Пакшиным2 были получены достаточные частотные условия устойчивости этой системы в среднем квадратамеском для класса нелинейностей

В диссертации изучаются импульсные системы, у которых кусочно — непрерывная функция f(t) является отображением непрерывной функции c(t) посредством нелинейного оператора *К.

представляющего собой математическую модель импульсного элемента. Основное свойство этого оператора, помимо свойства причинности, заключается в наигчии для каждой а{t) такой последовательности {tn }, что f(t) не меняет знак на (tn,tn+|], выполнено соотношение

О < 60Т S tn+1 -tn ST (50,T-положительные константы) (3) и для каждого п существует такое t, e[t„,!„,.,], что величина

характеризующая среднее значение п —го импульса, удовлетворяет связи

1 Левит М. В. Частотный критерий вбсолкггной устойчивости нелинейны* систем дифференциальных уравнений Ито. // Успехи математических наук. 1972. Т. 27. Выи. 4. С. 215-216

1 Пакшин П. В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейны* стохастических систем, // Автоматика и телемеханика. 1980. № 2. С. 65-71.

(ц- const > О)

(2|

(4)

(о.> О).

(5J

Этим свойством обладает большинство из известных видов импульсной модуляции (амплитудная, частотная, широтная, фазовая и др.). Например, в случае широтно—импульсной модуляции первого рода (ШИМ-1) tn -пТ,

JSigna(nT) пТ5 t <пТ + т„ w \ 0 аТ + т„ S t <(п + 1)Т

где sign 0-0, т„ «- TF(|o(nT)|). Здесь НХ) » при О £ X < а. и F(>.) о 1 при W г ст.. Очевидно, что функция (б) не удовлетворяет свойству (2), поскольку o(t) и f(t) могут быть разного знака при некоторых значениях t. Поэтому подход, предложенный в работах М. В. Левита и П. В. Пакшина, не применим. В то же время, хак легко видеть, при ШПМ— 1 s ig ti a(tiT) р(!о(пТ)|)

4<fj я--J- и условие (5) выполняется при t,, 4iT. В этом

и заключается причина использования усреднения (4).

В §1.2 получены достаточные частотные критерии стохастической устойчивости в предположении, что импульсный элемент обладает свойством (5),

Будем предполагать, что полином, стоящий в числителе передаточной функции W(p)» с*(А. — pl)~'b не имеет общих корней с характеристическим многочленом матрицы А и имеет место свойство:

lim pW(p) - 0. (?)

р~*ж

Воспользуемся обозначениями:

, 1 ./ Т1 л/* (а. - х - е)

G(p) = R(A-pll b В| «• —г— ,e»J—2-* - знак эрмитова

о q

сопряжеиия, М — математическое ожидание, i = J-i.

Теорема 1.2.1. (некритический случай). Пусть матрица А гурвицева, выполнен« условия (3), (5), (7) и

существуют такие т > О, е > 0, ч й . что справедливо неравенство

■уЗ

сг. - т - е > О

и при всех -со 5 <а <, -к» выполняется частотное условие

.12

о. - т - е + Re W(ka) - юJ|W(i<n)|'

2 2 ——(о. - Т - f,)ö2 + Е, +3-Т 4Т

2 2

. . ® Ч 1 \

1 + —— (<т. -т-е) т

(8)

(9)

> О

в котором ß(t») = aG*(kj)BG(io).

Тогда при всех х(0)справедливы асимптотики

lim Miyn2 = 0, lim Mjx(t)j2 = О.

(10)

Теорема 1.2.2. (критический случай). Предположим,что матрица А имеет одно нулевое собственное число, вещественные части остальных собственных чисел отрицательны, а матрица С(р) не имеет полюса р = 0. Пусть выполнены условия (3), (5), (7), неравенство

р » lim pW(p) > О

р-*0

IU)

и найдутся такие т > 0, t > 0, q й -jj, что справедливы соотношение

(8) н частотное условие (9), в котором ß(o) = (а +^)G*(to)BC(ioj) Тогда при всех х{0)

lim MVii* " И2)

•л

Замечание. При Р(ш)« 0 теоремы 1.2.1 и 1.2.2 превращаются в известные частотные критерии устойчивости детерминированных им — пульсных систем1.

Доказательство теорем 4.2.1, 1.2.2 основано на анализе стохастического дифференциала «IV функции Ляпунова V « х*Нх, где Н — ьоложительво—определенная матрица. При этом используется усреднение функции ВД иа каждом промежутке [ЦДп-и], специально построенные. инегральные квадратичные связи, Б — процедура А. И. Лурье, частотная теорема Якубовича—Калмаяа4 и полученная А. Н. Чуриловым оценка величины Ь*НЬ.

В 51.3 исследуется та же задача, что и в §1.2, при дополнительном предположении о существовании такой ограниченной на (-оо,-кю) функции (р(о), что

Ч<„ - «№)) (13)

и выполняется свойство

(а-(14)

Отметим, что ддя большинства видов импульсной модуляции такая функция существует и является статической характеристикой модулятора.

Предполагая, что ч>(о) имеет кусочно —непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

О 5 константа) (15)

ее

Приведем некоторые из доказанных в этом параграфе теорем. Предположим, что передаточная функция невырожденная и

обладает свойствами

' Геля г А. X, Чурило» А. Н. Колебания к устойчивость, нелинейных импульсных

систем. СПб,, 1993,

4 Якубович В. А Чдстотн«* теорема ■ теории управления. // Сив. мат, журн. 1973. Т. 14. №3.

lim pW(p) » lim p2W(p) « 0. (16)

P -»»

Воспользуемся обозначениями:

к, = lim p3W(p). G(p) = R*(A - pl)"'b, ß{p) - G"(p)BG(p), e, » TV _ p-*<*> /не

а! * ej(l+ 2L5), а2в« + т + 5, з«а»-а2. а4®3^,1( а3 % + aj3x(0.-ai)//

Теорема 1.3.2. Пусть матрица А—гурвицева, выполнены условия (3), (13) —((б) н существуют такие 0 и положительные постоянные к, е, т, 8, что справедливы неравенства

s > О. а3а4 > к2к? (»7)

и при всех to е[-ац+аз] выполнен частотный критерий

a3a4(s + ReW(ie))-a3i»2|W(to)ni+a,ct4 +a,s<DJ) + (к2ш2 + в2)х

44 , (18>

х|о»*(а, - г^кв)!' - о 2(s + cß(o))|W(ia)j21 - аэ(а4 + so2)aß(u)>0

Тогда при любых х(0) справедливы асимптотики (10).

Отметим, что если в формуле (18) положить к = 0 »0, разделить

полученное неравенство на а затем в левой части положить 5 = 0,

то неравенство (18) переходит в частотный критерий, сформулирован —

. „ . „ dtj> ный в теореме 1.2.1. без ограничении на —,

В случае нейтральной непрерывной линейной части будем предполагать, что функция G(p) не имеет полюса в точке р*=0 н выполнено свойство (И).

Теорема 1.Э.Э. Предположим, что у передаточной функции W(p) один нулевой полюс, а остальные полюсы имеют отрицательные вещественные части. Пусть имеют место свойства (3), (13) — (16) и существуют такие 0 и положительные постоянные к, е, т, S, что справед—

ливы неравенства (17) и при всех о е [-«,-ко] выполнены частотное

условие, которое получается из (18) после замены а на а

Тогда при любых х(0) справедливы асимптотики Му* -* 0, при п <ю, для Уц > 0 Р{|х(1)| > и} -» 0 при 1 -> о». (19)

Приведен пример, показывающий, что теорема 1.3.2 в ряде случаев дает возможность расширения области устойчивости в про — странстве параметров, получаемой но теореме 1.2.1.

В 51.4 рассмотрена исходная задача, но с более слабым ограничением на функцию <р(<т). Вместо ее дифференцируемости предполагается выполнение неравенства

0<<р(о-)-<р(д")<1^ о' - а"

Получен достаточный критерий устойчивости в среднем квадратическом при любых начальных возмущениях, который обобщает на случай стохастических импульсных систем частотный критерий Н. Б. Барабанова5, полученный им для детерминированных нелинейных систем вида (1) при 11 = 0, 1(1) = Ц^о^)).

Доказательства в §1.3 проводится по той же схеме, что и в §! 2. причем функция Ляпунова выбирается в виде

а

У(х) =» х*Нх - кс*Ах<р(о) + 0| <р(Х)са.

о

Рассуждения в 51.4 базируются на тех же соображениях, что и в $1.2, но с применением приемов, использованных Н. Е. Барабановым.

Глава 2 посвящена исследованию устойчивости в целом состояния равновесия нестационарных детерминированных нелинейных им — пульсных систем.

В $2.1 изучается система

Барабанов H. Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости » целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелмкейностью. // Сиб. мат. жури. 198?. № 2.

x » A(t)x + b(t)f, о » c*(t)x,

(20)

где A(t)— m x ш — матрица, а ее элементы — С1 — периодические ограниченные функции, b(t) и c(t) — ш—векторы и их элементы — П —периодические ограниченные функции, aal — такие же, как и в §1.2.

В случае, когда в системе (20) f(t) = <p(t,o(t)), то есть система не импульсная, В. А. Якубовичем8, а затем и в работах А. В. Савкнна7, были получены достаточные критерии устойчивости а целом тривиального решения.

В §2.1 с помощью метода усреднения получены достаточны« критерии устойчивости в целом тривиального решения импульсной системы (20), которые являются распространением на импульсные системы критериев В. А. Якубовича и А. В. Савкива и переходят в них при стремлении частоты импульсации к бесконечности.

В §2.2 рассмотрена детерминированная импульсная система с переменной структурой линейной части, описываемая уравнениями

где А, Ь, с — такие же как и в (I), 8 —постоянный т —мерный вектор, 7(4 —О — периодическая функция, и(1) — сигнал на входе широтно — импульсного модулятора первого либо второго рода, ф) — сигнал на его выходе. Такого рода системы рассматривались в работах Я. 3. Цып — кина8 и М. М. Ерихова9.

Предполагается, что 7(1) удовлетворяет условию Липшица:

6 Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с периодически нестационарной линейной частью. ИДок. АН СССР. 1988. Т. 298. № 2. ' Сайкин А. В. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления с периодически нестационарной линейной частью, // Автоматика н телемеханика. 1990. №8. С. 50—55.

1 Цыпкнн Я. 3. Теория линейных импульсных систем, М., 1963. 384 с. ' Ерихо» М. М. Условия существования Т—периодических режимов в широтно — импульсных системах с синхронным скачкообразным иаменениоч параметров. И Изв. ВУЗов. Приборостроения, 1937. Т. 30. № ?. С. 17-20.

(21)

(22)

¡г

и fl~NT, где N—целое число.

Пусть система (21) имеет Л—периодическое решение x'(t). В теореме 2.2.1 получены достаточные условия устойчивости x'(t). Введем следующие обозначения

r,<t)--c"exp<At)b, fjU) ж -s" exp(Ai)b, W,{p) « c'{A-pl)"'b. Wj(p) » s"(a - pl)*'b, g = max!sV(t)j.

Предположим справедливость оценок

|f,|sc,e-u, |y2| 5 c2e~*\ jv it ^ (c,.c2,c3,e>0).

Теорема 2.2.1. Пусть для всех в е[0,4оо] выполнены частотные условия

K + ReW,(ki>)> а,Т + а2Тг, l + ReW2(Ua) > а3Т, где К = о. в случае ШИМ-1 и К = о.-TR в случае ШИМ-2, а постоянные Э|, а2. а3, R определяются через c|,c2,c3,e,r).,g и коэффициенты системы (21)">.

Тогда любое решение x(t) системы (21) обладает свойством

Нч-^оЬл

Доказательство этой теоремы основано на методе усреднения и методе априорных интегральных оценок.

В приложении изложен алгоритм Д. Шилака10 для проверки частотных критериев, с помощью которых рассчитывались примеры, при -веденные в диссертации.

По теме диссертации опубликовано 6 работ [1 — 6J.

Формулы для «ичислення постоянных а,, а2, а3, R здесь не приводятся ввиду их громоздкости.

и Siljek D. Algebraic criterion for absolute «(ability, optiraality and passivity of dinamic systems. // IEE Proceedings. 197a v. 117. № 10. p, 2033 - 2037,

Публикации, содержащие основные результаты диссертации.

1. Гели г А. X., Дубягияа Ю. В. Устойчивость периодических решений одного класса функционально—дифференциальных уравнений. // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1990. N2 8. С. 22 - 25.

2. Гелнг А. X., Елхимова Ю. В., Чурилов А. Н. Частотные методы исследования устойчивости и колебаний нелинейных импульсных систем. // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Междунар. семинар: Тезисы докл. - М.: РАН ИПУ. 1992. С. 63.

3. Гелнг А. X., Елхимова Ю. В. Метод усреднения в динамике нелинейных импульсных систем. // Изв. ВУЗов. Математика. 1993. № 4 С. 58-61.

4. Елхимова Ю. В. Устойчивость нестационарных импульсных систем управления. // Теория и приложения дискретных систем. Сер. Вычислительная техника и вопросы кибернетики. 1995. Вып. 27. С. 118-126.

5. Гелиг А. X., Елхимова Ю. В., Чурилов А. Н. Устойчивость одного класса функционально—дифференциальных уравнений Ито. // Вестник СПбГУ. Сер. I. 1994. Вып. 2. № 8. С. 3-9.

6. Гелиг А. X., Елхимова Ю. В. Стабилизация нелинейных импульсных стохастических систем. Вестник СПбГУ Деп. в ВИНИТИ 27.12.94. № 3039-В94, 14 с.