Метод оценок при исследовании устойчивости систем типа нелинейный многометрии осциллятор тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

1.1. Постановка задачи

1.2. Достаточный критерий абсолютной ^-устойчивости по выходу нелинейных неавтономных систем.

Выводы к главе I

ГЛАВА 2. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ КАЧЕСТВА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В УСТОЙЧИВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

2.1. Использование понятия степени устойчивости для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах

2.2. Использование интегральных методов для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ Э1ФЕКТИВН0СТИ ДОСТАТОЧНОГО

КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ.

3.1. Сравнительное исследование абсолютной устойчивости нелинейной системы 2-го порядка методом оценок и известными частотными методами.

3.2. Исследование области абсолютной устойчивости двумерного нелинейного связанного осциллятора

3.3. Исследование области применения достаточного критерия устойчивости.

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОЦЕНОК ДЛЯ

ИССЛЕДОВАНИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ.«

4.1. Применение метода оценок к некоторым типам систем с нелинейностями, зависящими от координат или их линейной комбинации

4.2. Методика получения матрицы передаточных функций ЛЧ систем с нелинейностями, зависящими от обобщенных координат и скоростей . III

4.3. Пример исследования устойчивости одной нелинейной модели манипулятора.П

4.4. Общая методика применения достаточного критерия устойчивости, полученного на основе метода оценок

Выводы к главе

п.1. Рассматриваемый тип механических систем (нелинейный многомерный осциллятор) и актуальность задачи исследования его устойчивости

Современное производство, транспорт, приборостроение немыслимы в настоящее время без сложных управляемых механических систем» Это промышленные агрегаты и имитаторы-тренажеры, космические аппараты и роботы-манипуляторы, корабли и наземные скоростные транспортные системы, сверхзвуковые самолеты и многое другое.

Требования научно-технического прогресса, лежащие в основе стремления инженера-проектировщика к наиболее полному отражению в модели динамических свойств конструируемых систем, приводят к многомерным и многосвязным, главным образом, нелинейным нестационарным моделям \1~] , описываемым в общем случае векторно-мат-ричным уравнением вида i = FtyAt), (o.i) где - вектор обобщенных координат системы.

Такого рода "нелинейные многосвязные системы с переменными параметрами представляют в настоящее время открытую область исследования, где достигнуты только отдельные существенные результаты" [2] •

Например, "в одной из немногих пока в мировой литературе монографий [3] , посвященных неклассическим задачам динамики систем твердых тел" (по словам редактора монографии В.В.Румянцева), разработанный автором общий формализм математического описания их движения приводит к уравнениям именно такого типа.

Другим ярким представителем подобных объектов являются континуальные или дискретно-континуальные системы, математическая модель которых обычно представляется в результате использования метода Бубнова-Галеркина в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой достигает иногда нескольких десятков стр. 7-8 ] . Здесь в качестве типичных примеров можно назвать современный тяжелый самолет с автопилотом при учете упругости конструкции фюзеляжа, крыльев и исполнительного элемента системы управления [5] | космический аппарат с жидкостным ракетным двигателем и автоматом стабилизации при учете упругости элементов конструкции (корпус, антенны, солнечные батареи) и подвижности компонент жидкого топлива в баках и магистралях 7] ; скоростную пассажирскую систему на магнитной или электромагнитной подвеске [в, 9 J ; танкер с большим количеством отсеков, частично заполненных жидким топливом или сжиженным газом, снабженный успокоителем качки £ю] и т.д. Математические модели таких систем допускают единую формализацию, отражающую их основные структурные свойства [4, стр.1323 .

Часто нелинейность в правой части уравнения (0.1) позволяет аддитивно выделить линейные векторные составляющие по обобщенной координате и обобщенной скорости, при этом уравнение динамики системы приобретает вид

Щ + Ц + Ц + « F(t), (0.2) где М , N > R , Б - постоянные (ПхП) -матрицы, причем, М - невырожденная; F(t) - вектор обобщенных внешних воздействий} ф (') - непрерывная по всем своим аргументам или кусочно-непрерывная вектор-функция, в которую включены и некоторые линейные по члены, быть может с переменными коэффициентами.

Векторно-матричным уравнением типа (0.2) описывается динамика и электро-механических систем [и, 12^ •

Задачи, связанные с исследованием систем (0.2),решаются в настоящее время разнообразными методами, выбор которых зависит от конкретной специфики уравнений (0.2). Это и различные типы линеаризации [Ч, 13] , и метод малого параметра [ 14] , и метод, привлекающий аппарат дифференциальных неравенств [ II ] , и очень часто численные методы £ 15, 1б] .

Однако, поскольку представление исследуемого типа систем в виде (0.2) допускает выделение стационарной линейной части (JM) и нелинейного, возможно нестационарного блока N , представляется интересным применение методов общей теории замкнутых нелинейных систем с обратной связью £и] ♦ Общая функциональная схема, соответствующая этому типу нелинейных систем, изображена на рис. 0.1, где И^ и Нг> - операторы, описывающие соответственно нелинейную и линейную части системы, a U^ и Ц^ - внешние воздействия, приложенные к различным частям системы.

Рис.0.1

Иногда та часть модели реальной системы, которую описывает нелинейный оператор, "обладает физическими свойствами, позволяющими придать ей смысл модели регулятора ( Р ), хотя формально таковой может отсутствовать. Таким "регулятором1' является, например, ракетный двигатель в задаче о продольных колебаниях летательного аппарата или система нестационарных аэродинамических сил при колебаниях типа ветрового резонанса или срывного флаттера различных упругих систем" ^4, стр.4-5]] . В простейшем случае "регулятор" - это автопилот, автомат стабилизации или автомат демпфирования. "Другим примером служит класс механических систем с неголономными связями, моделирующими условия качения упругого колеса по шероховатой поверхности (самолет с трехколесным шасси, контейнер с шасси безрельсовой схемы, движущийся внутри трубы и т.д.). Здесь может оказаться полезным искусственное истолкование определенным образом преобразованных уравнений него-лономных связей как уравнений некоторого фиктивного регулятора, стабилизирующего систему" [4, там же] . Оставшаяся часть в математической модели, описываемая линейным оператором, интерпретируется как объект регулирования ( ОР ).

Таким образом, несмотря на богатое разнообразие систем, общность их, выраженная в наличии единой математической модели, допускает единый подход к их исследованию. Такой подход позволяет использовать методы теории автоматического регулирования и управления, в частности, при решении задачи устойчивости, поскольку, как известно, обеспечение устойчивости движения является одной из центральных задач при проектировании любой сложной динамической системы.

Проблема обеспечения устойчивости движения сложных механических систем, включающих реальные или условные ОР и Р, является одной из наиболее острых для современной техники* Острота этой проблемы усугубляется непрерывным усложнением как ОР, так и соответствующих "корректирующих устройств".

Инженеру, специализирующемуся в области проектирования авиационных, космических, наземных транспортных и других сложных систем, приходится сталкиваться с задачами устойчивости, которые не только трудно решить, но даже формализовать в духе классических подходов к этой проблеме. Это объясняется большим числом степеней свободы, сложностью связей между ними и большим количеством параметров, прямо или косвенно влияющих на устойчивость проектируемой системы" ^4, стр.ю] •

Таким образом, "актуальность проблемы обеспечения устойчивости сложных механических систем, включающих ОР с большим числом степеней свободы и Р, реагирующий на тот или иной набор обобщенных координат и обобщенных скоростей, достаточно очевидна" [4, стр.7] .

Настоящая работа посвящена разработке на основе указанного подхода инженерного метода анализа устойчивости в рамках теории абсолютной устойчивости. п.2. Краткий историко-библиографический обзор работ и методов теории абсолютной устойчивости

Среди многочисленных существующих в настоящее время понятий устойчивости (это и техническая или устойчивость на заданном интервале времени [ie] , и устойчивость по Лагранжу [l9, 20] , и гиперустойчивость по Попову [21] » и условная устойчивость [22] и т.д.) наиболее плодотворным применительно к нелинейным системам и вызывающим неослабевающий интерес до настоящего времени,по мнению многих специалистов [23), оказалось понятие асимптотической устойчивости по А.М.Ляпунову £24] • Оно легло в основу понятия абсолютной устойчивости, породившего целую теорию, богатую как эффективными методами исследования, так и приложениями.

Сегодня теории абсолютной устойчивости 40 лет. В становлении этой теории, как и самого понятия "абсолютная устойчивость", важную роль сыграли основополагающие работы советских ученых: А.И.Лурье и В.Н.Постникова [25] , Б.В.Булгакова [2б] , М.А.Ай-зермана [27 , 28] , И.Г.Малкина [29] , А.М.Лётова [зо], Б.А.Ершова £з1, 32] , Н.П.Еругина [зз] , В.А.Плисса £з4, 35^ и других авторов.

В течение первых 15 лет развития теории - с 1944 года, то есть со времени выхода в свет работы £25^ * У^е упоминавшейся выше, где впервые появился сам термин "абсолютная устойчивость", и до 1959 года, - практически единственным методом, используемым в теории абсолютной устойчивости, был метод функций А*М.Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности". Монографии А.И.Лурье [Зб] , Н.Н.Красовского [37] , А.М.Лётова [зв] , М.А.Айзермана и Ф.Р.Гантмахера [39] , Ж.Ла-Салля и С.Лефшеца [l9~\ , С.Лефшеца 40] , А.Халаная £41] и другие суммируют основные результаты, полученные на этом пути.

Со времени опубликования в 1959 г. работы В.М.Пбпова [42З методы исследования абсолютной устойчивости в пространстве состояний, использующие вектор-функции А.М.Ляпунова, получили альтернативу в виде так называемых частотных методов, то есть методов, использующих частотные представления и достигших наибольшего развития в работах В.А.Якубовича, начиная с работ [^43] и до |[44] , Р.Калмана £45] , В.М.Пбпова [21] и других советских и зарубежных ученых. Частотный метод В.М.Пбпова в его первоначальной форме получил название "метода априорных интегральных оценок?,' а частотный метод советской школы, возглавляемой В.А.Якубовичем, известен в специальной литературе под названием "метода матричных неравенств". Характерным для этого метода является то, что он основан на использовании одновременно как функций А.М.Ляпунова, так и "частотной теоремы" (или леммы Якубовича - Калмана).

В работах В.А.Якубовича [46^ и £47] была изучена связь между частотным методом и методом функций А.М.Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности", а доказанная "частотная теорема" обобщила ряд многих результатов и привела к созданию новых эффективных критериев, таких как круговой, квадратичный и другие, позволяющих получать условия абсолютной устойчивости для все более сложных типов систем: со многими не-линейностями, с разрывными и гистерезнсными нелинейными характеристиками, с широтно-импульсной и частотно-импульсной модуляцией [44] . Были получены также критерии абсолютной устойчивости процессов [Чв] •

В последние годы в теории абсолютной устойчивости развиты методы исследования нелинейных систем с неединственным положением равновесия (Чэ] , широко распространенных в современной механике, электротехнике и радиотехнике, а также систем с запаздыванием!] 50, 5l] •

Следует заметить, что с введением в рассмотрение сложных систем, таких как системы с нестационарными характеристиками и неединственным положением равновесия, потребовалось некоторое расширение (может быть "насыщение") понятия абсолютной устойчивости. Если в литературе 60-х и начала 70-х годов под абсолютной устойчивостью понимается асимптотическая устойчивость по А.М.Ляпунову в целом для систем с нелинейностями, принадлежащими заданному классу, и это определение "неплохо соответствовало особенностям стационарных систем с единственным положением равновеэнциклопедии В.А.Якубовичем было предложено следующее определение: устойчивость абсолютная - устойчивость в целом тривиального решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также интегральных, разностных уравнений и уравнений других типов, равномерная для всех систем некоторого класса. Это современной математической определение подразумевает, что должен быть задан класс систем и указано, в каком смысле понимаются устойчивость и равномер

Классическое понятие абсолютной устойчивости использует понятие асимптотической устойчивости по А.М.Ляпунову в целом, то есть требует не только асимптотического стремления к нулю всех переменных состояния, но и налагает некоторые ограничения на динамику переходного процесса, в частности, обусловленные использованием евклидовой нормы. Эти ограничения зачастую чрезмерны, так как с точки зрения практических приложений чаще более важным является свойство асимптотического стремления к нулю выходной координаты системы, а не свойство асимптотической устойчивости в целом по состоянию [53J • Интерес во многих практически важных случаях лишь к выходной реакции системы на начальные условия и внешние воздействия, когда характер поведения других координат вектора состояний несущественен, породил новый способ описания и исследования динамики нелинейных систем - в терминах "вход-выходных" соотношений. Эти практические побуждения подкрепляются системной философией £г7, стр.б^ : действительно, "концепция "вход-выход" приобретает явную конкурентоспособность" в современной ситуации, обнаруживающей тенденцию роста сложности и размерности изучаемых объектов, и как её следствие - уменьшение достоверности информации о внутреннем устройстве этих объектов. Описание же поведения управляемой системы в пространстве состояний требует довольно детальную информацию о её внутренней структуре и предполагает возможность её декомпозиции до элементарного уровня* Тем самым проявляется неадекватность метода поставленной задаче, тогда как концепция "вход-выход", принимая систему как "черный ящик" и имея информацию только о входе и выходе, "нацеливает на исследование преобразования "вход-выход", которое описывается в общих терминах функционального анализа".

Впервые в теорию нелинейных систем с обратной связью методы функционального анализа были внесены И.Сандбергом ^54] и Г.Зейм-сом [55] в 1964 году. С теоретической точки зрения такой подход "открывает возможности создания теории систем, опирающейся на достаточно общие и универсальные её понятия" 17, стр.б] , что позволяет применять её методы для самых широких классов систем, в том числе механических, электро-механических, систем автоматического регулирования и т.д. Однако,развиваясь параллельно с советской и румынской школой, концепция "вход-выход" не противопоставляется классическому частотному направлению, формулируя свои многочисленные результаты в виде частотных критериев [56, 57] . Это объединяющее рассматриваемые направления свойство оказывается очень полезным для инженера, так как "в определенном смысле возрождает привычные для него понятия передаточной функции и импульсной характеристики линейных систем, развивает их на системы других классов" [г7, стр.б] .

Главным достоинством вход-выходных методов до недавнего времени считалось то, что с их помощью можно исследовать системы с распределенными параметрами почти с такой же легкостью, как и системы с сосредоточенными параметрами, причем, изучение систем с одним входом и выходом и систем со многими входами и выходами ведется по одной и той же схеме. Это обеспечивалось переходом от описания систем с помощью дифференциальных уравнений (в обыкновенных или в частных производных) к соотношениям между входным и выходным сигналами, выраженным через интеграл свертки, с введением понятия абсолютной устойчивости в функциональном пространстве L»2 , то есть пространстве функций, суммируемых с квадратом [^58, 59] . Таким образом, условие малости евклидовой нормы переменной состояния в определении асимптотической устойчивости по Ляпунову в целом заменено другим условием малости, быть может, несколько менее ограничительным, а именно, условием конечности функциональной нормы векторной переменной состояния в пространстве L2 • Именно введение подобных модификаций потребовало усовершенствования определения абсолютной устойчивости и формулировки его в том виде, в каком оно предложено В.А*Якубо-вичем.

Однако преимущество методов, использующих вход-выходные соотношения, о котором шла речь выше, в настоящее время в значительной степени оказалось утраченным, поскольку метод матричных неравенств был распространен начиная с 1974 года В.А.Якубовичем [бо] и его сотрудниками [6l] на системы общего вида, описываемые дифференциальными уравнениями в гильбертовых пространствах, и,став "методом операторных неравенств", позволил решить вопросы теории абсолютной устойчивости систем с запаздыванием. Переход же к абстрактной теории абсолютной устойчивости нелинейных систем [б2, бз] позволил исследовать вопрос об абсолютной устойчивости по произвольному выходу системы и решить задачу об абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами [5l] •

Таким образом, последние 10 лет развития теории абсолютной устойчивости отмечены характерной тенденцией сближения областей применимости различных методов этой теории.

Однако с получением этих выдающихся результатов обнаружился разрыв между теорией и практикой их использования, в прикладной литературе практически не встречаются исследования абсолютной устойчивости систем общего вида порядка выше Расчеты, связанные с применением точных частотных методов, обычно содержат следующие основные этапы ^50, стр.5о] s

1) запись частотного условия?

2) выбор наилучших значений варьируемых параметров;

3) определение множества наборов параметров системы, для которых частотное условие справедливо при любом СО € R , Так как в большинстве своем частотные критерии являются достаточными, то "множество, определяемое на третьем этапе, содержится в области устойчивости нелинейной системы. Последние два этапа взаимосвязаны, и их многократная реализация допускает действия по принципу "проб и ошибок". Объем вычислений при этом, как правило, весьма велик" (!) [^50, стр.50*] . Однако для многомерных, в общем случае многосвязных, нелинейных систем часто непреодолимые трудности возникают для инженера-практика уже на первом этапе применения частотных критериев.

В настоящее время уделяется большое внимание алгоритмизации процесса применения этих критериев для сложных систем большой размерности. Из работ, интенсивно развивающихся в этом направлении, можно указать работы Г.А.Леонова 65] , в которых разработан так называемый "метод нелокального сведения", позволяющий получить эффективно проверяемые частотные критерии абсолютной устойчивости. Однако пока это относится лишь к определенному типу систем синхронизации.

Из сказанного выше следует, что в настоящих условиях разработка приближенных методов исследования устойчивости нелинейных систем высокого порядка является весьма актуальной задачей. Представляется целесообразным обратить внимание на методы, привлекающие технику неравенств. При исследовании устойчивости и ограниченности решений нелинейных динамических систем часто удобно наложить некоторые ограничения, которые позволяют превратить интегральное или дифференциальное уравнение в интегральное или дифференциальное неравенство.

Теория интегральных и дифференциальных неравенств получила свое развитие еще в фундаментальных трудах Т.Гронуолла [бб] ,

С.А.Чаплыгина [б7] , Т.Ваковского [бв] и нашла широкое применение во многих исследованиях. Такие ученые, как Н.В.Азбелев и З.Б.Цалюк [б9, 70, 7l] , Н.Н.Лузин £72] , Г.И.Мельников [73*] , А.И.Перов [74] , Г.И.Чандиров [75] , Б.Н.Бабкин [7б] , В.М.Мат-росов |[77] , Х.Антосиевич [78] , Р.Беллман £79] , В.М.Алексеев [80] и другие в своих трудах "выяснили, обосновали и расширили границы применимости теорем типа теоремы С.А.Чаплыгина и тем самым заложили основы систематического использования аппарата дифференциальных и интегральных неравенств" ^81, стр.9] в современной теории устойчивости. "Теоремы о неравенствах такого рода оказались неисчерпаемым источником оценок, удобных как при построении алгоритмов качественного и количественного анализа реальных физических процессов" [81, там же] , так и для получения полезных аппроксимаций к решениям дифференциальных и интегральных уравнений довольно сложных типов.

Дальнейшее развитие метода дифференциальных неравенств связано с именами К.Лангенхопа [.82] , Кордуняну [вз] , Л.Хатвани £84]у а метода интегральных неравенств - с именами таких уче-ныхд как И.Бихари [85] , Д.Виллетт [8б] , Р.Рао и К.Цокос [87] , Р.Гутовский [88] и других.

Творческое наследие ученых, работающих в этой области, подытожено в ряде монографий: В.Уолтера [89] , Э.Беккенбаха и Р.Беллмана [эо] , Й.Шарского [9l] , В.Лакшмикантама и С.Лила [92] , Д.Митриновича [93] , П.Бисэка [94] , Р.Рабчука А.Н.Филатова и Л.В.Шаровой [9б] , А.А.Мартынюка

На основе интегральных неравенств Вольтерра "были исследованы некоторые общие свойства систем с сосредоточенными и распределенными параметрами: ограниченность, непрерывная зависимость от начальных значений и параметров, устойчивость по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях, техническая устойчивость устойчивость на конечном интервале времени), С этой точки зрения интегральные неравенства оказались настолько сильным средством исследования качественных свойств решений систем дифференциальных уравнений, что за ними можно признать ранг метода" £81, стр.6-7]. Поскольку нас интересуют возможные применения этого метода в рамках теории абсолютной устойчивости, укажем некоторые работы в этом направлении, то есть исследующие асимптотическую устойчивость положения равновесия в целом. Для случая свободной нелинейной системы "Б.А.Ершов [32] произвел весьма полезные оценки решений" (по словам А.М.Лётова £38, стр.393] ) системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при выделенной ЛЧ. В нелинейной теории регулирования это была одна из первых работ, в которой использовалась интегральная лемма типа леммы Беллмана-Гронуолла [20] • Для свободной линейной системы с переменными коэффициентами оценки решений возмущенного движения были получены Б.С.Разумихиным £97] , для свободной нелинейной системы с переменными коэффициентами - Р.Куликовским [98] , В.И.Зубовым [99] и А.М.Лётовым [зв] .

Как известно, в классической постановке А.М.Ляпунова задачи об устойчивости движения предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенное движение осуществляется при действии тех же сил, которые были учтены при описании невозмущенного движения. В то же время представляет большой практический интерес исследование устойчивости движения, "происходящего под действием небольших по величине возмущающих сил R , которые учитываются в правых частях соответствующих систем дифференциальных уравнений возмущенного движения. О функциях R(X,t) предполагается, что они в том или ином смысле малы и удовлетворяют общим условиям существования и единственности решения уравнения возмущенного движения в окрестности невозмущенного движения"

81, отр.139] .

В работах Н.Г.Четаева [lOO, IOl] , Н.А.Артемьева [l02] , Н.Г.Дубошина [юз] и И.^Малкина' [iO^] понятие устойчивости по Ляпунову (в малом) обобщается на случай наличия таких внешних воздействий. Устойчивость при этом указывает на то, что действие малого возмущения на движение системы невелико. Асимптотическая устойчивость - на то, что реакция от действия малого возмущения исчезает со временем. Асимптотическая устойчивость в целом свидетельствует о том, что вне зависимости от величины возмущения вызываемая им реакция со временем исчезает. Здесь следует упомянуть работу Н.Н.Красовского [l05] , где внешние возмущения предполагались ограниченными по модулю. Случай устойчивости при возмущениях, ограниченных в среднем, рассмотрен В.Е.Герма-идзе и Н.Н.Красовским [юб] , Е.А.Барбашин [l07] исследовал влияние возмущений, ограниченных и в среднем, и в среднеквадратичном.

Известны также работы в этом направлении Л.Ф.Рахматуллиной [108] , Л.В.Хохловой [юэ] , А.А.Тихонова [по] , где используется метод дифференциальных неравенств, а также Брауэра [ill, 112] , С.И.Горшина [из] и более поздние работы - К.В.Задираки [lI4] , Р.Гутовского [П5] , А.А.Мартынюка [пб] #

Как было отмечено при рассмотрении точных методов теории абсолютной устойчивости, имеющая место эволюция идей и понятий оказалась характерной чертой развития и приближенных методов этой теории, в частности, в ряде работ осуществился и для приближенных методов переход к описанию систем в терминах вход-выходных соотношений в функциональных пространствах. Так,в докторской диссертации С.П.Чакраварти [lI7] на основе анализа вход-выходных соотношений получен достаточный критерий устойчивости нелинейной время-инвариантной скалярной системы (когда переменная состояния системыскалярная функция времени) с одной нелинейностью. Мис рассмотрел случай, когда в системе допускается наличие нескольких нелинейностей, но каждая из них является скалярной функцией лишь какой-то одной переменной состояния. При этом матрица передаточных функций ЛЧ оказывается диагональной. Розенброк [пэ] , признавая порочность полного игнорирования взаимосвязей, предложил метод расчета для систем с диагонально-доминирующей, но не обязательно диагональной структурой строения ЛЧ многомерной нелинейной системы. Альтернативные (отличные от требований Розенброка), но нельзя сказать, что менее суровые,ограничения на взаимодействия между переменными состояния предполагались в работе Чакра-варти и Пауля [l2o] « Некоторые из ограничений, упомянутых выше, оказались снятыми в работе Чакраварти [l2l] , где на основе метода оценок получен достаточный критерий асимптотической устойчивости по выходу для нелинейной многомерной системы, допускающей взаимодействия между переменными состояния, то есть многосвязной, при этом каждая нелинейность предполагалась функцией нескольких переменных состояния. п.З. Общая характеристика и краткое содержание работы

В работах автора С122] и [12з] происходит дальнейшее развитие метода оценок, выразившееся в расширении сферы его применения. Так, в этих работах показана возможность применения метода к изучению систем, нелинейный блок N которых предполагается нестационарным, а число его входов не обязательно равняется числу выходов с него, что делает матрицу передаточных функций ЛЧ -системы в общем случае прямоугольной. В этом усматривается научная новизна настоящей работы.

Поскольку, "изучая устойчивость нулевого решения системы в возмущениях, мы изучаем по существу устойчивость переходного процесса стабилизации в окрестности стационарного режима" £50, стр.18] , естественным было продолжение исследования в этом направлении с целью использования полученных аналитических соотношений для решения практически важных задач, таких как оценка времени переходного процесса или оценка влияния постоянно действующих возмущений на движение исследуемой нелинейной системы. Эти вопросы рассматривались в работах автора [.124] и [l25] . Здесь также впервые рассматривается идея применения интегральных критериев для оценки качества переходных процессов в нелинейных неавтономных многосвязных системах и найдена оценка сверху для нелинейного квадратичного функционала качества. Полученные результаты нашли свое отражение в первых двух главах настоящей работы.

В третьей главе рассматриваются вопросы эффективности применения полученного достаточного критерия устойчивости. Сравнение производится с известными результатами* полученными точными частотными методами, касающимися одномерного и двумерного связанного нелинейных осцилляторов, соответственно в § I и 2. При этом сравниваются объем вычислительных работ и их сложность, широта сферы применения критерия и близость области устойчивости к той, которую дает точный частотный метод. Общий вывод таков: хотя критерий дает более узкую область устойчивости в пространстве параметров исследуемой системы, однако представляет собой удобный способ для быстрой проверки устойчивости сложной нелинейной системы. Он предпочтительнее точных частотных методов в тех случаях, когда требуется установить или сам факт устойчивости системы при заданных значениях ее параметров, или найти такие достаточные условия устойчивости, близость которых к истинным, необходимым и достаточным условиям, не слишком существенна. Безусловно этот метод может сослужить хорошую службу инженеру-проектировщику сложных систем, особенно на ранних этапах их-проектирования. В этом видится несомненная практическая ценность разработанного метода.

Четвертая глава обнаруживает методический характер настоящей работы. Два первых ее параграфа посвящены вопросам выделения ЛЧ системы, поскольку это условие является необходимым условием применимости критерия. При этом рассматриваются нелинейности, зависящие не только от обобщенных координат или их линейной комбинации, но и от обобщенных скоростей или их линейной комбинации.

Пример расчета такой системы, содержащей набор подобных не-линейностей и представляющей собой нелинейный трехмерный связанный осциллятор, дается в § 3. Для получения уравнений динамики здесь использовался формализм Й.Виттенбурга [з] и Л.Лилова [12б] , разработанный ими для получения уравнений движения в общей теории систем твердых тел. Рассмотренная нелинейная система с тремя степенями свободы (6-го дифференциального порядка) представляет собой типичную математическую модель для многих задач нелинейной динамики. Это и трехкаскадная система виброизоляции, и нелинейный трехмерный динамический виброгаситель, и механическая нелинейная модель тела человека, разработанная в целях исследования систем виброзащиты [127] , и даже нелинейный манипулятор-трехзвенник f13] . Примеров расчета устойчивости такого уровня сложности нелинейных систем в специальной литературе просто-напросто нет, за исключением уже упомянутой работы , где предполагается наличие только одной скалярной нелинейности и используется метод гармонической линеаризации. Поэтому исследование подобной системы представляет самостоятельный научно-практический интерес.

Наконец, в § 4 излагается общая методическая схема исследования устойчивости нелинейных неавтономных многосвязных систем со многими степенями свободы, обусловленная алгоритмом использования разработанного достаточного критерия устойчивости.

Методическая законченность работы позволила использование некоторых ее результатов в учебном процессе, а именно, в одной из лабораторных работ для студентов кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Ленинградского государственного университета имени А.А.ЗНданова.

Основные результаты, выносимые на защиту,состоят в следующем:

1. На основе развития классического метода оценок вектора состояния динамической системы для случая систем, содержащих нелинейный нестационарный блок с различным числом входов и выходов, получен достаточный критерий абсолютной Lji -устойчивости по выходу, пригодный для исследования нелинейных неавтономных многосвязных систем при наличии внешнего воздействия, и показана его эффективность на стадии предварительного проектирования такого рода систем.

2. На базе полученных оценок предложен новый метод исследования качества переходных процессов в нелинейных неавтономных многосвязных системах, привлекающий понятие степени устойчивости и использующий интегральные критерии качества, а также найдены оценки сверху для степени устойчивости исследуемых нелинейных систем и для нелинейного квадратичного функционала качества.

3. Разработана методика применения метода к нелинейным неавтономным многосвязным системам, в частности, к системам типа нелинейный многомерный связанный осциллятор.

Получена модификация критерия Михайлова в форме перемежаемости корней для систем четных порядков, позволяющая при исследовании устойчивости характеристического полинома степени 2П вместо исследования двух уравнений 11 -го и П-1 -го порядков перейти к исследованию трех уравнений П-1 -го порядка, что в ряде случаев облегчает исследование.

5. Решена задача исследования устойчивости нелинейной системы б-го порядка с тремя степенями свободы, содержащей шесть нелинейностей в демпферах и упругостях, при наличии внешнего воздействия, представляющей собой математическую модель часто встречающихся в механике систем и,в частности, являющейся моделью нелинейного трехзвеиного манипулятора.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [122-125, 12в] , из которых последняя написана в соавторстве с Б.А.Ершовым, И.О.Протодьяконовым и А.Я.Капитановым. Кандидату физико-математических наук, доценту Б.А.Ершову как научному руководителю принадлежит постановка задачи и контроль полученных результатов} основной результат статьи (модифицированный критерий Михайлова) получен совместно с А.Я.Капитановым и проиллюстрирован на примере исследования устойчивости системы автоматического регулирования химико-технологическим объектом, предложенном доктором технических наук, профессором кафедры процессов и аппаратов ЛТИ имени Ленсовета И.О.Протодьяконовым.

В настоящей диссертации для обозначения параграфов, формул и рисунков принята двойная нумерация: первое число указывает номер главы, а второе - номер параграфа, формулы или рисунка. Для удобства изложения материала и прочтения работы каждый параграф внутри разбит на пункты, а рисунки помещены в конце каждой главы.

Выводы к главе 4

1. В настоящей главе разработана методика применения полученного в первой главе достаточного критерия устойчивости и указана общая схема исследования как в случае исходного представления системы в виде нелинейного многомерного осциллятора, так и в случае представления её в нормальной матричной форме.

2. На основе разработанной методики проведено исследование устойчивости (по подготовительному и основному этапам общей схемы) одной нелинейной модели манипулятора, представляющей собой, как отмечалось во введении, весьма распространенную в механике нелинейную систему с тремя степенями свободы, что придает решению задачи самостоятельный интерес.

В частности, в главе 4

1) разработана методика выделения ЛЧ и получения матрицы передаточных функций ЛЧ системы для различных типовых случаев систем, нестационарные нелинейности которых могут зависеть как от обобщенных координат, так и от обобщенных скоростей;

2) использован новый оригинальный подход на подготовительном этапе исследования для получения дифференциальных уравнений динамики нелинейной системы, основанный на формализме, разработанном Й.Виттенбургом и Л*Лиловый;

3) получен модифицированный критерий Михайлова (теорема 3) для исследования устойчивости характеристического многочлена линейных систем четных порядков, который имеет в теории устойчивости самостоятельный интерес.

Uu 7\ -У<, ад р<.

1 u2 i -б2 -Угг Р2. t

Un % -Уп, . Рп. и

-

Рис.4.1

-Ф б<. -Ui, бг .

1 *

Рис.4.3

63 Y -щ со

Г к,

CJ5 о с? Ol

Рис.4.6 А

U3

1 л u2 i ■s4

Ц A

U3

0 j

4» Л

1 i

I

So

I-----------1

Рис.4.10

1. Вейц В.Л., Кочура А.Е. Метод структурных преобразований динамических моделей в задачах механики и управления» В кн.: Управляемые механические системы. Иркутск, 1980, с.31-43.

2. Sreiuui б. Хопшъ unci гшМЬ/гемъ ШЬгаНдМе, Шehr^JШlsy&teШ'1Г23,71.3, s. 92-93.

3. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.j Мир, 1980. - 292 с.

4. Рабинович Б.И. Прикладные задачи устойчивости стабилизированных объектов. М.: Машиностроение, 1978. -225 с.

5. Кашин Г.М., Федоренко Г.И. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета. М.: Машиностроение, 1974. -312 с.

6. Колесников К.С. Жидкостная ракета как объект регулирования. -M.i Машиностроение, 1969. -298 с.

7. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. -416 с.8* U-ctttun Ъ.} %cuu)t В. ТГШпе&с, siuf^msim contra^ for tfiz MBB tyh spud train -CLutamcctuui, Wf, U2f p. 2W-284.

8. U<f(t%eia tfcuigt 3.} Cfssm&trx)-Ttnnzes Contr~<rf system Cxmsept for к frasstnqtr C-ajTuLncf master (rehireffigk Sfeed Umtndf- W-W.

9. Басин A.M. Качка судов. M.: Транспорт, 1969. -272 с.1.. Мельников Г.И. Динамика нелинейных электро-механических систем. Л.: Машиностроение,-1975. -200 с.

10. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981. -126 с.

11. Лонцих П.А. Динамика многозвенного манипулятора при учете нелинейности. В кн.: Управляемые механические системы. Иркутск, 1980, C.II5-II7.

12. Казакевич М.И. Оценка аэродинамической устойчивости висячего перехода. В кн.: Колебания, прочность и устойчивость сложных механических систем. Киев, 1979, с.29-32.

13. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983. -280 с.

14. Лебедев А.А. Об устойчивости движения на заданном интервале времени. Прикл. мат. и мех., 1954, т.18, № 2, с.139-148.

15. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. -168 с.

16. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. 2-е изд., перераб. и доп. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949. -550 с.

17. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. -453 с.

18. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.-М.: Наука, 1967. -472 с.

19. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем: частотные методы. М.: Наука, 1972. -544 с.

20. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. -472 с.

21. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем. Прикл. мат. и мех.,1944, т.9, № 3, с.246-248.

22. Булгаков Б.В. Некоторые задачи теории регулирования с нелинейными характеристиками. Прикл. мат. и мех., 1946, т.10, № 3, с.313-332.

23. Айзерман М.А. О сходимости процесса регулирования после больших начальных отклонений. Авт. и тел., 1946, № 2-3, с.148-167.

24. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости "в большом" динамических систем. Успехи мат. наук, 1949, т.4, f 4, с.187-188.

25. Малкин Й.Г. К теории устойчивости регулируемых систем. -Прикл. мат. и мех., 1951, т.15, вып.1, с.59-66.

26. Лётов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. -M.S Гостехиздат, 1955. 312 с.

27. Ершов Б.А. Об устойчивости в целом некоторой системы автоматического регулирования. Прикл. мат. и мех., 1953, т.17, вып.1, с.61-72.

28. Ершов Б.А. Метод оценок при исследовании нелинейных регулируемых систем. Уч. зап. ЛГУ, сер. мат. наук, 1957, вып.31, с.22-27.

29. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. -Прикл. мат. и мех., 1950, т.14, вып.5, с.459-512.

30. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости в целом. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1958. -183 с.

31. Плисс В.А. О проблеме Айзермана для случая системы трех дифференциальных уравнений. Докл. АН COOP, 1958, т.121, № 3,с.422-425.

32. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. -216 с.

33. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

34. Лётов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматгиз, 1962. -483 с.

35. Айзерман М.А., Гантмахер §.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. -140 с.

36. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования. М.: Мир, 1967. -184 о.41» ЩаЛалгсш foffejbtiUaX equations. Sfati&fy. O^&U^eazams. gags. tyrrl:исЫбУпЬс- Prus?

37. Pzfjnr Ж7П. OitcHi tit vtfiMbtcrte,jimtru, $i6tenitCz> zuttcrynaic пеСтшъ, tmcdt Ы ido&bctwi tnuisfprmaiet Xaf&ut-r

38. St. Un, tney. VT/X, 71. j} fr.

39. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в нелинейной теории автоматического регулирования. 4.1.2. Докл. АН СССР, 1962, т.143, № 6, с.1304-1307; 1964, т.156, № 2, с.278-281.

40. Pht. ТШш?- dead. Scl. USU, 1Щ VW,

41. Якубович В.А. с? -процедура в нелинейной теории регулирования. -Вестник ЛГУ, сер. мат.,мех.,астр.,1971, т.26,№ I, с.62-77.

42. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления. Сиб. мат. яурн., 1973, т.14, № 2, с.384-420.

43. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем в критических случаях. 4.1.2. Авт. и тел., 1963, т.24, № 3, с.293-303j № 6, с.717-731.

44. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. -400 с.

45. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983. -360 с.

46. Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Дополнение в кн.: Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. - М.: Наука, 1983, с.287-356.

47. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. 2-е изд., перераб. -М.:Энер-гоиздат, 1981. -304 с.

48. Сю Дж., Мейер А. Современная теория автоматического управления и её применение. Пер. с англ. В.С.Бочкова и др. М.з Машиностроение, 1972. -552 с.1964> ЧЬ) f. W/55. Г

49. U -W, 71. ZUtgast, p. 5Щ-Я0. }59. flajnctn^Jcut S.? 'ЛаМл^каг- W.ft.tf. -ptafi&fy rf tune-- inzrying systems iviti aiofaE conditions 07% t/U tone tmruuig otUnrззг-т.

50. Якубович В.А. Частотная теорема для случая, когда пространство состояний и управлений гильбертовы, и её применение в некоторых задачах синтеза оптимального управления. 4.1.2. -Сиб. мат. журн., 1974, т.15, № 3, с.639-668; 1975, т.16,1. И 5, с.I081-II02.

51. Лихтарников А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных операторных уравнений. Изв. АН СССР, сер. мат., 1977, т.41, № 5, с.1064-1083.

52. Якубович В.А. К абстрактной теории абсолютной устойчивости нелинейных систем. Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр., 1977, вып.З, № 13, с.99-118.

53. Якубович В.А. Абстрактная теория абсолютной устойчивости и её применения. Кибернетика и вычислительная техника, Киев, 1983, К 58, с.3-8*

54. Леонов Г.А. Устойчивость в целом движения нелинейных систем.

55. Дис. . докт.физ.-мат. наук. Ленинград, 1983. - 297 с.

56. Леонов Г.А. Теорема сведения для нестационарных нелинейностей. Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр., 1978, вып.2, №7, с.38-42.

57. UmwrUC Т.Щ-- 7L wfk т tAe iUrt(ntM*sli/itA r-e&fuct tcr a, j>tvtameter tf the, $&tcc£im$ rf CL System of diffcr&riUcil цщОсш. Own. 1949, К2,0,

58. Чаплыгин G.A. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Труды ЦАГИ, 1932, вып.130,с.5-17.

59. WbsZmsic 9Г Sur A dis Uhitqntfa systems ^г^аа^тз driHcr&rdi&tCes -binetut-ee (rrdituUres.-stiU. там., Jm> kid, p.n-5-9.

60. Азбелев H.B., Цалюк З.Б. Об интегральных неравенствах, I. -Мат. сб., 1962, т.56 (98), № 3, с.325-342.

61. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. О дифференциальных и интегральных неравенствах. В кн.: Труды 4-го Всес.мат. съезда. Т.2. -Л.: Наука, Ленингр.отд., 1964, с.384-391.

62. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. О задаче Чаплыгина. Укр. мат.журн., 1958, т.10, № I, с.3-12.

63. Лузин Н.Н. О методе приближенного интегрирования акад.О.А.Чаплыгина. Успехи мат. наук, 1951, т.6, № 6, с.3-27.

64. Мельников Г.И. Некоторые вопросы прямого метода Ляпунова. -Докл. АН СССР, 1956, т.ПО, № 3, с.326-329.

65. Перов А.И. Об интегральных неравенствах. В кн.: Труды семинара по функц. анализу. Воронеж, 1957, $ 5, с.87-97.

66. Чандиров Г.И. Об одном обобщении неравенства Гронуолла и его приложениях.- Уч.зап.Аз.ГУ, сер.физ.-мат.наук,1958,№ 6,с.З-П.

67. Бабкин Б.Н. К теореме С.А.Чаплыгина о дифференциальных неравенствах. Мат.сб., 1958, т.46, № 4, с.389-398.

68. Матросов В.М. К теории устойчивости движения. Прикл.мат. и мех., 1962, т.26, № 5, с.885-895.78. llnUslewUb 'Ялг- irfietftca&ty forvf^fclmatc SrffaUcrns rf prditpastf Mffes-entiai eqtiaiirns. tylcdfi. } i9£Z,

69. ЪебСягалг R. Шс£сг с^уаршипг ^UsruUtms.vc. Лпс1и$£к ялиС tUfU. Watt. Ser. fl.Cmtrvt,г, Iff) У. if. л-ы.

70. Алексеев В.М. Теорема об интегральном неравенстве и некоторые её приложения. Мат.сб., 1965, т.68 (110), № 2, с.251-273.

71. Мартынюк А.А., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1979. -272 с.82« tfarig&rJirji С. £. bwrnds tf tHe. %orm ff &vf се general MucUHR?.- PMK. timer. ЖаМ. Sini9$0, Г.И, 71. ft. 49Z-W.

72. X Мимененис дсарс/мренцссам-ьснх* nefiA,£e,Kcmfr jc tneojkut истЫш^ости -ZlnsCL&fe Stent, nlc usiar. »tLt I Cu&l"diK Jkuti; sec. VT6, П f. Щ-5В.

73. Хатвани Л. 0 применении дифференциальных неравенств к теории устойчивости. Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1975, № 3,с.83-89.85. (U/Lasi J.tf. ft e&rum&Zalten fff a ^emnuL. tj- HMrnasL n^rut ife a^^catisffK to tcnitfamesQ

74. Wcutfi. Head* Sec. ffcuy.} 196Г, 71. /, fL

75. ЩеЩг ф. ц yeaeniic&i&m, of

76. Unf iecCiiccn^m. Вггйъ: tyHnger, №4. -Z64S.

77. Беккенбах Э., Беллман P. Неравенства. Пер. с англ.Г.И.Басса и др. M.s Мир, 1965. -276 с.

78. HfarSkcwtt ' Ргыг&Ьг<т*е wtftt&w^ctiw n-ctuturh^) 1961. -256s. 92. X^kiAmLlcuiMfrni 1С; tfeefa S. Vkfferetitial-япсС HiteamZ- in&fttA&tus.V^d.-Пм<г ^trri: -ZLcaJ: fress,M9.-390fi.b&r&n ffleiotegfoy - <Jk<s fat: dead. <194-0, - tWf.

79. Ц^е&а-Ж РЛ- ^пгкшЛс Jfieqtiaj&Ucs.-CM-tchm TruOt. Несёшь 7Utes> mr,11. У/, mp.95. ftiJmd ^cenve^f nUnri^hci w^cCaAirnuPurr fiAAoiiru^e^ 1946. Z¥Os.

80. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. -152 с.

81. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. -322 с.

82. Четаев Н.Г. Об устойчивости траекторий динамики.-Уч.зап. Казан.ун-та, 1931, т.вып.1, с.3-8.

83. Четаев Н.Г. Об устойчивости движения. Изв. АН СССР, отд. техн. наук, 1945, № 6, с.482-490.

84. Артемьев Н.А. Осуществимые движения. Изв. АН СССР, сер. мат., 1939, № 5, с.351-367.

85. Дубошин Н.Г. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений. Труды Астрон. ин-та им. П.К.Штернберга, 1940, т.14, вып.1, с.153-164.

86. Малкин И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Прикл. мат. и мех., 1944, т.8,вып.3, с.241-245.

87. Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях. Прикл. мат. и мех., 1954, т.28, вып.1, с.95-102.

88. Гермаидзе В.Е., Красовский Н.Н. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Прикл. мат. и мех., 1957, т.21, вып.б, с.769-775.

89. Барбашин Е.А. Об оценке среднеквадратичного значения отклонения от заданной траектории. 4.1.2. Авт. и тел., I960, т.21, » 7, с.941-950,- т.21, № 10, C.I34I-I35I.

90. Рахматуллина Л.Ф. Об одном применении условий разрешимости задачи Чаплыгина к вопросам ограниченности и устойчивости решений дифференциальных уравнений. Изв. вузов, матем., 1959, И- 2, с.198-201.

91. Хохлова Л.В. Об устойчивости нулевого решения системы линейных уравнений при постоянно действующих возмущениях. Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1964, № 4, с.7-15.

92. ИЗ. Горшин О.И. О некоторых критериях устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Изв. вузов, матем., 1967, №11, с. 17-20.

93. Задирака К.В. Исследование нерегулярно возмущенных дифференциальных уравнений. В кн.: Вопросы теории и истории дифференциальных уравнений. Киев, 1968, с.81-108.

94. П5* ^utmr&IU ti metAvTC ftrr dettoyunia* tfo firrces to tyt&uote, ^t-t&ortfeci mirturn, itfibfL ^Wis т&соит&у. Pr-irc.

95. УмшнЖш CvnaMSS Я^шьаЛ -гш/ тгсА. ЫгдгШ, </№,

96. Мартынюк А.А. Об устойчивости систем с развивающимися возмущениями. Докл. АН УСОР, сер. А, 1975, № 7, с.613-615.

97. И7. auunurorfif s.p. м.я.'Шш.гын'г^mtcrirfi€tbj Ялт . Hrfo^ jm, <П. M-ZIUW,us. ТпшИ. fUMcUtrn, cirvUcHte+iA, -ялгЛ- ma&fylz-twk. feedfnuJL

98. Systems. Prrc. Mist. Stutr. WW, U4Z0, 71.4, fz. 42,6-430.ii9. Howntr-rcl ft. He^nt TlUdAematcaiefa foTdfrtrd.- ZtoTuforb: tiuid. frzss, edited- %е<СС, 4923. 120

99. CAaAmcrarty S,P.; Pcut£ R.J.U. ^Iny^e-twjitUs<xi,£ing fwncturn^ Ut ynUsMiirCLri-aJfa systems desisig.- Prtrc. Jnsi.&factr. %nyfs., 4973, It410,71. 9, Syt., р. "

100. CAcblrcu-arty S.P. tl Sufficiency c^Ucruot fcrr tfo szaJitity of nm- -йпеа*- trucfrU

101. VtUfoMe- systems. У. <rf CrntrtrC,

102. Капитанова Т.Г. Метод оценок при исследовании устойчивости нелинейных неавтономных многосвязных систем автоматического регулирования. Л., 1976. -12 с. - Рукопись представлена ЛГУ им.А.А.Жданова. Дёп. в ВИНИТИ I июня 1976, № 1963-76.

103. Капитанова Т.Г. О применении метода оценок при исследовании устойчивости нелинейных неавтономных многосвязных систем автоматического регулирования. В кн.: Прикладная механика. Вып.З. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1977, с.199-208.

104. Касьяненко Т.Г. Метод оценок при исследовании качества переходных процессов в устойчивых нелинейных неавтономных многосвязных системах. Л., 1983. -15 с. - Рукопись представлена ЛГУ им.А.А.Панова. Деп. в ВИНИТИ 22 ноября 1983, № 6198-83.

105. Касьяненко Т.Г. Применение интегральных критериев для оценки качества переходных процессов в нелинейных неавтономных многосвязных системах, Л., 1983. -12 с. - Рукопись представлена ЛГУ им.А.А.Жданова. Деп. в ВИНИТИ 22 ноября 1983,6197-83.

106. Лилов Л.К., Чуриков В.А. Об уравнениях динамики систем взаимосвязанных тел. Прикл. мат. и мех., 1981, т.45, вып.З,с.525-535.

107. Вибрации в технике: Справочник. Т.6. Защита от вибрации и ударов/ Под ред. чл.-кор. АН СССР К.В.Фролова. М.: Машиностроение, 1981. -456 с.

108. Протодьяконов И.О., Капитанов А.Я., Капитанова Т.Г., Ершов

109. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Мат. сб., I960, т.51 (93), вып.1, с.99-128.

110. Цму&п, 11. Jcwtn* R.P.> 1Uuu&t

111. Vn- Uifcobt mtfuit rf- mrrv&ne&roCfoLcJl sv&c&rus. MM,oi&rfar, р.т-ш

112. Miftn- ЯЛ., MrtnsQ.P. %ш> steady--state- Впы С^гггиШгк of ТегЛ/гиЖ

113. Sjf&t&ms -я- time, ircuyisng тит-йпшгfyesrifrnt. Than*. civ CI. t.j1. КП^.Ч^ OZbrfcr, f.WS-Wg.

114. Филатов А.И. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: Изд-во ФАН УзССР, 1971. -280 с.

115. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем. Изв. АН СССР, отд. техн. наук, 1945, № 12, с.ПбЗ-1168.

116. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. С.В.Фомина. 5-е изд., стереот. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

117. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. -496 с.

118. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. -744 с.

119. Солодовников В.В., Топчеев Ю.И., Крутикова Г.В. Частотный метод построения переходных процессов: Справочное пособие.-М.: Гостехиздат, 1955. -196 с.

120. Гарднер М., Бэрнс Дж.Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными. Пер. с англ. П.И.Зуб-кова и М.С.Либкинда/ Под ред. Г.И.Атабекова и Я.З.Цыпкина.-3-е изд., испр. М.: Физматгиз, 1961. -551 с.

121. Основы автоматического регулирования. Теория. /Под ред. В.В.Солодовникова. М.: Машгиз, 1954. -III8 с.

122. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. Авт. и тел., 1967, т.28, № б, с.5-30.

123. Бонджиорно Дж.Дж. Критерии устойчивости линейных систем с переменными во времени параметрами, выраженные через характеристики в области действительных частот. Труды амер. ин-та инж. по электротехн. и радиотехн. Рус.пер., 1964, № 7, с.886-896.

124. Дёч Г. Руководство к практическому применении преобразования Лапласа и Ъ -преобразования. М.: Наука, 1971. -288с.

125. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974. -332 с.144. R. Snaty Tst. Тшй- рърЖ*oautcnpsr %e*t*r ftrr/L:1. С<гягртгпу, idSfr.-ZWf.

126. Постников M.M. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. -176 с.

127. Теория автоматического регулирования. Книга I /Под ред. В.В.Оолодовникова. М.: Машиностроение, 1967. -770 с.

128. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики: Учебное пособие для студентов втузов. 4-е изд. испр. -М.: Наука, 1970. -664 с.

129. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров : Определения, теоремы, формулы. Пер. со 2-го амер. перераб. изд. И.Г.Арамановича и др. М.: Наука, 1973. -832 с.