Сложная динамика неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ПАКСЮТОВ Владимир Игоревич

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА НЕИДЕНТИЧНЫХ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ С БИФУРКАЦИЯМИ АНДРОНОВА-ХОПФА И УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА

Специальность 01 04 03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

>-.ио X ГЬ'ЗЗ 1

Саратов 2007

003176331

Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета имени Н Г Чернышевского

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов А П

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Астахов В В кандидат физико-математических наук доцент Купцов П В

Ведущая организация Курский государственный технический университет

Защита состоится //, 2в на заседании диссертационного

совета Д212 243 01 по специальности 01 04 03-"радиофизика" при Саратовском государственном университете им Н Г Чернышевского по адресу 410012, г Саратов, ул Астраханская, 83, III корпус, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им В А Артисевич Саратовского государственного университета им Н Г Чернышевского

Автореферат разослан

2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета ^Л/' В М Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы

Как известно, бифуркация Андронова-Хопфа состоит в возникновении автоколебаний в результате рождения в фазовом пространстве предельного цикла при превышении некоторым, управляющим параметром соответствующего бифуркационного значения1 Простейшим примером системы, демонстрирующим такую бифуркацию, является система Ван дер Поля2, которая в настоящее время приобрела «статус» эталонной модели теории колебаний и нелинейной динамики. Эта система описывает также и многие конкретные радиофизические системы, начиная с классического лампового генератора3 Важным развитием системы Ван дер Поля является система Ван дер Поля - Дуффинга, которая характеризуется дополнительной нелинейностью, введенной по типу осциллятора Дуффинга Эта модель учитывает возможность неизохронности малых колебаний и приводит к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа

Бифуркация удвоения периода возможна в автоколебательных системах с большей размерностью фазового пространства Она состоит в том, что предельный цикл теряет устойчивость, и от него отделяется устойчивый цикл удвоенного периода4 Известно множество систем и моделей, демонстрирующих такую бифуркацию, как искусственно сконструированных (система Ресслера), так и радиофизических (генераторы Пиковского-Кияшко-Рабиновича, Анищенко-Астахова, Кислова-Дмитриева и др), а также оптических, гидродинамических, химических и др систем Существенное значение бифуркации удвоения периода состоит также в том, что каскад таких бифуркаций приводит к известному сценарию Фейгенбаума перехода к хаосу, который оказывается универсальным и справедливым для систем различной физической природы Универсальность сценария и характерные для него свойства самоподобия (скейлинга) были объяснены с помощью метода ренормализационной группы в известных работах Фейгенбаума4 5

В настоящее время весьма популярны исследования динамики связанных автоколебательных систем Данный класс задач является сложным для изучения по целому ряду причин, таких как наличие большого числа факторов, влияющих на динамику связанных осцилляторов, проблематичность и зачастую невозможность проведения аналитического исследования, сложность и длительность необходимого численного анализа, проводимого при помощи компьютера

В данной работе акцент сделан на изучении неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода. Будут

1 Андронов А А, Витт А А, Хайкин С Э Теория колебаний М Наука, 1981

2 Van der Pol В // Philos Mag, 1927, Vol 3, P 64

3 Кузнецов А П, Кузнецов С П , Рыскин Н М Нелинейные колебания Изд 2 2005 Твердый переплет 292 с

4 Фейгенбаум М // УФН, 1983, Т 141, №2, сс 343-374

5 Feigenbaum М J //J ofStat Phys , 1978, v 19, №1, рр 25-52

рассмотрены в этом контексте связанные системы Ван дер Поля, Ван дер Поля

- Дуффинга, Ресслера, так называемые системы Спротта6'7 и некоторые другие

Неидентичность взаимодействующих систем может быть введена по-разному Этому отвечает и разная методология исследования Так для связанных систем Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно выбрать равными друг другу параметры, ответственные за бифуркацию Андронова-Хопфа Неидентичность будет состоять в наличии частотной расстройки автономных систем В этом случае основные «атрибуты» явления синхронизации - языки Арнольда, встроенные в области квазипериодической динамики - выявляются на плоскости параметров (частотная расстройка -величина связи) Такая плоскость параметров аналогична плоскости (частота -амплитуда воздействия) для осциллятора, возбуждаемого гармоническим сигналом Существенное отличие от этого случая для связанных осцилляторов

- возможность эффекта «гибели колебаний», который состоит в исчезновении автоколебаний при достаточно большом диссипативном воздействии связи

Система двух связанных осцилляторов Ван дер Поля в рамках такого подхода изучалась, например, Д Г Аронсоном с соавторами8, А Пиковским9, Д С Коэном и Дж С Нэу10 для случая диссипативной связи между осцилляторами, а также Н Минорски", Р X Рандом, совместно с П Дж Холмсом и Т Чакраборти12 для случая слабой инерционной и Р X Рандом и Д В Сторти13 - для сильной инерционной связи Подобный подход использован также в работах Т Павлидиса14, М Полиященко'5 и ДС Коена, Дж С Hey10 при моделировании биологических и химических процессов с использованием системы связанных осцилляторов Bau дер Поля и др Инггерсс к такой задаче не ослабевает, поскольку обнаруживаются все новые ее аспекты и новые колебательные эффекты В этом плане можно указать, например, недавнюю обобщающую работу Иванченко М В , Осипова Г В , Шалфеева В Д и Курца Дж16, в которой выполнено объемное исследование в рамках квазигармонического приближения, включая возможность комбинированной связи В этой работе также обращено внимание на важность ситуации, когда взаимодействующие осцилляторы характеризуются разными по величине параметрами, управляющими бифуркациями Андронова-Хопфа в подсистемах

6 Sprott J С // Phys Rev Е 1994 Vol 50, №2, рр 647-650

7 Sprott J С //Phys Letters A 1997 Vol 228, №4-5, pp 271-274

8 Aronson D G , Ermentrout G В , Kopell N // Physica D, 1990, Vol 41, P 403

9 Пиковский A, Розенблюм M, Курте Ю Синхронизация, фундаментальное нелинейное явление М Техносфера, 2003 508 с

10 Cohen D S , Neu J С Interacting oscillatory chemical reactors Ann NY Acad Sci 316, Bifurcation Theory and Applications in the Scientific Disciplines (ed О Gurel and О E ROssler), 1979, P 332-337

" MinorskyN Nonlinear oscillators VanNostrand, 1962

12 Rand R H, Holmes P J // Int J Non-Linear Mechanics, 1980, Vol 15, P 387-399

13 Storti D W , Rand R H // Int J Non-Linear Mech, 1982, Vol 17(3), P 143-152

l4PavlidisT Biological oscillators The Mathematical Analysis Academic press, 1973

h Poltashenko M, McKay S R, Smith С W // Phys Rev A, 1991, Vol 44, P 3452

16 Ivanchenko M V, Osipov G V, Shalfeev V D, Kurths J II Ph>sica D, 2004, Vol 189, P 8-30

В тоже время ряд вопросов до настоящя о времени не нашли достаточно полного освещения Некоторые из них требуют дополнительных, более детальных исследований Среди них можно указать следующие Как устроено пространство параметров дифференциальной системы связанных осцилляторов Ван дер Поля, когда квазигармоническое приближение не справедливо9 Как влияет на динамику системы в этом случае нелинейность, введенная по типу осциллятора Дуффинга9 Какие режимы может инициировать в допороговых осцилляторах Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга «активная» связь» (связь через отрицательное сопротивление)9

Кроме того, можно взглянуть на задачу о динамке неидентичных связанных систем Ван дер Поля с другой точки зрения Действительно, в каждой из подсистем имеется параметр, управляющий бифуркацией Андронова-Хопфа Если независимо регулировать два этих параметра, то мы приходим к задаче об устройстве соответствующей плоскости параметров связанной системы При этом величина связи и расстройка собственных частот осцилляторов будут фиксированы Являются интересными вопросы как выглядят языки синхронизации и области квазипериодических режимов на этой плоскости параметров, и как они могут изменять свою форму при вариации величины связи и частотной расстройки9 Такой подход к анализу динамики систем связанных осцилляторов также будет использован в настоящей работе

В третьей и четвертой главах работы исследуется ряд различных связанных систем с бифуркацией удвоения периода Существует множество публикаций, посвященных различным аспектам динамики подобных систем Так изучаются вопросы влияния величины связи на динамику в связанных симметричных системах с удвоениями периода17'18, обсуждается наличие мультистабильности 19 20, картина бифуркаций2122, возможность регулярной и

23 24 25

хаотической синхронизации ' , критического поведения (сценариев перехода к хаосу)26 27 и др При рассмотрении связанных потоковых систем с удвоениями

17HoggT,HubermanB A //Phys Rev А 1984 Vol 29, №1, Р 275

18 Reike С , MosekildeЕ //Phys Rev Е 1995 Vol 52, Р 1418

19 Астахов В В , Безручко Б П, Гуляев 10 В , Селезнев Е П // Письма в ЖТФ, 1988 Т 15, №3, сс 60-64

20 Carvalho R, Fernandez В , Vilela Mendes R // Physics Letters A 2001 Vol 285 P 327-338

21 Кузнецов А П, Седова Ю В , Сатаев ИР// Изв Вузов «ПНД», 2004, т 12, №5

22 Иванченко М В , Осипов Г А, Шалфеев В Д // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике / Под ред А В Якимов Н Новгород 2002 С 114-115

Yanchuk S , Maistrenko Yu, Mosekilde E Loss of synchronization in coupltd Rossler systems // PhysicaD, 2001, Vol 154, P 26-42

24 Анщценко В С, Вадивасова Т Е, Постнов Д Э, Сафонова М А // Радиотехника и электроника, 1991, т 36, №2, сс 338-351

23 Meng Zhan, Zhi-gang Zheng, Gang Hu, Xi-hong Peng // Phys Rev E 2000 Vol 62, №3 pp 3552

5 Kuznetsov A P, Kuznetsov S P, Sataev IR // Int J of Bifurcation and Chaos, 1991, vol 1, №4, pp 839-848

Sang-Yoon Kim, HyungtaeKook //Phys Rev A 1992 Vol 46, №8, pp4467

периода необходимо учитывать также результаты работ, посвященных связанным отображениям28'25'30

В настоящей работе основной акцент ставится на особенностях динамики при существенно различных параметрах подсистем, отвечающих за бифуркации удвоения периода в подсистемах. При такой интерпретации в центре внимания оказывается устройство плоскости параметров, управляющих удвоениями в подсистемах Такой подход, фактически, продолжает методологию исследования неидентичных по значениям управляющих параметров систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга В третьей главе устройство плоскости управляющих параметров для связанных неидентичных систем Ресслера будет исследовано с помощью метода карт динамических режимов, метода карт ляпуновских показателей, будет дан бифуркационный анализ и представлены также некоторые примеры критических точек коразмерности два, являющиеся концевыми для фейгенбаумовских линий Наличие таких точек позволит продемонстрировать самоподобное устройство плоскости управляющих параметров в их окрестности (свойство скейлинга) Будут изучены как взаимно, так и односторонне связанные системы

Несмотря на «эталонный» характер системы Ресслера и большое количество работ, посвященных динамике связанных систем этого типа31'32 невозможно однозначно утверждать, что результаты, полученные для двух таких неидентичных связанных систем, будут справедливы и для других систем с бифуркациями удвоения периода Для выявления возможных общих (а также отличающихся) черт, проявляющихся в устройстве плоскости управляющих параметров, в четвертой главе настоящей работы рассмотрены пары множества (более десяти) различных связанных осцилляторов Спротга, автогенераторов Кислова-Дмитриева33 и Анищенко-Астахова34

Цель работы состоит в исследовании картины динамических режимов и критической динамики неидентичных по управляющим параметрам связанных автоколебательных систем (осцилляторов), демонстрирующих в автономном состоянии бифуркации Андронова-Хопфа и удвоения периода

28 Jian-Mm Yuan, Mmgwhei Tung, Da Hsuan Feng, and Lorenzo M Narducci // Phys Rev A, 1983 Vol 28, №3, P 1662

29 Астахов В В , Шабунин А В , Аншценко ВС// Изв вузов Прикладная нелинейная динамика, 1999, т 7, №2-3, сс 3-11

30 Kirn S Y // Phys Rev Е, 1999, vol 59, №6, рр 6585-6592

31 Rasmussen J, Mosekilde E, Reick С // Mathematics and Computers in Simulation, 1996, Vol 40, P 247-270

32 Yanchuk S , Maistrenko Yu, Mosekilde E // Physica D, 2001, Vol 154, P 26-42

33 Дмитриев А С , Кислов В Я // Радиотехника и электроника, 1984, т 29, №12, сс 2389-2398

34 Анищенко В С, Астахов В В //Радиотехника и электроника, 1983, т 28, №6, сс 1109-1115

Научная новизна работы

1 Проведено подробное численное исследование методом карт динамических режимов устройства пространства параметров систем диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга, включающее анализ устройства областей кратной синхронизации, квазипериодического поведения и сложной хаотической динамики, в том числе при неидентичных управляющих параметрах осцилляторов

2 Аналитически получены соотношения, описывающие устройство плоскости параметров, отвечающих за бифуркации Андронова-Хопфа, диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга Выявлены характерные типы устройства этой плоскости в зависимости от величины расстройки собственных частот осцилляторов и константы связи Для исходной дифференциальной системы выявлено аналогичное устройство плоскости параметров, которое, однако, дополняется своеобразной системой языков синхронизации более высокого порядка

3 Обнаружена возможность возникновения синхронных и квазипериодических режимов динамики системы двух осцилляторов Ван дер Поля, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, в случае «активной» связи через отрицательное сопротивление

4 В системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга с неидентичными управляющими параметрами обнаружена возможность «широкополосной» синхронизации, состоящей в наличии бесконечно длинной полосы синхронизации на плоскости амплитуды связи и расстройки собственных частот, с шириной, равной разнице в значениях управляющих параметров В рамках квазигармонического приближения дана оценка границ области широкополосной синхронизации Для исходной дифференциальной системы при движении внутри полосы и при увеличении частотной расстройки проекция фазового портрета на плоскость переменных одного из осцилляторов мало меняет свой вид, а второго - демонстрирует последовательное увеличение числа петель у аттрактора

5 Проведено подробное численное исследование устройства плоскости параметров, изменение которых приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода в несвязанных подсистемах, для связанных осцилляторов Ресслера Определено и подробно описано устройство областей синхронных и квазипериодических режимов динамики и границ этих областей, месторасположение областей хаотической динамики и мультистабильности Обнаружено сложное устройство окрестностей точек пересечения линий бифуркаций удвоения периода и касательных бифуркаций Отмечено, что в устройстве плоскости параметров проявляются черты, характерные как для связанных осцилляторов Ван дер Поля, так и связанных логистических отображений

6 Для связанных осцилляторов Ресслера найдены концевые точки фейгенбаумовских критических линий, которые в известном «перечне» критических точек известны как точки типа С Продемонстрировано свойство самоподобного устройства плоскости параметров в окрестности этих точек

7 Показано, что пространство управляющих параметров связанных осцилляторов Ресслера с однонаправленной связью характеризуется наличием своего рода «двойной фейгенбаумовской», а также бикритических точек, которые также представляют собой концевые точки фейгенбаумовских линий

8 Проведен численный анализ устройства плоскости параметров, управляющих появлением бифуркаций удвоения периода в подсистемах, для большого количества систем связанных осцилляторов, в том числе множества пар связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью, предложенных Дж Спроттом, связанных автогенераторов Анищенко-Астахова и связанных осцилляторов Кислова-Дмитриева Выделен достаточно емкий класс, к которому относится и система связанных осцилляторов Ресслера, характеризующийся общими чертами устройства плоскости управляющих параметров и модификации этой плоскости прч вариации константы связи На примере ряда связанных осцилляторов Спротта показано существование систем связанных осцилляторов не входящих в упомянутый класс

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных расчетов, соответствием результатов, полученных методом карт динамических режимов, карт ляпуновских показателей, построением фазовых портретов и бифуркационных деревьев, а также хорошим совпадением результатов, полученных численными и аналитическими методами, а также приведенными иллюстрациями скейлинга на картах динамических режимов в окрестностях найденных критических точек

Научно-практическая значимость. Проведенное численное исследование систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга выявило картину областей кратной синхронизации в пространстве параметров, что может быть полезно при практическом применении этих систем «Эталонный» характер осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга позволяет ожидать аналогичного поведения в других системах связанных осцилляторов с бифуркацией Андронова-Хопфа Можно рекомендовать поиск в радиофизическом эксперименте обнаруженных особенностей поведения (широкополосная синхронизация, синхронные и квазипериодические режимы в допороговых осцилляторах с активной связью)

Использованная в настоящей работе «методология» исследования, при которой динамика двух связанных подсистем изучается на плоскости их управляющих параметров, может быть достаточно продуктивной для понимания особенностей поведения различных типов связанных осцилляторов

Особенности картины динамики системы связанных осцилляторов Ресслера на плоскости их управляющих параметров с большой вероятностью будут характерны для других систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода К таким особенностям относятся, в том числе, устройство границ области синхронизации и наличие критичности С-типа

Возникновение в системе однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера «двойной фейгенбаумовской» критической точки и бикритической точки, к которым сходятся терминальные точки, открывает перспективы поиска таких точек в других примерах однонаправлено связанных колебательных систем с удвоениями периода

Результаты работы использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках курса «Системы со сложной динамикой» и при выполнении курсовых и дипломных работ

На защиту выносятся следующие основные положения

1 Методом карт динамических режимов выявлено устройство плоскости параметров (частотная расстройка - величина связи) диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга, включая ситуации, когда не выполняются условия квазигармонического приближения Рост параметра нелинейности, введенной по типу осциллятора Дуффинга, приводит к появлению характерных бифуркационных структур «crossroad-area» С ростом управляющего параметра возможно исчезновение одной из областей «гибели» колебаний Активная связь (связь через отрицательное сопротивление) может инициировать в допороговых осцилляторах квазипериодические и синхронные режимы разной кратности При наличии неидентичности по управляющему параметру наряду с традиционными языками Арнольда, синхронизация возможна также внутри очень широкой по частотной расстройке полосы, разделяющей области гибели колебаний и квазипериодических режимов

2 Аналитически в рамках уравнения фазовой динамики выявлено устройство областей синхронизации 1 1 на плоскости управляющих параметров неидентичных подсистем в зависимости от величины расстройки и параметра фазовой нелинейности Компьютерное исследование подтверждает эти выводы, выявляя также очень тонкие языки синхронизации более высокого порядка

3 Для неидентичных по управляющему параметру симметрично связанных систем Ресслера на границах области синхронизации и хаоса характерен тип критического поведения, известный как С тип критичности Во многом аналогичное устройство демонстрируют связанные генераторы Дмитриева-Кислова и разнообразные версии систем Спротга В случае односторонне связанных подсистем Ресслера сосуществуют также «двойная фейгенбаумовская» точка и бикритический тип поведения В окрестности этих критических точек плоскость параметров связанных систем Ресслера характеризуется самоподобным устройством

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации представлялись на ежегодных научно-практических школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2003-2006 гг), XII научной школе «Нелинейные волны-2004» (Нижний Новгород, 2004 г), VII международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур 2004» (Саратов, 2004 г), всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2005 г), научных конференциях для молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006-2007 гг), XIII научной школе «Нелинейные волны-2006» (Нижнии Новгород, 2006 г), на конференциях НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" Саратовского госуниверситета и научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ по грантам РФФИ № 03-02-16074, № 06-02-16773, Федерального агентства по науке и инновациям (государственные контракты №02 442 11 7237 и №02 442 11 7457) и Американского фонда гражданских исследований и развития (С1ШР) ЯЕС-ООб, а также во время визита в группу профессора Э Осбалдестина (университет Портсмута, Великобритания)

По результатам диссертации опубликовано 15 работ, из них статей в рецензируемых журналах - 7, статей в сборниках - 5, тезисов докладов - 3 В работах, выполненных в соавторстве, постановка задачи и интерпретация результатов выполнены совместно с научным руководителем Лично соискателем осуществлены численные эксперименты и разработаны методы исследования

Структура и объем работы Работа содержит 177 страниц, из них 113 страниц основного текста, 53 страницы иллюстраций и список литературы из 109 наименований на 11 страницах

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав и заключения

Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются цель работы, научная новизна и научно-практическая значимость результатов, а также формулируются основные положения, выносимые на защиту

Первая глава посвящена обсуждению динамики системы связанных осцилляторов с бифуркациями Андронова-Хопфа на примере диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга-с12х . 2.сЬс _3 ,ск ёу. .

ш А ш м

при равных управляющих параметрах подсистем Л1-Л2=Л и наличии в системе расстройки собственных частот осцилляторов 3 и фазовой

нелинейности с коэффициентом р (работы8'9,16 и др.), касающихся пространства параметров укороченных уравнений

— - - [Л) - Я3 + /м-с,о$ц/

¿1

йг

г(Л -/л)-г' + /лЯсоъц/

Приведен обзор известных результатов общего бифуркационного устройства режимов дииамики, в первую очередь для

Ш

йц/

-Фи

(2)

-8 + Ъ(3{Кг-г2)

,г Я ^ Л г

полученных в квазигармоническом приближении. Соответствующая картина основных режимов на плоскости параметров расстройки собственных частот и силы связи при р = О изображена на рис.1.

Внутри языка синхронизации реализуются одна или три неподвижные точки в фазовом пространстве (области 3,4), что соответствует периодическим колебаниям системы (1), вне языка реализуется режим фазового дрейфа (обл. 1), соответствующий квазипериодическому поведению исходной системы (1) и режим гибели колебаний8'9 (обл. 2), проявляющийся в затухании системы связанных автоколебательных систем за счет диссипации, вносимой связью.

Далее представлены

оригинальные результаты, относящиеся к динамике системы (1). Численный анализ проведен методом карт динамических режимов и карт старшего ляпуновского показателя на плоскости расстройки собственных частот и силы связи при вариации параметра нелинейности /}, введенной по типу осциллятора Дуффинга. Пример карты динамических режимов показан на рис.2, а карты ляпуновских показателей - на рис.3. В первом случае «цвет» выявляет режимы с разным периодом, а во втором - градации серого задают величину ляпуновского показателя. Устройство плоскости на рис.2 отличается от случая укороченных уравнений (2) (рис.1) наличием языков кратной синхронизации с различными числами вращения. Еще одно существенное отличие - исчезновение низкочастотной области гибели колебаний, которое имеет место при превышении управляющим параметром Я некоторого порогового значения.

укороченной системы.

Увеличение значения управляющих параметров подсистем X приводит к расширению всех языков синхронизации системы, а увеличение параметра фазовой нелинейности - к сильной модификации их формы. При диссипативной связи между осцилляторами (р > 0) возможно хаотическое поведение системы в узких областях пространства параметров (рис.3) и формирование универсальных структур «crossroad area», но для их возникновения необходимо наличие значительной величины параметра фазовой нелинейности /?.

Далее показано, что введение несимметричной фазовой нелинейности в уравнения системы (1) приводит к смещению языков синхронизации и может вызывать их частичное перекрытие. Наличие фазовой нелинейности только во

Область гибели колебаний

Карта старшего

ненулевого показателя

ляпуновского системы (1), построенная при Л1 =Л, = 3, /3-\. Белый цвет обозначает хаотический режим колебаний.

Рис. 2. Карта динамических режимов системы (1). Значения параметров Л, = Л, = 1, /3 = 0. Внутри языков синхронизации приведены числа вращения, втором осцилляторе системы (1) приводит к расширению основного языка синхронизации на всю область отрицательных расстроек собственных частот. Установлено также, что для возникновения хаотического поведения системы и структур «crossroad area» в пространстве параметров достаточно наличия сильной нелинейности лишь в одном из связанных осцилляторов.

Обсуждается случай «активной» связи между осцилляторами, который отвечает случаю отрицательных величин параметра диссипативной связи /л < 0 . Такой случай представляет собой как «формальный» интерес, так и, надо полагать, допускает физическую реализацию при введении в систему общего отрицательного сопротивления, синтезированного, например, при помощи операционного усилителя35. Показано, что при активной связи языки синхронизации шире, чем при диссипативной, и отсутствуют области гибели колебаний. Установлено, что за счет активной связи возможно возникновение

Бугаевский М.Ю., Пономаренко В.И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. 29 с.

участков хаотического поведения в пространстве параметров при полном отсутствии фазовой нелинейности

Методом карт динамических режимов продемонстрировано, что в системе осцилляторов, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа (I < 0, колебания в автономном состоянии затухают), активная связь инициирует различные устойчивые синхронные и квазипериодические режимы.

Во второй главе проведено исследование систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга (1) в случае различающихся значений управляющих параметров подсистем Л, * Д, Бифуркационное устройство плоскости параметров расстройки частот осцилляторов и силы связи подробно описано в этом случае посредством анализа системы укороченных уравнений (2), в ходе которого получены соотношения для границ различных режимов динамики, а также методом карт динамических режимов

Как и в первой главе из системы укороченных уравнений с учетом ряда предположений получено удобное для анализа дифференциальное уравнение Адлера

задающее динамику разности фаз осцилляторов у в зависимости от параметров системы Из уравнения (3) легко получить условие для границ области синхронизации

На плоскости управляющих параметров системы (1), приведенной на рис 4, можно видеть три характерных «ветви» области синхронизации, две расположенные вдоль осей координат и одна вдоль диагонали имеющие своеобразную форму, отличную от обычных языков Арнольда в форме конусов Между ними располагаются области квазипериодического поведения и узкие языки кратной синхронизации Соотношение (4) дает хорошую аппроксимацию для описания устройства области синхронизации при различающихся управляющих параметрах, что подтверждается сравнением результатов, полученных аналитически и методом карт динамических режимов

(4)

Рис. 4. Карта динамических режимов (слева) и изображение области синхронизации, построенное с использованием соотношения (4) (справа). Значення параметров /? = !,

и = 0.3, 3 = 0.

Введены параметры среднего значения управляющих параметров и степени неидентичности, и изучено влияние их значений на устройство плоскости (Л>Л>) 8 случае наличия и отсутствия расстройки собственных частот

и нелинейности.

В работе показывается, что при любом, даже незначительном различии значений параметров л, и X, возникает явление «широкополосной синхронизации», состоящее в появлении на плоскости параметров расстройки собственных частот и силы связи полосы синхронизации, бесконечно длинной по значению параметра расстройки. Эта полоса

при больших значениях расстройки ограничена прямыми ц = Л, и // = Д,. Причины возникновения «широкополосной» синхронизации объясняются в работе. Соотношение для нижней границы полосы получено аналитически в квазигармоническом приближении как условие границы области синхронизации, а для верхней - как границы области гибели колебаний. Методом карт динамических режимов и путем анализа фазовых портретов системы показано, что изменение числа вращения при движении внутри полосы синхронизации происходит за счет приобретения аттрактором системы новых «петель». Введение фазовой нелинейности не влияет на появление и расположение полосы синхронизации.

Третья глава посвящена изучению динамики и критических явлений для систем связанных систем с удвоениями периода с неидентичными

-1.5 9.0 3 19.5 30.0

Рис. 5. Карта динамических режимов системы (I), построенная для значений параметров Я, = !, Л, =1.5,/? = 0. Внутри областей различного цвета указаны соответствующие числа вращения.

- (х2 - с2 )г

управляющими параметрами на примере осцилляторов Ресслера. Сначала обсуждается случай двусторонней связи подсистем:

ск, с!х,

, ч

— = *,+ад-;>>,) -у-

т Л

I / ^

Реализован подход, состоящий в изучении плоскости параметров, управляющих удвоениями. Примеры карт динамических режимов и старшего ненулевого ляпуновского показателя представлены на рис.6.

Как и на плоскости управляющих параметров системы (1), имеются три «ветви» области синхронизации, а между ними участки квазипериодического поведения. Внутри каждой из «ветвей» области синхронизации имеет место каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу. Участки квазипериодического поведения ограничены снаружи линиями бифуркации перехода к хаосу через разрушение инвариантной кривой (тора). При увеличении параметра связи они постепенно сужаются и исчезают, образуется единая область синхронизации, ограниченная непрерывной линией Фейгенбаума.

0.2

Рис. 6. Карта динамических режимов (слева) и карга старшего ненулевого ляпуновского показателя (справа) системы (5) при 6 = 01, с = 8.5 и ^ = 0.02. На карте справа черный цвет обозначает хаотическую динамику системы.

Посредством расчета мультипликаторов системы (5) найдены также линии бифуркаций удвоения периода внутри «диагональной» ветви области синхронизации и изучено устройство ее границ. Это устройство оказывается нетривиальным, поскольку в окрестности точек пересечения линий бифуркации удвоения периода и касательных бифуркации имеет место сосуществование двух устойчивых периодических режимов динамики внутри узких треугольников, образованных линиями касательных бифуркаций и обратной бифуркации удвоения периода. Найдены координаты нескольких точек пересечения линий бифуркаций удвоения периода и линий касательных бифуркации, в которых один из мультипликаторов системы (5) равен 1 и один равен -1. Показано, что с увеличением периода цикла они сходиться к

предельной точке, которая оказывается концевой для фейгенбаумовской линии и которая с использованием классификации36, может быть идентифицирована как критическая точка типа С Далее обсуждается проявления возможной мультистабильности в системе с точки зрения устройства карт динамических режимов

На плоскости управляющих параметров системы однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера

Л,

— = -у, - г, + - х,) — = ~У1~гг

ш а!

^- = х1+а1у1+и{у1-у1) ~ = *г+а2У2 > (6)

си ш

= Ь + (х> -С|-г,) ^~ = Ь + (х2~с1)г2

т си

изображенной на рис 7, обнаружено сосуществование различных типов критического поведения бикритической точки и «двойной фейгенбаумовской точки» (РР), являющихся концами одной линии Фейгенбаума Путем анализа мультипликаторов системы (6) для различных значений параметра связи ц оценены координаты этих критических точек как пределы последовательностей соответствующих терминальных точек при удвоении периода колебаний Характеристикой точки ИР является то, что последовательность координат терминальных точек сходится к ней по закону сходимости Фейгенбаума по обоим управляющих параметрам Обнаружено, что при уменьшении значения параметра связи бикритическая точка и тока РР сближаются и согласно результатам аппроксимации они должны сливаться в малой окрестности значения р = О

В работе демонстрируется скейлинг (самоподобие) устройства плоскости управляющих параметров и фазовых портретов системы (6) в окрестностях критических точек (рис 7)

Исследуется также модель, состоящая из связанных между собой осциллятора Ресслера и осциллятора Ван дер Поля - Дуффинга Проведен численный анализ устройства плоскости параметров управляющих бифуркациями удвоения периода и Андронова - Хопфа в подсистемах

В четвертой главе исследуется устройство плоскостей параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода, множества систем связанных осцилляторов В качестве моделей для исследования выбран обширный ряд математически сконструированных осцилляторов Спротта третьего порядка с квадратичной нелинейностью, способных демонстрировать хаотическое поведение, а также автогенераторы Кислова-Дмитриева и Анищенко-Астахова, Исследование проведено методом карт динамических режимов Связь вводилась по одной переменной и дополнительно по трем переменным (чисто диссипативный вид связи)

16 Кузнецов С П Динамический хаос М Физматлит, 2001 296с

Рис. 7. Скейлинг карт динамических режимов системы (6) в бикритической точке с координатами а, =0,103684, а, =0,1022492460, 6 = 0.1, с = 8.5, /< = 0.02. Параметр скейлинга по координате а2 5 = 4,669201, по координате а, параметр скейлинга 2,3927.

Среди изученных выделены две категории систем. К первой отнесены системы связанных осцилляторов, устройство плоскости управляющих параметров которых имеет «типичные» особенности и организовано качественно идентично плоскости управляющих параметров системы двунаправленно связанных осцилляторов Ресслера:

1. При малых значениях параметра связи существуют три «ветви» области синхронизации, две из которых вытянуты вдоль координатных осей, одна - вдоль диагонали.

2. Внутри каждой «ветви» области синхронизации имеет место каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу.

3. Между «ветвями» области синхронизации расположены окна квазипериодического поведения системы, имеющие вид характерных островов, «вторгающихся» в область периодических режимов. Эти окна со стороны больших управляющих параметров ограничены линиями бифуркации перехода к хаосу через разрушение квазипериодического режима.

Для таких систем показано, что изменение способа введения связи не влияют на принципиальное устройство плоскости управляющих параметров. К системам

первой группы отнесен ряд связанных осцилляторов Спрогта, а также рассмотренные в работе связанные пары автогенераторов Анищенко-Астахова и Кислова-Дмитриева Изучен вопрос трансформации при вариации параметра связи областей различных динамических режимов для систем этой группы Показано, что для некоторых систем формирование полного каскада бифуркаций удвоения периода и линии Фейгенбаума внутри диагональной «ветви» области синхронизации происходит при увеличении параметра связи постепенно путем образования внутри области колебаний периода п участков удвоенного периода 2п, ограниченных линией складки, линией касательной бифуркации и двумя точками сборки Далее эти области периода 2пувеличиваются в размерах и внутри них образуются участки периода 4п и тд

На примере некоторых систем связанных осцилляторов Спротта, отнесенных в работе ко второй группе, показано, что устройство плоскости управляющих параметров может иметь «нетипичную» организацию, имеющую в каждом подобном случае уникальные черты, такие, как отсутствие четко выраженных «ветвей» области синхронизации, обширные участки неустойчивости системы, наличии областей квазипериодического поведения при любых значениях какого-либо из управляющих параметров и др Для систем второй группы изменение способа организации связи имеет существенное влияние на всю картину синхронизации в пространстве параметров, а варьирование параметра связи приводит к полному ее видоизменению, также уникальному для каждой системы Основные результаты и выводы:

1 Метод карт динамических режимов является эффективным инструментом исследования устройства пространств параметров связанных осцилляторов Он не требует ограничений, накладываемых на величины параметров методами приближенного анализа уравнений, и действует также в тех областях пространства параметров, где несправедливо квазигармоническое приближение Метод карт динамических режимов выявляет систему языков кратной синхронизации и особенности их внутреннего устройства

2 В системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля -Дуффинга увеличение параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа, ведет к усложнению устройства языков кратной синхронизации, появлению структур типа «crossroad-area» и возникновению хаотической динамики

3 Активная связь (отрицательная по величине параметра диссипативная связь) может приводить к возникновению в системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, различных устойчивых синхронных и квазипериодических режимов

4 Методом анализа укороченных уравнений систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно определить границы области синхронизации типа 1/1 на плоскости

управляющих параметров, показать влияние на устройство этой области величин параметров фазовой нелинейности и расстройки собственных частот осцилляторов.

5 Различие значений управляющих параметров связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга приводит к возникновению явления «широкополосной» синхронизации, состоящей в появлении на плоскости параметров связи и расстройки собственных частот бесконечно длинной по оси расстройки полосы синхронизации, в диапазоне ограниченном значениями управляющих параметров. С увеличением расстройки собственных частот внутри этой полосы реализуются синхронные режимы типов 1/3,1/5 и т д

6 Исследование динамики системы симметрично линейно связанных осцилляторов Ресслера показало, что на плоскости параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах, существуют области периодического, квазипериодического и хаотического поведения, которые также частично перекрываются, что приводит к мультистабильности На этой плоскости помимо сценария перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, наблюдающегося при увеличении какого-либо одного или обоих сразу управляющих параметров, возможен переход к хаосу через разрушение квазипериодического режима колебаний, который реализуется при увеличении управляющих параметров как в случае, когда эти параметры близки друг другу по величине, так и когда они сильно различны

7. Устройство границ области синхронизации на плоскости управляющих параметров системы двунаправлено связанных осцилляторов Ресслера является достаточно тонким и содержит линии субкритической бифуркации удвоения периода, пересечения линий касательных бифуркаций и области сосуществования двух синхронных режимов динамики На этих границах имеет место также критическое поведение системы, проявляющееся в наличии критической точки типа С

8 Система однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера демонстрирует сложную критическую динамику, поскольку на плоскости ее управляющих параметров присутствуют несколько критических точек различных типов

9 В настоящей работе показано, что существует некоторый общий класс, в который входят системы двунаправлено линейно связанных осцилляторов, обладающие «типичным» устройством плоскости параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах Продемонстрировано, что к таким системам относятся связанные осцилляторы Ресслера, связанные автогенераторы Анищенко-Астахова и Кислова-Дмитриева, многие из систем связанных осцилляторов Спротга На примере ряда систем связанных осцилляторов Спротта показано, что имеют место также системы двунаправлено линейно связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода, не входящие в указанный класс

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1 Кузнецов А П , Паксютов В И О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга с диссипативной связью //Изв вузов «ПНД», т 11, №6, 2003, С 48-64

2 Кузнецов А П, Паксютов В И Особенности устройства пространства параметров двух связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга // Изв вузов «ПНД», т 13, №4,2005, С 3-19

3 Кузнецов А П, Паксютов В И Динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода на примере осцилляторов Ресслера//Изв вузов «ПНД», 14,2006, №2,3-15

4 Кузнецов А П, Паксютов В И Устройство плоскостей управляющих параметров неидентичных связанных автоколебательных систем // Письма ЖТФ, 32,2006, вып 7, 54-60

5 А П Кузнецов, В И Паксютов, Ю П Роман Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля, неидентичных по управляющему параметру // Письма в ЖТФ, 33,2007, вып 15,15-21

6 Кузнецов А П, Паксютов В И Динамика систем связанных осцилляторов Спротта с неидентичными управляющими параметрами // Изв вузов «ПНД», №3, 2007, С 95-106

7 Кузнецов А П , Паксютов В И , Роман Ю П Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга Широкополосная синхронизация // Изв вузов «ПНД», №4,2007, С 3-15

8 Кузнецов А П , Паксютов В И Особенности динамика двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003 Сборник материалов научной школы-конференции Саратов Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003.

9 Кузнецов А П, Паксютов В И Особенности динамики связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004 Сборник материалов научной школы-конференции Саратов Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004

10 Кузнецов А П , Паксютов В И Об особенностях динамики системы связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга. // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур" Саратов- Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004

11 Кузнецов А П , Паксютов В И Сложная динамика связанных систем Ван дер Поля // Нелинейные волны 2004 XII научная школа / Тезисы докладов Нижний Новгород 2004

12 Кузнецов АП, Паксютов В И Синхронизация в неидентичных по управляющему параметру связанных системах с бифуркациями удвоения периода. // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2005 Сборник материалов научной школы-конференции Саратов Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005

13 Кузнецов А П , Паксютов В И Сложная динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем // Нелинейные колебания

механических систем VII Всероссийская научная конференция / Труды Нижний Новгород 2005

14 Кузнецов А П, Паксютов В И Синхронизация в неидентичных по управляющему параметру автоколебательных системах // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006 Сборник материалов научной школы-конференции Саратов. Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006

15 Кузнецов А П, Паксютов В И Динамика неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода // Нелинейные волны 2006 XIII научная школа / Тезисы докладов Нижний Новгород 2006

Научное издание Паксютов Владимир Игоревич

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА НЕИДЕНТИЧНЫХ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ С БИФУРКАЦИЯМИ АНДРОНОВА-ХОПФА И УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА

Автореферат

В авторской редакции

Подписано в печать £7. OS. ZOO?Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Times New Roman Печать офсетная Уел печ 1,16 Уч-изд Л 1,31 Тираж /SO экз Заказ № /fj?" С -/6?

Отпечатано с готового оригинал-макета

Типография Поволжского межрегионального учебного центра 410033, Саратов, ул Международная, 34

Введение.

Глава 1. Сложная динамика связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга в случае неидентичности по частотной расстройке (краткий обзор и новые результаты).

1.1. Осциллятор Ван дер Поля: общие свойства, укороченные уравнения, нормировка, учет неизохронности.

1.2. Связанные осцилляторы Ван дер Поля с диссипативной связью. Полные и укороченные уравнения.

1.3. Режимы захвата фазы и фазового дрейфа на плоскости параметров частотная расстройка - параметр связи. Представление об «активной» связи.

1.4. Режим гибели колебаний.

1.5. Общее устройство плоскости управляющих параметров, обсуждение стационарных состояний и фазовых портретов.

1.6. Компьютерные эксперименты с системой связанных осцилляторов. Метод карт динамических режимов.

1.7. Устройство плоскости параметров полной дифференциальной системы

1.8. Область противофазной синхронизации на картах динамических режимов полной системы.

1.9. Влияние фазовой нелинейности и управляющих параметров осцилляторов на динамику системы. Появление режимов хаотической динамики.

1.10. Несимметричная фазовая нелинейность осцилляторов.

1.11 .Активная связь. Карта динамических режимов.

1.12. Допороговые осцилляторы. Возбуждение допороговых осцилляторов активной связью.

Выводы.

Глава 2. Сложная динамика связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга в случае неидентичности по управляющим параметрам.

2.1. Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа. Укороченные уравнения и уравнение Адлера.

2.2. Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа.

Компьютерное моделирование.

2.3. Влияние фазовой нелинейности на динамику дифференциальной системы.

2.4. Устройство плоскости параметров частотная расстройка - величина связи для неидентичных подсистем. Возможность широкополосной синхронизации.

2.5. Широкополосная синхронизация в системе с фазовой нелинейностью. 86 Выводы.

Глава 3. Сложная динамика и критические явления в неидентичных по управляющим параметрам связанных системах с удвоениями периода (система Рёсслера).

3.1. Система связанных осцилляторов Рёсслера с двунаправленной связью.

3.1.1. Устройство плоскости управляющих параметров.

3.1.2. Устройство границ области синхронизации. Критические явления.

3.1.3. Мультистабильность на плоскости управляющих параметров осцилляторов.

3.2. Критические явления в системе однонаправлено связанных осцилляторов Рёсслера.

3.2.1. Система однонаправлено связанных осцилляторов Рёсслера.

3.2.2. Критические точки.

3.2.3. Бикритическая точка.

3.2.4. Перемещение критических точек на плоскости управляющих параметров при вариации параметра связи.

3.3. Система связанных осцилляторов Рёсслера и Ван дер Поля.

Выводы.

Глава 4. Сложная динамика систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода.

4.1. Системы связанных осцилляторов Спротта.

4.2. Система связанных генераторов Кислова-Дмитриева.

4.3. Система связанных осцилляторов Анищенко-Астахова.

Выводы.

Актуальность работы

Как известно, бифуркация Андронова-Хопфа состоит в возникновении автоколебаний в результате рождения в фазовом пространстве предельного цикла при превышении некоторым, управляющим параметром соответствующего бифуркационного значения [1]. Простейшим примером системы, демонстрирующим такую бифуркацию, является система Ван дер Поля [2,3], которая в настоящее время приобрела «статус» эталонной модели теории колебаний и нелинейной динамики. Эта система описывает также и многие конкретные радиофизические системы, начиная с классического лампового генератора [1,4]. Важным развитием системы Ван дер Поля является система Ван дер Поля - Дуффинга, которая характеризуется дополнительной нелинейностью, введенной по типу осциллятора Дуффинга [5]. Эта модель учитывает возможность неизохронности малых колебаний и приводит к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа [4].

Бифуркация удвоения периода возможна в автоколебательных системах с большей размерностью фазового пространства. Она состоит в том, что предельный цикл теряет устойчивость, и от него отделяется устойчивый цикл удвоенного периода [6-9]. Известно множество систем и моделей, демонстрирующих такую бифуркацию, как искусственно сконструированных (система Ресслера [10]), так и радиофизических (генераторы Пиковского-Кияшко-Рабиновича [11], Анищенко-Астахова [12], Кислова-Дмитриева [1316] и др.), а также оптических, гидродинамических, химических и др. систем. Существенное значение бифуркации удвоения периода состоит также в том, что каскад таких бифуркаций приводит к известному сценарию Фейгенбаума перехода к хаосу, который оказывается универсальным и справедливым для систем различной физической природы. Универсальность сценария и характерные для него свойства самоподобия (скейлинга) были объяснены с помощью метода ренормализационной группы в известных работах Фейгенбаума [8,17,18].

В настоящее время весьма популярны исследования динамики связанных автоколебательных систем. Данный класс задач является сложным для изучения по целому ряду причин, таких как наличие большого числа факторов, влияющих на динамику связанных осцилляторов, проблематичность и зачастую невозможность проведения аналитического исследования, сложность и длительность необходимого численного анализа, проводимого при помощи компьютера.

В данной работе акцент сделан на изучении неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода. Будут рассмотрены в этом контексте связанные системы Ван дер Поля, Ван дер Поля - Дуффинга, Ресслера, так называемые системы Спротта [6,19,20] и некоторые другие.

Неидентичность взаимодействующих систем может быть введена по-разному. Этому отвечает и разная методология исследования. Так для связанных систем Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно выбрать равными друг другу параметры, ответственные за бифуркацию Андронова-Хопфа. Неидентичность будет состоять в наличии частотной расстройки автономных систем. В этом случае основные «атрибуты» явления синхронизации - языки Арнольда, встроенные в области квазипериодической динамики - выявляются на плоскости параметров (частотная расстройка -величина связи). Такая плоскость параметров аналогична плоскости (частота - амплитуда воздействия) для осциллятора, возбуждаемого гармоническим сигналом. Существенное отличие от этого случая для связанных осцилляторов - возможность эффекта «гибели колебаний», который состоит в исчезновении автоколебаний при достаточно большом диссипативном воздействии связи.

Система двух связанных осцилляторов Ван дер Поля в рамках такого подхода изучалась, например, Д.Г. Аронсоном с соавторами [21], А. Пиковским [22], Д.С. Коэном и Дж. С. Нэу [23,24] для случая диссипативной связи между осцилляторами, а также Н. Минорски [25], P. X. Рандом, совместно с П. Дж. Холмсом и Т. Чакраборти [26-28] для случая слабой инерционной и Р.Х. Рандом и Д.В. Сторти [29] - для сильной инерционной связи. Подобный подход использован также в работах Т. Павлидиса [30], М. Полиященко [31,32] и Д.С. Коена, Дж. С. Неу [23,24] при моделировании биологических и химических процессов с использованием системы связанных осцилляторов Ван дер Поля и др. Интерес к такой задаче не ослабевает, поскольку обнаруживаются все новые ее аспекты и новые колебательные эффекты. В этом плане можно указать, например, недавнюю обобщающую работу [33], в которой выполнено объемное исследование в рамках квазигармонического приближения, включая возможность комбинированной связи. В этой работе также обращено внимание на важность ситуации, когда взаимодействующие осцилляторы характеризуются разными по величине параметрами, управляющими бифуркациями Андронова-Хопфа в подсистемах.

В тоже время ряд вопросов до настоящего времени не нашел достаточно полного освещения. Некоторые из них требуют дополнительных, более детальных исследований. Среди них можно указать следующие. Как устроено пространство параметров дифференциальной системы связанных осцилляторов Ван дер Поля, когда квазигармоническое приближение не справедливо? Как влияет на динамику системы в этом случае нелинейность, введенная по типу осциллятора Дуффинга? Какие режимы может инициировать в допороговых осцилляторах Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга «активная» связь» (связь через отрицательное сопротивление)?

Кроме того, можно взглянуть на задачу о динамке неидентичных связанных систем Ван дер Поля с другой точки зрения. Действительно, в каждой из подсистем имеется параметр, управляющий бифуркацией Андронова-Хопфа. Если независимо регулировать два этих параметра, то мы приходим к задаче об устройстве соответствующей плоскости параметров связанной системы. При этом величина связи и расстройка собственных частот осцилляторов будут фиксированы. Являются интересными вопросы: как выглядят языки синхронизации и области квазипериодических режимов на этой плоскости параметров, и как они могут изменять свою форму при вариации величины связи и частотной расстройки? Такой подход к анализу динамики систем связанных осцилляторов также будет использован в настоящей работе.

В третьей и четвертой главах работы исследуется ряд различных связанных систем с удвоениями периода. Существует множество публикаций, посвященных различным аспектам динамики подобных систем. Так изучаются вопросы влияния величины связи на динамику в связанных симметричных системах с удвоениями периода [34-36], обсуждается наличие мультистабильности [36-41], картина бифуркаций [43-47], возможность регулярной и хаотической синхронизации [48-62], критического поведения (сценариев перехода к хаосу) [63-69] и др. При рассмотрении связанных потоковых систем с удвоениями периода необходимо учитывать также результаты работ, посвященных связанным отображениям, например, [34,35, 37,38, 43,45,51,60, 67,68,70,71 и др.].

В настоящей работе основной акцент ставится на особенностях динамики при существенно различных параметрах подсистем, отвечающих за бифуркации удвоения периода в подсистемах. При такой интерпретации в центре внимания оказывается устройство плоскости параметров, управляющих удвоениями в подсистемах. Такой подход1, фактически, продолжает методологию исследования неидентичных по значениям управляющих параметров систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга. В третьей главе устройство плоскости управляющих параметров для связанных неидентичных систем Ресслера будет исследовано с помощью метода карт динамических режимов, метода карт ляпуновских показателей, будет дан бифуркационный анализ и

1 Для связанных отображений с удвоениями периода такой подход применялся также в работе [43], в [72] - для анализа связанных, возбуждаемых гармоническим сигналом осцилляторов Дуффинга, в [44] были получены некоторые предварительные результаты для связанных систем Ресслера. представлены также некоторые примеры критических точек коразмерности два, являющиеся концевыми для фейгенбаумовских линий. Наличие таких точек позволит продемонстрировать самоподобное устройство плоскости управляющих параметров в их окрестности (свойство скейлинга). Будут изучены как взаимно, так и односторонне связанные системы.

Несмотря на «эталонный» характер системы Ресслера и большое количество работ, посвященных динамике связанных систем этого типа (например, [36,39,44,48,50,73-81]) невозможно однозначно утверждать, что результаты, полученные для двух таких неидентичных связанных систем, будут справедливы и для других систем с бифуркациями удвоения периода. Для выявления возможных общих (а также отличающихся) черт, проявляющихся в устройстве плоскости управляющих параметров, в четвертой главе настоящей работы рассмотрены пары множества (более десяти) различных связанных осцилляторов Спротта, автогенераторов Кислова-Дмитриева и Анищенко-Астахова.

Цель работы состоит в исследовании картины динамических режимов и критической динамики неидентичных по управляющим параметрам связанных автоколебательных систем (осцилляторов), демонстрирующих в автономном состоянии бифуркации Андронова-Хопфа и удвоения периода.

Научная новизна работы

1. Проведено подробное численное исследование методом карт динамических режимов устройства пространства параметров систем диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга, включающее анализ устройства областей кратной синхронизации, квазипериодического поведения и сложной хаотической динамики, в том числе при неидентичных управляющих параметрах осцилляторов.

2. Аналитически получены соотношения, описывающие устройство плоскости параметров, отвечающих за бифуркации Андронова-Хопфа, диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга. Выявлены характерные типы устройства этой плоскости в зависимости от величины расстройки собственных частот осцилляторов и константы связи. Для исходной дифференциальной системы выявлено аналогичное устройство плоскости параметров, которое, однако, дополняется своеобразной системой языков синхронизации более высокого порядка.

3. Обнаружена возможность возникновения синхронных и квазипериодических режимов динамики системы двух осцилляторов Ван дер Поля, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, в случае «активной» связи через отрицательное сопротивление.

4. В системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга с неидентичными управляющими параметрами обнаружена возможность «широкополосной» синхронизации, состоящей в наличии бесконечно длинной полосы синхронизации на плоскости амплитуды связи и расстройки собственных частот, с шириной, равной разнице в значениях управляющих параметров. В рамках квазигармонического приближения дана оценка границ области широкополосной синхронизации. Для исходной дифференциальной системы при движении внутри полосы и при увеличении частотной расстройки проекция фазового портрета на плоскость переменных одного из осцилляторов мало меняет свой вид, а второго - демонстрирует последовательное увеличение числа петель у аттрактора.

5. Проведено подробное численное исследование устройства плоскости параметров, изменение которых приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода в несвязанных подсистемах, для связанных осцилляторов Ресслера. Определено и подробно описано устройство областей синхронных и квазипериодических режимов динамики и границ этих областей, месторасположение областей хаотической динамики и мультистабильности. Обнаружено сложное устройство окрестностей точек пересечения линий бифуркаций удвоения периода и касательных бифуркаций. Отмечено, что в устройстве плоскости параметров проявляются черты, характерные как для связанных осцилляторов Ван дер Поля, так и связанных логистических отображений

6. Для связанных осцилляторов Ресслера найдены концевые точки фейгенаумовских критических линий, которые в известном «перечне» критических точек известны как точки типа С. Продемонстрировано свойство самоподобного устройства плоскости параметров в окрестности этих точек.

7. Показано, что пространство управляющих параметров связанных осцилляторов Ресслера с однонаправленной связью характеризуется наличием своего рода «двойной фейгенбаумовской», а также бикритических точек, которые также представляют собой концевые точки фейгенбаумовских линий.

8. Проведен численный анализ устройства плоскости параметров, управляющих появлением бифуркаций удвоения периода в подсистемах, для большого количества систем связанных осцилляторов, в том числе множества пар связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью, предложенных Дж. Спроттом, связанных автогенераторов Анищенко-Астахова и связанных осцилляторов Кислова-Дмитриева. Выделен достаточно емкий класс, к которому относится и система связанных осцилляторов Ресслера, характеризующийся общими чертами устройства плоскости управляющих параметров и модификации этой плоскости при вариации константы связи. На примере ряда связанных осцилляторов Спротта показано существование систем связанных осцилляторов не входящих в упомянутый класс.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

Проведенное численное исследование систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга выявило картину областей кратной синхронизации в пространстве параметров, что может быть полезно при практическом применении этих систем. «Эталонный» характер осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга позволяет ожидать аналогичного поведения в других системах связанных осцилляторов с бифуркацией Андронова-Хопфа. Можно рекомендовать поиск в радиофизическом эксперименте обнаруженных особенностей поведения (широкополосная синхронизация, синхронные и квазипериодические режимы в допороговых осцилляторах с активной связью).

Использованная в настоящей работе «методология» исследования, при которой динамика двух связанных подсистем изучается на плоскости их управляющих параметров, может быть достаточно продуктивной для понимания особенностей поведения различных типов связанных осцилляторов.

Особенности картины динамики системы связанных осцилляторов Ресслера на плоскости их управляющих параметров с большой вероятностью будут характерны для других систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода. К таким особенностям относятся, в том числе, устройство границ области синхронизации и наличие критичности С-типа.

Возникновение в системе однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера «двойной фейгенбаумовской» критической точки и бикритической точки, к которым сходятся терминальные точки, открывает перспективы поиска таких точек в других примерах однонаправлено связанных колебательных систем с удвоениями периода.

Результаты работы использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках курса

Системы со сложной динамикой» и при выполнении курсовых и дипломных работ.

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных расчетов, соответствием результатов, полученных методом карт динамических режимов, карт ляпуновских показателей, построением фазовых портретов и бифуркационных деревьев, а также хорошим совпадением результатов, полученных численными и аналитическими методами, а также приведенными иллюстрациями скейлинга на картах динамических режимов в окрестностях найденных критических точек.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методом карт динамических режимов выявлено устройство плоскости параметров (частотная расстройка - величина связи) диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга, включая ситуации, когда не выполняются условия квазигармонического приближения. Рост параметра нелинейности, введенной по типу осциллятора Дуффинга, приводит к появлению характерных бифуркационных структур «crossroad-area». С ростом управляющего параметра возможно исчезновение одной из областей «гибели» колебаний. Активная связь (связь через отрицательное сопротивление) может инициировать в допороговых осцилляторах квазипериодические и синхронные режимы разной кратности. При наличии неидентичности по управляющему параметру наряду с традиционными языками Арнольда, синхронизация возможна также внутри очень широкой по частотной расстройке полосы, разделяющей области гибели колебаний и квазипериодических режимов.

2. Аналитически в рамках уравнения фазовой динамики выявлено устройство областей синхронизации 1:1 на плоскости управляющих параметров неидентичных подсистем в зависимости от величины расстройки и параметра фазовой нелинейности. Компьютерное исследование подтверждает эти выводы, выявляя также очень тонкие языки синхронизации более высокого порядка. 3. Для неидентичных по управляющему параметру симметрично связанных систем Рёсслера на границах области синхронизации и хаоса характерен тип критического поведения, известный как С тип критичности. Во многом аналогичное устройство демонстрируют связанные генераторы Дмитриева-Кислова и разнообразные версии систем Спротта. В случае односторонне связанных подсистем Рёсслера сосуществуют также «двойная фейгенбаумовская» точка и бикритический тип поведения. В окрестности этих критических точек плоскость параметров связанных систем Рёсслера характеризуется самоподобным устройством.

Структура и объем работы

Работа содержит 177 страниц, из них 113 страниц основного текста, 53 страницы иллюстраций и список литературы из 109 наименований на 11 страницах.

Краткое содержание работы

Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав и заключения.

Выводы

1. Продуктивным подходом к анализу различных типов связанных систем с удвоениями периода может служить численное исследование характерных режимов динамики на плоскости параметров, управляющих бифуркациями в подсистемах.

2. Выделяется ряд дифференциальных систем, демонстрирующих некоторые общие особенности устройства плоскостей параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода в подсистемах: области синхронизации имеют типичное устройство, при движении внутри них наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, область синхронизации при достаточно малых значениях константы связи разделена «островами» квазипериодической динамики. К ним относятся системы связанных осцилляторов Рёсслера, связанных осцилляторов Анищенко-Астахова, связанных генераторов Кислова-Дмитриева, некоторые из систем связанных осцилляторов Спротта.

3. Анализ достаточно большого семейства дифференциальных систем связанных осцилляторов с квадратичными нелинейностями, предложенных Дж. Спроггом, говорит о том, что не все системы оказываются принадлежащими к указанному выше классу. Некоторые из них могут содержать организованные иным образом области синхронных и квазипериодических режимов, а также области «разбегания» траекторий. Для таких систем устройство плоскости параметров может также существенно зависеть от того, по какой переменной осуществляется связь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными задачами в настоящей работе проведено исследование динамики неидентичных по управляющим параметрам систем связанных осцилляторов с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода. В качестве подсистем были рассмотрены классические модели нелинейной динамики (осцилляторы Ван дер Поля, Ван дер Поля - Дуффинга, Ресслера), конкретные радиофизические системы (автогенераторы Анищенко-Астахова и Кислова-Дмитриева), а также ряд сравнительно мало изучаемых систем (осцилляторы Спротта). При этом получены следующие основные результаты и выводы.

1. Метод карт динамических режимов является эффективным инструментом исследования устройства пространств параметров связанных осцилляторов. Он не требует ограничений, накладываемых на величины параметров методами приближенного анализа уравнений, и действует также в тех областях пространства параметров, где несправедливо квазигармоническое приближение. Метод карт динамических режимов выявляет систему языков кратной синхронизации и особенности их внутреннего устройства.

2. В системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля -Дуффинга увеличение параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа, ведет к усложнению устройства языков кратной синхронизации, появлению структур типа «crossroad-area» и возникновению хаотической динамики.

3. Активная связь (отрицательная по величине параметра диссипативная связь) может приводить к возникновению в системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, различных устойчивых синхронных и квазипериодических режимов.

4. Методом анализа укороченных уравнений систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно определить границы области синхронизации типа 1/1 на плоскости управляющих параметров, показать влияние на устройство этой области величин параметров фазовой нелинейности и расстройки собственных частот осцилляторов.

5. Различие значений управляющих параметров связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга приводит к возникновению явления «широкополосной» синхронизации, состоящей в появлении на плоскости параметров связи и расстройки собственных частот бесконечно длинной по оси расстройки полосы синхронизации, в диапазоне ограниченном значениями управляющих параметров. С увеличением расстройки собственных частот внутри этой полосы реализуются синхронные режимы типов 1/3, 1/5 и т.д.

6. Исследование динамики системы симметрично линейно связанных осцилляторов Ресслера показало, что на плоскости параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах, существуют области периодического, квазипериодического и хаотического поведения, которые также частично перекрываются, что приводит к мультистабильности. На этой плоскости помимо сценария перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, наблюдающегося при увеличении какого-либо одного или обоих сразу управляющих параметров, возможен переход к хаосу через разрушение квазипериодического режима колебаний, который реализуется при увеличении управляющих параметров как в случае, когда эти параметры близки друг другу по величине, так и когда они сильно различны.

7. Устройство границ области синхронизации на плоскости управляющих параметров системы двунаправлено связанных осцилляторов Ресслера является достаточно тонким и содержит линии субкритической бифуркации удвоения периода, пересечения линий касательных бифуркаций и области сосуществования двух синхронных режимов динамики. На этих границах имеет место также критическое поведение системы, проявляющееся в наличии критической точки типа С.

8. Система однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера демонстрирует сложную критическую динамику, поскольку на плоскости ее управляющих параметров присутствуют несколько критических точек различных типов.

9. В настоящей работе показано, что существует некоторый общий класс, в который входят системы двунаправлено линейно связанных осцилляторов, обладающие «типичным» устройством плоскости параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах. Продемонстрировано, что к таким системам относятся связанные осцилляторы Ресслера, связанные автогенераторы Анищенко-Астахова и Кислова-Дмитриева, многие из систем связанных осцилляторов Спротта. На примере ряда систем связанных осцилляторов Спротта показано, что имеют место также системы двунаправлено линейно связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода, не входящие в указанный класс.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

2. Van der Pol В. Forced oscillators in a circuit with nonlinear resistance (reception with reactive triode) // Philos. Mag., 1927, Vol.3, P. 64.

3. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Camb. Philos. Soc. (Math. Phys. Sci.), 1922, Vol.21, P.231.

4. Кузнецов А.П., Кузнецов СЛ., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. Изд.2. 2005. Твердый переплет. 292 с.

5. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир. 1969. 400с.

6. Кузнецов СЛ. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296с.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988,240 с.

8. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. // УФН, 1983, Т. 141, №2, сс.343-374.

9. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин КМ. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. //УМН, 1984, т.39, №3, сс.3-37.

10. Rossler О.Е. An equation for continuous chaos. I I Phys. Lett., 1976, V.A57, №5, pp.155-159.

11. Кияшко C.B., Пиковский А. С., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. // Радиотехника и электроника, 1980, Т. 25, № 2, сс.336-343.

12. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью. // Радиотехника и электроника, 1983, т.28, №6, сс.1109-1115.

13. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в автогенераторе с инерционным запаздыванием первого порядка. // Радиотехника и электроника, 1984, т.29, №12, сс.2389-2398.

14. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М., Наука, 1989,280с.

15. Дмитриев А.С., Кислое В.Я., Старков С.О. Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе //ЖТФ. 1985. Т. 55, № 12. сс.2417-2419.

16. Кислое В.Я., Залогин Н.П., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием. // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 6. cc.l 118-1130.

17. Feigenbaum М. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. //J. of Stat. Phys., 1978, v.19, №1, pp.25-52.

18. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations. // J. of Stat. Phys., v.26, №6, pp.669-706.

19. Sprott J.C. Some simple chaotic flows. // Phys. Rev. E. 1994. Vol.50, №2, pp.647-650.

20. Sprott J.C. Simplest dissipative chaotic flow. // Phys. Letters A. 1997. Vol.228, №.4-5, pp.271-274.

21. Aronson D.G., Ermentrout G.B., KopellN. Amplitude response of coupled oscillators //Physica D, 1990, Vol.41, P.403.

22. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю. Синхронизация, фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 508 с.

23. Cohen D.S., Neu J.C. Interacting oscillatory chemical reactors. Ann. N.Y. Acad. Sci. 316, Bifurcation Theory and Applications in the Scientific Disciplines (ed. O. Gurel and O.E. Rossler), 1979, P. 332-337.

24. Neu J.C. Coupled chemical oscillators // SIAM J. appl. Math, 1979, Vol. 37(2), P.307-315.

25. Minorsky N. Nonlinear oscillators. Van Nostrand, 1962.

26. Rand R.H., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1980, Vol. 15, P.387-399.

27. Chakraborty Т., Rand R.H. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1988, Vol. 23 (5/6), P.369-376.

28. Chakraborty T. Bifurcation analysis of two weakly coupled van der Pol oscillators. Doctoral thesis, Cornell University, 1986.

29. Storti D.W., Rand R.H. Dynamics of two strongly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1982, Vol. 17(3), P.143-152.

30. Pavlidis T. Biological oscillators: The Mathematical Analysis. Academic press, 1973.

31. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A, 1991, Vol. 44, P. 3452.

32. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of synchronous -asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators. // Phys. Rev. A, 1991, Vol.43,P.5638.

33. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D, 2004, Vol.189, P.8-30.

34. Hogg Т., Huberman B.A. Generic behaviour of coupled oscillators // Phys. Rev. A. 1984. Vol.29, №1, P.275.

35. Sang-Yoon Kim, Hyungtae Kook. Critical behaviour in coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46, №8, P.4467.

36. Reike C., Mosekilde E. Emergence of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems. // Phys. Rev. E. 1995. Vol.52, P.1418.

37. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol.15. P.695-711.

38. Carvalho R., Fernandez В., Vilela Mendes R. From synchronization to multistability in two coupled quadratic maps // Physics Letters A. 2001. Vol.285. P.327-338.

39. Rasmussen J., Mosekilde E., Reich C. Bifurcations in two coupled Ressler systems // Mathematics and Computers in Simulation, 1996, Vol.40, P.247-270.

40. Астахов B.B., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев ЕЛ. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ, 1988, т. 15, №3, сс.60-64.

41. Astakhov V., ShabuninA., Stalmakhov P. Multistability, in-phase and antiphase synchronization in period-doubling systems. // Izvestiya VUZ: Applied Nonlinear Dynamics, 2002, v. 10, №3, cc.63-79.

42. Бугаевский М.Ю., Пономаренко В.И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. 29 с.

43. Кузнецов А.П., Седова Ю.В., Сатаев И.Р. Устройство пространства управляющих параметров неидентичных связанных систем с удвоениями периода // Изв. Вузов «ПНД», 2004, т. 12, №5.

44. Иванченко М.В., Осипов Г.А., Шалфеев В.Д. Иерархии регулярной и хаотической синхронизации в системе связанных осцилляторов Ресслера // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике / Под. ред. А.В.Якимов. Н.Новгород. 2002. С.114-115.

45. Sang-Yoon Kim, Hyungtae Kook. Period doubling in coupled maps // Phys. Rev. E. 1993. Vol.48, №2. P.785.

46. Pikovsky A., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic oscillators. //J. Phys. A: Math. Gen., 1991, v.24, pp.4587-4597.

47. Kim S.-Y., Lim W. Mechanism for the riddling transition in coupled chaotic systems. //Phys. Rev. E, 2001, v.63, p.026217.

48. Yanchuk S., Maistrenko Yu., Mosekilde E. Loss of synchronization in coupled Rossler systems // Physica D, 2001, Vol. 154, P. 26-42.

49. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд. Саратовского ун-та, 1999.

50. Mosekilde Е., Maistrenko Y, Postnov D. Chaos synchronization. Application to living systems // World Scientific Series on Nonlinear Science. 2002. Series A., Vol.42, pp.440.

51. Meng Zhan, Zhi-gang Zheng, Gang Ни, Xi-hong Peng. Nonlocal chaotic phase synchronization // Phys. Rev. E. 2000. Vol.62, №3. pp.3552.

52. Synchronization: Theory and Application. Edited by A. Pikovsky and Y. Maistrenko. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003,258 p.

53. KunickA., Steeb W.-H. Coupled Chaotic Oscillators. // Journal of Physical Society, 1985, v.54, №4, pp. 1220-1223.

54. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova M.A. Synchronization of chaos. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1992, v.2, №3, pp.633-644.

55. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постное Д.Э., Сафонова M.A. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. // Радиотехника и электроника, 1991, т.36, №2, сс.338-351.

56. Fujisaka Н., Yamada Y. Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory systems. // Progr. Theor. Phys., 1983, v.69, pp.3257. Rul'kov N.F., Volkovskii A.R., Rogriguez-Lozano A., Del Rio E., Velarde

57. M.G. Mutual synchronization of chaotic self-oscillators with dissipative coupling. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1992, v.2, №3, pp.669-676.

58. Hasler M., Maistrenko Y. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps. // IEEE Transaction on Circuits and Systems, 1997, v.44, pp.856-866.

59. Maistrenko Y, Kapitaniak T. Different types of chaos synchronization in two coupled piecewise linear maps. // Phys. Rev. E, 1996, v.54, pp.32853292.

60. Астахов В.В., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Механизмы разрушения хаотической синхронизации в системе связанных кубических отображений. // Изв. вузов: Прикладная нелинейная динамика, 1999, т.7, №2-3, сс.3-11.

61. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. // Изв. вузов: Радиофизика, 1988, т.31, №5, сс.627-630.

62. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. //ЖТФ, 1990, т.60, №10, сс.19-26.

63. Sang-Yoon Kim, Hyungtae Kook. Critical behaviour in coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46, №8, pp.4467.

64. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем при переходе к хаосу. // ДАН СССР, 1986, т.287, №3, сс.619-622.

65. Кузнецов СП. Динамика двух однонаправлено связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ. // Изв. вузов: Радиофизика, 1990, т.33,№7, сс.788-792.

66. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Bicritical dynamics of period-doubling systems with unidirectional coupling. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1991, vol.1, №4, pp.839-848.

67. Kim S.Y. Bicritical behavior of period doublings in unidirectionally coupled maps. // Phys. Rev. E, 1999, vol.59, №6, pp.6585-6592.

68. Kim S.-Y., Lim W. Bicritical scaling behavior in unidirectionally coupled oscillators. // Phys. Rev. E, 2001, vol.63, №3, 036223.

69. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. // Изв. вузов: Радиофизика, 1985, т.28, №8, с.991

70. Jian-Min Yuan, Mingwhei Tung, Da Hsuan Feng, and Lorenzo M. Narducci. Instability and irregular behaviour of coupled logistic equations. //Phys. Rev. A, 1983. Vol.28, №3, P.l662.

71. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional maps. // Phys. Lett. A, 1992, vol.162, №3, p.236-242.

72. Kozlowski J., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation analysis of two periodically driven Duffing oscillators. // Phys. Rev. E, 1995. Vol.51, №3, pp.1861-1867.

73. Jianxin Wu, Qingfei Chen, Yiguang Hong. Striped attractor generation and synchronization analysis for coupled Rossler systems. I I Chaos, Solitons & Fractals. In press.

74. Changpin Li, Jianping Yan. Generalized projective synchronization of chaos: The cascade synchronization approach. // Chaos, Solitons & Fractals, 2006. Vol. 30, Issue 1, pp. 140-146.

75. Tianshou Zhou, Changpin Li. Synchronization in fractional-order differential systems. // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. Vol. 212, Issues 1-2, pp. 111-125.

76. Hramov A.E., Koronovskii A.A. Time scale synchronization of chaotic oscillators. // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. Vol. 206, Issues 34, pp. 252-264.

77. Belykh V.N., Osipov G. V., Kucklander N., Blasius В., Kurths J. Automatic control of phase synchronization in coupled complex oscillators. I I Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. Vol. 200, Issues 1-2, pp. 81-104.

78. Yongguang Yu., Suochun Zhang. The synchronization of linearly bidirectional coupled chaotic systems. // Chaos, Solitons & Fractals, 2004. Vol. 22, Issue l,pp. 189-197.

79. Ming-Chung Ho, Yao-Chen Hung, Chien-Ho Chou. Phase and anti-phase synchronization of two chaotic systems by using active control. // Phys. Lett. A, 2002. Vol. 296, Issue 1, pp. 43-48.

80. Pravitha R., Indie P., Nampoori V. P. N. Dynamical aspects of coupled Rossler systems: effects of noise. // Phys. Lett. A, 2002. Vol. 294, Issue 1, pp. 37-46.

81. Yanchuk S. and Kapitaniak T. Chaos-hyperchaos transition in coupled Rossler systems. //Phys. Lett. A, 2001. Vol. 290, Issues 3-4, pp.139-144.

82. Herrero M., Figueras M., Rius J., Pi F., Orriols G. Experimental Observation of the amplitude Death effect in two coupled nonlinear oscillators. //Phys. Rev. Lett., 2000. Vol. 84, pp.5312.

83. Bar-Eli K. On the stability of coupled chemical oscillators. // Physica D, 1985. Vol.14, pp.242-252.

84. Bar-Eli K. Coupling of chemical oscillators. // J. Phys. Chem., 1984. Vol. 88, pp. 3616-3622.

85. Ван Д., JIu Ч, Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005, 415 с.

86. Pastor I., Perez-Garcia V.M., Encinas-Sanz F., Guerra J.M. Ordered and chaotic behavior of two coupled Van-der-Pole oscillators. // Phys. Rev. E., 1993. Vol. 48, P. 171.

87. Кузнецов А.П. Наглядные образы хаоса // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6, №11, сс. 104-110.

88. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990, 312 с.

89. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984, 528 с.

90. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991, 368 с.

91. Тюрюкина Л.В. Кандидатская диссертация.

92. Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б. Нелинейные колебания у порога хаоса в системе однонаправленно связанных нелинейных осцилляторов. // Изв. ВУЗов: Радиофизика, 1992. Т.35, № 1, сс.39-43.

93. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Multi-parameter criticality in Chua's circuit at period-doubling transition to chaos. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1996, vol.6, №1, p.l 19-148.

94. Седова Ю.В. Кандидатская диссертация.

95. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

96. Кузнецов АЛ., Паксютов В.И. О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга с диссипативной связью. // Изв. вузов «ПНД», т.11,№6,2003, С. 48-64.

97. Кузнецов АЛ., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга // Изв. вузов «ПНД», т.13, №4, 2005, С.3-19.

98. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода на примере осцилляторов Ресслера. // Изв. вузов «ПНД», т. 14, 2006, №2, С.3-15.

99. Кузнецов АЛ., Паксютов В.И. Устройство плоскостей управляющих параметров неидентичных связанных автоколебательных систем. // Письма ЖТФ, 32, 2006, вып.7, С.54-60.

100. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля, неидентичных по управляющему параметру. // Письма в ЖТФ, 33, 2007, вып. 15, С. 15-21.

101. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика систем связанных осцилляторов Спротта с неидентичными управляющими параметрами. // Изв. вузов «ПНД», №3, 2007, С.95-106.

102. Кузнецов А.П., Паксютов В.И, Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля Дуффинга. Широкополосная синхронизация. // Изв. вузов «ПНД», №4, 2007, С.3-15.

103. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности динамика двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга. // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003.

104. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности динамики связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга. // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004.

105. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Об особенностях динамики системы связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга. // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур". Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004.

106. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Сложная динамика связанных систем Ван дер Поля. // Нелинейные волны 2004: XII научная школа / Тезисы докладов. Нижний Новгород. 2004.

107. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Сложная динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем. // Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конференция / Труды. Нижний Новгород. 2005.

108. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Синхронизация в неидентичных по управляющему параметру автоколебательных системах. // Нелинейные дни в Саратове для молодых 2006: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006.

109. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода. // Нелинейные волны 2006: XIII научная школа / Тезисы докладов. Нижний Новгород. 2006.1. БЛАГОДАРНОСТИ

110. Также хотелось бы поблагодарить всех сотрудников базовой кафедры динамических систем СГУ и лаборатории СФ-7 Саратовского филиала ИРЭ РАН за оказанные внимание, помощь и поддержку.