Некоторые вопросы многомерной теории нелокальных бифуркаций на бутылке Клейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 747

Борисюк Антон Романович

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МНОГОМЕРНОЙ ТЕОРИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ НА БУТЫЛКЕ КЛЕЙНА

Специальность 01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических няук

ООа ю --

К' У

Москва — 2007

003161982

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета

Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич

Официальные оппоненты: член-корр РАН,

профессор Трещев Дмитрий Валерьевич,

доктор физико-математических наук,

профессор Гринес Вячеслав Зигмундович

Ведущая организация: Институт Математических Проблем Биологии РАН,

(г. Пущино)

Защита диссертации состоится « 18 »_мая_2007 г В 16 часов 15 минут на

заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете им М.В Ломоносова по адресу. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. M В Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « 18 » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров

Наиболее полно изучены так называемые локальные бифуркации, когда топологические перестройки фазового портрета происходят в малой окрестности особой точки или предельного цикла. Современный этап теории локальных бифуркаций связан с работами В И Арнольда и его учеников. Теория нелокальных бифуркаций является более сложной и менее изученной, поскольку при изучении нелокальных бифуркаций необходимо рассматривать перестройки фазового портрета динамической системы в значительной области фазового пространства. Основны теории нелокальных бифуркаций заложены Л П Шильниковым и его щколой и представлены в монографии- Ильяшенко Ю С., Ли Вейгу (1999) Нелокальные бифуркации, Москва, МЦНМО ЧЕРО

В работе изучаются нелокальные бифуркации седло-узлового цикла, гомоклинические траектории которого заполняют поверхность, диффеоморфную бутылке Клейна. Полученные результаты дают полное описание бифуркационного сценария вблизи критического значения параметра. Этот сценарий включает возникновение предельного цикла у которого длина и период неограниченно возрастают при приближении к критическому значению (бифуркация "катастрофа голубого неба"). В целом, описанный сценарий представляет большой интерес для математического моделирования

Цель работы

Диссертационная работа посвящена изучению глобальных бифуркаций седло-узлового предельного цикла, гомоклинические траектории которого, вместе с самим циклом, образуют бутылку Клейна Этот фазовый портрет соответствует критическому значению параметра в типичном однопараметрическом семействе При бифуркации инвариантная поверхность, диффеоморфная бутылке Клейна, сохраняется Докритаческим значениям параметра соответствует система с двумя

гиперболическими циклами на бутылке Клейна, которые при стремлении параметра к критическому значению сливаются и образуют седлоузловой цикл При переходе параметра в закритическую область седлоузловой цикл исчезает и возникникает глобальное отображение Пуанкаре. Мы исследуем бифуркации в закритичесхой области

Исследование основано на описании глобального отображения Пуанкаре, которое позволяет свести задачу к изучению семейства диффеоморфизмов, меняющих ориентацию окружности

/я х-+-х + а + Иа(х) (1)

Здесь х - точка окружности, а - параметр семейства Цель работы состоит в том, чтобы построить полный бифуркационный сценарий глобальных бифуркаций вблизи критического значения параметра.

Научная новизна

Впервые получено полное описание бифуркационного сценария нелокальных бифуркаций гомоклинических орбит седлоузлового цикла на бутылке Клейна

При любом значении параметра семейства диффеоморфизмов существуют два предельных цикла на бутылке Клейна, которые мы назовем основными В работе показано, что при изменении параметра могут происходить бифуркации следующих четырех типов.

• Первый тип один из основных циклов меняет устойчивость и при этом

рождается предельный цикл удвоенного периода

• Второй тип возникникает пара предельных циклов удвоенного периода

(устойчивый и неустойчивый)

• Третий тип пара циклов удвоенного периода сливается и исчезает

• Четвертый тип основной цикл сливается с циклом удвоенного периода, при

этом меняется устойчивость основного цикла

В работе показано как для заданной функции К(х) построить соответствующий бифуркационный сценарий По заданной функции К(х) строится специальное разбиение отрезка на подотрезки {щ} и на каждом из них определяется

несколько морсовских функций окружности, так называемых "функций циклов"

Значения параметра а, равные какому-нибудь критическому значению одной из функций циклов, и только они, являются бифуркационными Показано, что каждый бифуркационный сценарий однозначно определяется специальной подстановкой, которая строится по множеству критических значений функции циклов

Кроме того, доказана теорема о реализации, утверждающая, для предписанной последовательности бифуркаций существует функция , для которой эта последовательность бифуркациий реализуется в семействе (1) При доказательстве теоремы используется конструкция специального графа, характеризующего разбиение Тем самым в диссертационной работе охарактеризованы все

возможные бифуркационные сценарии, которые могут реализоваться при произвольно заданной функции

Исследование нелокальных бифуркаций проводится в два этапа Сначала рассматривается унимодальная функция К(х), и для этого случая изучаются задачи о бифуркационных сценариях Эти результаты изложены в главе 3 диссертации В главе 4 рассматривается общий случай, когда функция Ьа(х) имеет произвольное количество максимумов и аналогичные задачи решаются для произвольной функции

Основные методы исследования

В работе используются методы теории динамических систем (гиперболическая теория, нормальные формы, глобальное отображение Пуанкаре) и нелокальных бифуркаций Для классификации бифуркационных сценариев использованы методы комбинаторики (ир<1от1 подстановки, определенные В.И Арнольдом)

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Ее методы и результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании теории нелокальных бифуркаций

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, август 2000)

• Шведско-Российской конференции "Комбинаторика, Динамика, Вероятность" (Стокгольм, октябрь 2000)

• Международной конференции "Прогресс в нелинейных науках", посвященной 100-летию со дня рождения А А Андронова (Нижний Новгород, июль 2001)

• Неоднократно на заседаниях научного семинара по динамическим системам (руководители проф Ю С.Ильяшенко, А С Городецкий) и заседании кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им М.В Ломоносова (1999,2003,2005)

• Заседании семинара по динамическим системам Корнельского университета (США) под руководством проф Дж.Гугенхеймера (John Guckenheimer)

Публикации

По результатам диссертации опубликованы две статьи в математических журналах и тезисы двух докладов, представленных на международных конференциях, см [1-4]

Объём и структура диссертации

Работа изложена на 79 страницах и содержит 12 рисунков Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 24 наименования.

Основное содержание работы

Глава 1 Гомоклиническая бутылка Клейна

Нелокальные бифуркации, изучаемые в данной диссертации, встречаются в типичных однопараметрических семействах, пересекающих границу множества систем Морса-Смейла. В первой главе описано множество систем Морса-Смейла и приведены их основные свойства Кроме того, приведена формулировка и схема доказательства теоремы о сохранении гомоклинической бутылки Клейна

Глава 2 Глобальное отображение Пуанкаре

В этой главе излагаются сведения гиперболической теории, необходимые для дальнейшего исследования Одним из основных инструментов исследования является глобальное отображение Пуанкаре, позволяющее свести задачу к изучению бифуркаций одномерного семейства отображений окружности, меняющих ориентацию В параграфе 3 этой главы приведена конструкция глобального отображения Пуанкаре для семейства векторных полей на бутылке Клейна. В заключение главы приведены известные результаты по теме исследования данной диссертации

Глава 3 Бифуркационный сценарий для случая унимодальной функции отображения Пуанкаре

Третья глава посвящена построению бифуркационного сценария в случае, когда отображение Пуанкаре задается унимодальной функцией Также проведена классификация бифуркационных сценариев, показывающая, какие из них могут быть реализованы в унимодальном случае

Рассмотрим частный случай отображения (1), когда семейство функций Ла(х) не зависит от параметра а

/„ х-+-х + а + к(х), А'<1 (2)

В этой главе сначала решена задача для семейства (2), а затем показано, что результаты остаются верными и в случае семейства (1).

Для описания бифуркационного сценария надо задать все пары точек (*>«), где * - точка 2-цикла семейства /а х->-х + а + И(х) при значении параметра а Как будет показано ниже, эти точки (и только они) принадлежат графику функции циклов а = р(х) = х+'(*) - Кх) функция г задается следующим определением

Определение. Зависимость Кх) называется инволющеи отрезка порожденной унимодальной функцией если 1 задается равенством

Замечание. Определение корректно, то есть - функция,

Предположение типичности функции А: Функция циклов Р - морсовская на интервале (-<5,<5> + х1)1 где Х^-точка максимума функции А, 8>0- достаточно малая величина

По определению, Р0(ХУ) — р(х) Следовательно, неподвижные точки инволюции 1 (они же критические точки функции А ) являются критическими точками функции циклов Критические точки функции циклов разбиваются на пары (**>'(**)), соответствующие одинаковым критическим значениям Исключение составляют критические точки, совпадающие с неподвижными точками отображения /а, то есть критические точки функции А

Теорема. (Теорема 6 в тексте диссертации) В семействе /а(х) = ~х + а + /г(х) с унимодальной функцией А, удовлетворяющем требованиям типичности, происходят следующие бифуркации

1) При прохождении параметра а через локальный минимум функции циклов Р, не соответствующий критической точке функции Л, происходит рождение двух периодических орбит периода 2 одна устойчивая, другая неустойчивая (рождение и расщепление седлоузловой периодической орбиты)

2) При прохождении параметра а через локальный максимум функции циклов Р, не соответствующий критической точке функции Л, исчезают две периодические орбиты периода 2 одна устойчивая, другая неустойчивая

3) При прохождении параметра через локальный минимум функции циклов, соответствующий критическому значению функции Ь, происходит бифуркация удвоения периода неподвижная точка отображения /а теряет устойчивость, при этом рождается устойчивая периодическая орбита периода 2

4) При прохождении параметра через локальный максимум функции циклов, соответствующий критическому значению функции Л, происходит бифуркация, обратная к бифуркации удвоения периода неподвижная точка отображения /а становится устойчивой, при этом исчезает устойчивая периодическая орбита периода 2

Результаты классификации бифуркационных сценариев в случае унимодальной функции сформулированы в следующих ниже двух теоремах

Предложение. Поворотом окружности на угол и линейной заменой параметра а семейство диффеоморфизмов окружности (2) с унимодальной функцией h можно преобразовать в семейство аналогичного вида, в котором функция h имеет минимум в точке 0, причем М°) = ° Л(0) = Л'(0) = 0<й"(0). (З)

Без ограничения общности можно считать, что точка максимума функции h (обозначим ее не больше п, так как иначе мы можем сменить ориентацию окружности

Лемма. Пусть Р(х) функция циклов семейства fa(x), xi - точка максимума функции h , причем Тогда Р(х) удовлетворяет следующим условиям (*)

1) Р(0) = 2яг, x, < р(х,) <2х1) 2) р\0) = р\хi) = 0, р'(х) <1 прих& (0,х,),

3) Пусть = { ^^IT' Х6"Л~ =' ^Р'~^^' Тогда

А_< 2я- х,

Теорема. (Теорема 7 в тексте диссертации) Любая функция р(х), хе[0,.х,], удовлетворяющая (*) на отрезке [0>*(], продолжается на [0,2л-] как функция циклов некоторого семейства fa

Определение. Пусть f - морсовская функция, х' <х2 <...<х" критические точки этой функции Упорядочим критические значения /(jг1), ,f(x") по возрастанию У\ < <У„ Подстановку ап назовем характеристической подстановкой морсовской функции f, если &„(') - J'> У ¡ — /(*')

Определение (В И Арнольд) Updown подстановка - это подстановка, у которой каждый элемент либо меньше двух соседних, либо больше двух соседних

Теорема. (Теорема 8 в тексте диссертации) А Рассмотрим два семейства диффеоморфизмов окружности вида (2) Бифуркационные сценарии данных семейств эквивалентны тогда и только тогда, когда характеристические подстановки функций циклов этих семейств совпадают Б Любая updown

подстановка реализуется как характеристическая подстановка функции циклов для некоторого семейства (2) с унимодальной функцией Ь

Случай добавочной функции, зависящей от параметра

В тексте диссертации (Глава 3, Теорема 10) доказано, что если рассматривать семейство диффеоморфизмов /а х -х + а + Иа(х), И.'а (х) < 1 и семейство /а 'х ~х + а + к(х), Н(х) < 1, с функцией Л, предельной для семейства функций при я—то бифуркационные сценарии этих семейств одинаковы, то есть последовательности бифуркаций совпадают при возрастании параметра а от хх(а) + 2лк до х\{а) + 2л{к + 1) при больших к, где х1(а) - точка максимума функции К(х)

Глава 4 Бифуркационный сценарий для общего случая

В этой главе приводятся теоремы и их доказательства, представляющие основные результаты исследования бифуркаций в общем случае Рассматривается случай общего семейства меняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности (глобальное отображение Пуанкаре) Результаты предыдущей главы, полученные для унимодальной функции в отображении Пуанкаре, переносятся на случай произвольной функции, для которой получено полное описание бифуркационного сценария

Как и прежде, рассматривается глобальное отображение Пуанкаре, преобразованное к виду /а ■ х -> — * + а + На (*),

(4)

где х 6 51, а семейство функций К сходится к некоторой функции К при а 00 в норме пространства С3 Отображение (4) - диффеоморфизм если и только если АД*)<1 (5)

Поставленная задача сначала будет решена для частного случая глобального

отображения Пуанкаре, когда Ьа=Н

/ах-+-х + а + И(х), (6)

а затем показано, что результаты остаются верными и в случае семейства (4)

Сформулируем требования общности положения на рассматриваемые функции

К

1. При любом фиксированном значении параметра а, функция К 2я~ периодическая

2 При любом фиксированном значении параметра а, функция К морсовская с п +1 экстремумом на своем периоде [0,2л-) ) где п - нечетное число

Покажем, что семейство функций К может быть нормировано Далее все рассуждения проводятся для нормированного семейства

Предложение. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов окружности (4) с функциями Аз, стремящимися к функции А по норме пространства С3 при а —> оо Тогда поворотом окружности на угол стремящийся к пределу при

а с0, и заменой параметра а семейство (4) можно преобразовать в семейство аналогичного вида с функциями К, удовлетворяющими следующим условиям. ЛДО) = Иа(2л) = 0, На (0) = На(2/г) = 0, Иа(х) > 0 при х е (0,2*)

Для того, чтобы сформулировать последние два требования, введем ряд определений

Определение. Рассмотрим функцию Л, удовлетворяющую условию (5), требованиям типичности 1 - 2 и условиям нормировки Определим разбиение отрезка

[0,2*1 порожденное функцией А, так, что точки разбиения являются прообразами критических значений функции А

Данное определение проиллюстрировано на рисунке 1. Изображенная там функция А будет использована ниже для иллюстрации основных утверждений.

Предложение. Число отрезков разбиения порожденного нормированной

функцией Л с п экстремумами на интервале (п-нечетно), может

принимать любое значение из множества

Л(и) = {3и-1 + 4*|* = 0,1,

Определение. Два отрезка разбиения £2 называются эквивалентными, если их Ь -образы совпадают

Это определение задает отношение эквивалентности, и, следовательно, разбивает множество отрезков разбиения П на классы эквивалентности

Определение. Базисным отрезком в классе эквивалентности отрезков разбиения назовем левый (с наименьшими координатами концов) отрезок данного класса

Определение. Любым двум эквивалентным отрезкам разбиения °>к и поставим в соответствие функции и 1 ¡к по следующему правшу 'у C0J

так, что К*)-К11д(хУ), функция 'у* строится аналогично на отрезке 0)] Функции 1>д для всех возможных номеров ] назовем инволютивными функциями

Определение мотивировано тем, что сок——^—>а>к, причём Определение. Функции

принадлежащие набору {а = рц(х) = х +(х) - И(х), хесок} называются функциями циклов семейства (6)

Теперь мы можем сформулировать условия типичности, которые накладываются на функцию h, задающую семейство (6) (в дополнение к сформулированным выше предположениям 1-2, предполагаемым выполненными)

3 Функция циклов Pkjix)'x&cok, для любых к и J является морсовской

4 Любые две функции циклов Рк,к2 > Рк3к, (за исключением случая, когда К = к4, к2 = А:3) не имеют одинаковых критических значений

Бифуркационный сценарий

Для описания полного бифуркационного сценария надо задать все пары точек (х>а), где * - точка 2-цикла семейства fa x-*-x + a + h(x) при значении параметра а Мы предполагаем, что функция h нормированная и удовлетворяет требованиям типичности 1-4.

Предложение. Рассмотрим семейство (б) и разбиение отрезка [0,2я']1 порожденное функцией h Пусть 0^}- набор инволютивных функций, где номера пробегают номера всех пар эквивалентных отрезков Рассмотрим набор функций {а = А,М = * + '*,(*)-/»(*). хесок} Множество точек (*>«), принадлежащих графикам функций набора

{Pkj), совпадает с множеством пар

(х'а), где х - точка 2-цикла семейства fa

Теорема. (Теорема 10 в тексте диссертации) В семействе (6) с функцией h, удовлетворяющей требованиям типичности, с возрастанием параметра а происходят следующие бифуркации (Рис 2)

1) При прохождении параметра через локальный минимум (максимум) одной из функций циклов набора Pig, не соответствующий критическому значению функции h; происходит рождение (исчезновение) двух периодических орбит периода 2 одной устойчивой и одной неустойчивой.

2) При значениях параметра равных ~h(.xj), где х} - точка локального экстремума функции h, происходит бифуркация удвоения периода (при прохождении параметра через локальный минимум одной из функций циклов) или обратная к бифуркации удвоения периода (при прохождении через локальный максимум)

Пояснения к рисунку 2

Ось абсцисс разделена на отрезки разбиения Ф, как это было показано ранее на рисунке 1 На каждом отрезке разбиения определены функции циклов Опишем картину при фиксированных значениях параметра а

1 Значение параметра я="аО" (см рис 2) Как сказано выше, система имеет ровно две неподвижные точки при каждом значении параметра. Линия а ="«0" пересекает линии, соответствующие линиям неподвижных точек, и не пересекает функции циклов, а следовательно, система не имеет циклов периода два при этом значении параметра.

2 а~'а1"щ,И этом значении параметра левая неподвижная точка меняет устойчивость и рождается цикл периода два (Случай 2 в Теореме).

3 Значение параметра а="я 2 "Неподвижная точка меняет свою устойчивость, сливаясь с циклом периода два.

4 а-"а3"Это значение параметра является бифуркационным, те происходит рождение двух циклов периода два (Случай 1 в Теореме).

5 Значение параметра а="я4"Неподвижная точка меняет свою устойчивость, сливаясь с циклом периода два

6 а 5"При этом значении параметра левая неподвижная точка меняет устойчивость и рождается цикл периода два (Случай 2 в Теореме)

7 Значение параметра а-"а 6"Устойчивый и неустойчивый циклы периода два сливаются и исчезают

Предложение. Зафиксируем отрезок разбиения Щ■ Пусть Рих-> >Рп„ функции циклов, определенные на Щ Тогда W " Д™ < 2тг

Реализуемость бифуркационных сценариев

Из предыдущей теоремы следует, что бифуркационный сценарий полностью задается набором функций циклов {Ptg) Покажем, что для того, чтобы задать набор {['kj}, достаточно задать функции циклов на базисных отрезках

Определение. Характеристический граф - ориентированный граф на нумерованных вершинах, удовлетворяющий следующим свойствам

Существует нормированная функция h, удовлетворяющая условиям типичности, и соответствующее ей разбиение П, такие, что можно установить взаимно однозначное соответствие между вершинами графа и отрезками разбиения П, каждая вершина, соответствующая базисному отрезку (такие вершины будем называть базисными), соединена направленными ребрами со всеми вершинами, которые соответствуют отрезкам того же класса эквивалентности

Определение. Ориентированный граф на нумерованных вершинах называется квазихарактеристическим порядка п, если он удовлетворяет следующим условиям Вершины бывают двух типов

• из вершины выходит нечетное число ребер в вершины со старшими номерами,

• в вершину входит ровно одно ребро

Количество вершин первого типа (они называются базисными) равно п, а общее число вершин принадлежит множеству (см выше Предложение о числе

отрезков разбиения порожденного функцией к с п экстремумами)

Заметим, что характеристический граф функции А является квазихарактеристическим порядка п, где п - число экстремумов нормированной функции А на интервале

(0,2*)

Предложение. Пусть задан характеристический граф функции А, удовлетворяющей требованиям типичности Тогда ирЫомт подстановка функции А однозначно восстанавливается по графу

Теорема. (Теорема 11 в тексте диссертации) Существует алгоритм, который определяет, является ли квазихарактеристический граф характеристическим Характеристический граф функции А однозначно задаёт нумерацию функций циклов семейства (6), порожденных данной функцией А и определённых на базисных отрезках. А именно, ребру графа, соединяющему вершины к и }, соответствует функция циклов Л, на базисном отрезке Следующее

предложение описывает свойства функций циклов Ръ на базисных отрезках.

Предложение. Рассмотрим базисный отрезок ак и функции циклов Рщ Рмт, определенные на этом отрезке Функции циклов Рщ удовлетворяют следующим условиям

1 Пусть — - - класс эквивалентных отрезков, тогда для любого хеФк р^х)^ Рккг{х)< <рая(х),

причем равенство может быть только в

граничных точках отрезка

2 Если J = kl,k3, ,кт, то для любого х<=°->к выполнено Если } - ,кт-1, то для любого х ей} к выполнено

3 Если ] — к2,к4.....то для любого х е <ок

Ри'(х)> щах Рц'(х) п

4 Существуют такие числа ак>®<ак <хк, что в граничных точках базисного отрезка выполнены следующие равенства

At, (**-i )-•**, =Pkk2(Xk-i)-Xk}-i = = -1 =

= Pkk„ Oim )-**„ = xk-i ~ ak_, fS;

= Pkk2(xk)~xk2 = = Pkkm_Sxk)~xk„A = = Pkkm (xk) - ■**„,-! = xk-ak (9)

Следующая теорема о реализации показывает, что любой набор функций, удовлетворяющий условиям Предложения, реализуется как набор функций циклов для некоторого h

Теорема. (Теорема 12 в тексте диссертации) Зафиксируем характеристический граф Рассмотрим произвольное разбиение отрезка такое, что количество

отрезков разбиения равно числу вершин графа Пусть отрезок разбиения соответствует базисной вершине На Щ заданы функции Рщ, где J пробегает номера всех вершин графа, в которые ведут ребра из к-ой вершины Пусть, кроме того, функции Pig удовлетворяют ограничениям, наложенным на функции циклов (см предыдущее Предложение) Тогда существует морсовская функция h, удовлетворяющая требованиям типичности, такая, что набор функций циклов соответствующего семейства (б) совпадает с заданным набором функций Pkj

Теперь остается заметить, что последние две теоремы решают проблему реализации бифуркационных сценариев в семействах вида (6)

Обобщение результатов на случай добавочной функции, зависящей от параметра

Для рассмотрения случая добавочной функции К, зависящей от параметра, в тексте диссертации вводится понятие эквивалентности бифуркационных сценариев для семейств вида (6) Далее показано, что разбиение определено таким образом, что на двух фиксированных эквивалентных отрезках разбиения задача описания циклов периода два сводится к унимодальному случаю Итоговой является Теорема 13

Теорема. (Теорема 13 в тексте диссертации) Рассмотрим семейство диффеоморфизмов /„ х —>-x + a + ha{x), где семейство функций К сходится к функции h по норме С3 при а 00, и семейство fa х -> -х + а + h{x) Тогда при значениях параметра а 62к(т +1)] семейство fa, начиная с некоторого достаточно большого т, имеет бифуркационный сценарий, эквивалентный бифуркационному сценарию семейства fa при а

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю доктору физ -мат наук, профессору Ю С Ильяшенко за постановку задачи, ценные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Борисюк А Р Глобальные бифуркации на бутылке Клейна Унимодальный случай Математические заметки, 2002, 71, 3, 348-363

[2] Борисюк А Р Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай. Математический сборник, 2005,196,465-483

[3] Borisyuk А Global bifurcations on the Klein bottle Unimodal case Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Тезисы докладов Суздаль 2000 18-21

[4] Bonsyuk A Bifurcation scenario on the homoclinic Klein bottle. International conference dedicated to the 100 anniversary of A A Andronov Nizhniy Novgorod 2001 31-32

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать /<$, О )

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л / &

Тираж 100 экз Заказ г/

Введение

1 Гомоклиническая бутылка Клейна

1.1 Граница множества Морса-Смейла.

1.2 Катастрофа голубого неба.

1.3 Сохранение некритических гомоклинических бутылок Клейна

1.3.1 Теорема Феничеля.

1.3.2 Теорема о сохранении.

2 Глобальное отображение Пуанкаре

2.1 Основные определения.

2.2 Предположения типичности.

2.3 Глобальное отображение Пуанкаре.

2.4 Результаты, полученные ранее.

3 Бифуркационный сценарий для случая унимодальной функции отображения Пуанкаре

3.1 Функция циклов и бифуркационный сценарий.

3.1.1 Реализация функции циклов.

3.1.2 Классификация бифуркационных сценариев.

3.1.3 Функция h, зависящая от параметра.

3.2 Бифуркационный сценарий в унимодальном случае.

3.2.1 Нормировка функции ha

3.2.2 Неподвижные точки.

3.2.3 Периодические траектории.

3.2.4 Свойства функции циклов.

3.2.5 Классификация бифуркационных сценариев и функций циклов.

3.2.6 Случай добавочной функции, зависящей от параметра

4 Бифуркационный сценарий для общего случая

4.1 Описание бифуркаций гомоклинической бутылки Клейна

4.1.1 Основные предположения.

4.1.2 Бифуркационный сценарий.

4.1.3 Реализация бифуркационных сценариев.

4.1.4 Эквивалентность бифуркационных сценариев.

4.2 Доказательство основных результатов.

4.2.1 Неподвижные точки.

4.2.2 Периодические траектории.

4.2.3 Восстановление updown подстановки по её характеристическому графу.

4.2.4 Распознавание характеристических графов.

4.2.5 Свойства функций циклов.

4.2.6 Теорема о реализации.

4.3 Случай добавочной функции, зависящей от параметра

Предположим, что изучается динамическая система х' = f(x, а), где х это n-мерный вектор, / — гладкая вектор-функция, определяющая векторное поле, а — вектор параметров. Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном плавном изменении параметров. Так при потере устойчивости особой точки может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом — сложный аттрактор (хаотическая динамика). Такого рода изменения называются бифуркациями. Например, бифуркация Андронова-Хопфа означает, что особая точка меняет устойчивость таким образом, что пара собственных значений пересекает мнимую ось, и, кроме того, в малой окрестности особой точки возникает предельный цикл. Таким образом, знание бифуркации особой точки помогает находить колебательные режимы, возникающие в системе при изменении параметров.

Наиболее полно изучены так называемые локальные бифуркации, когда топологические перестройки фазового портрета происходят в малой окрестности особой точки или предельного цикла. В книге [3] приведён обзор результатов теории локальных бифуркаций.

Теория нелокальных бифуркаций является более сложным и менее изученым предметом, поскольку при изучении нелокальных бифуркаций необходимо рассматривать строение и перестройку фазового портрета динамической системы в значительной области фазового пространства. Основные результаты теории нелокальных бифуркаций собраны в монографии [2].

Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных бифуркаций седло-узлового цикла в случае, когда гомоклинические траектории заполняют поверхность бутылки Клейна. Полученые результаты не только дают полное математическое описание бифуркационного сценария нелокальных бифуркаций вблизи критического значения параметра, но и имеют важное прикладное значение, поскольку полученный сценарий описывает возникновение предельного цикла, у которого как длина, так и период неограничено возрастают при приближении к критическому значению (бифуркация "катастрофа голубого неба").

Методы теории бифуркаций широко применяются для изучения математических моделей различных процессов и систем. Как правило, такие модели, содержащие небольшое число ключевых переменных (две-пять), определяющих основные механизмы динамической модели, дают качественное описание явления. Эти модели являются нелинейными и включают параметры. Для исследования моделей такого рода широко применяется теория локальных бифуркаций. Обычно полное теоретическое исследование таких моделей не представляется возможным и применяется комбинированный подход, включающий как теоретические методы, так и вычисления на компьютере.

Применение теории бифуркаций в различных областях естествознания способствовало значительному развитию этих областей, поскольку методы теории бифуркации, как теоретические, так и вычислительные, позволили изучить множество конкретных примеров динамических систем. Невозможно перечислить все приложения теории бифуркаций в естествознании, настолько они многобразны и многочисленны. Например, применение теории бифуркаций в биологии и экологии позволило понять роль колебательных процессов в этих науках, обнаружить и изучить новые интересные примеры колебательных систем [7], [5], [8]. Изучение конкретных примеров является чрезвычайно полезным для прикладных областей, поскольку эти примеры демонстрируют возможные наборы динамического поведения систем и показывают универсальные бифуркационные механизмы возникновения различных динамических режимов. Так, например, в системах с двумя устойчивыми стационарными режимами часто наблюдается явление гистерезиса. При увеличении параметра происходит скачкообразный переход от одного стационарного режима к другому, скажем, от низкого стационарного уровня к высокому, при определнном значении парметра ао- При уменьшении параметра обратный переход (от высокого стационарного уровня к низкому) может происходить при другом значении параметра, отличном от ао. Явление гистерезиса (возникновение "петли гистерезиса") можно объяснить на основе бифуркации типа "сборка", включяютцей слияние узловых и ссдлоузловых стационарных режимов. Другим примером, чрезвычайно важным для приложений, является возникновение автоколебаний (потеря устойчивости стационарного режима и рождение предельного цикла). Бифуркация Андронова-Хопфа объясняет один из механизмов такого явления. При этом из теории бифуркаций следует, что потеря устойчивости может происходить "мягким" образом, когда родившийся вблизи стационарного режима устойчивый предельный цикл притягивает к себе близкие траектории и вместо стационарного режима в системе наблюдается автоколебательный режим. Амплитуда колебаний вблизи бифуркация является малой (порядка корня квадратного из отклонения параметра от бифуркационного значения). Также, потеря устойчивости может происходить "жестким" образом. При жесткой потере устойчивости неустойчивый предельный цикл сливается с устойчивым стационарным решением и, тем самым, вблизи стационара нет устойчивых режимов, поэтому система переходит в один из устойчивых режимов, расположенных на некотором расстоянии от стационара.

Теория бифуркаций (в основном локальных) хорошо разработана как в теоретическом плане [3], [4], так и в плане численных методов для исследования конкретных динамических систем [5]. Так, например, созданы численные методы и программное обеспечение для исследования многих локальных и некоторых глобальных бифуркаций как особой точки, так и предельного цикла для случая коразмерностей 1, 2 и 3 [6]. В основе большинства пакетов программ для исследования бифуркаций лежит идея продолжения кривой в многомерном пространстве. Бифуркационные условия формулируются в терминах уравнений, описывающих кривую в многомерном пространстве переменных-параметров динамической системы, и каждая следующая точка на кривой "продолжается" с учетом непрерывности и гладкости уже найденного участка кривой. Например, для фиксированного значения параметра находится стационарное решение, определяется его устойчивость, а затем это решение продолжается по параметру. Продолжая по параметру устойчивое стационарное решение системы дифференциальных уравнений, программа находит критические значения параметров, при котором происходит смена устойчивости, и определяет тип бифуркации. При этом идея продолжения (движения по кривой) оказывается очень продуктивной с вычислительной точки зрения, поскольку, например, точка поворота (точка слияния двух стационарных решений при критическом значении параметра) проходится как и все другие точки. Эта точка не является особой, выделенной точкой при движения по кривой.

Современное программное обеспечение позволяет находить стационарные точки и предельные циклы произвольной нелинейной динамической системы, определять их устойчивость при фиксированных и изменяющихся значениях параметров и вычислять критические значения параметров, соответствующих той или иной бифуркации. Программное обеспечение позволяет изучать бифуркации как в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров, так и в системе разностных уравнений.

Наличие доступных программных средств для изучения бифуркаций в системе нелинейных уравнений стимулирует применение теории бифуркаций при исследовании различных математических моделей. Таким образом, теория бифуркаций является полезным инструментом для прикладных исследований. Отметим, что теория бифуркаций дает математическое описание механизма перестройки динамических режимов в математической модели. Так например, возникновение колебаний в результате бифуркации Андронова-Хопфа означает, что амплитуда появившихся колебаний мала, а частота колебаний имеет некоторое значение, определяемое собственными значениями в бифуркационной точке. Если же колебания возникают в результате рождения предельного цикла из петли седло-узла, то амплитуда колебаний имеет определенное значение (порядка единицы), а частота колебаний близка к нулю. Кроме того, бифуркационные линии и поверхности в пространстве параметров определяют границы существования динамических режимов. Знание таких границ необходимо для приложений, поскольку пересечение границы приводит к смене динамического режима. В ряде случаев пересечение бифуркационной границы и смена режима могут иметь "катастрофические" последствия для функционирования системы, поскольку система может переместиться из области нормального функционирования, в область, соответствующую режиму вырождения или гибели системы. Изучение опасных границ и катастроф динамических систем, основанное на теории бифуркаций, оказалось полезным для приложений и стимулировало развитие дальнейших исследований в области знаний, связанной с "чрезвычайными ситуациями" и их прогнозами [1].

Теория глобальных бифуркаций рассматривает не только поведение траекторий вблизи особых точек и предельных циклов, но и на значительном удалении от них. Например, в динамической системе на плоскости с особой точкой типа седло входящая и выходящая сеператрисы могут образовывать петлю при определенных значениях параметров. В частности, такая бифуркация может приводить к исчезновению (появлению) колебательного режима с характерным увеличением периода колебаний.

В последние годы значительно возрос интерес к теории нелокальных бифуркаций, основные достижения которой, имеющиеся на сегодняшний день, суммированы в монографии [2].

Цель и задачи исследования

Данная работа посвящена изучению нелокальных бифуркаций гомоклинических траекторий седлоузлового цикла, заполняющих поверхность бутылки Клейна. В общем случае, проблема описания нелокальных бифуркаций гомоклинических траекторий седлоузловой периодической орбиты является сложной и малоизученной. Случай двумерного тора, заполненного гомоклиническими траекториями седлоузлового цикла является наиболее простым. Гомоклинические поверхности такого типа встречаются в пространстве произвольной размерности. Бифуркации некритического гомоклинического тора типичного седлоузлового семейства описаны в [2, §5.4.]. В книге [2] также частично описаны бифуркации более сложных гомоклинических поверхностей:

• Несколько гомоклинических поверхностей одного и того же седлоузлового цикла возникают одновременно. Их бифуркации порождают новый класс динамических систем, изучение которого не является исчерпывающим [2, §5.7.].

• Гомоклинические поверхности могут иметь сложную топологическую структуру. Так, в пространствах высокой размерности встречаются перекрученные гомоклинические поверхности. Их бифуркации приводят к появлению гиперболического аттрактора соленоидального типа [2, §5.8.].

Постановка задачи

Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей в фазовом пространстве размерности не ниже чем четыре. Предположим, что критическому (нулевому) значению параметра в этом семействе соответствует седлоузловой цикл. Такое вырождение неустранимым образом встречается в однопараметрических семействах. Предположим также, что гомоклинические траектории седлоузлового цикла заполняют гладкую поверхность, диффеоморфную бутылке Клейна. Это предположение не увеличивает коразмерности вырождения.

Задача состоит в описании поведения множества траекторий на бутылке Клейна при изменении параметра.

Научная новизна и формулировка результатов

Научная новизна работы состоит в том, что впервые нолучено полное описание бифуркационного сценария нелокальных бифуркаций гомоклинических орбит седлоузлового цикла на бутылке Клейна.

Решение задачи проводится в несколько этапов.

Сначала показывается, что для некоторого значения параметра £q интервал (0, ео) представляется в виде объединения замкнутых интервалов, удовлетворяющих нижеперечисленным свойствам. Интервалы не имеют общих внутренних точек. При значениях параметров, являющихся границами интервалов, качественная структура множества траекторий на бутылках Клейна одна и та же. Внутри каждого интервала при движении справа налево по параметру происходят одинаковые бифуркации потоков на соответствующих бутылках Клейна. Таким образом, достаточно рассмотреть только один такой интервал.

Затем выделяется класс диффеоморфизмов, задаваемый семейством унимодальных функций, и предполагается, для простоты, что семейство унимодальных функций не зависит от параметра. Для этого случая получены следующие результаты.

Известно ( [2]), что при каждом значении параметра имеется ровно два предельных цикла. Назовем эти циклы основными. Внутри выбранного интервала могут происходить два различных типа бифуркаций.

• Один из основных циклов меняет устойчивость и при этом рождается или сливается с основным предельный цикл удвоенного периода.

• Возникают или исчезают устойчивый и неустойчивый предельные циклы удвоенного периода.

Сформулированные выше утверждения составляют содержание теоремы 6 данной работы.

В работе также описываются всевозможные последовательности бифуркаций при изменении параметра внутри выбранного интервала. Вводится некоторая функция, названная функцией циклов, которая определена на окружности и является морсовской функцией с некоторыми дополнительными техническими условиями, связанными с рассматриваемым классом однопараметрических семейств (определяемых некоторой унимодальной функцией). Показано, что каждый сценарий находится во взаимнооднозначном соответствии с последовательностью критических точек функции циклов. Эти утверждения составляют содержание теорем 7 и 8.

В параграфе 3.2.6 показано, что изложенные выше результаты остаются неизменными в случае, когда семейтво унимодальных функций зависит от параметра.

На заключительном этапе решения поставленной проблемы результаты обобщаются на случай общего семейства, удовлетворяющего предположениям типичности.

Заключение

В диссертационной работе рассматривается однопараметрическое семейство гладких векторных полей в пространстве большой размерности такое, что при критическом значении параметра соответствующее поле обладает седлоузловым циклом. Мы рассматриваем случай, когда гомоклинические орбиты этого цикла вместе с циклом образуют гладкую бутылку Клейна. Задача состоит в описании поведения множества траекторий при изменении параметра.

Исследование основано на постороении глобального отображения Пуанкаре, которое позволяет свести задачу к изучению семейства меняющих ориентация диффеоморфизмов окружности: fa : х ► —х + а + ha(x)

В работе показано как для заданной функции ha{x) построить соответствующий бифуркационный сценарий, а также найдены все возможные бифуркационные сценарии, которые могут реализоваться при произвольно заданной функции ha{x). Бифуркационный сценарий определяется количеством и расположением максимумов и минимумов функции ha(x).

Показано, что при каждом значении параметра а отображение окружности имеет ровно два цикла, которые называются основными. Эти циклы могут претерпевать бифуркации следующих двух типов:

1. Один из основных циклов меняет устойчивость и при этом рождается (или исчезает) цикл удвоенного периода.

2. Возникают (или исчезают) устойчивый и неустойчивый циклы удвоенного (по отношению к основному циклу) периода.

В окрестности критического значения параметра имеется интервал, который представляется в виде объединения смежных отрезков, на каждом из которых качественная структура траекторий на бутылках

Клейна одинакова. На каждом из интервалов реализуется одна и та же последовательность бифуркаций типа 1) и 2) при изменении параметра справа налево.

Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала рассматривается унимодальная функция ha(x) и для этого случая определяется бифуркационный сценарий. После этого рассматривается общий случай, когда функция ha(x) имеет произвольное количество максимумов.

1. Арнольд В. И., Теория катастроф М.: Знание, 1981.

2. Ильяшенко Ю. С., Ли Вейгу. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО: ЧеРо, 1999.

3. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций Динамические системы — 5. М.: ВИНИТИ, 1986. (Итоги науки и техники). (Современные проблемы математики. Фундаментальные направления).

4. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Приемы и методы качественного исследования динамических систем на плоскости, Москва, Наука, 1990.

5. Базыкин А. Д., Кузнецов Ю. А., Хибник А. И. Портреты бифуркаций. М.: Знание, 1989.

6. Khibnik A., Kuznetsov Y., Levitin V., Nikolaev Е. Continuation techniques and interactive software for bifurcation analysis of ODEs and iterated maps. Physica D, 62, 1993, 360-371.

7. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций М., Наука, 1985.

8. Рубин А. Б. Биофизика, в 2-х тт. М., 1999, 2002.

9. Palis J. and Pugh С. С. Fifty problems in dynamical systems. Lecture Notes in Mathematics, 1975, Vol. 468. New York, Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, p. 345-353

10. Медведев В. О новом типе бифуркаций на многообразиях. Математический сборник, 1980, 113, 487-492.

11. И. Тураев Д., Шильников J1. П. Бифуркация голубого неба. Математический сборник, 1995, 51.

12. Гаврилов Н., Шильников А., Модель, содержащая бифуркацию голубого неба. Тезисы Межд Конференции "Современные проблемы теории динамических систем", Нижний Новгород, 1-6 июля. 1996.

13. Kuznetsov Yu. A. Elememts of applied bifurcation theory. Applied math sc. 112, Springer, 1998, pages 267-267.

14. Афраймович В. С., Шильников JI. П. О некоторых глобальных бфуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел. Доклады АН СССР, 1974, 219, 3, 1281-1285.

15. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory // Differential Equations Journal. 1979. Vol.31. P.53-98.

16. Anosova 0. True slow surface in slow-fast systems. International conference dedicated to the 100 anniversary of A. A. Andronov. Nizhniy Novgorod. 2001. 28.

17. Szmolyan P. Transversal heteroclinic and homoclinic orbits in singular perturbation problems. Journal of differential equations, 1991, 92, p.252-281.

18. Борисюк A. P. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Унимодальный случай. Математические заметки, 2002, 71, 3, 348-363.

19. Борисюк А. Р. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай. Математический сборник, 2005, 196, 3-22.

20. Borisyuk A. Global bifurcations on the Klein bottle. Unimodal case. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль. 2000. 18-21

21. Borisyuk A. Bifurcation scenario on the homoclinic Klein bottle. International conference dedicated to the 100 anniversary of A. A. Andronov. Nizhniy Novgorod. 2001. 31-32.

22. Arnold V. I. Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics // Duke Mathematical Journal. 1991. Vol.63. No.2. P.537-555.

23. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений I. М.: Наука, 1982.

24. Newhause S., Palis J., Takens F., Bifurcation and stability of families of diffeomorphisms. Pubis, math. Inst, hautes etud.sci., 1983, 57, 5-71