Разрешимость и асимптотика решений нелокальных эллиптических краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Нелокальные эллиптические задачи в двугранных и плоских углах. Формула Грина

1.1 Нелокальные эллиптические краевые задачи. Сведение к задачам с однородными нелокальными условиями

1.2 Разрешимость нелокальных краевых задач в плоских углах

1.3 Априорные оценки решений нелокальных краевых задач

1.4 Формула Грина для нелокальных эллиптических задач

1.5 Нелокальные эллиптические задачи трансмиссии. Сведение к задачам с однородными нелокальными и краевыми условиями.

1.6 Разрешимость нелокальных задач трансмиссии в плоских углах

1.7 Априорные оценки решений нелокальных задач трансмиссии

1.8 Априорные оценки решений одной вспомогательной задачи вГ.

1.9 Сопряженные нелокальные задачи

1.10 Разрешимость нелокальных краевых задач. Основные результаты

1.11 Однозначная разрешимость нелокальных задач для уравнения Пуассона в двугранных углах.

2 Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач в плоских углах

2.1 Постановка нелокальной задачи в плоском угле. Асимптотика решений.

2.2 Гладкость решений нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.3 Сопряженные нелокальные задачи в угле

2.4 Вычисление коэффициентов в асимптотике решения нелокальной задачи в угле.

2.5 Асимптотика решений локальных задач в Е2 \ {0}.

3 Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач в плоских ограниченных областях

3.1 Постановка задачи в ограниченной области.

3.2 Асимптотика решений нелокальной задачи.

3.3 Индекс нелокальной задачи

3.4 Асимптотика решений сопряженной нелокальной задачи

3.5 Вычисление коэффициентов в асимптотике решений нелокальной задачи.

1. В диссертации изучаются нелокальные эллиптические задачи в двугранных и плоских углах, а также в плоских ограниченных областях.

В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, важными приложениями, возникающими в таких областях, как: теория плазмы [3, 28], биофизика, теория диффузионных процессов [41, 42], теория многослойных пластин и оболочек [25, 52].

В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще А. Sommerfeld [54], Я.Д. Тамаркин [35], М. Picone [50], A.M. Krall [49] и др. В двумерном случае, по-видимому, одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит Т. Carleman [40]. В работе [40] ищется гармоническая в области G функция, удовлетворяющая следующему нелокальному условию на границе Т области: значение неизвестной функции в точке у £ Т связано со значением в точке oj(y), где ш : Т —Т — преобразование границы, удовлетворяющее требованию оо(и(у)) = у, у £ Т. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования нелокальных эллиптических задач со сдвигами, отображающими границу области на себя, и абстрактных эллиптических задач [5, 38, 39].

В 1969 году A.B. Бицадзе и A.A. Самарский [3] рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике G = {у ЕЕ М2 : — 1 < yi < 1, 0 < у2 < 1} и непрерывная в G функция и(у\, у2), удовлетворяющая условиям и{уъ 0) = gi{yi), и(уъ 1) = g2{yi), -Kyi < 1, Ц-1, У2) = и( 1, у2) = г/2), 0 < у2 < 1, где gi, Q2i 9'i — заданные непрерывные функции. Данная задача решена в работе [3] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума. В случае произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная (см. также [28, 49]). Различные варианты и обобщения нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу внутрь замыкания области, рассматривали Н.В. Житарашу и С.Д. Эйдельман [11], Я.А. Ройтберг и З.Г. Шеф-тель [27], A.B. Бицадзе [2], В.А. Ильин и Е.И. Моисеев [13], К.Ю. Киш-кис [14], А.К. Гущин и В.П. Михайлов [9, 10] и др.; при этом особое внимание уделялось разрешимости соответствующих нелокальных эллиптических задач. Спектральные свойства нелокальных задач исследовались, в частности, В.А. Ильиным [12], Е.И. Моисеевым [22, 23], A.A. Шпаликовым [37]. Отметим, что в данных работах изучается либо одномерный или двумерный случай, либо уравнения второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов.

Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах A.JI. Скубачевского и его учеников [29, 30, 31, 32, 33, 51, 52, 26, 15]: приведена классификация по типу нелокальных условий, доказаны априорные оценки и построен правый регуляризатор в соответствующих пространствах, для определенных классов нелокальных задач изучены спектральные свойства и свойства индексов соответствующих операторов. Наиболее сложной оказывается ситуация, когда носитель нелокальных членов имеет непустое пересечение с границей области — именно такие задачи рассматриваются в диссертации. В этом случае обобщенное решение нелокальной задачи может иметь степенные особенности вблизи некоторых точек даже при бесконечно гладкой границе области и бесконечно дифференцируемой правой части [30, 53]. Поэтому для изучения такого рода задач применяются специальные весовые пространства, введенные В.А. Кондратьевым при исследовании краевых задач в областях с угловыми или коническими точками [16], а также их обобщения на случай областей с ребрами [21, 24].

2. Новизна результатов. Нелокальные эллиптические краевые задачи в двугранных углах и соответствующие им задачи с параметром в плоских углах ранее исследовались A.JI. Скубачевским [32]. Такие задачи возникают в качестве модельных при изучении нелокальных задач в n-мерных (п > 3) ограниченных областях [33]. В работе [32] с помощью априорных оценок и построения правого регуляризатора получены достаточные условия фредгольмовой и однозначной разрешимости указанных модельных задач. При этом для построения правого регуляризатора приходится накладывать ограничения как на нелокальную задачу, так и на соответствующую ей "локальную" задачу. В диссертации впервые получены необходимые и достаточные условия фредгольмовой и однозначной разрешимости модельных задач в углах; эти условия уже не содержат дополнительных ограничений на "локальную" задачу. Для этого, как и в работе [32], используются априорные оценки решений, позволяющие доказать конечномерность ядра и замкнутость образа нелокального оператора. Однако, вместо построения правого регуляризатора, применяется другой подход: выводится формула Грина, порождающая задачу, формально сопряженную к исходной нелокальной задаче. Формально сопряженная задача представляет собой систему эллиптических уравнений Щ в двугранных углах ( У Ejt = где ] = 1, ., N, — система ис1 ходных углов) с нелокальными условиями сопряжения, связывающими скачки неизвестной функции и ее производных на сторонах углов Е^ со значениями неизвестной функции и ее производных на сторонах исходных углов Е^-. Такую задачу мы называем нелокальной задачей трансмиссии. Ранее нелокальные задачи трансмиссии изучались либо в одномерном случае [13], либо в многомерном, но лишь при условии, что многообразия, на которых задаются условия сопряжения, лежат строго внутри области и попарно не пересекаются [27]; при этом решения рассматривались в пространствах Соболева без веса. В диссертации получены априорные оценки решений нелокальной задачи трансмиссии в весовых пространствах, гарантирующие конечномерность ядра соответствующего оператора. Далее при помощи формулы Грина установлена связь между ядрами оператора, сопряженного к оператору нелокальной краевой задачи (и действующего в пространствах распределений), и оператора нелокальной задачи трансмиссии. Таким образом доказана конечномерность коядра исходной нелокальной краевой задачи. Данные результаты получены в гл. 1.

Как отмечалось выше, гладкость обобщенных решений нелокальных эллиптических задач может нарушаться вблизи некоторого множества точек на границе области даже при бесконечно гладкой границе области и бесконечно дифференцируемой правой части [30, 53]. При этом за счет наличия нелокальных членов особенности могут "переноситься" в другие точки границы и даже внутрь области, образуя некоторое множество К. Таким образом, встает вопрос об асимптотике решений вблизи множества К. В работе А.Л. Скубачевского [30] получены асимптотические формулы для решений нелокальных задач в плоских областях для случая, когда преобразования переменных не содержат растяжения (сжатия) аргумента вблизи точек множества 1С. В диссертации выводится аналогичная асимптотика решений для случая произвольных линейных вблизи 1С преобразований переменных. Кроме того, впервые получены явные формулы для коэффициентов асимптотики. Коэффициенты вычисляются как в терминах сопряженных нелокальных операторов, так и в терминах собственных и присоединенных векторов нелокальных задач трансмиссии, изученных в гл. I. Отметим, что полученная асимптотика формально "похожа" на асимптотику решений "локальных" задач (см. [20, 24]) и определяется собственными числами, а также собственными и присоединенными векторами соответствующей модельной задачи с параметром. Однако, за счет наличия нелокальных членов возникают следующие принципиальные особенности: во-первых, изменяется расположение на комплексной плоскости собственных чисел модельных задач с параметром; во-вторых, при вычислении коэффициентов возникают нелокальные задачи трансмиссии, не характерные для случая "локальных" краевых задач; в-третьих, оказывается, что асимптотика решения и значения коэффициентов вблизи некоторой точки множества 1С зависят не только от данных задачи в окрестности данной точки, но и от данных вблизи других точек множества /С, связанных с данной посредством преобразований переменных в нелокальных членах. Именно этими особенностями объясняется упомянутое выше нарушение гладкости решений нелокальных эллиптических задач. Исследованию асимптотики решений посвящены гл. 2 и 3.

Кроме того, в гл. 3 впервые получена формула индекса операторов, соответствующих одной и той же нелокальной задаче, но действующих в пространствах с разными показателями веса.

Отметим, что все результаты диссертации являются новыми не только для случая эллиптических операторов порядка 2т, но даже для эллиптических операторов второго порядка.

3. Диссертация состоит из введения и трех глав.