Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 О б з о р и с с л е д о в а н и й и п о с т а н о в к а з а д а ч и

1.1 Обзор известных исследований в области нелокальных задач

1.2 Постановка задачи с интегральными условиями

2 Е д и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я

2.1 Априорная оценка решения задачи с однородными условиями

2.2 Теорема о единственности решения исходной задачи

2.3 Примеры задач с интегральными условиями для различных гипep6oJшчecкиx уравнений

3 С у г ц е с т в о в а н и е р е ш е н и я

3.1 Сведение задачи с интегральными условиями к задаче Гурса для нагруженного уравнения

3.2 Эквивалентность задачи Гурса м некоторого операторного уравнения Ру = V

3.3 Изучение свойств оператора Р

3.4 Теоремы о существовании и единственности решений задачи Гурса и задачи с интегрсхльными условиями

3.5 Решение задачи с интегральными ус.гювиями в явном виде для частного случая гиперболического уравнения

Многие разделы теории дифференциальных уравнений в частных производных к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики классифицировар1Ы и довольно хорошо изучены.Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости дальнейших теоретических исследований, поскольку возникают качественно новые задачи, отличающиеся своей постановкой от классических. В математической литературе в последние десятилетия появился целый ряд работ, посвященных подобным вопросам. Все чаще привлекают внима{1ие специалистов задачи, называемые нелокальными.Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями. Они встречаются во многих приложениях. Такого рода условия встречаются, например, при моделировании некоторых технологических и демографических процессов; при моделировании задач, описывающих процесс диффузии частиц в турбулентной плазме, процесс влагонереноса в пористых средах, процесс распространения тепла в тонком нагретом стержне; при моделировании задач биологии, связанных с описанием динамики численности популяции особей. Появление условий интегрального вида порождено ограниченными возможностями для измерения тех или иных реальных характеристик в рассматриваемой области.В последние годы стали появляться работы, посвященные изучению таких задач для различных типов уравнений. Исследования в этой области начаты с эллиптических и параболических уравнений. Более трудными для изучения являются подобные задачи для уравнений гиперболического типа. Некоторые результаты в этом направлении достигнуты, см. работы Л.С. Пулькиной [94] и ее учеников, а также работы [20], ¡84], ¡122].Исследование задач с интегральными условиями связано с довольно большими трудностями, поскольку присутствие нелокальных условий затрудняет применение стандартных методов.Предстоит еш,е многое сделать по исследованию этих задач, по разработке различных методов их решения. При анализе задач с нелокальными краевыми условиями прослеживается связь этих задач с задачами для нагруженных уравнений. В связи с этим, вероятно, возможен подход к исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений, который состоит в переходе от исходной задачи к локальной задаче для специальным образом подобранного нагруженного уравнения такого же типа и порядка 83 В русле очерченного направления находится и данная работа, в которой рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в прямоугольнике, ограниченном характеристиками уравнения. Целью является доказательство существования и единственности классического решения этой задачи. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.Более подробно обзор известных исследований в области нелокальных задач, задач с интегральными условиями, нагруженных уравнений и постановка задачи приведены в первой главе диссертации.Вторая глава посвящена доказательству единственности решения. Теорема единственности (параграф второй) доказана на основе найденной в первом параграфе априорой оценки. В этой же главе в третьем параграфе приведены примеры задач, в том числе такие, когда решение не единственно.Для доказательства существования решения был использован метод "редукции"поставленной задачи к классической задаче, но для нагруженного уравнения. Это сделано в первом па5 ])г1Г])а(|)е трс'гьей главы. Ус^.тановлеиная связь позволяет свести р>(Л1рос о раз{:)еп1имости исходной задачи к исследованию разрешимости з а д а ч и дутя наг})уженного уравнения. Далее, в о втором иа1)агра(|)с. доказана экви1зг1лентность задачи Гурса и иекоторого ()пера1Ч){)Ног() у[)авнеиия. Исследование (тзойств оператора, позволяклцих установить, ^гго он является сжатием, проведено 1^ 1ре'1ч>ем п а р а г р а ф е . В четвертом параграфе, на основе принципа сжимаюгцих отображений, доказана однозначная разреш и м о с т ь опсраторно1"() уравнения и cфopмyJH4poвaнa и доказан а о(Л1овная т е о р е м а о су1цествовании единственного регнения исходной задачи. В пятом параграфе третьей главы приведен п р и м е р р е ш е н и я в явном виде задачи с двумя интегральными условиями д л я частного случая гиперболического уравнения.В закл5оче!ши сформулированы основные выводы по результ а т а м исследований. Приведены сведения об апробации, опуб.миковагН'Ш г, научной печати основного содержания диссертации . е(^ результатов, выводов.Объем диссертации 106 страниц. Список литературы состоит ¡15 128 иа.имеиоваиий.Ав'гсзр вь[ражает искреннюю благодарность своему научном у руководителю Л.С. Пулькипой за постоянное внимание и ч н т о р о н 1ги)ю поддержку.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры "Уравнения математической физики "под руководством доктора физико-математических наук, профессора О.П. Филатова в СамГУ (Самара, 2000-2003 гг.), на семинаре под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В. Жикова в ВГПУ (Владимир, 2002-2003 гг.). на Международной конференции "Математическое моделирование. статистика и информатика в современном управлении экономикой"(Самара, 2001 г.), на Втором всероссийском симпозиуме но прикладной и промышленной математике (летняя сессия, 2001 г.), на XI и XII научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи "(Самара, 2001 и 2002 гг.), на научной конференции, посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001 г.), на Воронежских весенних математических школах "Понтягинские чтения-ХПГ'и "Понтря-гинские чтения-XIV"(Воронеж, 2002 и 2003 гг.)

По теме диссертации автором опубликовано 7 работ [56]—[62].

Заключение.

Таким образом, в результате проведенного исследования доказана однозначная разрешимость поставленной нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения при определенных ограничениях на заданные функции в интегральных условиях, на правую часть и на коэффициенты уравнения. Приведены примеры решения задач такого рода для различных уравнений, в том числе показывающие существенность этих ограничений.

В работе установлены новые связи между нелокальными задачами и задачами для нагруженных уравнений: задачей с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения и задачей Гурса, для нагруженного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа. Это удалось сделать благодаря найденной редукции первоначальной задачи I к более удобной для исследования краевой задаче II.

Одним из промежуточных результатов работы является теорема о существовании и единственности решения задачи Гурса для одного класса нагруженных уравнений в прямоугольнике, ограниченном характеристиками уравнения. Заметим, что для этого пришлось доказывать, что некоторый интегро-дифферен-циальный оператор является сжатием.

1. Алексеева С.М., Юрчук И.И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34, № 4. -С. 495 -502.

2. Бейлип С.А. Единственность решения смешанной задачи с интегральным условием для гиперболического уравнения /У Обозрение прикладной и промышленной математики. -2001. Т. 8, Вып. 1. - С. 392.

3. Белавин И.А. Капица С.П., Курдюмов С.П. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1998. Т. 38, № 6. - С. 885-902.

4. Бенуар Нур-Эддин, Юрчук Н.И. Смешанная задала с интегральным условием для параболических уравнений соператором Бесселя //' Дифференциальные уравнения. -1991.- Т. 27. № 12. С. 2094-2098.

5. Бесов К.О. О собственных функциях некоторых нелинейных нелокальных операторов j j Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38, № 4. - С. 490-498.

6. Бицадзе А.В. Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. - Т. 185, № 4. - С. 739-740.

7. Бицадзе А.В. К теории нелокальных краевых задач // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 277, № 1. - С. 17-19.

8. Бицадзе А.В. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций /7 Доклады АН СССР. 1985. - Т. 280, № 3. - С. 521-524.

9. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием A.M.Нахушева // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. -С. 104.

10. Волкодавов В.Ф., Мельникова А.И. Задача с нелокальными краевыми условиями для вырождающегосягиперболического уравнения // Межвузовский сборник научных трудов "Дифференциальные уравнения (математическая физика)". 1981. - Т. 248. - С. 24-31.

11. Волкодавов В.Ф. Жуков В.Е. Две задачи для уравнения колебания струны с интегральными условиями и специальными условиями сопряжения на характеристике Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 4. -С. 503-507.

12. Волкодавов В.Ф., Мансурова Е.Р. Краевая задача для частного вида уравнения Эйлера-Дарбу с интегральными условиями и специальными условиями сопряжения на характеристике // Известия ВУЗов. Математика. 2000. -№ 8. - С. 16-19.

13. Гасымов Э.А. Применение конечного интегрального преобразования к решению задачи Ионкина-Самарского // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, 7. -С. 867-873.

14. Голубева Н.Д. Задача с нелокальными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения. Тезисы докладов Международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения. 27-30 июня. Самара. 1995.1. С. 45.

15. Голубева Н.Д. Пулькина Л.С. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями j j Математические заметки. 1996. - Т. 59, Вып. 3. - С. 456-458.

16. Гордезнани Д.Г., Доюиоев Т.З. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного уравнения эллиптическо

17. X) типа и Сообщения АН ГССР. 1972. - Т. 68, № 2.п ООП оно

18. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задан для одномерных колебаний среды j j Математическое моделирование. 2000. - Т. 12, № 1. - С. 94-104.

19. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Математический сборник. 1994. - Т. 185, № 1. - С. 121-160.

20. Гущин А.К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений // Математический сборник. 2002. - Т. 193, № 5. - С. 17-36.

21. Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 148, № 5. - С. 1013-1016.

22. Дженалиев М.Т. Краевые задачи и задачи оптимального управления для линейных нагруженных уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. -1992. Т. 28, № 2. - С. 232-241.

23. Дженалиев М.Т. Об одном классе нагруженных эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения.1992. Т. 28, № 3. - С. 522-524.

24. Дженалиев М. Т. Неоднородные задачи для нагруженного эволюционного уравнения нечетного порядка с внутренне-краевыми условиями ,// Дифференциальные уравнения.1993. Т. 29, № 4. - С. 617 626.

25. Доюеналиев М.Т. Краевые задачи для нагруженных дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядков и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 1. - С. 160-162.

26. Евдокимова Н.Н. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции "XXIII Гагаринские чтения". 1997. - С. 51-52.

27. Евдокимова Н.Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Вестник Самарского госуниверситета. 1999. - № 2. - С. 67-70.

28. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. // Ученые заметки Казанского университета. 1962.- Т. 122, № 3. - С. 3-16.

29. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собствтвенных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 273, № 5. - С. 1048-1053.

30. Ильин В.А. Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма^Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. // Доклады АН СССР. 1986. -Т. 291. К0- 3. - С. 534-540.

31. Ильин В.А. Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиу вилл я в дифференциал ьной и разностной трактовках j j Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, № 7. - С. 1198-1207.

32. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках // Математическое моделирование.- 1990. Т. 2, № 8. - С. 139-156.

33. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференциальные уравнения.- 2000. Т. 36, № 5. - С. 65.

34. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, № 2. -С. 294-304.

35. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 7. -С. 1279-1283.

36. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. № 7.1. С. 1284-1295.

37. Панкин Н.И. Валикова Е.А. Принцип максимума для одной нелокальной самосопряженной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 7. -С. 1232 1239.

38. Панкин П.П., Морозова В.А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями для двумерного уравнения теплопроводности // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика.- 1999.- № 4. С. 15-18.

39. Ионкип П.И., Морозова В.А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. .// Дифферециальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 7. -С. 884-888.

40. Искендеров А.Д. О смешанной задаче для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического типа // Доклады АН СССР. 1971. - Т. 199, № 6. - С. 1237-1239.

41. Казиев В. И. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1981. - Т. 17, № 2. - С. 313-319.

42. Калъменов Т.Ш., С'ады,беков М.А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. -С. 60-65.

43. Комы,ним Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями //

44. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - Т. 4, № 6. - С. 1006 1024.

45. Камынин Л.И. Единственность решений краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка у/ Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 1. - С. 39 40.

46. Камынин В.Л. О предельном переходе в обратных задачах для параболических уравнений с условием интегрального переопределения /7 Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. № 5. - С. 620-626.

47. Камынин В.Л., Саролди М. Нелинейная обратная задача для параболического уравнения высокого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - Т. 38, № 10. - С. 1683 1691.

48. Капустин Н.Ю. Задача для параболо-гиперболического уравнения с нелокальным условием склеивания нормальных производных на линии изменения типа // Доклады АН СССР. 1989. - Т. 305, № 1. - С. 31-33.

49. Ка.ратопра/клаев Г.Д. Об одной нелокальной краевой задаче для эллинтико-параболических уравнений // Дифференциальные .уравнения. 1993. - Т. 29, № 5. - С. 902-904.

50. Кишкис К.К). Об индексе задачи Бицадзе-Самарского для гармонических функций // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т. 24, № 1. - С. 105-110.

51. Климова Е.Н. Теорема единственности решения задачи Гурса в интегральной постановке. Труды одиннадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: Изд-во СамГТУ, 2001. -С. 70-73.

52. Климова Е.Н. О существовании решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, Вып. 1. - С. 399.

53. Клим,ова Е.Н. Пулъкина Л.С. Об эквивалентности двух нелокальных задал. Материалы Воронежской весенней математической школы Понтрягинские чтения-XIII "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. С. 128 129.

54. Климова Е.Н. Интегральная задача Гурса и связанные с ней нагруженные уравнения. Межвузовский сборник науных трудов «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во СамГТУ, 2002. - Вып. 1. -С. 102-113.

55. Корниенко В.В. О нелокальной задаче для иррегулярных уравнений // Математический сборник. 2000. - Т. 191, № 11. - С. 21-46.

56. Лернер М.Е., Пулъкина Л. С. Об одной задаче с нелокальным краевым условием для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. АН СССР. Сибирское отделение. 1988. - С. 147-150.

57. Лернер М.Е., Репин О.А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа // Доклады АН. 1999. - Т. 365, № 5. - С. 593-595.

58. Лернер) М.Е., Ре-пин О.А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесиммет-рического уравнения Гельмгольца // Дифференциальныеуравнения. 2001. - Т. 37, № 11. - С. 1562-1564.

59. Ломов И.С. Свойство базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале // Дифференциальные уравнения. -1991. Т. 27, № 1. - С. 80-93.

60. Люстерпип: Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982. 271 с.

61. Мирсабуров М. Задали типа задачи Бицадзе-Самарского для одного класса уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 5. - С. 829-834.

62. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класа уравнений смешанного типа с условием Бицадзе-Самарского на параллельных характеристиках // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37, № 9. - С. 1281-1284.

63. Мирсабуров М. Нелокальная краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38, № 1. - С. 129-131.

64. Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37, № 11. - С. 65.

65. Морозова В.А. Блочный метод исключения Гаусса для разностных уравнений с нелокальными граничными условиями // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 4. - С. 121-127.

66. Муравей Л.А., Филиновский А.В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения // Математический сборник. 1991. - Т. 182, № 10.- С. 1479-1512.

67. Муравей Л.А., Филиновский А.В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения // Математические заметки. 1993. - Т. 54, № 4. - С. 98-116.

68. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа /'/ Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5, № 1. -С. 44-53.

69. Нахугиев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро- дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12, № 1. - С. 34-37.

70. Нахушев A.M., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференциальные уравнения.- 1977. Т. 13, № 1. - С. 105-110.

71. Нахугиев A.M. Краевые задам и для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги

72. Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, N2 1. -С. 96-105.

73. Haxyuiee A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциального уравнения и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод

74. Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18, № 1. -С- 72-81.81 j Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения. / Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. -С. 86-94.

75. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями j j Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. 21, № 1. - С. 92-101.

76. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

77. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22, № 1. - С. 171-174.

78. Нахушева З.А. Первая и вторая краевая задача в интегральной постановке для параболических уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № И. - С. 1982-1992.

79. Нанеях Б.П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов j j Математические заметки. 1984. - Т. 35, Вып. 3. - С. 425-433.

80. Просяной А.А. О решении смешанной задачи с интегральным условием для некоторого параболического уравнения 7 Тезисы докладов шестой конференции математиков Белоруссии. 1992. - С. 28.

81. Пулькина Л. С. О разрешимости в пространстве Нк задачи Франкеля для уравнения смешанного типа // Тезисы докладов XVI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. 1991.- С. 184.

82. Пулькина, Л. С. Об одной неклассической зада.че для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Математика. 1991. - № 11. - С. 48-51.

83. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения j j Математические заметки. 1992. - Т. 51, № 3. - С. 91-96.

84. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения /У Тезисы докладов Международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". 1995. - С. 68.

85. Пулькина Л. С. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения

86. Вестник Самарского госуниверситета. 1998. - № 2. -С. 64-68.93| Пулькина Л.С. О разрешимости в Lo нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения У Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 2. - С. 279-280.

87. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения // Математические заметки. 2001. - Т. 70, Вып. 1. - С. 88-95.

88. Рат.ыни А.К. О классической разрешимости одной нелокальной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка /7 Известия ВУЗов. 1996. - № 1. - С. 51 60.

89. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для параболо-гинерболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28, С. 173-176.

90. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Доклады АН России. 1994. - Т. 335, № 3. - С. 295-296.

91. Репин OA. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 1. - С. 171-172.

92. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Формула Грина и теорема о гомеоморфизмах для нелокальных краевых задач // Доклады АН СССР. 1971. - Т. 201, № 5. - С. 1059-1062.

93. Ройтберг Я.А. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем. // Сибирский математический журнал. 1972. - Т. 13, № 1. - С. 165-181.

94. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. 368 с.

95. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Об одном аналоге задачи Б и цадзе-Самарского // Сибирский математический журнал. 1999. - Т. 40, № 1. - С. 177-182.

96. Салахитдипов М. С,, Мирсабуров М. Задача Вицадзе-Самарского для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. -2002. Т. 38, № 2. - С. 271-276.

97. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16, № 11. - С. 1925-1935.

98. Сапаговас М.Т. Исследование не класс и ческой задачи о капле. / / Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 7. - С. 1270-1276.

99. Сапаговас М.Т. Численные методы для двумерной задачи с нелокальным условием. // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20, 7. - С. 1258-1266.

100. Сапаговас М.П., Чете Р.Ю. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, № 7. - С. 1268-1274.

101. Скубачевский А.Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом // Математические заметки. 1985. - Т. 38, № 4. -С, 587-598.

102. Скубачевский А.Л. Разрешимость эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями // Доклады АН СССР. 1986. - Т. 291, № 3. - С. 551-556.

103. Скубачевский, А.Л., Ст.еблов Г.М. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в L2(0,1) // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 321, № 6. -С. 1158-1163.

104. Скубачевский А.Л., Ковалева О.А. О разрешимости нелокальных эллиптических задач в простанствах с весом /7 Математические заметки. 2000. - Т. 67, Вып. 6. -С. 882-898.

105. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1992. - 432 с.

106. Тихомиров В.В. Оптимальное управление нелокальных задач для распределенных систем // Дифференциальныеуравнения. 1998.- Т. 34, № 5. - С. 709-718.

107. Тихонов И.В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 6. - С. 841-843.

108. Юрчук И. И. Смешанная задача с иллегальным условием для некоторых параболических уравнений, // Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22, № 12. - С. 2117-2126.

109. Bouziani A. Solution forte d'un probleme mixte avec conditions non locales pour une classe сГ equations liyperboliques // Bull.CLSci.Acad.Roy.Belg. 1997. - Vol. 8. -P. 53-70.

110. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. // Quart. Appl. Math. 1963.

111. Vol. 21. No. 2. P. 155-160.

112. Lions J.-L. Controlabilite exacte perturbations et stabilisation de systemes distribnes. Tome I, Masson. Paris. 1988.

113. Pulkina L.S. On nonlocal problems for degenerate hyperbolic equations. Book of Abstracts. The III International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 1995. -P. 408.

114. Pulkina L.S. A nonlocal problem with integral conditions for hyperbolic equation, // Ejde. 1999. - Vol. 45. - P. 1-6.